Représentation d'intégrales stochastiques via la base de Haar

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Représentation d’intégrales stochastiques via la

base de Haar

Céline ESSER

[email protected]

Université Lille 1 – Laboratoire Paul Painlevé

Journées de Probabilités 2016 23 – 27 Mai 2016

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Introduction

On s’intéresse à la simulation de l’intégrale stochastique

Y (t) := Z t

0

σ(s) dX(s), t ∈ I := [0, 1]

Hypothèses générales.

• {σ(t)}t∈Idénote un processus Gaussien centré qui est, en moyenne

quadratique, Hölder-continu d’ordreα0∈ (0, 1)i.e.∃c > 0tel que

E |σ(t1) − σ(t2)|2 ≤ c|t1− t2|2α0 ∀t1, t2∈ I

• {X(t)}t∈I dénote un processus Gaussien centré qui est, en moyenne

quadratique, Hölder-continu d’ordreβ0∈ (0, 1)

• α0+ β0> 1

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Introduction

Sous ces hypothèses, avec une probabilité 1, les trajectoires de{σ(t)}t∈Iet

{X(t)}t∈I appartiennent aux espaces de HölderCα(I)etCβ(I)respectivement,

pour tousα ∈ (0, α0),β ∈ (0, β0).

Défintion

Pour toutθ ∈ [0, 1), l’espace de HölderCθ_(I)_{est l’espace de Banach des fonctions}

f : I → Rtelles que

kf kCθ_(I):= kf kI,∞+ sup (x1,x2)∈I2, x1<x2

|f (x1) − f (x2)|

|x1− x2|θ

< +∞.

Il existe donc des constantes aléatoires positivesCαetCβtelles que pourP-presque

toutω ∈ Ω

|σ(t1, ω) − σ(t2, ω)| ≤ Cα(ω)|t1− t2|α ∀t1, t2∈ I

et

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Introduction

Soientσ(·, ω)etX(·, ω)deux trajectoires typiques de{σ(t)}t∈Iet{X(t)}t∈I. Les

conditions de Hölder donnent l’existence deζt(ω) ∈ Rtel que pour toute suite

(Dn)n∈Z+= δn 0, δ1n, . . . , δnrn: rn ∈ N, 0 = δ n 0 < δ1n< . . . < δrnn= t n∈Z+

de partitions de l’intervalleItelle que

|Dn| := max 1≤i≤rn δn_i − δn i−1 −−−−−→_n→+∞ 0, la somme de Riemann-Stieltjes rn X i=1 σ(δn_i−1, ω) X(δ_in, ω) − X(δn_i−1, ω)

converge versζt(ω). On peut donc définir l’intégrale

Rt

0σ(s, ω) dX(s, ω)en posant

Z t

0

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Introduction

Young - Loeve

Soientf ∈ Cα_(I)_et_{g ∈ C}β_(I)_avec_{α, β ∈ (0, 1)}_{tels que}_{α + β > 1}_{. Il existe une}

constanteKα+β > 0telle que

Z t2 t1 f (s) dg(s) − f (t1) g(t2) − g(t1) ≤ Kα+βkf kCα_([t₁_,t₂_])kgk_Cβ_([t₁_,t₂_])(t2− t1)α+β pour tous0 ≤ t1< t2≤ 1. En particulier, la fonction t → Z t 0 f (s) dg(s)

appartient à l’espace de HölderCβ(I).

Remarque. Les fonctionsfetgpeuvent être vues comme des trajectoires typiques des processus{σ(t)}t∈I et{X(t)}t∈I. Donc avec une probabilité 1, les trajectoires

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Introduction

Première partie. On va supposer queσetXsont des fonctions déterministes de

Cα(I)etCβ(I)respectivement

• Approximation via les sommes de Riemann

• Approximation via la base de Haar

Deuxième partie. On va supposer queσetXsont des processus Gaussiens indépendants dont les trajectoires typiques appartiennent àCα(I)etCβ(I)

respectivement.

• Hypothèses sur les incréments d’ordre 2 et amélioration de la vitesse de convergence

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Introduction

Première partie. On va supposer queσetXsont desfonctions déterministesde

Cα(I)etCβ(I)respectivement

• Approximation via les sommes de Riemann

• Approximation via la base de Haar

Deuxième partie. On va supposer queσetXsont des processus Gaussiens indépendants dont les trajectoires typiques appartiennent àCα(I)etCβ(I)

respectivement.

• Hypothèses sur les incréments d’ordre 2 et amélioration de la vitesse de convergence

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Approximation via les sommes de Riemann

Pour_{j ∈ N}etk ∈ {0, . . . , 2j_{− 1}}_{, on va approcher} Y k 2j = Z k 2j 0 σ(s)dX(s) = k−1 X l=0 Z l+1 2j l 2j σ(s)dX(s) par Yj k 2j := k−1 X l=0 σ l 2j X l + 1 2j − X l 2j | {z } :=∆j,l(X)incréments d’ordre 1 deX Remarquons que Y k 2j − Yj k 2j ≤ k−1 X l=0 Z l+1_2j l 2j σ(s)dX(s) − σ l 2j ∆j,l(X) ≤ k−1 X l=0 c02−j(α+β)≤ c02−j(α+β−1)

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Approximation via les sommes de Riemann

Par linéarisation, on obtient pour tout_{j ∈ N}, une approximationYRS

j deY : Y_jRS(t) := (2jt − [2jt])σ [2 j_t] 2j ∆j,[2j_t](X) + Yj [2j_t] 2j

Proposition

Il existe une constantec > 0telle que

kY − YRS

j k∞≤ c2−j(α+β−1) ∀j ∈ N .

Remarque. Dans le cas de l’espaceCγ(I)avecγ ∈ [0, β), on obtient

kY − YRS

j k∞≤ c2−j min(β−γ,α+β−1) ∀j ∈ N

et le résultat est optimal siγ ∈ [1 − α, β), oùαetβsont les exposants de Hölder uniformes deσetX.

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Approximation via la base de Haar

Alternative. Remplacerσ ₂lj

par une moyenne sur l’intervalle dyadique

σj,l:= 2j Z l+1 2j l 2j σ(s) ds

On propose donc une approximationYH

j deY : Y_jH(t) := [2j_t]−1 X l=0 σj,l∆j,l(X) + 2j Z t [2j t] 2j σ(s) ds ! ∆j,[2j_t](X)

Si on poseL := 1[0,1), cela revient à définir

Y_jH(t) = 2j₋₁ X l=0 bj,l(t)∆j,l(X) où bj,l(t) := 2j Z t 0 σ(s)L(2js − l) ds

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Théorème

Il existe une constantec > 0telle que

kY − YH j k∞≤ c2−j(α+β−1) ∀j ∈ N . Idée. On a Z 2−j(l+1) 2−j_l σ(s) dX(s) − σj,l∆j,l(X) = Z 2−j(l+1) 2−j_l σ(s) − σj,l dX(s) = Z 2−j(l+1) 2−j_l σ(s) − σj,l dX(s) − σ(2−jl) − σj,l∆j,l(X) + σ(2 −j_{l) − σ} j,l∆j,l(X) ≤ c12−j(α+β)

en utilisant le théorème de la moyenne pour estimerσ(2−j_{l) − σ} j,l

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Lien avec la base de Haar

La base de Haar est la base orthonormée deL2

(R)formée par les fonctions

( _{x 7→ L(x − k),}

k ∈ Z x 7→ 2j/2_H(2j_{x − k),}

j ∈ N, k ∈ Z

oùL := 1[0,1)etH := 1[0,1/2)− 1[1/2,1). Pour toutt ∈ Ifixé, la fonction

s 7→ σt(s) := σ(s)1[0,t](s)

peut s’exprimer comme

σt(·) = +∞ X l=−∞ b0,l(t)L(· − l) + +∞ X j=0 +∞ X k=−∞ aj,k(t)H(2j· −k)

où la convergence a lieu dansL2

(R), avec b0,l(t) := Z t 0 σ(s)L(s − l) ds et aj,k(t) := 2j Z t 0 σ(s)H(2js − k) ds

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Lien avec la base de Haar

La base de Haar est la base orthonormée deL2

(R)formée par les fonctions

( _{x 7→ L(x − k),}

k ∈ Z x 7→ 2j/2_H(2j_{x − k),}

j ∈ N, k ∈ Z

oùL := 1[0,1)etH := 1[0,1/2)− 1[1/2,1). Pour toutt ∈ Ifixé, la fonction

s 7→ σt(s) := σ(s)1[0,t](s)

peut s’exprimer comme

σt(·) =b0,0(t)L(·)+ +∞ X j=0 2j−1 X k=0 aj,k(t)H(2j· −k)

où la convergence a lieu dansL2_(R), avec

b0,l(t) := Z t 0 σ(s)L(s − l) ds et aj,k(t) := 2j Z t 0 σ(s)H(2js − k) ds

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Approximation via la base de Haar σt(·) = b0,0(t)L(·) + +∞ X j=0 2j−1 X k=0 aj,k(t)H(2j· −k)

Pour tout_{J ∈ N}, on considère les sommes partielles

σt,J(·) := b0,0(t)L(·) + J −1 X j=0 2j₋₁ X k=0 aj,k(t)H(2j· −k) = 2J₋₁ X l=0 bJ,l(t)L(2J· −l) On a Z 1 0 σt,J(s) dX(s) = 2J₋₁ X l=0 bJ,l(t) Z 1 0 L(2Js − l) dX(s) = 2J₋₁ X l=0 bJ,l(t)∆J,l(X) = YJH(t)

(15)

Approximation via la base de Haar σt(·) = b0,0(t)L(·) + +∞ X j=0 2j−1 X k=0 aj,k(t)H(2j· −k)

Pour tout_{J ∈ N}, on considère les sommes partielles

σt,J(·) := b0,0(t)L(·) + J −1 X j=0 2j₋₁ X k=0 aj,k(t)H(2j· −k) = 2J₋₁ X l=0 bJ,l(t)L(2J· −l) On a Z 1 0 σt,J(s) dX(s) = 2J₋₁ X l=0 bJ,l(t) Z 1 0 L(2Js − l) dX(s) = 2J₋₁ X l=0 bJ,l(t)∆J,l(X) = YJH(t)

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Autre point de vue : Travailler avec les incréments d’ordre 2

Y_JH(t) = Z 1 0 σt,J(s) dX(s) = Z 1 0  b0,0(t)L(s) + J −1 X j=0 2j−1 X k=0 aj,k(t)H(2js − k)  dX(s) = b0,0(t) Z 1 0 L(s) dX(s) + J −1 X j=0 2j−1 X k=0 aj,k(t) Z 1 0 H(2j_{s − k) dX(s)} = b0,0(t)∆0,0(X) + J −1 X j=0 2j₋₁ X k=0 aj,k(t)∆2j,k(X)

où les incréments d’ordre 2 deXsont définis par

∆2_j,k(X) := ∆j+1,2k(X) − ∆j+1,2k+1(X) = 2X 2k + 1 2j+1 − X k 2j − X k + 1 2j

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Pour tout_{j ∈ N}, on pose

Zj(t) := 2j₋₁ X k=0 aj,k(t)∆2j,k(X) Ainsi kY − YH J k∞= k +∞ X j=J Zjk∞≤ +∞ X j=J kZjk∞

Afin d’avoir une vitesse de convergence deYH

j versY, il faut donc estimerkZjk∞.

On peut en fait se ramener à une estimation deZjsur les nombres dyadiques :

Lemme

Il existe une constanteC > 0telle que

sup

t∈[0,1]

|Zj(t)| − sup l∈{0,...,2j_−1}

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Lemme

Il existe une constanteC > 0telle que

sup

t∈[0,1]

|Zj(t)| − sup l∈{0,...,2j_−1}

|Zj(2−jl)| ≤ C2−jβ ∀j ∈ N

Preuve. CommeZjest continu sur[0, 1], il existet0∈ [0, 1]tel que

sup t∈[0,1] |Zj(t)| = |Zj(t0)|. Posonsl0:= [2jt0]. Alors sup t∈[0,1] |Zj(t)| − sup l∈{0,...,2j_−1} |Zj(2−jl)| ≤ |Zj(t0)| − |Zj(2−jl0)| ≤ Zj(t0) − Zj(2−jl0) ≤ 2j₋₁ X k=0 aj,k(t0) − aj,k(2−jl0) ∆2_j,k(X) = aj,l0(t0)∆ 2 j,l0(X)

(19)

Approximation via la base de Haar De plus, aj,l0(t0) = 2j Z t0 2−j_l 0 σ(s)H(2js − k)ds ≤ 2j(t0− l02−j)kσk∞≤ kσk∞ et ∆2_j,l₀(X) = 2X 2k + 1 2j+1 − X k 2j − X k + 1 2j ≤ X 2k + 1 2j+1 − X k 2j + X 2k + 1 2j+1 − X k + 1 2j ≤ C2−βj Donc, on obtient sup t∈[0,1] |Zj(t)| − sup l∈{0,...,2j_−1} |Zj(2−jl)| ≤ C02−βj

(20)

Retour aux processus stochastiques

• σest une fonction deCα(I)

quadratique, Hölder-continu d’ordreβ0∈ (0, 1)

• α + β0> 1

Hypothèse (H) sur les incréments d’ordre 2 du processusX : il existe une

constantec > 0telle que

max k1∈{0,...,2j−1} 2j₋₁ X k2=0 Cov∆2j,k1(X), ∆ 2 j,k2(X) ≤ c2−2jβ0 ∀j ∈ N

Cette hypothèse permet d’améliorer la vitesse de convergence : pour toutβ ∈ (0, β0),

il existe une variable aléatoire positiveCtelle que

kY − YH

J k∞≤ C2−J min(β,α+β−

1

(21)

Posons

ξj := sup l∈{0,...,2j_−1}

|Zj(2−jl)|.

Fixonsβ1∈ (β, β0). On va montrer que

s := sup j∈N Eξj2j min(β1,α+β1−1/2) < +∞.

Dans ce cas, on aura

P[{ξj2j min(β,α+β−1/2)> s}] ≤ E ξj2j min(β,α+β−1/2) s ≤ 2(β−β1)j d’où X j∈N P[{ξj2j min(β,α+β−1/2)> s}] < +∞.

Par le lemme de Borel-Cantelli, cela donnera qu’avec une probabilité 1,

sup

j∈N

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Lemme

Soit{gn}n∈Nun processus Gaussien centré. Il existe une constantec > 0telle que

pour toutN ≥ 1 E sup 1≤n≤N |gn| ≤ c(1 + log2N ) 1 2 _sup 1≤n≤NE |gn|2 12_. Le processusZj(t) =P 2j₋₁

k=0 aj,k(t)∆2j,k(X)est Gaussien et centré. Donc

E sup l∈{0,...,2j_−1} |Zj(2−jl)| ≤ c0 p 1 + j sup l∈{0,...,2j_−1}E |Zj(2−jl)|2 12

et le problème se ramène donc au calcul deE|Zj(2−jl)|2. On a

E|Zj(2−jl)|2 = 2j−1 X k1=0 2j−1 X k2=0 aj,k1(2 −j_l)a j,k2(2 −j_l)Cov∆2 j,k1(X)∆ 2 j,k2(X)

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Approximation via la base de Haar Remarquons queaj,k(2−jl) = 0sil ≤ k, et sil ≥ k + 1 aj,k(2−jl) = 2j Z 2−j(k+1) 2−j_k σ(s)H(2js − k) ds = Z 1 0 σ 2−j(u + k) H(u) du = Z 1 0 σ 2−j(u + k) − σ 2−j_{k H(u) du}

Commeσest Hölder-continu d’ordreα,

|aj,k(t)| ≤ σ 2−j(· + k) − σ 2−j_k ∞ Z 1 0 |H(u)| d(u) ≤ Cα2−jα

(24)

Approximation via la base de Haar Par conséquent, E|Zj(2−jl)|2 = 2j₋₁ X k1=0 2j₋₁ X k2=0 aj,k1(2 −j_l)a j,k2(2 −j_l)Cov∆2 j,k1(X)∆ 2 j,k2(X) ≤ C_α22−2αj2j max k1∈{0,...,2j−1} 2j−1 X k2=0 Cov∆2 j,k1(X), ∆ 2 j,k2(X) | {z } ≤ c2−2jβ0_vu_(H) ≤ C2e −j(2α+2β0−1) On en tire que E sup l∈{0,...,2j_−1} |Zj(2−jl)| ≤ c0 p 1 + jpC2e −j(α+β0−1/2)≤ C2−j(α+β1−1/2)

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Total. On a montré queE supl∈{0,...,2j_−1}|Zj(2−jl)| ≤ C2−j(α+β1−1/2). Par

conséquent, le lemme de Borel-Cantelli donne qu’avec une probabilité 1

sup j∈N sup l∈{0,...,2j_−1} |Zj(2−jl)|2j min(β,α+β−1/2) < +∞. Vu le lemme, on a sup t∈[0,1] |Zj(t)| ≤ sup l∈{0,...,2j_−1} |Zj(2−jl)| + C2−βj

d’où le résultat suivant :

Théorème

Il existe une constante aléatoire positiveCetelle que, avec une probabilité 1, kY − YH

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Hypothèse (

H

) sur la covariance des incréments d’ordre 2

max k1∈{0,...,2j−1} 2j₋₁ X k2=0 Cov∆2_j,k₁(X), ∆2_j,k₂(X) ≤ c2−2jβ0 ∀j ∈ N

Cette condition est satisfaite s’il existec > 0etκ > 1tels que

Cov∆2 j,k1(X), ∆ 2 j,k2(X) ≤ c2−2jβ0(1 + |k1− k2|)−κ pour tous_{j ∈ N},k1, k2∈ {0, . . . , 2j− 1}.

• Le mouvement Brownien fractionnaire de paramètreβ0∈ (0, 1)satisfait (H)

• Le processusX(t) :=R

R(e

itξ_{− 1)pf(ξ) dc}_{W (ξ)}_(où_{f ≥ 0}_,_f _{paire et}

ξ → (eitξ_{− 1)pf(ξ) ∈ L}2 (R)) satisfait (H) si 2j−1 X k2=0 2j Z R sin4η 4 f (2jη)eiη(k1−k2)_dη ≤ c2−2jβ0

(27)

Cas où

σ

est aléatoire

• {σ(t)}t∈Idénote un processus Gaussien centré qui est, en moyenne

quadratique, Hölder-continu d’ordreα0∈ (0, 1), et dont les accroissements sont

indépendants

quadratique, Hölder-continu d’ordreβ0∈ (0, 1)qui satisfait l’hypothèse (H)

• α0+ β0> 1

• {σ(t)}t∈Iet{X(t)}t∈Isont indépendants

Rappelons qu’il suffit de montrer que

sup j∈N E h sup l∈{0,...,2j_−1} |Zj(2−jl)|2j min(β1,α+β1−1/2) i ! < +∞ oùβ1∈ (β, β0)etZj(t) :=P 2j₋₁ k=0 aj,k(t)∆2j,k(X)

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But. EstimerE supl∈{0,...,2j_−1}|Zj(2−jl)|

pour pouvoir appliquer Borel-Cantelli. SoitGjla sigma-algèbre engendrée par les coefficientsbj,k,k ∈ {0, . . . , 2j− 1}, où

bj,k= 2j

Z 1

0

σ(s)L(2js − l) ds

CommeXest un processus Gaussien indépendant deσ, conditionnellement àGj, le

processus{Zj(t)}t∈I est Gaussien et centré. Donc

E sup l∈{0,...,2j_−1} |Zj(2−jl)| Gj ≤ c0 p 1 + j sup l∈{0,...,2j_−1}E |Zj(2−jl)|2 Gj 12

d’où, en utilisant l’inégalité de Hölder,

E sup l∈{0,...,2j_−1} |Zj(2−jl)| ≤ c0 p 1 + j Eh sup l∈{0,...,2j_−1}E |Zj(2−jl)|2 Gj 1₂i ≤ c0 p 1 + j Eh sup l∈{0,...,2j_−1}E |Zj(2−jl)|2 Gj 2i 1 4

(29)

Approximation via la base de Haar Posons θ_jl _{:= E}|Zj(2−jl)|2 Gj

Lemme

(θj_l)l∈{0,...,2j_−1}est une sous-martingale.

Preuve. Pour toutl ∈ {0, . . . , 2j_{− 1}}_{, soit}_Gl

jla sigma-algèbre engendrée par les

coefficientsbj,k,k ∈ {0, . . . , l − 1}. CommeXest indépendant deσ, on a

θ_jl = E   l−1 X k=0 bj,k∆2j,k(X) !2 Gj   = l−1 X k1=0 l−1 X k2=0 bj,k1bj,k2E∆ 2 j,k1(X)∆ 2 j,k2(X) Par conséquent,θl jestGjl-mesurable.

(30)

Approximation via la base de Haar On a θl+1_j = θl_j+ 2 l−1 X k2=0 bj,lbj,k2E∆ 2 j,l(X)∆ 2 j,k2(X) + b 2 j,lE(∆ 2 j,l(X)) 2 d’où Eθjl+1 Gl j = _Eθl j Gl j + 2 l−1 X k2=0 Ebj,lbj,k2 Gl j E∆2j,k1(X)∆ 2 j,k2(X) + Eb2 j,l Gjl E(∆2j,l(X)) 2 | {z } ≥0 ≥ θ_jl+ 2 l−1 X k2=0 bj,k2Ebj,l Gjl | {z } =E [bj,l]=0 E∆2j,k1(X)∆ 2 j,k2(X) = θ l j

(31)

Par conséquent, on peut appliquer l’inégalité maximale de Doob pour les sous-martingales positives : E h sup l∈{0,...,2j_−1}E |Zj(2−jl)|2 Gj 2i = _Eh sup l∈{0,...,2j_−1} (θ_jl)2i ≤ 4 E(θ2j₋₁ j ) 2 et il reste à estimer E(θ2 j₋₁ j ) 2 = E      2j₋₁ X k1=0 2j₋₁ X k2=0 bj,k1bj,k2E∆ 2 j,k1(X)∆ 2 j,k2(X)   2   = X k1,k2,k3,k4 E [bj,k1bj,k2bj,k3bj,k4] E∆ 2 j,k1(X)∆ 2 j,k2(X) E∆2j,k3(X)∆ 2 j,k4(X)

On arrive à la conclusion en utilisant l’indépendance desbj,k(car les accroissements

deσsont indépendants), le fait que_{E [b}j,k] = 0(carσest centré), la continuité