Modèle hydrostatique pour les écoulements à surface libre tridimensionnels et schémas numériques

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Modèle hydrostatique pour les écoulements à surface

libre tridimensionnels et schémas numériques

Astrid Decoene

To cite this version:

Astrid Decoene. Modèle hydrostatique pour les écoulements à surface libre tridimensionnels et schémas

numériques. Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI; Laboratoire

Jacques-Louis Lions, 2006. Français. �tel-00180003�

PARIS 6

PIERRE ET MARIE CURIE

- E ole Do torale de S ien es Mathématiques

-de Paris Centre

Spé ialité

Mathématiques Appliquées

Présentée par

Astrid DECOENE

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR de l'UNIVERSITE PARIS 6

Sujet de la thèse :

Modèle hydrostatique pour les é oulements à

surfa e libre

tridimensionnels et s hémas numériques

soutenue le 24 mai 2006 devant le jury omposé de :

M. Jean-Frédéri Gerbeau, Dire teur de thèse

M. Benoît Perthame, Dire teur de thèse

M. Fausto Saleri, Rapporteur

M. Charles-Henri Bruneau, Rapporteur

M. Frédéri He ht, Président du jury

REMERCIEMENTS

Je souhaiteremer ier toutesles personnesquiont ontribué àl'engagement

etàl'aboutissement de e longpar ours qu'a étémathèse.

Mer i don àBenoîtPerthameetJean-Mi hel Hervouetde m'avoir

pro-posé esujet.

Ma profondegratitude vaà Jean-Frédéri Gerbeau quim'a patiemment

guidépendant es troisannées (etquelques...). Mer i pour sonexigen e,sa

disponibilité etsonsoutien.

Je remer ie sin èrement Emile Razandrakoto, en parti ulier pour la

onan equ'il a toujourspla ée en moi.

Je ne voudrais surtout pasoublier Marie-OdileBristeau, qui m'asi

ha-leureusementa euillieetdontles onseilsetl'expérien em'ontétépré ieux.

Je tiens également à exprimer toute ma gratitude à mes rapporteurs,

Charles-HenriBruneau etFausto Saleri, pour avoira epté de lireet

d'éva-luerma thèse,ainsiqu'à Frédéri He ht pour avoirprésidé ejury.

Vin ent Martin m'a permis de ollaborer sous le soleil marseillais puis

dans les sombres bureaux ro quen ourtois à son travail autour des

é oule-mentsde sang danslesartères : ette petite parenthèse dansmathèse s'est

avéréeextrêment enri hissanteetsatisfaisante, etje l'enremer ie.

Je tiens nalement à salueretremer ier mes ollègues de l'INRIA et du

LNHE:Emmanuel,Vi tor(pordondeandas?),Claire,Paola,Manu,Thierry

(mer i en ore), Reza, Floren e, Didier, Mohammed, Cé ile, Miguel, Amel,

Ni olas,Iria, Nuno,Paula, Ja ques,Loï , Hatem... pour ne iterqu'eux.

Mer i biensûr àmon pèreetma mère pour leur soutienin onditionnel,

ainsiqu'à messoeurettes adorées.

Modèle hydrostatique pour les é oulements à surfa e libre

tridimensionnels et s hémas numériques.

Résumé : Cette thèse a pour obje tif l'approfondissement de l'étude

des équations régissant les é oulements à surfa e libre en dimension trois.

Nous proposons d'une part une nouvelle formulation variationnelle du

pro-blèmehydrostatiqueaboutissantàunproblèmesemi-dis retiséentempsbien

posé.Nousenfaisonsl'analysemathématiqueet nousmontronsquelques

ré-sultats numériques obtenus après programmation de l'approximation de e

problème dans le logi iel Telema -

3

D développé au Laboratoire National

d'HydrauliqueetEnvironnement(LNHE)d'edf.D'autrepart,nousétudions

laréinterprétation dansle adreALE de laméthodede dis rétisation

verti- alededomaines tridimensionnelsappelée transformationsigma, etnousen

proposons une généralisation permettant d'améliorer la représentation des

strati ationsdans uné oulement. Finalement, nousprésentons uns héma

ALE-MURD onservatif pour la résolution des équations de onve tion

li-néaires posées sur un domaine mobile. Une ondition parti ulière doit être

vériéeanqueles hémasoit onservatiflorsqueledomainbouge

ee tive-ment.Nousmontrons omment assurer ette ontrainte dansle as

parti u-lieroù ledomaine esttridimensionnel etne bouge queselon laverti ale. Ce

résultat est illustrédans le adre des é oulements à surfa e libre en

dimen-siontrois.

Mots- lés:équationsdeNavier-Stokesàsurfa elibre,é oulements

tridi-mensionnels,Telema -

3

D,modèlehydrostatique,élémentsnis,ALE,

trans-formation sigma, problèmes de onve tion linéaire, s hémas distribués, lois

de onservation géométrique.

Hydrostati model for the three-dimensional free surfa e

ow problem and numeri al s hemes.

Abstra t : This PhD thesis aims to deepen the analysis of the equations

governing the three-dimensional freesurfa e ows.Onone hand wepresent

a newweak formulation of the hydrostati problemleading to a well-posed

time-dis rete problem. Thisproblemis analysed mathemati ally and its

re-solution is implemented into theTelema -

3

D system, developed at the

La-boratoireNationald'HydrauliqueetEnvironnement (LNHE),edf.Some

nu-meri al results are shown. On the other hand, we study the ALE

interpre-tation of the sigma transformation method for the verti al dis retization

allo-introdu e anALE-MURDs hemeforthelinearadve tion problemposedon

moving domains. A parti ular onstraint must be satised for the s heme

to be onservative when the domain moves. We show how to ensure this

onstraint inthe parti ular asewhere thedomainis three-dimensional and

onlymovesinthe verti aldire tion. Thisresultisillustrated numeri ally in

theframework ofthethree-dimensional freesurfa e owproblem.

Key words : free-surfa e Navier-Stokes equations, three-dimensional

ows,Telema -

3

D,hydrostati model, niteelements, ALE,sigma

transfor-mation, linear adve tion problem, residual distributive s hemes, geometri

Table des matières

1 Introdu tion 1

1.1 Motivation etobje tif delathèse . . . 1

1.2 Lesé oulements àsurfa e libre:modélisation et résolution . . 4

1.2.1 Leséquations fondamentales del'hydrodynamique . . 4

1.2.2 Prin ipaux modèles. . . 4

1.2.3 Aperçu desprin ipalesméthodesnumériques . . . 8

1.3 Travailee tué . . . 12

1.3.1 Formulationvariationnelledumodèlehydrostatiqueet analysedu problèmedis rétisé en temps. . . 13

1.3.2 Nouvelalgorithmehydrostatiquedansle ode

Telema -3

D.. . . 14

1.3.3 ALE,transformation sigmaetgénéralisation. . . 14

1.3.4 S hémas onservatifs pour leséquationsde onve tion àdomaine mobile. . . 15

1.3.5 Estimationdeparamètres dansunmodèle

1

D pourles é oulements sanguinsdansles artères. . . 16

1.4 Plande lathèse . . . 17

1.5 Con lusionetperspe tives . . . 18

I Arbitrary LagrangianEulerian Framework and Conser-vation Properties. 21 2 ALE formulation and Geometri Conservation Laws 23 2.1 ALE formulationand niteelements . . . 23

2.1.1 Prin iple. . . 23

2.1.2 Notations . . . 24

2.1.3 TheALE time derivative . . . 25

2.1.4 Somestandard formulae . . . 26

2.1.5 Fun tional spa esinthe ALE frame . . . 26

2.1.6 Constru tion of the ALE mapping and nite element dis retization . . . 28

2.2 The linearadve tion problem onmoving domains . . . 32

2.2.1 Continuousproblem . . . 32

2.2.2 WeakALE formulations . . . 33

2.2.3 Semi-dis reteALE formulations . . . 35

2.3 Conservationandstabilitypropertiesofthespa e-time dis re-tization . . . 36

2.3.1 TheGeometri Conservation Law. . . 37

2.3.2 TheGCLinthis work . . . 38

3 A onservative MURD s heme for the linear adve tion pro-blem on moving domains 39 3.1 Introdu tion . . . 39

3.2 TheMultidimensional UpwindResidual Distributive s hemes 40 3.3 A generi form of ALE-MURD s hemes for thelinear adve -tionprobleminnon- onservative form. . . 42

3.3.1 Problemsettings . . . 42

3.3.2 Notations . . . 43

3.3.3 Derivationof the s heme . . . 43

3.4 Chara terizationof theoptimal distribution . . . 47

3.4.1 Consisten y . . . 47

3.4.2 Multidimensionalupwinding. . . 48

3.4.3 Positivity . . . 48

3.4.4 Linearitypreservation . . . 49

3.5 Someparti ular oe ient distributions . . . 50

3.6 Conservation propertyof thes hemes. . . 51

3.7 Conservation onstraint and GCL . . . 55

3.8 Conservationintheframeworkofthelinearadve tionproblem setona

3

D domain moving intheverti al dire tiononly . . . 56

3.8.1 Spa eandtimedis retization . . . 57

3.8.2 Dis rete onservationof theadve ted quantity . . . . 58

3.8.3 Numeri alillustration . . . 61

4 ALE interpretation of the sigma transformation for the

3

D free surfa e ow problem and generalization 73 4.1 Introdu tion . . . 73

4.2 The sigmatransformation approa h. . . 74

4.3 The sigmatransformation :aparti ular ALE formulation . . 77

4.4 ALES formulation of the

3

D freesurfa e owproblem . . . . 78

4.4.1 Formulation inthe Cartesian frame . . . 78

4.4.2 ALESformulation . . . 79

4.5 The lassi alsigma transformation . . . 83

4.6 Thesigma- oordinate pressure gradient error . . . 84

4.6.3 Solutions . . . 95

4.7 Generaltopography-following oordinate systems . . . 97

4.8 Ageneralized

σ

- oordinatesysteminthe ALES approa h . . 100

4.8.1 Prin iple. . . 100

4.8.2 Ja obian determinant ofthe dis rete mapping . . . 102

4.8.3 Appli ation to theTelema -

3

D system . . . 103

4.8.4 Resultswiththe generalized sigmatransformation . . 104

II ThreeDimensionalHydrostati ModelforFreeSurfa e Flows 111 5

3

D hydrostati andnon-hydrostati freesurfa eowmodels113 5.1 Introdu tion . . . 113

5.2 Des riptionof thedomain . . . 114

5.3 The

3

D freesurfa e Navier-Stokes equations . . . 115

5.3.1 Variable densityand Boussinesqapproximation . . . . 116

5.3.2 In ompressible uid . . . 117

5.4 Boundary onditions . . . 118

5.5 Thefreesurfa e equation . . . 120

5.6 The

3

D tra er equation . . . 121

5.7 ALE formulation . . . 122

5.8 Thehydrostati assumption . . . 124

5.9 The

3

D hydrostati model . . . 125

5.10 The

3

D non-hydrostati model . . . 126

5.11 Weakformulationof the

3

D hydrostati problem . . . 128

5.12 Timedis retization andlinearization . . . 134

5.13 Fra tional stepmethod . . . 137

6 The

u

− η

problem. 139 6.1 Introdu tion . . . 139

6.2 The ontinuous

u

− η

problem. . . 140

6.2.1 AnalysisintheLax-Milgram framework . . . 144

6.2.2 Analysisinthemixedproblem framework . . . 146

6.3 Approximationof the

u

− η

problem . . . 152

6.3.1 Analysisinthe Lax-Milgram framework . . . 154

6.3.2 Analysisinthe mixedproblem framework . . . 155

6.3.3 Apair of ompatible niteelement spa es . . . 156

6.4 Weaktreatmentoftheimperviousness onditionatthelateral boundaries. . . 166

6.4.1 Treatment of the imperviousness ondition. . . 166

6.4.2 Weak treatment ofthe imperviousness ondition . . . 167

7 Appli ation to the Telema -

3

D system 173

7.1 Introdu tion . . . 173

7.2 The StandardTelema -

3

D system. . . 174

7.2.1 Thestandard hydrostati algorithm. . . 174

7.2.2 Thestandard non-hydrostati algorithm. . . 175

7.2.3 Standard algorithm solving the problem oupling

u

and

η

. . . 177

7.3 New hydrostati algorithm for theTelema -

3

D system . . . . 180

7.3.1 Thenewhydrostati algorithm. . . 180

7.3.2 Solvingthedis rete

u

− η

problem. . . 181

7.4 Evaluationof thenewhydrostati algorithm . . . 185

7.4.1 Os illatingwave ina losed basin . . . 185

7.4.2 Flowin anestuary . . . 189

7.4.3 Wind-driven ir ulation . . . 196

7.4.4 Trans riti al owoverabump. . . 206

7.4.5 Con lusionandperspe tives . . . 208

7.5 Appli ation ofanALE-MURDs hemetothelinearadve tion equationsinthe hydrostati model . . . 215

7.5.1 Formulation oftheadve tionequationonthe horizon-talvelo ity . . . 216

7.5.2 Formulation of the adve tion equation onthetra er . 217 7.5.3 Spa edis retization . . . 218

7.5.4 Conservation onstraint . . . 219

7.5.5 Conservativityand ontinuity . . . 220

7.5.6 Conservation andfreesurfa e equation . . . 223

7.5.7 A parti ular time and spa e dis retization of the hy-drostati owproblemleadingtoa onservative adve -tive ALE-MURD s heme. . . 227

7.5.8 Conservation ofthe ALE-MURD s hemes inthe Telema -

3

D system . . . 229

7.5.9 Con lusion . . . 236

A Parameter identi ation for a

1

D blood ow model 239 A.1 Dire tmodel:1-dbloodowmodel . . . 242

A.1.1 Continuousblood ow model . . . 242

A.2 Dis reteblood ow model . . . 244

A.2.1 Taylor-Galerkin s heme . . . 244

A.2.2 Boundary onditions . . . 247

A.2.3 Compatibility onditions . . . 247

A.2.4 Fullydis retizedproblem . . . 247

A.3 Gradient ofthe dis rete problem . . . 248

A.3.1 Forward operators . . . 248

A.4 Numeri alresults . . . 256

A.4.1 Computing the

3d

syntheti data . . . 256

A.4.2 Solvingthe 1-d-model . . . 257

A.4.3 Measurement operator and ost fun tion . . . 258

A.4.4 Validating the omputationofthe ostfun tiongradient259 A.4.5 Expe tedresults of the estimation . . . 259

A.4.6 Test ase1 :shell stru ture,

E = 3.E6

and

h

0,w

= 0.05

260 A.4.7 Test ase2 :3D stru ture,

E = 4.E6

and

h

0,w

= 0.1

. 265 A.5 Con lusions . . . 269

Chapitre 1

Introdu tion

1.1 Motivation et obje tif de la thèse

Cette thèse aétéproposée dansle adred'une ollaboration entre

l'Ins-titut National deRe her he enInformatique etAutomatique (INRIA)etle

LaboratoireNational d'Hydraulique etEnvironnement (LNHE).Ce dernier

faitpartiedeladivisionRe her heetDéveloppementd'EDF.Ilanotamment

développédepuis1987unsystèmehydro-informatiquedédiéauxé oulements

in ompressiblesàsurfa elibre.Initialementbasésurunmodèle

bidimension-nel(

2

D)dé oulantdusystèmedeSaint-Venant, e ode,baptiséTelema et basésurles travauxde Hervouetet al.[50, 66 ℄,aplusré emmentintégré un

modulerésolvant leproblème endimension

3

[63 ℄.

Suivant ette évolution, ette thèse a pour obje tif l'approfondissement

del'étudedeséquationsrégissantlesé oulementsàsurfa elibreendimension

3

,parallèlement àl'amélioration de leur résolution par le odeTelema -

3

D.

Nous nous sommes intéressés aux équations de Navier-Stokes dé rivant

lemouvement d'unuide Newtonien in ompressibledansun domaine

tridi-mensionnel (

3

D) àsurfa e libre.Celles- is'appliquent àun nombre

in al u-lable d'é oulements. Citons par exemple les eaux des la s, des rivières, des

o éans, ainsi que les é oulements dans l'atmosphère. Leur étude est don

indispensable dans desdomaines d'appli ation tels que l'environnement ou

la limatologie. De fait, la maîtrise de es équations est extrêment utile à

la prote tion de l'environnement, grâ e par exemple aux études de qualité

de l'eau, à la réation et prote tion des ouvrages qui interagissent ave lui

(impa t et stabilité des aménagements) et à laprote tion de l'homme fa e

aux atastrophes naturelles. Elle joue en outre un rle primordialen météo

oudans laprévisiondes hangements limatiques.

om-etdel'in onnaissan e a prioridu domaine surlequel ellessont posées, ainsi

que des phénomènes de turbulen e. Elles ont fait et font toujours l'objet

de re her hes soutenues en analyse mathématique théorique et numérique.

Hormispourquelques asparti uliers,l'existen edesolutionsrégulièresaux

équations de Navier-Stokes

3

D n'a d'ailleurs pour l'instant jamais été

dé-montrée.Soulignonsi il'importan edel'analysemathématiquedétailléedes

équations régissant unproblème physique, à lafois pour sa ompréhension,

sarésolution, mais aussipour le développement de nouveaux modèles plus

adaptésauxbesoinsde l'ingénierie.

La maîtrise de la mé anique des uides à surfa e libre dans l'ingénierie

étaitinitialementassuréeparlesmaquettesetmodèles physiques.Maisave

l'avènement delamodélisationnumérique, esoutils trop oûteux et

dépas-sésnesontplusutilisésaujourd'huiquepourle alibrageetlavalidationdes

modèles,oupourdesappli ationstrèsparti ulières ommeleséva uateursde

rues.Eneet, es

30

dernièresannéesont onnulegrand essordela

simula-tionnumérique,grâ ed'unepartauprogrèste hnologique(laprogressionde

la apa itéde al uletdemémoiredesordinateurs),etd'autrepartau

déve-loppement onsidérabledesméthodesnumériquesen mé anique desuides.

Sans oublier le rle important joué dans et avènement par d'autres outils

essentiels ommeles logi ielsde visualisationetlessytèmesd'a quisitionde

données et d'information géographique qui ont onsidérablement simplié

et aden é la position des problèmes et l'analyse des résultats. C'est

l'en-semble de es raisons qui ont onduit les modèles numériques à s'imposer

aujourd'hui ommeunoutil indispensableàlamodélisationd'é oulementsà

l'é helle géophysique.

Cependant, les outils a essibles aujourd'hui sont en ore loin d'être

en-tièrement satisfaisants, etde nombreux phénomènesne peuvent en oreêtre

simulés, tout parti ulièrement ertains é oulements tridimensionnels à

sur-fa elibre. L'étudedesdiérents modèlesainsiquelare her he denouveaux

algorithmesdoivent don êtrepoursuivies.

Le ode Telema -

3

D résout les équations de Navier-Stokes

Reynolds-averaged endimension

3

pour lesé oulementsin ompressibles,turbulents,à

surfa elibreetave approximationdeBoussinesq,parlaméthodede

dis réti-sationspatialedesélémentsnis.Ils'appliqueauxé oulementsgéophysiques

àsurfa e libredansdes géométries ompliquées. Coupléà d'autres modèles

danslesystèmeglobalTelema ,ils'étendau-delàdel'hydrodynamique,

per-mettant letraitementdeproblèmes liésàl'environnement ommel'étudede

laqualité del'eau. Ila étévalidé par de nombreusesappli ationspratiques,

laplupartenhydrauliqueuvialeoumaritime, ommeparexemplele

vationexa tede lamassed'eau.

Le système présente néanmoins en ore de nombreuses faiblesses et son

développementdoitêtreapprofondi.Letempsde al ulainsiquelapré ision

des résultats pourraient être améliorés, mais on pourrait surtout envisager

lasimulationde nouveaux phénomènes, dansdenouvellesgéométries.

Aux premièresheures de ette thèse,notre attention a étéattirée surla

supériorité du temps de al ul de Telema -

3

D par rapport à d'autres

sys-tèmes onnus résolvant lesmêmeséquations.Cependant,l'étudeplus

appro-fondiede essystèmesetdeleurte hniquededis rétisationnousontmontré

que ertaines simpli ations étaient faites, qui rendent les algorithmes plus

e a es. Ainsi, un modèle basé sur la dis rétisation en es alier du fond et

de lasurfa e du domaine, etutilisant un maillage xe, ommepar exemple

les modèles développés par Casulliet al. [24, 27 ℄ou par Saleri, Miglioetal.

[42,97℄,gagnenaturellementensimpli itéetrapiditéde al ul.Maisilgagne

dans esdomaines equ'ilperdenpré ision( f.[54,93 ℄).Signalonstoutefois

quela for ede esmodèles ne serésume pasà es seulséléments :les

algo-rithmes utilisés sont parti ulièrement performants même indépendamment

dumaillage.

Un défaut du ode Telema -

3

D signalé par ertains utilisateurs est la

di ultéàreprésenterdesstrati ations,notammentlesstrati ations

hori-zontales dans des domaines à fond fortement variable. Ce problème est en

fait lié à la transformation sigma lassique, méthode hoisie dans e ode

pour dénir lemaillage ainsiquesondépla ement. Nousavonsproposé une

extensionde etteméthodepermettant d'adapter davantage lemaillage aux

besoinsparti uliers de haqueappli ation, etnotamment àlasimulation de

strati ationshorizontales.

Cetteextensionamisenéviden eledéfautde onservativitéd'uns héma

de onve tion deTelema -

3

Dlorsquelatransformationsigma lassiquen'est

pasutilisée. Celanousa engagés dansuntravail autour dess hémas

numé-riques distribués pour la onve tion linéaire d'un s alaire, et plus

parti u-lièrement de leur appli ation aux domaines mobiles. Les résultats obtenus

peuvent s'appliquer au module de onve tion du ode Telema -

3

D, e qui

nousapermis de orriger sondéfautde onservativité.

Nous avons don orienté notre travail dans le sens des attentes

formu-lées initialement.Cependant,nosre her hesnous ont également menédans

d'autresdire tions.Nousavonsnotammentproposéunenouvelleformulation

variationnelle du problème étudié.Celle- i permetd'obtenir, après

dis réti-sationentempsetdivisionenpasfra tionnaires,unsous-problèmebienposé

ouplant la vitessehorizontale du uide etla surfa e libre de l'é oulement.

En eet, e sous-problème est linéaire, symétrique et surtout oer if. Nous

en avons fait l'analyse mathématique et avons mis en oeuvre sa résolution

Indiquonsque ertainsdenostravauxontd'oresetdéjàétéintégrésdans

le ode Telema -

3

D. D'autres sont restés au stade d'étude de faisabilité et seront peut-êtreintégrésau systèmeune foisoptimisés.

1.2 Les é oulements à surfa e libre : modélisation

et résolution

1.2.1 Les équations fondamentales de l'hydrodynamique

Leséquations de Navier-Stokessont en faitlaforme adaptéeauxuides

de la relation fondamentale de la dynamique. Elles ont été établies par Sir

GabrielStokes[133 ℄en

1845

,sebasantenpartiesurlestravauxdel'ingénieur

Henri Navier [104℄ datés de 1823, près de deux siè les après la publi ation

des travaux de Newton en

1687

. Elles dé rivent tout é oulement de uide

dansundomaine tridimensionnelàtraverssavitesse

U (x, y, z, t)

,sadensité

ρ(x, y, z, t)

etsa pression

p(x, y, z, t)

, ainsi quele domaine

Ω(t)

danslequel ilsemeut.Ellessont posées àtoutinstant

t

sur

Ω(t)

ets'é rivent :

d ( ρ U )

dt

−

div

( σ

T

) = ρ f + ρ g,

∂ρ

∂t

+

div

( ρ U ) = 0,

(1.1)

où

σ

T

désigne le tenseur des ontraintes,

f (x, y, z, t)

la somme des for es extérieurespouvant s'appliquer surle uide,et

g = (0, 0,

−g)

lagravité.

Dansle asdesé oulementsàsurfa elibre,ledomaine

Ω(t)

varie ee ti-vement enfon tion dutemps,et ette variationfait partiedesin onnues du

problème, equi ommenousleverrons omplique onsidérablement l'étude

etlarésolution de e dernier.

1.2.2 Prin ipaux modèles

An de simplier les équations de l'hydrodynamiqueà surfa e libre,

di-versesapproximationsontétéproposées.Nousneprésentonsi iquelestrois

d'entreelles quisont leplus souvent utilisées.

Lesvariationsdedensitésontrelativementfaiblesdanslesmilieuxaqueux

naturels. L'approximation de Boussinesq ( f.[130 ℄) onsiste alors à négliger

leureetsurlamasseduuide, maisà tenir ompte deleurinuen e surla

for edepesanteurappliquée auuide. Cetteapproximation permet de

Pour fa iliter le traitement de la turbulen e, les équations de

Navier-Stokespeuvent êtremoyennées entemps : esontleséquationsdont

l'appel-lationanglaiseestReynolds-averagedNavierStokes(RANS)[118 ℄.L'eetdes

u tuations turbulentes sur l'é oulement moyenné est alors pris en ompte

par desmodèles de turbulen e( f. par exemple[140℄).

Enn, l'approximationhydrostatique onsisteànégligerlesa élérations

delavitesseverti ale,ainsiqueladiusionetletermesour edansl'équation

de quantité demouvement sur

w

,sibien que ette équationseréduit à :

∂p

∂z

=

− ρg .

(1.2)

La pression est alors onsidérée hydrostatique, 'est-à-dire qu'elle ne varie

sur la verti ale qu'en fon tion du poids de la olonne d'eau. Typiquement,

ette hypothèse estappliquée danslesmilieux peu profonds,pour des

é ou-lementsdont lalongueur d'ondeestgrande par rapportàla profondeur.

Ces approximations ont permis ladérivation de modèles simpliés, plus

a essibles à la résolution, mais dont l'analyse mathématique n'est pas,

notons-le,d'autant plusaisée.

Les modèles bidimensionnels existants sont le plus souvent basés sur le

systèmedeSaint-Venant,dont l'appellation anglaiseestshallow water

equa-tions, de par son appli ation aux é oulements en eaux peu profondes. Ce

système,introduitdemanière indépendanteen 1871par Jean-Claude Barré

de Saint-Venant, peut être vu omme une intégration sur la verti ale des

équationsde Navier-Stokestridimensionnelles ave hypothèse hydrostatique

et approximation de Boussinesq. Cependant, l'existen e de termes non

li-néaires oblige à quelques hypothèses etapproximations supplémentaires. Il

s'agit danstous les as d'unsystème

2

D portant surla hauteur d'eau etla

vitesse horizontale moyennée sur la verti ale. L'intérêt majeur du système

de Saint-Venant est de permettre d'aborder des problèmes de physique

3

D

et instationnaires par un système posé sur un domaine

2

D et invariant en

temps. Sa validité expérimentale et sa robustesse re onnues, ainsi que la

grande quantité de méthodes numériques e a es développées en font,

au-jourd'huien ore,lemodèleleplus utiliséen mé anique desuidesàsurfa e

libre. Cependant, son domaine de validité reste limité aux é oulements en

milieux peu profonds àfaible variation de labathymétrie, à faible

a éléra-tiondelavitesseverti ale,à vis ositéet oe ientde frottement également

faibles,etdontlegradientdesurfa elibreresteborné( f.parexemplel'étude

asymptotiquedusystèmedeSaint-Venantee tuéeparPerthameetGerbeau

dans[110 ℄).Notons également quelesystèmede Saint-Venant implique une

perte d'information de par l'utilisation d'unevitesse moyennée. La listedes

trouvées.NotonsquelesystèmeTelema omprendunmodule

2

Dquirésout

lesystèmedeSaint-Venant.Ilen estdemêmepourle odeindustrielTRIM

etsaversionpourmaillagesnonstru turésUNTRIM,développésparCasulli

etal. [24 , 27℄, etlargement utiliséspour desétudes d'ingénierie notamment

dansdesrégions tières ave eetde marée.

L'undespremiers modèlesnumériquestridimensionnels pour les

é oule-mentsà surfa elibre aétédéveloppé àpartir de1970 [33 ℄.

Il existe un type de modèle

3

D bien établi, basé sur e qu'on appelle

souvent les équations de Saint-Venant tridimensionnelles. Celles- idérivent

deséquations de Navier-Stokesave hypothèse hydrostatiqueet

approxima-tion de Boussinesq. L'équation de ontinuité est intégrée sur la verti ale,

permettant d'obtenir une équation supplémentaire sur la variable surfa e

libre.L'équation de ontinuitétridimensionnelleesttoutefois onservéedans

lesystème :elle permet de oupler les omposantes horizontale et verti ale

delavitesse.Remarquonsque ettemanipulationsous-entendquelasurfa e

libre estune fon tion univoque, qu'elleestdon dénie de façon unique sur

undomaine bidimensionnel. Ce ireprésente une approximation

supplémen-taire,puisquel'onren ontre danslanature desé oulementsnevériant pas

ettehypothèse, ommepar exemple les vaguesdéferlantes.

Dans leur version pour uide Newtonien à densité onstante, les

équa-tions de Saint-Venant tridimensionnelles portent sur la vitesse horizontale

u(x, y, z, t)

, la surfa e libre

η(x, y, t)

et la vitesse verti ale

w(x, y, z, t)

du

uide. Elles sont posées à tout instant

t

sur un domaine

Ω(t)

dé rit par la

variable surfa elibre

η(x, y, t)

etpar lefond

b(x, y)

,supposé onstant :

∂u

∂t

+ U

· ∇u −

div

(ν∇u) + g ∇

2

η = f

hor

_,

(1.3)

∂η

∂t

+

∂

∂x

Z

η

b

u dz +

∂

∂y

Z

η

b

u dz = 0 ,

(1.4) div

2

u +

∂w

∂z

= 0 ,

(1.5) où

f

hor

désigne leterme sour e horizontal et

∇

2

, div

2

sont les opérateurs

degradient etdivergen e horizontaux.

Lesmodèlesbaséssur eséquations(voirparexempleHeaps[62℄,Casulli

etal.[25 ℄,Miglio,Salerietal. [42℄,ainsiqueHervouet[66 ℄),quenous

appel-lerons dans toute la suite modèles hydrostatiques

3

D, sont plus ri hes que

les modèles

2

D type Saint-Venant, puisqu'ils donnent un prol verti al de

lavitessehorizontale etpermettent de al uler lavitesseverti ale. Deplus,

ils permettent de tenir ompte de façon naturelle des onditions limites au

etles re ir ulationsverti ales.Cependant,depar l'approximation

hydrosta-tique,leur domaine de validité estégalement limitéauxé oulements eneau

peu profondeetà faiblea élération delavitesseverti ale,danslesquelsles

gradientsde pressionetde fond restentfaibles.

L'utilisationdemodèleshydrostatiquestridimensionnelsdansl'ingénierie

estlongtempsrestéelimitéeà ausedeleurbesoinélevéentempsde al ul.Ils

sontpourtant désormaistrès utilisés,etappliqués dansdessituations allant

au-delà même des limites de leur domaine de validité. La plupart des

logi- ielsutilisant e modèle ont été développés parextension d'un modèle

bidi-mensionnel detypeSaint-Venant, andedé riredeseetstridimensionnels.

Nouspouvons iterlesmodèleso éanographiquesPOM[19℄etROMS[123 ℄,

ainsiqueles odesindustrielsDelft3D-Flow[38℄etADCIRC[81℄,dédiésaux

o éans,auxmilieux tiersetauxestuaires.Notonsqueles odesindustriels

tridimensionnels(UN)TRIM-

3

D [24 , 27℄etTelema -

3

D [63℄ étaient initiale-mentbaséssurlemodèlehydrostatiqueetenproposenttoujoursl'utilisation.

De nombreux auteurs ont également travaillésur larésolution omplète

deséquations de Navier-Stokes à surfa e libre, 'est-à-diresans supposer la

pressionhydrostatique.

En 1995, Casulli et Stelling présentent dans [26℄ le premier algorithme

omplet pour la résolution de es équations. Ils proposent pour ela une

dé omposition de lapression

p

en partie hydrostatique

p

h

et orre tion

dy-namique

p

d

:

p = p

h

+ p

d

. Cette dé omposition permet de faire apparaître

expli itement lavariablesurfa e libre.Lesmodèles baséssur etteidéesont

souvent appelés quasihydrostatiques,etpeuvent être onsidérés omme une

extension desmodèles hydrostatiques

3

D présentés pré édemment :ils

om-prennent une étape hydrostatique, dans laquelle sont résolues les équations

de Saint-Venant tridimensionnelles an de al uler la surfa e libre, ainsi

qu'une étape nonhydrostatique, danslaquelle les vitesses sont orrigées par

lapressiondynamiquean d'assurer l'équationde ontinuité.Leséquations

de Navier-Stokes in ompressibles s'é rivent alors ommesuit à toutinstant

t

sur un domaine

Ω(t)

dé rit par lavariable surfa e libre

η(x, y, t)

etpar le fond

b(x, y)

,supposé onstant :

∂u

∂t

+ U

· ∇u −

div

(ν∇u) + g ∇

2

η + ∇p

d

= f

hor

_,

(1.6)

∂w

∂t

+ U

· ∇w −

div

(ν∇w) + ∇p

d

= f

z

,

(1.7)

∂η

∂t

+

∂

∂x

Z

η

b

u dz +

∂

∂y

Z

η

b

u dz = 0 ,

(1.8) div

2

u +

∂w

∂z

= 0 ,

(1.9)

où

u

et

w

sontles omposantes horizontale et verti ale de lavitesseet

f

z

le termesour everti al.Mahadevanet al.[82 ℄ontdéveloppéunmodèle

o éano-graphiquenonhydrostatiquebasésur etteappro he.Ilsontdeplusdémontré

queleproblèmenonhydrostatiqueestbienposé,etqu'ilpermetdetraiterles

onditions limites physiques. Plusieurs modèles quasihydrostatiques

3

D ont

été developpés : itons par exemple les travaux de Miglio, Saleri et al. [97 ℄

ainqi que Ko yigit et al. [77℄, et le modèle

2

D verti al de Zhou etStansby

[144 ℄. Le ode Telema -

3

D propose depuis 1998 la résolution des équations

nonhydrostatiques ave dé omposition de lapression (voir Jankowski [75 ℄),

demême que lesystème(UN)TRIM-

3

D [28 ℄.

D'autresappro hesontétédéveloppéespourtraiterleproblèmedes

é ou-lements tridimensionnels à surfa e libre, notamment dans des as

parti u-liers.Lemouvementdudomaine estalorsétabliindépendammentdela

réso-lutiondeséquationsdeNavier-Stokes

3

D,grâ eàdesméthodestrès variées.

Nous en détaillerons ertaines plus loin dans ette introdu tion. Citons en

parti ulier Yost [142 ℄, Maury [89 ℄, Hodges [69 ℄, ainsi que les travaux plus

ré entsde Namin et al.[103 ℄ etYuan et al.[141℄.

Les modèles nonhydrostatiques permettent de traiter les é oulements

auxquelsl'approximationhydrostatiquenes'appliquepas.Ce ià aused'un

fort gradient de surfa e libre ou de fond, ou de petites longueurs d'onde.

Ils prennent en ompte des phénomènes

3

D plus variés, omme les

mouve-ments orbitaux, les re ir ulations verti ales intensives, les é oulements

au-tourd'obsta les, danslesquelslapression estfortement nonhydrostatique.

De nouveaux modèles sont néanmoins re her hés. Un modèle

intermé-diaireentre Saint-Venant etNavier-Stokes

3

D a par exemple été développé

souslenomdemodèleSaint-Venantmulti- ou hes.Ledomaine

tridimension-nelest dé omposé enplusieurs ou hes, dont l'interfa e est al ulée grâ eà

larésolution du systèmede Saint-Venant sur ha une de es ou hes. Cette

résolutionpermetégalementd'obtenir unevitessehorizontale moyennéepar

ou he.Plusieuresappro hesexistent, notamment ellede Audusse[8 ℄.Des

inter omparaisons entre les résultats fournis par e modèle et eux fournis

parlemodèlehydrostatique

3

D deTelema 3D ont étéréaliséesparBristeau

etal. dans[9 ℄.

1.2.3 Aperçu des prin ipales méthodes numériques

Trois méthodesd'approximation basées surla onstru tion de maillages

sont le plus souvent utilisées en mé anique des uides. La plus an ienne

est elle des diéren es nies. Elle s'avère très simple et e a e,

permet-tant la onstru tiondes hémaspeu oûteux.Cependant,ellen'estutilisable

qu'ave desmaillagesstru turésetnes'applique don qu'auxproblèmes

méthodeestnotamment utiliséeen o éanographie, oùil n'estpasné essaire

de dis rétiser nement lesbordslatéraux du domaine,par exemple dansles

modèles POM[19 ℄ etROMS [123 ℄.Mais elle est également utiliséedans les

logi iels TRIM3D[24 ℄ etDelft-3D-Flow [38 ℄.

La méthode des éléments nis [113 ℄ et elle des volumes nis [138℄ ont

émergé peu de temps après, et leur intérêt a immédiatement été re onnu

puisqu'elles sont appli ables auxmaillages non stru turés. Elles orent une

grande souplesse pour dis rétiser des géométries omplexes et imposer les

onditions limites. D'une part, laméthode deséléments nis ore un adre

théorique rigoureuxetunemiseen oeuvre relativement simple.Lesmodèles

hydro- et nonhydrostatiques proposés par Miglio, Saleri et al. dans [42 , 97℄

pour les é oulements

3

D à surfa e libre sont par exemple basés sur la

mé-thodedesélémentsnis,demêmequelestravauxdeYost[142 ℄etMaury[89℄.

Le ode Telema est entièrement basé sur ette méthode. D'autre part, les

volumes nis permettent de résoudre simplement les équations sous forme

de bilan, et d'assurer ainsi la onservation au niveau lo al des quantités

al ulées.Les élémentsnis, eux, nepermettent le plussouvent de l'assurer

qu'auniveauglobal.L'impositiondes onditionslimitesestégalementparfois

fa ilitéeparl'appro hevolumesnis.Lemodèlediéren eniesTRIMapar

exemple étéétendu à laméthodedes volumesnis ( f. lemodèle UNTRIM

[27℄)andepermettreletraitementdemaillagesnonstru turés.Mahadevan

aégalement optépour ette méthode dans[82 ℄.

Aujourd'hui, la tendan e est à la ombinaison de es méthodes de

dis- rétisation, an de tirer parti des avantages de ha une d'entre elles. Les

s hémas distributifs [1, 34 , 108 ℄ par exemple, qui onnaissent un fort

en-gouement en mé anique desuides, sont basés sur laméthode des volumes

nismaisutilisent lastru ture de donnéesdeséléments nis.

Il existe ependant une alternative, plus ré ente, à es trois méthodes

d'approximation : la méthode Smooth Parti le Hydrodynami s (SPH),

ini-tialement développée en astrophysique puis appliquée aux é oulements à

surfa e libre [99 ℄. Il s'agit d'une méthode entièrement lagrangienne et sans

maillage, utilisant desparti ules qui sedépla ent sous l'inuen e desfor es

de pression, de vis osité et de pesanteur. Elle permet de simuler des as

omplexes, en parti ulier les é oulements mixtes, ledéferlement, et tous les

as où la surfa e libre n'est pas univoque. De plus, elle traite ave grande

pré ision les fortes déformationsde surfa e libre.En ore peu utiliséeen

hy-drodynamique, elle a néanmoins été ré emment appliquée à un é oulement

turbulenttridimensionneldansun analainsiqu'à un asderupturede

bar-rage[139℄.

L'une des grandes di ultées des é oulements qui nous o upent vient

dumouvement de lasurfa elibre. Plusieursappro hesexistent pour le

permet de représenter de manièrepré ise la surfa e libreet d'y imposer

fa- ilement les onditionslimites,maissamiseenoeuvreest ompliquéeetson

oûtélevé.Deplus,pourdelargesdistorsionsdansl'é oulementleséléments

dumaillagepeuvent devenir singuliers.

L'appro he eulérienne traite au ontraire le problème dans un maillage

xe.Cetteappro heestplussimplepuisqu'ellenené essitepasderemaillage

etque leproblème des éléments déformés ne sepose pas. Cependant, il est

di iledesuivrelasurfa elibredefaçonpré iseave etypedemaillageset

d'appliquerles onditions limitesnaturelles. Cetteappro heestparexemple

appliquée aux é oulements à surfa e libre dans [102 ℄ et dans les travaux

de Miglio, Saleri etal. [42, 97℄, ainsi que dans les systèmes TRIM-

3

D et

UNTRIM-

3

D [24, 27 ℄.

Unenouvelleappro heaétéintroduiteen1971:laformulationArbitrary

Lagrangian Eulerian (ALE) [67 ℄. Elle onsiste à dépla er le maillage à une

vitesse arbitraire, diérente du uide, permettant ainsi un réarrangement

ontinu desmailles. De plus, e formalisme rend lamise à jour du maillage

totalementimpli iteetpermetdes'aran hirdel'interpolationdesvariables

à haquepasdetemps surlenouveaumaillage. Laformulation ALEpermet

égalementde dis rétiserplusfa ilementlesdérivéespartiellesentemps.Elle

a été appliquée aux é oulements à surfa e libre par de nombreux auteurs,

ommepar exemple Huerta et Liu[70℄, Maury [89 ℄, Soulaïmani et al. [129 ℄

et Cairn ross etal. [23 ℄. La transformation sigma est une forme simple de

méthode ALE [66 , 144 , 77 ℄, qui onsiste à dépla er le maillage uniquement

selon la verti ale, en suivant la forme et les mouvement du fond et de la

surfa e libre du domaine. L'utilisation de ette méthode est très répandue,

notammenteno éanographieeten limatologie( f.lesmodèlesPOM[19℄et

ROMS [123℄), son rapport ave leformalisme ALE reste néanmoins en ore

peu onnu. Elle assure la représentation pré ise et ontinue de la surfa e

libre et du fond, simplie la pres ription des onditions limites et permet

d'in orporerfa ilementdes ou heslimites.Cependant,lesformes lassiques

delatransformationsigma, dont l'une estutiliséedansle ode Telema -

3

D,

limitent le hoix de la dis rétisation verti ale du domaine et peuvent

en-traîner deserreurs graves. Notons que lapremière partie de ette thèse est

onsa réeàlades riptiondétailléeduformalismeALEetdesonappli ation

en éléments nis, à l'extension d'un type parti ulier de s hémas onve tifs

auxdomainesvariablesgrâ eauformalismeALE,ainsiqu'audéveloppement

d'uneforme plus générale de la transformation sigma pour les odesà

sur-fa elibre.

Maisladi ultédesé oulementsàsurfa elibreneselimitepasausimple

mouvement dudomaine. Celui- i estenfait lui-mêmeune in onnue du

pro-blèmepuisqu'ilestdénià haqueinstantparlapositionde lasurfa elibre.

Plusieurste hniquesontétédéveloppéespoursurmonter ettedi ulté

e qu'on appelle le suivi de surfa e (surfa e tra king). Les équations

réso-lues font intervenir de façon expli itelavariablesurfa e libre, soit àtravers

une équation

2

D obtenue par intégration sur la verti ale de l'équation de

ontinuité, soit à travers la ondition limite inématique à la surfa e libre.

Cette te hnique permet d'appro her de façon pré ise la surfa e libre, mais

elle sous-entend que elle- i est une fon tion univoque. Le suivi de surfa e

estégalementappliquédanslesmodèlesproposéspar Yost[142 ℄,Hodges[69℄

etYuan[141 ℄.Notonsquedans[89 ℄,Mauryutiliselaméthodedes

ara téris-tiquespour résoudrela ondition inématiqueàlasurfa elibre,mais elle- i

n'est déniede façon univoque qu'auvoisinage de haque point.

Une alternative à ette méthode onsiste à suivre plutt le volume de

uide, d'où son appellation anglaise uid volume tra king. Il existe

aujour-d'huideuxvariantesde etteméthode.D'unepart,laméthodeMAC(Marker

andCell[61℄) onsiste àsuivreledomaine grâ eàdesparti ulessansmasse

se déplaçant à la vitesse du uide dans un maillage xe. La position de la

surfa e libre est dénie par la position des marqueurs dans le domaine. Le

prin ipal in onvénient de ette méthode est qu'ellerequiert une importante

pla e mémoire arungrandnombre de parti ulesestné essairepour les

si-mulations. D'autre part, laméthode VOF (Volume of Fluid [68℄) onsiste à

ajouter une in onnue

φ

au système, valant un ou zéro selon la présen e ou

l'absen e de uide dans haque élément du maillage, ainsiqu'une équation

ara térisant letransportde ette fon tion par lavitesseduuide

U

,

∂φ

∂t

+ U

· ∇φ = 0 .

(1.10)

Larésolutionde etteéquationexigelamiseaupointdes hémasnumériques

parfaitement onservatifs, monotones et à diusion numérique très limitée.

Cetteméthodeestlargementrépandue( f.arexemple[101, 86 ℄), arelleest

très robuste etpermetde représenter une surfa e librenon-univoque etdes

fortes déformations. Mais elle fournit une représentation de la surfa e libre

moinspré isequelesméthodesdesuividesurfa e,etelleposedesdi ultés

quantàl'impositiondes onditionslimites.Notonsqu'ilexistedesméthodes

mixtes.

En equi on ernelarésolutionproprementditedeséquationsde

Navier-Stokes,plusieurs hoixseprésentent.Les hémaentempsétablittoutd'abord

le traitement impli ite ou expli ite de ha un des termes, permettant par

exempledelinéariserleséquations.Casulliet al.ontdéveloppéunalgorithme

semi-impli iteen diéren esnies(étenduplustardauxvolumesnis)pour

la résolution des équations hydrostatiques [25 ℄ et nonhydrostatiques [28℄.

Ils montrent que et algorithme est in onditionnellement stable. Cette

ap-pro hesemi-impli ite atrès souvent étéappliquée[66 , 42,97,144 ,77℄,mais

im-à des solveurs non-linéaires et itératifs [70, 142, 103 ℄, ou en utilisant

plu-ttune appro hedé ouplée. Cetteappro he onsisteà résoudreleproblème

enplusieurs petitssous-problèmeslinéaires, en appliquant les méthodes

nu-mériques les plus adaptées aux ara téristiques mathématiques de ha un

d'entreeux. Il existe diversesméthodespermettant le dé ouplage des

équa-tions, omme la méthode des pas fra tionnaires (utilisée par exemple dans

[26 ,42,97,66℄),oulesméthodesdeproje tion (appliquéesnotamment dans

[69 ,75℄).

Nous nous permettons d'en rester à ette des ription très globale des

méthodesnumériquesexistantespour larésolution deséquationsde

Navier-Stokes, leurdes ription exhaustive étant aujourd'hui presqueimpossible.

1.3 Travail ee tué

Cette thèse a toutnaturellement débuté par une phase de re her he

bi-bliographiqueautourduproblèmequinousintéresse,lesé oulementàsurfa e

libreendimensiontrois.Nousavonsnotammentétudié defaçondétailléeles

diérentsmodèlestraitésparle odeTelema -

3

D,ainsiquelesméthodes nu-mériquesutilisées( f.Hervouet[66 ℄).Nousavonségalement étudié defaçon

approfondielesmodèles

3

D développésparCasulliet al.endiéren esnies [25 , 26℄ et en volumes nis [27 , 28℄, ainsi que eux développés par Miglio,

Salerietal. en éléments nis[42, 97 ℄.

Les travaux de es auteurs ont tout parti ulièrement sus ité notre

in-térêt ar leur appro he est semblable à elle adoptée par Hervouet pour

les modèles

3

D de Telema . Ils adoptent notamment la méthode de suivi

de surfa e et proposent, omme Telema -

3

D, la résolution des modèles

3

D

hydrostatique et quasihydrostatique. Ils utilisent enn une méthode

semi-impli ite pour linéariser et stabiliser les équations, avant de les dé oupler

andesimplierleurrésolution. Cependant,deuxélémentsdiéren ient es

deux modèles du ode Telema -

3

D : ils utilisent d'une part une appro he

eulériennepourtraiter lemouvementdu domaine,etd'autre partlasurfa e

libre ainsique lefond du domaine sont dis rétisésen es alier. Dans le ode

Telema -

3

D, au ontraire, le formalisme ALE est adopté, plus pré isément

la transformation sigma, qui permet de suivre de manière très pré ise la

topographie et le dépla ement du domaine. Ce i est d'une importan e

ex-trême arl'appro heeulériennesimplie onsidérablement lamiseenoeuvre

d'untel modèle, et ladis rétisation en es alier permetla onstru tion

d'al-gorithmes très performants puisqueles élémentsdu maillage sont réguliers.

Cependant, ette appro herequiert une résolution trèsne dumaillage an

de représenterde façon pré iselasurfa e libre etlefond. Deplus, elle pose

dèles utilisant une dis rétisation en es alier de la verti ale du domaine et

d'autres modèles utilisant la tranformation sigma [22 , 54, 88, 93℄. Celles- i

ont montréque lesrésultatsobtenus ave latransformationsigma sont plus

pré is. Nouspensons pour ela quel'appro he utilisée dansTelema -

3

D est préférable, bien qu'elle alourdisse onsidérablement les al uls. Par ontre,

l'utilisation del'élément Raviart-Thomas [117 ℄pourdis rétiser lavitessedu

uide, omme ela est fait dans[42 , 97℄, serait intéressante ar et élément

fa ilite l'imposition des onditions limites aux surfa es imperméables ainsi

quela onservation de lamasseauniveau lo al.

Nous nous sommes alors intéressés de plus près à la formulation v

aria-tionnelle du problème hydrostatique

3

D à surfa e libreproposé par Miglio,

Saleri etal. dans [98 ℄. Notons que les termes de diusion horizontale sont

négligés dans ette formulation. Après dis rétisation en temps et

expli ita-tion des termes de onve tion, ils obtiennent un sous-problème ouplant la

vitesse horizontale du uide et sasurfa e libre. Ce problème étant non

sy-métrique, l'une desses équations est modiée. Les auteurs font ensuite une

analysemathématiqueduproblèmerendusymétriqueetmontrentl'existen e

etl'uni itéd'unesolutionauproblème( ontinuen espa e)dansle adredes

problèmes mixtes.

1.3.1 Formulationvariationnelledu modèlehydrostatique et

analyse du problème dis rétisé en temps.

Nousavonsproposéunenouvelle formulation variationnelle duproblème

hydrostatique. Celle- i in lut les termes de diusion horizontale et permet

notamment, après dis rétisation en temps et expli itation des termes de

onve tion, d'aboutir à un problème symétrique et bien posé ouplant la

vitesse horizontale et la surfa e libre, sans modi ation des équations

phy-siques. Ce problème, dis ret en temps, sera nommé dans toute la thèse le

problème

u

− η

,par référen eàlavitessehorizontalenotée

u

età lasurfa e

libre notée

η

. Nous avons fait l'analyse mathématique du problème

u

− η

et ela nous a permis de montrer qu'il admet une solution unique. Nous

avons ensuite proposé deux approximations de e problème : la première

orrespondà untraitementessentieldela onditionlimited'imperméabilité

auxparois latéralesdudomaine,l'autre orrespondautraitementnaturel de

ette onditionlimite.Cesdeuxapproximationsduproblèmeadmettent une

solution unique lorsque le oe ient de diusion horizontale est non

négli-geable.Dansle as ontraire,ilsepourraitquelavéri ationd'une ondition

de type inf-sup soit né essaire à la stabilité des solutions de es problèmes

dis rets. Nous avons pour e as proposé un ouple d'espa es d'éléments

nis appro hant la vitesse horizontale du uide et la surfa e libre, et qui

garantit lavéri ation de ette ondition. Notons quel'intérêt du problème

ladis rétisation en temps du modèlequasihydrostatiquepour letraitement

omplet des équations de navier-Stokes

3

D, puisque elui- i omprend une

étapehydrostatique.

1.3.2 Nouvelalgorithmehydrostatiquedansle odeT

elema -3

D.

L'algorithme qui résout les équations du modèle hydrostatique dans le

ode Telema -

3

D, également utilisé, notons-le,pour lemodèle

nonhydrosta-tique, omprendlarésolution d'unproblèmesimilaireauproblème

u

− η

.Ce

problème oupleégalement lavitessehorizontaleduuideetlasurfa elibre,

maisil ne présente pas les mêmes propriétés mathématiques puisqu'il

n'in- lutpaslestermesdediusion(quisonttraitésdansuneétapepréalable),et

queleséquationssont moyennées surlaverti ale.Notonsque es

manipula-tionsdétruisentlapropriétédesymétrie etde oer ivité duproblème

u

− η

.

Nous avons don modié l'algorithme hydrostatique dans le ode T

elema -3

D an de résoudre exa tement le problème

u

− η

quenous avons analysé,

etnous avons mis en oeuvre sa résolution. Ce nouvel algorithme

hydrosta-tiqueaétévalidé en omparant sesrésultats ave lasolution analytiquedes

équations linéaires dans un as parti ulier. Il a ensuite été appliqué à de

nombreux as test, et les résultats obtenus on été omparés à eux fournis

parlaversionstandard deTelema -

3

D, 'est-à-direen utilisant l'algorithme

hydrostatique standard. Dans la grande majorité des tests réalisés, les

ré-sultats fournis par l'utilisation des deux algorithmes sont quasi-identiques.

Nous espérionspourtant que les résultats seraient, sinon plus pré is (notre

algorithme omprendunpasfra tionnaireenmoins,ildevraitdon êtreplus

pré is en temps), du moins plus stables : en eet, le problème ouplant la

vitesse horizontale et la surfa e libre dans l'algorithme standard n'est pas

oer if,alors queleproblème

u

− η

dis retrésoludanslenouvelalgorithme, lui,l'est.Nousavonsobtenudesrésultatsplusstablesdansdeux as

parti u-liers,quenousprésentonsdans e manus rit, mais eux- i nenoussemblent

pasassezprobants.

Cenouvelalgorithmea ependant égalementétémotivéparlarédu tion

du nombrede pasfra tionnaires dans larésolution deséquations

hydrosta-tiques, et par equ'il permet un traitement entièrement tridimensionnel du

problème à surfa e libre, ouvrant ainsi la voie à l'utilisation dans le ode

Telema -

3

D de maillages nonstru turéssur laverti ale.

1.3.3 ALE, transformation sigma et généralisation.

Comme nous l'avons indiqué au début de ette introdu tion, l'un des

obje tifsde ette thèse a été l'amélioration de la représentation de

desstrati ationsde densité.

Ce problèmeest intimement liéà l'utilisation de latranformation sigma

lassique [111 ℄ dans le ode Telema -

3

D. Il intervient plus généralement

lorsque la densité du uide a une forte inuen e sur l'é oulement et que

le domaine de al ul présente de forts gradients de bathymétrie.

D'impor-tanteserreurspeuvent alors apparaîtredansle al uldugradient horizontal

de pression, dues à la déformation des éléments du maillage inhérente à la

transformationsigma.Ceproblème,quel'onappellel'erreurdegradient

hori-zontaldepression (HPG),aétéétudiépardenombreuxauteurs,notamment

eno éanographieetenmodélisationatmosphérique[51 ,83,91,92,125 ,132℄.

Etant donné que lelien entre la transformation sigma et la formulation

ALEresteoudans ertaines ommunautés,nousnoussommestoutd'abord

eor ésdemontrerquelapremièren'estqu'un asparti ulierdeladeuxième.

Nousavons pour ela introduit l'appro he ALE-Sigma (ALES), qui est une

interprétation ALE de la transformation sigma. Nous avons ensuite établi

quelesvariantes lassiquesdelatransformation sigma,puisqu'elleslimitent

onsidérablement le hoix de la dénition verti ale du maillage et de son

dépla ement, empê hent de l'adapter aux besoins spé iques de haque

si-mulation. Plus parti ulièrement, elles ne permettent pas de s'aran hir de

l'erreur de HPG, ni de toutes les erreurs dues au déformement trop a ru

dumaillagedans ertains asd'é oulements.C'estpourquoinousavons

pro-posé, grâ eàl'appro heALES,une formebienplusgénéralede

transforma-tionsigma.Celle- ipermetd'adapterdavantageladis rétisationdudomaine

surlaverti ale.Cettetransformationsigmagénéraliséeaétémiseenoeuvre

dans le ode Telema -

3

D, e qui nous a permis d'illustrer numériquement

ertainsdesavantages de sonutilisation, ommepar exemplel'amélioration

de lareprésentation de strati ationshorizontales.

1.3.4 S hémas onservatifs pour les équations de onve tion

à domaine mobile.

Un défaut de onservativité dans deux s hémas de onve tion du ode

Tele- ma -

3

D a été mis en éviden e par l'utilisation de la transformation

sigma généralisée. Il s'agit de deux s hémas MURD(Multidimensional

Re-sidual Distributive s heme) bien onnus, étendus aux maillages

3

D

prisma-tiques etmis en oeuvre dans Telema -

3

D par Jean-Mar Janin[74 ℄ pour la

onve tionlinéairedetra eursdansun hampdevitessesàdivergen enulle.

Les s hémas MURD, bien onnus pour leur propriétés de onservation,

monotonie et stabilité, ont néanmoins été développés pour des problèmes

posés surundomaine xe.Lapréservationde espropriétés surundomaine

mobilen'estdon pasgarantie.Plusieursauteursontd'ailleursmontréquele

mouvement du domaine peutavoir des onséquen es négatives sur ertains

propriétés ommela onservation, lastabilitéoumêmelapré isiondes

s hé-mas.Cette ondition est mieux onnue sous le nom de loi de Conservation

Géométrique (GCL).

De fait, Janin a montré dans [74℄ qu'une ontrainte parti ulière devait

être vériée an d'assurer la bonne onservation des quantités onve tées

dans les s hémas MURD mis en oeuvre dans Telema -

3

D. Cependant, son

raisonnement est limitéà l'utilisation de latransformation sigma lassique,

etless hémas essentd'être onservatifsdèsqu'uneautreméthodeALE est

utilisée.

Nous avons généralisé les travaux de Janin grâ e à la dérivation dans

le adre ALE d'une forme générique de s hémas MURD pour la résolution

des équations de onve tion linéaires posées sur un domaine mobile. Nous

avons ensuite formulé la ondition supplémentaire que es s hémas doivent

satisfaire pour rester onservatifs quand le domaine bouge ee tivement.

Celle- i est d'ailleurs fortement liée à la notion de GCL. Nous avons enn

onstatéquelorsqueleproblèmeestposésurundomainetridimensionnelqui

nesedépla equedansladire tionverti ale, ette onditionpeutêtreassurée

très simplement. Il sut pour ela de onsidérer une vitesse de maillage

onstante par pas de temps. Des résultats numériques ont été obtenus qui

illustrent e résultat.

Celui- i peut notamment être appliqué aux équations de onve tion

li-néaires dans le adre des é oulements tridimensionnels à surfa e libre en

dimension

3

.Ilnous anotamment permisde orriger ledéfautde

onserva-tivité dansTelema -

3

D.

1.3.5 Estimation de paramètres dans un modèle

1

D pour les

é oulements sanguins dans les artères.

Nousprésentonsnalement enannexede emanus rituntravailee tué

à l'é ole d'été du CEMRACS 2004, dont le thème était Mathématiques et

appli ation enbiologie et enméde ine. Il a été réalisé en ollaboration ave

Vin ent Martin,FrançoisClément etJean-Frédéri Gerbeau. Ila étépublié

dansESAIMPro eedings [87℄ en septembre2005.

Le but de e travail estd'identier ertains desparamètres d'unmodèle

1

D pour les é oulements sanguins dans les artères [116 , 45℄. Notons qu'il

s'agit d'un modèle hyperbolique très pro he du système de Saint-Venant

dé ritaudébutde etteintrodu tion.Lesparamètresdumodèlepermettent

d'appro her plus ou moins bien des ongurations géométriques réalistes

ou desdonnées expérimentales. Il est don important d'en avoir une bonne

estimation.

L'appro headoptéepourl'estimationdesparamètresest elledesmoindres

arrésnon-linéaires ( f.[13, 14,15℄), baséesurl'optimisation d'une ertaine

aux paramètres. Nous avons hoisi d'appro her e gradient par la méthode

de l'étatadjoint.

Leproblèmedire tutilisé estune dis rétisationparles hemadeT

aylor-Galerkindumodèlehyperbolique

1

D.Notonsque,suivantles onseilsdonnés

dans[13 ,14,15℄,nousavons hoisid'inverser leproblèmedis retetnonpas

dedis rétiser leproblèmeinverse.Nous avonsdon dérivé(analytiquement)

leproblèmeadjoint,permettantde al uler legradientdelafon tion oût,à

partirdu problème

1

D dis ret. Remarquons que leproblème adjoint est un

problèmehyperbolique

1

D trèssimilaireau problème dire t.

De premiers résultats probants ont été obtenus pour l'estimation d'un

paramètre lié auxpropriétés mé aniques de la paroi artérielle. Les données

utilisées pour ette estimation sont synthétiques. Elles ont été obtenues à

partird'unmodèlebeau oupplusrané:unmodèle

3

Dd'intera tion

uide-stru ture[48 ,53 ℄.Lesrésultatsobtenussemblent intéressantsnotammentdu

faitque leparamètreestimé est assezdiérent desavaleur a priori.

1.4 Plan de la thèse

PARTIEI. Cettepartieestdédiéeàlaformulation ALEetauxpropriétés

de onservationdess hémasappliqués aux problèmesà domaine mobile.

Au hapitre 1 nous dé rivons de façon détaillée la formulation ALE et

nous donnons quelques outils pour son appli ation dans le adre des

Elé-ments Finis.Nousintroduisonségalement lanotion de Loide Conservation

Géométrique(GCL).

Au hapitre 2 est dérivée une forme générique de s hémas ALE-MURD

pour leséquations de onve tion linéairesposéessurundomaine mobile. La

ontrainte de onservation de ess hémas estformulée, etilestmontréque

ette ontrainte est fa ilement vériabledans le as de problèmes posés sur

des domaines tridimensionnels se déplaçant uniquement selon la dire tion

verti ale.Une illustration numérique de e résultatest donnée.

Le hapitre 3 est dédié à la des ription détaillée de la transformation

sigma et à sa réinterprétation omme forme parti ulière de méthode ALE.

Les avantages etin onvénients de ette transformation et de ses diérentes

variantessontexposés.Uneformetrèsgénéralede etypedetransformation

estennproposéeetmiseenoeuvredansle odeTelema -

3

D. Destests

nu-mériquessontnalementprésentés,quimontrentl'améliorationdesrésultats

dansdeux as desimulationgrâ e àlatransformée sigmagénéralisée.

Dans le hapitre 4 nous présentons le problème des é oulements

tri-dimensionnels à surfa e libre, ainsi que les modèles

3

D hydrostatiques et

nonhydrostatiques quiseront onsidérés parlasuite.Une formulation

varia-tionnelleduproblèmehydrostatiqueestproposée.Celle- iestensuite

dis ré-tiséeen temps etlinéarisée;les termes de onve tionssont traités de façon

expli ite.Ce i permet d'obtenir troissous-problèmes bien distin ts, dont le

problème

u

− η

.

Au hapitre 5 nousanalysons leproblème semi-dis ret en temps

u

− η

,

ainsi que deux approximations de e problème. Nous proposons également

un ouple d'éléments nisstables pour e problème.

Le hapitre6 est onsa réàl'appli ationau odeTelema -

3

Ddestravaux

présentés aux hapitres 2, 3 et 5. Nous détaillons dans une première

sous-partielenouvelalgorithmehydrostatiquemisenoeuvredansle odeetnous

présentons quelquesrésultats. Puis nousdé rivons omment les s hémas de

onve tion ALE-MURDprésentésau hapitre 2peuvent êtreappliquésdans

le adre du modèle hydrostatique

3

D présenté au hapitre 4, an que la

ontrainte de onservation imposée sur les domaines mobiles soit vériée.

Nous présentons nalement des résultats obtenus après adaptation, grâ e

à l'appro he ALE-MURD, des s hémas de onve tion MURD préexistants

dansle odean qu'ilssoient onservatifs pour toutetransformation ALE.

Dansl'annexe A nousprésentonsletravailautourdel'estimationde

pa-ramètresdansunmodèle

1

Dpourlesé oulementssanguinsdanslesartères.

1.5 Con lusion et perspe tives

Ce travail nousa menés à travers plusieurs aspe ts des é oulements

tri-dimensionnels àsurfa e libre.

D'une part, nousavons proposé une nouvelle formulation variationnelle

deséquationsrégissant esé oulements.Celle- ipermetd'aboutiràun

sous-problème bien posé ouplant la vitesse horizontale et la surfa e libre. Mais

lesrésultatsnumériques obtenus aprèsmiseenoeuvrede larésolution de e

sous-problèmedanslelogi ielTelema -

3

Dnesontpasen oreassezprobants.

Nous omptonsdon poursuivrenotretravailsur esystème.Ilserait

notam-ment intéressant detester ladis rétisation de lavitessehorizontale etde la

surfa e libre par le ouple d'éléments nis stables proposés. Nous

envisa-geons également d'évaluer les onséquen es de l'expli itation du terme de

diusion verti ale sur la stabilité des solutions du problème, ar e terme

n'est pasné essaireàla oer ivité duproblème.

Nous avons d'autre part proposé une forme très générale de

la verti ale. Celle- i permet, davantage que la transformation sigma

las-sique,d'adapterlemaillageauxbesoinsde haquesimulation,etnotamment

d'améliorer lareprésentation destrati ations. Cettetransformationest

do-rénavant utilisée dans le ode Telema -

3

D. Il serait maintenant intéressant d'étudierdefaçonplusapprofondielespossibilitésdedis rétisationverti ale

du domaine oertes par ette nouvelle forme de tranformation ALE, ainsi

queleurs avantages etin onvénientsdansdiérents asd'appli ations.

La travail ee tué autour des s hémas ALE-MURD pour la onve tion

linéairedes alaires, etdeleurspropriétés de onservationlorsqu'ilssont

po-séssurdesdomainesmobiles est,noussemble-t-il, intéressantensoi.Ilnous

aégalement permis demettre àjour les s hémas de onve tion de T

elema -3

D, an qu'ils soient onservatifs pour tout as de transformation ALE du

maillage, tant que elle- iestuniquement verti ale.

Maisnotretravailouvreégalementlavoieàl'extensiondesmodèlesbasés

sur des maillages se déplaçant uniquement selon la verti ale, à l'utilisation

de maillagestridimensionnelsentièrement non stru turés.

D'unepart,larésolution quenousavonsproposéedusous-problème

ou-plantlavitessehorizontaleetlasurfa elibreest ompatibleave unmaillage

non stru turé sur la verti ale, puisqu'elle n'implique pas l'intégration sur

la verti ale des variables ni des termes sour es. D'autre part, les s hémas

ALE-MURD proposés dans ette thèse sont appli ables aux problèmes de

onve tion linéaire de s alaires sur tout domaine mobile, pour toute forme

de dépla ement du maillage. L'expression de la ontraintede onservativité

de ess hémasétantdonnéedansle asgénéral,nouspourrionsenvisagerde

lavérierégalement dansle asde maillages

3

Dnesedéplaçant pas

unique-ment selon la verti ale, autrement dit dansle as de maillages entièrement

nonstru turés.

Cette perspe tive nous semble extrêment intéressante ar elle

permet-traitla prise en ompte de tout obsta le tridimensionnel dans l'é oulement

àsurfa e libre étudié.

Finalement, nous aimerions également poursuivre le travail entamé

au-tourdel'estimationde paramètresdansunmodèle

1

Dpourlesé oulements

sanguinsdanslesartères.Nouspensons ependant abandonnerlamétho-de

duproblèmeadjointpourle al uldugradientdelafon tion oûtà

minimi-ser, ar etteméthodenousasemblétroplourde.Nousenvisageonsd'utiliser

plutt une méthode globale, plus fa ileàmettre en oeuvre, ombinée à une

Première partie

Arbitrary Lagrangian Eulerian

Framework and Conservation

Chapitre 2

Arbitrary Lagrangian Eulerian

formulation and Geometri

Conservation Laws

Inthis hapterweaimtodes ribeindetailstheArbitraryLagrangian

Eu-lerian(ALE) formulation andits appli ation intheFinite Element Method

(FEM) framework. In addition, we wish to introdu e thenotion of

Geome-tri ConservationLaw(GCL),relatedtothepreservationofthestabilityand

onservation properties of as heme whenposedon amoving domain.

2.1 ALE formulation and nite elements

2.1.1 Prin iple

The ALE formulationis adopted inorder to simplify thedi ult

treat-ment of problems with moving boundaries. First introdu ed by Hirt et al.

[67℄in

1974

,it onsistsindeningareferen e onguration whi h is

gene-rally hosento bexedandamapping thatgivesthe orresponden ewith

therealdomainat ea htime. Themapping an be hosenarbitrarily,but it

hasto be onforming to the evolution of thedomain boundaries. It denes

aninstantaneousdomainvelo ity,whosedis rete ounterpart willbethe

ve-lo ityofthe mesh.Consequently,the approximationof aproblem raisedon

a moving domain only requires the onstru tion of a mesh on thereferen e

onguration :the dis retized ALE mapping provides, at any time, the

o-ordinates of ea h grid node in the real domain. That allows to swit h very

simplybetween the referen e frame and the real frame. Moreover, the

par-tialtimederivativesof aproblem an beturnedinto theso- alled ALE time

derivatives,thatarederivativeswithrespe tto thetimeata point onstant