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Suites et séries de fonctions
Jean-Pierre Becirspahic
Lycée Marcelin Berthelot
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Principe du recouvrement
Pour montrer que f est continue / dérivable / de classeCk sur un
inter-valle J , il suffit de montrer que f est continue / dérivable / de classe Ck
surtout segment[α, β] inclus dans J.
Variantes :
• si J=]a, b ] on peut recouvrir par [α, b ] avec α > a ; • si J= [a, b [ on peut recouvrir par [a,β] avec β< b ;
• si J=]a, b [ on peut recouvrir par [α, b [ avec α > a ou ]a,β] avec β< b ;
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Principe du recouvrement
Pour montrer que f est continue / dérivable / de classeCk sur un
inter-valle J , il suffit de montrer que f est continue / dérivable / de classe Ck
surtout segment[α, β] inclus dans J. Variantes :
• si J=]a, b ] on peut recouvrir par [α, b ] avec α > a ; • si J= [a, b [ on peut recouvrir par [a,β] avec β< b ;
• si J=]a, b [ on peut recouvrir par [α, b [ avec α > a ou ]a,β] avec β< b ;
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Suites de fonctions
• (f
n) CVS vers f sur I lorsque pour tout x ∈ I , lim
n→+∞fn(x) = f (x) ;
• (f
n) CVU vers f sur I lorsque lim
n→+∞kfn− f k∞,I = 0.
La CVU entraîne la CVS.
Méthodologie.
• CVS :on fixe x ∈ Ipuis on étudie la suite numérique(f
n(x))n∈N;
• CVU : on étudie f
n− f pour calculer kfn− f k∞,I.
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Suites de fonctions
• (f
n) CVS vers f sur I lorsque pour tout x ∈ I , lim
n→+∞fn(x) = f (x) ;
• (f
n) CVU vers f sur I lorsque lim
n→+∞kfn− f k∞,I = 0.
La CVU entraîne la CVS. Méthodologie.
• CVS :on fixe x ∈ Ipuis on étudie la suite numérique(f
n(x))n∈N;
• CVU : on étudie f
n− f pour calculer kfn− f k∞,I.
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Suites de fonctions
Exemple
Étudier sur R+la CVS et CVU de fn : x 7→
sin(nπx) si 0 6 x 6 1/n 0 si x > 1/n On fixe x > 0. Si x= 0, fn(0) = sin(0) = 0. Si x> 0, pour n > 1/x on a fn(x) = 0.
Donc(fn) CVS vers la fonction nulle.
Pour I= [0, +∞[, kfn− f k∞= 1 donc pas de CVU.
En revanche, CVU sur tout[α, +∞[ car pour n > 1/α, kfn− f k∞= 0.
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Suites de fonctions
Exemple
Étudier sur R+la CVS et CVU de fn : x 7→
sin(nπx) si 0 6 x 6 1/n 0 si x > 1/n On fixe x > 0. Si x= 0, fn(0) = sin(0) = 0. Si x> 0, pour n > 1/x on a fn(x) = 0.
Donc(fn) CVS vers la fonction nulle.
Pour I= [0, +∞[, kfn− f k∞= 1 donc pas de CVU.
En revanche, CVU sur tout[α, +∞[ car pour n > 1/α, kfn− f k∞= 0.
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Suites de fonctions
Exemple
Étudier sur R+la CVS et CVU de fn : x 7→
sin(nπx) si 0 6 x 6 1/n 0 si x > 1/n On fixe x > 0. Si x= 0, fn(0) = sin(0) = 0. Si x> 0, pour n > 1/x on a fn(x) = 0.
Donc(fn) CVS vers la fonction nulle.
1 f1 α
Pour I= [0, +∞[, kfn− f k∞= 1 donc pas de CVU.
En revanche, CVU sur tout[α, +∞[ car pour n > 1/α, kfn− f k∞= 0.
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Suites de fonctions
Exemple
Étudier sur R+la CVS et CVU de fn : x 7→
sin(nπx) si 0 6 x 6 1/n 0 si x > 1/n On fixe x > 0. Si x= 0, fn(0) = sin(0) = 0. Si x> 0, pour n > 1/x on a fn(x) = 0.
Donc(fn) CVS vers la fonction nulle.
1/2
f2 α
Pour I= [0, +∞[, kfn− f k∞= 1 donc pas de CVU.
En revanche, CVU sur tout[α, +∞[ car pour n > 1/α, kfn− f k∞= 0.
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Suites de fonctions
Exemple
Étudier sur R+la CVS et CVU de fn : x 7→
sin(nπx) si 0 6 x 6 1/n 0 si x > 1/n On fixe x > 0. Si x= 0, fn(0) = sin(0) = 0. Si x> 0, pour n > 1/x on a fn(x) = 0.
Donc(fn) CVS vers la fonction nulle.
1/n
fn α
Pour I= [0, +∞[, kfn− f k∞= 1 donc pas de CVU.
En revanche, CVU sur tout[α, +∞[ car pour n > 1/α, kfn− f k∞= 0.
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Suites de fonctions
Exemple
Étudier sur R+la CVS et CVU de fn : x 7→
sin(nπx) si 0 6 x 6 1/n 0 si x > 1/n On fixe x > 0. Si x= 0, fn(0) = sin(0) = 0. Si x> 0, pour n > 1/x on a fn(x) = 0.
Donc(fn) CVS vers la fonction nulle.
1/n
fn α
Pour I= [0, +∞[, kfn− f k∞= 1 donc pas de CVU.
En revanche, CVU sur tout[α, +∞[ car pour n > 1/α, kfn− f k∞= 0.
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Suites de fonctions
Exemple
Étudier sur R+la CVS et CVU de fn : x 7→
sin(nπx) si 0 6 x 6 1/n 0 si x > 1/n On fixe x > 0. Si x= 0, fn(0) = sin(0) = 0. Si x> 0, pour n > 1/x on a fn(x) = 0.
Donc(fn) CVS vers la fonction nulle.
1/n
fn α
Pour I= [0, +∞[, kfn− f k∞= 1 donc pas de CVU.
En revanche, CVU sur tout[α, +∞[ car pour n > 1/α, kfn− f k∞= 0.
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Continuité et dérivabilité
Continuité :
• ∀n ∈ N, f
n est continue sur I ;
• (f
n) CVU vers f sur I .
alors f est continue sur I . Dérivabilité :
• ∀n ∈ N, f
n est de classeC1sur I ;
• (f
n) CVS vers f sur I ;
• (f0
n) CVU vers g sur I .
Alors f est de classeC1sur I et f0= g.
Penser au principe du recouvrement: f continue (resp. de classeC1) sur
tout segment inclus dans J entraîne f continue (resp. de classeC1) sur I .
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Continuité et dérivabilité
Continuité :
• ∀n ∈ N, f
n est continue sur I ;
• (f
n) CVU vers f sur I .
alors f est continue sur I . Dérivabilité :
• ∀n ∈ N, f
n est de classeC1sur I ;
• (f
n) CVS vers f sur I ;
• (f0
n) CVU vers g sur I .
Alors f est de classeC1sur I et f0= g.
Penser au principe du recouvrement: f continue (resp. de classeC1) sur
tout segment inclus dans J entraîne f continue (resp. de classeC1) sur I .
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Un théorème de Dini (HP)
Soit(fn) une suite de fonctions qui converge simplement vers f sur [a, b ].
On suppose :
• ∀n ∈ N, f
n est croissante ;
• f est continue.
Alors la convergence de(fn) vers f est uniforme.
• Soit x< y ∈ [a, b ]. ∀n ∈ N, fn(x) 6 fn(y) donc (n → +∞) f (x) 6 f (y) :f est
croissante.
• Soit> 0. f est croissante etC0donc il existe une subdivision (x0 =
a, . . . , xp= b ) telle que f (xi+1) − f (xi) 6 .
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Un théorème de Dini (HP)
Soit(fn) une suite de fonctions qui converge simplement vers f sur [a, b ].
On suppose :
• ∀n ∈ N, f
n est croissante ;
• f est continue.
Alors la convergence de(fn) vers f est uniforme.
• Soit x< y ∈ [a, b ]. ∀n ∈ N, fn(x) 6 fn(y) donc (n → +∞) f (x) 6 f (y) :f est
croissante.
• Soit> 0. f est croissante etC0donc il existe une subdivision (x0 =
a, . . . , xp= b ) telle que f (xi+1) − f (xi) 6 .
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Un théorème de Dini (HP)
Soit(fn) une suite de fonctions qui converge simplement vers f sur [a, b ].
On suppose :
• ∀n ∈ N, f
n est croissante ;
• f est continue.
Alors la convergence de(fn) vers f est uniforme.
• Soit x< y ∈ [a, b ]. ∀n ∈ N, fn(x) 6 fn(y) donc (n → +∞) f (x) 6 f (y) :f est
croissante.
• Soit> 0. f est croissante etC0donc il existe une subdivision(x0 =
a, . . . , xp= b ) telle que f (xi+1) − f (xi) 6 .
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Un théorème de Dini (HP)
Soit(fn) une suite de fonctions qui converge simplement vers f sur [a, b ].
On suppose :
• ∀n ∈ N, f
n est croissante ;
• f est continue.
Alors la convergence de(fn) vers f est uniforme.
• Soit x< y ∈ [a, b ]. ∀n ∈ N, fn(x) 6 fn(y) donc (n → +∞) f (x) 6 f (y) :f est
croissante.
• Soit> 0. f est croissante etC0donc il existe une subdivision(x0 =
a, . . . , xp= b ) telle que f (xi+1) − f (xi) 6 .
Soit p ∈ N∗tel que f(a) + (p − 1)< f (b ) 6 f (a) + p.
TVI : ∀i ∈ ~0, p − 1, ∃xi∈ [a, b ]
f (xi) = f (a) + i .
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Un théorème de Dini (HP)
Soit(fn) une suite de fonctions qui converge simplement vers f sur [a, b ].
On suppose :
• ∀n ∈ N, f
n est croissante ;
• f est continue.
Alors la convergence de(fn) vers f est uniforme.
• Soit x< y ∈ [a, b ]. ∀n ∈ N, fn(x) 6 fn(y) donc (n → +∞) f (x) 6 f (y) :f est
croissante.
• Soit> 0. f est croissante etC0donc il existe une subdivision(x0 =
a, . . . , xp= b ) telle que f (xi+1) − f (xi) 6 .
• ∀i ∈ ~0, p, ∃Ni∈ N
n>Ni =⇒ |fn(xi) − f (xi)| 6 . On pose N = max i Ni.
• Soit x ∈[a, b ], et i ∈ ~0, p − 1 tel que xi6x 6 xi+1. Alors ∀n > N , fn(x) − f (x) 6 fn(xi+1) − f (xi) = fn(xi+1) − f (xi+1) + f (xi+1) − f (xi) 6 2
fn(x) − f (x) > fn(xi) − f (xi+1) = fn(xi) − f (xi) + f (xi) − f (xi+1) > −2
donc |fn(x) − f (x)| 6 2, et kfn− f k∞62.
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Un théorème de Dini (HP)
Soit(fn) une suite de fonctions qui converge simplement vers f sur [a, b ].
On suppose :
• ∀n ∈ N, f
n est croissante ;
• f est continue.
Alors la convergence de(fn) vers f est uniforme.
• Soit x< y ∈ [a, b ]. ∀n ∈ N, fn(x) 6 fn(y) donc (n → +∞) f (x) 6 f (y) :f est
croissante.
• Soit> 0. f est croissante etC0donc il existe une subdivision(x0 =
a, . . . , xp= b ) telle que f (xi+1) − f (xi) 6 .
• ∀i ∈ ~0, p, ∃Ni∈ N
n>Ni =⇒ |fn(xi) − f (xi)| 6 . On pose N = max i Ni.
• Soit x ∈[a, b ], et i ∈ ~0, p − 1 tel que xi6x 6 xi+1. Alors ∀n > N , fn(x) − f (x) 6 fn(xi+1) − f (xi) = fn(xi+1) − f (xi+1) + f (xi+1) − f (xi) 6 2
fn(x) − f (x) > fn(xi) − f (xi+1) = fn(xi) − f (xi) + f (xi) − f (xi+1) > −2
donc |fn(x) − f (x)| 6 2, et kfn− f k∞62.
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Un théorème de Dini (HP)
Soit(fn) une suite de fonctions qui converge simplement vers f sur [a, b ].
On suppose :
• ∀n ∈ N, f
n est croissante ;
• f est continue.
Alors la convergence de(fn) vers f est uniforme.
• Soit x< y ∈ [a, b ]. ∀n ∈ N, fn(x) 6 fn(y) donc (n → +∞) f (x) 6 f (y) : f est
croissante.
•Soit> 0. f est croissante etC0donc il existe une subdivision(x0 = a, . . . , xp= b ) telle que f (xi+1) − f (xi) 6 .
• ∀i ∈ ~0, p, ∃Ni∈ N
n>Ni =⇒ |fn(xi) − f (xi)| 6 .On pose N= max
i Ni.
• Soit x ∈[a, b ], et i ∈ ~0, p − 1 tel que xi6x 6 xi+1. Alors∀n > N, fn(x) − f (x) 6 fn(xi+1) − f (xi) = fn(xi+1) − f (xi+1) + f (xi+1) − f (xi) 6 2
fn(x) − f (x) > fn(xi) − f (xi+1) = fn(xi) − f (xi) + f (xi) − f (xi+1) > −2
donc |fn(x) − f (x)| 6 2, etkfn− f k∞62.
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Intégration d’une suite de fonctions
Deux théorèmes pour intervertir limite et intégrale :
• Si pour tout n ∈ N f
nest continue et si(fn) CVU vers f sur [a, b ]
alors lim n→+∞ Zb a fn(t ) dt = Z b a f(t ) dt .
• Théorème de convergence dominée. On suppose que :
1 pour tout n ∈ N, fnestCpm0 sur I ;
2 (fn) converge simplement sur I vers une fonction fCpm0 ;
3 il existe une fonctionφCpm0 et intégrable sur I telle que pour tout n ∈ N, |fn(t )| 6 φ(t ).
Alors f est intégrable sur I et lim
n→+∞ Z I fn(t ) dt = Z I f(t ) dt .
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Intégration d’une suite de fonctions
Deux théorèmes pour intervertir limite et intégrale :
• Si pour tout n ∈ N f
nest continue et si(fn)CVUvers f sur[a, b ]
alors lim n→+∞ Zb a fn(t ) dt = Z b a f(t ) dt .
• Théorème de convergence dominée. On suppose que :
1 pour tout n ∈ N, fnestCpm0 sur I ;
2 (fn) converge simplement sur I vers une fonction fCpm0 ;
3 il existe une fonctionφCpm0 et intégrable sur I telle que pour tout n ∈ N, |fn(t )| 6 φ(t ).
Alors f est intégrable sur I et lim
n→+∞ Z I fn(t ) dt = Z I f(t ) dt .
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Intégration d’une suite de fonctions
Deux théorèmes pour intervertir limite et intégrale :
• Si pour tout n ∈ N f
nest continue et si(fn) CVU vers f sur [a, b ]
alors lim n→+∞ Zb a fn(t ) dt = Z b a f(t ) dt .
• Théorème de convergence dominée. On suppose que :
1 pour tout n ∈ N, fn estCpm0 sur I ;
2 (fn) converge simplement sur I vers une fonction fCpm0 ;
3 il existe une fonctionφCpm0 et intégrable sur I telle que pour tout n ∈ N, |fn(t )| 6 φ(t ).
Alors f est intégrable sur I et lim
n→+∞ Z I fn(t ) dt = Z I f(t ) dt .
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Intégration d’une suite de fonctions
Calculer la limite de un= Zn 0 1 − t n n dt . un = Z+∞ 0 fn(t ) dt avec fn(t ) = 1 − t n n si t 6 n 0 si t> n • f
nest continue par morceaux sur R+;
• Soit t> 0 fixé. APCR, f
n(t ) = 1 − t n n −→ e−tdonc(fn) CVS vers f: t 7→ e−t; • |f n(t )| 6 e−t= φ(t ).
φ estCpm0 et intégrable sur R+donclim un=
Z+∞
0
e−tdt = 1.
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Intégration d’une suite de fonctions
Calculer la limite de un= Zn 0 1 − t n n dt . un = Z+∞ 0 fn(t ) dt avec fn(t ) = 1 − t n n si t 6 n 0 si t> n • f
nest continue par morceaux sur R+;
• Soit t> 0 fixé. APCR, f
n(t ) = 1 − t n n −→ e−tdonc(fn) CVS vers f: t 7→ e−t; • |f n(t )| 6 e−t= φ(t ).
φ estCpm0 et intégrable sur R+donclim un=
Z+∞
0
e−tdt = 1.
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Intégration d’une suite de fonctions
Calculer la limite de un= Zn 0 1 − t n n dt . un = Z+∞ 0 fn(t ) dt avec fn(t ) = 1 − t n n si t 6 n 0 si t> n • f
nest continue par morceaux sur R+;
• Soit t> 0 fixé. APCR, f
n(t ) = 1 − t n n −→ e−tdonc(fn) CVS vers f: t 7→ e−t; • |f n(t )| 6 e−t= φ(t ).
φ estCpm0 et intégrable sur R+donclim un=
Z+∞
0
e−tdt = 1.
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Intégration d’une suite de fonctions
Calculer la limite de un= Zn 0 1 − t n n dt . un = Z+∞ 0 fn(t ) dt avec fn(t ) = 1 − t n n si t 6 n 0 si t> n • f
nest continue par morceaux sur R+;
• Soit t> 0 fixé. APCR, f
n(t ) = 1 − t n n −→ e−tdonc(fn) CVS vers f: t 7→ e−t; • |f n(t )| 6 e−t= φ(t ).
φ estCpm0 et intégrable sur R+donclim un=
Z+∞
0
e−tdt = 1.
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Intégration d’une suite de fonctions
Calculer la limite de un= Zn 0 1 − t n n dt . un = Z+∞ 0 fn(t ) dt avec fn(t ) = 1 − t n n si t 6 n 0 si t> n • f
nest continue par morceaux sur R+;
• Soit t> 0 fixé. APCR, f
n(t ) = 1 − t n n −→ e−tdonc(fn) CVS vers f: t 7→ e−t; • |f n(t )| 6 e−t= φ(t ).
φ estCpm0 et intégrable sur R+donclim un=
Z+∞
0
e−tdt = 1.
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Intégration d’une suite de fonctions
Soit f: R+→ RC0; déterminerlim unavec un= n
Z 1+n1
1
f(xn) dx.
Deux difficultés: pas de limite simple de nf(xn) et une borne qui dépend de n. Chgt de variable t= xn : un = Zxn 1 t1/nf(t ) t dt avec xn = 1+1 n n . lim xn= e et xn 6e : un= Z e 1 fn(t ) dt avec fn(t ) = t1/nf(t ) t si t ∈[1, xn] 0 si t ∈]xn, e] • (f n) CVS vers t 7→ f(t ) t sur[1, e] ; • t 1/nf(t ) t 6 kf k∞,[1,e]= φ(t ).
φ est constante donc intégrable sur [1, e], donc lim un =
Ze
1
f(t ) t dt .
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Intégration d’une suite de fonctions
Soit f: R+→ RC0; déterminerlim unavec un= n
Z 1+n1
1
f(xn) dx.
Deux difficultés: pas de limite simple de nf(xn) et une borne qui dépend de n. Chgt de variable t= xn : un = Zxn 1 t1/nf(t ) t dt avec xn = 1+1 n n . lim xn= e et xn 6e : un= Z e 1 fn(t ) dt avec fn(t ) = t1/nf(t ) t si t ∈[1, xn] 0 si t ∈]xn, e] • (f n) CVS vers t 7→ f(t ) t sur[1, e] ; • t 1/nf(t ) t 6 kf k∞,[1,e]= φ(t ).
φ est constante donc intégrable sur [1, e], donc lim un =
Ze
1
f(t ) t dt .
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Intégration d’une suite de fonctions
Soit f: R+→ RC0; déterminerlim unavec un= n
Z 1+n1
1
f(xn) dx.
Deux difficultés: pas de limite simple de nf(xn) et une borne qui dépend de n. Chgt de variable t= xn : un = Zxn 1 t1/nf(t ) t dt avec xn = 1+1 n n . lim xn= e et xn 6e : un= Z e 1 fn(t ) dt avec fn(t ) = t1/nf(t ) t si t ∈[1, xn] 0 si t ∈]xn, e] • (f n) CVS vers t 7→ f(t ) t sur[1, e] ; • t 1/nf(t ) t 6 kf k∞,[1,e]= φ(t ).
φ est constante donc intégrable sur [1, e], donc lim un =
Ze
1
f(t ) t dt .
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Intégration d’une suite de fonctions
Soit f: R+→ RC0; déterminerlim unavec un= n
Z 1+n1
1
f(xn) dx.
Deux difficultés: pas de limite simple de nf(xn) et une borne qui dépend de n. Chgt de variable t= xn : un = Zxn 1 t1/nf(t ) t dt avec xn = 1+1 n n . lim xn= e et xn 6e : un= Z e 1 fn(t ) dt avec fn(t ) = t1/nf(t ) t si t ∈[1, xn] 0 si t ∈]xn, e] • (f n) CVS vers t 7→ f(t ) t sur[1, e] ; • t 1/nf(t ) t 6 kf k∞,[1,e]= φ(t ).
φ est constante donc intégrable sur [1, e], donc lim un =
Ze
1
f(t ) t dt .
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Séries de fonctions
• Xf
nCVSsur I lorsque pour tout x ∈ I , la série
X
fn(x) converge.
• Xf
nCVAsur I lorsque pour tout x ∈ I , la série
X
|fn(x)| converge.
• Xf
nCVUsur I lorsque
X
fn CVS etlim kRnk∞,I = 0.
• Xf
nCVNsur I lorsque la série
X
kfnk∞,I converge.
CVN CVA
CVU CVS
Aspect pratique : lorsque le CSSA s’applique, on prouve directement la CVU (majoration du reste) ; dans les autres cas, on prouve la CVU par le biais de la CVN.
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Séries de fonctions
• Xf
nCVSsur I lorsque pour tout x ∈ I , la série
X
fn(x) converge.
• Xf
nCVAsur I lorsque pour tout x ∈ I , la série
X
|fn(x)| converge.
• Xf
nCVUsur I lorsque
X
fn CVS etlim kRnk∞,I = 0.
• Xf
nCVNsur I lorsque la série
X
kfnk∞,I converge.
CVN CVA
CVU CVS
Aspect pratique : lorsque le CSSA s’applique, on prouve directement la CVU (majoration du reste) ; dans les autres cas, on prouve la CVU par le biais de la CVN.
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Séries de fonctions
• Xf
nCVSsur I lorsque pour tout x ∈ I , la série
X
fn(x) converge.
• Xf
nCVAsur I lorsque pour tout x ∈ I , la série
X
|fn(x)| converge.
• Xf
nCVUsur I lorsque
X
fn CVS etlim kRnk∞,I = 0.
• Xf
nCVNsur I lorsque la série
X
kfnk∞,I converge.
CVN CVA
CVU CVS
Aspect pratique : lorsque le CSSA s’applique, on prouve directement la CVU (majoration du reste) ; dans les autres cas, on prouve la CVU par le biais de la CVN.
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Continuité et dérivabilité
Continuité :
• ∀n ∈ N, f
n est continue sur I ;
• Xf
nCVU sur I .
alors S=Xfn est continue sur I .
Dérivabilité :
• ∀n ∈ N, f
n est de classeC1sur I ;
• Xf
nCVS sur I ;
• Xf0
nCVU sur I .
Alors S est de classeC1sur I et S0=Xfn0.
Extension du th. de dérivabilité:
• ∀n ∈ N, f
n est de classeCpsur I ;
• ∀k ∈ ~0, p − 1,Xf(k )
n CVS sur I ;
• Xf(p)
n CVU sur I .
Alors S est de classeCp sur I et ∀k ∈ ~1, p, S(k )=Xfn(k ).
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Continuité et dérivabilité
Continuité :
• ∀n ∈ N, f
n est continue sur I ;
• Xf
nCVU sur I .
alors S=Xfn est continue sur I .
Dérivabilité :
• ∀n ∈ N, f
n est de classeC1sur I ;
• Xf
nCVS sur I ;
• Xf0
nCVU sur I .
Alors S est de classeC1sur I et S0=Xfn0.
Extension du th. de dérivabilité:
• ∀n ∈ N, f
n est de classeCpsur I ;
• ∀k ∈ ~0, p − 1,Xf(k )
n CVS sur I ;
• Xf(p)
n CVU sur I .
Alors S est de classeCp sur I et ∀k ∈ ~1, p, S(k )=Xfn(k ).
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Continuité et dérivabilité
Utilisation de la CVN Soit f: x 7→ +∞ X n=1 fn(x) avec fn(x) = arctan x n2 .• Déterminer l’ensemble de définition de f .
• Prouver la continuité de f sur son ensemble de définition.
• Prouver la dérivabilité de f sur son ensemble de définition.
• ∀x ∈ R, arctan x n2 = n→+∞O 1 n2
donc CVA sur R.
• Sur[−a, a], kf
nk∞= arctan a n2 = +∞O 1 n2
donc CVN sur tout[−a, a].
Donc f estC0sur[−a, a] puis sur R (recouvrement).
• f0 n(x) = 1 n2+ x2donc kf 0 nk∞,R= 1 n2. X
fn0 CVN donc CVU sur R ; f
est de classeC1sur R.
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Continuité et dérivabilité
Utilisation de la CVN Soit f: x 7→ +∞ X n=1 fn(x) avec fn(x) = arctan x n2 .• Déterminer l’ensemble de définition de f .
• Prouver la continuité de f sur son ensemble de définition.
• Prouver la dérivabilité de f sur son ensemble de définition.
• ∀x ∈ R, arctan x n2 = n→+∞O 1 n2
donc CVA sur R.
• Sur[−a, a], kf
nk∞= arctan a n2 = +∞O 1 n2
donc CVN sur tout[−a, a].
Donc f estC0sur[−a, a] puis sur R (recouvrement).
• f0 n(x) = 1 n2+ x2donc kf 0 nk∞,R= 1 n2. X
fn0 CVN donc CVU sur R ; f
est de classeC1sur R.
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Continuité et dérivabilité
Utilisation de la CVN Soit f: x 7→ +∞ X n=1 fn(x) avec fn(x) = arctan x n2 .• Déterminer l’ensemble de définition de f .
• Prouver la continuité de f sur son ensemble de définition.
• Prouver la dérivabilité de f sur son ensemble de définition.
• ∀x ∈ R, arctan x n2 = n→+∞O 1 n2
donc CVA sur R. • Sur[−a, a], kf
nk∞= arctan a n2 = +∞O 1 n2
donc CVN sur tout[−a, a].
Donc f estC0sur[−a, a] puis sur R (recouvrement).
• f0 n(x) = 1 n2+ x2donc kf 0 nk∞,R= 1 n2. X
fn0 CVN donc CVU sur R ; f
est de classeC1sur R.
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Continuité et dérivabilité
Utilisation de la CVN Soit f: x 7→ +∞ X n=1 fn(x) avec fn(x) = arctan x n2 .• Déterminer l’ensemble de définition de f .
• Prouver la continuité de f sur son ensemble de définition.
• Prouver la dérivabilité de f sur son ensemble de définition.
• ∀x ∈ R, arctan x n2 = n→+∞O 1 n2
donc CVA sur R. • Sur[−a, a], kf
nk∞= arctan a n2 = +∞O 1 n2
donc CVN sur tout[−a, a].
Donc f estC0sur[−a, a] puis sur R (recouvrement).
• f0 n(x) = 1 n2+ x2donc kf 0 nk∞,R= 1 n2. X
fn0 CVN donc CVU sur R ; f
est de classeC1sur R.
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Continuité et dérivabilité
Utilisation du critère spécial
Soit f: x 7→ +∞ X n=0 fn(x) avec fn(x) = (−1) n 1+ nx.
• Montrer que f est définie et continue sur R∗
+.
• Déterminer la limite de f en+∞.
• Montrer que f est de classeC1sur R∗
+.
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Continuité et dérivabilité
Utilisation du critère spécial
Soit f: x 7→ +∞ X n=0 fn(x) avec fn(x) = (−1) n 1+ nx.
• Montrer que f est définie et continue sur R∗
+.
• Déterminer la limite de f en+∞.
• Montrer que f est de classeC1sur R∗
+. • CSSA → CVS, et |R n(x)| 6 1 1+ (n + 1)x. Sur[α, +∞[ (α > 0), kRnk∞6 1
1+ (n + 1)α donc CVU sur[α, +∞[.
f est continue sur tout[α, +∞[ puis sur R (recouvrement).
• CSSA : 1 − 1
1+ x 6f(x) 6 1 donc lim+∞f(x) = 1.
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Continuité et dérivabilité
Utilisation du critère spécial
Soit f: x 7→ +∞ X n=0 fn(x) avec fn(x) = (−1) n 1+ nx.
• Montrer que f est définie et continue sur R∗
+.
• Déterminer la limite de f en+∞.
• Montrer que f est de classeC1sur R∗
+. • CSSA → CVS, et |R n(x)| 6 1 1+ (n + 1)x. Sur[α, +∞[ (α > 0), kRnk∞6 1
1+ (n + 1)α donc CVU sur[α, +∞[.
f est continue sur tout[α, +∞[ puis sur R (recouvrement).
• CSSA : 1 − 1
1+ x 6f(x) 6 1 donc lim+∞f(x) = 1.
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Continuité et dérivabilité
Utilisation du critère spécial
Soit f: x 7→ +∞ X n=0 fn(x) avec fn(x) = (−1) n 1+ nx.
• Montrer que f est définie et continue sur R∗
+.
• Déterminer la limite de f en+∞.
• Montrer que f est de classeC1sur R∗
+. • CSSA → CVS, et |R n(x)| 6 1 1+ (n + 1)x. Sur[α, +∞[ (α > 0), kRnk∞6 1
1+ (n + 1)α donc CVU sur[α, +∞[.
f est continue sur tout[α, +∞[ puis sur R (recouvrement).
• CSSA : 1 − 1
1+ x 6f(x) 6 1 donc lim+∞f(x) = 1.
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Continuité et dérivabilité
Utilisation du critère spécial
Soit f: x 7→ +∞ X n=0 fn(x) avec fn(x) = (−1) n 1+ nx.
• Montrer que f est définie et continue sur R∗
+.
• Déterminer la limite de f en+∞.
• Montrer que f est de classeC1sur R∗
+. fn0(x) =(−1) n+1n (1 + nx)2. Le CSSA s’applique ? → on fixe x> 0 ; on étudie φ(t) = t (1 + tx)2. x φ(t ) 0 1/x +∞ ∀n >1 x, |Rn(x)| 6 n+ 1 (1 + (n + 1)x)2. Sur[α, +∞[, ∀n >1 α, kRnk∞,[α,+∞[ 6 n+ 1
(1 + (n + 1)α)2donc CVU sur[α, +∞[.
f estC1sur[α, +∞[ puis sur R∗+(recouvrement).
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Continuité et dérivabilité
Utilisation du critère spécial
Soit f: x 7→ +∞ X n=0 fn(x) avec fn(x) = (−1) n 1+ nx.
• Montrer que f est définie et continue sur R∗
+.
• Déterminer la limite de f en+∞.
• Montrer que f est de classeC1sur R∗
+. fn0(x) =(−1) n+1n (1 + nx)2. Le CSSA s’applique ? → on fixe x> 0 ; on étudie φ(t) = t (1 + tx)2. x φ(t ) 0 1/x +∞ ∀n >1 x, |Rn(x)| 6 n+ 1 (1 + (n + 1)x)2. Sur[α, +∞[, ∀n >1 α, kRnk∞,[α,+∞[ 6 n+ 1
(1 + (n + 1)α)2donc CVU sur[α, +∞[.
f estC1sur[α, +∞[ puis sur R∗+(recouvrement).
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Continuité et dérivabilité
Utilisation du critère spécial
Soit f: x 7→ +∞ X n=0 fn(x) avec fn(x) = (−1) n 1+ nx.
• Montrer que f est définie et continue sur R∗
+.
• Déterminer la limite de f en+∞.
• Montrer que f est de classeC1sur R∗
+. fn0(x) =(−1) n+1n (1 + nx)2. Le CSSA s’applique ? → on fixe x> 0 ; on étudie φ(t) = t (1 + tx)2. x φ(t ) 0 1/x +∞ ∀n >1 x, |Rn(x)| 6 n+ 1 (1 + (n + 1)x)2. Sur[α, +∞[, ∀n >1 α, kRnk∞,[α,+∞[ 6 n+ 1
(1 + (n + 1)α)2donc CVU sur[α, +∞[.
f estC1sur[α, +∞[ puis sur R∗+(recouvrement).
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Continuité et dérivabilité
Utilisation du critère spécial
Soit f: x 7→ +∞ X n=0 fn(x) avec fn(x) = (−1) n 1+ nx.
• Montrer que f est définie et continue sur R∗
+.
• Déterminer la limite de f en+∞.
• Montrer que f est de classeC1sur R∗
+. fn0(x) =(−1) n+1n (1 + nx)2. Le CSSA s’applique ? → on fixe x> 0 ; on étudie φ(t) = t (1 + tx)2. x φ(t ) 0 1/x +∞ ∀n >1 x, |Rn(x)| 6 n+ 1 (1 + (n + 1)x)2. Sur[α, +∞[, ∀n > 1 α, kRnk∞,[α,+∞[ 6 n+ 1
(1 + (n + 1)α)2donc CVU sur[α, +∞[.
f estC1sur[α, +∞[ puis sur R∗+(recouvrement).
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Continuité et dérivabilité
Utilisation du critère spécial
Soit f: x 7→ +∞ X n=0 fn(x) avec fn(x) = (−1) n 1+ nx.
• Montrer que f est définie et continue sur R∗
+.
• Déterminer la limite de f en+∞.
• Montrer que f est de classeC1sur R∗
+. fn0(x) =(−1) n+1n (1 + nx)2. Le CSSA s’applique ? → on fixe x> 0 ; on étudie φ(t) = t (1 + tx)2. x φ(t ) 0 1/x +∞ ∀n >1 x, |Rn(x)| 6 n+ 1 (1 + (n + 1)x)2. Sur[α, +∞[, ∀n > 1 α, kRnk∞,[α,+∞[ 6 n+ 1
(1 + (n + 1)α)2donc CVU sur[α, +∞[.
f estC1sur[α, +∞[ puis sur R∗+(recouvrement).
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Intégration
Trois théorèmes pour justifier que
+∞ X n=0 Z I fn(t ) dt = Z I +∞ X n=0 fn(t ) dt : • I= [a, b ], les f n sontC0et X fn CVU sur[a, b ] ; • les f
nsontCpm0 et intégrables sur I ,
X fn CVS et sa somme estCpm0 , etX n Z I |fn| CV ; • Z I +∞ X k=0 fk(t ) dt = n X k=0 Z I fn(t ) dt + Z I Rn(t ) dt et on prouve que lim n→+∞ Z I Rn(t ) dt = 0 (à l’aide du th. de CV dominée).
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Intégration
Trois théorèmes pour justifier que
+∞ X n=0 Z I fn(t ) dt = Z I +∞ X n=0 fn(t ) dt : • I= [a, b ], les f n sontC0et X fnCVU sur[a, b ] ; • les f
nsontCpm0 et intégrables sur I ,
X fn CVS et sa somme estCpm0 , etX n Z I |fn| CV ; • Z I +∞ X k=0 fk(t ) dt = n X k=0 Z I fn(t ) dt + Z I Rn(t ) dt et on prouve que lim n→+∞ Z I Rn(t ) dt = 0 (à l’aide du th. de CV dominée).
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Intégration
Trois théorèmes pour justifier que
+∞ X n=0 Z I fn(t ) dt = Z I +∞ X n=0 fn(t ) dt : • I= [a, b ], les f n sontC0et X fnCVU sur[a, b ] ; • les f
nsontCpm0 et intégrables sur I ,
X fn CVS et sa somme estCpm0 , etX n Z I |fn| CV ; • Z I +∞ X k=0 fk(t ) dt = n X k=0 Z I fn(t ) dt + Z I Rn(t ) dt et on prouve que lim n→+∞ Z I Rn(t ) dt = 0 (à l’aide du th. de CV dominée).
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Intégration
Trois théorèmes pour justifier que
+∞ X n=0 Z I fn(t ) dt = Z I +∞ X n=0 fn(t ) dt : • I= [a, b ], les f n sontC0et X fnCVU sur[a, b ] ; • les f
nsontCpm0 et intégrables sur I ,
X fn CVS et sa somme estCpm0 , etX n Z I |fn| CV ; • Z I +∞ X k=0 fk(t ) dt = n X k=0 Z I fn(t ) dt + Z I Rn(t ) dt et on prouve que lim n→+∞ Z I Rn(t ) dt = 0 (à l’aide du th. de CV dominée).
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Intégration
Soit(λn) une suite croissante de réels strictement positifs qui diverge
vers+∞, et S : x 7→
+∞
X
n=0
fn(x) avec fn : x 7→ (−1)ne−λnx.
• Montrer que S est définie et continue sur]0, ∞[.
• Montrer que S est intégrable et calculer
Z+∞
0
S(t ) dt .
CSSA: ∀x> 0, (e−λnx)
n∈Ndécroit et tend vers 0 donc S est définie sur R
∗ +. On pose Rn(x) = +∞ X k=n+1 fk(x). Alors |Rn(x)| 6 e−λn+1x.
Sur[α, +∞[, kRnk∞6e−λn+1αdonclim kRnk∞= 0 : CVU sur tout [α, +∞[.
Les fn étant continues, S est continue sur[α, +∞[ puis par recouvrement
sur R∗+.
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Intégration
Soit(λn) une suite croissante de réels strictement positifs qui diverge
vers+∞, et S : x 7→
+∞
X
n=0
fn(x) avec fn : x 7→ (−1)ne−λnx.
• Montrer que S est définie et continue sur]0, ∞[.
• Montrer que S est intégrable et calculer
Z+∞
0
S(t ) dt .
CSSA: ∀x> 0, (e−λnx)
n∈Ndécroit et tend vers 0 donc S est définie sur R
∗ +. On pose Rn(x) = +∞ X k=n+1 fk(x). Alors |Rn(x)| 6 e−λn+1x.
Sur[α, +∞[, kRnk∞6e−λn+1αdonclim kRnk∞= 0 : CVU sur tout [α, +∞[.
Les fn étant continues, S est continue sur[α, +∞[ puis par recouvrement
sur R∗+.
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Intégration
Soit(λn) une suite croissante de réels strictement positifs qui diverge
vers+∞, et S : x 7→
+∞
X
n=0
fn(x) avec fn : x 7→ (−1)ne−λnx.
• Montrer que S est définie et continue sur]0, ∞[.
• Montrer que S est intégrable et calculer
Z+∞
0
S(t ) dt .
CSSA: ∀x> 0, (e−λnx)
n∈Ndécroit et tend vers 0 donc S est définie sur R
∗ +. On pose Rn(x) = +∞ X k=n+1 fk(x). Alors |Rn(x)| 6 e−λn+1x.
Sur[α, +∞[, kRnk∞6e−λn+1αdonclim kRnk∞= 0 : CVU sur tout [α, +∞[.
Les fn étant continues, S est continue sur[α, +∞[ puis par recouvrement
sur R∗+.
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Intégration
Soit(λn) une suite croissante de réels strictement positifs qui diverge
vers+∞, et S : x 7→
+∞
X
n=0
fn(x) avec fn : x 7→ (−1)ne−λnx.
• Montrer que S est définie et continue sur]0, ∞[.
• Montrer que S est intégrable et calculer
Z+∞
0
S(t ) dt .
CSSA: ∀x> 0, (e−λnx)
n∈Ndécroit et tend vers 0 donc S est définie sur R
∗ +. On pose Rn(x) = +∞ X k=n+1 fk(x). Alors |Rn(x)| 6 e−λn+1x.
Sur[α, +∞[, kRnk∞6e−λn+1αdonclim kRnk∞= 0 : CVU sur tout [α, +∞[.
Les fn étant continues, S est continue sur[α, +∞[ puis par recouvrement
sur R∗+.
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Intégration
Soit(λn) une suite croissante de réels strictement positifs qui diverge
vers+∞, et S : x 7→
+∞
X
n=0
fn(x) avec fn : x 7→ (−1)ne−λnx.
• Montrer que S est définie et continue sur]0, ∞[.
• Montrer que S est intégrable et calculer
Z+∞ 0 S(t ) dt . On calcule Z+∞ 0 e−λntdt = 1
λn. les fonctions fnsont intégrables.
• SiX 1
λn
CVon applique le th. d’interversion : S est intégrable et
Z+∞ 0 S(t ) dt = +∞ X n=0 (−1)n λn .
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Intégration
Soit(λn) une suite croissante de réels strictement positifs qui diverge
vers+∞, et S : x 7→
+∞
X
n=0
fn(x) avec fn : x 7→ (−1)ne−λnx.
• Montrer que S est définie et continue sur]0, ∞[.
• Montrer que S est intégrable et calculer
Z+∞ 0 S(t ) dt . On calcule Z+∞ 0 e−λntdt = 1
λn. les fonctions fnsont intégrables.
• SiX 1
λn
CVon applique le th. d’interversion : S est intégrable et
Z+∞ 0 S(t ) dt = +∞ X n=0 (−1)n λn .
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Intégration
Soit(λn) une suite croissante de réels strictement positifs qui diverge
vers+∞, et S : x 7→
+∞
X
n=0
fn(x) avec fn : x 7→ (−1)ne−λnx.
• Montrer que S est définie et continue sur]0, ∞[.
• Montrer que S est intégrable et calculer
Z+∞ 0 S(t ) dt . On calcule Z+∞ 0 e−λntdt = 1 λn
. les fonctions fnsont intégrables.
• SiX 1 λn DVméthode alternative : S(x) = n X k=0 fk(x) + Rn(x).
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Intégration
Soit(λn) une suite croissante de réels strictement positifs qui diverge
vers+∞, et S : x 7→
+∞
X
n=0
fn(x) avec fn : x 7→ (−1)ne−λnx.
• Montrer que S est définie et continue sur]0, ∞[.
• Montrer que S est intégrable et calculer
Z+∞ 0 S(t ) dt . On calcule Z+∞ 0 e−λntdt = 1 λn
. les fonctions fnsont intégrables.
• SiX 1 λn DVméthode alternative : S(x) = n X k=0 fk(x) + Rn(x). |Rn(x)| 6 e−λn+1x 6e−λ0x = φ(x). φ estC0
pmet intégrable donc (CV
domi-née) Rnest intégrable etlim
Z+∞
0
Rn(t ) dt = 0.
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Intégration
Soit(λn) une suite croissante de réels strictement positifs qui diverge
vers+∞, et S : x 7→
+∞
X
n=0
fn(x) avec fn : x 7→ (−1)ne−λnx.
• Montrer que S est définie et continue sur]0, ∞[.
• Montrer que S est intégrable et calculer
Z+∞ 0 S(t ) dt . On calcule Z+∞ 0 e−λntdt = 1 λn
. les fonctions fnsont intégrables.
• SiX 1 λn DVméthode alternative : S(x) = n X k=0 fk(x) + Rn(x).
S est somme finie de fcns intégrables donc est intégrable, et
Z+∞ 0 S(t ) dt = n X k=0 (−1)k λk + Z+∞ 0 Rn(t ) dt −→ n→+∞ +∞ X k=0 (−1)k λk