Dynamique temporelle des oscillateurs paramétriques optiques continus : oscillations multimodes, oscillations en rafales et chaos

(1)

Dynamique temporelle des oscillateurs param´etriques

optiques continus :

oscillations multimodes, oscillations en rafales et chaos

Th`ese effectu´ee au

Laboratoire de Physique des Lasers, Atomes, Mol´ecules,

Universit´e des Sciences et Technologies de Lille, France

par A. Amon

dans l’´equipe : S. Bielawski, D. Derozier, M. Lefranc et J. Zemmouri.

(2)

Plan de l’exposé

• Introduction

• Principe des oscillateurs param´

etriques optiques (OPO)

• Instabilit´

es temporelles : pr´

edictions th´

eoriques et travaux

ant´

erieurs

• Oscillations multimodes transverses

• Preuve exp´

erimentale du caract`ere multimode transverse

• Conditions d’apparition des oscillations

• Oscillations complexes

• Oscillations en rafales

• Chaos

(3)

Plan de l’exposé

• Introduction

• Principe des oscillateurs param´

etriques optiques (OPO)

• Instabilit´

es temporelles : pr´

edictions th´

eoriques et travaux

ant´

erieurs

• Oscillations multimodes transverses

• Preuve exp´

erimentale du caract`ere multimode transverse

• Conditions d’apparition des oscillations

• Oscillations complexes

• Oscillations en rafales

• Chaos

(4)

Mécanisme de base

G´

en´

eration param´

etrique de sous-harmonique : conversion d’un

photon de

pompe

en un photon

signal

et un photon

compl´

ementaire

.

ω

_s

, k

ω

_c

, k

_c s

ω

_p

, k

_p

ω

_s

, k

ω

_c

, k

_c s

ω

_p

, k

_p

• ω

p

= ω

s

+ ω

c

(conservation de l’´

energie)

• ∆k = k

p

− k

s

− k

c

petit (conservation de l’impulsion)

(5)

Mécanisme de base

G´

en´

eration param´

etrique de sous-harmonique : conversion d’un

photon de

pompe

en un photon

signal

et un photon

compl´

ementaire

.

ω

_s

, k

ω

_c

, k

_c

s

ω

_p

, k

_p

• ω

p

= ω

s

+ ω

c

(conservation de l’´

energie)

• ∆k = k

p

− k

s

− k

c

petit (conservation de l’impulsion)

(6)

Mécanisme de base

G´

en´

eration param´

etrique de sous-harmonique : conversion d’un

photon de

pompe

en un photon

signal

et un photon

compl´

ementaire

.

ω

_s

, k

ω

_c

, k

_c

s

ω

_p

, k

_p

• ω

p

= ω

s

+ ω

c

(conservation de l’´

energie)

• ∆k = k

p

− k

s

− k

c

petit (conservation de l’impulsion)

(7)

Oscillateur paramétrique optique

Repose sur un effet non-lin´eaire dans le cristal (

χ

(2)

) :

dA

s

dz

∼ A

p

A

∗ c

,

dA

c

dz

∼ A

p

A

∗ s

,

dA

p

dz

∼ A

s

A

c

.

Gain faible

_{→ le cristal est placé à l’intérieur d’une cavité résonnante :}

ω_s ω_c

ω_p

Les miroirs peuvent être réfléchissants pour 1, 2 ou 3 champs : OPO simplement,

doublement ou triplement r´esonant (TROPO, cas de nos exp´eriences).

→ source de lumière cohérente, largement accordable mais difficile à stabiliser dans

la configuration TROPO notamment à des taux de pompage élevés.

(8)

Oscillateur paramétrique optique

Repose sur un effet non-lin´eaire dans le cristal (

χ

(2)

) :

dA

s

dz

∼ A

p

A

∗ c

,

dA

c

dz

∼ A

p

A

∗ s

,

dA

p

dz

∼ A

s

A

c

.

Gain faible

_{→ le cristal est placé à l’intérieur d’une cavité résonnante :}

ω_s ω_c

ω_p

Les miroirs peuvent être réfléchissants pour 1, 2 ou 3 champs : OPO simplement,

doublement ou triplement r´esonant (TROPO, cas de nos exp´eriences).

→ source de lumière cohérente, largement accordable mais difficile à stabiliser dans

la configuration TROPO notamment à des taux de pompage élevés.

(9)

Intérêts

• spectroscopie

• m´

etrologie

• optique quantique : ´

etats comprim´

es, photons jumeaux

(propri´

et´

es quantiques des photons g´

en´

er´

es)

• syst`eme optique non-lin´

eaire : dynamique temporelle et

spatio-temporelle

(10)

Modèle champ-moyen monomode dégénéré

˙

A

p

= τ

_p−1

− (1 + iσ

p

) A

p

− A

2_s

+ E

˙

A

s

= τ

_s−1

−(1 + iσ

s

)A

s

+ A

p

A

∗_s

• bistabilit´e

• instabilit´e p´eriodique

(bifurcation de Hopf)

• cascade de doublements de p´eriode

vers un

comportement chaotique

McNeil et al., Opt. Commun. 27 29 (1978)

(11)

Dynamique multimode

Co¨ıncidence de modes transverses de la cavité : ne peuvent plus être considérés

comme d´ecoupl´es

ν L ∆ν ∆ν_T

ω

_p

ω

₁

ω

₂

Interaction de deux modes transverses (cas dégénéré

ω

s

= ω

c

= ω

p

/2):

˙

A

p

=

γ[−(1 + σ

p

)A

p

−

A

2₁

− χ

A

2₂

− 2χ

12

A

1

A

2

+ E]

˙

A

1

=

−(1 + σ

1

)

A

1

+ A

p

A

1∗

+ χ

12

A

p

A

2∗

˙

A

2

=

−(1 + σ

2

)

A

2

+ χ

12

A

p

A

1∗

+ χA

p

A

2∗

En fonction des param`etres de contr ˆole (en particulier

σ

1

et

σ

2

)

• émission stationnaire sur les deux modes verrouillés en fréquence

• oscillations p´eriodiques

Schwob et al., Applied Phys. B 66, 685 (1998)

(12)

Dynamique multimode

Co¨ıncidence de modes transverses de la cavité : ne peuvent plus être considérés

comme d´ecoupl´es

ν L ∆ν ∆ν_T

ω

_p

ω

₁

ω

₂

Interaction de deux modes transverses (cas dégénéré

ω

s

= ω

c

= ω

p

/2):

˙

A

p

=

γ[−(1 + σ

p

)A

p

−

A

2₁

− χ

A

2₂

− 2χ

12

A

1

A

2

+ E]

˙

A

1

=

−(1 + σ

1

)

A

1

+ A

p

A

1∗

+ χ

12

A

p

A

2∗

˙

A

2

=

−(1 + σ

2

)

A

2

+ χ

12

A

p

A

1∗

+ χA

p

A

2∗

En fonction des param`etres de contr ˆole (en particulier

σ

1

et

σ

2

)

• émission stationnaire sur les deux modes verrouillés en fréquence

• oscillations p´eriodiques

(13)

Dynamique multimode

Co¨ıncidence de modes transverses de la cavité : ne peuvent plus être considérés

comme d´ecoupl´es

ν L ∆ν ∆ν_T

ω

_p

ω

₁

ω

₂

Interaction de deux modes transverses (cas dégénéré

ω

s

= ω

c

= ω

p

/2):

˙

A

p

=

γ[−(1 + σ

p

)A

p

−

A

2₁

− χ

A

2₂

− 2χ

12

A

1

A

2

+ E]

˙

A

1

=

−(1 + σ

1

)

A

1

+ A

p

A

1∗

+ χ

12

A

p

A

2∗

˙

A

2

=

−(1 + σ

2

)

A

2

+ χ

12

A

p

A

1∗

+ χA

p

A

2∗

En fonction des param`etres de contr ˆole (en particulier

σ

1

et

σ

2

)

• émission stationnaire sur les deux modes verrouillés en fréquence

• oscillations p´eriodiques

(14)

Expériences antérieures

En ´

etudiant la bistabilit´

e et le retard `

a la bifurcation dans un TROPO, Richy et

al. ont observ´

e des oscillations spontan´

ees sur deux ´

echelles de temps :

C. Richy et al., J. Opt. Soc. Am. B 12, 456 (1995).

(15)

Instabilités opto-thermiques : observations

expérimentales

0

|A

S

|

2 (a) 0

|A

P

|

2

t (50

µ

s / div.)

(b)

• taux de r´ep´etition : ∼ 10 kHz : lent en

comparaison de l’inverse du temps de

vie des photons dans la cavit´e (

_{∼ 10}

MHz)

• périodes d’évolutions lentes séparées

par des sauts brusques o `u le syst`eme

´evolue sur des ´echelles de temps

beaucoup plus rapides

P. Suret et al., Phys. Rev. A 61, 021805 (R) (2000)

(16)

Modélisation et mécanisme

Prise en compte de l’absorption des champs

: la longueur de la cavit´e est fonction de la

temp´erature → introduction d’une variable

lente (θ) dans le mod`ele.

Simulations num´eriques

0 1 2 3 |A S | 2

(a)

0 1 2 |A P | 2

(b)

3.2 3.4 3.6 3.8 4 θ t (1000/div.)

(c)

Reproduction des r´esultats exp´erimentaux

par ce modèle phénoménologique.

Oscillations de relaxation autour d’un cycle de

bistabilit´e (van der Pol)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 2.6 2.8 3 3.2 3.4 I1 θ stable unstable limit cycle 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 2.6 2.8 3 3.2 3.4 Ip θ T w/o signal w/ signal limit cycle heating cooling

Le cycle de bistabilit´e peut ˆetre arbitrairement

pe-tit → des variations de la taille de la cavit´e et des

absorptions arbitrairement petites peuvent

engen-drer des modulations de 100% de l’intensit´e.

(17)

Modélisation et mécanisme

Prise en compte de l’absorption des champs

: la longueur de la cavit´e est fonction de la

temp´erature → introduction d’une variable

lente (θ) dans le mod`ele.

Simulations num´eriques

0 1 2 3 |A S | 2

(a)

0 1 2 |A P | 2

(b)

3.2 3.4 3.6 3.8 4 θ t (1000/div.)

(c)

Reproduction des r´esultats exp´erimentaux

par ce modèle phénoménologique.

Oscillations de relaxation autour d’un cycle de

bistabilit´e (van der Pol)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 2.6 2.8 3 3.2 3.4 I1 θ stable unstable limit cycle 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 2.6 2.8 3 3.2 3.4 Ip θ T w/o signal w/ signal limit cycle heating cooling

Le cycle de bistabilit´e peut ˆetre arbitrairement

pe-tit → des variations de la taille de la cavit´e et des

absorptions arbitrairement petites peuvent

engen-drer des modulations de 100% de l’intensit´e.

(18)

Instabilités “rapides”

0 |Ap | 2 (unit.arb.) temps (100µs/div.) 0 |Ap | 2 (unit.arb.) temps (2µs/div.) 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 |As | 2 (unit.arb.) 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 |As | 2 (unit.arb.) (d) (a) (c) (b)

• _{Oscillations rapides des intensit´}_es

de la pompe et du signal `a des

fr´equences de 1MHz `a 10MHz

• _{Formes simples, pas de}

disconti-nuit´es 0 0.2 0.4 0.6 0.8 |Ap | 2 (unit.arb.) temps (100µs/div.) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 |Ap | 2 (unit.arb.) temps (5µs/div.) 0 0.02 0.04 0.06 |As | 2 (unit.arb.) 0 0.02 0.04 0.06 |As | 2 (unit.arb.) (a) (d) (c) (b)

• _{Superposition des instabilit´}_es

opto-thermiques et des oscillations rapides

• _{Forme et fr´}_{equence proches des}

observations de Richy et. al.

(19)

Instabilités “rapides”

0 |Ap | 2 (unit.arb.) temps (100µs/div.) 0 |Ap | 2 (unit.arb.) temps (2µs/div.) 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 |As | 2 (unit.arb.) 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 |As | 2 (unit.arb.) (d) (a) (c) (b)

• _{Oscillations rapides des intensit´}_es

de la pompe et du signal `a des

fr´equences de 1MHz `a 10MHz

• _{Formes simples, pas de}

disconti-nuit´es 0 0.2 0.4 0.6 0.8 |Ap | 2 (unit.arb.) temps (100µs/div.) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 |Ap | 2 (unit.arb.) temps (5µs/div.) 0 0.02 0.04 0.06 |As | 2 (unit.arb.) 0 0.02 0.04 0.06 |As | 2 (unit.arb.) (a) (d) (c) (b)

• _{Superposition des instabilit´}_es

opto-thermiques et des oscillations rapides

• _{Forme et fr´}_{equence proches des}

observations de Richy et. al.

(20)

Hypothèse de mécanisme

Oscillations rapides

6= solution oscillante du mod`ele champ-moyen

monomode :

• les valeurs du taux de pompage et du seuil dans les exp´

eriences

sont incompatibles avec les conditions de la bifurcation

A. Amon et al., en pr´eparation

• limite inf´

erieure de la fr´

equence de la Hopf :

ω

_H

> ω

_L

=

√

1

τp(τp+τs)

∼ 10 MHz

P. Suret et al., Opt. Comm. 200, 369 (2001)

=

_{⇒ Hypoth`ese naturelle : interaction de modes transverses}

(21)

Questions

• Les oscillations “rapides” correspondent-elles r´

eellement `

a un

fonctionnement multimode ?

• Etude exp´

erimentale plus pouss´

ee de ces instabilit´

es

• Peut-on observer des comportements plus complexes pr´

evus par la

th´

eorie et les simulations num´

eriques ?

(22)

Dispositif expérimental

VERDI

OPO

_dichroique

Miroir

Téléscope

Cube

polariseur

séparatrice

Lame

Isolateur

Détection pompe

Détection complémentaire

• laser de pompe : Verdi (Coherent) puissance maximale 5W `

a 532nm

• cristal non-lin´

eaire : KTP 5mm

_×5mm×15mm,

accord de phase de type II

• miroirs sph´

eriques de rayon de courbure 5cm :

• entr´

ee 90% ou 94% `

a 532nm, R

max

a 1064nm

`

• sortie R

max

a 532 nm, 99% `

`

a 1064nm

(23)

Plan de l’exposé

• Introduction

• Principe des oscillateurs param´

etriques optiques (OPO)

• Instabilit´

es temporelles : pr´

edictions th´

eoriques et travaux

ant´

erieurs

• Oscillations multimodes transverses

• Mise en ´

evidence du caract`ere multimode transverse

• Conditions d’apparition des oscillations

• Oscillations complexes

• Oscillations en rafales

• Chaos

(24)

Observations à la caméra

Temps d’acquisition d’une

image `a la cam´

era : 20ms

Temps maximum sur lequel

se maintiennent les

oscilla-tions rapides :

∼ 500 µs

(25)

Observations à la caméra

Temps d’acquisition d’une

image `a la cam´

era : 20ms

Temps maximum sur lequel

se maintiennent les

oscilla-tions rapides :

∼ 500 µs

(26)

Preuve expérimentale du comportement

multimode

un seul mode

_{⇔ E(t, ~r) = A(t)f(~r)}

⇔ E(t, ~r

1

)/E(t, ~r

2

) = f (~r

1

)/f (~r

2

)

Observation de l’intensit´

e du signal en deux points diff´

erents d’une section du

faisceau transverse :

0 5 10 15 20 25 30

Intensité (u. a.)

temps 100 µs/div. 0 5 10 15 20 25 30

Intensité (u. a.)

temps 100 µs/div. 0 5 10 15 20 25

Intensité (u. a.)

temps 50 ns/div.

(a) (b)

(c)

• Les traces ne sont pas

proportionnelles entre

elles

• Les oscillations sont

d´

ephas´

ees

=⇒ pr´

esence de plusieurs

modes de structure transverse

diff´

erente

A. Amon et al. en pr´eparation

(27)

Preuve expérimentale du comportement

multimode

un seul mode

_{⇔ E(t, ~r) = A(t)f(~r) ⇔ E(t, ~r}

₁

)/E(t, ~r

₂

) = f (~r

₁

)/f (~r

₂

)

Observation de l’intensit´

e du signal en deux points diff´

erents d’une section du

faisceau transverse :

0 5 10 15 20 25 30

Intensité (u. a.)

temps 100 µs/div. 0 5 10 15 20 25 30

Intensité (u. a.)

temps 100 µs/div. 0 5 10 15 20 25

Intensité (u. a.)

temps 50 ns/div.

(a) (b)

(c)

• Les traces ne sont pas

proportionnelles entre

elles

• Les oscillations sont

d´

ephas´

ees

=⇒ pr´

esence de plusieurs

modes de structure transverse

diff´

erente

(28)

Preuve expérimentale du comportement

multimode

un seul mode

_{⇔ E(t, ~r) = A(t)f(~r) ⇔ E(t, ~r}

₁

)/E(t, ~r

₂

) = f (~r

₁

)/f (~r

₂

)

Observation de l’intensit´

e du signal en deux points diff´

erents d’une section du

faisceau transverse :

0 5 10 15 20 25 30

Intensité (u. a.)

temps 100 µs/div. 0 5 10 15 20 25 30

Intensité (u. a.)

temps 100 µs/div. 0 5 10 15 20 25

Intensité (u. a.)

temps 50 ns/div.

(a) (b)

(c)

• Les traces ne sont pas

proportionnelles entre

elles

• Les oscillations sont

d´

ephas´

ees

=⇒ pr´

esence de plusieurs

modes de structure transverse

diff´

erente

(29)

Méthode d’observation du profil transverse

Champs gaussiens :

TEM

₀₀

TEM

₀₁

Observation d’une coupe du profil transverse : coupe unidimensionnelle du faisceau par une barrette CCD (temps d’acquisition 30µs) : TEM₀₁

Image transverse

intensité intensité temps temps

Profil à la barrette

TEM₀₀ Barrette CCD – p. 19/46

(30)

Evolution d’une coupe du profil transverse

Coupe du faisceau transverse par une barrette de d´

etecteurs

_{→ ´}

evolution du

profil transverse au cours du temps

Intensité (u. a.)

temps 100

µ

s/div.

intensite du signal

coupe du profil transverse

(31)

Evolution d’une coupe du profil transverse

Temps 30 µs/div.

Dimension transverse Intensité (u. a.)

Intensité (u. a.)

Dimension transverse

(b)

(a)

Combien de modes interviennent ?

−→ m´

ethode de d´

ecomposition modale : d´

ecomposition en valeurs

singuli`

eres (SVD).

(32)

Evolution d’une coupe du profil transverse

Temps 30 µs/div.

Dimension transverse Intensité (u. a.)

Intensité (u. a.)

Dimension transverse

(b)

(a)

Combien de modes interviennent ?

−→ m´

ethode de d´

ecomposition modale : d´

ecomposition en valeurs

singuli`

eres (SVD).

(33)

Résultats de la SVD

Profils correspondant aux trois premi`eres valeurs singuli`eres :

Intensité (u. a.)

dimension transverse – p. 22/46

(34)

Résultats de la SVD

Intensité (u. a.)

(35)

Résultats de la SVD

Intensité (u. a.)

(36)

Conclusion

• Les oscillations rapides correspondent `a des situations

multimodes

• En g´

en´

eral les modes impliqu´

es sont peu nombreux

• Les modes impliqu´

es sont d’ordre peu ´

elev´

e

Mais

Si les oscillations multimodes correspondent `a des co¨

ıncidences de

modes, le ph´

enom`ene devrait ˆ

etre rare.

(37)

Les oscillations multimodes surviennent

fréquemment

0 5 10 15 20 45.5 46 46.5 47 47.5 48 Fréquence en MHz Taille de la cavité en mm 275MHz 190MHz (a) (b) _(c) (d) 333MHz

Intensité du signal (u. a.)

Temps 50µs/div.

(c) (d) (a) (b)

• _{exploration de la cavit´}_{e par pas de 200µm entre 45.3 et 47.3mm}

• _{pour chaque taille de cavit´}_{e, exploration d’un intervalle spectral libre pour trouver des oscillations}

rapides, dans ce cas enregistrement du faisceau transverse

Des résultats similaires ont été obtenus pour plusieurs tailles de cavité choisies au hasard.

=⇒

Les oscillations rapides peuvent ˆetre observ´

ees dans de nombreuses

configurations.

(38)

Les oscillations multimodes surviennent

fréquemment

0 5 10 15 20 45.5 46 46.5 47 47.5 48 Fréquence en MHz Taille de la cavité en mm 275MHz 190MHz (a) (b) _(c) (d) 333MHz

Temps 50µs/div.

(c) (d) (a) (b)

• _{exploration de la cavit´}_{e par pas de 200µm entre 45.3 et 47.3mm}

• _{pour chaque taille de cavit´}_{e, exploration d’un intervalle spectral libre pour trouver des oscillations}

rapides, dans ce cas enregistrement du faisceau transverse

Des résultats similaires ont été obtenus pour plusieurs tailles de cavité choisies au hasard.

=⇒

Les oscillations rapides peuvent ˆetre observ´

ees dans de nombreuses

(39)

Rappel du modèle multimode

Modèle multimode transverse dégénéré (

ω

s

= ω

c

= ω

p

/2) :

˙

A

p

= γ[−(1 + iσ

p

)A

p

− A

2₁

− χA

2₂

− 2χ

12

A

1

A

2

+ E]

˙

A

₁

_{= −(1 + iσ}

₁

)A

₁

+ A

p

A

∗₁

+ χ

12

A

p

A

∗₂

˙

A

₂

_{= −(1 + iσ}

₂

)A

₂

+ χ

₁₂

A

p

A

∗₁

+ χA

p

A

∗₂ σ₁ σ₂ ωp_/2 ω

p

ω

1 1 2 2 1 2 couplage : 1 χ χ₁₂ – p. 25/46

(40)

Etude perturbative (1)

Conditions de l’approximation :

|σ

1

|, |σ

2

| |σ

p

|

|σ

1

|, |σ

2

| |σ

1

+ σ

2

|

D´

efinitions :

∆σ

s

= |σ

2

− σ

1

|

σ

s

=

σ

₁

+ σ

₂

2

ω 1 σ2 s ωp /2 ∆σ σ_s σ mode 1 mode 2

A. Amon, M. Nizette, M. Lefranc et T. Erneux, Phys. Rev. A 68, 023801 (2003)

(41)

Etude perturbative (2)

D´efinition de η 1 :

σ1, σ2 = O(η−1)

σp, σs = O(1)

D´efinitions des ´echelles de temps :

• t variable lente

• s ≡ η−1t variable rapide

D´eveloppement perturbatif multi-´echelle:

Aj = Aj0(s, t) + ηAj1(s, t) + · · ·

Ap = Ap0(s, t) + ηAp1(s, t) + · · ·

Hypoth`ese des temps ind´ependants :

˙ Aj = η−1 ∂Aj ∂s + ∂Aj ∂t – p. 27/46

(42)

Etude perturbative (3)

Aj = variation lente z }| { aj(t) exp(iσst) oscillation rapide z }| { exp(−iσjt) +O(η) Ap = ap(t) + O(η)

Asymptotiquement : a1 = a2 = as, où as est solution du système monomode dégénéré indépendant de

∆σs :

˙as = −(1 + iσs)as + χ12apa∗_s

˙ap = γ[−(1 + iσp)ap − χ12a21 + E]

Aux temps longs :

A1(t) = as(t) exp „ i(σ2 − σ1) 2 t « + O(η) A2(t) = as(t) exp „ i(σ1 − σ2) 2 t « + O(η) Ap(t) = ap(t) + O(η) – p. 28/46

(43)

Etude perturbative (résultats)

• La solution moyenne est d´

etermin´

ee par un syst`

eme monomode de

d´

esaccord

σ

s

, et qui est ind´

ependant de

∆σ

s

.

• Seuil d’apparition du r´

egime multimode :

E

s

=

q

(1 + σ

_p2

)(1 + σ

_s2

)

χ

₁₂

.

• Les photons des deux modes sont corr´

el´

es.

ω 1 σ2 s ωp /2 ∆σ σ_s σ mode 1 mode 2 – p. 29/46

(44)

Etude perturbative (résultats)

• La solution moyenne est d´

etermin´

ee par un syst`

eme monomode de

d´

esaccord

σ

s

, et qui est ind´

ependant de

∆σ

s

.

• Seuil d’apparition du r´

egime multimode :

E

s

=

q

(1 + σ

_p2

)(1 + σ

_s2

)

χ

₁₂

.

• Les photons des deux modes sont corr´

el´

es.

ω 1 σ2 s ωp /2 ∆σ σ_s σ mode 1 mode 2 ω 1 σ2 s ωp /2 ∆σ σ_s σ mode 1 mode 2 – p. 29/46

(45)

Etude perturbative (résultats)

• La solution moyenne est d´

etermin´

ee par un syst`

eme monomode de

d´

esaccord

σ

s

, et qui est ind´

ependant de

∆σ

s

.

• Seuil d’apparition du r´

egime multimode :

E

s

=

q

(1 + σ

_p2

)(1 + σ

_s2

)

χ

₁₂

.

• Les photons des deux modes sont corr´

el´

es.

ω 1 σ2 s ωp /2 ∆σ σ_s σ mode 1 mode 2 – p. 29/46

(46)

Etude perturbative (résultats)

Expression de la somme des intensit´

es :

I

s

= |A

1

|

2

+ |A

2

|

2

= F

0

(t) + η[F

1

(t) exp(i(σ

2

− σ

1

)t)

|

{z

}

oscillation rapide

+c.c.]

Fr´

equence d’oscillation de l’intensit´

e : fr´

equence de battement entre les deux

modes transverses :

∆σ

s

2π

=

|σ

2

− σ

1

|

2π

.

– p. 30/46

(47)

Questions

• la facilit´e de l’observation des oscillations rapides est incompatible avec

l’´etude des co¨ıncidences de modes transverses

• on observe exp´erimentalement des modes TEM

00

et TEM

01

alors que la

configuration est proche confocal

Hypoth`ese :

il faut tenir compte du caractère non-dégénéré de l’OPO

∆ν

_Ts

∆ν

_Tc

ω

signal complementaire

ω

_s1

c2

ω

_s2

ω

_c1

ω

_p

– p. 31/46

(48)

Questions

• la facilit´e de l’observation des oscillations rapides est incompatible avec

l’´etude des co¨ıncidences de modes transverses

• on observe exp´erimentalement des modes TEM

00

et TEM

01

alors que la

configuration est proche confocal

Hypoth`ese :

il faut tenir compte du caractère non-dégénéré de l’OPO

∆ν

_Ts

∆ν

_Tc

ω

_s1

c2

ω

_s2

ω

_c1

ω

_p

– p. 31/46

(49)

Questions

• la facilit´e de l’observation des oscillations rapides est incompatible avec

l’´etude des co¨ıncidences de modes transverses

• on observe exp´erimentalement des modes TEM

00

et TEM

01

alors que la

configuration est proche confocal

Hypoth`ese :

il faut tenir compte du caractère non-dégénéré de l’OPO

ω

∆ν

_Ts

∆ν

_Tc

ω

_s1

c2

ω

_s2

ω

_c1

ω

_p

– p. 31/46

(50)

Questions

• la facilit´e de l’observation des oscillations rapides est incompatible avec

l’´etude des co¨ıncidences de modes transverses

• on observe exp´erimentalement des modes TEM

00

et TEM

01

alors que la

configuration est proche confocal

Hypoth`ese :

il faut tenir compte du caractère non-dégénéré de l’OPO

∆ν

_Ts

ω

∆ν

_Ts

∆ν

_Tc

ω

_s1

c2

ω

_s2

ω

_c1

ω

_p

– p. 31/46

(51)

Questions

• la facilit´e de l’observation des oscillations rapides est incompatible avec

l’´etude des co¨ıncidences de modes transverses

• on observe exp´erimentalement des modes TEM

00

et TEM

01

alors que la

configuration est proche confocal

Hypoth`ese :

il faut tenir compte du caractère non-dégénéré de l’OPO

∆ν

_Ts

∆ν

_Tc

ω

_s1

c2

ω

_s2

ω

_c1

ω

_p

– p. 31/46

(52)

Questions

• la facilit´e de l’observation des oscillations rapides est incompatible avec

l’´etude des co¨ıncidences de modes transverses

• on observe exp´erimentalement des modes TEM

00

et TEM

01

alors que la

configuration est proche confocal

Hypoth`ese :

il faut tenir compte du caractère non-dégénéré de l’OPO

∆ν

_Ts

∆ν

_Tc

ω

_s1

c2

ω

_s2

ω

_c1

ω

_p

– p. 31/46

(53)

Conclusion

• Les oscillations multimodes transverses surviennent pour de

nombreuses configurations de la cavit´

e.

• L’´

etude perturbative du mod`ele montre que des modes

transverses mˆ

eme distants peuvent interagir. Le seuil de ces

r´

egimes peut ˆ

etre bas.

(54)

Plan de l’exposé

• Introduction

• Principe des oscillateurs param´

etriques optiques (OPO)

• Instabilit´

es temporelles : pr´

edictions th´

eoriques et travaux

ant´

erieurs

• Oscillations multimodes transverses

• Mise en ´

evidence du caract`ere multimode transverse

• Conditions d’apparition des oscillations

• Oscillations complexes

• Oscillations en rafales

• Chaos

(55)

Oscillations multimodes superposées à des

oscillations thermiques

Fr´equences rapides :

3MHz

1MHz

130 MHz

0 10 20 30 40 50 60 70 0 50 100 150 200 250 300 350 400

Signal intensity (arb. units)

Time (µs) 14 16 18 20 22 24 26 28 150 151 152 153 154 155

Time (µs) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 50 100 150 200 250 300 350 400

Time (µs) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 170 171 172 173 174 175

Time (µs) 0 20 40 60 80 100 120 140 50 100 150 200 250 300 350 400

Time (µs) 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 200200.01 200.02 200.03 200.04 200.05 200.06 200.07 200.08 200.09 200.1

Time (µs)

(a)

(b)

(c)

A. Amon, M. Nizette, M. Lefranc et T. Erneux, Phys. Rev. A 68, 023801 (2003)

(56)

Variable rapide

Modèle multimode transverse dégénéré (

ω

s

= ω

c

= ω

p

/2) :

˙

A

p

= γ[−(1 + iσ

p

(θ))A

p

− A

2₁

− χA

2₂

− 2χ

12

A

1

A

2

+ E]

˙

A

1

= −(1 + iσ

1

(θ))A

1

+ A

p

A

∗₁

+ χ

12

A

p

A

∗₂

˙

A

2

= −(1 + iσ

2

(θ))A

2

+ χ

12

A

p

A

∗₁

+ χA

p

A

∗₂

Portrait de phase :

(57)

Système lent/rapide

(58)

Simulations numériques

Mod`ele multimode + mod´elisation

des effets thermiques

_→

reproduction

num´erique du bursting.

A comparer aux mesures

exp´erimentales :

0 20 40 60 80 100 120 140 50 100 150 200 250 300 350 400

Time (µs) 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 200200.01 200.02 200.03 200.04 200.05 200.06 200.07 200.08 200.09 200.1

Time (µs)

(59)

Comportements plus complexes

temps 200 µs/div.

temps 2 µs/div.

temps 1 µs/div.

temps 50 µs/div.

temps 5 µs/div.

temps 2 µs/div.

temps 200 µs/div.

temps 2 µs/div.

temps 1 µs/div.

temps 50 µs/div.

temps 5 µs/div.

temps 2 µs/div.

(60)

Comportements plus complexes

temps 200 µs/div.

temps 2 µs/div.

temps 1 µs/div.

temps 50 µs/div.

temps 5 µs/div.

temps 2 µs/div.

(61)

Chaos dans un OPO

0 10 20 30 40 700 750 800 850 900

Time (µs)

• _Bouff´_{ee de comportement irr´}_{egulier au}

milieu d’oscillations p´eriodiques de

fr´equence 3 MHz (∼ 80 µs)

• _{Bifurcations de doublement de p´}_eriode

directe et inverse

• _{petits segments de comportement quasiment}

périodique suggérant du chaos déterministe

Premi`ere observation exp´erimentale d’un

comporte-ment p´eriodique dans un OPO continu ?

24 28 32 36

830 835 840 845

Time (µs) 24 28 32 36 805 810 815 820 825

Time (µs) 24 28 32 36 850 855 860 865 870

Time (µs) 24 28 32 36 780 785 790 795 800

Time (µs)

9

1

2

3 PD

RPD

– p. 39/46

(62)

Chaos dans un OPO

0 10 20 30 40 700 750 800 850 900

Time (µs)

directe et inverse

24 28 32 36

830 835 840 845

Time (µs) 24 28 32 36 805 810 815 820 825

Time (µs) 24 28 32 36 850 855 860 865 870

Time (µs) 24 28 32 36 780 785 790 795 800

Time (µs)

9

1

2

3 PD

RPD

– p. 39/46

(63)

Chaos dans un OPO

0 10 20 30 40 700 750 800 850 900

Time (µs)

directe et inverse

24 28 32 36

830 835 840 845

Time (µs) 24 28 32 36 805 810 815 820 825

Time (µs) 24 28 32 36 850 855 860 865 870

Time (µs) 24 28 32 36 780 785 790 795 800

Time (µs)

9

1

2

3 PD

RPD

– p. 39/46

(64)

Portrait de phase

Plongement de la s´erie temporelle dans un espace des phases par la m´ethode des

d´elais :

Même si le système n’est pas stationnaire, le graphe résultant ressemble beaucoup à

un attracteur ´etrange

Poursuite de l’analyse : choix d’une section de Poincar´e et ´etude du temps de vol

entre deux intersections avec le plan de section.

(65)

Analyse de la série temporelle

Variation des temps de vol Tn le long de la s´erie temporelle

Diagramme de bifurcation chaotique typique (les param`etres sont balay´es)

Application de premier retour pour les temps de vol : Tn+1 = f (Tn) :

Pour la série temporelle entière Pour la première zone chaotique

Analyse quantitative impossible : brouill´ee ou trop peu de points

(66)

Analyse de la série temporelle

Pour la s´erie temporelle enti`ere

Pour la premi`ere zone chaotique

(67)

Analyse de la série temporelle

Pour la série temporelle entière Pour la première zone chaotique

(68)

Analyse topologique

24 28 32 36 805 810 815 820 825

Time (µs)

9 • Détection d’une orbite fermée de période 9 dans “l’attracteur étrange”

• Le type de noeud de cette orbite ne peut apparaˆıtre que dans un syst`eme

dynamique pr´esentant du chaos d´eterministe

• L’entropie topologique h

T

∼ 0.377 associ´ee `a ce type de noeud donne une

mesure quantitative du chaos

(69)

Conclusion

• La dynamique des oscillations en rafales peut ˆ

etre bien comprise

en s´

eparant une variable lente et une variable rapide

• Premi`ere observation exp´

erimentale de chaos d´

eterministe dans

un OPO

• Premi`ere mise en ´

evidence de chaos dans un syst`eme

non-stationnaire

Le chaos d´

eterministe observ´

e n’est pas celui pr´

evu par Lugiato et. al..

(70)

Conclusion générale