Exercices et problèmes d'électricité - PCSI-PSI AUX ULIS

(1)

Problème 1 : Mesures d’impédances

A. Mesure de l’impédance de sortie d’un générateur basse

fréquence (GBF)

On modélise un GBF par une source idéale de tension de force électromotrice

( )

m

cos

( )

E t

=

E

ω

t

en série avec une résistance

R

_g.

On réalise le protocole expérimental suivant :

À l’aide d’un oscilloscope, on visualise la tension à vide du GBF. On observe une

tension sinusoïdale d’amplitude

E

₀

=

8 V

.

On place ensuite aux bornes du GBF une résistance R variable, et on visualise à

l’oscilloscope la tension aux bornes du GBF. On ajuste la valeur de R afin

d’obtenir une tension d’amplitude

E

₀

/ 2

. Celle-ci est obtenue pour une valeur

c

50 R

=

R

=

Ω .

1. Schématiser les deux montages utilisés.

2. Déterminer les valeurs de

E

_m

et

R

_g

.

B. Mesure de l’impédance d’entrée d’un oscilloscope

On modélise l’impédance d’entrée d’un oscilloscope par une résistance

R

₀ montée en parallèle avec

un condensateur de capacité

C

₀. On ne tiendra pas compte dans cette partie de la résistance interne

g

R

du GBF.

(2)

2. À la fréquence

f

=

1 kHz

, on branche aux bornes du GBF une résistance variable

R

en série avec l’oscilloscope. On suppose qu’à cette fréquence, le condensateur de

capacité

C

₀

peut être assimilé à un interrupteur ouvert

Pour

R

=

0 Ω

, le signal observé à l’oscilloscope a une amplitude

E

₀

; pour

1 M

R

=

Ω

, cette amplitude est divisée par deux.

Déterminer la valeur de la résistance d’entrée

R

₀

de l’oscilloscope.

3. Pour une fréquence plus élevée

f

=

100 kHz

, on réalise le même protocole

expérimental et on obtient une tension sinusoïdale d’amplitude

E

₀

/ 2

quand la

valeur de la résistance R est égale à 63 kΩ .

En déduire la valeur de la capacité

C

₀

.

C. Mesure d’impédances par

la méthode des ponts

On cherche à mesurer les caractéristiques électriques (

L

,

C

,

R

) de différents dipôles. Le pont ci-contre est alimenté par un

générateur parfait de pulsation

ω

.

I. Condition d’équilibre du pont

Le pont est équilibré si le courant circulant dans la branche

BD

est nul, c’est-à-dire si la tension

U

_BD est nulle.

(3)

II. Pont de Hay

Le dipôle d’impédance

Z

₁ est une bobine de résistance

R

et d’inductance

L

.

Les branches

BC

et

AD

contiennent des résistances

P

et

Q

.

La branche

DC

contient, montés en série, un condensateur de capacité

C

et une résistance

r

.

1. Écrire les expressions des impédances

Z

₁

et

Z

₃

.

2. Déduire R et L des valeurs de P , Q , r , C et ω pour lesquelles l’équilibre du

pont est réalisé.

Calculer R et L si

ω

=

1, 0 10 rad s

×

3 −1

,

P

=

2 k

Ω ,

Q

=

3 k

Ω ,

r

=

1, 4 k

Ω et

15 nF

C

=

.

III. Pont de Maxwell

Z

₃ correspond maintenant à un condensateur de capacité

C ′

et une

résistance

r ′

, montés en parallèle. Les autres branches sont les mêmes que dans la partie précédente.

1. L’équilibre étant obtenu, calculer R et L en fonction de P , Q , r′ et C ′ .

2. En déduire les valeurs de r′ et C ′ .

IV. Pont de Wien

Les branches

BC

et

DC

contiennent des résistances

P

et

Q

.

Z

₁ correspond à un condensateur

C

₁ en série avec une résistance

R

₁.

La branche

AD

contient un condensateur

C

en parallèle avec une résistance

R

.

(4)

2. Calculer les valeurs de R et C .

Données

:

R

₁

=

500 Ω ,

C

₁

=

1 F

µ ,

P

=

1, 0 10

×

3

Q

et

ω

=

2, 0 10 rad s

×

3 −1

.

Problème 2 : Quartz et électronique

Le silicium est, après l’oxygène, l’élément le plus abondant de la planète. Il représente, en masse,

27 %

de la lithosphère. La silice est de l’oxyde de silicium

SiO

₂. Le quartz, dont les propriétés sont très intéressantes pour réaliser des horloges électroniques, est une forme particulière de cristal de silice.

Il présente des propriétés physiques très intéressantes : la piézoélectricité. Quand on comprime un morceau de quartz dans une direction particulière, une tension apparait aux bornes du cristal (c’est l’effet piézoélectrique). Réciproquement, quand on applique une tension aux bornes d’un quartz, ce dernier se déforme proportionnellement à la tension électrique (c’est l’effet piézoélectrique inverse). Le quartz est très intéressant pour l’électronique car on parvient à réaliser des circuits oscillants, à base de résonateur à quartz, très stables dans le temps. Actuellement, le quartz est remplacé par certaines céramiques piézoélectriques.

A. Modèle électromécanique du résonateur à quartz

Un morceau de quartz est taillé sous forme de cylindre mince, de diamètre

1, 00 cm

d

=

et d’épaisseur

e

=

200 m

µ

. Des électrodes en or sont déposées sur les faces circulaires du quartz (on suppose que chaque face est totalement métallisée) (figure ci-contre). On parle d’électrodes de connexion. On a ainsi réalisé un condensateur plan.

D’un point de vue mécanique, lorsque l’on soumet le disque piézoélectrique à

une tension sinusoïdale

V t

( )

=

V

cos

( )

ω

t

, il va être, dans le cadre d’une

approximation linéaire, le siège d’une vibration mécanique sinusoïdale sous l’effet d’une force extérieure proportionnelle à cette tension.

Modélisation proposée : un élément de masse

m

du corps piézoélectrique, placé à une distance

x

de son point de repos, est soumis aux forces suivantes, toutes orientées selon un axe

(

Ox

)

que l’on ne précise pas ici :

(5)

une force de rappel type élastique kx

−

(

k

>

0 ) qui a pour origine la rigidité du

matériau ;

des frottements supposés proportionnels à la vitesse et de la forme

d

x

h

t

−

(

h

> ) ;

0 une force due à l’effet piézoélectrique

β

V t

_{( )}

(

β

> ) ;

0 le poids est négligé.

1. En appliquant la loi de la quantité de mouvement au petit élément de masse m

dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, établir l’équation différentielle

vérifiée par

x t

_{( )}

en supposant que le mouvement se fasse selon l’axe

(

Ox .

)

D’un point de vue électrique, la charge totale

q

apparaissant sur les électrodes planes a deux origines :

les deux faces planes du disque forment un condensateur de capacité

C

_P, d’où une charge

( )

1

q

t

;

l’effet piézoélectrique provoque l’apparition d’une charge

q

₂ proportionnelle à

x

:

( )

2

q

t

=

γ

x t

.

2. La capacité d’un condensateur plan s’écrit

0 r P

S

C

e

ε ε

=

où S est la surface d’une

électrode, e l’épaisseur du condensateur,

ε

₀

la permittivité du vide

(

ε

₀

=

8, 85 10

×

−12

F m

−1

) et

ε

_r

la permittivité relative du quartz (

ε

_r

=

2, 30

).

a. Estimer alors la capacité

C

_P

appelée capacité de connexion.

b. Quelle est la relation entre la charge

q

₁

, la capacité

C

_P

et la tension

V t

( )

?

3. En reprenant l’équation différentielle obtenue pour

x t

_{( )}

, écrire l’équation

(6)

4. Considérons le circuit représenté sur la figure

ci-contre.

Montrer que la charge

q

₂

_{( )}

t

est équivalente à la

charge d’un condensateur de capacité

C

_S

dans le

circuit série R , L ,

C

_S

dont la tension aux bornes est

V t

( )

. On donnera alors les

expressions de R , L et

C

_S

en fonction de m , h , β , γ et k .

B. Impédance équivalente

On considère ici négligeable la résistance

R

précédente. Le schéma électrique correspondant est indiqué sur la figure ci-contre.

Pour les applications numériques, on prendra

500 mH

L

=

,

C

_S

=

0, 0800 pF

,

C

_P

=

8, 00 pF

. On se placera toujours en régime sinusoïdal forcé (les grandeurs dépendront de la pulsation

ω

).

1.a. Déterminer l’impédance complexe

Z

_AB

du dipôle équivalent entre A et B .

Montrer qu’on peut l’écrire

2 2 r AB ₂ 2 a

1 j

1 Z

ω

αω

ω

−



_



= −

_



_





−

. On donnera, en fonction de L ,

P

C

et

C

_S

les expressions de α ,

ω

_a2

et

ω

_r2

.

b. Montrer que

2 2 a r

ω

>

ω

.

2. Donner les valeurs numériques des fréquences

f

_a

et

f

_r

correspondant

(7)

3. Étudier le comportement inductif ou capacitif du quartz en fonction de la

fréquence. On rappelle qu’un dipôle a un

comportement inductif (respectivement

capacitif) si la partie imaginaire de son

impédance est positive (respectivement

négative).

4. Tracer l’allure de

Z

_AB

=

Z

_AB

,

module de l’impédance complexe du quartz, en fonction de la fréquence.

C. Étude expérimentale de la résonance

On désire étudier la réponse fréquentielle du quartz. On l’insère pour cela dans un circuit comportant

un GBF de résistance de sortie

R

_g, une résistance

R

_v variable, et un oscilloscope.

Dans cette partie, on néglige toujours la résistance du quartz, sauf dans la question 3.. On réalise alors le montage de la figure ci-contre.

1. Calculer le rapport de la tension de sortie

V

_S

à la tension d’entrée

V

_E

(

S

E

V

H

V

=

)

en fonction de

R

_v

et de

Z

_AB

.

2. On choisit, pour chaque fréquence, la résistance

R

_v

de telle façon que

1

2 H

=

.

Que vaut alors le module de l’impédance du quartz en fonction de

R

_v

?

3.a. Autour du pic de résonance d’intensité situé vers

f

_r

=

796 kHz

, on mesure une

bande passante de 50 Hz . Quelle est la valeur numérique du facteur de qualité ?

b. En supposant que le facteur de qualité soit donné par la relation

_Q

L

r

R

ω

=

,

(8)

D. Principe d’une montre à quartz

Une horloge comprend un oscillateur et un système permettant de compter les oscillations. Le quartz

utilisé possède une fréquence de résonance

f

₁

=

32768 Hz

. Cela signifie que

32768

fois par seconde une impulsion électrique est émise par le circuit oscillant. Un dispositif électrique doit compter les impulsions. Ces compteurs fonctionnent dans la technologie binaire (suite de

0

et de

1

). Une impulsion électrique correspond à la valeur

1

. La valeur 0 correspond à aucun signal électrique.

1. Compteur modulo 2

Un compteur modulo 2 fournit en sortie une impulsion chaque fois qu’il reçoit 2

impulsions en entrée. Le signal de fréquence

f

₁

fourni par le circuit à quartz est

envoyé à l’entrée de ce compteur. Quelle est alors la fréquence du signal de sortie ?

2. Cascade de compteurs modulo

2

a. Écrire le nombre

32768

sous la forme

2

k où

k

est un entier naturel.

b. Quel est le nombre de compteurs modulo

2

qu’il est nécessaire d’utiliser afin de commander le chiffre des secondes ?

Problème 3 : Impédance d’une bobine

On étudie une bobine d’inductance

L

et de résistance

r

.

On associe en série avec cette bobine, un résistor de résistance

R

=

40 Ω

et un condensateur de capacité

C

=

10 F

µ

.

Le GBF (générateur basses fréquences) est réglé pour délivrer une tension sinusoïdale de pulsation

ω

.

(9)

On étudie le filtre pour lequel la tension d’entrée est

u

_e et la tension de sortie

u

_R.

1. Représenter les schémas équivalents à basse puis à haute fréquence. En déduire la

nature du filtre.

2. Exprimer la fonction de transfert H en fonction de , , , ,

r R L C ω

.

3. Mettre H sous la forme

max 0 0

1 j

ω

=



_



+

_

−



_









H

Q

. On exprimera littéralement

max

H

, le paramètre

ω

₀

ainsi que le facteur de qualité Q de ce circuit en fonction de

, , ,

r R L C

.

(10)

4. Déterminer, à partir du graphe et des données initiales, les valeurs de r et L .

Problème 4 : Action d'un filtre sur un signal

périodique

Un filtre a pour fonction de transfert

0 1 1 H j

ω

− = +

a) Quelle est la nature du filtre ? Quelle est la fréquence de coupure ? On donne ω0 = 1,2.105 rad.s-1.

Trouver vS en régime forcé et commenter éventuellement le résultat sachant que ve vaut

successivement (v0 et v1 sont des constantes) :

b) ve(t) = v0cos(ω0t) ;

c) ve(t) = v0cos(ωt);

d) ve(t) = v0cos(ω0t) + v1;

e) ve(t) = v0cos(ω0t) + v1 cos(2ω0t);

(11)

g) ve (t) est le créneau représenté ci-dessous, de période T = 10-5 s.

Problème 5 : Filtre linéaire ou non ?

On envoie sur différents filtres le signal e(t) dont le spectre est donné ci-dessous. Les spectres des signaux de sortie des filtres numéro 1, 2 et 3 sont donnés ci-dessous.

a) Conclure quant à la linéarité des différents filtres.

b) Pour les filtres linéaires, donner leur nature. On proposera des ordres de grandeur pour leurs caractéristiques.

Problème 6 : Exemple de filtrage

On considère le filtre représenté en figure ci-dessous. On donne les valeurs : R = 80 Ω, L = 200 mH et C = 10 μF, et on pose ω₀2LC=1.

(12)

a) Par un raisonnement qualitatif, donner la nature du filtre.

b) Déterminer la fonction de transfert H(jω) = s e

v v .

c) Tracer la courbe |H(jω)|. En déduire l'ordre de grandeur de la pulsation de coupure.

Le filtre est alimenté par une fonction périodique ve(t) de fréquence

1 1000 f Hz T = = , représentée ci-dessous. On appelle Tf T

α

= le rapport cyclique. On décompose e(t) sous la forme :

0 1 ( ) ncos( n) n e t c c n tω +∞ = = +

∑

+ Φ avec 2 T π ω = , c0 = αV0 et 2 0 sin( ) V cn n nπ πα = .

d) On se propose de déterminer le signal de sortie s(t). Expliquer pourquoi la tension de sortie s(t) est sensiblement constante dans le temps. Déterminer la valeur sm de cette constante en fonction de V0 et

a.

e) Vérifier que, pour obtenir un ordre de grandeur convenable de l'ondulation résiduelle de la tension de sortie s, il suffit de ne considérer dans le calcul que le fondamental dans la série de Fourier. On

calculera son rapport avec l'harmonique n = 2 pour 3 4

α = .

f) Déterminer alors l'ondulation Δs = smax - smin de la tension de sortie. En déduire le taux

d'ondulation

m

s s ∆