Histoire(s)dePi

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π

Définition :

π (pi) est le nom de la seizième lettre de l'alphabet grec, et mathématiquement, représente le rapport constant entre la circonférence d'un cercle et son diamètre.

d r

Soit p le périmètre de ce cercle de rayon r et de diamètre d = 2r. p = 2

_×

_×

_×

d p

Mais il n'a pas toujours eu ce nom : lorsqu’il n'avait pas de nom précis, on le notait souvent p, c, ou on utilisait une de ses valeurs approchées. La notation π, n'apparaît qu'en 1647. Elle est due à l'anglais William Oughtred (1574 ; 1660) qui l'utilise pour nommer le périmètre d'un cercle. Il s'est inspiré d'Archimède qui désignait la longueur de la circonférence du cercle par le mot peripheria (περιφερια). Toutefois, il faudra attendre le grand mathématicien Leonhard Euler (1707 ; 1783) et le succès de son ouvrage "Introduction à l'Analyse infinitésimale" (1748) pour que la lettre π s'impose définitivement comme notation du nombre Pi.

La quadrature du cercle :

π a de nombreuses propriétés qui ont fasciné les Grecs qui l'ont étudié, la principale est qu'il est irrationnel (ce qui veut dire qu'il ne peut pas être exprimé comme le quotient de deux nombres entiers). Rappelons que selon les mathématiciens Grecs, tout nombre était forcément rationnel. π leur posait donc un gros problème. Historiquement, de nombreux mathématiciens étaient aussi convaincus par cette idée et ont cherché à trouver une fraction égale à π. Ce problème pouvait aussi se poser de la façon suivante : déterminer un carré dont l'aire soit égale à celle d'un cercle donné. La recherche d’une solution à ce problème s’est appelée le problème de la quadrature du cercle, problème qui par la suite s’est révélé ne pas avoir de solution. Cette expression s’utilise encore de nos jours lorsqu’on se retrouve devant un problème qui semble ne pas avoir de solution.

L'irrationalité de π est encore plus étonnante que celle de 2 par exemple, puisque pour ce dernier, on sait au moins qu'il est solution de l'équation x2 = 2 (quel nombre faut-il multiplier par lui-même pour trouver 2 ?). Alors que pour π, il n'existe pas une telle équation. Le mathématicien allemand Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852 - 1939) l'a démontré et qualifiera ce nombre de transcendant. Toute écriture décimale de ce nombre ne représente qu’une valeur approchée... c'est ce qui motive la course aux décimales du nombre π.

Une petite histoire du nombre π :

Le nombre π résume une histoire des mathématiques vieille de plus de 4 000 ans, recouvrant aussi bien la géométrie que l'analyse ou l'algèbre. Les mathématiciens s'y intéressèrent dès l'Antiquité, et en particulier les Grecs dans des problèmes de géométrie.

La plus ancienne valeur de π dont l'utilisation est attestée provient d'une tablette babylonienne en écriture cunéiforme, découverte en 1936 et datée de 2 000 avant J.-C. Les Babyloniens y seraient arrivés en comparant le périmètre du cercle avec celui de l'hexagone inscrit, égal à trois fois le diamètre ; ils en déduisirent cette valeur approximative : π ≈ 3 + 1/8 (soit 3,125).

A B C D E F d = AD = 2, AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1 Périmètre de l’hexagone ABCDEF : p = 6

_×

_×

d p = AD AD 3 = 3

2 Découvert en 1855, le papyrus de Rhind contient le texte, recopié vers l'an 1650 avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, d'un manuel de problèmes plus ancien encore. Le calcul mentionné par ce texte implique que π était évalué à 4×(8/9)2.

Aire du disque de rayon r : πr2. Ci-contre, on a un cercle de rayon 1, inscrit dans un carré. L’aire de ce disque est donc π. Le carré vient diviser en 9 carrés identiques et on forme un octogone dont l’aire est proche de celle du disque. Longueur du côté de ces petits carrés : 2/3. Aire de l’octogone : 4

_×

_×

_×

_×

_≈

_×

Archimède de Syracuse (-287 ; -212) s’inspire ensuite de la méthode d’exhaustion due à Eudoxe de

Cnide. Sa méthode consiste à encadrer le cercle de rayon 1 par des polygones dont on connaît le périmètre. Le premier polygone a 3 côtés (triangle) et on double le nombre de côtés à chaque étape, pour obtenir une approximation du périmètre du cercle aussi précise que l’on veut. On passe donc du triangle à l’hexagone, de l’hexagone au dodécagone, etc... En s’arrêtant à un polygone à 96 côtés, il obtint comme encadrement de π : 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7, ce qui donne une précision de 1/1000.

... On utilisa la méthode d’Archimède pendant près de 2000 ans. En Inde, le plus

ancien document connu, le Siddhanta, datant de 380, nous donne comme approximation 3 + 177/1250 ≈ 3,1416 qui sera égalée au VIème siècle par Aryabhata l’Ancien (476 ; 550). En Chine, Liu Hui utilise, en 263 de notre ère, la méthode d'Archimède avec des polygones à 192 côtés puis 3072 côtés pour trouver une approximation de π au cent millième. Au Vème siècle, les calculs sont simplifiés grâce au système décimal. Tsu Chung Chih (430 ; 501) trouve alors une approximation au millionième près (3,141592) : la fraction 355/113 (facile à retenir en lisant de bas en haut : "11,33,55"). Plus tard les Arabes poussent plus loin encore les approximations de π. Le chercheur perse de Samarkand Jemchid ibn Massoud al Kashi (1380 ; 1429) applique lui aussi la

méthode d'Archimède pour calculer une valeur approchée à 14 décimales exactes.

En occident, il faut attendre le XVIème siècle pour trouver les premières avancées sérieuses sur le sujet bien que Claude Ptolémée (110? ; 160?) et Léonard de Pise dit Fibonacci (1180 ; 1250) aient proposé

des approximations intéressantes de π. En 1593, François Viete (1540 ; 1603) obtient une approximation

à 9 décimales grâce à des méthodes analytiques novatrices mais peu efficaces où π se calcule par des produits infinis dont chaque facteur se déduit du précédent. En 1609, l'Allemand Ludolph van Ceulen (1540 ; 1610) reprend la méthode d'Archimède avec des polygones à 60 × 233 côtés !!! Il calcule ainsi π avec 34 décimales exactes qu'il fit graver sur sa tombe. Pour 100 décimales, il faudra attendre le XVIIIème siècle, et le début du XXème siècle pour 1000 décimales (à la fin du XXème siècle, on en a calculé plus de 200 milliards).

A partir du XVIIIe siècle, on se pencha de plus près sur les caractéristiques du nombre π. En 1761, Johann Heinrich Lambert démontra l'irrationalité du nombre π. Et en 1794, le Français Adrien Marie Legendre publia Eléments de géométrie où il donna une démonstration simple que π est irrationnel, la

première preuve que π2 l'est aussi, et conjectura que π est transcendant. Puis en 1882, l'Allemand

Lindemann établit sa transcendance, c'est-à-dire que le nombre π n'est racine d'aucun polynôme à

coefficients entiers. Ce résultat permit de démontrer enfin l'impossibilité de la quadrature du cercle, problème qui occupa les mathématiciens pendant plus de deux mille ans.

Il fallut attendre la naissance du calcul infinitésimal, dans la seconde moitié du XVIIe siècle, pour que le nombre π intervienne dans l'étude des séries: avec Isaac Newton (1643-1727) et Leibniz (1646-1716).

3 Ainsi, Grégory (1638-1675) découvrit la formule:

∑

∞ = + + − = 0 1 2 1 2 1 n n n n x ) ( x

arctan . Leibniz publia les formules

(dérivées de celle de Grégory):

∑

∞ = + − = 02 1 1 4 n n n ) (

π

∑

π

première à Grégory car il suffit de remplacer x par 1 dans sa formule pour l'obtenir, et il serait étonnant qu'il ne s'en soit pas aperçu. Il n'a pas dû la publier en raison de son incroyable lenteur de convergence.

Puis Leonhard Euler découvrit la formule: +...

× × × × × × + × × × × + × × + = 7 5 3 1 3 2 1 1 5 3 1 2 1 1 3 1 1 1 1 1 π

John Machin découvrit en 1706 une formule qui permit pour la première fois le calcul à la main de 100

décimales, cette formule est encore utilisée de nos jours. Williams Shanks calcula en 1874 les 707 décimales qu'en 1967 le Palais de la découverte de Paris recopia sur le plafond de la salle pi. Les décimales étaient fausses à partir de la 528ème. L'erreur de Shanks fut découverte en 1945, et contrairement à ce que l'on raconte encore, les décimales de la salle pi du Palais de la découverte sont aujourd'hui toutes parfaitement exactes.

L'efficacité des programmes actuels pour calculer les décimales du nombre π sont de plus en plus rapides à cause, d'une part, des progrès informatiques et d'autre part à cause des progrès mathématiques non négligeables : aujourd'hui, pour doubler le nombre de décimales calculées, le temps de calcul double seulement (méthode quasi linéaire), alors que jusqu'en 1974 pour doubler le nombre de décimales, il fallait multiplier les temps de calcul par quatre au minimum (méthode quadratique).

Signalons encore un mathématicien remarquable, l'indien Srinivasa Ramanujan

(1887 ; 1920). Ce jeune génie des nombres est doué d'une intuition fabuleuse et possède une aptitude rare au calcul. Il fait de nombreuses découvertes mais la plupart restent sans démonstration. Ramanujan propose des formules permettant d'approcher π. Leur efficacité fait que certaines sont encore utilisées pour la programmation des ordinateurs calculant les décimales de π. Voici une des belles formules découverte en 1910 par Ramanujan qui permet de calculer 8 décimales de π à chaque itération : 1 0 4 4 396 26390 1103 4 2 2 9801 ∞ − =      ₊ =

_∑

π

Le 19 septembre 1995 à 0h29 (heure locale: GMT-04) le mathématicien canadien Simon Plouffe

découvrit avec l'aide de Peter Borwein et David Bailey une formule qui bouleversa bon nombre d'idées reçues sur π. Cette formule possède la propriété inattendue d'autoriser le calcul des décimales binaires du nombre π indépendamment les unes des autres, ce que tout le monde croyait impossible. Un an plus tard, Simon Plouffe renouvela l'exploit mais pour la base 10, mais elle n'est pas applicable car elle est quadratique (convergence en n2). Il a aussi démontré que cela est possible dans toutes les bases. Jusqu'à présent, connaître la milliardième décimale du nombre π (en base 2 ou 10) obligeait à calculer les précédentes. Le français Fabrice Bellard a d'ailleurs obtenu le record du monde du calcul de décimale binaire de pi en utilisant la série de Plouffe, il a détenu le record du monde le lundi 22 septembre 1997 en ayant calculé la 1000 milliardième décimale en binaire du nombre π (qui est 1), mais pour ce dernier record, il a utilisé une autre formule plus rapide qu'il a découvert lui-même. Le record actuel est détenu par Colin Percival qui a obtenu la 40 000 milliardième décimale binaire de π le mardi 9 février 1999 en utilisant la formule de Bellard.

Sachez aussi qu'aujourd'hui il est connu 1 241 100 000 000 décimales de π, c'est un Japonais, Yasumasa Kanada, qui détient le record. Les méthodes d'approximation ont considérablement évolué et les ordinateurs permettant d'effectuer les calculs sont grands comme plusieurs terrains de tennis.

Vous pouvez également télécharger des décimales de π en ouvrant les liens suivants : 10 000 décimales de π : http://www.nombrepi.com/10000pi.html

50 000 décimales de π : http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Hall/1216/numtab/pi.htm 100 000 décimales de π : http://www.nombrepi.com/pi100000.html

4 Pour ceux qui en veulent encore plus, il est possible de télécharger un petit logiciel Pifast (en anglais, au http://perso.wanadoo.fr/didier.pothet/pifast43.zip) qui vous propose de calculer, à l'aide de différentes méthodes, le nombre de décimales que vous souhaitez. Une fois le calcul terminé, les décimales sont automatiquement rangées dans un fichier à part.

Si vous êtes plus "lettres" que "nombres", il existe un petit poème qui permet de mémoriser les premières décimales de π : que j’aime à faire connaître ce nombre utile aux sages...

que j’ aime à faire connaître ce nombre utile aux sages

3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5

π _{≈ 3,141592526535}

On peut aussi trouver sur Internet le club des personnes connaissant par cœur plus de 1000 décimales de π: The 1000-club : http://www.acc.umu.se/%7Eolletg/pi/club_1000.html. Actuellement, le record est détenu par un japonais, Hiroyuki Goto, qui connaît 42195 décimales. Vous vous demandez quel est l'intérêt d'accomplir de telles prouesses ... mais pour rien bien sûr ... quand on aime, on "compte" !

Si vous souhaitez aller plus loin, il existe de très nombreux sites qui traitent du nombre Pi. En voici quelques uns :

I am in Pi : http://www.facade.com/legacy/amiinpi/ (en anglais) Pour trouver sa date de naissance cachée dans les décimales de π.

pi314.net : http://www.pi314.net/ Sur ce très bon site, vous trouverez l'histoire du nombre π, des articles ainsi que de belles photos et des fonds d'écran.

univ-mulhouse : http://www.math.univ-mulhouse.fr/Pi/index.html propose une rubrique complète sur le nombre π.

Peripheria : http://www.peripheria.net/ Vous trouverez sur ce site tout ce que vous avez toujours rêvé de savoir sur le nombre π : définition, histoire, mathématiciens, records, calculs, décimales, amusements, poèmes, logiciels, de nombreux autres liens, ...

Les aiguilles de Buffon:http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/Page.php?IDP=490&IDD=0 une méthode originale donnant une approximation de π.

Les Shadoks et Pi : http://www.chez.com/mathproject/ un site amusant sur Pi réalisé par un amateur des Shadoks et ... de π (bien sûr) !