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Digital geometry and algorithmic geometry for interactive 3D design

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Academic year: 2021

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(1)Digital geometry and algorithmic geometry for interactive 3D design Jean-Marc Thiery. To cite this version: Jean-Marc Thiery. Digital geometry and algorithmic geometry for interactive 3D design. Other. Télécom ParisTech, 2012. English. �NNT : 2012ENST0070�. �tel-01078038�. HAL Id: tel-01078038 https://pastel.archives-ouvertes.fr/tel-01078038 Submitted on 27 Oct 2014. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2) 2012-ENST-070. EDITE - ED 130. Doctorat ParisTech THÈSE pour obtenir le grade de docteur délivré par. TELECOM ParisTech Spécialité « SIGNAL et IMAGES » présentée et soutenue publiquement par. Jean-Marc THIERY le 28 novembre 2012. Géométrie numérique et géométrie algorithmique pour le design intéractif 3D. Directeur de thèse : Tamy BOUBEKEUR. Jury M. Bruno LEVY, Directeur de recherche, LIRIA, INRIA Nancy Grand-Est M. Marc ALEXA, Professeur, TU Berlin M. Henri MAÎTRE, Professeur, LTCI, Télécom-ParisTech M. Gabriel PEYRE, Chargé de recherche, CNRS, Univ. Paris Dauphine M. Tamy BOUBEKEUR, Maître de conférence (HDR), CNRS-LTCI, Télécom-ParisTech TELECOM ParisTech école de l’Institut Télécom - membre de ParisTech. Rapporteur Rapporteur Examinateur Examinateur Directeur.     .

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(12) ❈❤❛♣$❡& ✶. ▲♦♥❣ $%&✉♠% ❡♥ ❧❛♥❣✉❡ ❢$❛♥-❛✐&❡ ▲✬♦❜❥❡❝'✐❢ ❞❡ ❝❡''❡ '❤,-❡ ❡-' ❞❡ ❞.✈❡❧♦♣♣❡2 ❞❡ ♥♦✉✈❡❧❧❡- ♠.'❤♦❞❡- ❞❡ ❞❡-✐❣♥ ✸❉ ✐♥'❡2❛❝'✐❢ -✬❛♣♣✉②❛♥' -✉2 ❧❡- ♦✉'✐❧- ❞❡ ❣.♦♠.'2✐❡ ♥✉♠.2✐;✉❡ ❡' ❣.♦♠.'2✐❡ ❛❧❣♦2✐'❤♠✐;✉❡ ❛✜♥ ❞✬♦✛2✐2 ✉♥ ❝♦♥'2>❧❡ ❞❡ ♣❧✉- ❤❛✉' ♥✐✈❡❛✉ ❞❛♥- ❧❡- .'❛♣❡- ❞❡ ❝2.❛'✐♦♥ ❡' ❞✬.❞✐'✐♦♥ ❞✬♦❜❥❡'- ✸❉✳ ❉❛♥- ❝❡ ❝❛❞2❡✱ ❥✬❛✐ ❡--❡♥'✐❡❧❧❡♠❡♥' .'✉❞✐. ❧❡- -'2✉❝'✉2❡- '♦♣♦❧♦❣✐;✉❡- ❡' ❣.♦♠.'2✐;✉❡- ♣❡2✲ ♠❡''❛♥' ❧✬✐'.2❛❝'✐♦♥ ❛✈❡❝ ❞❡- ❢♦2♠❡- ✸❉ ❝♦♠♣❧❡①❡-✱ ❡' ❥✬❛✐ ❞.✈❡❧♦♣♣. ❞❡- ❛❧❣♦2✐'❤♠❡- ;✉✐ ♦♥' ♣❡2♠✐- ❧❛ ❝2.❛'✐♦♥ ♦✉ ❧✬✉'✐❧✐-❛'✐♦♥ ❞❡ ❝❡❧❧❡-✲❝✐✳ ❏✬❛✐ ❝❧❛--✐✜. ❝❡- -'2✉❝'✉2❡- ❡♥ '2♦✐- ♣❛2✲ '✐❡-✿ ✶✮ ❧❡- -'2✉❝'✉2❡- ✐♥'❡2♥❡- ✭-;✉❡❧❡''❡- ❡' ❛①❡- ♠.❞✐❛♥-✮✱ ✷✮ ❧❡- -'2✉❝'✉2❡- -✉2❢❛❝✐;✉❡- ❡' ❧♦❝❛❧❡- ✭❝♦✉2❜❡- -✉2 ❧❛ -✉2❢❛❝❡ ❞❡ ❧✬♦❜❥❡'✱ ✏♣❛'❝❤❡-✑✮✱ ❡' ✸✮ ❧❡- -'2✉❝'✉2❡- ❡①'❡2♥❡- ✭❝❛❣❡- ❡' ❜♦✐'❡- ❡♥❣❧♦❜❛♥'❡-✮✳. ✶✳✶ ❈♦♥%&✐❜✉%✐♦♥* %❡❝❤♥✐.✉❡* ❈♦♥❝❡2♥❛♥' ❧❡- -'2✉❝'✉2❡- ✐♥'❡2♥❡-✱ ❥✬❛✐ ❞.✈❡❧♦♣♣. ✉♥ ❛❧❣♦2✐'❤♠❡ ❞❡ ❝2.❛'✐♦♥ ❞❡ -;✉❡❧❡''❡ ✉♥✐❞✐♠❡♥-✐♦♥♥❡❧ ❛♥❛❧②$✐&✉❡✱ ♣❡2♠❡''❛♥' ❞❡ 2.❛❧✐-❡2 ❞❡- '2❛✐'❡♠❡♥'- ❣.♦♠.'2✐;✉❡- ✐♥'✉✐'✐❢-✉2 ❧❡- ♦❜❥❡'- ♣2.-❡♥'❛♥' ❞❡- -'2✉❝'✉2❡- '✉❜✉❧❛✐2❡-✳ ❈❡' ❛❧❣♦2✐'❤♠❡ ❡-' '②♣✐;✉❡♠❡♥' ❛❞❛♣'. L ❧❛ ❞.❝♦♠♣♦-✐'✐♦♥ ❞❡ ♣❡2-♦♥♥❛❣❡- ✭❤✉♠❛✐♥-✱ ❛♥✐♠❛✉①✱ ✳ ✳ ✳ ✮✳ ▲❡- '2❛✐'❡♠❡♥'- ✐♥'2♦❞✉✐'-♦♥'✿ ✶✮ ❧❛ ❝2.❛'✐♦♥ ❛--✐-'.❡ ❞❡ ✏-✉2❢❛❝❡- ✐♥'❡2♥❡-✑ ✭❝2.❛'✐♦♥ ❞❡ ✈♦❧✉♠❡- L ❧✬✐♥'.2✐❡✉2 ❞❡ ❧❛ -✉2❢❛❝❡✮ ❡' ❧✬❛♣♣❧✐❝❛'✐♦♥ ❛✉ ✏-❤❡❧❧ ♠❛♣♣✐♥❣✑✱ ✷✮ ❧✬.❞✐'✐♦♥ ❞❡ ❢♦2♠❡- ❜❛-.❡ -✉2 ❧❛ ❞.❝♦♠♣♦✲ -✐'✐♦♥ ❞❡ ❧✬♦❜❥❡' -✉2 -♦♥ -;✉❡❧❡''❡✱ ❡' ✸✮ ❧❡ ✜❧'2❛❣❡ ❜✐❧❛'.2❛❧ ❜❛-. ❡♥❝♦2❡ ✉♥❡ ❢♦✐- -✉2 ❝❡''❡ ❞.❝♦♠♣♦-✐'✐♦♥✳ ❈♦♥❝❡2♥❛♥' ❧❡- -'2✉❝'✉2❡- -✉2❢❛❝✐;✉❡-✱ ❥✬❛✐ .'✉❞✐. ❛✈❡❝ ♠❛ ❝♦❧❧,❣✉❡ ▲❡✐❧❛ ❙❝❤❡♠❛❧✐ ❝♦♠♠❡♥' ❞.✜♥✐2 ❞❡- ❝♦✉2❜❡- ✭L ♣❛2'✐2 ❞❡ ❧❛ ❣.♦♠.'2✐❡ ❞❡ ❧✬♦❜❥❡' ❛✐♥-✐ ;✉❡ ❞✉ ♣♦✐♥' ❞❡ ✈✉❡✮ -✉2 ❧✬♦❜❥❡' ✸❉✱ ♣♦✉2 ♣❡2♠❡''2❡ L ❧✬✉'✐❧✐-❛'❡✉2 ❞❡ ❧❡- ♠❛♥✐♣✉❧❡2 ❡' ❛✐♥-✐ ❞❡ ❞.❢♦2♠❡2 -❛ -✉2❢❛❝❡✳ ❆✈❛♥' ❝❡❧❛✱ ❥❡ ♠✬.'❛✐- ✐♥'.2❡--. L ❧❛ ❞.✜♥✐'✐♦♥ ♠✉❧$✐✲+,-♦❧✉$✐♦♥ ❞✬✉♥❡ -'2✉❝'✉2❡ ❞❡ ❝♦♠♣❧❡①❡ -✉2 ❧✬♦❜❥❡'✱ ♣❡2♠❡''❛♥' L ❧✬✉'✐❧✐-❛'❡✉2 ❞❡ -.❧❡❝'✐♦♥♥❡2 ❞❡- +,❣✐♦♥- ❞❡ ❧✬♦❜❥❡'✱ ♦✉ ❜✐❡♥ ❞❡❝♦✉2❜❡- -.♣❛2❛♥' ❝❡- 2.❣✐♦♥-✱ ♦✉ ❡♥❝♦2❡ ❞❡- ♣♦✐♥'- ✐♥'❡2-❡❝'❛♥'- ❝❡- ❞✐✛.2❡♥'❡- ❝♦✉2❜❡-✳ ❯♥❡ ✐♥'❡2❢❛❝❡ ✉'✐❧✐-❛'❡✉2 ❛ .'. ❞.✜♥✐❡ ♣♦✉2 ;✉❡ ❧✬✉'✐❧✐-❛'❡✉2 ♣✉✐--❡✱ ❡♥ '❡♠♣-✲2.❡❧✱ ♣❛--❡2 ❞❡ ❧✬.❞✐'✐♦♥ -✉2❢❛❝✐;✉❡ ❞❡ ❣2❛♥❞❡- 2.❣✐♦♥- L ❧✬.❞✐'✐♦♥ ❧♦❝❛❧❡ ❞❡ ❞.'❛✐❧- ❣.♦♠.'2✐;✉❡-✳ ✶✶.

(13) ✶✷ ❈♦♥❝❡'♥❛♥) ❧❡+ +)'✉❝)✉'❡+ ❡①)❡'♥❡+✱ ❥❡ ♠❡ +✉✐+ ✐♥)2'❡++2 3 ❧✬ ✐♥❣#♥✐❡✉&✐❡ ✐♥✈❡&(❡ ❞✬❛♥✐♠❛)✐♦♥+ ❞✬♦❜❥❡)+ ✸❉ 3 ❧✬❛✐❞❡ ❞❡ ❝❛❣❡+✳ ❉❛♥+ ❝❡ ❝♦♥)❡①)❡✱ ❧✬❛')✐+)❡ ❞✐+♣♦+❡ ❞❡ ❧✬❛♥✐♠❛)✐♦♥ ❞✬✉♥ ♦❜❥❡) ✸❉ ❝♦♠♣❧❡①❡✱ ❡) ✐❧ +♦✉❤❛✐)❡ )'♦✉✈❡' ❧❛ ❞2❢♦'♠❛)✐♦♥ ❞✬✉♥❡ ❝❛❣❡ ❣2♥2'❛♥) ❧✬❛♥✐♠❛)✐♦♥ ❞❡ ❝❡) ♦❜❥❡)✳ ❈❡❧❛ ♣❡'♠❡) ❞❡ ♣❛&❛♠#,&❡& +✐♠♣❧❡♠❡♥) ❧✬❛♥✐♠❛)✐♦♥✱ ❡) ❝❡❧❛ ♣❡'♠❡) ❧❡+ ❛♣♣❧✐❝❛)✐♦♥+ +✉✐✈❛♥)❡+✿ ✶✮ ❧❛ ❝♦♠♣'❡++✐♦♥ ❞✬❛♥✐♠❛)✐♦♥+ 3 ❧✬❛✐❞❡ ❞✬✉♥❡ +)'✉❝)✉'❡ ♥❛,✉&❡❧❧❡ ❞❡ ♠❛♥✐♣✉✲ ❧❛)✐♦♥ ❞❡ ✈♦❧✉♠❡+✱ ✷✮ ❧✬2❞✐)✐♦♥ ✐♥)2'❛❝)✐✈❡ ❞❡ ❧✬❛♥✐♠❛)✐♦♥✱ ✸✮ ❧✬❛❝❝2❧2'❛)✐♦♥ ❞✬❛❧❣♦'✐)❤♠❡+ ❣2♦♠2)'✐B✉❡+ ❝♦♠♣❧❡①❡+ ✭❝♦♠♠❡ ❧✬✐♥)❡'♣♦❧❛)✐♦♥ ❣2♥2'❛❧❡+ ❞❡ ❢♦'♠❡+ ✸❉✮ ❡♥ ✉)✐❧✐+❛♥) ❧❡+ ❝❛❣❡+ ♣'♦❞✉✐)❡+ ❝♦♠♠❡ ❞❡+ ✈❡'+✐♦♥+ ❜❛++❡ '2+♦❧✉)✐♦♥ ❞❡ ❧✬♦❜❥❡) ❞2❢♦'♠2✳ ❏❡ ♠❡ +✉✐+ 2❣❛❧❡♠❡♥) ✐♥)2'❡++2 3 ❧✬2)✉❞❡ ❞❡ ❝♦♦'❞♦♥♥2❡+ ❞❡ ❝❛❣❡+ ❞❛♥+ ❧❡✉' ❞2✜♥✐)✐♦♥ ♠❛)❤2♠❛)✐B✉❡✳ ❉❛♥+ ❝❡ ❝❛❞'❡✱ ❥✬❛✐ ♦❜)❡♥✉ ❧❡+ ❢♦'♠✉❧❡+ ❛♥❛❧②)✐B✉❡+ ❞❡+ ❞2'✐✈2❡+ ❛✉ ♣'❡♠✐❡' ♦'❞'❡ ✭❏❛❝♦❜✐❡♥✮ ❡) ❞❡✉①✐G♠❡ ♦'❞'❡ ✭❍❡++✐❡♥✮ ❞❡+ ❝♦♦'❞♦♥♥2❡+ ❛✉① ✈❛❧❡✉'+ ♠♦②❡♥♥❡+ ✭▼❡❛♥ ❱❛❧✉❡ ❈♦♦&❞✐♥❛,❡( ✮ ✐♥)'♦❞✉✐)❡+ ♣❛' ❋❧♦❛)❡'✳ ❏✬❛✐ 2❣❛❧❡♠❡♥) )'❛✈❛✐❧❧2 3 ❧✬✐♠♣❧2♠❡♥)❛)✐♦♥ ❞✬✉♥ ❛❧❣♦'✐)❤♠❡ ♣❡'♠❡))❛♥) ❧✬♦❜)❡♥)✐♦♥ ♣❛' ❞❡+ ♠2)❤♦❞❡+ ♥✉♠2'✐B✉❡ ❞✬❛♣♣'♦①✐♠❛)✐♦♥ ❞❡+ ❞2'✐✈2❡+ ❞❡+ ❝♦♦'❞♦♥♥2❡+ ❤❛&♠♦♥✐4✉❡(✳ ❉❛♥+ ❧❡+ ❞❡✉① ❝❛+✱ ❥✬❛✐ 2)✉❞✐2 ❧❡+ ❛♣♣❧✐❝❛)✐♦♥+ ♣♦++✐❜❧❡+✱ ❡) ♥♦)❛♠♠❡♥) ❧❛ ❞2✜♥✐)✐♦♥ ❞❡ +②+)G♠❡+ ❞❡ ♠♦❞2❧✐+❛)✐♦♥ ✐♠♣❧✐❝✐,❡( 3 ❧✬❛✐❞❡ ❞❡ ❝❛❣❡+✱ ♣❡'♠❡))❛♥) ❧✬♦♣)✐♠✐+❛)✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ❣2♦♠2)'✐❡ ❞❡ ❧❛ ❝❛❣❡ ❡♥ ❢♦♥❝)✐♦♥ ❞❡ ❝♦♥)'❛✐♥)❡+ ♣♦+✐)✐♦♥♥❡❧❧❡+ ♣❧❛❝2❡+ ❞✐'❡❝)❡♠❡♥) +✉' ❧✬♦❜❥❡) ❞2❢♦'♠2✱ ❛✐♥+✐ B✉❡ ❞❡ ❝♦♥)'❛✐♥)❡+ ❞❡ '♦)❛)✐♦♥ ✭❏❛❝♦❜✐❡♥+ ❝♦♥)'❛✐♥)+ 3 J)'❡ ❞❡+ ♠❛)'✐❝❡+ ❞❡ '♦)❛)✐♦♥ ❞♦♥) ♦♥ ♥❡ ❝♦♥♥❛✐) ♣❛+ ❧❛ ✈❛❧❡✉' 3 ♣'✐♦'✐✮ ❡) ❞❡+ ❝♦♥)'❛✐♥)❡+ ❞❡ '✐❣✐❞✐)2 ✭❍❡++✐❡♥+ ❝♦♥)'❛✐♥)+ 3 ❛✈♦✐' ✉♥❡ ♥♦'♠❡ ♠✐♥✐♠❛❧❡✮✳ ❆✈❡❝ ❝❡ ❢♦'♠❛❧✐+♠❡✱ ❧✬✉)✐❧✐+❛)❡✉' ✐)2'❛❣✐) ❞✐&❡❝,❡♠❡♥, ❛✈❡❝ ❧✬♦❜❥❡) B✉✬✐❧ ❞2❢♦'♠❡✱ ❧❛ ❝❛❣❡ ♥❡ +❡'✈❛♥) B✉❡ ❞❡ +✉♣♣♦') ♣♦✉' ❧❛ ❞2❢♦'♠❛)✐♦♥ ❡♥ ❛&&✐6&❡ ♣❧❛♥✱ ❡) ✐❧ ♣❡✉) 3 )♦✉) ♠♦♠❡♥) ♠♦❞✐✜❡' ❞✐'❡❝)❡♠❡♥) ❧❛ ❝❛❣❡ ♣♦✉' '❛❥♦✉)❡' ❞❡+ ❞2)❛✐❧+ ❞❡ ♠❛♥✐G'❡ ❧♦❝❛❧❡✳ ❊♥ ♣❧✉+ ❞❡ ❧✬2)✉❞❡ ❞❡+ ❝♦♦'❞♦♥♥2❡+ ❛✉① ✈❛❧❡✉'+ ♠♦②❡♥♥❡+✱ ❥✬❛✐ 2❣❛❧❡♠❡♥) ♦❜)❡♥✉ ❧❡+ ❢♦'♠✉❧❡+ ❛♥❛❧②)✐B✉❡+ ❞✬✉♥❡ ❜❛+❡ ❞✬2❧2♠❡♥)+ ✜♥✐+ ♣♦✉' ❧❡+ ❢♦♥❝)✐♦♥+ ❜✐❤❛'♠♦♥✐B✉❡+✳ ❏✬❛✐ 2❣❛❧❡♠❡♥) ♣❛')✐❝✐♣2 3 ❞✐✈❡'+ )'❛✈❛✉① ❡♥ ❝♦❧❧❛❜♦'❛)✐♦♥ ❛✈❡❝ ♠❡+ ❝♦❧❧G❣✉❡+ )❤2+❛'❞+✱ ❞❛♥+ ❧❡ ❞♦♠❛M♥❡ ❞❡ ❧✬✐♠❛❣❡'✐❡ ♠2❞✐❝❛❧❡ ❛✈❡❝ ◆♦✉'❛ ❋❛'❛❥✱ ❞❛♥+ ❧❡ ❞♦♠❛M♥❡ ❞❡ ❧❛ ❝'2❛✲ )✐♦♥ ❡) ♣❛'❛♠2)'✐+❛)✐♦♥ ❞❡ ♠❛✐❧❧❛❣❡+ ❛✈❡❝ ●✉✐❧❧❛✉♠❡ ❱✐❛❧❛♥❡✐①✱ ❡) ❞❛♥+ ❧❡ ❞♦♠❛M♥❡ ❞❡ ❧❛ ♠♦❞2❧✐+❛)✐♦♥ ✸❉ ❛✈❡❝ ▲❡✐❧❛ ❙❝❤❡♠❛❧✐ ❡) ❇❡') ❇✉❝❤❤♦❧③✳.

(14) Ri. ti RA RB A∪B R = RA ∪ RB.

(15) ✶✹. ❚♦♣♦❧♦❣✐❡. RA. RB. ❈②❧✳ ❉✐()✉❡ ❉✐()✉❡ ❈②❧✳ ❈②❧✳. RA. ❉✐()✉❡ ❉✐()✉❡ ❉✐()✉❡ ❉✐()✉❡ ❈②❧✳ ❆✉-.❡( ❝❛(. RB. ∪ ❉✐()✉❡ ❈②❧✳ ❉✐()✉❡ ❈②❧✳ ❈②❧✳. ◆♦♠. eT. ❋✐❧❧ ❍♦❧❡ ❈'❡❛)❡ ❈②❧✐♥❞❡' ▼❡'❣❡ ❉✐0❦0 ●'♦✇ ❈②❧✐♥❞❡' ▼❡'❣❡ ❈②❧✐♥❞❡'0 ❙❦✐♣. ✵ ✶ ✷ ✸ ✹. ∞. ❚❛❜❧❡ ✶✳✶✿ ❚❡.♠❡ ❞❡ ♣.✐♦.✐-8 -♦♣♦❧♦❣✐)✉❡✳ ❚.❛❞✐-✐♦♥♥❡❧❧❡♠❡♥-✱ ❝❡ ❣❡♥.❡ ❞✬❛❧❣♦.✐-❤♠❡ ❛ 8-8 ✉-✐❧✐(8 ♣♦✉. ❧❛ (✐♠♣❧✐✜❝❛-✐♦♥ ❞❡ ♠❛✐❧✲ ❧❛❣❡( ❬✸✼❪✱ ♦D ✉♥✐)✉❡♠❡♥- ❧❛ ❣8♦♠8-.✐❡ ❞❡( .8❣✐♦♥( ❞8-❡.♠✐♥❡ ❧✬♦.❞♦♥♥❛♥❝❡♠❡♥- ❞❡( .8❞✉❝✲ -✐♦♥( (✉❝❝❡((✐✈❡(✳ ▲❛ ♥♦✉✈❡❛✉-8 -❡❝❤♥✐)✉❡ )✉❡ ♥♦✉( ✐♥-.♦❞✉✐(♦♥( ✐❝✐ ❡(- ❧❡ -❡.♠❡ ❞✬❡..❡✉. ❛((♦❝✐8 G ❧✬8-❛♣❡ ❞❡ .8❞✉❝-✐♦♥ RA∪B = RA ∪ RB ✱ ♣♦✉. ❧❡)✉❡❧ ❧❛ -♦♣♦❧♦❣✐❡ ❞❡( -.♦✐( .8❣✐♦♥( ❡(- ❞✐(❝.✐♠✐♥❛♥-❡ ✭✈♦✐. ❚❛❜❧❡ ✶✳✶✮✳ ▲❡( ❛❣❣.8❣❛-✐♦♥( ❞❡ .8❣✐♦♥( (♦♥- ♦.❞♦♥♥8❡( ♣.❡♠✐J.❡♠❡♥- ♣❛. ♦.❞.❡ ❝.♦✐((❛♥- ❞❡ ❝♦7) )♦♣♦❧♦❣✐8✉❡ eT ✱ ♣✉✐( ♣❛. ♦.❞.❡ ❝.♦✐((❛♥- ❞❡ ❝♦K- ❣8♦♠8-.✐)✉❡ eG ❛✉ (❡✐♥ ❞✬✉♥❡ ♠L♠❡ ❝❧❛((❡ -♦♣♦❧♦❣✐)✉❡✳ ▲❛ -♦♣♦❧♦❣✐❡ ❞❡( ❞✐✛8.❡♥-❡( .8❣✐♦♥( ♣❡✉- L-.❡ ❝♦♥-.N❧8❡ G ❧✬❛✐❞❡ ❞❡ ❧❛ ❝❛'✲ ❛❝);'✐0)✐8✉❡ ❞✬❊✉❧❡' χ ✭♥♦♠❜.❡ ❞❡ (♦♠♠❡-( ♠♦✐♥( ❧❡ ♥♦♠❜.❡ ❞✬❛.L-❡(✱ ♣❧✉( ❧❡ ♥♦♠❜.❡ ❞❡ -.✐❛♥❣❧❡(✮✱ )✉✐ ✈❛✉- 1 ♣♦✉. ✉♥ ❞✐()✉❡ -♦♣♦❧♦❣✐)✉❡ ❡- 0 ♣♦✉. ✉♥ ❝②❧✐♥❞.❡ -♦♣♦❧♦❣✐)✉❡✳ O♦✉. .8❛❧✐(❡. ❝❡( -❡(-( ❞❡ ♠❛♥✐J.❡ ❡✣❝❛❝❡✱ ✉♥❡ (-.✉❝-✉.❡ ❞❡ ✏♠8-❛✑✲♠❛✐❧❧❛❣❡( ✭❝♦♠♣♦(8( ❞❡ (♦♠♠❡-(✱ ❝♦✉.❜❡(✱ ❡- .8❣✐♦♥(✱ ❡♥ ❧✐❡✉ ❡- ♣❧❛❝❡ ❞✬❛.L-❡( ❡- ❞❡ -.✐❛♥❣❧❡(✮ ♣❡✉- L-.❡ ✉-✐❧✐(8❡✱ ❝❛. ❧❛ ❝❛.❛❝-8.✐(-✐)✉❡ ❞✬❊✉❧❡. ❡(- ✉♥ ✐♥✈❛.✐❛♥- -♦♣♦❧♦❣✐)✉❡✱ ❡- ♥❡ ❞8♣❡♥❞ ❞♦♥❝ ♣❛( ❞❡ ❧❛ .❡♣.8(❡♥-❛-✐♦♥ ♣❛.-✐❝✉❧✐J.❡ ❞❡( (✉.❢❛❝❡( ❝♦♥(✐❞8.8❡(✳. ❚❡.♠❡ ❣/♦♠/0.✐1✉❡. ▲❡( -❡.♠❡( ❣8♦♠8-.✐)✉❡( )✉❡ ♥♦✉( ❝♦♥(✐❞8.♦♥( ♣❡.♠❡--❡♥❞❡ ❢❛✲ R ✈♦.✐(❡. ❧✬❡①♣❛♥(✐♦♥ ❞❡( .8❣✐♦♥( ❝♦♥✈❡①❡(✳ ❉❛♥( ❧❛ (✉✐-❡✱ ♦♥ ♥♦-❡ sX = ξ∈X dσξ ❧❛ (✉.✲ R ❢❛❝❡ -♦-❛❧❡ ❞❡ ❧❛ .8❣✐♦♥ RX = RA ∪ RB ✱ ♥X = ξ∈X nξ dσξ /sX (❛ ♥♦.♠❛❧❡ ♠♦②❡♥♥❡✱ ❡R ♣X = ξ∈X pξ dσξ /sX (❛ ♣♦(✐-✐♦♥ ♠♦②❡♥♥❡✳ ▲✬❡..❡✉. ❣8♦♠8-.✐)✉❡ eG (A, B) ❛((♦❝✐8❡ G ❧✬❛❣❣.8❣❛-✐♦♥ ❞❡( .8❣✐♦♥ RA ❡- RB ❞8♣❡♥❞ ❞❡ ❧❛ ❝❧❛((❡ -♦♣♦❧♦❣✐)✉❡ eT (A, B)✱ ❡- ♦♥ ❧❛ ❞8✜♥✐- ❞❡ ♠❛♥✐J.❡ ❢♦.♠❡❧❧❡ ❝♦♠♠❡ eG (A, B) = EeT (A,B) (A, B)✳. E0 (A, B) = 1 − k♥X k. E1 (A, B) = E4 (A, B) = k♥ k X E2 (A, B) = E3 (A, B) = si · k♣i − ♣X k2 /sX X. ✭✶✳✶✮ ✭✶✳✷✮ ✭✶✳✸✮. i. ▼✐♥✐♠✐(❡. E0 (A, B) .❡✈✐❡♥- G ❛✈♦✐. ✉♥❡ ♥♦.♠❛❧❡ ♠♦②❡♥♥❡ ❛②❛♥- ✉♥❡ ♥♦.♠❡ ♣.♦❝❤❡ ❞❡ 1✱ ❝❡ )✉✐ ♥✬❡(- ♣♦((✐❜❧❡ )✉❡ (✐ ❧❛ .8❣✐♦♥ ❡(- ♣❧❛♥❛✐.❡✿ E0 (❡.- ❞♦♥❝ G ❡✛❛❝❡. ❧❡( ❝②❧✐♥❞.❡( -♦♣♦❧♦❣✐)✉❡( )✉✐ ♥✬♦♥- ♣❛( ❞❡ (❡♥( ❣8♦♠8-.✐)✉❡ ✭✏.❡❜♦✉❝❤❡. ❧❡( -.♦✉(✑✮✳.

(16) E1. E4 E1 E0 E2. E3. Ci u=0. u : Ci → [0, 1] u=1. △u=0. |v(Ci )|. Ci.

(17) u. u. (u, θ) θ. Ci. → − ▽u 0 2π. θ (u, θ) : Ci → [0, 1] × [0, 2π]. u=u ˆ. Ci. bi (ˆ u) bi : [0, 1] → R3. α v vˆα ∈. R3. bi (ˆ u) =. R 2π 0. p(ˆ u,θ)dθ 2π. 0. 1. b(v) ∈ R3 ∀v : vˆα = α · b(v) + (1 − α) · v.

(18) α. α=1.

(19)

(20)

(21) k.

(22)

(23)

(24) C. M = Φ·C Φ. M.

(25) ✷✹ ❧❛ ♠❛%&✐❝❡ ❞❡+ ❝♦♦&❞♦♥♥.❡+ ❞❡ ❝❛❣❡ ❞✉ ♠♦❞1❧❡✮✱ ❈❛❣❡❘ +.❧❡❝%✐♦♥♥❡ ❞❡ ♠❛♥✐1&❡ ♦♣%✐♠❛❧❡ ❧✬❡♥+❡♠❜❧❡ ❞❡+ ❝♦♥%&❛✐♥%❡+ 9 ♣&❡♥❞&❡ ❡♥ ❝♦♠♣%❡ ♣♦✉& ❧❡ ♣&♦❜❧1♠❡ ✐♥✈❡&+❡ ✭.%❛♥% ❞♦♥♥.❡ ✉♥❡ ❞.❢♦&♠❛%✐♦♥ ❞✉ ♠♦❞1❧❡ Mt ✱ %&♦✉✈❡& Ct %❡❧❧❡ =✉❡ Mt ≃ Φ · Ct ✮✳. ▲❡+ ❝♦♦&❞♦♥♥.❡+ ❞❡ ❝❛❣❡ +♦♥% ✐♥✈❡&+.❡+ 9 ❝❤❛=✉❡ .%❛♣❡ t ❞❡ ❧✬❛♥✐♠❛%✐♦♥ 9 ♣❛&%✐& ❞❡ ❝❡+ ❝♦♥%&❛✐♥%❡+✱ ♣♦✉& %&♦✉✈❡& ✉♥❡ ❣.♦♠.%&✐❡ ❞❡ ❝❛❣❡ ❝♦&&❡+♣♦♥❞❛♥% 9 ❧❛ ❞.❢♦&♠❛%✐♦♥✳ ■❧ ❡+% ♣♦++✐❜❧❡ ❞✬✉%✐❧✐+❡& ✉♥ %❡&♠❡ ❞❡ &.❣✉❧❛&✐%. ❛&❜✐%&❛✐&❡ +✉& ✉♥ +♦✉+✲❡♥+❡♠❜❧❡ ❞✉ +♣❡❝%&❡ ❞✉ ♣&♦❜❧1♠❡ ✐♥✈❡&+❡ ♣♦✉& ♥❡ ❧✬❛♣♣❧✐=✉❡& =✉❡ +✉& ❧❡+ ♣❛&%✐❡+ ❧❡+ ♣❧✉+ ✐♥+%❛❜❧❡+ ❞❡ ❧❛ ❣.♦♠.%&✐❡ ❞❡ ❧❛ ❝❛❣❡ ❛✐♥+✐ ♦❜%❡♥✉❡✳ ▲❛ +.=✉❡♥❝❡ ❞❡ ❝❛❣❡+ ❛✐♥+✐ ❝&..❡ ✈❛&✐❡ ❞❡ ♠❛♥✐1&❡ &.❣✉❧✐1&❡✳ ▲❛ ❝♦♠♣❧❡①✐%. ❞❡+ ❞❡✉① +%&❛%.❣✐❡+ ✐♥%&♦❞✉✐%❡+ ♣♦✉& ❧❡ ♣&♦❜❧1♠❡ ✐♥✈❡&+❡ ✭&❡❧❛①❛%✐♦♥ ❞❡+ ❝♦♥%&❛✐♥%❡+✱ ❡% &.❣✉❧❛&✐+❛%✐♦♥ +♣❡❝%&❛❧❡✮ +❡ ❥✉+%✐✜❡ ♣❛& ❧❡ ❢❛✐% =✉❡ ❧❡+ ❝♦♦&❞♦♥♥.❡+ ❞❡ ❝❛❣❡+ ♣♦♣✉❧❛✐&❡+ ✭❝♦♦&❞♦♥♥.❡+ ❛✉① ✈❛❧❡✉&+ ♠♦②❡♥♥❡+✿ ▼❱❈✱ ❝♦♦&❞♦♥♥.❡+ ❤❛&♠♦♥✐=✉❡+✿ ❍❈✱ ❝♦♦&❞♦♥♥.❡+ ❞❡ ●&❡❡♥✿ ●❈✮ ♣&.+❡♥%❡♥% ❞❡+ ❝♦♥❞✐%✐♦♥♥❡♠❡♥%+ .❧❡✈.+ ♣♦✉& ❧❡+ ❣.♦♠.%&✐❡+ =✉❡ ❧✬♦♥ ❝♦♥+✐❞1&❡✳ ▲✬.%❛♣❡ ❞❡ &❡❧❛①❛%✐♦♥ ✭+.❧❡❝%✐♦♥ ❞✬✉♥ +♦✉+✲❡♥+❡♠❜❧❡ ❞❡ ❝♦♥%&❛✐♥%❡+✮ ♣❡&♠❡% ❞✬❛♠.❧✐♦&❡& ❧❡+ ♣&♦♣&✐.%.+ +♣❡❝%&❛❧❡+ ❞✉ +②+%1♠❡ 9 ✐♥✈❡&+❡&✱ ❡% ❞♦♥❝ ❞❡ &❡♥❞&❡ ❧❡ ♣&♦❜❧1♠❡ ✐♥✈❡&+❡ ♣❧✉+ +%❛❜❧❡✳ ▲✬.%❛♣❡ ❞❡ &.❣✉❧❛&✐+❛%✐♦♥ +♣❡❝%&❛❧❡ ♣❡&♠❡% ❞✬✉%✐❧✐+❡& ❞❡+ %❡&♠❡+ ❞❡ &.❣✉❧❛&✐+❛%✐♦♥ ❞❡"#$✉❝#✐❢" ✭%❡❧+ =✉✬✉♥ ▲❛♣❧❛❝✐❡♥ ♥✉❧ +✉& ❧❛ ❣.♦♠.%&✐❡ ❞❡ ❧❛ ❝❛❣❡✮ +✉& ❧❛ ♣❛&%✐❡ ✐♥+%❛❜❧❡ ❞✉ +♣❡❝%&❡ +❡✉❧❡♠❡♥%✱ ❡% ❞♦♥❝ ❞❡ ♥❡ ❧✬❛♣♣❧✐=✉❡& =✉❡ +✉& ❧❛ ♣❛&%✐❡ ❡♥❞♦♠♠❛❣.❡ ❞❡ ❧❛ ❣.♦♠.%&✐❡ ❞❡ ❧❛ ❝❛❣❡✳. ❙!❧❡❝%✐♦♥ ❞❡* ❝♦♥%+❛✐♥%❡*. L♦✉& +.❧❡❝%✐♦♥♥❡& ✉♥✐=✉❡♠❡♥% m ♣♦✐♥%+ ❞✉ ♠❛✐❧❧❛❣❡ 9 ♣&❡♥✲ ❞&❡ ❡♥ ❝♦♠♣%❡ ❞❛♥+ ❧✬✐♥✈❡&+✐♦♥ ❞✉ +②+%1♠❡ ❞❡ ❝♦♦&❞♦♥♥.❡+ ✭❛✉%❛♥% ❞❡ ❝♦♥%&❛✐♥%❡+ =✉❡ ❞✬✐♥❝♦♥♥✉❡+✮✱ ♦♥ ❝❤♦✐+✐% ❞❡ +.❧❡❝%✐♦♥♥❡& ❧✬❡♥+❡♠❜❧❡ ❞❡+ m ♣♦✐♥%+ ❞♦♥% ❧❡+ ❝♦♦&❞♦♥♥.❡+ +♦♥% ❧❡+ ♣❧✉+ +%❛❜❧❡+ 9 ❧✬✐♥✈❡&+✐♦♥✳ ❚&❛❞✐%✐♦♥♥❡❧❧❡♠❡♥%✱ ❧❛ ♠❡+✉&❡ ❞❡ ❧❛ +%❛❜✐❧✐%. 9 ❧✬✐♥✈❡&+✐♦♥ ❞✬✉♥ +②+%1♠❡ ❧✐♥.❛✐&❡ ❡+% ❞♦♥♥.❡ ♣❛& +♦♥ ❝♦♥❞✐%✐♦♥♥❡♠❡♥% ✭♣❧✉+ ❣&❛♥❞❡ ✈❛❧❡✉& ♣&♦♣&❡ ❞✐✈✐+.❡ ♣❛& ❧❛ ♣❧✉+ ♣❡%✐%❡ ✈❛❧❡✉& ♣&♦♣&❡✮✳ ❈❤❡&❝❤❡& ✉♥❡ +♦✉+✲♠❛%&✐❝❡ ❝❛&&.❡ ❞❡ ❝♦♥❞✐%✐♦♥♥❡♠❡♥% ♠✐♥✐✲ ♠❛❧ ❡+% ❝♦♥♥✉ ❞❛♥+ ❧❡ ♠♦♥❞❡ ❞❡ ❧❛ &❡❝❤❡&❝❤❡ ❡♥ ❛❧❣1❜&❡ ❧✐♥.❛✐&❡ +♦✉+ ❧❡ ♥♦♠ ❞✉ ♣&♦❜❧1♠❡ ▼✐♥❈♦♥❞✳ ❈❡ ♣&♦❜❧1♠❡ ❡+% ♠❛❧❤❡✉&❡✉+❡♠❡♥% ◆L✲❝♦♠♣❧❡%✱ ❝♦♠♠❡ +❡+ ǫ✲❛♣♣&♦①✐♠❛%✐♦♥+✳ ❆ ❧❛ ♣❧❛❝❡✱ ♦♥ ❝❤♦✐+✐% ✐❝✐ ✉♥❡ ✈❡&+✐♦♥ ♣❧✉+ ❢❛✐❜❧❡ ❞✉ ♣&♦❜❧1♠❡✱ =✉✐ ❞♦♥♥❡ +❛%✐+❢❛❝%✐♦♥ ❡♥ ♣&❛✲ %✐=✉❡ ❞❛♥+ ♥♦%&❡ ❝❛+ ♣❛&%✐❝✉❧✐❡& ❞✬❛♥❛❧②+❡ ❞❡+ ❝♦♦&❞♦♥♥.❡+ ❞❡ ❝❛❣❡+ %&❛❞✐%✐♦♥♥❡❧❧❡+✱ ❡% =✉✐ ❝♦♥+✐+%❡ 9 %&♦✉✈❡& ❧❛ +♦✉+✲♠❛%&✐❝❡ ❝❛&&.❡ ❞❡ ✈♦❧✉♠❡ ✭✈❛❧❡✉& ❛❜+♦❧✉❡ ❞✉ ❞.%❡&♠✐♥❛♥%✮ ♠❛①✲ ✐♠❛❧ ✕ ♣&♦❜❧1♠❡ ❝♦♥♥✉ +♦✉+ ❧❡ ♥♦♠ ❞❡ ▼❛①❱♦❧✳ ▲❛ ✈❛❧❡✉& ❞✉ ❞.%❡&♠✐♥❛♥% ❡+% ✉♥❡ ♠❡+✉&❡ ♣❧✉+ ❢❛✐❜❧❡ ❞❡ ❧❛ +%❛❜✐❧✐%. ❞✬✉♥ +②+%1♠❡✱ ♠❛✐+ ♦♥ ♠♦♥%&❡ ❡♠♣✐&✐=✉❡♠❡♥% =✉❡ ♠❛①✐♠✐+❡& ❧❡ ✈♦❧✉♠❡ ❡♥%&❛✐♥❡ ✉♥❡ ❞✐♠✐♥✉%✐♦♥ ❞✉ ❝♦♥❞✐%✐♦♥♥❡♠❡♥% ✭✈♦✐& ❝❤❛♣✐%&❡ ✽✮✳ ❈❡ ♣&♦❜❧1♠❡ ❡+% .❣❛❧❡♠❡♥% ◆L✲❝♦♠♣❧❡%✱ ❛✐♥+✐ =✉❡ +❡+ ǫ✲❛♣♣&♦①✐♠❛%✐♦♥+✱ ♠❛✐+ ✐❧ ❡①✐+%❡ ♥.❛♥♠♦✐♥+ ❞❡+ ❛❧❣♦&✐%❤♠❡+ ❡✣❝❛❝❡+ ♣♦✉& ♦❜%❡♥✐& ❞❡ ♠❛♥✐1&❡ +%❛%✐+%✐=✉❡ ❞❡+ +♦❧✉%✐♦♥+ ❛❝❝❡♣%❛❜❧❡+ ✭+❛♥+ ❣❛&❛♥%✐❡ ❢♦&♠❡❧❧❡ ❞❡ %&♦✉✈❡& ❧❛ +♦❧✉%✐♦♥ ♦♣%✐♠❛❧❡✮✳ ❉❛♥+ ❧❛ +✉✐%❡✱ ♦♥ ❡♥ ♣&.+❡♥%❡ ✉♥ =✉❡ ❧✬♦♥ ✉%✐❧✐+❡✱ ❡% =✉✐ +❡ &.✈1❧❡ T%&❡ ❡✣❝❛❝❡ ✕ ❡♥❝♦&❡ ✉♥❡ ❢♦✐+✱ ❞❛♥+ ❧❡ ❝❛+ ♣❛&%✐❝✉❧✐❡& ❞✉ %&❛✐%❡♠❡♥% ❞❡+ ❝♦♦&❞♦♥♥.❡+ ❞❡ ❝❛❣❡+ %&❛❞✐%✐♦♥♥❡❧❧❡+ =✉❡ ♥♦✉+ %&❛✐%♦♥+✳. ❉❛♥+ ❧❛ +✉✐%❡✱ ♦♥ ♥♦%❡ A ❧❛ +♦✉+✲♠❛%&✐❝❡ ❝❛&&.❡ ❝♦♠♣♦+.❡ ❞❡+ ♣&❡♠✐1&❡+ ❧✐❣♥❡+ ❞❡ ❧❛ ♠❛%&✐❝❡ A✱ ❡% B ❧❛ ♠❛%&✐❝❡ ❝♦♥+%&✉✐%❡ ❝♦♠♠❡ B = A · A−1  ✳ ❯♥❡ ♦❜+❡&✈❛%✐♦♥ +✐♠♣❧❡ 9 .%❛❜❧✐& ❡+% =✉✬.❝❤❛♥❣❡& ❧❡+ ❧✐❣♥❡+ i ❡% j ❞❡ A✱ ♣♦✉& ❧❡+=✉❡❧❧❡+ Bij ❡+% ❧✬.❧.♠❡♥% ❞❡ ♥♦&♠❡ ♠❛①✐♠❛❧❡ ❞❛♥+ ❧❛ ♠❛%&✐❝❡ B ❛✉❣♠❡♥%❡ ❧❡ ✈♦❧✉♠❡ ❞❡ A ✭+✐ |Bij | > 1✮✳.

(26) ek. 1. k. 0. B A B := B − (B:j − ej + ei ) · (Bi: − eTj )/Bij B:j. • •. j me. B. Bi:. ime. A A. B =A·. A B i. m A−1  Bij. j. µ1 /µm µk. k ime µ1 /µk k < m. i>m B.

(27) R3. 2. U ΣV T. Φ Φ Ct P k Ct = k V · q kt. Ht. Ht /sk ∈ R3. s. E = λ||. X. k<(m−s). ∆ · V k · q kt +. X. k≥(m−s). ∆ · V k · qkt ||2. + ||(Φ · Ct ) − Ht ||2. (qk , k < m − s) qkt = (U k )T · Ht /sk ,. ∀k < (m − s). qkt = (U k )T ·.

(28) s = 20. λ. (qk , k ≥ m−s) qkt , ∀k ≥ (m − s) √ P  √ P λ · k≥(m−s) ∆ · V k · qkt = − λ · k<(m−s) ∆ · V k · qkt  sk · qkt = sk · (U k )T · Ht /sk , ∀k ≥ (m − s). 1.

(29) 499. ≃. ≃.

(30) Rn. f f (vi ) = fi vi. f (η) = η. vi. P. i λi (η)fi. fi. λi (η).

(31) wi (η) λi (η) = Pwi (η) j wj (η). wi = Bη (. Z. Bη (. ). φi [x] dSη (x) |p[x] − η|. ). η φi [x] 1. vi. 0. P. i λi (η)pi. pi p(η) =. 1. 2.

(32) R Jf (η) = R. p i = T + R · pi T f. → − f (η + dη) = f (η) + ▽fηt · dη + o(||dη||) → − 1 f (η + dη) = f (η) + ▽fηt · dη + dη t · Hfη · dη + o(||dη||2 ) 2 η.

(33) 150×170×140. 256.

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