Calcul scientifique pour la m´
edecine
St´
ephanie Salmon
Plan
1
Introduction : calcul scientifique
2
Applications bio-m´
edicales
3
Mod´
elisation
4
Des images `
a un maillage de calcul
5
R´
esultats num´
eriques
Plan
1
Introduction : calcul scientifique
2
Applications bio-m´
edicales
3
Mod´
elisation
4
Des images `
a un maillage de calcul
Calcul scientifique
Objectif :
”mod´
eliser le r´
eel pour le simuler `
a l’aide d’un ordinateur”
Sp´
ecialit´
e relativement r´
ecente (li´
ee au progr`
es des ordinateurs).
Permet de r´
eduire le coˆ
ut de d´
eveloppement de produits complexes.
Tr`
es pr´
esent dans l’industrie, secteur Recherche et d´
eveloppement.
Exemple : a´
eronautique, automobile, armement,
t´
el´
ecommunications.
Permet de reproduire le r´
eel (chirurgie assist´
ee par ordinateur,
instruments de musique) ou d’anticiper (´
evolution des galaxies,
Calcul scientifique
Principe :
on ´
ecrit des programmes de calcul bas´
es sur les
math´
ematiques qui seront utilis´
es par des ordinateurs pour obtenir
des
simulations num´
eriques
: c’est le
calcul scientifique
.
Quelles applications ?
Tr`
es vari´
ees ! Quelques exemples :
La
conception
de v´
ehicules (voitures, trains, avions)
La
simulation
d’incidents (nucl´
eaires, civils, maritimes) :
protocoles de s´
ecurit´
e visant `
a minimiser les risques de pertes
Le
traitement
de donn´
ees et d’images : t´
el´
ecommunication,
compression d’images, cryptographie, images m´
edicales.
Plan
1
Introduction : calcul scientifique
2
Applications bio-m´
edicales
3
Mod´
elisation
4
Des images `
a un maillage de calcul
Mod´
elisation et simulation d’´
ecoulements sanguins ou
d’´
ecoulements pulmonaires.
Objectif : Mettre `
a la disposition du monde de la sant´
e des outils
automatiques de simulation bas´
es sur :
•
la reconstruction de la g´
eom´
etrie tridimensionnelle des
vaisseaux sanguins ou des poumons `
a partir de l’imagerie
m´
edicale,
•
des simulations num´
eriques des ´
ecoulements,
con¸
cu comme aide au diagnostic et/ou `
a la planification
th´
erapeutique et/ou au pronostic post-op´
eratoire de maladies
Maladies vasculaires
Principales causes de mortalit´
e dans les soci´
et´
es industrialis´
ees =
certaines maladies vasculaires comme les st´
enoses art´
erielles et les
Pour quelles th´
erapies?
Techniques Endo-Vasculaires : minimiser l’acc`
es anatomique.
•
traitements destructifs : traitement par laser des st´
enoses
art´
erielles, . . . .
•
poses de dispositifs m´
edicaux dans la lumi`
ere des
bioconduites : endoproth`
eses ou stents art´
eriels dans les
parties st´
enos´
ees, spires ou coils endocavitaires dans les
an´
evrismes,. . . .
Maladies pulmonaires
En augmentation dans nos soci´
et´
es : infections respiratoires,
asthme (6 `
a 7% de la population est asthmatique -2008-) . . .
Traitement par bronchodilatateur : mesurer quel pourcentage de
produits actifs arrive r´
eellement juqu’aux bronchioles ? Comment
Objectifs des simulateurs
Aider `
a la compr´
ehension du d´
eveloppement de ces maladies
(influence des facteurs h´
emodynamiques par exemple).
Aider `
a la progression endo-vasculaire,
pr´
evoir les risques de rupture,
guider la pose = planification des op´
erations.
Aider `
a am´
eliorer les traitements (les performances des
bronchodilatateurs, optimisation de forme des implants
endovasculaires).
Construire des bases de donn´
ees pour l’aide au pronostic des
certaines maladies ou de leur d´
eveloppement.
Propri´
et´
es souhait´
ees des simulateurs / Implications
•
le plus ”automatique” possible, minimiser l’intervention
humaine =⇒ travail collaboratif,
•
tendre vers le ”temps r´
eel” =⇒ simplifier sans perdre l’int´
erˆ
et,
•
prendre en compte la variabilit´
e biologique =⇒partir de
Les ´
equipes dans le monde qui travaillent sur le bio-m´
edical
Cambridge,
Oxford,
Londres,
EPFLausanne,
Courant Institute (New-York),
Paris (INRIA Rocquencourt - Projet REO)
. . .
Pourquoi cette explosion des math´
ematiques pour le
bio-m´
edical ?
D´
eveloppement des m´
ethodes num´
eriques et augmentation de la
puissance des ordinateurs :
•
G´
eom´
etrie complexe.
•
Ph´
enom`
enes biologiques donc mod`
eles complexes (exemples :
fluide complexe et solide d´
eformable en interaction pour les
Plan de travail
Scanner - IRM - . . .
←−
Equipes m´
edicales
↓
Segmentation
←−
Equipes informatiques
↓
Maillage volumique
↓
Simulation 3D
←−
Equipes math´
ematiques
Plan
1
Introduction : calcul scientifique
2
Applications bio-m´
edicales
3
Mod´
elisation
4
Des images `
a un maillage de calcul
Des ´
equations...
Une ´
equation : ”trouver x dans R tel que x
2
= 1”.
Une ´
equation diff´
erentielle : ”trouver f : R −→ R telle que
f
0
(x ) = f (x ) pour tout x dans R.
Figure:
Une solution...
Figure:
La solution qui vaut 1 en
Des maillages...
Comment trouver une fonction ?
on trouve son expression f (x ) = e
x
. . . impossible en g´
en´
eral !
on approche le graphe de la fonction c’est–`
a-dire les valeurs
Des ´
equations aux d´
eriv´
ees partielles...
R´
esoudre une ´
equation aux d´
eriv´
ees partielles : ”trouver
f : (x , y , z) 7−→ f (x , y , z) v´
erifiant une relation liant f et ses
d´
eriv´
ees (partielles) par rapport `
a x , y et z....
Mˆ
eme m´
ethode : trouver les valeurs de la fonction inconnue en des
points du domaine.
Existe-t-il une solution `
a cette ´
equation ? Si oui, est-elle
unique ?
Etude qualitative de la solution
Choix de la discr´
etisation : passage d’un probl`
eme pos´
e en
dimension ∞ `
a un probl`
eme en dimension finie (que l’on peut
r´
esoudre `
a l’aide d’un ordinateur !).
Mod´
elisation : ´
ecoulements sanguins
Sang = suspension concentr´
ee de cellules :
∗
globules rouges (h´
ematies),
∗
globules blancs (leucocytes),
∗
plaquettes.
=⇒ Fluide non-newtonien.
Mais
le caract`
ere multiphasique ne devient important que dans les petits
Ecoulements sanguins art´
eriels
Art`
eres : section circulaire, solide ´
elastique
en grande d´
eformation
=⇒ Interaction fluide-structure.
Hypoth`
ese de travail dans le r´
eseau art´
eriel
c´
er´
ebral :
Dans un premier temps : fluide homog`
ene
et newtonien.
Interaction fluide-structure dans les art`
eres
proximales.
=⇒ ´
equations de Navier-Stokes pour le
fluide + ´
equation de l’´
elasticit´
e pour la
structure !
Ecoulements sanguins veineux
Veines : section elliptique (car collabable),
pas d’interaction fluide-structure au niveau
des sinus mais au niveau des jugulaires.
A ce jour pas tr`
es bien comprise, beaucoup
Ecoulements pulmonaires
Air + mol´
ecules actives de m´
edicaments :
=⇒ ´
equations de Navier-Stokes pour le fluide + transport pour les
mol´
ecules.
=⇒ ´
ecoulements granulaires : ´
equations de Navier-Stokes pour le
L’´
equation :
On cherche u la vitesse du fluide et p la pression du fluide,
caract´
eristiques de l’´
etat du fluide, satisfaisant l’´
equation de la
dynamique des fluides incompressibles (Navier
1
- Stokes
2
) :
∂u
∂t
(X , t) + u.∇u(X , t) − ν∆u(X , t) + ∇p
=
0, (X , t) dans Ω×R
+
div u(X , t)
=
0, (X , t) dans Ω×R
+
u(X , 0)
=
u
0
(X ), X dans Ω
Th´
eorie
A ce jour, on ne sait pas d´
emontrer en 3D l’existence de solutions
r´
eguli`
eres d´
efinies globalement en temps !
Mais on peut d´
emontrer l’existence de solutions faibles (l’unicit´
e
Conditions limites : art`
eres
Entr´
ee U = fonction(t) : vitesse d´
ependante du temps (flot puls´
e).
15 20 25 30 35 40 45 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 ’Experimental points MR velocimetry’ ’Prescribed inlet velocity obtained from the experimental measures’
