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Séries entières II

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

Universit´e Toulouse 2 le Mirail Ann´ee universitaire 2006/2007 L2 MASS. Analyse S4

TD 7. S´eries enti`eres.

1

Calcul de sommes

Exercice 1 Pour tout n ∈ N∗, on note fn(x) =

xn+1

n(n + 1) et l’on note f la somme P fn. 1. Calculer le rayon de convergence de la s´erie P fn.

2. Montrer que f est continue sur [−R, R] et d´erivable sur ] − R, R[. 3. Donner une expression simple de f0 puis de f sur ] − R, R[. 4. En d´eduire l’´egalit´e X n>1 (−1)n+1 n(n + 1) = 2 log 2 − 1. ********************

Exercice 2 Pour tout n ∈ N, on pose an= n(−2)n et bn= (−2)n.

1. Montrer que les s´eries enti`eres P anxn etP bnxn ont le mˆeme rayon de convergence R et

le calculer.

2. Pour tout x ∈] − R, R[, on note g(x) =

X

n=0

bnxn. Donner une expression simple de g sur

] − R, R[.

3. Pour tout x ∈] − R, R[, on note f (x) =

X

n=0

anxn. D´eterminer la primitive de f + g qui

s’annule en 0 sous la forme d’une s´erie. On note h cette somme. 4. Exprimer h sous la forme d’une fraction rationnelle.

5. En d´eduire une expression de f sous la forme d’une fraction rationnelle. ********************

Exercice 3 Pour tout n ∈ N∗, on note

fn(x) = (−1)n

x2n+1

4n2− 1

1. D´eterminer le rayon de convergence R de la s´erie enti`ere P

n>1fn(x). La s´erie

converge-t-elle pour x = R, x = −R

(2)

2. Montrer que ∀ x ∈ R, |x| < 1 ⇒ ∞ X n=1 fn0(x) = x arctan x 3. En d´eduire la somme f =P∞ n=1fn. ******************** Exercice 4 On consid`ere la s´erie entiereP

n>0fn(x) o`u fn(x) = n+11 2nnxn+1. (On notera f sa

somme).

1. Calculer son rayon de convergence. 2. Etablir l’´egalit´e 2 n + 1 2n n  = 42n n  −2n + 2 n + 1  .

En d´eduire une ´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre v´erifi´ee par f .

3. R´esoudre cette ´equation pour obtenir une expression de f (x) `a l’interieur de l’intervalle de convergence.

********************

2

eveloppements en s´

eries enti`

eres

Exercice 5 D´evelopper les fonctions suivantes en s´eries enti`eres au voisinage de 0. Pr´eciser dans chaque cas le rayon de convergence de la s´erie obtenue.

a) f (x) = log 1 + 2x 2 1 − x2  , b) h(x) = excos x, c) k(x) = Z x 0 arctan(t2) t dt. ******************** Exercice 6 Soit f (x) = 5x 3− 2x2+ x (1 − 2x)(1 − 3x)(1 − x)2.

1. D´eterminer les r´eels a, b, c et d tels que pour tout x ∈ R\{1/3, 1/2, 1}, on ait f (x) = a 1 − 3x + b 1 − 2x + c 1 − x+ d (1 − x)2.

2. En d´eduire le d´eveloppement en s´eries enti`eres de f au voisinage de 0. On pr´ecisera le rayon de convergence de la s´erie obtenue, ainsi que le domaine de validit´e de ce d´eveloppement.

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