Transports couplés en géométries complexes

En vue de l’obtention du

DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE

Délivré par :

Université Toulouse 3 Paul Sabatier (UT3 Paul Sabatier)

Présentée et soutenue par :

Julien Bouyssier

Le Lundi 17 Décembre 2012

Titre :

Transports couplés en géométries complexes

École doctorale et spécialité :

ED MEGEP : Dynamique des Fluides

Unité de recherche :

Institut de Mécanique des Fluides de Toulouse (IMFT)

Directeurs de Thèse :

Franck Plouraboué (DR, CNRS, IMFT) : Directeur

Charles Pierre (IR, UPPA, Pau) : Co-directeur

Rapporteurs :

Mejdi Azaiez (Prof., TREFLE, Bordeaux)

Patrice Flaud (Prof., LMSC, Paris)

Membres du jury :

Alain Bergeon (Prof., IMFT, UPS) : Examinateur

Jérôme Fehrenbach (MdC, UPS) : Invité

Frédéric de Gournay (MdC, INSA, UPS) : Invité

Aziz Hamdouni (Prof., LEPTIAB, La Rochelle) : Président

Remerciements

Je tiens `a remercier en premier Franck et Charles. Tout d’abord sur l’aspect scienti-fique, pour m’avoir fait d´ecouvrir et partager leur vision du monde de la recherche, pour tout ce qu’ils m’ont transmis et enseign´e. Ensuite sur l’aspect humain o`u il a ´et´e agr´eable de travailler avec eux, toujours dans une bonne ambiance et de m’avoir fait confiance, dans les bons comme les mauvais moments.

Je remercie les enseignants du d´epartement de M´ecanique de l’UPS. Ce sont eux qui m’ont donn´e l’envie de continuer en th`ese. Je pense que nous avons la chance d’avoir une bonne formation (oui oui, une bonne formation `a la fac !) et j’esp`ere que cela continuera. Je remercie aussi le personnel du d´epartement pour leur disponibilit´e et leur bonne humeur permanente : Catherine Bouteillier et Patrick Huelmo (Mr Moustache).

Je remercie les gens du groupe PSC pour m’avoir aussi bien accueilli et pour la bonne ambiance qui y r`egne : Adrien num´ero 1 et num´ero 3, Ali, Amine, Blaise, Mr Creppy, Da-niel, Enrica, Jorge, Laurent, Olivier, Romain, Thomas, Zafer. Mention sp´eciale au groupe des coincheurs pour m’avoir initi´e `a cet noble art !

Merci aussi `a mes coll`egues de bureau : Adrien num´ero 2/La Mascotte (ne change rien !), Anne, Alexis Le Viel, Eric, Mehdi, Hakim. Merci `a Romain pour son aide et ses conseils ainsi que d’avoir mis de l’animation avec ses col`eres !

Merci aux secr´etaires et autre personnel de l’IMFT : Suzy Bernard, Florence Colombies, C´eline Perles-Picotto, Sandrine Chupin et Muriel Sabater.

Je remercie, dans un premier temps, la machine `a caf´e de l’IMFT et, dans un second temps et quand cette derni`ere a commenc´e `a me revenir trop ch`ere, la cafeti`ere du groupe PSC !

Je remercie Bob Lennon et Fanta pour m’avoir fait autant rire pendant la r´edaction, `a Mr Goz pour sa French touch **** madre !

Je remercie les gens de l’ASL pour les moments et les matchs `a leurs cˆot´es. J’esp`ere qu’il y en aura de nouveau.

Je remercie mes amis qui m’ont rappell´e qu’il n’y avait pas que la th`ese quand j’´etais en th`ese ( !) : C´edric, Benoit, Benjamin, David, Paul, Marie Charlotte, Gerardo, Baf´etigu´e, Aurore, Sabine, Aude, Raphael, Richard, Fanny, Aurianne, Laurence, C´ecile, C´ecilia, R´emi.

Je remercie M´elanie pour m’avoir support´e. Merci pour tout.

Enfin je remercie ma famille pour leurs soutiens permanents : Papa, Maman, Emilie, Laz-reg, M´em´e Chameau, et avec une mention sp´eciale l`a aussi (sinon je vais me faire tuer !) `a Lucile/Lutile/Util et Sylvain. L`a aussi merci pour tout.

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Ces travaux s’int´eressent aux questions de transports non stationnaires et de trans-ferts stationnaires de chaleur et de masse par convection-diffusion au sein de g´eom´etries complexes.

Par complexe, nous entendons d’une part pour le transport que le fluide est convect´e au sein d’une cavit´e de section quelconque lentement variable dans la direction longitu-dinale, c’est `a dire ayant des variations longitudinales grandes devant hauteur et lar-geur moyennes. Nous consid´erons d’autre part le transfert au sein de domaines non-axisym´etriques dans lesquels sont plong´es un ou plusieurs tubes o`u le fluide porteur s’´ecoule .

Pour ce qui concerne le transfert, ce travail a consist´e `a montrer comment ´etendre le principe, valider l’utilisation, et illustrer l’efficacit´e d’une d´ecomposition en mode de Graetz pour la pr´ediction des ´echanges dans des configurations r´ealistes d’´echangeurs. Cette d´ecomposition permet de formuler le probl`eme initial 3D comme un probl`eme aux valeurs propres g´en´eralis´ees en 2D dont la r´esolution num´erique est drastiquement moins coˆuteuse.

Nous g´en´eralisons la notion de mode de Graetz `a des conditions aux limites lat´erales quelconques et, en particulier pour le cas d’´echangeurs ´equilibr´es o`u nous avons mis en ´evidence un nouveau mode lin´eairement variables dans la direction longitudinale.

Nous mettons en oeuvre le calcul de ces modes de Graetz dans le cas de configurations semi-infinies pour traiter, par exemple, des configurations transversalement p´eriodiques (types plancher chauffant) et montrons qu’un faible nombre de modes suffit pour donner une tr`es bonne approximation des transferts.

Dans le cas d’´echangeurs finis coupl´e avec des tubes en entr´ee/sortie, nous montrons comment d´eterminer les amplitudes des modes de Graetz dans les diff´erents domaines par la minimisation d’une fonctionnelle associ´ee aux conditions d’entr´ee sorties retenues. Ces modes permettent l’´etude param´etrique syst´ematique des champs de temp´erature, des flux de chaleurs entre les domaines fluides et solides ainsi que des rendements ther-miques d’un ´echangeur `a deux tubes. Nos r´esultats indiquent que la longueur d’´echange caract´eristique est gouvern´ee par le premier mode de Graetz g´en´eralis´e `a grand nombre de P´eclet. Nous montrons aussi, en particulier, qu’un ´echangeur sym´etrique poss`ede un spectre sym´etrique, et une ´evolution amont/aval sym´etrique.

Dans le cas de la dispersion de Taylor, nous avons ´etabli une forme conservative 3D des ´equations de dispersion de Taylor en g´eom´etrie variable g´en´eralisant le cas 2D d´ej`a connu. Nous avons ensuite impl´ement´e en ´el´ements finis puis valid´e num´eriquement ces ´equations de dispersion en 2D et 3D. Nous montrons que les variations longitudinales 3D de la cavit´e peuvent consid´erablement augmenter la dispersion longitudinale.

Abstract

This work interest is about stationary transfer and non-stationary transport by convection-diffusion onto complex geometries.

For transport issues, complex refers to convection into flattened cavity of arbitrary trans-verse shape, slowly varying along the longitudinal direction. In the context of transfer, complex refers to non-axisymmetric domains of arbitrary transverse shape along which one or several parallel tubes convect heat or mass.

For the transfer problem, this work extends the principle, validates the use, and illus-trates the efficiency of Graetz modes decompositions for exchanges prediction in realistic exchangers configurations. This decomposition permits to formulate the initial 3D problem as a generalysed 2D eigenvalue problem, the numerical evaluation of which is drastically reduced.

We generalyze Graetz modes solutions for arbitrary applied lateral boundary conditions. In the particular case of balanced exchangers, we bring to the fore a new neutral mode whose longitudinal variations are linear as opposed to classical Graetz modes displaying exponential decay. The numerical computation of those modes for semi-infinite configura-tions with lateral periodic boundary condiconfigura-tions shows that a few number of those provides a very good approximation for exchanges.

In the case of finite exchangers coupled with inlet/oulet tubes, we show how to evaluate the amplitudes of Graetz modes in the various domains (inlet, exchanger, outlet) from functional minimization associated with input/output boundary conditions. The evalua-tion of these amplitudes permit a systematic parametric study of temperature fields, heat fluxes between fluid and solid, and hot/cold performance of a couple-tube exchanger. Our results indicate that the typical exchange length is governed by the first Graetz mode at large P´eclet number. We also show that a symmetric exchanger has a symmetric spectrum and a upward/backward symmetric evolution.

In the case transport we elaborate theoretically the conservative form of 3D Taylor disper-sion equations into variable cavities which generalyzes the framework already known in 2D. We numerically implement these averaged dispersion equations with finite element, and validate in 2D the obtained results. We show that 3D longitudinal variations of a cavity has a strong impact on the longitudinal dispersion.

Table des mati`

eres

1 Introduction g´en´erale 13

1.1 Introduction g´en´erale . . . 13

1.2 Contexte bibliographique du transfert coupl´e stationnaire . . . 15

1.3 Contexte bibliographique du transport instationnaire et de la dispersion de Taylor . . . 18

1.4 Organisation du manuscrit . . . 19

Bibliographie . . . 21

2 ´Etat de l’art et m´ethodologie 25 2.1 Introduction au probl`eme de Graetz classique . . . 25

2.2 Le probl`eme physique . . . 28

2.3 Le probl`eme de Graetz g´en´eralis´e . . . 29

2.3.1 Reformulation . . . 29

2.3.2 Application : cas d’un tube infini, condition lat´erale Dirichlet de type saut . . . 31

2.4 Tubes semi-infinis et finis avec condition d’entr´ee/sortie Dirichlet . . . 32

2.4.1 Tubes semi-infinis . . . 32

2.4.2 Tubes finis . . . 33

2.4.3 Calcul des modes de Graetz g´en´eralis´es . . . 35

Bibliographie . . . 37

3 Extension `a des condition limites lat´erales g´en´erales 39 3.1 Introduction . . . 39

3.1.1 Probl`eme physique et ´etat de l’art . . . 39

3.1.2 Analyse spectrale . . . 40

3.1.3 Principe de r´esolution dans le cas Neumann . . . 42

3.2 Cas Neumann avec Q_{6= 0 . . . 44}

3.2.1 Tube infini . . . 44

3.2.2 Tube semi-infini . . . 45

3.3 Cas Neumann avec Q = 0 . . . 47

3.3.1 Tube infini . . . 47 3.3.2 Tube semi-infini . . . 49 3.4 R´esultats num´eriques . . . 50 3.4.1 Configuration axisym´etrique . . . 50 3.4.2 Configuration p´eriodique . . . 53 3.4.3 Configuration contre-courant . . . 55

3.5 Article en cours de soumission . . . 57

4 Extensions `a des conditions aux limites entr´ee/sortie g´en´erales 93

4.1 Introduction . . . 93

4.2 M´ethode de r´esolution . . . 95

4.2.1 Conditions d’entr´ee/sortie prescrites : domaine semi-infini . . . 96

4.2.2 Conditions d’entr´ee/sortie prescrites : domaine fini . . . 98

4.2.3 Echangeur fini coupl´e en aval avec un tube semi-infini . . . 100´

4.2.4 Echangeur fini coupl´e en aval et en amont avec un tube semi-infini . 103´ 4.2.5 Cas g´en´eral . . . 106

4.2.6 Convergence spectrale . . . 107

4.3 Illustrations num´eriques . . . 109

4.3.1 Formulation du probl`eme discret . . . 110

4.3.2 Tube fini coupl´e avec un tube semi-infini aval . . . 110

4.3.3 Tube fini coupl´e avec un tube semi-infini en amont et en aval . . . . 113

4.3.4 Echangeur coupl´e . . . 114´

Bibliographie . . . 128

5 Dispersion de Taylor en domaine confin´e 3D 129 5.1 Introduction . . . 129

5.2 D´erivation th´eorique des ´equations . . . 130

5.2.1 Champs de vitesse : hypoth`ese de lubrification . . . 130

5.2.2 Etude de l’influence de la variation des parois : canal 2D de hauteur´ variable . . . 132

5.2.3 Probl`eme tridimensionnel . . . 136

5.3 Mod´elisation num´erique et validation . . . 140

5.3.1 Mod´elisation num´erique . . . 140 5.3.2 Validation . . . 143 5.4 R´esultats et perspectives . . . 145 5.4.1 Canal bidimensionnel . . . 146 5.4.2 Canal tridimensionnel . . . 149 5.4.3 Conclusions et perspectives . . . 151 Bibliographie . . . 153 6 Conclusions et perspectives 155

Chapitre 1

Introduction g´

en´

erale

Contents

1.1 Introduction g´en´erale . . . 13

1.2 Contexte bibliographique du transfert coupl´e stationnaire . . 15

1.3 Contexte bibliographique du transport instationnaire et de

la dispersion de Taylor . . . 18

1.4 Organisation du manuscrit . . . 19

Bibliographie . . . 21

1.1

Introduction g´

en´

erale

Dans ces travaux de th`ese nous allons nous int´eresser aux probl`emes de transports de chaleur et de masse par couplage de ph´enom`enes convecto-diffusifs en r´egime stationnaire et instationnaire dans des g´eom´etries complexes. Pour cela, nous avons partag´e notre travail en deux parties. La premi`ere, plus importante, constituant la majeure partie de ma th`ese, porte sur le probl`eme de Graetz g´en´eralis´e qui concerne le transfert de chaleur en r´egime stationnaire. La seconde partie, plus r´eduite, fait suite `a mon travail en Master 2 Recherche et porte sur le ph´enom`ene de dispersion de Taylor qui traite des probl`emes de transports en r´egime instationnaire.

Ces deux probl`emes sont diff´erents, mais ils ont cependant des points communs. Tout d’abord, ceux sont tous les deux des probl`emes de transport qui font intervenir un cou-plage entre les ph´enom`enes convectifs et diffusifs. De plus pour ces deux probl`emes, les configurations g´eom´etriques sont complexes.

En effet, d’une part, dans le cas du probl`eme de Graetz nous allons consid´erer des g´eom´etries tridimensionnelles tubulaires dans lesquels des transferts coupl´es s’effectuent entre un solide et un fluide, dans des configurations non-axisym´etriques, possiblement compliqu´ees et de contour quelconque.

D’autre part, pour le transport instationnaire associ´e au ph´enom`ene de dispersion de Tay-lor, nous consid´erons des cavit´es tridimensionnelles de forme quelconque et pas forc´ement invariantes dans la direction de l’´ecoulement moyen, comme cela a souvent ´et´e le cas dans la litt´erature et comme nous le discuterons plus loin. Cette complexit´e g´eom´etrique ap-pelle des m´ethodologies adapt´ees pour simplifier, mod´eliser et approximer les ph´enom`enes de transfert.

La m´ethodologie que nous allons utiliser, dans les deux cas, consiste `a rechercher une r´eduction de dimensions spatiales permettant de ramener l’´etude de probl`emes

tridimen-sionnels `a des formulations bidimensionnelles. Cette r´eduction de dimensionnalit´e permet, dans les deux cas, de mener des ´etudes param´etriques syst´ematiques via la r´esolution num´erique de probl`emes impl´ement´es en ´el´ements finis avec le code FreeFem++, avec une grande souplesse et un coˆut de calcul modeste.

Cependant cette r´eduction de dimension n’est pas effectu´ee avec les mˆemes m´ethodes et les mˆemes cons´equences dans les deux cas.

Dans le cas du transport stationnaire en g´eom´etries parall`eles, les modes de Graetz, qui sont des solutions exactes de probl`emes invariants dans la direction longitudinale, per-mettent d’´etablir analytiquement la d´ependance longitudinale de la solution. Par exemple, dans le probl`eme initial de Graetz dans un tube, qui consid`ere le transfert stationnaire dans un tube isol´e dont le profil de vitesse est parabolique et en n´egligeant la diffusion lon-gitudinale, nous verrons que la solution du champ de temp´erature poss`ede une d´ependance exponentiellement d´ecroissante suivant la coordonn´ee longitudinale. Cette caract´eristique permet de traiter ce probl`eme d’une fa¸con bidimensionnelle, puisque l’´etude des fonctions propres se restreint alors `a une coupe dans la g´eom´etrie tubulaire consid´er´ee.

De mani`ere g´en´erale, nous allons voir que cette r´eduction bidimensionnelle est possible dans le cadre d’une repr´esentation math´ematique compl`ete de la solution mˆeme si, en pra-tique, seul un nombre de modes fini peut ˆetre consid´er´e. Il y aura donc une approximation de la solution th´eorique par troncature des modes spatiaux.

Dans le cas de la dispersion de Taylor, une large litt´erature (que nous d´etaillerons plus loin) a montr´e que les ´equations moyennes que nous ´etablissons au chapitre 5 ne sont va-lables qu’aux temps longs. Des travaux r´ecents [1], dont la discussion d´etaill´ee d´epassent largement le cadre de cette introduction, ont cependant montr´e que dans des configura-tions simples (un tube), la description aux temps longs utilis´ee par Taylor [2] peut ˆetre justifi´ee dans le cadre des th´eories de la r´eduction `a la vari´et´e centrale, impliquant la troncature de modes rapides ”esclaves” pour d´ecrire pr´ef´erentiellement l’´evolution lente d’un mode ”maitre”. Cette troncature des modes temporels est une justification r´ecente de la d´erivation initiale de Taylor qui apporte un lien m´ethodologique aux deux approches distinctes pr´esent´ees dans cette th`ese. Elle permet de mieux appr´ehender la validit´e, sou-vent ´evoqu´ee, rarement justifi´ee, de l’approximation ”aux temps longs” des ´equations de dispersion de Taylor.

Cependant, nous ne d´evelopperons pas plus loin ce parall`ele, et travaillerons, sur les deux probl`emes avec deux approches distinctes, chacune adapt´ee au contexte consid´er´e.

Concernant le probl`eme de dispersion, nous allons ainsi utiliser l’approximation de Taylor qui consiste `a d´ecomposer les grandeurs physiques (vitesse, concentration) en moyenne (suivant la coordonn´ee qui d´ecrit la hauteur de la cavit´e dans laquelle se dis-perse le traceur) et fluctuation. Les ´equations moyennes d´eriv´ees ”`a la Taylor” portent sur des quantit´es qui ne d´ependent plus que des coordonn´ees transversales, et peuvent permettre de d´eterminer l’´evolution spatio-temporelle 2D+temps de la concentration moyenne. Cette r´eduction 3D+temps → 2D+temps permet un gain de temps important lors de la r´esolution num´erique. En effet, les ´equations moyennes obtenues pr´esentent un caract`ere g´en´erique, de sorte que diff´erentes configurations g´eom´etriques, conditions li-mites, r´egimes hydrodynamiques peuvent ˆetre explor´es par le balayage syst´ematique des diff´erentes gammes de param`etres.

La suite de cette introduction d´etaille le contexte bibliographique pr´ecis de ce travail sur chacun de ces deux sujets. En derni`ere partie de cette introduction, nous aborderons l’organisation du manuscrit.

1.2

Contexte bibliographique du transfert coupl´

e

sta-tionnaire

Une grande partie de ces travaux de th`ese concerne l’´etude du probl`eme de Graetz dans le but de la mod´elisation des ´echangeurs thermiques convectifs. Les ´echangeurs ther-miques sont omnipr´esents dans de nombreux processus industriels o`u la chaleur doit ˆetre r´ecup´er´ee, ou bien inversement, transf´er´ee d’un fluide `a un autre. Les applications as-soci´ees sont le chauffage ou le refroidissement de syst`emes, mais aussi d’autres proc´ed´es tels que la pasteurisation, la cristallisation, la distillation, l’agr´egation ou la s´eparation de substances [3–5]. De fa¸con similaire, les ´echangeurs de mati`eres et de chaleurs sont im-portants au sein d’organes biologiques comme les reins et les muscles mais aussi pour des applications biotechnologiques telles que les appareils d’h´emodialyses [6], d’h´emofiltrations ou bien dans les syst`emes d’oxyg´enation extra-corporelle.

Autant pour les ´echangeurs de mati`ere que dans le contexte thermique, les ´echanges sont le r´esultat d’un processus qui couple les ph´enom`enes de convection et de diffusion n’impliquant aucun contact direct entre le fluide entrant et le fluide sortant pour des raisons ´evidentes de contaminations. Il est possible de trouver de nombreux exemples industriels de tels appareils comme les radiateurs, les condensateurs, les ´evaporateurs, les appareils de pr´echauffage de l’air, les cellules de refroidissement telles que les mem-branes d’oxyg´enation extra-corporelle et les micro-filtreurs pour le sang [7]. On trouve dans les ´echangeurs une configuration g´en´erique, bien que non syst´ematique, qui est celle des ´ecoulements parall`eles. C’est cette classe d’´echangeurs que nous allons consid´erer, avec l’hypoth`ese o`u il n’y a pas de variations longitudinales de la vitesse le long de l’´echangeur. Ce type d’´echangeurs a ´et´e ´etudi´e depuis longtemps par la communaut´e des ther-miciens. Un important corpus de mod´elisation existe sur l’´elaboration et le design des ´echangeurs thermiques bas´ee sur des bilans locaux permettant de d´eriver des mod`eles uni-(ou parfois multi)-dimensionnels, comme longuement d´etaill´e dans le livre [3]. Ce type de m´ethodes qui sont des g´en´eralisations multidimensionnelles de mod`eles de r´esistances thermiques locales n’ont cependant pas d’assise th´eorique forte, bien qu’ils permettent des dimensionnements utiles pour les applications et relativement efficaces. Ces mod`eles, sont a priori valides lorsque les parois solides entre les sections fluides convectives sont peu ´epaisses et sont parfois appel´es ”fin analysis method” dans la litt´erature. La pr´ecision m´ediocre de leurs pr´edictions peut souvent ˆetre compens´ee par le calage exp´erimental de certains param`etres [8, 9].

En dehors des pr´edictions propos´ees dans ces mod`eles, des travaux exp´erimentaux ont aussi permis d’´evaluer directement l’effet des couplages transverses entre fluide et so-lide. Dans le cadre de l’analyse du transfert dans les microcanaux avec diff´erents ´el´ements chauffants, des dimensions vari´ees ainsi que des fluides porteurs diff´erents ont ´et´e fabriqu´es et test´es exp´erimentalement, comme d´etaill´e en [8] ou dans les travaux de [10–15]. Depuis la fin des ann´ees 1980 d’autres approches ont pris le relais, bas´ees sur le calcul num´erique des syst`emes complets parmi lesquels on peut par exemple citer [16–18]. Ces travaux de simulations sont parfois men´es en parall`ele avec des validations exp´erimentales [19, 20]. Wesberg et al. [16] ont, par exemple, consid´er´e une simulation num´erique 2D plei-nement d´evelopp´ee thermiquement et hydrodynamiquement, dans un microcanal. Fedorov and Viskanta [17] ont effectu´e des calculs 3D sans l’approximation d’un r´egime pleinement

d´evelopp´e. Plus r´ecemment, des simulations 3D par diff´erences finies ont ´et´e men´ees [19] afin de mod´eliser les ´echanges pour un canal de section rectangulaire. Le chauffage par le bas du solide dans lequel est plong´e ce canal est mod´elis´e par un flux uniforme. Les autres conditions aux limites sont un flux lat´eralement adiabatique, un profil de temp´erature im-pos´e en entr´ee fluide, et des conditions de diffusions longitudinales nulles imim-pos´ees en sortie fluide. Ces simulations ont ´et´e compar´ees avec succ`es `a des mesures exp´erimentales en [19], ce qui valide a posteriori l’int´erˆet et la validit´e des conditions aux limites choisies. Des hypoth`eses et r´esultats similaires ont aussi ´et´e obtenus dans des canaux parall`eles [14, 20]. Dans les deux cas [14, 19, 20], les profils de temp´erature, le flux et le nombre de Nusselt (le flux adimensionn´e par la temp´erature moyenne) calcul´es montrent une variation rapide en entr´ee qui relaxe sur quelques sections des canaux fluides, dans la direction longitudinale, vers une valeur constante. Ces r´esultats indiquent, par analogie avec le mod`ele de Graetz, qu’il semble aussi exister une distance longitudinale typique sur laquelle les principaux ´echanges se produisent dans ce type de configuration.

En effet, dans le mod`ele de Graetz , il existe une infinit´e de modes de relaxation expo-nentielle de la temp´erature. Cependant, au bout d’une certaine distance de l’entr´ee, seul le premier mode de relaxation exponentielle de la temp´erature persiste : c’est ce que l’on appelle le r´egime pleinement d´evelopp´e de Graetz. On peut alors montrer que les ´echanges, dans le tube, vont aussi principalement s’effectuer sur une distance ` de l’ordre de l’inverse de la premi`ere valeur propre de Graetz ` _{∼ 1/λ}1. En pr´esence d’un chauffage uniforme

comme dans [19, 20], un transfert constant (et faible vis `a vis de qu’il peut ˆetre dans la r´egion d’entr´ee) va persister, dans la direction longitudinale, au-del`a de `∼ 1/λ1. Ainsi,

si l’analogie avec le probl`eme de Graetz est correcte, la performance d’un ´echangeur, sera fortement reli´ee au rapport entre la longueur longitudinale de celui-ci et une certaine lon-gueur caract´eristique qu’il faudrait ˆetre capable de calculer.

Un des principaux buts de ce travail de th`ese est de montrer que cette analogie est parfai-tement justifi´ee, de d´etailler les raisons math´ematiques qui justifient une telle extension, de proposer les formulations num´eriques et d’impl´ementer les m´ethodes qui permettent de calculer ces modes de Graetz g´en´eralis´es dans des configurations complexes d’´echangeurs. Bien que des solutions num´eriques alternatives `a la d´ecomposition spectrale en modes de Graetz propos´ees dans ce travail soient aujourd’hui possibles par des calculs 3D en diff´erences finies ou ´el´ements finis, il y a un avantage certain `a une telle approche. En premier lieu, elle permet de r´eduire la dimension du probl`eme de 3D `a 2D. En second lieu, elle apporte des informations cl´es sur les modes et longueurs caract´eristiques qui permettent a prioride beaucoup mieux anticiper les dimensionnements et optimiser des ´echangeurs complexes.

La recherche de configurations optimales pour les ´echangeurs parall`eles est un probl`eme qui a attir´e l’attention de nombreux auteurs [3–6, 21–28] car elle a un int´erˆet applicatif fort. Cependant, la plupart de ces travaux recherchent des configurations optimales par des ´etudes param´etriques syst´ematiques, et pas par une optimisation num´erique `a partir du calcul de d´eformations infinit´esimales des configurations. L’´etude param´etrique que nous menons dans le chapitre 4 se fait d’ailleurs dans cet esprit. Mais il est int´eressant de mentionner que la d´ecomposition en modes de Graetz g´en´eralis´es offre d’autres pers-pectives pour l’´elaboration de strat´egies de d´eformations plus modernes et performantes, comme cela a ´et´e r´ecemment ´etudi´e dans [29].

Dans des travaux pr´ec´edents, une d´ecomposition similaire `a la d´ecomposition de Graetz a ´et´e utilis´ee pour r´esoudre des transferts stationnaires dans des ´echangeurs [22, 30–32].

Ap-pliquer la d´ecomposition de Graetz permet d’obtenir des solutions ´el´egantes et compactes. De plus, la famille de modes exponentiellement d´ecroissants obtenue permet d’´etablir une hi´erarchie de ces modes dans le cas de configurations pleinement d´evelopp´ees [30]. Cepen-dant, il existe un certain nombre de limitations qui empˆechent l’utilisation syst´ematique et intensive d’une telle d´ecomposition dans le cas de configurations plus r´ealistes :

1. Il est plus simple d’utiliser cette d´ecomposition dans le cas de situations o`u les effets convectifs dominent (le nombre de P´eclet est ´elev´e) [22, 30]

2. L’utilisation de cette d´ecomposition a ´et´e restreinte `a des configurations bidimen-sionnelles [22, 33] ou concentriques [30, 32, 33]

3. Cette configuration a ´et´e utilis´ee seulement pour des conditions aux limites lat´erales impos´ees de type Dirichlet constantes ou constantes par morceaux [31, 32] ou de type Neumann homog`ene adiabatique [30].

4. Les conditions d’entr´ee/sortie sont g´en´eralement consid´er´ees comme des champs de temp´erature uniforme [22, 30–32] sans pour autant consid´erer le possible couplage entre les conditions d’entr´ee et sortie.

La limitation (1) peut ˆetre d´epass´ee en consid´erant le ”jeu” appropri´e de modes or-thogonaux comme l’a not´e en premier [34], si bien que la diffusion axiale peut ˆetre incluse dans le cas de probl`emes co-courant ou contre-courant. N´eanmoins, la limitation (2) a ´et´e d´epass´ee seulement r´ecemment par [35] pour des ´echangeurs infinis avec des conditions lat´erales de type Dirichlet ou bien encore dans le cas d’´echangeurs de taille finie par [36], l`a encore pour des conditions limites de type Dirichlet homog`ene sur la surface externe solide. Nous voulons par ces travaux contribuer `a surmonter la restriction (3). Dans le cha-pitre 3, nous allons fournir la th´eorie math´ematique n´ecessaire pour permettre l’utilisation de la d´ecomposition de Graetz g´en´eralis´ee pour des conditions lat´erales quelconques. Pour comprendre que la restriction (3) est importante pour les applications, il est int´eressant de mentionner que la litt´erature sur les ”heat-pipes” a consid´er´e un certain nombre de conditions aux limites lat´erales [32–34, 37–39].

Parmi celles-ci citons, un profil uniforme de temp´erature dans les directions transverses et longitudinales, ou bien un profil uniforme le long de la direction longitudinale seulement, des conditions aux limites radiatives, un flux uniforme ou exponentiellement d´ecroissant suivant la coordonn´ee longitudinale. Il est int´eressant de mentionner que cette derni`ere condition au limite permet de prendre en compte une partie du couplage convecto-diffusif entre le fluide et le solide, d´ecrit par les modes de Graetz pleinement d´evelopp´es qui sont justement des solutions exponentiellement d´ecroissantes [40, 41].

Par cons´equent, chacune des conditions n´ecessite un traitement th´eorique au cas par cas sans aucun cadre th´eorique g´en´eraliste qui puisse d´ecrire le couplage complet entre la convection au sein du fluide et la diffusion dans la partie solide.

Dans ce travail, nous tˆachons de fournir un tel cadre th´eorique pour n’importe quel ”jeu” de profil de temp´erature prescrit ou de flux appliqu´e sur la fronti`ere externe solide de l’´echangeur. Ces travaux sont l’extension de deux pr´ec´edentes contributions qui ont per-mis de g´en´eraliser la d´ecomposition standard de Graetz des modes propres `a n’importe configuration possible suivant la direction transverse, tandis qu’il y a invariance longitu-dinale, et qui sont d´etaill´ees au chapitre 2.

1.3

Contexte bibliographique du transport

instation-naire et de la dispersion de Taylor

Le m´elange d’un traceur dans un ´ecoulement fluide confin´e au sein d’une cavit´e est r´egi par le ph´enom`ene de dispersion de Taylor. Ce m´ecanisme de m´elange est le plus commun pour ce genre de configurations. Il r´esulte de la combinaison des effets de la convection longitudinale du fluide avec la diffusion mol´eculaire du traceur par rapport `a la direction transversale `a l’´ecoulement. Comprendre et quantifier ce ph´enom`ene est important dans la mesure o`u les applications faisant intervenir la dispersion d’une substance dans un ´ecoulement au sein d’un canal ou d’une autre g´eom´etrie sont nombreuses et importantes : microm´elangeurs, micropompes, processus de s´eparation tel que la chromatographie et s´equen¸cage de l’ADN [42], convection de chaleur dans des canaux confin´es, transport de nutriments dans les vaisseaux sanguins, dispersion dans les milieux poreux, propagation d’un contaminant dans les nappes phr´eatiques, ´ecoulement au sein de fracture...

G.I. Taylor fut l’un des premiers `a ´etudier le ph´enom`ene de dispersion d’un solut´e dans un ´ecoulement stationnaire au sein d’un tube, mettant ainsi en ´evidence le ph´enom`ene portant son nom [2]. De ces travaux ont ´emerg´e un grand nombre d’´etudes balayant diff´erentes configurations hydrodynamiques visant `a montrer l’impact sur la dispersion du traceur au travers de son coefficient de dispersion effectif. Cette litt´erature est telle-ment abondante qu’il serait utopique de viser `a l’exhaustivit´e bibliographique mais nous tenterons plutˆot de cibler notre attention sur les r´ef´erences les plus directement reli´ees `a nos pr´eoccupations. Ainsi, Aris ajouta `a l’´ecoulement de base stationnaire utilis´e par Taylor un ´ecoulement puls´e, et montre que l’oscillation change faiblement le coefficient de dispersion [43] . Smith [44] consid`ere, quand `a lui, l’influence de plusieurs modes os-cillants. Il montre que le coefficient de dispersion apparent peut devenir n´egatif quand le temps de diffusion mol´eculaire transverse est plus faible qu’une p´eriode d’oscillation. Chatwin [45] traite ´egalement le cas d’´ecoulements oscillants. Il montre que le coefficient effectif de diffusion est une fonction qui comprend des termes harmoniques en temps. Ces derniers peuvent avoir un effet notable sur la dispersion dans des cas particuliers. Bowden [46] s’int´eresse aux ´ecoulements cisaill´es en milieu ouvert dans le cas des mers et oc´eans. Il montre que les courants de mar´ee g´en`erent une diffusion effective horizontale par combinaison des gradients verticaux des champs de vitesse et de la turbulence verticale. Suivant les gradients de densit´e mis en jeu, cette dispersion peut ˆetre importante. D’autres auteurs se sont int´eress´es `a l’influence de la g´eom´etrie du domaine sur la dispersion du traceur. Ainsi on retrouve de nombreux travaux portant sur des tubes [2, 43, 47, 48], des canaux invariants longitudinalement [49, 50], [51] des canaux rectangulaires [52, 53] ou des canaux longitudinalement variables [1]. Rosencrans [51] montre qu’il existe des confi-gurations de canaux plats `a bord variables qui diminue la dispersion effective plutˆot qu’ils ne l’augmentent, contrairement `a l’effet souhait´e de la dispersion de Taylor. On trouve aussi nombre d’´etudes sur des milieux poreux p´eriodiques parmi lesquelles [54, 55] ainsi que sur des canaux convergents et divergents [1, 56, 57].

Certains travaux [49, 51] ont montr´e que des variations, mˆemes faibles, des bords ext´erieurs du domaine transverses `a l’´ecoulement pouvaient modifier fortement le coefficient effectif de dispersion dans le cas d’un canal longitudinalement invariant. Cela peut ˆetre expliqu´e par les variations de la vitesse au sein des couches limites qui se d´eveloppent pr`es des parois. Comme le traceur est pi´eg´e dans ces zones de stagnation, il peut fortement

aug-menter la queue de distribution de la concentration aux temps longs, donc influencer la variance et donc la dispersion apparente.

Il apparaˆıt donc que les variations de l’´epaisseur d’un canal peut influer dans la dis-persion du traceur et donc jouer un rˆole dans la disdis-persion de Taylor.

C’est dans ce cadre que s’inscrit cette contribution `a la dispersion de Taylor. Notre but est de comprendre comment la dispersion longitudinale, et ´eventuellement la dispersion trans-verse, peuvent ˆetre affect´ees par la forme variable d’un canal dont la section transtrans-verse, et la hauteur varient dans la direction longitudinale.

1.4

Organisation du manuscrit

Dans ce document, nous allons privil´egier, dans la r´edaction, la description des r´esultats th´eoriques et leurs applications num´eriques plutˆot que la d´erivation math´ematique compl`ete de ces r´esultats. Nous renvoyons le lecteur `a consulter les diff´erents travaux ´etablissant ces preuves qui sont r´edig´es dans les publications soumises o`u en cours de soumission en fin des chapitres trois et quatre.

Le second chapitre a pour but de pr´eparer les concepts et les outils qui seront utilis´es dans les chapitres ult´erieurs. Nous traitons, pour commencer, le probl`eme de transfert stationnaire dans un tube cylindrique que l’on appelle le probl`eme de Graetz par une discussion pr´ecise de l’´etat de l’art sur lequel ce travail est fond´e. Ceci nous permettra de mettre en place le formalisme math´ematique donnant, entre autre, l’expression du champ de temp´erature et les flux de chaleurs ´echang´es dans des configurations tubulaires infinies, semi-infinies et finies `a l’aide de ce que nous appellerons, par la suite, une repr´esentation par d´ecomposition sur les modes de Gaetz g´en´eralis´es. A la fin de ce second chapitre, nous d´ecrirons la formulation variationnelle associ´ee que nous avons impl´ement´ee avec l’outil ´el´ements finis FreeFem++.

Dans le troisi`eme chapitre, nous montrons comment ´etendre l’utilisation des modes de Graetz g´en´eralis´es `a des conditions lat´erales g´en´erales impos´ees `a la p´eriph´erie des tubes, en fixant des conditions de Dirichlet en entr´ee/sortie. Des expressions th´eoriques sont ´etablies pour des conditions de Dirichlet et Neumann non homog`enes. Une attention par-ticuli`ere est port´ee sur le cas Neumann homog`ene. Ces ´etudes sont men´ees pour des tubes infinis, semi-infinis et finis. La convergence num´erique des solutions est ´etudi´ee.

Dans le chapitre quatre nous ´etendons l’´etude `a des conditions d’entr´ee/sortie beaucoup plus g´en´erales. Une nouvelle strat´egie pour le calcul des modes de Graetz g´en´eralis´es est propos´ee `a partir de la minimisation d’une fonctionnelle associ´ee aux conditions d’entr´ee/sortie. On consid`ere alors les configurations dans un ordre croissant de com-plexit´e, de la plus simple pour un ´echangeur fini avec conditions aux limites impos´ees au bord, `a des couplages multiples avec des tubes amonts et avals. Le formalisme propos´e et les syst`emes lin´eaires qui en d´ecoulent sont d´etaill´es `a chaque ´etape. La convergence num´erique est test´ee sur des cas de r´ef´erence axisym´etrique. La fin du chapitre montre l’ap-plication de la m´ethode `a un ´echangeur contre-courant ´equilibr´e pour lequel nous mettons en ´evidence la dominance du premier mode de Graetz g´en´eralis´e sur les variations longi-tudinales. Enfin, une ´etude param´etrique syst´ematique est men´ee `a la fois pour montrer l’efficacit´e de la m´ethode et pour explorer les caract´eristiques compl`etes de l’´echangeur

vis-`a-vis des conditions d’entr´ees, des conditions hydrodynamiques, et des caract´eristiques physiques consid´er´ees.

Le dernier chapitre aborde le ph´enom`ene de dispersion de Taylor dans des g´eom´etries com-plexes. Nous d´erivons les ´equations aux temps longs par l’approche classique de Taylor, et discutons le cas 2D dans le cadre des pr´ec´edentes contributions de la litt´erature. Nous impl´ementons ensuite les ´equations moyennes par une formulation ´el´ements finis dot´ee d’un sch´ema en temps du premier ordre. Nous validons le choix de discr´etisation spatio-temporelle pour des g´eom´etries bidimensionnelles. Enfin, nous montrons des r´esultats pour le cas tridimensionnel.

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Chapitre 2

´

Etat de l’art et m´

ethodologie

Contents

2.1 Introduction au probl`eme de Graetz classique . . . 25

2.2 Le probl`eme physique . . . 28

2.3 Le probl`eme de Graetz g´en´eralis´e . . . 29

2.3.1 Reformulation . . . 29

2.3.2 Application : cas d’un tube infini, condition lat´erale Dirichlet de type saut . . . 31

2.4 Tubes semi-infinis et finis avec condition d’entr´ee/sortie

Di-richlet . . . 32

2.4.1 Tubes semi-infinis . . . 32

2.4.2 Tubes finis . . . 33

2.4.3 Calcul des modes de Graetz g´en´eralis´es . . . 35

Bibliographie . . . 37

2.1

Introduction au probl`

eme de Graetz classique

L’origine du probl`eme de Graetz est l’´etude de transferts de chaleur et l’´etablissement de profils de temp´erature d’un ´ecoulement fluide laminaire en convection forc´ee dans une conduite/tube en r´egime stationnaire [1], [2]. La temp´erature de la paroi du tube est diff´erente de celle `a laquelle le fluide rentre, engendrant ainsi des ´echanges thermiques entre le fluide et la paroi. De plus, dans l’approximation historique de Graetz, la diffusion de la chaleur dans la direction de l’´ecoulement est n´eglig´ee. Dans cette configuration on parle alors du probl`eme de Graetz classique, relatif `a des g´eom´etries axisym´etriques (plans parall`eles, tubes).

Il existe deux d´eclinaisons de cette forme classique, permettant ainsi de mod´eliser des probl`emes de transferts de chaleur dans des cas applicatifs plus complexes.

La premi`ere est celle o`u l’on ne peut plus n´egliger la conduction thermique axiale. Le nombre de P´eclet de l’´ecoulement est alors modeste (typiquement de l’ordre de l’unit´e), et les effets conductifs ne peuvent plus ˆetre n´eglig´es compar´es aux effets convectifs dans les transferts thermiques. C’est par exemple le cas de m´etaux liquides, employ´es dans l’industrie sid´erurgique durant les processus de formages, qui sont fortement visqueux et donc peu convect´es. On parle alors de probl`eme de Graetz ´etendu [3] [4] [5].

un domaine solide, dans lesquels s’´ecoulent des fluides qui peuvent aller dans le mˆeme sens ou dans des directions oppos´ees. On parle alors du probl`eme de Graetz conjugu´e [6] [7] [8]. Cette situation est celle que l’on rencontre le plus souvent en pratique. Une des appli-cations les plus importantes est celle des ´echangeurs thermiques que nous avons d´ej`a abord´ees dans l’introduction.

Consid´erons le cas classique du probl`eme de Graetz. On note r la coordonn´ee radiale et z la coordonn´ee longitudinale toutes deux adimensionn´ees par le rayon R d’un tube, T (r, z) le champ de temp´erature adimensionn´e par une temp´erature de r´ef´erence en entr´ee, et U la vitesse moyenne de convection qui sert `a adimensionner la vitesse v(r) dans la direction longitudinale z. L’´equation de l’´energie s’´ecrit alors :

1

r∂r(r∂rT ) = P e v(r)∂zT

o`u P e = 2U R/D est le nombre de P´eclet de notre probl`eme (le rapport entre le temps de diffusion thermique et le temps de convection thermique) et v(r) = 2(1− r2_{) est la vitesse}

du fluide qui est, dans le cas choisi par Graetz, celle d’un profil parabolique de Poiseuille. Une m´ethode souvent utilis´ee pour d´ecrire le champ de temp´erature dans la formulation classique du probl`eme de Graetz est de chercher une solution `a variables s´eparables, qui conduit `a un champ de temp´erature exponentiellement variable dans la direction longitudinale :

T (r, z) =X

λ∈Λ

cλTλ(r)eλz (2.1)

Il faut alors d´eterminer les valeurs propres λ (qui appartiennent `a R− _{pour conduire aux}

seules exponentielles d´ecroissantes admissibles) et les fonctions propres Tλ pour pouvoir

ensuite calculer classiquement [9] les coefficient associ´es aux amplitudes des modes cλ.

Les modes Tλ v´erifient alors :

1 r d dr  rdTλ dr  = λvTλ (2.2)

ce qui permet la d´efinition des fonctions propres et des valeurs propres. Les propri´et´es math´ematiques du probl`eme 2.2 justifient l’´ecriture sous la forme d’une somme du champ de temp´erature vu dans 2.1. Les coefficients cλ peuvent ˆetre facilement d´etermin´es en

projetant la condition d’entr´ee en z = 0 not´ee T0(r) sur chacun des modes Tλ via le

produit scalaire dans L2 _:

cλ =

Z R 0

T0Tλrdr (2.3)

rendu possible par l’axisym´etrie de T0.

Cependant ces diff´erentes ´etapes ne sont plus r´ealisables lorsque l’on passe aux exten-sions du probl`eme de Graetz. Si l’on consid`ere le probl`eme conjugu´e, il faut ´egalement prendre en compte l’´equation de l’´energie au sein de la partie solide. Nous avons deux ´equations li´ees par des conditions de couplage aux interfaces des domaines fluides/solides. La premi`ere concerne la partie fluide :

1

et la seconde concerne la partie solide : 1

r∂r(r∂rTλ) = −λ

2_∂ zTλ

On voit donc apparaˆıtre une forme quadratique concernant les valeurs propres pour cette derni`ere ´equation. Le probl`eme conjugu´e n’est alors plus un probl`eme aux valeurs propres sur tout le domaine.

Concernant le probl`eme ´etendu de Graetz, certaines propri´et´es math´ematiques ne sont plus exactes, si bien que l’´ecriture de la solution (2.1) n’est plus possible. En effet, la conduction axiale permet la diffusion de chaleur pour z < 0 ce qui doit alors entraˆıner l’apparition de valeurs propres positives.

Nous avons donc dans les deux cas un probl`eme pour trouver et d´efinir les bonnes va-leurs/fonctions propres qui permettent de d´ecrire une solution du type ( 2.1).

De nombreux travaux sur les extensions du probl`eme de Graetz s’affranchissent de cette difficult´e et continuent de chercher des solutions `a variables s´eparables [10, 11]. Ils rencontrent alors des difficult´es pour calculer les coefficients cλ et les fonctions propres

qu’ils obtiennent ne sont plus orthogonales [3].

Certains choisissent alors de r´e-orthogonaliser les fonctions propres obtenues lors du calcul num´erique [12–14], mais cela peut conduire `a des probl`emes de convergence. Il se pose ´egalement la question de la condition d’entr´ee impos´ee T0. Elle est souvent consid´er´ee

comme uniforme, ce qui n’est plus envisageable dans le cas du probl`eme de Graetz ´etendu [15].

Les travaux de Papoutsakis and Ramakrishna [16–18] ont permis de lever certaines dif-ficult´es mentionn´ees ici dans le cas particulier d’un tube poss´edant une paroi solide. La m´ethode employ´ee ajoute une inconnue au probl`eme, le flux de temp´erature, permet-tant de d´efinir un syst`eme de deux ´equations diff´erentielles coupl´ees du premier ordre. L’op´erateur qui s’en d´egage est auto-adjoint vis-`a-vis d’un certain produit scalaire, ce qui a permis aux auteurs de justifier la pr´esence d’un spectre discret sur <sub>R dont les valeurs</sub> propres n´egatives et positives permettent de d´ecrire des modes amonts et avals. Bien que cette m´ethode ait ´et´e employ´ee dans diff´erents travaux ult´erieurs [19–21], il n’en reste pas moins que certaines propri´et´es math´ematiques n’ont toujours pas ´et´e ´etablies, pour pleinement justifier la d´ecomposition du champ de temp´erature en (2.1), ce qui, dans la pratique, n’est cependant pas r´edhibitoire. De plus, les solutions propos´ees prennent seulement en compte que des configurations g´eom´etriques sym´etriques et le cas conjugu´e reste lourd `a traiter.

Ces points ´epineux ont ´et´e trait´es dans le travail de Pierre et Plourabou´e [22]. Ces derniers utilisent en effet une id´ee proche de celle initialement propos´ee par Papoutsakis et al., en rajoutant une inconnue au probl`eme de Graetz g´en´eralis´e pour le ramener `a une ´equation du premier ordre ´ecrite sur un nouvel op´erateur. Cependant, le cadre th´eorique propos´e par [22] est beaucoup plus large et permet d’envisager toute g´eom´etrie (suffisamment r´eguli`ere), par exemple non-axisymm´etrique. Le grand avantage pratique de cette formu-lation est de permettre un calcul analytique de la d´ependance longitudinale de la solution, sous forme d’exponentielles d´ecroissantes dans le cas de conditions de Dirichlet aux bords lat´eraux consid´er´es par [22]. Le probl`eme num´erique `a traiter est alors ramen´e `a un calcul

bidimensionnel. C’est dans ce cadre que nous allons nous placer par la suite pour ´etendre cette approche `a des situations plus complexes et plus proches des applications, tout en permettant de r´eduire le probl`eme 3D complet `a une formulation 2D semi-analytique.

2.2

Le probl`

eme physique

Nous d´efinissons dans cette section le probl`eme physique g´en´eral qui sera l’objet d’´etude des chapitres 3 et 4.

Nous consid´ererons ici le probl`eme du transport stationnaire de temp´erature T (ou de chaleur) dans un ´echangeur thermique par convection/diffusion.

La g´eom´etrie de l’´echangeur sera du type Ω × I, o`u Ω ⊂ R2 _{repr´esente la section}

de l’´echangeur (son extension transverse) tandis que I ⊂ R est un intervalle ´egal `a son extension longitudinale. L’intervalle I sera soit born´e, I = (0, L), soit I = (0, +_{∞) soit} I =R et l’on parlera respectivement de cas fini, semi-infini et infini.

Un point M ∈ Ω × I a pour coordonn´ees M = (ξ, z) : la coordonn´ee longitudinale sera not´ee z _{∈ I alors que la coordonn´ee transverse sera not´ee par le vecteur ξ = (x, y) ∈ Ω.} Le gradient transverse∇ξ ainsi que la divergence transverse divξ seront simplement not´es

∇ = ∇ξ et div = divξ.

Nous faisons les hypoth`eses physiques suivantes sur la convection et la diffusion :

– La g´eom´etrie de l’´echangeur est Ω_{× I. La section transverse Ω sera arbitraire,} po-tentiellement compos´ee de plusieurs phases fluides et solides, pouvant ainsi prendre en consid´eration des ´ecoulements co- ou contre-courant. L’extension longitudinale pourra soit ˆetre un intervalle fini I = (0, L), soit semi-infini I = (0, +_{∞) : on parlera} respectivement de configuration finie et semi-infinie.

– La convection est d´ecrite par le champ de vitesse v = v(ξ)ez : nous consid´erons

donc des ´ecoulements laminaires pleinement ´etablis et invariants dans la direction longitudinale. Ceci est compatible avec des configurations g´en´erales portant sur des ´ecoulements de gaz ou de fluides dans des conduites de forme arbitraire (du type Ω× I). Par convention on prendra v = 0 dans les parties solides de l’´echangeur. Math´ematiquement, la seule restriction impos´ee `a v(ξ) sera d’ˆetre born´ee.

Par exemple pour un ´ecoulement laminaire dans un tube cylindrique, et pour une large gamme du nombre de Reynolds, le champ de vitesse a une forme parabolique dite de Poiseuille. Pour des tubes de g´eom´etrie plus complexe, par exemple hexa-gonale comme dans [23], le champ de vitesse est prescrit par une simple ´equation elliptique d´ecrivant le for¸cage de la vitesse longitudinale par le gradient de pression longitudinal, tel que pr´esent´e dans [24] :

div(_{∇v) = C} avec C = ∂zp/µ.

– La conductivit´e thermique k sera suppos´ee isotrope (k est donc scalaire) et ind´ependante de z. Cependant k pourra varier dans la direction transverse, k = k(ξ), avec pour seule contrainte math´ematique que la fonction k : Ω 7→ R soit born´ee avec k(ξ) _{≥ k}m > 0. Typiquement k sera prise constante dans chacun des diff´erents

mat´eriaux composant l’´echangeur (conductivit´es des parties fluides et solides) mais sera possiblement discontinue `a l’interface entre ces mat´eriaux.

Sous ces hypoth`eses, l’´equation constitutive pour le probl`eme de convection diffusion stationnaire dans l’´echangeur est la suivante :

div(k∇T ) + k∂2

zT = v∂zT (2.4)

Nous rappelons les deux hypoth`eses math´ematiques sur les donn´ees :

v ∈ L∞(Ω), k∈ L∞(Ω) et 0 < km ≤ k(x) ≤ kM, x∈ Ω, (2.5)

aucune hypoth`ese de r´egularit´e suppl´ementaire ne sera n´ecessaire.

Les conditions limites que l’on devra ajouter `a (2.4) seront sp´ecifi´ees par la suite, nous ferons la distinction entre les conditions lat´erales (sur la partie du bord ∂Ω_{× I) et les} conditions d’entr´ee/sortie (sur Ω_{× {0} et Ω × {L} ).}

2.3

Le probl`

eme de Graetz g´

en´

eralis´

e

Comme dans l’approche classique de la section 2.1, nous cherchons des solutions `a l’´equation (2.4) sous la forme (2.1) que nous rappelons :

T (ξ, z) =X

λ∈Λ

cλTλ(ξ)eλz

o`u Λ est un spectre dont les ´el´ements λ sont les modes propres, les Tλ des fonctions

propres associ´ees `a ces modes et les coefficients cλ des scalaires. La coordonn´ee radiale r

est ici remplac´ee par la coordonn´ee transverse not´ee ξ. On parlera de modes de Graetz g´en´eralis´es pour parler du couple λ, Tλ.

En injectant (2.1) dans (2.4) on obtient l’´equation satisfaite par les modes de Graetz g´en´eralis´es :

λ2Tλ + div(k∇Tλ) = λvTλ (2.6)

2.3.1

Reformulation

Les modes de Graetz g´en´eralis´es ne sont donc pas solutions d’un probl`eme spectral au sens classique. Les fonctions propres n’ont pas de propri´et´es d’orthogonalit´ees ´evidentes contrairement aux fonctions de Graetz dans le cas classique. En particulier, il n’est pas ais´e de d´efinir simplement les coefficients cλ ici, alors que dans le cas du probl`eme de

Graetz classique ils ´etaient donn´es par un simple produit scalaire (2.3). Ces questions sont d´etaill´ees dans le chapitre d’introduction 1.

Nous rappelons bri`evement la reformulation de ce probl`eme introduite dans [22] dans le but de d´efinir des solutions `a variables s´epar´ees. Elle se base sur l’´etude de l’op´erateur non born´e A sur l’espace de Hilbert _{H :}

H = L2(Ω)_{× [L}2(Ω)]2

muni du produit scalaire (´equivalent au produit L2 _{standard),∀ Ψ}

i = (fi, pi) ∈ H, i = 1, 2 : (Ψ1|Ψ2)_H = Z Ω f1f2k(x)dx + Z Ω p1· p2k−1(x)dx (2.7)

Cet op´erateur A ayant pour domaine D(A) :

A : D(A)⊂ H 7→ H , D(A) = H1_{(Ω)× H} div(Ω)

et est d´efini ainsi :

∀ (s, q) ∈ D(A) , A(s, q) = (k−1vs− k−1div q, k∇s) En notation matricielle, l’op´erateur A s’´ecrit :

A = 

k−1_{v −k}−1_div

k∇ 0



L’op´erateur A permet de reformuler (2.4) de la fa¸con suivante :

Soit z ∈ I 7→ ψ(z) = (T (z), q(z)) ∈ H une fonction diff´erentiable selon z telle que ∀ z ∈ I, ψ(z) ∈ D(A) et :

d

dzψ(z) = Aψ(z) (2.8)

alors T est une solution de (2.4) avec k∇T = ∂zq.

L’´equivalence entre la formulation (2.4) et sa reformulation (2.8) est d´etaill´ee dans [25]. Notamment, si ψ(z) = (T (z), q(z)) est solution de (2.8) alors z _{7→ T (z) n’est d´erivable} qu’une fois en norme L2 _{(qui est la norme de H), de sorte que ∂}2

zT a un sens faible (sens

des distributions) et que T n’est aussi qu’une solution faible de (2.4).

Cette reformulation (2.8) permet la d´efinition de solutions `a variables s´epar´ees (2.1). La d´efinition du spectre Λ dans (2.1) se fait relativement `a une condition aux limites sur le bord ∂Ω de la composante transverse.

Dans les articles [22] et [26], o`u est introduite cette reformulation, une condition de Dirichlet est consid´er´ee et l’on d´efinit une restriction A de l’op´erateur A :

A : D(A)⊂ H → H avec D(A) ⊂ D(A) et on a donc A = A sur D(A).

Pour une condition de Dirichlet sur ∂Ω on consid`ere : D(A) = H₀1(Ω)_{× H}div(Ω)

(H1

0(Ω) est l’espace des fonctions de H1(Ω) nulle au bord).

Dans [22] il est montr´e que l’op´erateur A est auto adjoint et de r´esolvante compacte. Il est de plus montr´e que le spectre Λ de l’op´erateur A se d´ecompose en un double ensemble de valeurs propres positives et n´egatives : Λ = (λn)n∈Z?,

−∞ ←−

n→+∞ λn≤ · · · ≤ λ1 < 0 < λ−1 ≤ · · · ≤ λ−nn−→→+∞+∞ (2.9)

les valeurs propres n´egatives ´etant qualifi´ees de modes avals et les positives de modes amonts.

Les fonctions propres associ´ees Ψn = (Tn, k∇Tn/λn), par cons´equent d´efinies par le

probl`eme spectral :

AΨn = λnΨn

forment un syst`eme orthogonal complet (base de Hilbert) de l’image de A. Les Tnassoci´es

aux fonctions propres Ψn sont pr´ecis´ement les modes propres de Graetz g´en´eralis´es dans

Ces propri´et´es spectrales ont ´et´e ensuite ´etendues au cas Neumann dans [25]. Ces r´esultats sont d´etaill´es en section 3.1.2.

On adoptera par la suite les notations suivantes pour distinguer clairement les modes amonts et avals :

∀ n ∈ N?, T_n+= Tn, λ+n = λn et Tn− = T−n, λ−n = λ−n (2.10)

2.3.2

Application : cas d’un tube infini, condition lat´

erale

Diri-chlet de type saut

Une premi`ere application pratique de l’utilisation des modes de Graetz g´en´eralis´es est pr´esent´ee dans [22]. Elle concerne un probl`eme en domaine infini Ω×R pour une condition limite sur ∂Ω× R de saut de temp´erature.

Nous reprenons le probl`eme (2.4) en se pla¸cant cette fois-ci dans un domaine semi-infini Ω× R avec une condition lat´erale de saut de la temp´erature en z = 0 :

∀ z ∈ ∂Ω : T (ξ, z) = 1 si z < 0 et T (ξ, z) = 0 si z > 0, et avec la condition suppl´ementaire :

T (ξ, z) _−→

z→−∞1 et T (ξ, z)z→+∞−→ 0

Le principe de r´esolution est d’utiliser la propri´et´e suivante de l’op´erateur A : ∀ Ψi = (si, qi)∈ D(A), i = 1, 2 : AΨ1|Ψ2
H = Ψ1|AΨ2
H+ Z ∂Ω s1q2· ndl − Z ∂Ω s2q1· ndl (2.11)

avec n le vecteur normal unit´e ∂Ω se dirigeant en dehors de Ω.

On recherche une solution z_{→ Ψ(z) = (T (z), q(z)) `a dΨ/dz = AΨ sous la forme :}

Ψ(z) = X

n∈Z?

dn(z)Ψn

On peut calculer `a l’aide de (2.11) le produit AΨ,|Ψn

H (o`u les Ψn sont les vecteurs

propres de A tels que Ψn = Ψn(ξ)) :

AΨ(z)|Ψn

H = λn(Ψ(z)|Ψn)H+ αnw(z) = λndn(z) + αnw(z)

avec w(z) = 0 pour z > 0 et w(z) = 1 pour z < 0 et avec les coefficients αn donn´es par :

αn= 1 λ2 n Z ∂Ω k_∇Tn· n ds, ∀n ∈ Z∗

Comme dΨ/dz = AΨ, on en d´eduit les ´equations satisfaites par les fonctions dn(z) :

d0

n(z) = λndn(z) + αnw(z).

Cette technique de r´esolution de (2.4) pour des conditions lat´erales fix´ees sera d´etaill´ee et ´etendue dans le chapitre suivant pr´ecis´ement en section 3.1.3.

Dans le cas pr´esentement ´etudi´e, la solution `a notre probl`eme est pr´esent´ee dans [22] comme : Ψ(z) =        −X n<0 αnψn + X n<0 αneλnzψn z ≤ 0 −X n>0 αneλnzψn z ≥ 0

En se restreignant `a la premi`ere composante de Ψ, on a :

T (z) =        1 +X n<0 αneλnzTn z ≤ 0 −X n>0 αneλnzTn z ≥ 0

Cette formulation permet de ramener l’´etude d’un probl`eme tridimensionnel `a un probl`eme bidimensionnel par l’´evaluation des valeurs et fonctions propres sur une coupe du domaine consid´er´e. On remarque ´egalement que ce sont les modes amonts qui constituent la solu-tion pour z ≤ 0 et les modes avals pour z ≥ 0. De plus, les coefficients des amplitudes sont facilement calculables par leur expression qui est simple et facile `a impl´ementer num´eriquement.

2.4

Tubes semi-infinis et finis avec condition d’entr´

ee/sortie

Dirichlet

Dans cette partie nous ´etendons dans un premier temps la discussion au cas de tubes semi-infinis puis, dans un second temps aux tubes finis. Pour cela nous allons nous appuyer sur les travaux de Fehrenbach et al. [26]. Le cadre th´eorique de d´epart est celui de [22]. L’apport de [26] est double. D’une part, il fixe un cadre th´eorique rigoureux afin de traiter les conditions d’entr´ee/sortie Dirichlet d’une part. D’autre part, il introduit les outils num´eriques pour l’approximation de ces probl`emes. Toujours sur le plan num´erique, une meilleure m´ethode d’estimation num´erique des modes de Graetz g´en´eralis´es Tn/λn y est

d´evelopp´ee. Ces d´eveloppements sont d´etaill´es dans les trois sections suivantes.

2.4.1

Tubes semi-infinis

Nous reprenons le probl`eme (2.4) en domaine infini Ω×(0, +∞) avec condition lat´erale de Dirichlet homog`ene :

T = 0 sur ∂Ω_{× (0, +∞)} et avec une condition d’entr´ee ´egalement de type Dirichlet :

T (ξ, 0) = E(ξ) pour ξ∈ Ω Dans toute la suite, on notera les modes propres avals (T+

n, λ+n) et les modes propres

amonts (T_n−, λ−_n) selon les notations (2.10) introduites plus haut. Nous chercherons une solution sous la forme :

T (ξ, z) = X

n∈N∗

on retrouve le formalisme employ´e dans la section pr´ec´edente `a ceci pr`es que seuls les modes Tn associ´es aux valeurs propres λn avals sont consid´er´es.

En recherchant la temp´erature T sous cette forme on doit avoir `a l’entr´ee :

E = X

n∈N∗

x+_nT_n+

Les travaux de Fehrenbach et al. [26] montrent pr´ecis´ement qu’il existe une unique suite scalaire X = (x+

n)n∈N∗ telle que E =P_n∈N∗x+nTn+.

Ces travaux pr´esentent ´egalement un mode op´eratoire pour le calcul des coefficients (x+

n)n∈N∗. Dans la pratique on calcule des approximations des N premiers coefficients (x+_n)

avec 1_{≤ n ≤ N. Pour ´etablir cette approximation on ne consid`ere que les N premiers} modes avals T+

n/λ+n de l’op´erateur A. On forme alors la matrice K++ de taille N× N et

dont les coefficients k++(i, j) sont donn´es pour 1≤ i, j ≤ N par :

k++(i, j) =

Z

Ω

T_i+T_j+dx

qui correspondent `a la projection des modes T_i+ les uns sur les autres. On forme aussi le vecteur b dont les N composantes sont les :

b(i) = Z

Ω

E T_i+dx, 1≤ i ≤ N

qui correspondent `a la projection de la condition d’entr´ee sur les diff´erents modes avals.

L’approximation XN de X est d´efinie comme l’unique solution du syst`eme (sym´etrique et

d´efini positif) :

K++XN = b (2.12)

Il est enfin prouv´e dans [26] que l’on a convergence XN → X lorsque N → +∞.

Pareillement, si l’on consid`ere l’approximation TN du champ de temp´erature T d´efinie

par :

TN = n=N_X

i=1

XN(i)+eλizTi+

alors on a aussi convergence de TN vers T quand N → +∞.

On retrouve ´evidemment la mˆeme formulation pour un tube semi-infini dans R−_{, en}

rempla¸cant + par− dans les formules pr´ec´edentes.

Pour terminer, nous avons pr´esent´e la m´ethode en faisant comme si les modes de Graetz g´en´eralis´es Tn/λn ´etaient connus, ce qui n’est pas le cas. Pour construire les

ap-proximations XN il nous faut `a la base disposer d’approximations num´eriques des valeurs

propres λn et des fonctions propres Tn associ´ees, pour 1≤ n ≤ N. Cette approximation

est pr´esent´ee dans la section 2.4.3.

2.4.2

Tubes finis

Nous reprenons le probl`eme (2.4) en domaine infini Ω× (0, +∞) avec une condition lat´erale de Dirichlet homog`ene :