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Théorèmes de Riemann-Roch pour les champs de Deligne-Mumford.

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HAL Id: hal-00773032

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Submitted on 11 Jan 2013

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Deligne-Mumford.

Bertrand Toen

To cite this version:

Bertrand Toen. Théorèmes de Riemann-Roch pour les champs de Deligne-Mumford.. K-Theory, Springer Verlag, 1999, 18 (1), pp.33-76. �10.1023/A:1007791200714�. �hal-00773032�

(2)

Th´eor`emes de Riemann–Roch pour les champs de

Deligne–Mumford

(Riemann–Roch theorems for Deligne–Mumford stacks) B. TOEN

Laboratoire Emile Picard, Universit´e Paul Sabatier, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse Cedex, France. e-mail:toen@picard.ups-tlse.fr

(Received: September 1997)

R´esum´e. On se propose de d´evelopper un cadre cohomologique pour les champs de Deligne– Mumford, adapt´e `a des formules de type Hirzebruch–Riemann–Roch. On d´efinit `a cet effet la ‘co-homologie `a coefficients dans les repr´esentations’, ainsi qu’un caract`ere de Chern, et on d´emontre un th´eor`eme de Grothendieck–Riemann–Roch pour la transformation de Riemann–Roch associ´ee. Abstract. We develop a cohomology theory for Deligne–Mumford stacks, adapted to Hirzebruch– Riemann–Roch formulas. For this, we define the ‘cohomology with coefficients in the representa-tions’ and a Chern character, and we prove a Grothendieck–Riemann–Roch formula for the associ-ated Riemann–Roch transformation.

Mathematics Subject Classifications (1991): 14C40.

Key words: Deligne–Mumford stacks, Riemann–Roch theorems, cohomology theory.

1. Introduction

Lorsque l’on ´etudie les espaces de modules, il est peu fr´equent de rencontrer des espaces de modules fins. Ceci entraˆıne en particulier que certaines constructions naturelles (les objets universels par exemple) n’existent pas. Mais, si l’on se place dans le cadre plus g´en´eral des champs alg´ebriques, ces constructions deviennent possibles. Il reste alors `a en ´etudier les propri´et´es. Pour cela, il semble naturel de chercher `a savoir si les th´eor`emes classiques de la g´eom´etrie alg´ebrique restent valables lorsque l’on passe des vari´et´es aux champs. Nous nous proposons ici, d’analyser le cas du th´eor`eme de Grothendieck–Riemann–Roch.

Enoncer un tel th´eor`eme n´ecessite une th´eorie cohomologique recevant un ca-ract`ere de Chern, et nous verrons que la principale difficult´e r´eside dans sa d´efinition.

Sur ce sujet il existe actuellement de nombreuses d´efinitions de groupes de Chow d’un champ alg´ebrique [5, 8, 18, 24]. Pour toutes ces th´eories la projection naturelle d’un champ (au sens de Deligne et Mumford [4]) sur son espace de mod-ules p : F −→ M, v´erifie p: A(F )Q' A(M)Q. Nous verrons (voir la remarque

suivant 4.3) que cette propri´et´e interdit une formule d’Hirzebruch–Riemann–Roch `a valeurs dans A(F )Q.

(3)

Notre point de d´epart est donc de trouver une nouvelle d´efinition de la cohomo-logie d’un champ. Pour cela, nous proposons d’´etudier les spectres de G-th´eorie des champs alg´ebriques, afin de d´eduire leurs comportements cohomologiques (leurs ‘motifs’). La d´efinition s’imposera alors d’elle mˆeme. On retrouve ainsi une id´ee de Carlos Simpson, consistant `a consid´erer des ‘cycles dont les coefficients sont des repr´esentations’.

Le texte est d´ecoup´e en trois parties et un appendice.

Dans le premier chapitre on rappelle quelques r´esultats et notations concernant la cohomologie g´en´eralis´ee, et les champs alg´ebriques.

Le second chapitre est consacr´e `a l’´etude du spectre de K-th´eorie de la cat´egorie des faisceaux coh´erents sur un champ alg´ebrique. On s’int´eressera particuli`erement `a deux probl`emes.

Le premier concerne la descente de la G-th´eorie rationnelle. Nous d´emontrons `a ce sujet trois r´esultats

− Le th´eor`eme de descente ´etale, qui permet de travailler localement sur les

espaces de modules.

− Un r´esultat de descente homologique analogue `a celui d´emontr´e dans [9]. Il

permet par exemple de d´efinir des images directes en G-th´eorie ´etale, et de montrer que la projection naturelle sur l’espace de modules p : F −→ M induit, une ´equivalence faible

p: H (Fet, G⊗ Q) ' G(M) ⊗ Q.

− Enfin nous d´efinissons une notion d’enveloppe de Chow rationnelle, qui

per-mettra par la suite de nous ramener au cas de gerbes triviales.

Le second probl`eme est la description des alg`ebres G(F ), lorsque F est lisse.

Nous d´emontrerons un isomorphisme fonctoriel de Q(µ)-alg`ebres G(F )⊗ Q(µ)' H−∗((IF)et, G⊗ Q(µ)),

o`u IF est le champ des ramifications de F . Notons que cet isomorphisme est une

g´en´eralisation de la description de la K-th´eorie ´equivariante donn´ee par A. Vistoli dans [24].

A la suite de cet isomorphisme, nous d´efinirons la cohomologie `a coefficients dans les repr´esentations par

Hrep(F,∗) := H((IF)et, 0(∗)),

o`u 0 est une th´eorie cohomologique au sens de Gillet [7]. On d´efinit alors un caract`ere de Chern et une classe de Todd, qui v´erifient la formule de Grothendieck– Riemann–Roch

(4)

pour un morphisme propre f : F −→ F0 de champs alg´ebriques lisses. Comme dans le cas des sch´emas, on disposera aussi d’une extension au cas des champs avec singularit´es.

Dans l’appendice on donne une preuve d’un th´eor`eme de descente pour la co-homologie `a coefficients dans les pr´efaisceaux simpliciaux. C’est un r´esultat que nous utilisons implicitement tout au long du texte.

2. Conventions et notations

On notera 1 la cat´egorie simpliciale standard, et SEns celle des ensembles sim-pliciaux. A l’aide de la construction X 7→ Sing(| X |), on supposera qu’ils sont tous fibrants.

De mˆeme Sp d´esigne la cat´egorie des spectres [12, 1-1], et on supposera que pour tout spectre E, toutes les composantes E[n] sont des ensembles simpliciaux fibrants.

2.1. COHOMOLOGIE GEN´ ERALIS´ EE´ 2.1.1. Pr´efaisceaux simpliciaux

Soit C un site. On d´esigne par SP r(C) la cat´egorie des pr´efaisceaux sur C `a valeurs dans SEns. D’apr`es [12, 2–32], c’est une cat´egorie de mod`eles ferm´ee simpliciale. Les termes fibration, cofibration et ´equivalence faible, feront r´ef´erence `a cette structure. Si F et G sont deux objets de SP r(C), on notera Homs(F, G)

l’ensemble simplicial des morphismes de F vers G dans SP r(C). Le pr´efaisceau simplicial constant est not´e∗.

On dira qu’un morphisme F → G est une r´esolution injective, si c’est une cofibration triviale, et si G est un pr´efaisceau simplicial fibrant. Tout pr´efaisceau simplicial admet une r´esolution injective, et elle est essentiellement unique. En g´en´eral nous noterons F → H F une telle r´esolution. On note alors H (X, F ) :=

H F (X) pour chaque X ∈ C, et H (C, F ) := Homs(∗, F ). Si de plus (F, x)

est point´e, on pose H−m(C, F ) := πm(H (C, F ), x). Nous dirons que F est un

pr´efaisceau simplicial flasque, si pour chaque objet X∈ C, le morphisme F (X) →

H F (X) est une ´equivalence faible.

Soit U → X un morphisme couvrant dans C, le nerf de U sur X est l’objet simplicial de C d´efini par

N (U/X): 1op C

[p] 7→ U ×| XU×{zX· · · ×XU} p+1 f ois

les faces et d´eg´en´erescences ´etant donn´ees par les projections et les diagonales. Pour chaque morphisme couvrant U → X, et F un pr´efaisceau simplicial, on dispose alors d’un 1-diagramme

(5)

La cohomologie de ˇCech de F pour le recouvrement U → X est l’ensemble

simplicial ˇ

H (U/X, F ) := Holim1F (N (U/X)),

o`u Holim est le foncteur de limite directe homotopique d´ecrit dans [3, Chap. XI]. Nous dirons alors que F v´erifie la propri´et´e de Mayer-Vietoris, si pour chaque objet X ∈ C, et chaque recouvrement U → X, le morphisme naturel F (X) →

ˇ

H (U/X, F ) est une ´equivalence faible. Le th´eor`eme de descente cohomologique

(voir 5.11) nous dit qu’un pr´efaisceau fibrant v´erifie cette propri´et´e, et donc un pr´efaisceau flasque aussi.

2.1.2. Pr´efaisceaux en spectres

On notera SpSpr(C) la cat´egorie des pr´efaisceaux en spectres sur un site C. D’apr`es [12, 2-34], c’est une cat´egorie de mod`eles ferm´ee. On dispose donc de notions de fibration, cofibration et ´equivalence faible. Si F et G sont deux pr´efaisceaux en spectres on note Homsp(F, G) le spectre des morphismes de F vers G. Comme

pr´ec´edemment, les r´esolutions injectives seront not´ees F → H F , et H (X, F ) :=

H F (X). Si F est un pr´efaisceau simplicial, on note SF son spectre de suspension.

On d´efinit 6 := S∗. Si F est un pr´efaisceau en spectres, on pose H (C, F ) := Homsp(6, F ), et H−m(C, F ) := πm(H (C, F )). On dispose aussi de notions de

cohomologie de ˇCech, de pr´efaisceaux en spectres flasques, et du th´eor`eme de

descente.

Soit f : F → G un morphisme de pr´efaisceaux en spectres. La fibre homoto-pique de f est le pr´efaisceau en spectres Fib(f ) est d´efini par

Fib(f )[n]:= Holim          F[n] f // G[n] ∗ OO          .

De mˆeme, la cofibre homotopique est

Cof(f )[n]:= Hocolim          F[n]  f // G[n] ∗          .

Une suite exacte est la donn´ee de morphismes de pr´efaisceaux en spectres

(6)

et d’un diagramme commutatif E f // u  F g // id  G id  Fib(g) j //F g //G,

o`u j est le morphisme naturel, et u une ´equivalence faible. D’apr`es [12, 4–1, 4–4], c’est aussi ´equivalent `a la donn´ee d’un diagramme commutatif

E f //F g //G E id OO f // F id OO p// Cof(f ), v OO

avec p le morphisme naturel et v une ´equivalence faible.

Un morphisme de suites exactes est un diagramme commutatif

E f //  F g //  G  E0 f 0 //F0 g0 //G0

compatible avec les diagrammes ci-dessus. Toute suite exacte

E f //F g //G,

donne une suite exacte longue de cohomologie

H−m(C, F ) g∗ //H−m(C, G) δ //H−m+1(C, E) f∗ //H−m+1(C, F )

Un morphisme de suites exactes induit un morphisme de suites exactes longues. Remarquons enfin que le foncteur Holim (resp. Hocolim) commute avec la form-ation des fibres homotopiques (resp. cofibres homotopiques), et transforment donc de fac¸on naturelle les suites exactes en suites exactes.

2.2. CHAMPS ALGEBRIQUES´

Les r´ef´erences pour ce paragraphe sont [4, 17].

Soit p : C → C une cat´egorie fibr´ee en groupo¨ıdes sur un site C. On lui associe un pr´efaisceau en groupo¨ıdes sur C d´efini par

FC: CGpd

(7)

o`u U est consid´er´e comme cat´egorie fibr´ee repr´esent´ee par U , et HomCle groupo¨ıde

des morphismes de cat´egories fibr´ees sur C. En associant `a chaque groupo¨ıde son classifiant, on obtient un pr´efaisceau simplicial FCsur C. Avec ces notations,C est un champ si FCest flasque comme pr´efaisceau simplicial.

De cette fac¸on on a une ´equivalence de la 2-cat´egorie des champs sur C avec celle des pr´efaisceaux simpliciaux flasques 1-tronqu´es et morphismes flexibles [21].

Si F → H et G → H sont deux morphismes de champs, on note F ×H G

le produit fibr´e homotopique. Si les morphismes vers H sont clairs, on le notera

F × G.

Soit f : F → G un morphisme de champ, et U → G un morphisme avec

U ∈ C. La fibre de f au-dessus de U est not´ee f−1(U ) := F ×GU . Rappelons

que f est repr´esentable si toutes les fibres f−1(U ) sont repr´esentables par des

objets de C.

Supposons maintenant que C = (Sch/k)et, le grand site ´etale des sch´emas s´epar´es de type fini sur un corps k. Un sch´ema sera un objet de C. Un champ F sera alg´ebrique si d’une part le morphisme diagonal 1 : F → F × F est repr´esentable et fini, et de plus s’il existe un sch´ema X et un morphisme ´etale et surjectif X→ F . Le champ des ramifications d’un champ alg´ebrique F est IF := F ×F×F F . Il est

muni d’un morphisme π : IF → F qui est (repr´esentable) fini et non-ramifi´e. On

dira que F est une gerbe si π est ´etale.

Soit X une vari´et´e et H un groupe fini op´erant sur X. Le champ quotient de X par H est not´e [X/H ]. Ses sections au-dessus d’un sch´ema Y sont les H -torseurs

P sur Y munis de morphismes H -´equivariants vers X. Si F = [X/H ], alors on a

une ´equivalence canonique IF ' [ ˆX/H ], avec ˆX = {(x, h) ∈ X × H/h.x = x}.

Et donc

IF '

a

h∈c(H)

[Xh/Zh]

avec c(H ) les classes de conjugaisons de H , et Zhle centralisateur de h dans H .

Un espace de modules pour F , est un espace alg´ebrique M muni d’un morph-isme propre p : F → M qui est universel vers les espaces alg´ebriques, et tel que

p : π0F (SpecK)' M(SpecK) soit une bijection pour tout corps alg´ebriquement clos K. D’apr`es [15], tout champ alg´ebrique poss`ede un espace de modules. De plus, il existe un recouvrement ´etale U → M, un sch´ema V , un faisceau constant de groupes finis H op´erant sur V , et une ´equivalence FU := p−1(U )' [V /H ]. Le

champ F est une gerbe si et seulement si on peut prendre H qui op`ere trivialement (on dit alors que ‘H est le groupe de la gerbe F ’). En particulier, si F est r´eduit, il existe un sous-champ ouvert dense qui est une gerbe. Les sous-champs ouverts (resp. ferm´es r´eduits) de F sont tous de la forme F0 := F ×M M0 ,→ F (resp.

F0:= (F ×MM0)red,→ F ), avec M0 ,→ M une immersion ouverte (resp. ferm´ee). On notera Codim(F0, F ) := Codim(M0, M). On appellera point de F un point

(8)

d´efinie parex := (F ×M Speck(x))red. L’ordre d’inertie de F en x est l’ordre du

groupe de la gerbe r´esiduelleex.

Soit M0 → M un morphisme d’espaces alg´ebriques, M l’espace de modules de F , F0 = F ×M M0, et M00 l’espace de modules de F0. Alors le morphisme

naturel M00 → M0est radiciel [24, 2.1]. Comme nous nous int´eresserons aux types d’homologie rationnelle, on pourra indentifier M00et M0par ce morphisme.

Le site ´etale d’un champ alg´ebrique F sera not´e Fet[4, 4.10]. Il est muni d’un faisceau d’anneauxOF. La cat´egorie des faisceaux deOF-modules coh´erents sera

not´ee Coh(F ), et celle des faisceaux deOF-modules localement libres de rang fini

(fibr´es vectoriels) Vect(F ).

Un morphisme de champs f : F −→ F0 est projectif s’il est homotope `a une composition

F −→ Proj(SjF)−→ Fp 0,

o`u j est une immersion ferm´ee, et SF l’alg`ebre sym´etrique associ´ee `a un faisceau coh´erentF sur F0.

3. GGG-th´eorie des champs de Deligne–Mumford

Dans cette section k est un corps qui contient les racines de l’unit´e. Les champs alg´ebriques sont des champs alg´ebriques sur (Sch/ k)et.

Si F est un champ alg´ebrique, on dispose des cat´egories Coh(F ) et Vect(F ). Ce sont des cat´egories exactes au sens de Quillen [19, §2]. On peut donc leur associer les spectres de K-th´eorie.

D ´EFINITION 3.1. Les spectres de K-th´eorie et de G-th´eorie d’un champ alg´ebrique

F sont d´efinis par

K(F ) := K(Vect(F )), G(F ) := K(Coh(F )).

On pose alors

Km(F ) := πm(K(F )), Gm(F ) := πm(G(F )).

La correspondance F 7→ K(F ) (resp. F 7→ G(F )) est un foncteur de la 2-cat´egorie des champs (resp. champs et morphismes plats) vers celles des spectres, morphismes de spectres et homotopies entre morphismes. Le produit tensoriel d´efinit une structure de K(F )-module sur G(F ). Par restriction, on obtient deux pr´efaisceaux en spectres K et G sur Fet.

D ´EFINITION 3.2. Les spectres de K-th´eorie et de G-th´eorie ´etale sont d´efinis par

Ket(F ) := H (Fet, K), Get(F ) := H (Fet, G). On pose alors

(9)

Soit p : F → F0un morphisme propre de dimension cohomologique finie. En utilisant les arguments de [22, (3.16.1)], on peut construire un morphisme d’images directes p: G(F )→ G(F0), qui est strictement fonctoriel pour la composition.

De la mˆeme fac¸on, on dispose d’images r´eciproques f: G(F0)→ G(F ), pour

les morphismes f : F → F0de Tor-dimension finie.

De mˆeme, Get(F ) est fonctoriel covariant pour les images directes de

morph-ismes propres repr´esentables, et contravariant pour les morphmorph-ismes de Tor-dimension finie. La covariance pour les morphismes propres non n´ecessairement repr´esentables sera ´etudi´ee plus loin. Ces images directes et r´eciproques sont li´ees par les formules habituelles de transfert et de projection [19, §7, 2.11, 2.10]. 3.1. PROPRIET´ ES G´ EN´ ERALES´

La proposition suivante montre que les propri´et´es g´en´erales de la G-th´eorie des champs sont les mˆemes que celles des sch´emas.

PROPOSITION 3.3. (1) (invariance topologique) Soit F un champ alg´ebrique,

et j : Fred ,→ F l’immersion canonique de son sous-champ r´eduit, alors j:

G(Fred)→ G(F ) est une ´equivalence faible.

(2) (localisation) Si j : F0 ,→ F est un sous-champ ferm´e de compl´ementaire i : F − F0,→ F , alors il existe une suite exacte fonctorielle

G(F0) j∗ //G(F ) i∗//G(F − F0).

(3) (axiome du fibr´e projectif) Si p : V → F est un fibr´e vectoriel de rang r +1,

π : P → F le fibr´e projectif associ´e, et x := OP(1) ∈ K(P ) le fibr´e inversible canonique, alors le morphisme

Wi=r

i=0G(F )→ G(P )

∨(ai)7→

Pi=r

i=0π(ai).xi est une ´equivalence faible.

(4) (homotopie) Soit p : V → F un fibr´e vectoriel. Alors le morphisme

p: G(F )→ G(V )

est une ´equivalence faible.

Preuve. Les preuves sont les mˆemes que pour le cas des sch´emas.

En localisant, on dispose de la mˆeme proposition pour le cas ´etale.

PROPOSITION 3.4. (1) (invariance topologique) Soit F un champ alg´ebrique, et

j : Fred ,→ F l’immersion canonique de son sous-champ r´eduit, alors

j: Get(Fred)→ Get(F )

(10)

(2) (localisation) Si j : F0 ,→ F est un sous-champ ferm´e de compl´ementaire i : F − F0,→ F , alors il existe une suite exacte fonctorielle

Get(F0)

j //

Get(F )

i//

Get(F − F0).

(3) (axiome du fibr´e projectif ) Si p : V → F est un fibr´e vectoriel de rang r+1,

π : P → F le fibr´e projectif associ´e, et x := OP(1) ∈ Ket(P ) le fibr´e inversible

canonique, alors le morphisme

Wi=r i=0Get(F )→ Get(P ) ∨(ai)7→ Pi=r i=0π(ai).x i est une ´equivalence faible.

(4) (homotopie) Soit p : V → F un fibr´e vectoriel. Alors le morphisme p∗:

Get(F )→ Get(V ) est une ´equivalence faible.

Pour finir ces g´en´eralit´es, rappelons le d´evissage suivant la codimension du support [8, 7.7].

PROPOSITION 3.5. Soit F un champ alg´ebrique, et Coh(F )p, la cat´egorie des faisceaux coh´erents sur F dont le support est de codimension sup´erieure ou ´egale `a p. Notons F(p) l’ensemble des points de codimension p dans F , et G(F )p :=

K(Coh(F )p). Alors les morphismes naturels d´efinissent une suite exacte

G(F )p+1 //G(F )p //W

x∈F(p)G(ex).

3.2. THEOR´ EMES DE DESCENTE`

Nous venons de voir que la G-th´eorie des champs alg´ebriques poss´edait beaucoup de propri´et´es analogues au cas des sch´emas. Cependant le th´eor`eme de descente ´etale de la G-th´eorie rationnelle est faux en g´en´eral. Nous allons voir qu’une g´en´eralisation plus faible existe tout de mˆeme. Elle nous permettra de nous ramener souvent au cas des champs quotients par des groupes finis. Nous d´emontrerons par la suite un th´eor`eme de descente homologique. Ce r´esultat nous permettra de d´efinir les images directes pour la G-th´eorie ´etale.

Nous adopterons la notation suivante: si E est un pr´efaisceau en spectres, on notera EQ: = E ⊗ Q. C’est le pr´efaisceau localis´e de E suivant les ´equivalences

faibles rationnelles.

3.2.1. Descente ´etale

TH ´EOR `EME 3.6. Soit p : F → M la projection d’un champ alg´ebrique sur son

(11)

Remarquons que si F est un sch´ema, le th´eor`eme redonne le th´eor`eme de des-cente ´etale de la G-th´eorie rationnelle [22, 11.10].

Preuve. En utilisant le ‘lemme des cinq’, on sait que s’il existe une suite exacte

E //F //G sur Met, F est flasque si G et E le sont.

Utilisons alors la proposition 3.5. On dispose d’une suite exacte sur Met

pGpQ+1 //pGpQ //Wx∈F(p)(ix)(px)GQ,

o`u ix: Speck(x)→ M est le morphisme associ´e au point x, et px: ex → Speck(x)

la projection naturelle. En raisonnant par r´ecurrence descendante sur p, il nous suffit de montrer que le terme de droite est flasque sur Met, et donc que pour chaque point x de M le pr´efaisceau (ix)(px)GQest flasque sur M. Comme les images

directes pr´eservent les pr´efaisceaux flasques, il suffit de montrer que (px)GQest

flasque sur (Speck(x))et. Ainsi on se ram`ene `a d´emontrer le th´eor`eme dans le cas o`u M = SpecK est le spectre d’un corps. Comme Metest alors le site galoisien de

K, le th´eor`eme provient du lemme suivant.

LEMME 3.7. Soit F → SpecK une gerbe sur un corps K, Ksp une clˆoture s´eparable de K, et H = Gal(Ksp/K). On note Fsp→ SpecKspla gerbe induite. Alors le morphisme canonique q : Fsp → F , induit une ´equivalence faible

q: GQ(F )→ GQ(Fsp)H.

Preuve. On commence par ´eclaircir les notations. Le groupe H op`ere par

auto-morphismes sur SpecKsp, et par fonctorialit´e, on a une op´eration H → AutF(Fsp).

Donc H op`ere sur le spectre G(Fsp)

Q, que l’on voit alors comme un H -diagramme.

Dans ce cas

G(Fsp)HQ := HolimHG(Fsp)Q

est le spectre des invariants homotopiques de H . Comme H est profini, et que G(Fsp)

Qest un spectre rationnel, la suite spectrale

de Bousfield–Kan [3, Ch. XI §7] d´eg´en`ere et donne des isomorphismes canoniques

πm(G(Fsp)HQ)' Gm(Fsp)HQ. De plus, par continuit´e du foncteur G, on a

Gm(Fsp)HQ ' ColimK,→KiGm(Fi)HQi,

o`u Ki parcourt les extensions finies galoisiennes de K, Hi = Gal(Ki/K), et Fi =

F ×SpecK SpecKi. Il suffit donc de montrer que le morphisme naturel G(F )Q

G(Fi)HQi est une ´equivalence faible pour tout i.

Soit p : Fi → F la projection, et mi l’ordre de Hi, alors la formule de

projec-tion implique que

(12)

Et de mˆeme p◦ p= X h∈Hi h∼ ×mi: G(Fi) Hi Q −→ G(Fi) Hi Q.

Ainsi, (1/mi)pest un inverse homotopique de p∗.

COROLLAIRE 3.8. Soit F un champ alg´ebrique, et p : F → M son espace de

modules.

(1) Pour tout recouvrement ´etale U → M, le morphisme naturel

G(F )Q→ ˇH (U/M, pGQ)

est une ´equivalence faible.

(2) Soit X→ M un revˆetement galoisien de groupe H , et p : FX:= F ×MX→ F le revˆetement induit. Alors les morphismes naturels

p: G(F )Q→ G(FX)HQ

p: G(FX)HQ → G(F )Q

sont des ´equivalences faibles.

(3) Si F est lisse, alors il existe une ´equivalence faible naturelle

H (Met, pKQ)' G(F )Q.

Preuve. Les points (1) et (2) proviennent du th´eor`eme de descente (5.11)

ap-pliqu´e au pr´efaisceau flasque pGQsur Met, et de la formule de projection p◦p∗ =

×o(H ) pour le (2).

Pour d´emontrer (3), il suffit d’apr`es le th´eor`eme de d´emontrer que pKQ

pGQest une ´equivalence faible de pr´efaisceaux en spectres sur Met. En localisant

sur Met, on se ram`ene au cas o`u F = [X/H ] est un champ quotient d’un sch´ema lisse X par un groupe fini H . Mais alors on sait que tout faisceau coh´erent sur

F admet une r´esolution finie par des fibr´es vectoriels [23, 5.3], et donc que le

morphisme naturel K(F )→ G(F ) est une ´equivalence faible. 3.2.2. Descente homologique

Nous allons maintenant d´emontrer un r´esultat de descente de la G-th´eorie ´etale. Il va nous permettre d’´etendre la d´efinition des images directes aux morphismes propres quelconques. La m´ethode de construction est tir´ee de [9].

Soit F un champ alg´ebrique, et p : X → F un morphisme propre surjectif, avec X un sch´ema. Le nerf de X sur F est un sch´ema simplicial `a faces propres

N (X/F ). On peut donc en prendre l’image par le foncteur covariant G, et

ob-tenir ainsi un spectre simplicial not´e G(N (X/F )). La colimite homotopique de ce spectre simplicial sera not´ee

(13)

TH ´EOR `EME 3.9. Soit X un sch´ema et p : X→ F un morphisme propre surjectif.

Alors le morphisme naturel

p: G(X/F )Q → Get(F )Q

est une ´equivalence faible.

Preuve. En raisonnant par r´ecurrence sur la dimension de F et `a l’aide de 3.3, on

peut se restreindre `a d´emontrer le th´eor`eme pour un ouvert de Zariski de F . Ainsi on se ram`ene au cas o`u F est une gerbe sur M, telle qu’il existe un revˆetement galoisien M0 → M de groupe fini H , et une ´equivalence

F0 := F ×M M0' [V /K],

avec V un sch´ema et K un groupe fini op´erant sur V . Notons X0:= X ×F F0.

Rappelons que si E est un spectre muni d’une action d’un groupe H , on note

EH = HolimHE, et EH := HocolimHE. De plus, si E est un spectre rationnel,

alors le morphisme naturel EH → E

H est une ´equivalence faible.

Consid´erons alors le diagramme homotopiquement commutatif d’images dir-ectes suivant G(X/F )Q //Get(F )Q (G(X0/F0)Q)H OO //(Get(F0) Q)H. OO

Comme les fl`eches verticales sont des ´equivalences faibles (d’apr`es 3.8), on se ram`ene `a d´emontrer que (G(X0/F0)Q)H → (Get(F0)Q)Hest une ´equivalence faible.

Mais comme les co-invariants homotopiques pr´eservent les ´equivalences faibles, il nous suffit de d´emontrer le th´eor`eme pour X0→ F0. En utilisant le mˆeme argument avec le revˆetement de groupe K, V → F0, il suffit de d´emontrer le th´eor`eme dans le cas o`u F est un sch´ema.

Comme pr´ec´edemment on peut se restreindre `a un ouvert g´en´erique de F . On peut alors supposer que X→ F poss`ede une section apr`es un changement de base fini F0→ F . On peut mˆeme supposer que F0→ F se factorise en

F0 a //F00 b //F

avec a un morphisme radiciel, et b un revˆetement galoisien de groupe H . Notons

c : X0 := X ×F F0 → F0 et d : X00 := X ×F F00 → F00. On dispose alors du

diagramme homotopiquement commutatif suivant

G(X/F )Q p // G(F )Q G(X00/F00)Q OO d // G(F00)Q b OO G(X0/F0)Q OO c // G(F0)Q. a OO

(14)

Comme a est radiciel, on sait que a: G(F0)Q → G(F00)Q est une ´equivalence

faible. Il en est de mˆeme du morphisme induit G(X0/F0)Q → G(X00/F00)Q. De

plus, comme le morphisme X0 → F0 poss`ede une section, c: G(X0/F0)Q

G(F0)Qest une ´equivalence faible [9, 4–1 (I)]. Ceci implique que le th´eor`eme est

vrai pour X00 → F00. En prenant les co-invariants homotopiques on obtient un nouveau diagramme qui commute `a homotopie pr`es

G(X/F )Q p // G(F )Q (G(X00/F00)Q)H OO d// (G(F00)Q)H b OO

De nouveau les fl`eches verticales sont des ´equivalences faibles. Le th´eor`eme ´etant vrai pour X00/F00, il est vrai pour X/F .

Passons `a la construction des images directes en G-th´eorie ´etale.

Soit f : F → F0 un morphisme propre. A l’aide de [4, 4.12], choisissons un sch´ema X et un morphisme propre surjectif p : X → F . On dispose alors d’un diagramme de morphismes propres

N (X/F ) p  q $$I I I I I I I I I F f //F0.

En appliquant le foncteur covariant (Get)Q, on obtient un diagramme de spectres

G(X/F )Q p  q &&M M M M M M M M M M M Get(F )Q Get(F0)Q.

D’apr`es le th´eor`eme 3.9, p est une ´equivalence faible. On dispose donc d’un morphisme bien d´efini `a homotopie pr`es

f= q◦ (p−1 ) : Get(F )Q→ Get(F0)Q.

Si p0: X0→ F est un autre morphisme propre surjectif, et Z = X ×FX0, alors les

diagrammes homotopiquement commutatifs suivants

G(Z/F )Q //  G(X/F )Q p  G(X0/F )Q (p0)// Get(F )Q

(15)

G(Z/F )Q //  G(X/F )Q q  G(X0/F )Q (q0) // Get(F0)Q,

montrent que le morphisme f: Get(F )Q → Get(F0)Q est ind´ependant `a

homo-topie pr`es du choix de p : X → F . Il est alors facile de voir que F → Get(F ) est un foncteur covariant `a homotopie pr`es pour tous les morphismes propres.

LEMME 3.10. Soit X un sch´ema et H un groupe fini op´erant sur X. Alors la

projection p : X → X/H induit des ´equivalences faibles

p: (G(X)Q)H → G(X/H )Q

p: G(X)HQ → G(X/H )Q.

Preuve. Il suffit de consid´erer le cas o`u X r´eduit.

On consid`ere le diagramme commutatif `a homotopie pr`es

G(X)H Q // p &&L L L L L L L L L L (G(X)Q)H p  G(X/H )Q.

Comme le groupe H est fini et que l’on est `a coefficients rationnels, le morphisme horizontal est une ´equivalence faible. Il suffit donc de d´emontrer la seconde as-sertion du lemme. Soit j : Y ,→ X une immersion ferm´ee ´equivariante telle que

i : X− Y ,→ X soit dense dans X, et que l’action de H soit sans points fixes sur X− Y . On consid`ere le morphisme de suites exactes

G(Y )H Q j // p  G(X)H Q i// p  G(X− Y )H Q p  G(Y /H )Q j // G(X/H )Q i// G((X− Y )/H )Q.

En raisonnant par r´ecurrence sur la dimension de X, on peut se restreindre au cas o`u l’action de H est sans points fixes sur X. Le corollaire 3.8 (2) montre alors que

p: G(X)H

Q → G(X/H )Qest une ´equivalence faible.

COROLLAIRE 3.11. Soit p : F → M la projection d’un champ alg´ebrique sur

son espace de modules. Alors le morphisme

p: Get(F )Q→ G(M)Q

(16)

Preuve. Soit G → G0 une r´esolution injective de G sur Fet. On consid`ere le morphisme de pr´efaisceaux en spectres sur Met

p: p(G0et)Q → GQ.

On sait que le membre de droite est flasque sur Met(3.6 pour un espace alg´ebrique). Le membre de gauche ´etant l’image directe d’un pr´efaisceau fibrant, il est flasque. On peut donc localiser sur Met et se ramener au cas o`u F = [X/H ] est le champ quotient d’un sch´ema par un groupe fini H .

Prenons le morphisme naturel q : X → F , et notons r : X → X/H = M. On peut alors consid´erer le diagramme homotopiquement commutatif suivant

G(X/F )Q r // q  G(M)Q Get(F )Q. p 88r r r r r r r r r r

Par le th´eor`eme 3.9, q est une ´equivalence faible. Il nous suffit donc de montrer que rest une ´equivalence faible. Or le nerfN (X/F ) est canoniquement isomorphe au classifiant BH X de l’action de H sur X. Il existe donc une ´equivalence faible naturelle

(G(X)Q)H → G(X/F )Q,

qui rend homotopiquement commutatif le diagramme

(G(X)Q)H // r  G(X/F )Q r wwppppppp pppp Get(M)Q.

Le lemme pr´ec´edent permet de conclure que rest une ´equivalence faible.

Il est `a noter que ces morphismes d’images directes ne sont pas d´efinis `a coeffi-cients entiers, tout au moins lorsque les morphismes ne sont pas repr´esentables. Ils sont l’analogue des images directes de cycles alg´ebriques d´efinis dans [25]. Ainsi le corollaire pr´ec´edent est un analogue au fait que les groupes de Chow rationnels d’un champ alg´ebrique sont isomorphes `a ceux de son espace de modules.

3.2.3. Enveloppes de Chow

Dans le cas des sch´emas, on sait qu’une enveloppe de Chow p : Z → X permet de retrouver la G-th´eorie de X [9]. Si maintenant F est un champ alg´ebrique, nous allons voir qu’il existe une notion d’enveloppe de Chow rationnelle permettant de calculer la G-th´eorie rationnelle de F , en fonction de la G-th´eorie de certaines gerbes triviales.

(17)

D ´EFINITION 3.12. Soit F un champ alg´ebrique. Un morphisme propre et repr´esentable de champs p : F0 → F est une enveloppe de Chow rationnelle si, pour tout point x de F , le morphisme induit sur la gerbe r´esiduelle p−1(ex)−→ ex,

poss`ede une section apr`es une extension finie de k(x).

Remarquons par exemple que le morphisme naturel X → [X/H ] est une en-veloppe de Chow rationnelle si et seulement si H op`ere sans points fixes sur

X.

Remarquons qu’un morphisme propre et repr´esentable p : F0 → F est une enveloppe de Chow rationnelle si et seulement si pour tout sous-champ ferm´e int`egre F0 de F , il existe un sous-champ ferm´e int`egre F00 de F0 au-dessus de

F0, tel que la restriction p : F00→ F0admette g´en´eriquement une section apr`es un changement de base fini de l’espace de modules de F0.

Si F0 → F est un morphisme propre de champs, on dispose de son nerf

N (F0/F ), qui est un champ simplicial `a faces propres. En appliquant le

fonc-teur covariant G, on en d´eduit un spectre simplicial G(N (F0/F )). La colimite

homotopique de ce diagramme sera not´ee G(F0/F ).

PROPOSITION 3.13. Si p : F0 → F est une enveloppe de Chow rationnelle,

alors le morphisme naturel

p: G(F0/F )Q→ G(F )Q

est une ´equivalence faible.

Preuve. Comme dans la preuve de 3.9, on peut se restreindre au cas o`u F0−→

F poss`ede une section apr`es un changement de base de l’espace de modules de F

par un revˆetement galoisien. En utilisant 3.8 (2) on se ram`ene au cas o`u p poss`ede une section s : F → F0. On sait alors que s: G(F )Q→ G(F0/F )Qest un inverse

homotopique de p[9, 4–1 (I )].

Remarquons que les arguments de la preuve de [9, 4–1] entraˆınent que la pro-position se g´en´eralise au cas des hyper-enveloppes de Chow rationnelles.

3.3. THEOR´ EME DE D` EVISSAGE´

Dans cette section nous allons montrer que les espaces de G-th´eorie se d´ecrivent `a l’aide de la G-th´eorie ´etale du champ des ramifications. Cette description est une g´en´eralisation des r´esultats de Vistoli [24] au cas des champs alg´ebriques.

Nous aurons besoin d’une hypoth`ese suppl´ementaire. Elle assure par exemple que les morphismes propres sont tous de dimension cohomologique finie.

HYPOTH `ESE 3.14. Pour tout champ alg´ebrique F, on supposera que les ordres

(18)

Pour ce chapitre, on notera 3 = Q(µ), avec µ le sous-groupe de k∗ des racines de l’unit´e, que l’on identifiera `a un sous-groupe de C∗par un plongement fix´e µ,→ C. Si E est un spectre, E3d´esignera EZQ(µ).

TH ´EOR `EME 3.15. Soit F un champ alg´ebrique lisse. Alors il existe une ´equivalence

faible de spectres en 3-alg`ebres

φF: G(F )3−→ G' et(IF)3.

De plus, φ commute avec les images r´eciproques.

Preuve. Commenc¸ons par d´efinir un morphisme ρ : K(IF)→ K(IF)3. Soit V

un fibr´e vectoriel sur IF. Fixons-nous ζ une racine de l’unit´e dans k.

Soit f : X→ IF une section au-dessus d’un sch´ema X. Elle est d´etermin´ee par

une section s : X → F , et un automorphisme a ∈ π1(F (X), s). Le fibr´e fV sur

X est alors muni d’une action dehai. D’apr`es 3.14, cette action est diagonalisable.

On obtient donc une d´ecomposition canonique fV ' fV(ζ )⊕ W, o`u fV(ζ )est le sous-fibr´e vectoriel de fV sur lequel a op`ere par multiplication par ζ .

Donnons-nous maintenant deux sections

f : X→ IF, g : Y → IF,

donn´ees respectivement par (s, a) et (t, b), un morphisme p : Y → X, et une homotopie h : f ◦ p ⇒ g. Le cocycle de V

θf,g,h: (p◦ f )V ' gV ,

´etant compatible avec les actions dehai et hbi, on obtient ainsi un cocycle induit

θf,g,h: (p◦ f )V(ζ )' gV(ζ ).

De cette fac¸on on d´efinit un fibr´e vectoriel V(ζ )sur IF. De plus, Il est clair que les

foncteurs Fζ: V 7→ V(ζ )sont exacts. On pose alors

ρ=Pζζ.Fζ: K(IF) −→ K(IF)3

V 7→ Pζ∈µζ.V(ζ ).

C’est un morphisme de spectres en anneaux, qui est de plus fonctoriel pour les images r´eciproques. Soit π : IF −→ F la projection et can: K(IF)−→ Ket(IF)

le morphisme canonique. Consid´erons

can◦ ρ ◦ π: K(F )3→ Ket(IF)3.

En localisant sur Met, on obtient un morphisme de pr´efaisceaux en spectres sur Met

φF0 : pK3−→ pπ(Ket)3,

et par le corollaire 3.8 (3), le morphisme cherch´e (d´efini `a homotopie pr`es)

(19)

Par construction, il est compatible aux produits et aux images r´eciproques. Enfin, il est clair que lorsque F = [X/H ], on obtient le morphisme φ d´efini dans [24, 4.1]. Ainsi, φF0 est une ´equivalence faible de pr´efaisceaux en spectres sur Met, et donc

φF est une ´equivalence faible.

Remarquons que mˆeme si F n’est pas lisse, il existe toujours un morphisme

φF: K(F )3 −→ Ket(IF)3,

mais qui n’est plus, `a priori, une ´equivalence faible.

Enfin, si F est une gerbe (´eventuellement singuli`ere), il existe encore une ´equivalence faible canonique de spectres en 3-modules

φF: G(F )3−→ Get(IF)3.

En effet, comme π : IF −→ F est ´etale, on peut appliquer la construction de la

preuve pr´ec´edente.

4. Le th´eor`eme de Grothendieck–Riemann–Roch

On continue `a supposer que k contient les racines de l’unit´e, et que les champs v´erifient 3.14.

4.1. COHOMOLOGIE DES CHAMPS ALGEBRIQUES´

On se place dans (SchQP / k)et, le site des sch´emas quasi-projectifs sur k, muni de la topologie ´etale. Par la suite tous les sch´emas sont quasi-projectifs.

Donnons-nous une th´eorie cohomologique avec images directes. C’est la donn´ee de:

− Pour tout entier i, un pr´efaisceau en spectres ab´eliens Hi (i.e. associ´e par la

construction de Dold-Puppe `a un complexe de pr´efaisceaux ab´eliens) flasque sur le site pr´ec´edent, et muni d’un produit

Hi∧ Hj −→ Hi+j

,

homotopiquement associatif et commutatif. On notera

H :=_

i∈Z

Hi

(20)

− Pour chaque entier i, et chaque sch´ema X, des spectres ab´eliens H0

i(X). Pour

chaque morphisme propre f : X → Y de sch´emas irr´eductibles, un morph-isme de spectres ab´eliens

f: H0i(X)−→ H0i+dp(Y ),

o`u p est la dimension relative de X sur Y , et d un entier fix´e, ´egal `a 1 ou 2. On demande que ces images directes s’´etendent en un foncteur

X7→ H0(X) :=_

i∈Z

H0

i(X),

covariant pour les morphismes propres.

− Pour chaque sch´ema X, une structure de H(X)-module gradu´e sur H0(X). De

plus, si f : X −→ Y est un morphisme propre, et x ∈ H0(X), y ∈ H(Y ),

alors on a

f(f(y).x)= y.f(x).

− Pour chaque morphisme ´etale f : X → Y , un morphisme de spectres ab´eliens

f∗: H0i(Y )−→ H0i(X),

qui fait deH0unH-module pour les morphismes ´etales.

− Si X0 u // q  X p  X v //Y

est cart´esien avec p propre et u ´etale, alors v◦ p = q◦ u∗.

− Si j : Y ,→ X est une immersion ferm´ee, et i : U ,→ X l’immersion ouverte

compl´ementaire, alors la suite

H0 i(Y ) j // H0 i+dp(X) i//H0 i+dp(U )

est canoniquement une suite exacte.

− Si X est un sch´ema lisse, alors il existe une ´equivalence faible

pX: Hi(X)−→ H0i(X),

(21)

− Il existe un morphisme de pr´efaisceaux simpliciaux

C1: BGm−→ Hd[0],

et donc un morphisme (flexible [21]) sur les champs associ´es

C1: Pic−→ Hd[0].

− Soit π : P −→ X le fibr´e projectif associ´e `a un fibr´e vectoriel de rang r + 1,

et x = C1(OP(1)). Alors le morphisme Wi=r i=0H(X) −→ H(P ) ∨ai 7→ P (ai).x

est une ´equivalence faible.

Avant d’aller plus loin, donnons deux exemples.

− La th´eorie de Gersten: Notons Ki le pr´efaisceau sur (SchQP / k)et

X7→ Ki(X).

On prend pourHiune r´esolution injective des pr´efaisceaux en spectres K(Ki, i)

Q. Soit Ri : M x∈X(0) Ki(k(x))−→ M x∈X(1) Ki−1(k(x))−→ · · · M x∈X(i) K0(k(x))

le complexe de Gersten de codimension i de X, concentr´e en degr´e [−i, 0]. On pose

H0

i(X) := K(R

i, 0)⊗ Q.

AlorsH et H0v´erifient les axiomes ci-dessus [7, 1.4 (ii)], avec d = 1.

− La cohomologie de De Rham: Supposons k de caract´eristique nulle.

Pour un sch´ema X, on consid`ere K(X, 2i) le complexe de De Rham de X

[11], plac´e en degr´es [−2i, DimX − 2i]. On prend pour Hi un mod`ele fibrant de K(, 2i).

Notons Im(X) la cat´egorie filtrante des immersions ferm´ees X ,→ Y , avec Y lisse. La cohomologie de Y `a support dans le sous-sch´ema X est d´efinie par

Hi

X(Y )= Fib H

(22)

L’homologie d’un sch´ema X est alors d´efinie par

H0

i = ColimIm(X)EH

i+2p

X (Y ),

o`u p est la codimension de X dans Y , et EHile spectre associ´e `a la r´esolution canonique de [2i] d´efinie dans [11, §2].

AlorsH et H0v´erifient les conditions pr´ec´edentes avec d = 2, au d´etail pr`es que les images r´eciproques ´etales en homologie ne sont fonctorielles que dans un sens flexible [21]. Elles sont d´efinies de la fac¸on suivante.

Soit f : X0 → X un morphisme ´etale. Soit p : Z→ X un hyper-recouvrement propre dont toutes les composantes Znsont lisses. Un tel hyper-recouvremnent

existe d’apr`es [14]. En prenant l’image de Zpar le foncteur covariant EH, on obtient un 1-diagramme de spectres EH(Z•). On note la colimite

homo-topique par EH(Z/X). Alors le morphisme naturel

p: EH(Z/X) −→ H0(X)

est une ´equivalence faible. On pose Z0→ X0l’hyper-recouvrement induit sur

X0. Alors on a un morphisme induit sur les 1-diagrammes

f: EH(Z0)−→ EH(Z).

On conclut en prenant la colimite homotopique. Cette construction et la for-mule de projection permettent aussi de d´efinir la structure deH(X)-module surH0(X).

D ´EFINITION 4.1. Soit F un champ alg´ebrique lisse. On d´efinit la cohomologie et l’homologie ´etale de F par

Hetp(F, i) := Hp−di(Fet,Hi), Hpet(F, i) := Hp−di(Fet,H0i), Het(F,∗) :=M i,p Hetp(F, i), Het(F,∗) := M i,p Hpet(F, i).

Nous noterons aussi

H(F ) := H (Fet,H), H0(F ) := H (Fet,H0), les spectres de cohomologie et d’homologie de F .

Nous pr´ecisons que l’indice p de Hpet(F,∗) d´esigne la codimension, et non la

(23)

Pour d´efinir les images directes nous aurons besoin du r´esultat de descente analogue `a 3.9.

PROPOSITION 4.2. Soit p : X → F un morphisme propre et surjectif, avec X

un sch´ema quasi-projectif. Alors le morphisme naturel

H0(X/F )

Q−→ H0(F )Q

est une ´equivalence faible.

Preuve. C’est la mˆeme que pour 3.9.

Soit f : F0 −→ F un morphisme propre de champs alg´ebriques. Consid´erons un diagramme commutatif X0 q  p A A A A A A A A F0 f //F,

o`u q est un morphisme propre et surjectif. On dispose alors du diagramme suivant

H0(X0/F0) Q p &&N N N N N N N N N N N q  H0(F0) Q H0(F )Q.

Comme q est une ´equivalence faible, on peut d´efinir f: H0(F0)Q −→ H0(F )Q

par f:= p◦ (q)−1. On obtient ainsi un morphisme bien d´efini p: Het(F0,∗)Q → Het(F,∗)Q.

Si p : F −→ Speck est le morphisme structural d’un champ propre, on notera

Z et

F

:= p: Het(F,∗)Q−→ Het(Speck,∗)Q.

La construction de Gillet des classes de Chern [7, 2.2] donne des morphismes de pr´efaisceaux simpliciaux Ci: K[0] → Hi[0]. En passant `a la cohomologie on obtient des classes de Chern ´etales

Ciet: Km,et(F )−→ Hetdi−m(F, i),

v´erifiant les propri´et´es cit´ees dans [7, 2.1]. Sont associ´es par les formules habituelles, le caract`ere de Chern et les classes de Todd

Chet: K∗,et(F )−→ Het(F,∗),

(24)

Nous poss´edons de cette fac¸on une th´eorie cohomologie-homologie ´etale pour les champs alg´ebriques, v´erifiant les propri´et´es habituelles.

PROPOSITION 4.3. La correspondance F 7→ Het(F,∗)Q est un foncteur

con-travariant de la 2-cat´egorie des champs alg´ebriques vers les Q-alg`ebres commut-atives bi-gradu´ees.

La correspondance F 7→ Het(F,∗)Qest un foncteur covariant de la 2-cat´egorie

des champs alg´ebriques et morphismes propres vers les Q-modules. C’est aussi un foncteur contravariant pour les morphismes ´etales repr´esentables. De plus, on a les propri´et´es suivantes:

(1) Pour tout champ F , Het(F,∗)Q est un Het(F,∗)Q-module bi-gradu´e. Si f :

F0 → F est un morphisme propre, x ∈ Het

(F,∗)Qet y∈ Het•(F,∗)Q, alors

f(F(x).y)= x.f(y).

(2) Si est lisse, il existe un isomorphisme de Het(F,∗)Q-module

pF: Het•(F,∗)Q' Het(F,∗)Q,

compatible avec les images r´eciproques et les produits.

(3) Si le carr´e suivant est cart´esien

G0 v  q // F0 u  G p //F,

avec p propre, et u ´etale repr´esentable, alors q◦ v= u◦ p.

(4) Si j : F0 ,→ F est une immersion ferm´ee, et i : U ,→ F l’immersion

compl´e-mentaire, alors la suite

H0(F0) Q j // H0(F ) Q i// H0(U ) Q

est naturellement exacte.

(5) Si F est un champ lisse, et p : V → F est un fibr´e vectoriel, alors le

morph-isme naturel

p: Het(F,∗)Q→ Het•(V ,∗)Q

(25)

(6) Si p : P(V )→ F est la projection d’un fibr´e projectif associ´e `a un fibr´e

vec-toriel V de rang r+ 1, et si x = C1et(OP(1))∈ Hetd(F, 1), alors le morphisme

naturel Ni=r i=0Het•(F,∗)Q → Het•(P ,∗)Q P ixi 7→ P xi.p(x i) est un isomorphisme.

Remarque. Voici un exemple tr`es simple montrant que cette th´eorie ´etale ne peut

pas donner de formule de Hirzebruch–Riemann–Roch.

Soit F = [Speck/H ] avec H un groupe fini ab´elien par exemple. Dans ce cas le fibr´e tangent est trivial, et la transformation de Riemann–Roch

τF: K0(F )→ Hetd(F, 0(•))Q

est le caract`ere de Chern. Elle est donc multiplicative. Le corollaire pr´ec´edent implique que

p: Hetd(F, 0(•)) ' H

d

et (Speck, 0(•))Q

est un isomorphisme. Supposons que la th´eorie cohomologique v´erifie

Hetd(Speck, 0(•))C = C.

C’est le cas pour les exemples pr´ec´edents. Si la formule d’Hirzebruch–Riemann– Roch ´etait v´erifi´ee on aurait un diagramme commutatif

K0(F )C Ch // p  Hd∗ et (F, 0(•))C op∗  C I d //C.

En identifiant K0(F ) avec le groupe de Grothendieck des repr´esentations de H

dans k, on aurait pour tout k[H ]-module V de dimension finie Ch(V )= Dim(VH).

Prenons V de dimension 1 non triviale. Alors VH = (0). Si m l’ordre de H , alors

V⊗m= 1. On aurait donc

Ch(V⊗m)= Ch(V )m= Ch(1) = 1 ⇒ Ch(V ) 6= 0,

ce qui est absurde.

Pour rem´edier `a ce probl`eme nous proposons une nouvelle d´efinition de la cohomologie d’un champ, que nous appellerons (voir la remarque suivante) ‘co-homologie `a coefficients dans les repr´esentations’. Sa d´efinition est directement inspir´ee du th´eor`eme 3.15.

(26)

D ´EFINITION 4.4. Soit F un champ alg´ebrique. On d´efinit la cohomologie et l’homologie de F `a coefficients dans les repr´esentations par

Hrepp (F, i) := Hetp(IF, i), Hprep(F, i) := H

et

p(IF, i).

On notera de mˆeme

Hrep(F ) := H(IF), H0rep(F ) := H0(IF),

Hrep(F,∗) :=M

i,p

Hrepp (F, i), Hrep(F,∗) :=M

i,p

Hprep(F, i).

Si f : F −→ F0 est un morphisme de champs, et If : IF −→ IF0 le morphisme

induit, on d´efinit

f: Hrep(F,∗) = Het(IF,∗) If

−→ H

et(IF0,∗) = Hrep• (F0,∗). De la mˆeme fac¸on si f : F −→ F0est propre, on pose

f: Hrep(F,∗)Q = Het(IF,∗)Q

If

−→ Het

(IF0,∗)Q= Hrep(F0,∗)Q.

Si p : F −→ Speck est la projection d’un champ propre, on notera

Z

F

= p: H•rep(F,∗)Q−→ Hrep(Speck,∗)Q

le morphisme induit.

Les propri´et´es de cette cohomologie se d´eduisent imm´ediatement de celles de la cohomologie ´etale. Comme d’habitude, pour tout Z-module A, nous noterons

A3pour AZ3.

PROPOSITION 4.5. La correspondance F 7→ Hrep(F,∗)3 est un foncteur con-travariant de la 2-cat´egorie des champs alg´ebriques vers les 3-alg`ebres commut-atives bi-gradu´ees.

La correspondance F 7→ Hrep(F,∗)3est un foncteur covariant de la 2-cat´egorie des champs alg´ebriques et morphismes propres vers les 3-modules. C’est aussi un foncteur contravariant pour les morphismes ´etales repr´esentables. De plus, on a les propri´et´es suivantes:

(1) Pour tout champ F , H•rep(F,∗)3 est un Hrep• (F,∗)3-module bi-gradu´e. Si

f : F0−→ F est un morphisme propre, x ∈ H•rep(F,∗)3et y∈ Hrep• (F0,∗)3,

alors

(27)

(2) Si F est lisse, il existe un isomorphisme de Hrep(F,∗)3-module

pF: Hrep• (F,∗)3 ' Hrep(F,∗)3,

compatible avec les images r´eciproques et les produits.

(3) Si le carr´e suivant est cart´esien

G0 q // v  F0 u  G p //F,

avec p propre, et u ´etale repr´esentable, alors q◦ v= u◦ p.

(4) Si j : F0 ,→ F est une immersion ferm´ee, et i : U ,→ F l’immersion

compl´e-mentaire, alors la suite

H0 rep(F0)3 j // H0 rep(F )3 i// H0 rep(U )3 est naturellement exacte.

(5) Si F est un champ lisse, et p : V → F est un fibr´e vectoriel, alors le

morph-isme naturel

p: Hrep• (F,∗)3−→ Hrep• (V ,∗)3 est un isomorphisme.

Remarque. Supposons que k = C, et que l’on prenne la cohomologie de De

Rham. Si F est un champ alg´ebrique lisse, on peut lui associer un champ analytique

Fan. Le th´eor`eme de comparaison de Grothendieck [10, Thm. 10] donne alors un isomorphisme de C-alg`ebres

Hrep(F )' H((IF)top, C),

o`u (IF)topest le site topologique sur (IF)an, et C le faisceau constant de fibre C. Soit

π : IF → F la projection, et p : F → M la projection sur l’espace de modules.

On pose R = p◦ π(C); c’est un faisceau en C-alg`ebres sur Mtop, dont la fibre au point x ∈ M est isomorphe `a C(Hx), la C-alg`ebre des fonctions centrales sur le

groupe d’isotropie Hxde x. Ainsi Hrep• (F )' H(Mtop, R). Cet isomorphisme ex-plique le nom de ‘cohomologie `a coefficients dans les repr´esentations’, en gardant `a l’esprit que les ´el´ements de C(Hx) s’identifient `a des repr´esentations virtuelles

de Hx `a coefficients complexes.

Remarquons aussi que ces ‘coefficients dans les repr´esentations’ apparaissent naturellement dans les complexes de Gersten.

(28)

En effet, si F est un champ alg´ebrique, on peut consid´erer la filtration par la codimension du support sur le spectre G(F ) [8, 7.7]. On obtient de cette fac¸on une suite spectrale dont le terme E•,p1 est le complexe suivant (plac´e en degr´e [0, p])

M x∈F(0) Kp(˜x) → · · · → M x∈F(p−1) K1(˜x) → M x∈F(p) K0(˜x).

Le terme de droite, qui, dans le cas o`u F est un sch´ema, s’identifie aux cycles de codimension p de F , s’interpr`ete naturellement comme des ‘cycles `a coefficients dans les repr´esentations des gerbes r´esiduelles’ des points de F .

D ´EFINITION 4.6. Soit F un champ alg´ebrique. On d´efinit le caract`ere de Chern par la composition Km(F )3 φF // Km,et(IF)3 Chet //Hd∗−m et (IF, i)3 = Hrepd∗−m(F, i)3.

Avant d’´enoncer le th´eor`eme de Riemann–Roch il nous reste `a d´efinir la classe de Todd d’un champ lisse.

Soit F un champ alg´ebrique lisse et π : IF → F la projection canonique.

No-tonsN= 1

IF/Fle fibr´e conormal de IF relativement `a F , λ

i: K0(I

F)→ K0(IF)

la i-`eme λ-op´eration [6, V , §1], et

λ−1: K0(IF) −→ K0(IF)

x 7→ Pi(−1)iλi(x).

En utilisant les notations suivant le th´eor`eme 3.15, notons

αF := can ◦ ρ λ−1(N)



∈ K0,et(IF)3.

LEMME 4.7. L’´el´ement αF est inversible dans l’anneau K0,et(IF)3. Preuve. Soit m le nombre de composantes connexes de IF, et

rk : K0,et(IF)3→ 3m

l’application rang. On sait alors qu’un ´el´ement de K0,et(IF)3 est inversible si et

seulement si son rang est inversible dans 3m. Comme ceci est local sur Met, on

peut supposer que F est un champ quotient. Le lemme est alors [24, 1.8].

D ´EFINITION 4.8. Soit F un champ alg´ebrique lisse. On d´efinit sa classe de Todd par

Td(F ) := ChetF−1).Tdet(TIF).

La transformation de Riemann–Roch est d´efinie par

τF: Km(F ) −→ Hrep• (F,∗)

(29)

4.2. DEMONSTRATION DU TH´ EOR´ EME`

On en arrive au th´eor`eme de Grothendieck–Riemann–Roch. Pour pouvoir le d´emontrer nous aurons besoin d’hypoth`eses suppl´ementaires sur les champs que l’on consid`ere.

HYPOTH `ESE 4.9. Les champs alg´ebriques F consid´er´es v´erifieront les hypoth`eses

suivantes

(1) l’espace de modules M de F est un sch´ema quasi-projectif.

(2) tout faisceau coh´erent sur F est quotient d’un faisceau localement libre. Remarquons que hypoth`ese ces sont v´erifi´ees dans tous les exemples que l’on rencontre (champs de modules de courbes, de vari´et´es ab´eliennes...). En effet ces champs sont construits en prenant des quotients de sch´emas quasi-projectifs par des actions de groupes r´eductifs. Et on sait que ces champs v´erifient la seconde hy-poth`ese [23, 5.6]. Notons aussi qu’elle entraˆıne que le morphisme naturel

K(F )−→ G(F ) est un isomorphisme quand F est lisse.

Soit L un fibr´e en droite tr`es ample sur M et L0 = pL le fibr´e induit sur F . Alors L0 est ample sur F . En particulier, les deux hypoth`eses entraˆınent que tout morphisme propre repr´esentable F → F0est homotope `a une composition

F j //P(V ) p //F0,

o`u j est une immersion ferm´ee, et p la projection d’un fibr´e projectif associ´e `a un fibr´e vectoriel V sur F0[16, 3.3].

PROPOSITION 4.10. Soit F un champ alg´ebrique v´erifiant 4.9, alors il existe une

enveloppe de Chow rationnelle q : F0 −→ F , avec F0une gerbe triviale sur un

sch´ema quasi-projectif et q un morphisme fini.

Preuve. Soit X −→ F un morphisme fini et surjectif, avec X un sch´ema

quasi-projectif normal. Un tel morphisme existe d’apr`es [25, 2.6]. On consid`ere le morphisme induit sur les espaces de modules X→ M, et FX= F ×M X→ X

le changement de base. Alors, par construction, le morphisme X → F induit une section de la projection FX −→ X, s : X −→ FX. Notons FX0 la normalisation de

FX. On a alors un morphisme fini repr´esentable FX0 −→ F, qui v´erifie la condition

de 3.12 pour les points g´en´eriques de F . Or FX0 et X sont normaux, et FX0 −→ X poss`ede une section. On sait alors d’apr`es [25, 2.7] que FX0 est une gerbe sur X, qui est triviale car elle poss`ede une section.

Il existe alors un sous-espace ouvert dense U ,→ M tel que le morphisme induit au-dessus de U

qU: (FX)U −→ FU,

poss`ede une section apr`es un changement de base fini de U . En proc´edant alors par r´ecurrence sur DimF , la proposition est vraie pour le ferm´e compl´ementaire r´eduit

(30)

F0 = F − FU. Soit F00 −→ F0 un morphisme v´erifiant les conditions demand´ees. On pose alors

F0= FX0

a

F00.

Ainsi, le morphisme q : F0−→ F v´erifie bien les conditions de la proposition. TH ´EOR `EME 4.11 (Grothendieck–Riemann–Roch). Soit CH la cat´egorie des

champs F qui v´erifient 3.14 et 4.9. Alors, pour tout champ F deCH, il existe un morphisme de 3-alg`ebres

τF: Gm(F )3−→ Hrep(F,∗)3, v´erifiant les conditions suivantes:

(1) Le morphisme τF commute avec les images directes de morphismes propres deCH.

(2) Le morphisme τF commute avec les images r´eciproques de morphismes repr´esentables ´etales deCH.

(3) Si F est un champ lisse deCH, alors

τF(x)= Ch(x).Td(F ), pour tout x∈ K(F ).

(4) Si F est dansCH, x ∈ K∗(F ), et y∈ G(F ), alors τF(x.y)= Ch(x).τF(y).

(5) Si F est un sch´ema, alors τF est le morphisme d´efini dans [7, 4.1].

Preuve. Pour ce qui suit, tous les coefficients seront ´etendus `a 3. Pour simplifier

les notations nous n’´ecrirons pas l’indice 3.

Commenc¸ons par d´emontrer (1) dans le cas des champs lisses.

Soit f : F −→ F0un morphisme propre de champs lisses deCH, et If : IF −→

IF0 le morphisme induit. Pour un champ G, on notera πG la projection de IG sur

G.

LEMME 4.12. Le diagramme suivant commute

G(F ) f  αF−1.φF// G∗,et(IF) If  G(F0) α−1 F 0.φF 0 //G∗,et(IF).

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