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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Suites et séries de fonctions

Jean-Pierre Becirspahic

Lycée Marcelin Berthelot

(2)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Principe du recouvrement

Pour montrer que f est continue / dérivable / de classeCk sur un

inter-valle J , il suffit de montrer que f est continue / dérivable / de classe Ck

surtout segment[α, β] inclus dans J.

Variantes :

si J=]a, b ] on peut recouvrir par [α, b ] avec α > a ;si J= [a, b [ on peut recouvrir par [a,β] avec β< b ;

si J=]a, b [ on peut recouvrir par [α, b [ avec α > a ou ]a,β] avec β< b ;

(3)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Principe du recouvrement

Pour montrer que f est continue / dérivable / de classeCk sur un

inter-valle J , il suffit de montrer que f est continue / dérivable / de classe Ck

surtout segment[α, β] inclus dans J. Variantes :

si J=]a, b ] on peut recouvrir par [α, b ] avec α > a ;si J= [a, b [ on peut recouvrir par [a,β] avec β< b ;

si J=]a, b [ on peut recouvrir par [α, b [ avec α > a ou ]a,β] avec β< b ;

(4)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Suites de fonctions

(f

n) CVS vers f sur I lorsque pour tout x ∈ I , lim

n→+∞fn(x) = f (x) ;

(f

n) CVU vers f sur I lorsque lim

n→+∞kfn− f k∞,I = 0.

La CVU entraîne la CVS.

Méthodologie.

CVS :on fixe x ∈ Ipuis on étudie la suite numérique(f

n(x))n∈N;

CVU : on étudie f

n− f pour calculer kfn− f k∞,I.

(5)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Suites de fonctions

(f

n) CVS vers f sur I lorsque pour tout x ∈ I , lim

n→+∞fn(x) = f (x) ;

(f

n) CVU vers f sur I lorsque lim

n→+∞kfn− f k∞,I = 0.

La CVU entraîne la CVS. Méthodologie.

CVS :on fixe x ∈ Ipuis on étudie la suite numérique(f

n(x))n∈N;

CVU : on étudie f

n− f pour calculer kfn− f k∞,I.

(6)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Suites de fonctions

Exemple

Étudier sur R+la CVS et CVU de fn : x 7→

       sin(nπx) si 0 6 x 6 1/n 0 si x > 1/n On fixe x > 0. Si x= 0, fn(0) = sin(0) = 0. Si x> 0, pour n > 1/x on a fn(x) = 0.

Donc(fn) CVS vers la fonction nulle.

Pour I= [0, +∞[, kfn− f k∞= 1 donc pas de CVU.

En revanche, CVU sur tout[α, +∞[ car pour n > 1/α, kfn− f k∞= 0.

(7)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Suites de fonctions

Exemple

Étudier sur R+la CVS et CVU de fn : x 7→

       sin(nπx) si 0 6 x 6 1/n 0 si x > 1/n On fixe x > 0. Si x= 0, fn(0) = sin(0) = 0. Si x> 0, pour n > 1/x on a fn(x) = 0.

Donc(fn) CVS vers la fonction nulle.

Pour I= [0, +∞[, kfn− f k∞= 1 donc pas de CVU.

En revanche, CVU sur tout[α, +∞[ car pour n > 1/α, kfn− f k∞= 0.

(8)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Suites de fonctions

Exemple

Étudier sur R+la CVS et CVU de fn : x 7→

       sin(nπx) si 0 6 x 6 1/n 0 si x > 1/n On fixe x > 0. Si x= 0, fn(0) = sin(0) = 0. Si x> 0, pour n > 1/x on a fn(x) = 0.

Donc(fn) CVS vers la fonction nulle.

1 f1 α

Pour I= [0, +∞[, kfn− f k∞= 1 donc pas de CVU.

En revanche, CVU sur tout[α, +∞[ car pour n > 1/α, kfn− f k∞= 0.

(9)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Suites de fonctions

Exemple

Étudier sur R+la CVS et CVU de fn : x 7→

       sin(nπx) si 0 6 x 6 1/n 0 si x > 1/n On fixe x > 0. Si x= 0, fn(0) = sin(0) = 0. Si x> 0, pour n > 1/x on a fn(x) = 0.

Donc(fn) CVS vers la fonction nulle.

1/2

f2 α

Pour I= [0, +∞[, kfn− f k∞= 1 donc pas de CVU.

En revanche, CVU sur tout[α, +∞[ car pour n > 1/α, kfn− f k∞= 0.

(10)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Suites de fonctions

Exemple

Étudier sur R+la CVS et CVU de fn : x 7→

       sin(nπx) si 0 6 x 6 1/n 0 si x > 1/n On fixe x > 0. Si x= 0, fn(0) = sin(0) = 0. Si x> 0, pour n > 1/x on a fn(x) = 0.

Donc(fn) CVS vers la fonction nulle.

1/n

fn α

Pour I= [0, +∞[, kfn− f k∞= 1 donc pas de CVU.

En revanche, CVU sur tout[α, +∞[ car pour n > 1/α, kfn− f k∞= 0.

(11)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Suites de fonctions

Exemple

Étudier sur R+la CVS et CVU de fn : x 7→

       sin(nπx) si 0 6 x 6 1/n 0 si x > 1/n On fixe x > 0. Si x= 0, fn(0) = sin(0) = 0. Si x> 0, pour n > 1/x on a fn(x) = 0.

Donc(fn) CVS vers la fonction nulle.

1/n

fn α

Pour I= [0, +∞[, kfn− f k∞= 1 donc pas de CVU.

En revanche, CVU sur tout[α, +∞[ car pour n > 1/α, kfn− f k∞= 0.

(12)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Suites de fonctions

Exemple

Étudier sur R+la CVS et CVU de fn : x 7→

       sin(nπx) si 0 6 x 6 1/n 0 si x > 1/n On fixe x > 0. Si x= 0, fn(0) = sin(0) = 0. Si x> 0, pour n > 1/x on a fn(x) = 0.

Donc(fn) CVS vers la fonction nulle.

1/n

fn α

Pour I= [0, +∞[, kfn− f k∞= 1 donc pas de CVU.

En revanche, CVU sur tout[α, +∞[ car pour n > 1/α, kfn− f k∞= 0.

(13)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Continuité et dérivabilité

Continuité :

∀n ∈ N, f

n est continue sur I ;

(f

n) CVU vers f sur I .

alors f est continue sur I . Dérivabilité :

∀n ∈ N, f

n est de classeC1sur I ;

(f

n) CVS vers f sur I ;

(f0

n) CVU vers g sur I .

Alors f est de classeC1sur I et f0= g.

Penser au principe du recouvrement: f continue (resp. de classeC1) sur

tout segment inclus dans J entraîne f continue (resp. de classeC1) sur I .

(14)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Continuité et dérivabilité

Continuité :

∀n ∈ N, f

n est continue sur I ;

(f

n) CVU vers f sur I .

alors f est continue sur I . Dérivabilité :

∀n ∈ N, f

n est de classeC1sur I ;

(f

n) CVS vers f sur I ;

(f0

n) CVU vers g sur I .

Alors f est de classeC1sur I et f0= g.

Penser au principe du recouvrement: f continue (resp. de classeC1) sur

tout segment inclus dans J entraîne f continue (resp. de classeC1) sur I .

(15)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Un théorème de Dini (HP)

Soit(fn) une suite de fonctions qui converge simplement vers f sur [a, b ].

On suppose :

∀n ∈ N, f

n est croissante ;

f est continue.

Alors la convergence de(fn) vers f est uniforme.

• Soit x< y ∈ [a, b ]. ∀n ∈ N, fn(x) 6 fn(y) donc (n → +∞) f (x) 6 f (y) :f est

croissante.

• Soit> 0. f est croissante etC0donc il existe une subdivision (x0 =

a, . . . , xp= b ) telle que f (xi+1) − f (xi) 6 .

(16)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Un théorème de Dini (HP)

Soit(fn) une suite de fonctions qui converge simplement vers f sur [a, b ].

On suppose :

∀n ∈ N, f

n est croissante ;

f est continue.

Alors la convergence de(fn) vers f est uniforme.

• Soit x< y ∈ [a, b ]. ∀n ∈ N, fn(x) 6 fn(y) donc (n → +∞) f (x) 6 f (y) :f est

croissante.

• Soit> 0. f est croissante etC0donc il existe une subdivision (x0 =

a, . . . , xp= b ) telle que f (xi+1) − f (xi) 6 .

(17)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Un théorème de Dini (HP)

Soit(fn) une suite de fonctions qui converge simplement vers f sur [a, b ].

On suppose :

∀n ∈ N, f

n est croissante ;

f est continue.

Alors la convergence de(fn) vers f est uniforme.

• Soit x< y ∈ [a, b ]. ∀n ∈ N, fn(x) 6 fn(y) donc (n → +∞) f (x) 6 f (y) :f est

croissante.

• Soit> 0. f est croissante etC0donc il existe une subdivision(x0 =

a, . . . , xp= b ) telle que f (xi+1) − f (xi) 6 .

(18)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Un théorème de Dini (HP)

Soit(fn) une suite de fonctions qui converge simplement vers f sur [a, b ].

On suppose :

∀n ∈ N, f

n est croissante ;

f est continue.

Alors la convergence de(fn) vers f est uniforme.

• Soit x< y ∈ [a, b ]. ∀n ∈ N, fn(x) 6 fn(y) donc (n → +∞) f (x) 6 f (y) :f est

croissante.

• Soit> 0. f est croissante etC0donc il existe une subdivision(x0 =

a, . . . , xp= b ) telle que f (xi+1) − f (xi) 6 .

Soit p ∈ N∗tel que f(a) + (p − 1)< f (b ) 6 f (a) + p.

TVI : ∀i ∈ ~0, p − 1, ∃xi∈ [a, b ]

f (xi) = f (a) + i .

(19)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Un théorème de Dini (HP)

Soit(fn) une suite de fonctions qui converge simplement vers f sur [a, b ].

On suppose :

∀n ∈ N, f

n est croissante ;

f est continue.

Alors la convergence de(fn) vers f est uniforme.

• Soit x< y ∈ [a, b ]. ∀n ∈ N, fn(x) 6 fn(y) donc (n → +∞) f (x) 6 f (y) :f est

croissante.

• Soit> 0. f est croissante etC0donc il existe une subdivision(x0 =

a, . . . , xp= b ) telle que f (xi+1) − f (xi) 6 .

• ∀i ∈ ~0, p, ∃Ni∈ N

n>Ni =⇒ |fn(xi) − f (xi)| 6 . On pose N = max i Ni.

• Soit x ∈[a, b ], et i ∈ ~0, p − 1 tel que xi6x 6 xi+1. Alors ∀n > N , fn(x) − f (x) 6 fn(xi+1) − f (xi) = fn(xi+1) − f (xi+1) + f (xi+1) − f (xi) 6 2

fn(x) − f (x) > fn(xi) − f (xi+1) = fn(xi) − f (xi) + f (xi) − f (xi+1) > −2

donc |fn(x) − f (x)| 6 2, et kfn− f k∞62.

(20)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Un théorème de Dini (HP)

Soit(fn) une suite de fonctions qui converge simplement vers f sur [a, b ].

On suppose :

∀n ∈ N, f

n est croissante ;

f est continue.

Alors la convergence de(fn) vers f est uniforme.

• Soit x< y ∈ [a, b ]. ∀n ∈ N, fn(x) 6 fn(y) donc (n → +∞) f (x) 6 f (y) :f est

croissante.

• Soit> 0. f est croissante etC0donc il existe une subdivision(x0 =

a, . . . , xp= b ) telle que f (xi+1) − f (xi) 6 .

• ∀i ∈ ~0, p, ∃Ni∈ N

n>Ni =⇒ |fn(xi) − f (xi)| 6 . On pose N = max i Ni.

• Soit x ∈[a, b ], et i ∈ ~0, p − 1 tel que xi6x 6 xi+1. Alors ∀n > N , fn(x) − f (x) 6 fn(xi+1) − f (xi) = fn(xi+1) − f (xi+1) + f (xi+1) − f (xi) 6 2

fn(x) − f (x) > fn(xi) − f (xi+1) = fn(xi) − f (xi) + f (xi) − f (xi+1) > −2

donc |fn(x) − f (x)| 6 2, et kfn− f k∞62.

(21)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Un théorème de Dini (HP)

Soit(fn) une suite de fonctions qui converge simplement vers f sur [a, b ].

On suppose :

∀n ∈ N, f

n est croissante ;

f est continue.

Alors la convergence de(fn) vers f est uniforme.

• Soit x< y ∈ [a, b ]. ∀n ∈ N, fn(x) 6 fn(y) donc (n → +∞) f (x) 6 f (y) : f est

croissante.

•Soit> 0. f est croissante etC0donc il existe une subdivision(x0 = a, . . . , xp= b ) telle que f (xi+1) − f (xi) 6 .

• ∀i ∈ ~0, p, ∃Ni∈ N

n>Ni =⇒ |fn(xi) − f (xi)| 6 .On pose N= max

i Ni.

• Soit x ∈[a, b ], et i ∈ ~0, p − 1 tel que xi6x 6 xi+1. Alors∀n > N, fn(x) − f (x) 6 fn(xi+1) − f (xi) = fn(xi+1) − f (xi+1) + f (xi+1) − f (xi) 6 2

fn(x) − f (x) > fn(xi) − f (xi+1) = fn(xi) − f (xi) + f (xi) − f (xi+1) > −2

donc |fn(x) − f (x)| 6 2, etkfn− f k∞62.

(22)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Intégration d’une suite de fonctions

Deux théorèmes pour intervertir limite et intégrale :

Si pour tout n ∈ N f

nest continue et si(fn) CVU vers f sur [a, b ]

alors lim n→+∞ Zb a fn(t ) dt = Z b a f(t ) dt .

Théorème de convergence dominée. On suppose que :

1 pour tout n ∈ N, fnestCpm0 sur I ;

2 (fn) converge simplement sur I vers une fonction fCpm0 ;

3 il existe une fonctionφCpm0 et intégrable sur I telle que pour tout n ∈ N, |fn(t )| 6 φ(t ).

Alors f est intégrable sur I et lim

n→+∞ Z I fn(t ) dt = Z I f(t ) dt .

(23)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Intégration d’une suite de fonctions

Deux théorèmes pour intervertir limite et intégrale :

Si pour tout n ∈ N f

nest continue et si(fn)CVUvers f sur[a, b ]

alors lim n→+∞ Zb a fn(t ) dt = Z b a f(t ) dt .

Théorème de convergence dominée. On suppose que :

1 pour tout n ∈ N, fnestCpm0 sur I ;

2 (fn) converge simplement sur I vers une fonction fCpm0 ;

3 il existe une fonctionφCpm0 et intégrable sur I telle que pour tout n ∈ N, |fn(t )| 6 φ(t ).

Alors f est intégrable sur I et lim

n→+∞ Z I fn(t ) dt = Z I f(t ) dt .

(24)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Intégration d’une suite de fonctions

Deux théorèmes pour intervertir limite et intégrale :

Si pour tout n ∈ N f

nest continue et si(fn) CVU vers f sur [a, b ]

alors lim n→+∞ Zb a fn(t ) dt = Z b a f(t ) dt .

Théorème de convergence dominée. On suppose que :

1 pour tout n ∈ N, fn estCpm0 sur I ;

2 (fn) converge simplement sur I vers une fonction fCpm0 ;

3 il existe une fonctionφCpm0 et intégrable sur I telle que pour tout n ∈ N, |fn(t )| 6 φ(t ).

Alors f est intégrable sur I et lim

n→+∞ Z I fn(t ) dt = Z I f(t ) dt .

(25)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Intégration d’une suite de fonctions

Calculer la limite de un= Zn 0  1 − t n n dt . un = Z+∞ 0 fn(t ) dt avec fn(t ) =           1 − t n n si t 6 n 0 si t> nf

nest continue par morceaux sur R+;

Soit t> 0 fixé. APCR, f

n(t ) =  1 − t n n −→ e−tdonc(fn) CVS vers f: t 7→ e−t; • |f n(t )| 6 e−t= φ(t ).

φ estCpm0 et intégrable sur R+donclim un=

Z+∞

0

e−tdt = 1.

(26)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Intégration d’une suite de fonctions

Calculer la limite de un= Zn 0  1 − t n n dt . un = Z+∞ 0 fn(t ) dt avec fn(t ) =           1 − t n n si t 6 n 0 si t> nf

nest continue par morceaux sur R+;

Soit t> 0 fixé. APCR, f

n(t ) =  1 − t n n −→ e−tdonc(fn) CVS vers f: t 7→ e−t; • |f n(t )| 6 e−t= φ(t ).

φ estCpm0 et intégrable sur R+donclim un=

Z+∞

0

e−tdt = 1.

(27)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Intégration d’une suite de fonctions

Calculer la limite de un= Zn 0  1 − t n n dt . un = Z+∞ 0 fn(t ) dt avec fn(t ) =           1 − t n n si t 6 n 0 si t> nf

nest continue par morceaux sur R+;

Soit t> 0 fixé. APCR, f

n(t ) =  1 − t n n −→ e−tdonc(fn) CVS vers f: t 7→ e−t; • |f n(t )| 6 e−t= φ(t ).

φ estCpm0 et intégrable sur R+donclim un=

Z+∞

0

e−tdt = 1.

(28)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Intégration d’une suite de fonctions

Calculer la limite de un= Zn 0  1 − t n n dt . un = Z+∞ 0 fn(t ) dt avec fn(t ) =           1 − t n n si t 6 n 0 si t> nf

nest continue par morceaux sur R+;

Soit t> 0 fixé. APCR, f

n(t ) =  1 − t n n −→ e−tdonc(fn) CVS vers f: t 7→ e−t; • |f n(t )| 6 e−t= φ(t ).

φ estCpm0 et intégrable sur R+donclim un=

Z+∞

0

e−tdt = 1.

(29)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Intégration d’une suite de fonctions

Calculer la limite de un= Zn 0  1 − t n n dt . un = Z+∞ 0 fn(t ) dt avec fn(t ) =           1 − t n n si t 6 n 0 si t> nf

nest continue par morceaux sur R+;

Soit t> 0 fixé. APCR, f

n(t ) =  1 − t n n −→ e−tdonc(fn) CVS vers f: t 7→ e−t; • |f n(t )| 6 e−t= φ(t ).

φ estCpm0 et intégrable sur R+donclim un=

Z+∞

0

e−tdt = 1.

(30)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Intégration d’une suite de fonctions

Soit f: R+→ RC0; déterminerlim unavec un= n

Z 1+n1

1

f(xn) dx.

Deux difficultés: pas de limite simple de nf(xn) et une borne qui dépend de n. Chgt de variable t= xn : un = Zxn 1 t1/nf(t ) t dt avec xn =  1+1 n n . lim xn= e et xn 6e : un= Z e 1 fn(t ) dt avec fn(t ) =          t1/nf(t ) t si t ∈[1, xn] 0 si t ∈]xn, e](f n) CVS vers t 7→ f(t ) t sur[1, e] ; • t 1/nf(t ) t 6 kf k,[1,e]= φ(t ).

φ est constante donc intégrable sur [1, e], donc lim un =

Ze

1

f(t ) t dt .

(31)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Intégration d’une suite de fonctions

Soit f: R+→ RC0; déterminerlim unavec un= n

Z 1+n1

1

f(xn) dx.

Deux difficultés: pas de limite simple de nf(xn) et une borne qui dépend de n. Chgt de variable t= xn : un = Zxn 1 t1/nf(t ) t dt avec xn =  1+1 n n . lim xn= e et xn 6e : un= Z e 1 fn(t ) dt avec fn(t ) =          t1/nf(t ) t si t ∈[1, xn] 0 si t ∈]xn, e](f n) CVS vers t 7→ f(t ) t sur[1, e] ; • t 1/nf(t ) t 6 kf k,[1,e]= φ(t ).

φ est constante donc intégrable sur [1, e], donc lim un =

Ze

1

f(t ) t dt .

(32)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Intégration d’une suite de fonctions

Soit f: R+→ RC0; déterminerlim unavec un= n

Z 1+n1

1

f(xn) dx.

Deux difficultés: pas de limite simple de nf(xn) et une borne qui dépend de n. Chgt de variable t= xn : un = Zxn 1 t1/nf(t ) t dt avec xn =  1+1 n n . lim xn= e et xn 6e : un= Z e 1 fn(t ) dt avec fn(t ) =          t1/nf(t ) t si t ∈[1, xn] 0 si t ∈]xn, e](f n) CVS vers t 7→ f(t ) t sur[1, e] ; • t 1/nf(t ) t 6 kf k,[1,e]= φ(t ).

φ est constante donc intégrable sur [1, e], donc lim un =

Ze

1

f(t ) t dt .

(33)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Intégration d’une suite de fonctions

Soit f: R+→ RC0; déterminerlim unavec un= n

Z 1+n1

1

f(xn) dx.

Deux difficultés: pas de limite simple de nf(xn) et une borne qui dépend de n. Chgt de variable t= xn : un = Zxn 1 t1/nf(t ) t dt avec xn =  1+1 n n . lim xn= e et xn 6e : un= Z e 1 fn(t ) dt avec fn(t ) =          t1/nf(t ) t si t ∈[1, xn] 0 si t ∈]xn, e](f n) CVS vers t 7→ f(t ) t sur[1, e] ; • t 1/nf(t ) t 6 kf k,[1,e]= φ(t ).

φ est constante donc intégrable sur [1, e], donc lim un =

Ze

1

f(t ) t dt .

(34)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Séries de fonctions

• Xf

nCVSsur I lorsque pour tout x ∈ I , la série

X

fn(x) converge.

• Xf

nCVAsur I lorsque pour tout x ∈ I , la série

X

|fn(x)| converge.

• Xf

nCVUsur I lorsque

X

fn CVS etlim kRnk∞,I = 0.

• Xf

nCVNsur I lorsque la série

X

kfnk,I converge.

CVN CVA

CVU CVS

Aspect pratique : lorsque le CSSA s’applique, on prouve directement la CVU (majoration du reste) ; dans les autres cas, on prouve la CVU par le biais de la CVN.

(35)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Séries de fonctions

• Xf

nCVSsur I lorsque pour tout x ∈ I , la série

X

fn(x) converge.

• Xf

nCVAsur I lorsque pour tout x ∈ I , la série

X

|fn(x)| converge.

• Xf

nCVUsur I lorsque

X

fn CVS etlim kRnk∞,I = 0.

• Xf

nCVNsur I lorsque la série

X

kfnk,I converge.

CVN CVA

CVU CVS

Aspect pratique : lorsque le CSSA s’applique, on prouve directement la CVU (majoration du reste) ; dans les autres cas, on prouve la CVU par le biais de la CVN.

(36)

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Séries de fonctions

• Xf

nCVSsur I lorsque pour tout x ∈ I , la série

X

fn(x) converge.

• Xf

nCVAsur I lorsque pour tout x ∈ I , la série

X

|fn(x)| converge.

• Xf

nCVUsur I lorsque

X

fn CVS etlim kRnk∞,I = 0.

• Xf

nCVNsur I lorsque la série

X

kfnk,I converge.

CVN CVA

CVU CVS

Aspect pratique : lorsque le CSSA s’applique, on prouve directement la CVU (majoration du reste) ; dans les autres cas, on prouve la CVU par le biais de la CVN.

(37)

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Continuité et dérivabilité

Continuité :

∀n ∈ N, f

n est continue sur I ;

• Xf

nCVU sur I .

alors S=Xfn est continue sur I .

Dérivabilité :

∀n ∈ N, f

n est de classeC1sur I ;

• Xf

nCVS sur I ;

• Xf0

nCVU sur I .

Alors S est de classeC1sur I et S0=Xfn0.

Extension du th. de dérivabilité:

∀n ∈ N, f

n est de classeCpsur I ;

∀k ∈ ~0, p − 1,Xf(k )

n CVS sur I ;

• Xf(p)

n CVU sur I .

Alors S est de classeCp sur I et ∀k ∈ ~1, p, S(k )=Xfn(k ).

(38)

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Continuité et dérivabilité

Continuité :

∀n ∈ N, f

n est continue sur I ;

• Xf

nCVU sur I .

alors S=Xfn est continue sur I .

Dérivabilité :

∀n ∈ N, f

n est de classeC1sur I ;

• Xf

nCVS sur I ;

• Xf0

nCVU sur I .

Alors S est de classeC1sur I et S0=Xfn0.

Extension du th. de dérivabilité:

∀n ∈ N, f

n est de classeCpsur I ;

∀k ∈ ~0, p − 1,Xf(k )

n CVS sur I ;

• Xf(p)

n CVU sur I .

Alors S est de classeCp sur I et ∀k ∈ ~1, p, S(k )=Xfn(k ).

(39)

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Continuité et dérivabilité

Utilisation de la CVN Soit f: x 7→ +∞ X n=1 fn(x) avec fn(x) = arctan  x n2  .

Déterminer l’ensemble de définition de f .

Prouver la continuité de f sur son ensemble de définition.

Prouver la dérivabilité de f sur son ensemble de définition.

∀x ∈ R, arctan x n2  = n→+∞O  1 n2 

donc CVA sur R.

Sur[−a, a], kf

nk∞= arctan  a n2  = +∞O  1 n2 

donc CVN sur tout[−a, a].

Donc f estC0sur[−a, a] puis sur R (recouvrement).

f0 n(x) = 1 n2+ x2donc kf 0 nk∞,R= 1 n2. X

fn0 CVN donc CVU sur R ; f

est de classeC1sur R.

(40)

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Continuité et dérivabilité

Utilisation de la CVN Soit f: x 7→ +∞ X n=1 fn(x) avec fn(x) = arctan  x n2  .

Déterminer l’ensemble de définition de f .

Prouver la continuité de f sur son ensemble de définition.

Prouver la dérivabilité de f sur son ensemble de définition.

∀x ∈ R, arctan x n2  = n→+∞O  1 n2 

donc CVA sur R.

Sur[−a, a], kf

nk∞= arctan  a n2  = +∞O  1 n2 

donc CVN sur tout[−a, a].

Donc f estC0sur[−a, a] puis sur R (recouvrement).

f0 n(x) = 1 n2+ x2donc kf 0 nk∞,R= 1 n2. X

fn0 CVN donc CVU sur R ; f

est de classeC1sur R.

(41)

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Continuité et dérivabilité

Utilisation de la CVN Soit f: x 7→ +∞ X n=1 fn(x) avec fn(x) = arctan  x n2  .

Déterminer l’ensemble de définition de f .

Prouver la continuité de f sur son ensemble de définition.

Prouver la dérivabilité de f sur son ensemble de définition.

∀x ∈ R, arctan x n2  = n→+∞O  1 n2 

donc CVA sur R. • Sur[−a, a], kf

nk∞= arctan  a n2  = +∞O  1 n2 

donc CVN sur tout[−a, a].

Donc f estC0sur[−a, a] puis sur R (recouvrement).

f0 n(x) = 1 n2+ x2donc kf 0 nk∞,R= 1 n2. X

fn0 CVN donc CVU sur R ; f

est de classeC1sur R.

(42)

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Continuité et dérivabilité

Utilisation de la CVN Soit f: x 7→ +∞ X n=1 fn(x) avec fn(x) = arctan  x n2  .

Déterminer l’ensemble de définition de f .

Prouver la continuité de f sur son ensemble de définition.

Prouver la dérivabilité de f sur son ensemble de définition.

∀x ∈ R, arctan x n2  = n→+∞O  1 n2 

donc CVA sur R. • Sur[−a, a], kf

nk∞= arctan  a n2  = +∞O  1 n2 

donc CVN sur tout[−a, a].

Donc f estC0sur[−a, a] puis sur R (recouvrement).

f0 n(x) = 1 n2+ x2donc kf 0 nk∞,R= 1 n2. X

fn0 CVN donc CVU sur R ; f

est de classeC1sur R.

(43)

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Continuité et dérivabilité

Utilisation du critère spécial

Soit f: x 7→ +∞ X n=0 fn(x) avec fn(x) = (−1) n 1+ nx.

Montrer que f est définie et continue sur R

+.

Déterminer la limite de f en+∞.

Montrer que f est de classeC1sur R

+.

(44)

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Continuité et dérivabilité

Utilisation du critère spécial

Soit f: x 7→ +∞ X n=0 fn(x) avec fn(x) = (−1) n 1+ nx.

Montrer que f est définie et continue sur R

+.

Déterminer la limite de f en+∞.

Montrer que f est de classeC1sur R

+. • CSSA → CVS, et |R n(x)| 6 1 1+ (n + 1)x. Sur[α, +∞[ (α > 0), kRnk∞6 1

1+ (n + 1)α donc CVU sur[α, +∞[.

f est continue sur tout[α, +∞[ puis sur R (recouvrement).

CSSA : 1 − 1

1+ x 6f(x) 6 1 donc lim+∞f(x) = 1.

(45)

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Continuité et dérivabilité

Utilisation du critère spécial

Soit f: x 7→ +∞ X n=0 fn(x) avec fn(x) = (−1) n 1+ nx.

Montrer que f est définie et continue sur R

+.

Déterminer la limite de f en+∞.

Montrer que f est de classeC1sur R

+. • CSSA → CVS, et |R n(x)| 6 1 1+ (n + 1)x. Sur[α, +∞[ (α > 0), kRnk∞6 1

1+ (n + 1)α donc CVU sur[α, +∞[.

f est continue sur tout[α, +∞[ puis sur R (recouvrement).

CSSA : 1 − 1

1+ x 6f(x) 6 1 donc lim+∞f(x) = 1.

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Continuité et dérivabilité

Utilisation du critère spécial

Soit f: x 7→ +∞ X n=0 fn(x) avec fn(x) = (−1) n 1+ nx.

Montrer que f est définie et continue sur R

+.

Déterminer la limite de f en+∞.

Montrer que f est de classeC1sur R

+. • CSSA → CVS, et |R n(x)| 6 1 1+ (n + 1)x. Sur[α, +∞[ (α > 0), kRnk∞6 1

1+ (n + 1)α donc CVU sur[α, +∞[.

f est continue sur tout[α, +∞[ puis sur R (recouvrement).

CSSA : 1 − 1

1+ x 6f(x) 6 1 donc lim+∞f(x) = 1.

(47)

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Continuité et dérivabilité

Utilisation du critère spécial

Soit f: x 7→ +∞ X n=0 fn(x) avec fn(x) = (−1) n 1+ nx.

Montrer que f est définie et continue sur R

+.

Déterminer la limite de f en+∞.

Montrer que f est de classeC1sur R

+. fn0(x) =(−1) n+1n (1 + nx)2. Le CSSA s’applique ? → on fixe x> 0 ; on étudie φ(t) = t (1 + tx)2. x φ(t ) 0 1/x +∞ ∀n >1 x, |Rn(x)| 6 n+ 1 (1 + (n + 1)x)2. Sur[α, +∞[, ∀n >1 α, kRnk∞,[α,+∞[ 6 n+ 1

(1 + (n + 1)α)2donc CVU sur[α, +∞[.

f estC1sur[α, +∞[ puis sur R∗+(recouvrement).

(48)

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Continuité et dérivabilité

Utilisation du critère spécial

Soit f: x 7→ +∞ X n=0 fn(x) avec fn(x) = (−1) n 1+ nx.

Montrer que f est définie et continue sur R

+.

Déterminer la limite de f en+∞.

Montrer que f est de classeC1sur R

+. fn0(x) =(−1) n+1n (1 + nx)2. Le CSSA s’applique ? → on fixe x> 0 ; on étudie φ(t) = t (1 + tx)2. x φ(t ) 0 1/x +∞ ∀n >1 x, |Rn(x)| 6 n+ 1 (1 + (n + 1)x)2. Sur[α, +∞[, ∀n >1 α, kRnk∞,[α,+∞[ 6 n+ 1

(1 + (n + 1)α)2donc CVU sur[α, +∞[.

f estC1sur[α, +∞[ puis sur R∗+(recouvrement).

(49)

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Continuité et dérivabilité

Utilisation du critère spécial

Soit f: x 7→ +∞ X n=0 fn(x) avec fn(x) = (−1) n 1+ nx.

Montrer que f est définie et continue sur R

+.

Déterminer la limite de f en+∞.

Montrer que f est de classeC1sur R

+. fn0(x) =(−1) n+1n (1 + nx)2. Le CSSA s’applique ? → on fixe x> 0 ; on étudie φ(t) = t (1 + tx)2. x φ(t ) 0 1/x +∞ ∀n >1 x, |Rn(x)| 6 n+ 1 (1 + (n + 1)x)2. Sur[α, +∞[, ∀n >1 α, kRnk∞,[α,+∞[ 6 n+ 1

(1 + (n + 1)α)2donc CVU sur[α, +∞[.

f estC1sur[α, +∞[ puis sur R∗+(recouvrement).

(50)

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Continuité et dérivabilité

Utilisation du critère spécial

Soit f: x 7→ +∞ X n=0 fn(x) avec fn(x) = (−1) n 1+ nx.

Montrer que f est définie et continue sur R

+.

Déterminer la limite de f en+∞.

Montrer que f est de classeC1sur R

+. fn0(x) =(−1) n+1n (1 + nx)2. Le CSSA s’applique ? → on fixe x> 0 ; on étudie φ(t) = t (1 + tx)2. x φ(t ) 0 1/x +∞ ∀n >1 x, |Rn(x)| 6 n+ 1 (1 + (n + 1)x)2. Sur[α, +∞[, ∀n > 1 α, kRnk∞,[α,+∞[ 6 n+ 1

(1 + (n + 1)α)2donc CVU sur[α, +∞[.

f estC1sur[α, +∞[ puis sur R∗+(recouvrement).

(51)

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Continuité et dérivabilité

Utilisation du critère spécial

Soit f: x 7→ +∞ X n=0 fn(x) avec fn(x) = (−1) n 1+ nx.

Montrer que f est définie et continue sur R

+.

Déterminer la limite de f en+∞.

Montrer que f est de classeC1sur R

+. fn0(x) =(−1) n+1n (1 + nx)2. Le CSSA s’applique ? → on fixe x> 0 ; on étudie φ(t) = t (1 + tx)2. x φ(t ) 0 1/x +∞ ∀n >1 x, |Rn(x)| 6 n+ 1 (1 + (n + 1)x)2. Sur[α, +∞[, ∀n > 1 α, kRnk∞,[α,+∞[ 6 n+ 1

(1 + (n + 1)α)2donc CVU sur[α, +∞[.

f estC1sur[α, +∞[ puis sur R∗+(recouvrement).

(52)

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Intégration

Trois théorèmes pour justifier que

+∞ X n=0 Z I fn(t ) dt = Z I +∞ X n=0 fn(t ) dt : • I= [a, b ], les f n sontC0et X fn CVU sur[a, b ] ;les f

nsontCpm0 et intégrables sur I ,

X fn CVS et sa somme estCpm0 , etX n Z I |fn| CV ; • Z I +∞ X k=0 fk(t ) dt = n X k=0 Z I fn(t ) dt + Z I Rn(t ) dt et on prouve que lim n→+∞ Z I Rn(t ) dt = 0 (à l’aide du th. de CV dominée).

(53)

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Intégration

Trois théorèmes pour justifier que

+∞ X n=0 Z I fn(t ) dt = Z I +∞ X n=0 fn(t ) dt : • I= [a, b ], les f n sontC0et X fnCVU sur[a, b ] ;les f

nsontCpm0 et intégrables sur I ,

X fn CVS et sa somme estCpm0 , etX n Z I |fn| CV ; • Z I +∞ X k=0 fk(t ) dt = n X k=0 Z I fn(t ) dt + Z I Rn(t ) dt et on prouve que lim n→+∞ Z I Rn(t ) dt = 0 (à l’aide du th. de CV dominée).

(54)

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Intégration

Trois théorèmes pour justifier que

+∞ X n=0 Z I fn(t ) dt = Z I +∞ X n=0 fn(t ) dt : • I= [a, b ], les f n sontC0et X fnCVU sur[a, b ] ;les f

nsontCpm0 et intégrables sur I ,

X fn CVS et sa somme estCpm0 , etX n Z I |fn| CV ; • Z I +∞ X k=0 fk(t ) dt = n X k=0 Z I fn(t ) dt + Z I Rn(t ) dt et on prouve que lim n→+∞ Z I Rn(t ) dt = 0 (à l’aide du th. de CV dominée).

(55)

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Intégration

Trois théorèmes pour justifier que

+∞ X n=0 Z I fn(t ) dt = Z I +∞ X n=0 fn(t ) dt : • I= [a, b ], les f n sontC0et X fnCVU sur[a, b ] ;les f

nsontCpm0 et intégrables sur I ,

X fn CVS et sa somme estCpm0 , etX n Z I |fn| CV ; • Z I +∞ X k=0 fk(t ) dt = n X k=0 Z I fn(t ) dt + Z I Rn(t ) dt et on prouve que lim n→+∞ Z I Rn(t ) dt = 0 (à l’aide du th. de CV dominée).

(56)

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Intégration

Soit(λn) une suite croissante de réels strictement positifs qui diverge

vers+∞, et S : x 7→

+∞

X

n=0

fn(x) avec fn : x 7→ (−1)ne−λnx.

Montrer que S est définie et continue sur]0, ∞[.

Montrer que S est intégrable et calculer

Z+∞

0

S(t ) dt .

CSSA: ∀x> 0, (e−λnx)

n∈Ndécroit et tend vers 0 donc S est définie sur R

∗ +. On pose Rn(x) = +∞ X k=n+1 fk(x). Alors |Rn(x)| 6 e−λn+1x.

Sur[α, +∞[, kRnk∞6e−λn+1αdonclim kRnk∞= 0 : CVU sur tout [α, +∞[.

Les fn étant continues, S est continue sur[α, +∞[ puis par recouvrement

sur R∗+.

(57)

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Intégration

Soit(λn) une suite croissante de réels strictement positifs qui diverge

vers+∞, et S : x 7→

+∞

X

n=0

fn(x) avec fn : x 7→ (−1)ne−λnx.

Montrer que S est définie et continue sur]0, ∞[.

Montrer que S est intégrable et calculer

Z+∞

0

S(t ) dt .

CSSA: ∀x> 0, (e−λnx)

n∈Ndécroit et tend vers 0 donc S est définie sur R

∗ +. On pose Rn(x) = +∞ X k=n+1 fk(x). Alors |Rn(x)| 6 e−λn+1x.

Sur[α, +∞[, kRnk∞6e−λn+1αdonclim kRnk∞= 0 : CVU sur tout [α, +∞[.

Les fn étant continues, S est continue sur[α, +∞[ puis par recouvrement

sur R∗+.

(58)

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Intégration

Soit(λn) une suite croissante de réels strictement positifs qui diverge

vers+∞, et S : x 7→

+∞

X

n=0

fn(x) avec fn : x 7→ (−1)ne−λnx.

Montrer que S est définie et continue sur]0, ∞[.

Montrer que S est intégrable et calculer

Z+∞

0

S(t ) dt .

CSSA: ∀x> 0, (e−λnx)

n∈Ndécroit et tend vers 0 donc S est définie sur R

∗ +. On pose Rn(x) = +∞ X k=n+1 fk(x). Alors |Rn(x)| 6 e−λn+1x.

Sur[α, +∞[, kRnk∞6e−λn+1αdonclim kRnk∞= 0 : CVU sur tout [α, +∞[.

Les fn étant continues, S est continue sur[α, +∞[ puis par recouvrement

sur R∗+.

(59)

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Intégration

Soit(λn) une suite croissante de réels strictement positifs qui diverge

vers+∞, et S : x 7→

+∞

X

n=0

fn(x) avec fn : x 7→ (−1)ne−λnx.

Montrer que S est définie et continue sur]0, ∞[.

Montrer que S est intégrable et calculer

Z+∞

0

S(t ) dt .

CSSA: ∀x> 0, (e−λnx)

n∈Ndécroit et tend vers 0 donc S est définie sur R

∗ +. On pose Rn(x) = +∞ X k=n+1 fk(x). Alors |Rn(x)| 6 e−λn+1x.

Sur[α, +∞[, kRnk∞6e−λn+1αdonclim kRnk∞= 0 : CVU sur tout [α, +∞[.

Les fn étant continues, S est continue sur[α, +∞[ puis par recouvrement

sur R∗+.

(60)

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Intégration

Soit(λn) une suite croissante de réels strictement positifs qui diverge

vers+∞, et S : x 7→

+∞

X

n=0

fn(x) avec fn : x 7→ (−1)ne−λnx.

Montrer que S est définie et continue sur]0, ∞[.

Montrer que S est intégrable et calculer

Z+∞ 0 S(t ) dt . On calcule Z+∞ 0 e−λntdt = 1

λn. les fonctions fnsont intégrables.

SiX 1

λn

CVon applique le th. d’interversion : S est intégrable et

Z+∞ 0 S(t ) dt = +∞ X n=0 (−1)n λn .

(61)

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Intégration

Soit(λn) une suite croissante de réels strictement positifs qui diverge

vers+∞, et S : x 7→

+∞

X

n=0

fn(x) avec fn : x 7→ (−1)ne−λnx.

Montrer que S est définie et continue sur]0, ∞[.

Montrer que S est intégrable et calculer

Z+∞ 0 S(t ) dt . On calcule Z+∞ 0 e−λntdt = 1

λn. les fonctions fnsont intégrables.

SiX 1

λn

CVon applique le th. d’interversion : S est intégrable et

Z+∞ 0 S(t ) dt = +∞ X n=0 (−1)n λn .

(62)

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Intégration

Soit(λn) une suite croissante de réels strictement positifs qui diverge

vers+∞, et S : x 7→

+∞

X

n=0

fn(x) avec fn : x 7→ (−1)ne−λnx.

Montrer que S est définie et continue sur]0, ∞[.

Montrer que S est intégrable et calculer

Z+∞ 0 S(t ) dt . On calcule Z+∞ 0 e−λntdt = 1 λn

. les fonctions fnsont intégrables.

SiX 1 λn DVméthode alternative : S(x) = n X k=0 fk(x) + Rn(x).

(63)

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Intégration

Soit(λn) une suite croissante de réels strictement positifs qui diverge

vers+∞, et S : x 7→

+∞

X

n=0

fn(x) avec fn : x 7→ (−1)ne−λnx.

Montrer que S est définie et continue sur]0, ∞[.

Montrer que S est intégrable et calculer

Z+∞ 0 S(t ) dt . On calcule Z+∞ 0 e−λntdt = 1 λn

. les fonctions fnsont intégrables.

SiX 1 λn DVméthode alternative : S(x) = n X k=0 fk(x) + Rn(x). |Rn(x)| 6 e−λn+1x 6e−λ0x = φ(x). φ estC0

pmet intégrable donc (CV

domi-née) Rnest intégrable etlim

Z+∞

0

Rn(t ) dt = 0.

(64)

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Intégration

Soit(λn) une suite croissante de réels strictement positifs qui diverge

vers+∞, et S : x 7→

+∞

X

n=0

fn(x) avec fn : x 7→ (−1)ne−λnx.

Montrer que S est définie et continue sur]0, ∞[.

Montrer que S est intégrable et calculer

Z+∞ 0 S(t ) dt . On calcule Z+∞ 0 e−λntdt = 1 λn

. les fonctions fnsont intégrables.

SiX 1 λn DVméthode alternative : S(x) = n X k=0 fk(x) + Rn(x).

S est somme finie de fcns intégrables donc est intégrable, et

Z+∞ 0 S(t ) dt = n X k=0 (−1)k λk + Z+∞ 0 Rn(t ) dt −→ n→+∞ +∞ X k=0 (−1)k λk

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