Correction devoir de synthèse n°1 3ème Mathématiques Mr Mandhouj 07 12 10

UNE CORRECTION POSSIBLE du devoir de contrôle n°1 3ème Mathématiques de Mr Mandhouj 07 12 10

Proposée par Kooli Mohamed Hechmi

Exercice 1 1) a) = ∈ ⇔ − 1 ≠ 0 ⇔ ≠ 1 alors = ℝ\ 1 b) lim → = lim→ ∞ = lim→ ∞ = 3 lim → = lim→ ∞ = lim→ ∞ = 3

La droite d’équation " = 3 est une asymptote horizontale à la courbe de au voisinage de −∞ et au voisinage de +∞.

lim_{→ %} = lim_{→ %}&'( ) * +% = +∞ lim_{→ ,} = &'( ) * +, = −∞

La droite d’équation = 1 est une asymptote verticale à la courbe de . 2) a)- = ₀√ / 1 ∈ 2 ⇔ 3 ≥ 0 /_{− 3 − 4 ≠ 0}6 ⇔ 3 ≥ 0 _{≠ −1 78 ≠ 4}6 ⇔ 2 = 90 , +∞9\ 4 b) lim → 1 - = lim →1 √ / 0 ₁= lim_→1 ;√ /<;√ /<_{1 ;√ /<} = lim_{→1 1} 1_{;√ /<} = lim →1 ;√ /< = /= Exercice 2 1) > = √ /_{+ 5 − 2 AB ≥ 2} = C _/D AB < 26 lim → = lim→ ∞ C _D / = lim→ ∞ C = lim_{→ ∞} / _{= +∞} lim → = lim→ ∞F /+ 5 − 2 = lim→ ∞| |H1 + 5 /− 2 = = lim_{→ ∞} IJ1 + K0− 2L = −∞

2) a) 2 1

lim_→/% lim_→/%√ /_{$ 5 2}

lim_→/% 2 alors est continue à droite en b)∀ 2 ; 2 /$

lim_→/, lim_→/, C _/D lim_→ c) lim

→/, lim_→/% alors 3) ↦ C D

/ est continue sur

↦ /_{$ 5 est continue sur}

↦ √ /_{$ 5 est continue sur}

↦ √ /_{$ 5 2 est continue sur}

Conclusion : est continue sur chacun des intervalles

Exercice 3

1) OPQQQQQR , PST U ≡QQQQQR =W 92XY ≡ ≡ 4X X $W92

2) Le triangle PS est isocèle en 1

est continue à droite en 2

2 $ 3 $ 2 /_{$ 3 2} / ₄

lim_/, / 0_// lim_→/, /_{$ 2 $ 3}

alors n’est pas continue en 2. est continue sur \ 2 en particulier sur Y ∞ , 29

en particulier sur Y2 , $∞9 et ∀ ∈ Y2 est continue sur Y2 , $∞9

est continue sur Y2 , $∞9

est continue sur chacun des intervalles Y ∞ , 29 et Y2

^ W_{92XY ≡ 3X $} W_{92XY ≡ 3X $ X}

92XY ≡ X $W92XY ≡ /W92XY.

est isocèle en P (car PS ) alors :

4 6 6 11 9 Y2 , $∞9 ; /_{$ 5 c 0} Y , $∞9. X $W92XY

O ]QQQQQR , PT U ≡ O ]QQQQQR QQQQQR , ST U $ O SQQQQQR QQQQT ≡ W / W D92XY ≡ W₉₂ de (1) et (2) le triangle ]P b)OPSQQQQQR ,P]T U ≡ OPSQQQQQR QQQQQR ,PQQQQQRT U $ ≡/W$W92XY alors les vecteurs PSQQQQQR et P]QQQQQR 4) O dQQQQQR , ]T U ≡ O dQQQQQR QQQQQR , PT U $ OQQQQQR

On a le triangle ]P est équilatéral alors deP est un carré alors d

de (1) et (2) d ] alors le triangle O]QQQQQR , ]dT U ≡QQQQQR W O\fQQQQQQR ,\g_/T UQQQQQR 92XY ≡

Alors OhiQQQQQQR ,hjT U ≡QQQQQR kl

mn 9nlY OdoQQQQR ,d]T U ≡ OdoQQQQQR QQQQR ,dQQQQQRT U $ OdQQQQQR T ≡ W / KW / 92XY ≡ W / or dans le triangle do] on a O]dQQ alors O]dQQQQQR ,]oT U $QQQQR W

/$ W

/ ≡ X 92

Conclusion

O]QQQQQR , ]dT U ≡ O]dQQQQQR QQQQQR ,]oT U 92XY QQQQR

Alors 9]d est la bissectrice du secteur

Exercice 4 1) a) O SQQR , PT U92XY ≡ O ]QQQQQR QQQQQR , ST U O PQQQQQR QQQQQR , STQQQQQR 92XY (2)

]P est équilatéral alors OPQQQQQR , P]T U ≡QQQQQR W 9 U $ OPQQQQQR , P]T U92XY ≡ OPQQQQQR ,PSQQQQQR T U $ OPQQQQQQQR 9 Y ≡ X92XY

R sont colinéaires donc les trois points ] U O PQQQQQR , ]T U92XY ≡QQQQQR W_/ W92XY ≡W_D92XY est équilatéral alors ] P (1)

P (2)

alors le triangle d] est isocèle en par suite Y ≡W _p / 92XY ≡ KW / 92XY et Od]QQQQQR ,dQQQQQRT U ≡ Y et Od]QQQQQR ,dQQQQQRT U ≡ KW / 92XY

O R , d]T U92XY ≡ OdoQQQQQR QQQQR ,dQQQQQRT U Od]QQQQQR ,dQQQQQRT U9 92XY

O]dQQQQR ,]oT U $ OdoQQQQR QQQQR ,d]T U $ Oo]QQQQQR QQQQR ,odT U ≡ X 9QQQQR 92XY OhjQQQQQR ,hqT U ≡QQQQR kl_mn 9nlY

Y

est la bissectrice du secteur 9] , ]oY.

SRU 92XY 92XY OPQQQQR , P]T U92XY QQQQQR ], P et S sont alignés. 9 Y par suite U ≡ KW_/ 92XY U 92XY 92XY

b)eP/ de/$ dP/ 2 ^ alors eP √19

2) a) On o ∈ med 9ePY alors oe On a les angles ;deQQQQQR,dPQQQQQR< et ; arc eP et I et d sur le même arc

de (1) et (2) le triangle oeP est équilatéral. b) On a les angles ;deQQQQQR,dPQQQQQR

arc Pe et o sur l’arc Pe et d sur l’arc

;seQQQQQR ,sPQQQQQR< est un angle au centre et

l’arc eP alors OseQQQQQR ,sPT U ≡ 2QQQQQR

Dans le cercle C ; 9otY est un diamètre et 3) OueQQQQQQR ,uPT U ≡QQQQQQR /KW

1 92XY ≡

1

u ∈ S ⇔ OueQQQQQQR ,uPT U ≡QQQQQQR W₁92X alors S est l’arc Pe privé des points en e et tel que OevQQQQQQQR ,ePT U ≡QQQQQR W

1

^ de ^ dP cos PdeT 9 $ 25 2 ^ 3

oe oP donc le triangle oeP est isocèle

< ;oeQQQQR,oPQQQQR< deux angles inscrits et qui interceptent le même arc Pe alors OoeQQQQR,oPT U ≡ OdeQQQQR QQQQQR,dPT U92XYQQQQQR

est équilatéral.

dPR< et ;teQQQQR,tPQQQQR< deux angles inscrits et qui interceptent le même sur l’arc Pe alors OteQQQQR,tPT U ≡ OdeQQQQR QQQQQR,dPT UQQQQQR

≡ /W92X

est un angle au centre et ;deQQQQQR,dPQQQQQR< est un angle inscrit et qui interceptent le même OdeQQQQQR,dPT U92XY ≡QQQQQR /W 92XY

est un diamètre et Pot est un triangle direct alors Y 1^D₁ W92XY ≡ 6X $W₁92XY ≡ W₁92XY

9 XY

privé des points e et P du cecle passant par e et 92XY.

3 ^ 5 ^_/ 19

est isocèle (1)

deux angles inscrits et qui interceptent le même Y ≡W92XY (2)

deux angles inscrits et qui interceptent le même

RU92XY ≡ W_{$ X 92XY}

9 XY

est un angle inscrit et qui interceptent le même

est un triangle direct alors : ;PoQQQQR ,PtQQQQR< ≡W

/ 92XY

Y

u ∈ S/ ⇔ OueQQQQQQR ,uPT U ≡QQQQQQR W92

dans le cercle C on a I et d sur le même arc pour tout point M de l’arc Pe privé de

alors S_/ = Pe\ e , P

4) u ∈ S ⇔ OudQQQQQQR ,ueT U ≡QQQQQQR Alors S est l’arc de du cecle

OdvQQQQQQQR ,deT U ≡ OPe/ QQQQQR QQQQQR ,PdT U92XY privé des points QQQQQR

92XY

sur le même arc Pe et OoeQQQQR, oPT U ≡ OdeQQQQR QQQQQR,dPT privé de e et P on a OueQQQQQQR ,uPT U ≡QQQQQQR W92

S_/

U OPeQQQQQR ,PdT U92XY QQQQQR

passant par d et e et tangent à 9dv_/ en Y privé des points d et e.

dP QQQQQR

T U92XY ≡W_92XY

92XY