correction

Exercice 1

Partie A :

Soit la fonction f définie sur l'intervalle I = [

2 1 ; 14 ] par f : x a f (x) = - 2 1 x + 2 ln x.

1. Compléter le tableau de valeurs fourni en annexe (on donnera les valeurs à 10-2 près) : on utilise le mode Table de la calculatrice graphique.

x 0,5 1 2 3 4 6 8 10 12 14 f (x) – 1,64 – 0,5 0,39 0,70 0,77 0,58 0,16 – 0,39 – 1,03 – 1,72 2. a) Déterminer la dérivée f ’ de f. Pour tout x de I, x x x f 2 2 1 1 2 1 2 1 ) ( ' =− × + × =− + .

b) Montrer que f ’(x) est du signe de (- x + 4). Pour tout x de I, x x x x x x x x x x f 2 4 2 4 2 2 2 2 2 1 2 2 1 ) ( ' = − + =− + × × + × × − = + − =

Pour tout x de I, 2x > 0 donc f ’(x) et (– x + 4) ont le même signe.

c) Préciser le sens de variation de f puis dresser le tableau de variation de la fonction f sur I. Signe de f ’(x) :

f ’(x) = 0 équivaut à – x + 4 = 0 c’est-à-dire à x = 4.

f ’(x) > 0 équivaut à – x + 4 > 0 c’est-à-dire à x < 4 donc, f ’(x) > 0 pour tout x de [

2 1

; 4 [.

f ’(x) < 0 équivaut à – x + 4 < 0 c’est-à-dire à x > 4 donc, f ’(x) < 0 pour tout x de ] 4 ; 14 ].

Sens de variations de f :

Compte tenu du signe de f ’(x), la fonction f est croissante sur [ 2 1 ; 4 ] et décroissante sur [ 4 ; 14 ].. Tableau de variations de f : x 2 1 4 14 f ’(x) + 0 – Sens de variation de f f(4) = 0.78 f( 2 1 ) = – 1,64 f(14) = – 1,72.

3. L'une des trois courbes (C1), (C2) ou (C3) est la représentation graphique de la fonction f.

Préciser laquelle convient en justifiant votre réponse.

Bac blanc mathématiques

– Avril 2014- Durée 2h

Courbe (C1) Courbe (C2) f( 2 1 ) = – 1,64 Sur le graphique relatif à la courbe (C1), on lit : f(

2 1

) = – 0.5 donc la courbe (C1) n’est pas la représentation graphique de f .

Sur le graphique relatif à la courbe (C2), on lit : f( 2 1

) = –3 donc la courbe (C2) n’est pas la représentation graphique de f ..

Comme l'une des trois courbes (C1), (C2) ou (C3) est la représentation graphique de f , cette courbe est la courbe (C3).

Partie B :

La société DUGIGA fabrique et vend des micro-ordinateurs.

Son bénéfice B (en dizaines de milliers d'euros) peut s'exprimer en fonction du nombre x (en milliers) d'ordinateurs vendus selon la relation B (x) = -

2 1

x + 2 ln x.

1. a) Déduire de la partie A qu'il existe un nombre d'ordinateurs vendus pour lequel le bénéfice est maximal.

B (x) = f (x) . Donc les variations de B sont celles de la fonction f de la partie A. D’après la question 2 c) de la partie A, f(4) est la valeur maximale de f.

Il en résulte que le bénéfice est maximal lorsque le nombre d’ordinateurs vendus est égal à 4 milliers, c’est-à-dire à 4000.

a) Calculer ce bénéfice maximal (à l'euro près).

La valeur maximale f(4) de f est environ égale à 0,77259.

Donc, le bénéfice maximal B (4) est environ égal à 0,77259 dizaine de milliers d’euros, c’est-à-dire 7725,9 euros.

Donc, à l’euro près, le bénéfice maximal est 7726 euros.

2. Par lecture graphique, préciser le nombre minimal d'ordinateurs que la société doit vendre pour commencer à gagner de l'argent.

Par lecture graphique, l’ordonnée f (x) d’un point d’abscisse x de la courbe (C3) est positive, dès que x est supérieur à environ 1,4.

Donc, le nombre minimal d'ordinateurs que la société doit vendre pour commencer à gagner de l'argent est environ égal à 1,4 milliers d’ordinateurs, c’est-à-dire 1400.

Courbe (C3)

Exercice 2

1. Nombre d’électeurs

Soit N le nombre d’électeurs de la communauté de communes.

85% des électeurs (inscrits), soit 1394, se sont déplacés pour le référendum. Donc,

100 85 _× N = 1394. D’où, N = 85 100 1394×

= 1640. Il y a donc 1640 électeurs (votants) dans cette communauté de communes.

2. Remplissage du tableau

Quelle démarche adopter pour trouver les résultats attendus ? Le détail des calculs n’est pas demandé.

• Prise en compte des indications fournies :

Il y a autant d’électeurs âgés de 18 à moins de 30 ans que d’électeurs âgés de 66 ans ou plus.

Pour la 2ème et 6ème colonne, le total est donc le même est doit être la moitié de 1394-291-324-289=490, soit 245 pour chaque colonne.

Parmi les électeurs âgés de 18 à moins de 30 ans, 80% souhaitent l’implantation d’un champ d’éoliennes. Ce qui fait _{245 196}

100 80

= ×

Parmi les électeurs âgés de 30 à moins de 42 ans, il y a cinq fois plus de personnes qui souhaitent l’implantation que de personnes qui ne se prononcent pas. Il y a 291 personne âgées de de 30 à moins de 42 ans, dont 45 ne souhaitant pas l’implantation, il reste donc 246 personnes. Donc ₄₁

6 246

= personnes ne se prononçant pas et 5×41=205_{pour l’implantation.}

Parmi les électeurs âgés de 66 ou plus, il y autant de personnes qui souhaitent l’implantation que de personnes qui ne la souhaitent pas. Il y 245 personnes âgées de 66 ou plus ; dont 47 ne se prononçant pas, ce qui laisse 245-47=198 électeurs. Donc ₉₉

2 198

= électeurs pour l’implantation et 99 électeurs contre l’implantation.

Le tableau de contingence est le suivant (les nombres manquant sont obtenus grâce aux 4 indications ci-dessus et aux totaux par ligne et/ou colonne) :

Age (années) Réponse [18 ; _30[ [30 ; _42[ [42 ; _54[ [54 ; _66[ [66 ; _96[ Total Souhaitent l’implantation 196 205 223 151 99 874 Ne souhaitent pas l’implantation 21 45 77 81 99 323 Ne se prononcent pas 28 41 24 57 47 197 Total 245 291 324 289 245 1394 3. Pourcentage d’électeurs

Parmi les 874 électeurs qui souhaitent l’implantation, 223 sont âgés de 42 à moins de 54 ans.

874 223

= 0,2551 à 10-4 près.

Parmi les électeurs qui souhaitent l’implantation d’un champ d’éoliennes, le pourcentage de ceux qui sont âgés de 42 à moins de 54 ans est égal, au centième près, à 25,51%.

4. Pourcentage d’électeurs qui ne souhaitent pas l’implantation d’un champ d’éoliennes Parmi les 1394 électeurs, 323 ne souhaitent pas l’implantation.

1394 323

= 0,2317 à 10-4 près.

Le pourcentage d’électeurs qui ne souhaitent pas l’implantation d’un champ d’éoliennes est égal, au centième près, à 23,17%.

5. Tranche d’âge _Tranche d’âge

Pourcentage d’électeurs qui ne se prononcent pas [18 ; 30[ 28₂₄₅ soit environ 11,4% [30 ; 42[ 41₂₉₁ soit environ 14,1% [42 ; 54[ 24₃₂₄ soit environ 7,4% [54 ; 66[ 57₂₈₉ soit environ 19,7% [66 ; 96[ 47₂₄₅ soit environ 19,2%

[54 ; 66[ est la tranche d’âge dans laquelle le pourcentage d’électeurs qui ne se prononcent pas pour l’implantation d’un champ d’éoliennes est le plus élevé.

6.a) Moyenne et écart-type

Soit respectivement x et

σ

(on utilise les deux premières lignes du tableau uniquement).

A l’aide d’une calculatrice, on obtient : x = 45,61 à 10-2 près et

σ

L’âge moyen de ces électeurs est environ 45,6 ans, l’écart-type de leurs âges est environ 17,5 ans. 6.b) Comparaison des paramètres

Electeurs souhaitant

l’implantation

Electeurs ne souhaitant pas l’implantation

âges

La comparaison des paramètres relatifs à ces deux groupes d’électeurs peut se traduire ainsi :

• L’âge moyen des électeurs qui souhaitent l’implantation d’un champ d’éoliennes est inférieur à l’âge moyen de ceux qui ne la souhaitent pas.

• La dispersion des âges autour de leur moyenne pour les électeurs qui souhaitent l’implantation est peu différente de celle des électeurs qui ne la souhaitent pas.