Modélisation, contrôle haptique et nouvelles réalisations de claviers musicaux

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de claviers musicaux

José Lozada

To cite this version:

José Lozada. Modélisation, contrôle haptique et nouvelles réalisations de claviers musicaux.

Automa-tique / RoboAutoma-tique. Ecole Polytechnique X, 2007. Français. �tel-00280538�

(2)

Spé ialité : Mé anique

présentéepar

José Lozada

Sujet:

Modélisation, ontrle haptique et

nouvelles réalisations de laviers musi aux

préparée

auLaboratoire de Mé anique des Solides (CNRSUMR7649)

etau Laboratoire des Interfa es Sensorielles (CEA LIST)

Soutenue le16 O tobre2007 devant lejury omposéde :

Vin entHayward Professeur,UniversitéM Gill Rapporteur Ni olas Chaillet Professeur,Universitéde Fran he-Comté Rapporteur ThomasSidler Responsable du groupeLaser etmi ro-usinage, EPFL Examinateur

Philippe Guillaume Professeur,INSA Toulouse Examinateur

ClaudeAndriot Expertsenior, CEA LIST Examinateur

Moustapha Hafez Expertsenior, CEA LIST En adrant CEA

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A mis padres y hermanas,

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Ce travail est le fruit d'une ollaboration entre le Laboratoire de Mé anique des Solides de l'É ole Polyte hnique etleLaboratoiredesInterfa esSensorielles duCEA-LIST. Je tiens à

expri-mer i i ma gratitude à toutes les personnes qui ont ontribué dire tement ou indire tement à sa réalisation.

Tout d'abord, je remer ie mon dire teur de thèse Xavier Boutillon pour sa onan e et sa

patien e, pour tout letemps qu'il m'aa ordé au ours de estroisdernières années etpour tout les onseils s ientiques ethumainsqu'ilm'a donné.

Je remer ie Moustapha Hafez, monen adrant au CEA, pour ses onseils, son aideet pour le temps qu'il m'a a ordé malgré son emploi de temps si hargé. J'espère que la n de e travail marqueledébutd'une longue ollaboration etamitié.

Jetiensàremer iertoutparti ulièrement,ErikGuimbretierepoursonappuidanslaréalisation matérielledepratiquementtouteslesexpérien esetprototypesde etravail,pourses onseilsavisés en te hnologie, sonsoutienetsurtout poursabonne humeur inébranlable.

Je voudrais également remer ierMurilo Moreira SantosetNi olas Mura,mesdeuxstagiaires, pourleur ontribution à e travail.

Je remer ie mes ollègues et amisMi hel Eid, Ni olas Rupinet Samuel Roselier ave qui j'ai partagédebonsmomentsdedétente indispensables.Mer iaussiàtoutel'équipedete hni iensdu Laboratoire de Mé anique des Solides pour leurs onseils et surtout pour leur bonne humeur qui rendlajournéeplus légère.

J'exprimemagratitudeàtouslesmembresduLaboratoiredeMé aniquedesSolidesetdu La-boratoiredesInterfa esSensoriellespourm'avoirfourniunenvironnement detravailtrèsagréable.

Mer iàNoémie pour avoirsu supportermes hangementsd'humeur au oursde esdernières années, pourses en ouragements permanents etsonoptimisme.Mer i aussiàtous mesamis.

Pour nir, je tiens exprimer mes plus vifsremer iements à mes parents età mes soeurs pour

leur soutien in onditionnel (même à distan e) pendant toutes es longues années sans lequel je n'aurais jamaisréussià monter la te.

(7)

(8)

Le piano est re onnu omme un instrument permettant une grande expressivité musi ale. Cette ara téristique estdue en grandepartie à lanesse dansle ontrle de l'instrument queles

pianistes peuvent atteindre. Le mé anisme traditionnel présente une parti ularité : les éléments responsables du rayonnement sonore sont dé ouplés du pianiste au moment de la génération de la note. Don , le pianiste ne peut pas agir sur le son au moment ou il l'entend, le ontrle de la nuan e dejeu estdon fortement onditionné par leretourta tile - quenousappèlerons tou her -fourni par l'instrument. Le tou her estdon un indi ateur de laqualité du lavier. La mé anique

d'a tionnement ommunique au marteau le mouvement imposé à la tou he par le pianiste. Ce systèmedynamique omplexe forméd'un ensemble de piè esen bois et feutre delaine, liées entre ellespar despivotsetdes onta ts unilatérauxest responsable dutou her. Lespianos numériques a tuels sont équipés de mé aniques d'a tionnement simpliées qui produisent un tou her pauvre par rapportà elui d'unpianoà queuetraditionnel (notamment dansla nuan epiano).

L'obje tif de e travail est de on evoir un lavier numérique ontrlé apable de reproduire de manière satisfaisante le tou her d'un piano à queue. Pour ela, nous devons dans un premier

temps étudier le fon tionnement de la mé anique traditionnelle puis on evoir et ontrler une interfa e haptique à base de uide magnéto-rhéologique apable d'un rendu sensoriel de mêmes ara téristiquesque elui d'unpianotraditionnel.

Le modèle dynamique de la mé anique traditionnelle a été réalisé en tenant ompte de tous les degrés de libertédu système etdes omportements desliaisons pivots et des onta ts unilaté-raux. Un ensemble de pro édures expérimentales ont permis de valider les lois de omportement utilisées dans le modèle et d'obtenir lavaleur de tous les paramètres de la modélisation. Finale-ment, nous avons simulé numériquement le omportement du système dans le as quasi-statique

etdynamiqueàl'aidedeMatlab/Simulink.Parailleurs,nousavons onçu,modéliséetidentiéun nouveau mode opératoire pour uides magnéto-rhéologiques qui fût utilisé pour la on eption de l'interfa ehaptiquepour laviersmusi aux. L'interfa ehaptiqueaétémodéliséepour obtenirlaloi de ommande. Cettemodélisationa étévalidée par la omparaison delasimulationnumérique du modèleave lesmesuressurlesystèmeréel.Finalementnousavonsmis enpla eune pro édurede

ontrle entemps réel del'interfa e qui utilise unmodèlevirtuel (modèledynamiquede latou he traditionnelle, par exemple)etlemodèle del'interfa e.

(9)

(10)

Thetraditionala ousti pianoa tionme hanismis omposedofmanydierentpartsofwood, woolfelt,leather,metal,andsteel-springs.Thesepartsformamulti-degree-offreedomsystemthat transmits energy from the player to the hammer. In return, the a tion me hanism generates a

spe i ta tilerenderingthatisfeltbythepianistduringplaying.The hapti feedba kisessential for apre ise ontrol oftiming andloudness.

The a tion me hanisms used in numeri al pianos are mu h simpler and therefore provide a poorhapti feedba k.Inthe lastfewyears,manydevelopmentshave been arriedoutbykeyboard manufa turersinorderto improvethefeelingoftou hoftheirprodu ts.Mostofthesesystemsare nota tively ontrolledandarebasedonsimpliedmodelsofthedynami albehaviouroftraditional

pianos.A ordingtousers,improvementsarestillrequiredintermsofsize,performan eandrealism of thedevi e.

A tivesystems apable ofreprodu ingthedynami s oftraditionalpiano have beendeveloped as laboratory prototypes and ommer ial produ ts. They are based on simplied models or pre-re ordeddynami sthatdonotsatisfa torilymat hthedynami albehaviourofthetraditionalpiano

key. Moreover, the size of these systems often based on ele tromagneti a tuators is not suitable for an industrial keyboard implementation. The resistant for e provided bythe traditional piano a tion me hanism varies from 0.5 N (the minimum for e that initiates key motion), to 15 N (at fortissimo nuan e). Extensive measurementsof thekinemati s of agrand pianoa tion me hanism indi ate that the duration of the key motionvaries from 20 to 250 ms depending on the nuan e

whereas thekeyvelo ityvariesfrom0.1m.s

−1

to 0.6m.s

−1

.

The main obje tive of this resear h work is to develop a novel digital keyboard apable of reprodu ing the behaviourof agrand pianoa tion me hanism. It is omposed of two mainparts. First,thedynami softraditionalpianoisstudied,thenthedesignandthe ontrolofanovelhapti interfa e basedon magneto-rheologi al uids arepresented.

Thedynami modelofthetraditionalpianoa tionme hanismpresentedinthisthesistakesinto a ountthesixdegreesoffreedomofthesystemunderthehypothesisofrigidbodies.Itis ompleted

by the onta ts and rotational links elementary models. Aset of experimental pro edures isused to identify theparameters ofthemodel. Finally,anumeri al simulationusingMatlab/Simulinkis presented.

(11)

Themodelling andtheidenti ation of anoriginal operation mode for MRuidsis presented and usedfor the design of the hapti interfa e for musi al keyboards. An analyti al model of the interfa e keyis built and used to develop the ontrol law. The me hatroni model is numeri ally

simulated and ompared to the real behaviour of the interfa e. Finally a real time ontrol loop oupledto a virtualmodel isusedto ommand theinterfa e (forinstan ethedynami almodelof thetraditional piano).

(12)

Introdu tion générale 1

1 Présentation de la mé anique traditionnelle du piano à queue 5

1 Le pianoà queue . . . 6

1.1 S hémagénéral de fon tionnement . . . 6

1.2 Brefhistorique de lamé anique dupiano . . . 7

2 Fon tionnement etobservations inématiquesde lamé anique traditionnelle . . . . 9

2.1 Des ription despiè esetdesintera tions . . . 9

2.2 Des ription dumouvement . . . 11

3 Modélisations pré édentes . . . 13

2 Modélisation dynamique de la mé anique traditionnelle 15 1 Dénition desvariables . . . 16

1.1 Stru tureethypothèses . . . 16

1.2 Dénition desparamètres géométriques . . . 18

1.3 Dénition desangles et hangements derepère . . . 24

2 Liaisons . . . 26

2.1 Pivotsetressortsde rappel . . . 26

2.2 Feutres . . . 26

3 Équations deladynamique . . . 27

3.1 Théorème dumoment surlatou he. . . 27

3.2 Théorème dumoment surle hevalet . . . 29

(13)

3.4 Théorèmessurle bâton . . . 30

3.5 Théorèmessurle levierde répétition . . . 32

3.6 Théorème dumoment surle marteau . . . 34

4 Équations de ouplage (liaisons entre piè es). . . 34

4.1 Couplagetou he- hevalet . . . 35

4.2 Couplagetou he-étouoir . . . 35

4.3 Couplagebâton-butée derepos . . . 36

4.4 Couplagebâton-butée d'é happement . . . 37

4.5 Couplagebâton-marteau . . . 38

4.6 Couplagelevier-butée de repos . . . 40

4.7 Couplagelevier-vis de hute . . . 41

4.8 Couplagelevier-marteau . . . 42

5 Ré apitulatif . . . 43

3 Identi ation et ara térisation expérimentale des éléments de la mé anique traditionnelle du piano 45 1 Identi ation desliaisons pivot . . . 46

1.1 Liaisontou he-bâti . . . 46

1.2 Séparationdu mouvement de orpsrigideet desmodesde vibration . . . . 48

1.3 Liaisonmarteau-bâti . . . 56

2 Identi ation desliaisons unilatérales . . . 62

2.1 Modèlede ompressiondufeutre (C.Brenon) . . . 62

2.2 Modèlede onta t du uir de rouleau. . . 64

3 Autresparamètres . . . 68

3.1 Centres de masseetinerties . . . 68

(14)

4 Résolution et simulation du modèle de la tou he traditionnelle 73

1 Équations enrégime statiqueetsimpli ations . . . 74

2 Méthode derésolution . . . 76

3 Implémentation numérique sousSimulink . . . 81

4 Résultats desimulation etdis ussion . . . 83

5 Synthèse etperspe tives . . . 85

5 Contrle de for epar uide magnéto-rhéologique (MR) 87 1 Possibilités d'a tionnement . . . 88

1.1 A tionnement lassique . . . 88

1.2 A tionneursà basede matériauxa tifs . . . 89

2 Cara téristiques desuides magnéto-rhéologiques(MR) . . . 92

2.1 Prin ipales ara téristiques d'unuideMR . . . 92

2.2 Deux modesd'utilisation lassiques . . . 94

2.3 Appli ations. . . 95

3 Cisaillement duuideMR par plaque min e . . . 96

3.1 Proto ole expérimental. . . 97

3.2 Cisaillement par plaque magnétique . . . 99

3.3 Le isaillement par plaque amagnétique . . . 102

3.4 Propositionde stru turesremplaçant laplaque min e. . . 105

6 Une interfa e haptique pour laviers musi aux 111 1 Étatde l'artdesinterfa es pour laviers musi aux. . . 112

1.1 Prototypesde re her he . . . 112

1.2 Systèmesindustriels . . . 115

2 Stru tureetdimensionnement de l'interfa e . . . 116

2.1 Prin ipe de fon tionnement de l'interfa e . . . 117

2.2 Des ription delamé anique mobile . . . 117

(15)

3 Modèle del'interfa e . . . 122

3.1 Dénition desparamètres . . . 122

3.2 Liaisons et omportements. . . 126

3.3 Équations deladynamique . . . 128

3.4 Fermeture géométrique. . . 130

3.5 Équations éle tromagnétiques . . . 131

4 Simulation del'interfa e . . . 135

4.1 Méthode derésolution du modèle dire t . . . 135

4.2 Comparaison mesures/simulation . . . 138

4.3 Étude de sensibilité. . . 140

7 Contrle en temps réel de l'interfa e haptique 145 1 Contrle en temps réel desinterfa eshaptiques . . . 146

1.1 Généralités . . . 146

1.2 Utilisationde LabView Real Time . . . 147

2 S héma de ontrle . . . 148

2.1 Prin ipe de ontrle . . . 148

2.2 Traitement de l'a quisition etrégulationde l'intensité . . . 151

2.3 Résolution numérique du modèleinverse de l'interfa e haptique . . . 152

2.4 Gestion duretour de latou he enposition derepos . . . 156

2.5 Étude desperforman es . . . 158

3 Le prototype 5 tou hes . . . 161

3.1 Des ription dusystème . . . 161

3.2 Intera tion éle tromagnétique . . . 162

3.3 Gestion d'unsystèmemulti-tou hes. . . 163

4 Ré apitulatif . . . 168

(16)

Annexes 179

A Réglages de la mé anique traditionnelle 179

B S hémas éle troniques 181

1 Prototype monotou he . . . 181

1.1 S hémad'ampli ation. . . 181

1.2 Filtre passe-haut . . . 182

1.3 Filtre passe-bas . . . 182

1.4 S hémade ommutation entre les deuxa éléromètres . . . 183

1.5 Carted'instrumentation . . . 184

2 Prototype 5 tou hes . . . 184

2.1 Carted'instrumentation . . . 184

(17)

(18)

1.1 Vueé latée d'unpianoà queue(d'après [7℄) . . . 7

1.2 S héma fon tionnel partieldu piano . . . 7

1.3 Fon tionnement du lavi orde . . . 8

1.4 Piano-forte deCristofori (d'après [31℄) . . . 8

1.5 Mé aniqueà doubleé happement inventéepar Érard (d'après[31℄). . . 9

1.6 Mé aniquedu pianomoderne . . . 10

1.7 Attaque delanote :Positions limites delapremière phase demouvement . . . 12

1.8 Attaque delanote :Positions limites deladeuxième phase demouvement . . . 12

1.9 Positions limites de larépétition . . . 13

1.10 Modèle dela mé aniquetraditionnelle de pianoave deux orps rigides(d'après [24℄) 14 2.1 Mé aniquetraditionnelle dupianoà queue . . . 17

2.2 S héma desrelations entreles piè es onstitutivesde lamé anique de piano . . . . 17

2.3 Dénition despoints . . . 18

2.4 Dénition desangles etrepères . . . 25

2.5 A entuation des points de la tou he utiles à la formulation des équations de la dynamique. . . 28

2.6 A entuation des points du hevalet utiles à la formulation des équations de la dynamique. . . 29

2.7 A entuation des points du bâton d'é happement utiles à la formulation des équa-tions deladynamique . . . 31

2.8 A entuation despointsdulevier derépétitionutilesàlaformulation deséquations de ladynamique . . . 32

(19)

2.9 A entuation des points du marteau utiles à la formulation des équations de la

dynamique. . . 34

2.10 Couplagetou he - hevalet:lo alisation(gau he)etdétail (droite). . . 35

2.11 Lo alisation du ouplagetou he - étouoir . . . 36

2.12 Conta tentrelebâtonetlabutéed'é happement. Fermeturegéométrique (gau he) etvuede détail(droite). . . 37

2.13 Conta t entre le bâton et le rouleau de marteau. Fermeture géométrique (gau he) etvuede détail(droite). . . 39

2.14 Conta t entre le levier de répétition et la vis de hute. Fermeture géométrique (gau he)etvuede détail(droite). . . 41

2.15 Conta tentrelelevierderépétitionetlerouleaudemarteau.Fermeturegéométrique (gau he)etvuede détail(droite). . . 42

3.1 Liaisonpivot tou he-bâti . . . 46

3.2 Vueen oupe delaliaison pivot tou he-bâti. . . 46

3.3 Proto ole expérimental pourl'identi ation dupivot tou he-bâti . . . 47

3.4 Eort appliqué en fon tion du temps (diagramme de gau he) et réponse en a élé-ration dela tou heen fon tion du temps(diagramme de droite). . . 48

3.5 Courbe de frottement danslepivot tou he-bâti. Mesureexpérimentale et modélisa-tion hoisie. . . 48

3.6 Spe tre d'amplitudedel'a élération delatou he obtenupar FFTsurunsignalde 0.5s dedurée . . . 49

3.7 Pro édureglobalede séparation de l'a élérationvibratoire de elle de orps rigide 49 3.8 Estimationde laréponseimpulsionnelle (méthode traditionnelle) . . . 50

3.9 Impulsionréelle

f

mes

(haut)etltre

g

(bas)pourlatransformerenimpulsionidéale ave

p = 50

. . . 51

3.10 Pro édure d'estimation desplesetamplitudes omplexesd'unsignal

s(t)

par l'al-gorithmeESPRIT . . . 55

3.11 Synthèse soustra tivede l'a élération de orps rigide . . . 56

3.12 S héma de prin ipe de la ara térisationdu pivot marteau-olive (gau he) et dépla- ement angulaire dumarteau (droite). . . 56

(20)

3.14 Proto ole expérimentalpour l'identi ation du pivot marteau - bâti. À gau he une vued'ensembleetàdroiteladénitiondesparamètres né essairesàl'étalonnagedu LASER . . . 58

3.15 Algorithmede al ulde lafon tion signe . . . 59

3.16 Mesurede lapositionangulaire dumarteau et al ul numérique optimal . . . 60

3.17 Évolution de l'erreur en fon tion de la variation de 20% de haque paramètre pris indépendamment . . . 61

3.18 Proto ole expérimental pour la mesure du omportement du feutre de talon de hevalet. Vue d'ensemble(gau he)et détaildu onta t (droite) . . . 62

3.19 For e d'intera tion pilote- hevalet en fon tion de l'enfon ement du feutre de talon de hevalet (d'après[9℄) . . . 63

3.20 Comparaison expérimental-simulation pour la for e de ompression du feutre du talonde hevalet (d'après[9℄) . . . 63

3.21 Photographiede l'instrumentation pourl'identi ation du onta t bâton-rouleau . 65

3.22 Points géométriquesné essaires àlamodélisationdelamé anique traditionnelledu pianoà queue(rappel) . . . 65

3.23 Montage du apteur d'eortATIMini40 . . . 66

3.24 Mesure de la for e de onta t bâton-marteau. For e normale (à gau he) et for e tangentielle (à droite) . . . 67

3.25 Comparaisonmesures-simulationpour lafor ede onta tbâton-rouleau. For e nor-male (à gau he) etfor etangentielle (à droite) . . . 68

3.26 Proto ole pour lamesure du entrede massed'un orps . . . 68

3.27 Photographiedu hevalet . . . 69

3.28 Proto ole expérimental pourla mesuredela raideur desressortsdu hevalet . . . . 70

3.29 Cara téristique ouple-angle duressort derappel hevalet-levier derépétition . . . 70

4.1 S héma d'implémentation dumodèle simpliésous Simulink . . . 83

4.2 Comparaisonsimulation/mesure ave un pasde al ultemporel de 0.1ms. . . 84

4.3 Comparaisonsimulation/mesure ave un pasde al ultemporel de 1ms. . . 85

4.4 Réponse de la simulation à une a élération onstante nulle ave un pasde al ul temporel de 1ms. . . 85

(21)

5.2 Rhéogramme théoriqued'unuide MR . . . 93

5.3 Eetmagnéto-rhéologique. . . 93

5.4 Deux modes d'utilisation du uide MR : le mode valve (gau he) et le mode de isaillement dire t(droite) . . . 94

5.5 Deux ar hite tures utilisant leuideMR enmode valve . . . 94

5.6 Deux ar hite tures utilisant leuideMR enmode de isaillement dire t . . . 95

5.7 Diérentes appli ations duuideMR . . . 96

5.8 Dispositifexpérimental:vued'ensemble(gau he) etvuede té(droite) . . . 97

5.9 Support deplaque :vued'ensembleà gau he etdétaildesxations àdroite . . . . 98

5.10 Vuedu dessusdusystème expérimental etparamètres géométriques. . . 98

5.11 Cisaillement du uideMR par plaque magnétique. Gau he : pasde hamp magné-tique.Droite :ave hamp magnétique.. . . 99

5.12 For een fon tionde lavitessepour uneplaque magnétiquede0.15mm d'épaisseur àdiérentsniveauxd'intensitééle trique dansles bobines . . . 101

5.13 Comparaisonexpérimental- théoriquepourplusieurs modèles de omportement du isaillement par plaque magnétique . . . 102

5.14 Cisaillement duuideMRpar plaqueamagnétique. Gau he :pasde hamp magné-tique.Droite :ave hamp magnétique. . . 102

5.15 S héma desfor es d'intera tion entrele uideMRet une plaque min e amagnétique 103 5.16 Résultats expérimentaux pour une plaque amagnétique de 0.15 mm d'épaisseur à diérentsniveau d'intensité . . . 104

5.17 Comparaisonexpérimental-théorique pourlemodèlede omportement du isaille-ment par plaque amagnétiqueproposé . . . 105

5.18 Inuen e de l'épaisseur de la plaque amagnétique sur l'eort résistant à intensité éle trique onstante. . . 106

5.19 Stru tureave desfentes . . . 106

5.20 Comportement duuide isaillépar une plaque amagnétiqueave desfentes. . . . 107

5.21 Stru turetype ra leur . . . 108

5.22 Comportement duuide isaillépar une stru ture detype ra leur . . . 108

(22)

6.1 Photographiedu TGR(d'après[12℄) . . . 112

6.2 Vuess hématiques:a tionneur defa eà gau heet vueisométriquededeux a tion-neursà droite (d'après[11℄) . . . 113

6.3 Montage d'unetou he du Tou hba k Keyboard (d'après [25℄) . . . 114

6.4 Photographiedu Tou hba k Keyboard (d'après [25℄) . . . 114

6.5 Systèmederendudetou herClavinova ©

.Unevued'ensemble(gau he)etdétaildu marteau pivotant (droite). . . 115

6.6 Autressystèmesde restitutionde tou her ommer iaux.À gau helesystème Fatar Hammer A tion età droite leKawaiEnhan ed Awa GrandA tion. . . 116

6.7 Interfa e haptique dupianopour une tou he. . . 116

6.8 Analyseélémentsnisdelatou he(COSMOSXpress).Diagrammeduhaut: ontrainte de Von Mises.Diagramme dubas:dépla ement résultant. . . 119

6.9 Frein ommandé omportant un ir uit magnétique(1), un élément mobile(2), un

systèmed'étan héité (3), unguidage (4)etun bâti(5) . . . 119

6.10 S héma d'ampli ation . . . 120

6.11 Prin ipe de ommutation desdeux a éléromètres. . . 121

6.12 Dénition desparamètres géométriques. . . 123

6.13 Dénition desvariables angulaires. . . 125

6.14 Courbes de omportement duuide MRF-132DG(d'après[18 ℄) . . . 127

6.15 Paramètres géométriquesdu ir uit magnétique . . . 131

6.16 S héma éle trique omplet . . . 135

6.17 S héma fon tionnel del'interfa e haptique pour laviers musi aux . . . 136

6.18 Diagrammede al uldu modèledire tde l'interfa e haptique . . . 137

6.19 Photographiedu montageexpérimentalutilisé pour la ara térisationde l'interfa e haptique . . . 138

6.20 Comparaisonmodèle/mesurepour diérentsniveauxd'intensitédansles bobines . 139

6.21 Comparaisonmodèle/mesurepour des niveaux élevésd'intensité dansles bobines . 140

7.1 Intera tionhaptique.L'interfa eestmuniededeuxports,unpourl'intera tionave l'humain etun deuxième pour l'intera tion ave l'environnement virtuel (d'après [2℄) 146

(23)

7.3 Chronogramme d'exé ution de l'appli ation temps réel ave aden ement matériel (d'après[34℄) . . . 148

7.4 Contrle de l'interfa e haptique:s héma de prin ipe . . . 149

7.5 S héma global du ontrle . . . 150

7.6 Photographiede l'interfa e haptiqueets hémadesintera tions entrelesdiérentes parties . . . 151

7.7 Bou led'asservissementde l'intensité . . . 152

7.8 S héma de prin ipe derésolution du modèleinverse . . . 153

7.9 Cy le d'hystérésisd'unmatériauferromagnétique (d'après[29 ℄) . . . 157

7.10 Proltemporel del'intensité

I

r

. . . 157 7.11 Comparaisonde l'a élération réelleetde l'a élérationtronquée de latou he . . . 159

7.12 Cal ulde

θ

1

pardoubleintégrationdel'a élérationréelleetdel'a élérationtronquée160 7.13 Évaluation dusuivi de onsigne . . . 160

7.14 Photographiedu prototypeà 5 tou hes . . . 161

7.15 Vuesdedétail duprototype 5tou hes. Gau he :vuede fa e.Droite: vuededessus. 162

7.16 Cal ulparélémentsnisd'unfrein ommandépouruneintensitéde onsignede0.5A163

7.17 Véri ation de l'indépendan emagnétique desfreins ommandés . . . 163

7.18 S héma de multiplexagedes voies d'a quisitionpour 5 tou heset2 jeuxde voies. . 165

B.1 S héma ampli ateur noninverseur . . . 182

B.2 Filtre passe-hautde Butterworthdu quatrièmeordre . . . 182

B.3 Filtre passe-bas deButterworth duquatrièmeordre . . . 183

B.4 Cir uitredresseur . . . 183

B.5 Cir uit omparateur . . . 184

B.6 Photographiede l'instrumentation du prototype mono-tou he . . . 184

B.7 Routagede lafa ede dessus. . . 185

B.8 Routagede lafa ede dessous . . . 185

B.9 Photographiede la arte d'instrumentation du prototype5 tou hes . . . 186

(24)

B.12 S héma de routagede lafa edessusde la arte demultiplexage . . . 188

(25)

(26)

2.1 Paramètres géométriques. . . 21

2.2 Variablesd'espa e . . . 21

2.3 Paramètres dynamiques ara téristiques . . . 24

3.1 Valeursdes ouples de frottements pour laliaison tou he-bâti . . . 48

3.2 Valeursnumériques pour les paramètres de lafor ede onta t bâton-rouleau . . . . 68

3.3 Cara téristiques desressortsde hevalet . . . 70

5.1 Comparaisondes propriétés desuidesMR etER(valeurstypiques d'après[13 ℄) . 92

6.1 Paramètres géométriques. . . 124

6.2 Variablesd'espa e . . . 124

6.3 Paramètres divers . . . 125

6.4 Paramètres éle tromagnétiques . . . 132

6.5 Variableséle tromagnétiques . . . 132

6.6 Erreur relative maximale de la for erésultante

F

a

pour une variation de

±10%

de lavaleurde haqueparamètre indépendamment . . . 141

(27)

(28)

Lepianoestre onnu ommeuninstrumentquipermetunegrandeexpressivitédans l'interpré-tation etdontlanuan edejeu peutêtre ontrléeave unegrandenesse.Sur leplanmé anique, le piano présente une parti ularité : les éléments responsables du rayonnement sonore - ordes, table d'harmonie - sont dé ouplés de eux responsables de l'impa t initial - doigt du pianiste et mé anique d'a tionnement. Eneet,lemarteau n'est pluslié mé aniquement à latou he lorsqu'il

entre en onta t ave les ordes :ainsi lepianiste n'aplus au un ontrle sur le sonune fois que le marteaua é happé. L'expressivité de l'instrument est don due auxpossibilités de ontrle de l'instant et de la vitesse d'é happement du marteau. Ce ontrle s'ee tue grâ e au tou her du lavier- sensationta tile,reet du omportement delamé anique.Le tou herestdon un ritère essentielpour dénir laqualité d'un lavier.

Le omportement dynamique de la mé anique d'a tionnement du marteau - système à plu-sieurs degrésde liberté ompris entre latou he etlemarteau - estresponsable durendusensoriel ressenti par le pianiste. Cette mé anique est omposée de plusieurs piè es de bois, de feutre et

d'a ier, liéesentreellespardesliaisonspivotsetdes onta ts unilatéraux.Aujourd'hui,ondispose d'observations inématiques détaillées qui dé rivent le fon tionnement du système etde quelques modèles dynamiques très simpliés.Ces modèles, non représentatifsde la omplexité du système, ne susent paspour omprendre lafon tion mé anique responsable du tou her.

Par ailleurs, l'importan e du tou her pour les pianistes oblige les fabri ants de pianos nu-mériques à her her des systèmes mé aniques ou mé atroniques pour rendre le tou her de leurs

produitspro hede eluidespianostraditionnels.Lespremiers laviersdesynthétiseurétaient uni-quement équipésderessortspour assurerleretour destou hes enpositiond'origine, puis ertains onstru teurs ont mis au point des laviers à tou her lourd. Ces systèmes, souvent passifs, amé-liorent onsidérablement leretour sensorieldes laviers,quireste en oreinsatisfaisant parrapport à elui d'une mé anique traditionnelle. La pauvreté du tou her de es systèmes (spé ialement en

nuan e piano)estdueaufaitqu'ilssontbaséssurdesmodèlessimpliésetnetiennentpas ompte de la omplexité dumé anisme traditionnel.

Les systèmes ontrlés en temps réel semblent, à e stade, être la seule solution apable de

reproduire de manière satisfaisante ladynamique de lamé anique traditionnelle. Des travaux de re her he, menés dans ette dire tion,ont mis en éviden e les prin ipales ontraintes : en ombre-ment, temps de y le, stabilité, pré ision et oût an de répondre aux exigen es du mar hé des

(29)

pianosnumériques. Lessolutions existantesaujourd'hui nerépondentpasàtoutes es ontraintes.

L'obje tifprin ipalde estravauxestderéaliserun laviernumériqueave untou herpro hede

eluid'unpianoàqueue.Pour elanousdevonsétudierlamé aniquetraditionnelle,lamodéliseret on evoiruneinterfa ehaptique apabledereproduire e omportementtoutenrestant ompatible ave lesexigen esen termes d'en ombrement etde oût.

L'étudedelamé aniquetraditionnelleestné essaired'unepart,pourdéterminerle omporte-ment virtuel de notre interfa e haptiqueetd'autre part, pour omprendre quelssont les éléments né essaires au ontrle de l'instrument. Nous her hons à omprendre par ette étude pourquoi le omportement de la mé anique traditionnelle permet un ontrle très n de la vitesse d'im-pa t entre lemarteau etla orde. Nousnous proposonsde modéliser,d'identier et de simuler la

mé anique traditionnelle du pianoen ee tuant unminimumd'hypothèses simpli atri es.

Pour on evoirl'interfa e haptique-moduleélémentaire d'un laviernumériqueà retour d'ef-fort - nous avons hoisi l'a tionnement par uides magnéto-rhéologiques. Cette te hnologie nous permet de respe ter les ontraintes de oût et en ombrement. Le ara tère dissipatif des uides

magnéto-rhéologiques rendent le système intrinsèquement passif e qui assurela stabilité du sys-tème.L'étude etlamodélisationdesuidesMRest essentielle pour la on eptionetle ontrle de l'interfa e haptique.

Ce mémoire est omposé de sept hapitres pratiquement autonomes, les quatre premiers on ernent l'étude de la mé anique traditionnelle du piano à queue et les trois derniers

l'inter-fa ehaptiquepour laviers musi aux.

Le premier hapitre présente lepianoà queue etsamé anique d'a tionnement traditionnelle. Aprèsunbrefhistoriquedesonévolution,nousprésentonsunedes riptiondétailléedelamé anique

traditionnelleetdesonfon tionnement,nousrésumonslesobservations inématiquesantérieureset enn,nousprésentonsunétatdel'artdesmodélisationsdynamiquesdelamé aniquetraditionnelle.

Unmodèledynamiquedelamé aniquetraditionnelle omplètereposantsurlapriseen ompte desixdegrésdelibertéestprésentédansledeuxième hapitre.Cemodèle onsidèredesélémentsà

onstanteslo aliséesetsebasesurl'é rituredeséquations deladynamiquepour six orpsrigides, des équations de fermeture géométrique et des équations de omportement des liaisons. Après avoirdénilesvariables,paramètres etrepères,nousprésentonslesmodélisations hoisiespourles liaisons,leséquationsdeladynamiqueetleséquationsde ouplage,pour haque orps.Ladernière se tiondonne un ré apitulatifet uneébau he de résolution qui seradétailléedansle hapitre 4.

Le hapitre 3 on erne lavalidation desdiérentesloisde omportement hoisies pour la mo-délisationetl'identi ationdesparamètres.Lesmodèlesde omportementsontvalidésetidentiés expérimentalementpourlesliaisonspivot etles onta tsunilatéraux. Deplus,nousprésentonsdes pro éduresd'identi ationdesparamètresdynamiques(momentsd'inertieet entresdegravitédes

diérentespiè es)etdesraideursdesressortsderappel.Nousobtenonsainsilesvaleursnumériques pour l'ensemble desparamètres né essairesà larésolution dumodèlede mé anique traditionnelle

(30)

Le hapitre4présenteledétaildelarésolution dumodèledelamé aniquetraditionnelle.Deux assontenvisagés:larésolutionstatiqueàlalimitedumouvement etlarésolutiondynamiquepar Matlab/Simulink.L'obje tif prin ipalde lasimulation de lamé anique traditionnelle estde servir

d'environnement virtuel pour le ontrle de l'interfa e haptique.

Après avoir présenté une brève synthèse des te hnologies d'a tionnement possibles pour la on eption de l'interfa e haptique, le hapitre 5 présente les diérents modes d'utilisation des

uides magnéto-rhéologiques (MR). Dans un premier temps, nousprésentons leprin ipe de fon -tionnement, la modélisationusuelle etles appli ations a tuelles desuides MR.Nous présentons, ensuite,un nouveaumode d'intera tion entre leuideMRetunestru ture mé anique:le isaille-mentparuneplaquemin e.Nousétudionsdon le omportementduuideMRlorsqu'ilest isaillé paruneplaquemagnétiqueouamagnétique.Desobservationsetmesuresexpérimentalesnous

per-mettent de proposer un modèle de omportement pour ha un de es deux as. Nousprésentons égalementdeuxnouvellesstru turesde isaillementquipermettraientd'améliorer lesperforman es de systèmesà basede uidesMR.

Le hapitre 6 présente l'interfa e haptique. Après avoir présenté les prin ipaux systèmes de rendu haptique pour laviers musi aux existants, nous présentons la stru ture mé anique, le ir- uit magnétique etl'éle tronique de onditionnement de notre interfa e haptique. À partir de la modélisation du isaillement par plaque min e magnétique développée dans le hapitre 5, nous modélisonsle omportement del'interfa ehaptique. Lesparamètres dumodèlesontidentiés etle

modèle est validé. Une étude de sensibilité par rapport auxvaleursdes paramètres estégalement présentée.

Le dernier hapitre présente les héma de ontrle en temps réel retenu pour l'interfa e hap-tique ainsi que l'évaluation de ses performan es. Ce s héma de ontrle allie le modèle inverse de l'interfa e haptique et lemodèle à simuler (tou he traditionnelle ou tout autre omportement dynamique). Pour terminer,nousprésentonsunprototype à inqtou hesintégré,sonéle tronique

(31)

(32)

Présentation de la mé anique

traditionnelle du piano à queue

Sommaire

1 Le piano à queue. . . 6 1.1 S hémagénéraldefon tionnement . . . 6 1.2 Brefhistoriquedelamé aniquedupiano . . . 7 2 Fon tionnementetobservations inématiquesde la mé anique

tradi-tionnelle . . . 9 2.1 Des riptiondespiè eset desintera tions . . . 9 2.2 Des riptiondumouvement . . . 11 3 Modélisationspré édentes . . . 13

(33)

1 Le piano à queue

1.1 S héma général de fon tionnement

La gure 1.1 présente une vue é latée d'un piano à queue. Il est omposé de huit éléments prin ipaux :

le lavier omposéde 88 tou hesa tionnées par lepianiste pour générer haquenote; lemé anisme quitransmet au marteau l'énergiefournie par lepianisteà latou he; lesommier etles hevillesqui servent àréglerlatension des ordes;

latable d'harmonie,grandepiè e de boisrigidiée par desbarres en bois,dont lavibration

estresponsable duson;

le hevalet, barre de bois de forme ourbe, ollée sur la table d'harmonie, assure le lien mé anique entrelatable d'harmonie etles ordesgrâ e àdespointes ena ier;

le adre enfonte supporte latensiondes ordes;

les ordes,misesenvibrationpar lafrappedumarteau,sont solidariséesau hevaletgrâ eà

une hi ane faitesurlespointesdu hevalet ettransmettentainsileurvibration au hevalet età latabled'harmonie;

lemeuble ou aissedont lafon tion estlemaintien del'ensemble dusystème.

Lagure 1.2présente les héma de fon tionnement du piano[8℄.Le pianiste agit ave l'un de ses doigts surune tou he; ette a tion produit lemouvement du marteauqui a tionne àsontour les ordes.Lavibration des ordesesttransmiseà latable d'harmoniedontlavibrationproduitle son.La noteproduite arrive au pianistepar rayonnement a oustique.

À e fon tionnement présenté omme une suite d'événements doivent être adjoints plusieurs

ouplages.Premièrement,nousdevons onsidérerle ouplageentrelepianisteetlatou he.Lorsque le pianiste impose un mouvement à la mé anique, elle- i répond par une for e résistante qui est fon tiondelanuan edejeuetpeutêtre onsidérée ommeuneimagedu omportementdynamique de la mé anique. Ce retour sensoriel est né essaire et susant pour informer le pianiste sur la manièredont iljoue [46℄.

Il n'existe pas de ouplage entre le lavier et les ordes ar le marteau é happe de 1.5

millimètresavantdetou herla orde.Ilévoluealorsseul,frappela ordeetrevientsurlamé anique.

Latable d'harmonie etles ordessont étroitement ouplées:lavibration delapremière sut àprovoquer lavibration de ordes nonfrappées lorsqu'ellessont libérées deleur étouoir.

Le dé ouplage entre lefon tionnement du mé anisme d'a tionnement du marteau{ lavier + mé anique} et la vibration des ordes permet l'étude séparée du omportement du mé anisme

etdu omportement sonore. Cetteséparation se retrouve d'ailleurs dansl'évolution historique de l'instrument.Ce travail de re her he se limiteà l'étudede lamé anique d'a tionnement omprise

(34)

Fig. 1.1 Vue é latée d'unpianoàqueue (d'après[7℄)

Pianiste

Action du doigt

Impact du marteau

sur les cordes

de la table

Vibration

des cordes

Rayonnement

sonore

Mouvement de la

touche et du marteau

Fig.1.2 S hémafon tionnel partieldu piano

1.2 Bref historique de la mé anique du piano

L'instrument prédé esseurdupiano estle lavi orde. Àladiéren e du lave in, le lavi orde estuninstrumentà ordesfrappées.Lagure1.3présentesonprin ipedefon tionnement.Lorsque

l'instrumentiste appui sur la tou he (a), une lamelle en a ier (b)-la tangente- vient frapper un doublet de ordes ( ) tendues au-dessus. Le onta t entre les ordes et la tangente est maintenu

(35)

Fig. 1.3 Fon tionnement du lavi orde

au son en faisant légèrement varier la tension des ordes. Ce système mé anique ne permet de ommuniqueraux ordes que trèspeud'énergie;le sondu lavi orde est ondentiel.

En 1709, Bartolomeo Cristofori invente le premier piano-forte. C'est un instrument à ordes frappées par un petit marteau re ouvert de uir qui é happe avant la frappe (voir gure 1.4). L'ex itateur des ordes n'est don plus en onta t ave le doigt de l'instrumentiste lors de la

Fig. 1.4 Piano-fortede Cristofori (d'après[31℄)

génération du son. La vitesse atteinte par le marteau au moment de l'é happement est la seule grandeur qui déterminerala nuan ede jeu. Cette invention donne la même possibilité que surle lavi orde degraduer lanuan e parlamanière d'appuyer surlestou hes. En revan he,elle donne

(36)

possédaitles éléments essentiels quenous retrouvonssur lepianomoderne. Ce pianopossède une tou he, un levier intermédiaire qui deviendraplus tard le hevalet, un bâton d'é happement, une attrapeetun marteaure ouvertde uir souple.

En1821,SébastienÉrard,apporteuneaméliorationdé isiveàl'instrument:lelevierde répéti-tion(voirgure1.5).Cetteinnovationintroduitlapossibilitéderépéterlanotesansquelatou he doive revenir en position de repos. Un levier de répétition montésur le hevalet s'abaisse durant

la phase de lan ement du marteau; après le ho sur la orde, le marteau atterrit sur le levier de répétition qui tend un petit ressort de rappel; le marteau est stoppé par l'attrape. Un léger relâ hementdelatou helibèrelemarteaudel'attrape.Ilestalorspousséparlelevierderépétition e qui permet le retour du bâton d'é happement à sa position initialeet don la répétition de la note.

Fig.1.5 Mé aniqueà doubleé happement inventée par Érard(d'après[31℄).

2 Fon tionnement et observations inématiques de la

mé- anique traditionnelle

2.1 Des ription des piè es et des intera tions

Lagure 1.6présentelamé anique modernedu pianoà queue.

Nousre ensons13piè esprin ipales. Chaquepiè eestenrelationave uneouplusieurs autres piè es ommesuit.

Tou he : latou he pivote par rapport au bâti sur la pointe de balan ier. Elle sert également de

supportau pilote età l'attrape.Au ours dumouvement, elle entre en onta t ave lelevier d'étouoir.Elle arrête sonmouvement des endant surlamou he -petit oussin enfeutre de

(37)

Touche

Pointe de balancier

Chevalet

Bâton d’échappement

Levier de répétition

Pilote

Rouleau

Marteau

Étouffoir

Levier d’étouffoir

Corde

Doigt

Attrape

Mouche

Fig.1.6 Mé anique dupianomoderne

Pointe de balan ier : la pointe de balan ier est en astrée sur le bâti et assure la liaison pivot ave latou he.

Attrape : l'attrape est xée sur la tou he. Sa fon tion est d'arrêter le mouvement du marteau

après qu'ilait frappéla orde.

Pilote : le piloteest vissé sur la tou he. Il permetd'entraîner le hevalet lors du mouvement de latou he par un onta t unilatéralau traversdu feutre detalon de hevalet.

Chevalet : le hevalet pivote par rapport au bâti lorsqu'il est poussé par le pilote lui même a tionné par la tou he. Il supporte des liaisons pivot et des onta ts unilatéraux de butée ave lebâton d'é happement etlelevier de répétition.

Bâton d'é happement : lebâtond'é happement,piè eenboisenformed'équerre,peutpivoter autour d'unpoint xe sur le hevalet. Un ressort de rappelet une butée mé anique le lient également au hevalet et assurent son retour et maintien en position d'équilibre. Au ours dumouvement,lebâtond'é happement entreen onta tunilatéralave ledoigt aussiappelé

butée d'é happement puisave lerouleau.

Rouleau : lerouleau estxésurle marteau. Il reposesurle levier derépétition.

Doigt : labutéed'é happement oudoigtest visséesurlebâti. Elleentreen onta t ave lebâton d'é happement quelques instants (quelquesms[4℄) avant l'é happement.

Levier de répétition : le levier de répétition pivote autour d'un point xe du hevalet. Il est rappelé sur sa butée d'équilibre, xée au hevalet, par un ressort de rappel. Le levier de répétition pousse le rouleau jusqu'au moment où il entre en onta t ave la vis de hute (xée aubâti).

Marteau : le marteau est xé au bâti par une liaison pivot. Il omporte le rouleau, en onta t ave lebâton d'é happement etlelevier derépétition durantlamajeurepartiedumouvement

(38)

Corde : la orde est xée sur le bâti. Elle est en onta t ave l'étouoir, soulevé par le levier d'étouoir a tionné par latou he avant l'é happement dumarteau.

Levier d'étouoir : ilpeutpivoterparrapportaubâtietreposesurunebarrededépart olle tif a tionnéepar unedespédales.Parlasuite, nousne tiendronspas ompte du omportement despédales et onsidérerons que labarre de départ olle tifest xe surle bâti. Lors de son mouvement lelevier d'étouoirlève l'étouoir.

Étouoir : l'étouoirestxésurlelevierd'étouoir.Lorsqu'iln'estpasa tionné,ilesten onta t ave la orde inhibant ainsitoutevibration non désirée.

2.2 Des ription du mouvement

Onpeut onsidérerquelamé aniqueest omposéedesixdegrés deliberté:latou he, l'étouf-foir, le hevalet, lebâton d'é happement, le levier de répétition etlemarteau. Lesrelations entre es solides sont soit des liaisons pivots ave le bâti (pour la tou he, le hevalet, l'étouoir et le marteau), soit des liaisons pivots entre eux ( hevalet-bâton et hevalet-levier), soit des onta ts

unilatérauxave feutreet dufrottement ( onta t rouleau-bâton etrouleau-levier). Lemouvement de la mé anique permetl'attaque de la noteet leretour au reposou la répétition (selonle hoix du pianiste).

2.2.1 Attaque de la note

L'attaque delanote, ou lan ement dumarteau, peut êtredé omposéen deuxphases.

1. Sousl'a tiondudoigt,latou hepivotesurlapointedebalan ier. Àmi- ourse,elleren ontre

lelevierd'étouoirquiestensuiteentraîné parlatou he.L'étouoirmontesous ettea tion etlibère la orde. Par l'intermédiaire du pilote, latou he entraîne le hevalet qui pivote par rapportau bâti. Dans ette première phase, hevalet, levier de répétition et bâton d'é hap-pement sont solidaires etpoussent le marteau,en rotation par rapportau bâti. Cettephase s'a hève lorsque le bâton d'é happement et le levier de répétition atteignent leurs butées

respe tives(simultanément pour une mé anique bienréglée). (voir gure1.7)

2. Le hevalet ontinue sonmouvement d'as ension. Arrêté surlavisde hute, le levier pivote autour de son axe en omprimant son ressort de rappel. Il n'est plus en onta t ave le marteau, que le bâton seul ontinue de pousser. Sur une mé anique bien réglée, au même

moment que lelevier de répétitionren ontre lavisde hute, lebâton entre en onta t ave sabutée equilefaitpivoterautourde sonaxexesurle hevalet.Le onta t entrelebâton et sa butée ralentit la progression vers le haut de l'ensemble hevalet-bâton-levier, e qui provoque l'é happement du marteau. Le marteau parvient librement à la orde si l'énergie inétiquequ'ilaa quiseestsusante.Deson té,latou he estarrêtéedanssonmouvement

surlamou he.Une foisquelemarteau afrappéles ordes,ilrevient surlamé anique àune positionplusbassequelapositiond'é happement.Lemarteauestalors bloquéparl'attrape;

(39)

(a)aurepos (b) le levierde répétition etle bâtond'é happement arriventenbutée

Fig.1.7 Attaquede lanote:Positions limites de lapremière phasede mouvement

(voir gure1.8).

(a) é happement (b) lemarteaurevientets'immobilisesurl'attrape

Fig. 1.8 Attaque delanote:Positions limitesde ladeuxième phasede mouvement

2.2.2 Répétition ou retour à l'équilibre

L'arrivée du marteau sur l'attrape et l'arrêt du mouvement de la tou he sur la mou he pro-voquent l'immobilisation du mé anisme. Lorsque le pianiste relève légèrement le doigt, l'attrape s'é arteetlibèrelemarteau. Leressort dulevierde répétitionsedétendetfait monterlégèrement

le marteau. Ce mouvement ménage au bâton d'é happement un espa e susant pour revenir en positiond'équilibre,grâ eàsonressortderappel.Ilsepositionnedon souslerouleau,les onta ts ave les butées (doigt et visde hute) sont rompus. La mé anique se trouve alors en position de répéter lanotesansquela tou he aitbesoinde revenirà laposition de repos(voirgure 1.9).

Le pianiste est libreà e stade de relan er lanote ou de relâ her omplètement la tou he, e qui provoque lades ente omplète de toutlemé anisme.

(40)

(a) Lepianisterelâ helégèrement (b) lamé aniqueestprêtepourunerépétition

Fig. 1.9 Positions limites de larépétition

jeu piano). La vitesse d'impa t maximale est omprise entre 2 et 3 m.s -1

[4 ℄. La mé anique sert uniquement à ommuniquer l'énergie né essaire au marteau pour l'é happement. La dynamique

omplexede esystèmeestresponsabledutou her.C'estgrâ eà eretour sensorielquelepianiste a la possibilité de ontrler la vitesse d'é happement du marteau à 1% près [43℄. On ne sait pas aujourd'hui quelle fon tion mé anique rend ette pré ision de ontrle possible. Ma ontribution à la ompréhension du système et de la per eption de l'humain se situe essentiellement dans la modélisationetl'identi ation du omportement delamé anique lors de l'attaquede lanote.

Des observations inématiques détaillées ont été réalisées par A. Askenfelt [4℄, [5℄. Il existe également une modélisationde la inématique de lamé anique traditionnelle[33 ℄.

3 Modélisations pré édentes

La mé anique traditionnelle du piano possède six degrés de liberté : la tou he, l'étouoir, le hevalet,lebâtond'é happement,lelevierderépétitionet lemarteau.Parmi esdegrésdeliberté, l'étouoiretlelevierderépétitionnesontpasindispensablesàl'attaquedelanote.On onsidérera, la masse et inertie du bâton d'é happement négligeables par rapport à elles de la tou he et du marteau.

Par ailleurs,lesdiérentsbrasdelevierfontquel'inertiedumarteaurapportéeàlatou heest multipliéeparunfa teur10ou12.Enpremièreapproximation,ilsembleraitalorsquelesystèmese omporte omme unensemblede deux orps(tou he etmarteau) liésparune liaison nonlinéaire.

À l'ex eption d'un modèle [23 ℄, la plupart des modèles dynamiques de la tou he de piano publiésutilisent ette approximation[19 ℄, [25 ℄,[21℄,[41℄, [42℄.

La gure 1.10 présente la s hématisation du modèle simplié de la mé anique traditionnelle

(41)

Fig.1.10 Modèlede lamé anique traditionnelle de pianoave deux orps rigides(d'après [24℄)

bâtonderépétitionliésaumarteauparunressortnonlinéaire.Deux ongurationssontpossibles: lemarteauetlatou he reliés par leressort oule marteauévoluant seul.

Danstousles modèlespubliés,lesfrottementsdanslesliaisonssontnégligésalorsqu'ilsjouent un rleessentieldanslerendusensoriel, surtout danslanuan epiano.

Danslanuan epiano,lesintera tionsdubâtond'é happement ( onta tave labutée d'é hap-pementetfri tionave lerouleau dumarteauavant l'é happement) sontessentiellesau rendu sen-soriel.Deplus,après l'é happement, lebâton d'é happement ontinue sonmouvement permettant aumarteaudeseretrouver, aprèsl'impa tsurla orde, dansune positioninférieure à elled'oùil

a é happé. Cettedisposition estessentielle pour éviter une répétition intempestive de lanote par rebond. Le mouvement du bâton d'é happement est don essentiel au bon fon tionnement de la mé anique.

Par ailleurs, une des prin ipales diéren es entre le piano droit et le piano à queue tient à la présen e du levier de répétition. Il agit sur le marteau après l'impa t sur la orde et permet le retour du bâton d'é happement sous le marteau sans que la tou he soit revenue à la position d'origine.Ce mé anismede répétition augmente les apa ités virtuosesdu système.

À notre onnaissan e, iln'existepasaujourd'huide modélisation dynamiquedela mé anique traditionnellequi tienne ompte de tousles phénomènesdé rits i-dessus. Nousavonsdon hoisi de modéliser lamé anique traditionnelledu pianoà queueen onsidérant les sixdegrés de liberté

ave un minimum d'hypothèses simpli atri es. Cette modélisation dynamique est détaillée dans le hapitre 2.

(42)

Modélisation dynamique de la

mé anique traditionnelle

Sommaire

1 Dénitiondes variables . . . 16 1.1 Stru tureethypothèses . . . 16 1.2 Dénition desparamètresgéométriques . . . 18 1.3 Dénition desangleset hangementsderepère . . . 24 2 Liaisons . . . 26 2.1 Pivotset ressortsderappel . . . 26 2.2 Feutres . . . 26 3 Équationsde la dynamique . . . 27 3.1 Théorèmedumomentsurlatou he . . . 27 3.2 Théorèmedumomentsurle hevalet. . . 29 3.3 Théorèmedumomentsurl'étouoir . . . 30 3.4 Théorèmessurlebâton . . . 30 3.5 Théorèmessurlelevierderépétition . . . 32 3.6 Théorèmedumomentsurlemarteau. . . 34 4 Équationsde ouplage(liaisons entrepiè es) . . . 34 4.1 Couplagetou he- hevalet . . . 35 4.2 Couplagetou he-étouoir . . . 35 4.3 Couplagebâton-butéederepos . . . 36 4.4 Couplagebâton-butéed'é happement . . . 37 4.5 Couplagebâton-marteau. . . 38 4.6 Couplagelevier-butéederepos . . . 40 4.7 Couplagelevier-visde hute . . . 41 4.8 Couplagelevier-marteau . . . 42 5 Ré apitulatif . . . 43

(43)

La onstru tion dumodèle mé anique dela tou he depianopoursuitdeux obje tifs:

d'une part, l'identi ation du omportement de la mé anique de la tou he d'un piano à queue.Ce omportementdoitêtreuneimageabledusystèmeréeletintégrerlesphénomènes physiquesjugéssigni atifs a priori. Il ouvriradon sur l'étudede l'inuen e desdiérents paramètresdansleressentidumusi ienetsurla ompréhensionned'unsystème omplexe. d'autre part, e modèledoit prédire de manière déterministe le omportement de la

mé a-nique de latou he de pianopour permettre de lereproduire ave une interfa e haptique. Il doit pour ela être le plus simple possible pour que son al ul s'adapte dans la bou le de ontrle temps réel dusystèmede rendusensoriel.

Le modèle présentéi i résulte en un ensemble d'équationsdynamiques, de liaison et de om-portement quitraduisent le omportement du système.

Nousexpli iterons su essivement:

ladénitiondes paramètres etdesvariablesutilisées; les relations de omportement desdiérentes liaisons;

les équations de la dynamique des orps solides appliquées à la tou he, à l'étouoir, au hevalet,au levierde répétition, au bâton etau marteau;

les onditions de onta t et/ouliaison entre latou he etle hevalet,latou he etl'étouoir,

le hevaletetlebâton,lelevierde répétitionetle hevalet,lemarteau oulavisde hute,le bâtonetlabutée d'é happement etenn,le bâton etlemarteau.

L'ensemble des équations permet de al uler la for e appliquée par le pianiste en fon tion du mouvement de la tou he. Le prin ipe de al ul sera présenté dans un ré apitulatif nal et la pro édurede al ulsera détailléedansle hapitre 4.

1 Définition des variables

1.1 Stru ture et hypothèses

Lamé anique se omposedeséléments suivants(voirgure 2.1):

latou he, l'étouoir, le hevalet,

lelevier de répétition,

lebâtond'é happement (appelésimplement bâton), lemarteau,

les onta ts sur le bâti : la mou he (feutre re evant la partie antérieure de la tou he), le support (feutre re evant la partie postérieure de la tou he), la butée d'é happement, dite parfoisdoigt (qui ontraint lemouvement dubâton), lavisde hute(en onta tave la

peau ollée surl'extrémité dulevier de répétitionetqui ontraint sonmouvement), les liaisonspivot entre lebâtietlatou he, le hevalet,lemarteau;

(44)

talon de hevalet (entre tou he et hevalet) etsur le hevalet, butées de repos du levier de répétition etdubâton.

Touche

Pointe de balancier

Chevalet

Bâton d’échappement

Levier de répétition

Pilote

Rouleau

Marteau

Étouffoir

Levier d’étouffoir

Corde

Doigt

Attrape

Mouche

Fig.2.1 Mé anique traditionnelle dupiano àqueue

Lagure 2.2montre lesdiérentes liaisonsentre es piè esdansuns héma destru ture.

bâti

touche

support

mouche

chevalet

marteau

θ

M

θ

B

θ

_C

θ

_T

bâton

butée d'

échappement

bâti

levier

butée de

repos

θ

L

étouffoir

θ

E

bouton

de repos

U

U t

tt

tiiiilllliiiis

s

sa

a

at

a

te

tt

e

eu

u

ur

r

−

−−

−

−−

−

−→

→

F

a

a→

→

→T

T

Liaison pivot avec frottement

Ressort de rappel

Contact unilatéral feutre

Contact unilatéral feutre glissant avec frottement

Fig.2.2 S hémadesrelations entreles piè es onstitutivesde lamé anique de piano

Trois typesde liaisonsontobservés:

liaisonspivot, ave frottement solideet visqueux: entre le bâtiet latou he, lemarteau, le hevalet oul'étouoir,ainsiqu'entre le hevalet etlebâton ou lelevier de répétition; desressortspré ontraints (se tion2.1) entre hevaletetbâti, hevalet etbâton oulevier de

répétition;

des onta tsunilatéraux,ave ousansfrottement,assurésparunfeutre(loide omportement dé rite en se tion 2.2) :entre bâti et tou he (support avant le mouvement, mou he en n

(45)

etlevier de répétition(par l'intermédiaire delavisde hute), tou he et étouoir,tou he et hevalet(feutredetalonde hevalet), hevaletetbâton(butéederepos,quel'on onsidérera dure, i.e.de raideur quasiinnie), hevalet etlevier de répétition (idem), bâton etrouleau

du marteau(ave glissement).

Pour résoudreles équations de ladynamique,nous ee tuonsles hypothèses suivantes:

les solidessont onsidérés ommerigides;

les axesde rotation sontxes au oursdu mouvement danslerepère orrespondant;

les onta ts sontpon tuels;

les angles, à l'ex eption de

θ

R

(voir le tableau 2.2 page 21 et la gure 2.4 page 25), sont petits de sorte que l'on onsidère

cos θ

i

= 1

et

sin θ

i

= θ

i

(pour la résolution de ertaines équations, il sera plus ommode de onserver l'é riture des fon tions trigonométriques sur

θ

M

);

une fois réalisés, les onta ts unilatéraux sont onsidérés omme maintenus ontinûment jusqu'àl'é happement( equel'onpeutvérierensurveillantlesignedesfor esde onta t); les for es d'inertie sur le bâton et sur le levier de répétition sont négligeables devant les

autres for es sur espiè es.

1.2 Dénition des paramètres géométriques

La gure 2.3 présente la position des diérents points né essaires à l'é riture des équations. Lespointssont indexésave la onvention suivante:

P

_Ta

O

_D

G

_M

O

M

P

_MB

P

_BM

P

_BD

O

_C

G

_C

P

_CT

P

_TC

P

_TE

P

_TS

O

_T

G

_T

P

_Tm

C

+

O

_B

−

→

x

0 −

→

y

0 D

P

_Lb

P

_bL

O

_L

P

LM

P

_LV

P

_VL

P

_ET

O

_E

G

_E

P

ES

_E

P

_bB

P

Bb

Fig. 2.3 Dénitiondes points

P

ij

: point du solide

i

en onta t ave la liaison au solide

j

. Ainsi, la longueur variable des liaisons exibles (feutres) explique que

P

ij

6= P

ji

, l'intervalle étant matériellement o upé par la

(46)

Unedes ription détailléedespoints(ave lesfor es quis'yappliquent etleurs oordonnées en millimètres) sontrépertoriéesdansletableau 2.1 i-dessous.

Point Des ription

x

y

x

0 y

0

(point d'appli ation de

F

α→β

) valeur valeur

(mm) (mm) (mm) (mm)

Tou he Repère

R

T

P

T a

Conta t ave l'utilisateur

L

T a

h

T a

L

T a

− θ

T

h

T a

(

F

a→T

)

260.3

26.5 P

T m

Conta t ave lamou he

L

T m

0 L

T m

(

F

m→T

)

240.3

0 G

T

Centrede masse

L

G

T

h

G

T

L

G

T

− θ

T

h

G

T

(

P

T

= −m

T

g

)

19

14 P

T C

Conta t ave le hevalet

L

T C

h

T C

L

T C

− θ

T

h

T C

L

T C

θ

T

+ h

T C

(

F

C→T

)

−129

42.8 P

T S

Conta t ave lesupport

L

T S

h

T S

= 0

L

T S

− θ

T

h

T S

(

F

S→T

)

−185

0 P

T E

Conta t ave l'étouoir

L

T E

h

T E

L

T E

− θ

T

h

T E

(

F

E→T

)

−232

21.6 O

T

Centrede rotationde latou he

0

Étouoir Repère

R

E

P

ET

Conta t ave latou he

L

ET

h

ET

L

ET

− θ

E

h

ET

(

F

T →E

)

78

0 G

E

Centrede masse

L

G

E

h

G

E

L

G

E

− θ

E

h

G

E

(

P

E

= −m

E

g

)

50

0 P

ES

E

Conta t ave lesupport

L

ES

E

h

ES

E

L

ES

E

− θ

E

h

ES

E

(

F

S

E

→E

)

45 −24

O

E

Centrede rotationde l'étouoir

0

0 L

O

E

h

O

E

310

38

Chevalet Repère

R

C

P

CT

Conta t ave latou he

L

CT

h

CT

L

CT

− θ

C

h

CT

L

CT

θ

C

+ h

CT

(

F

T →C

)

60.7 −17.6

G

C

Centrede masse

L

G

C

h

G

C

L

G

C

− θ

C

h

G

C

(

P

C

= −m

C

g

)

53

7 O

C

Centrede rotationdu hevalet

0

0 L

O

C

h

O

C

−191.4

64.4 O

B

Centrede rotationdu bâton

L

O

B

0 L

O

B

L

O

B

θ

C

(

F

B→C

)

99.2

0 P

bB

Butée de blo agedubâton

L

bB

h

bB

L

bB

L

bB

θ

C

(47)

Point Des ription

x

y

x

0 y

0 F

α→β

) valeur valeur

(mm) (mm) (mm) (mm)

O

L

Centrede rotationdu levier

L

O

L

h

O

L

O

L

O

L

θ

C

(

F

L→C

)

47.2

29.3 −θ

C

h

O

L

+h

O

L

P

bL

Butée de blo agedulevier

L

bL

h

bL

L

bL

L

bL

θ

C

(

F

L→b

)

16.3

1.71 −θ

C

h

bL

+h

bL

Levier Repère

R

L

P

Lb

Conta t ave labutéede blo age

L

Lb

h

Lb

L

Lb

L

Lb

(θ

L

+ θ

C

)

(

F

b→L

, C

bL

)

−43

−13

−(θ

L

+ θ

C

)h

Lb

+h

Lb

P

LV

Conta t ave lavisde hute

L

LV

0 L

LV

L

LV

(θ

L

+ θ

C

)

(

F

V →L

)

0 P

LM

Conta t ave lemarteau

l

h

LM

l

l(θ

L

+ θ

C

)

(

F

M →L

)

2.47 −(θ

L

+ θ

C

)h

LM

+h

LM

O

L

Centrede rotationdu levier

0

Bâton Repère

R

B

P

Bb

Conta t ave labutéede blo age

L

Bb

h

Bb

L

Bb

L

Bb

(θ

B

+ θ

C

)

(

F

b→B

, C

bB

)

−18.2

24.6 −(θ

B

+ θ

C

)h

Bb

+h

Bb

P

BD

Conta t ave labutéed'é happement

L

BD

0 L

BD

L

BD

(θ

B

+ θ

C

)

(

F

D→B

)

26.9

0 P

BM

Conta t ave lemarteau

L

BM

h

BM

L

BM

L

BM

(θ

B

+ θ

C

)

(

F

M →B

)

−9.97

50.14 −(θ

B

+ θ

C

)h

BM

+h

BM

O

B

Centrede rotationdu bâton

0

Marteau Repère

R

M

O

M

Centrede rotationdu marteau

0

0 L

O

M

h

O

M

−98.2

125.7 G

M

Centrede massedumarteau

L

G

M

0 L

G

M

(

P

M

= −m

M

g

)

−98.6

P

M B

Centredurouleau

L

M B

h

M B

L

M B

− h

M B

θ

M

L

M B

θ

M

+ h

M B

−15.5

−12.3

Butée ("doigt") Repère

R

D

O

D

Coin de labutée

0

0 L

O

D

h

O

D

−70.2

74.4 C

Point de onta t ave lebâton

d

z

D

d − θ

D

z

D

z

D

+ θ

D

d

(

F

D→B

)

D

Autre oinde labutée

L

D

0

à lasurfa e dufeutre aurepos

10.4 −60.01

72.16 P

V L

Vis de hute danslebâti

L

V L

h

V L

(48)

Point Des ription

x

y

x

0 y

0 F

α→β

) valeur valeur

(mm) (mm) (mm) (mm)

Tab. 2.1:Paramètres géométriques

Pour ne pasalourdir en orelesnotations, nousavonsréservélemême indi e

b

auxbutées deblo agedulevierderépétitionetdubâton,bienquelesdeuxpoints orrespondantsdu hevalet soient diérents. Les variables d'espa e hoisies pour dé rire le mouvement sont données par le tableau 2.2. La valeur dite initiale de

θ

T

est en réalité elle pour laquelle la tou he quitte sonsupport arrière e qui dénira également

t = 0

.Pour ela, lemouvement auradû ommen er légèrement avant.Onnégligera ette phasedu mouvement.