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Méthode des équations intégrales dans un problème de diffraction par une interface non bornée en 2D

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

Méthode des équations intégrales dans un

problème de diffraction par une interface non

bornée en 2D.

Thèse présentée par

.

Ghania DAKHIA

.

Pour obtenir le titre de

.

Docteur en Mathématiques

.

Option: Mathématiques Appliquées

11 février 2011

(2)

Remerciements

Je voudrais tout d’abord remercier Monsieur Lahcène CHORFI , Professeur à l’université de Annaba, qui est l’origine de ce travail. C’est un honneur pour moi de travailler avec lui et je ne peux qu’admirer son talent. Je lui suis infiniment reconnaissante, non seulement parce qu’il a accepté de me prendre en thèse, mais aussi parce qu’il a partagé ses idées avec moi. Il a dirigé ma thèse avec beaucoup de patience et il a dédié beaucoup de temps à mon travail en étant toujours très disponible, ce qui m’a énormément encouragée.

Merci à Monsieur B. KHODJA, Professeur à l’université de Annaba d’avoir accepté de présider le jury de cette thèse.

Je remercie Monsieur L. BENCHEIKH, Professeur à l’université de Sétif, de m’avoir fait l’honneur d’accepter de juger ce travail.

Je voudrais également remercier Monsieur A.S CHIBI, Professeur à l’université de An-naba, pour son encouragement et pour avoir accepté de participer au jury de thèse.

Je tiens à remercier Monsieur M. DENCHE, Professeur à l’université de Constantine, pour l’honneur qu’il me fait en acceptant d’évaluer ce travail.

Mes vifs remerciements vont également à Monsieur L. NISSE, Professeur à l’université de Annaba, pour avoir accepté d’examiner ma thèse et de faire partie de mon jury.

Les travaux présentés n’auraient probablement pu aboutir sans la collaboration de l’UMA (unité de mathématiques appliquées) de l’Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées ENSTA (Paris). Je tiens donc à remercier Madame Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia directrice adjointe de laboratoire POEMS (Propagation des Ondes, Etude Mathématique et Simulation) pour son accueil au sein de leur unité de recherche. Je tiens particulièrement à la remercier de m’avoir fait confiance et ouvert les portes de l’UMA lors de mes stages en France.

Merci à Monsieur Christophe Hazard membre de l’équipe POEMS pour son soutien et pour son énorme travail qu’il a fait.

Finalement j’adresse un grand merci à toute ma famille qui a toujours été présente lorsque j’en ai eu besoin, en particulier à mon mari, à mon père et à ma mère.

(3)

Résumé

La thèse est composée de deux parties. Dans la première partie, on considère la diffraction d’une onde acoustique harmonique par un défaut dans un guide d’onde ouvert bidimension-nel. L’onde diffractée satisfait l’équation de Helmholtz dans un demi-plan stratifié perturbé. On introduit une nouvelle condition de radiation dite modale, basée sur la transformée de Fourier généralisée qui diagonalise la partie transverse de l’opérateur de Helmholtz. Utilisant la fonction de Green du demi-plan stratifié le problème de diffraction est reformulé sous la forme d’une équation intégrale du type Lippmann-Schwinger. Grâce à l’alternative de Fred-holm l’existence de la solution résulte alors de l’unicité. L’unicité de la solution a été prouvée par une technique originale qui combine la propriété du flux d’énergie avec un argument d’analycité par rapport à la variable spectrale.

La deuxième partie est consacrée à la diffraction d’une onde plane harmonique par une interface rugueuse non bornée. Dans ce cas l’onde diffractée satisfait un problème de trans-mission. Pour garantir l’unicité on impose ici la condition de radiation UPRC introduite par Chandler-Wilde qui caractérise les ondes sortantes dans la direction transverse et généralise la condition de Sommerfeld lorsque le champ ne décroit pas à l’infini. L’existence de la solu-tion est établie à l’aide de la méthode des équasolu-tions intégrales. Les propriétés des potentiels simple- couche et double-couche sur des surfaces rugueuses non bornées sont étudiées. Le problème de transmission est réduit à un système d’équations intégrales sur la droite réelle. Pour sa résolution, on adapte une théorie développée récemment par Chandler -Wilde et Zhang dans l’espace des fonctions continues et bornées sur R.

(4)

Table des matières

I

Diffraction par un défaut dans un guide d’ondes ouvert

7

1 Position du problème 8

2 La condition de radiation modale 11

2.1 Modes d’un guide d’ondes uniforme . . . 11

2.2 La transformée de Fourier généralisée . . . 12

2.2.1 La fonction de Green . . . 14

2.2.2 Calcul de la mesure spectrale . . . 15

2.2.3 Relation entre la décroissance physique et la régularité spectrale . . . . 18

2.3 Expression de la condition de radiation . . . 20

3 Radiation dans le guide d’ondes uniforme 23 3.1 Le problème de radiation . . . 23

3.2 Le flux d’énergie longitudinal . . . 26

4 Diffraction dans le guide d’ondes localement perturbé 30

II

Diffraction par une interface rugueuse non bornée

36

5 Formulation du problème d’interface 37 5.1 Introduction . . . 37

5.2 Notations . . . 38

5.3 Condition à l’infini . . . 39

5.4 Unicité de la solution . . . 40

(5)

6.1 Fonction de Green du demi-plan . . . 45

6.2 Potentiel simple couche . . . 50

6.3 Potentiel double-couche . . . 54

7 Existence de la solution 65 7.1 Système intégral . . . 65

7.2 Equations intégrales sur la droite réelle . . . 66

7.3 Résolution du système intégral (S) . . . 70

(6)

Introduction générale

Dans cette thèse on étudie un problème de diffraction d’ondes acoustiques par une in-terface non bornée qui sépare deux milieux homogènes du plan R2. Plus précisément, soit

f (x1) une fonction continue et bornée sur R telle que 0 < f (x1) < H, H > 0. On divise le

demi-plan R2

+ = {x = (x1, x2) ∈ R2, x2 > 0} en deux ouverts

Ω1 = {x = (x1, x2); 0 < x2 < f (x1)} et Ω2 = {x = (x1, x2); x2 > f (x1)}.

de frontière commune Γ = {(x1, f (x1); x1 ∈ R)}. Soit k1 et k2 deux nombres complexes. Soit

k(x1, x2) une fonction définie par

k(x1, x2) =

 k1 si x ∈ Ω1

k2 si x ∈ Ω2

On pose le problème de diffraction en acoustique. Considérons une onde plane incidente d’angle d’incidence θ, elle est donnée par

uinc= exp ik2(sin θx1− cos θx2), θ ∈ (−π/2, π/2)

Le champ total utot =  u1 dans Ω1 uinc+ u 2 dans Ω2

satisfait l’équation de Helmholtz dans R2.

(P )   

∆utot+ k(x1, x2)utot = 0 dans Hloc1 (R 2 +) ,

utot = 0 si x 2 = 0

u2 vérifie une condition de radiation quand |x| → +∞.

Le champ diffracté u = (u1, u2), satisfait alors le problème de transmission suivant :

(T )           

trouver uj ∈ C2(Ωj) ∩ C1(Ωj), j = 1, 2, tel que :

∆uj+ kj2uj = 0 dans Ωj ,

u1 = 0 si x2 = 0,

u2− u1 = −uinc, ∂u∂n2 − ∂u∂n1 = −∂u

inc

∂n sur Γ,

u2 satisfait une condition de radiation quand r = |x| → +∞, (x2 > H).

∂uj

∂n désigne la dérivée normale de uj à travers l’interface Γ, la normale n est dirigée vers Ω2 (i.e. n2 > 0).

Ce problème modélise par exemple la diffraction d’ondes sonores ou électromagnétiques par la surface de la mer. Dans ce cas Ω1 est le profil du milieu fluide (océan) et Ω2 le profil

de l’atmosphère (air). Il s’agit d’un problème bidimensionnel, on suppose que le milieu est cylindrique et que l’onde incidente est normale à l’axe du cylindre.

La méthode des équations intégrales est un outil puissant pour la résolution des problèmes d’ondes. Cela consiste à formuler le problème aux limites sous la forme d’une équation inté-grale posée sur le bord de l’obstacle. Deux approches de la théorie des équations intéinté-grales

(7)

sont possibles : la formulation directe et la formulation indirecte. La formulation directe re-pose sur le second théorème de Green, l’inconnue dans l’équation intégrale est la trace du champ ou de sa dérivée normale selon qu’on considère la condition au bord de Dirichlet ou de Neumann. Dans la formulation indirecte, on cherche la solution sous forme d’un potentiel, l’inconnue est une densité qui n’a pas de sens physique, puis on montre l’équivalence entre le problème aux limites et l’équation intégrale. Ces deux approches font intervenir la fonction de Green qui représente l’influence d’une source ponctuelle située au point Q sur un point P. L’avantage de cette méthode est de réduire la dimension du problème et parfois (ce qui correspond à la diffraction par un obstacle borné) de remplacer un problème sur un domaine non borné par un autre posé sur un domaine borné. Dans le problème en domaine non borné on impose souvent une condition de rayonnement qui fixe le comportement du champ à l’in-fini. Cette condition à l’infini n’apparaît pas directement au niveau de l’équation intégrale, elle est prise en compte par la fonction de Green d’un problème de référence (non perturbé). La solution exacte des équations intégrales est connue dans des cas rares, cependant cette formulation constitue une base pour les méthodes numériques (éléments finis de frontières). En revanche, sur le plan mathématique, il est important de formuler l’équation intégrale dans un cadre fonctionnel et de s’intéresser aux propriétés d’existence et d’unicité.

La résolution du problème de diffraction d’onde par un obstacle plongé dans l’espace ou le demi-espace homogène est bien connue dans la littérature. On peut citer par exemple le monographe de Colton et Kress [15](Bibliographie 2) et l’article [9](Bibliographie 1). Par contre, le phénomène de diffraction d’onde par un obstacle non borné ou dans l’espace stratifié pose des difficultés d’analyse mathématique et numérique. Pour la diffraction par une surface rugueuse ou une couche non homogène, on peut citer les travaux récents de Chandler-Wilde et de Bo Zhang ([10, 11, 12, 18])(Bibliographie 2) en acoustique et électromagnétisme et de Tilo Arens ([3, 4, 5])(Bibliographie 2) en élasticité. Dans l’article de S.N. Chandler-Wilde et Bo. Zhang (voir [10])(Bibliographie 2), on considère la diffraction d’une onde électromagnétique par une couche non homogène absorbante ( Im (k) 6= 0). Le champ diffracté est représenté par une intégrale restreinte à la couche.

Dans notre cas on cherche la solution de (T ) sous la forme d’un potentiel combiné défini sur l’interface Γ, d’où la réduction de la dimension du problème , ce qui est intéréssent numé-riquement. Cette représentation est utilisée dans les travaux ([5, 18])(Bibliographie 2) pour une frontière illimitée mais régulière dans un plan. Notre problème présente des difficultées supplémentaires en raison de la couche Ω1 qui laisse propager des ondes guidées.

Cette thèse est composée de deux parties.

1) Dans la première partie, on résout le problème (T ) avec une interface rectiligne localement perturbée, c’est à dire que f s’annule en dehors d’un intervalle compact [−a, a]. En fait on résout le problème (P ) dans une situation plus générale : on suppose que k(x1, x2) =

k0(x2) + d(x1, x2) avec k0(x2) = k1 si x2 < h et k0(x2) = k2 si x2 > h (0 < k2 < k1)

où d est une fonction à support compact dans R2+. Ce cas s’inscrit dans le cadre de la

diffraction par un défaut dans un guide d’onde uniforme. Ici on impose une condition de radiation basée sur une représentation modale de la solution du problème non perturbé (associé au guide uniforme, c.à.d. d = 0). Les résultats de cette recherche sont publiés dans le journal (réputé) SIAM, Applied Mathematics [2](Bibliographie 1).

(8)

2) Dans la deuxième partie, on résout le problème (T ) dans le cas général (f à support non compact). On cherche la solution sous forme d’un potentiel (combiné) utilisant la solution fondamentale de l’opérateur de Helmholtz. Cette solution satisfait la condition de radiation du type UPRC introduite par Chandler-Wilde, et par conséquent elle est unique.

(9)

Première partie

Diffraction par un défaut dans un guide

d’ondes ouvert

(10)

Chapitre 1

Position du problème

On étudie la diffraction d’une onde acoustique (harmonique) par un défaut localisé dans un guide d’onde ouvert. On considère ici le problème bidimensionnel où le guide d’onde occupe le demi-plan R2

+:= {(x, z) ∈ R2; z > 0}. En absence de défaut, la propagation d’onde

est décrite par une fonction réelle k0, appelée nombre d’onde, qui dépend seulement de la

variable z, qui définit la direction transverse du guide d’onde

k0(z) :=

 k1 si 0 < z < h

k2 si z > h

avec 0<k2 < k1,

où la dernière hypothèse assure l’existence d’ondes guidées, qui se propagent dans la direction longitudinale x. La présence du défaut est representée par une perturbation locale de k0(z)

décrite par la fonction réelle k telle que :

k(x, z) − k0(z) à support compact.

Le problème de diffraction est alors défini comme suit. Considérons une onde incidente u0

solution de

− ∆u0− k02(z)u0 = 0 dans R2+, (1.1)

u0(x, 0) = 0 pour x ∈ R, (1.2)

qui est une donnée, et cherchons l’onde perturbée ”u” solution de

− ∆u − k2(x, z)u = 0 dans R2+, (1.3) u (x, 0) = 0 pour x ∈ R, (1.4) tel que l’onde diffractée us := u − u0 est une onde sortante. La façon de caractériser cette

nature sortante de us est le sujet principal de cette étude. Dans le cas de l’espace homogène,

la condition de radiation, bien connue, de Sommerfeld [6] joue ce rôle. Pour l’espace stratifié, l’idée naturelle est d’utiliser une expression généralisée de cette condition contenant les dif-férents nombres d’ondes qui correspondent aux différentes couches. Cette généralisation est possible dans certaines situations (voir [7]), mais parait insuffisante si le milieu permet la pré-sence des modes guidés qui se propagent dans la direction des couches. Différentes solutions

(11)

Figure 1.1 – Le guide perturbé.

ont été proposées. La condition introduite par Xu dans [21, 22] pour le milieu stratifié en trois dimensions consiste à décomposer le champ diffracté en une somme finie d’ondes guidées et une onde libre, puis imposer séparément pour chacun d’elles la condition de radiation usuelle de Sommerfeld avec le nombre d’onde approprié (des conditions bi-dimensionnelle pour les composantes guidées et une condition tri-dimensionnelle pour la partie libre). Plus récem-ment, Ciraolo et Magnanini [4] ont proposé pour la même décomposition du champ diffracté une forme faible des conditions de type Sommerfeld pour les diverses composantes (leur étude concerne seulement le guide uniforme, mais leur condition est probablement appliquée pour le guide d’ondes localement perturbé). Dans un contexte légèrement différent d’un milieu qui permet la propagation des ondes de surfaces similaires aux ondes guidées, Duran et al. [9] ont proposé une adaptation de la condition de Sommerfeld en divisant le milieu de propagation en deux régions et imposer pour chacune une condition de type Sommerfeld. Nous pouvons aussi mentionner la condition de radiation "UPRC" introduite par Chandler-Wilde [3] qui est basée sur une représentation intégrale sur une surface infinie à l’extérieur de la couche. Mais cette condition ne tient pas compte des ondes guidées pouvant se propager : en effet elle contrôle le comportement transversal du champ diffracté, mais pas dans la direction des couches.

La condition de radiation modale proposée ici est inspirée de l’article de Bonnet-Ben Dhia et Tillequin [1] sur la jonction de guides d’ondes ouverts. Son originalité consiste dans l’utilisation de la transformée de Fourier généralisée, qui diagonalise la partie transverse (le long de z) de l’opérateur de Helmholtz non perturbé. L’utilisation de cette transformation dans le contexte d’un milieu stratifié n’est pas nouvelle [8, 14, 19, 20]. C’est un outil effi-cace pour étudier le comportement du champ acoustique dans la direction horizontale x : à l’extérieur du défaut, le champ apparaît comme une superposition de modes guidés et de modes de radiation. La condition de radiation modale proposée dans cette thèse contrôle le comportement longitudinal : elle permet seulement les modes sortants dans cette dernière superposition. Du point de vue physique, cela signifie que l’énergie de l’onde est radiée vers l’infini dans la direction longitudinale. Une telle condition est suffisante pour caractériser le comportement global du champ sortant : il est suffisant d’imposer une condition de dé-croissance dans la direction transverse, qui est implicitement contenue dans la condition de radiation modale.

(12)

Le but principal est de prouver que le problème précédent de diffraction soumis sous la condition de radiation modale est bien posé. L’idée générale de la preuve est plutôt classique. On réduit le problème de scattering à l’équation intégrale de Lippmann–Schwinger pour laquelle l’alternative de Fredholm est applicable. L’existence de la solution découle alors de l’unicité. Ces questions se rapportent au chapitre 4. Les deux chapitres qui précèdent celui-ci sont consacrés au guide uniforme et nous fournissent les outils essentiels pour établir la solvabilité du problème de scattering. Dans la section 2.1, on rappelle d’abord les notions usuelles de mode guidé et de mode de radiation. La décomposition suivant cette famille de modes conduit à la transformée de Fourier généralisée associée au guide, dont les principales propriétés sont rassemblées dans la section 2.2. Ceci nous permet de formuler la condition de radiation modale dans la section 2.3. Cette condition est bien adaptée pour décrire le comportement de l’onde générée par une excitation locale. On établit dans la section 3.1 la résolubilité du problème de radiation non perturbé en introduisant la fonction de Green associée. On montre ensuite dans la section 3.2 une propriété fondamentale de la solution grâce à la notion de flux d’énergie longitudinal.

Dans cette partie, on va utiliser la détermination de la racine carrée complexe suivante :

p

ζ := |ζ|1/2ei(arg ζ)/2 avec − 3π/2 < arg ζ ≤ π/2.

(13)

Chapitre 2

La condition de radiation modale

2.1

Modes d’un guide d’ondes uniforme

Dans le cas du guide d’ondes uniforme, les modes sont simplement obtenus par la méthode de séparation de variables, qui permet de chercher les solutions de (1.1) et (1.2) sous la forme u0(x, z) = ϕ(z)epx, pour un certain p ∈ C. Cela conduit au problème de Sturm-Liouville

suivant :

Trouver λ ∈ C et une fonction non nulle ϕ tels que −ϕ00− k2

0ϕ = λϕ dans R

+ (2.1)

ϕ(0) = 0 (2.2)

où λ = p2. Pour résoudre ce problème, on considère pour tout λ ∈ C les solutions de base de

(2.1) suivantes : cλ(z) = cos q k2 0(z) + λ(z − h)  et sλ(z) = sin n pk2 0(z) + λ(z − h) o pk2 0(z) + λ

Notons que ces expressions ne dépendent pas du choix d’une détermination de la racine carrée complexe, puisque ce sont des fonctions paires depk02(z) + λ. Par conséquent, cλ(z) et sλ(z)

sont des fonctions entières de λ ∈ C. La combinaison linéaire de ces fonctions donnée par : Φλ(z) = cλ(0)sλ(z) − sλ(0)cλ(z) (2.3)

satisfait la condition aux limites Φλ(0) = 0 et Φ0λ(0) = 1. Donc, elle définit une famille entière

(par rapport à λ ) de solutions de (2.1)-(2.2). Remarquons que pour z > h, Φλ(z) peut être

décomposée sous la forme

1 2( cλ(0) ipk2 2 + λ − sλ(0))ei √ k2 2+λ(z−h)− 1 2( cλ(0) ipk2 2 + λ + sλ(0))e−i √ k2 2+λ(z−h)

(14)

Nous voyons que Φλ (z) est en générale non bornée lorsque z → +∞, à l’exception de

deux ensembles de valeurs de λ. D’une part si λ ∈ [−k22, +∞[, il s’agit d’une fonction bornée oscillante. D’autre part, si λ ∈ ]−k21, −k22[, il faut que λ soit une solution de l’équation

cλ(0) =

q −k2

2 − λ sλ(0) (2.4)

équivalente à l’équation de dispersion

tan q λ + k2 1h = − s λ + k2 1 −λ − k2 2 avec λ ∈−k21, −k22 (2.5) et Φλ (z) décroit exponentiellement. Pour les valeurs λ ≤ −k12, l’équation (2.4) conduit à Φλ

nulle. Ces ensembles représentent en réalité les deux composants du spectre de l’opérateur associé au problème (2.1)-(2.2).

En effet, Considérons l’opérateur auto-adjoint non borné défini dans L2(R+) par :

Aϕ := −ϕ00− k2 0ϕ, ∀ϕ ∈ D (A) := H 2 R+ ∩ H01 R + (2.6)

Il est bien connu que son spectre Λ est réel et composé de deux parties : le spectre ponctuel Λp et le spectre continu Λc. L’équation (2.5) possède un nombre fini de solutions λj ,

j = 1, .., N ; et les fonctions propres associées Φλj, j = 1, .., N. appartiennent à L

2

(R+). Si λ ≥ −k2

2, Φλ ∈ L/ 2(R+), mais reste bornée, il s’agit alors d’une fonction propre généralisée. Donc le

spectre ponctuel Λp constitue d’un nombre fini de valeurs propres λj ∈ ]−k12, −k22[ , j = 1, .., N

et le spectre continu Λc= [−k22, +∞[ .

Alors les modes du guide d’ondes uniforme sont donnés par

Uλ± := Φλ(z) e∓ √

λx

pour λ ∈ Λ (2.7)

En supposant une dépendance en temps de la forme e−iωt, on peut considérer que Uλ+(x, z) est un mode sortant-droit, alors que Uλ−(x, z) est un mode sortant-gauche. Les modes guidés sont associés aux valeurs propres λj ∈ Λp : ils se propagent sans se déformer le long du guide

vers x → ±∞ et dont l’énergie reste confinée au voisinage du cœur de guide. Les modes de radiation correspondent au spectre continu : ils sont soit propagatifs vers x → ±∞ lorsque λ ≤ 0, ou évanescents dans cette direction lorsque λ > 0.

2.2

La transformée de Fourier généralisée

Comment obtenir la representation diagonale de A ? la transformée de Fourier généralisée conduit à la réponse. L’introduction de telle transformation pour les opérateurs de Sturm-Liouville avec un spectre continu remonte à la première moitié du dernier siècle, dans les travaux originaux de H. Weyl et E.C. Titchmarsh (voir [5, 18]). Son utilisation dans le contexte de la propagation d’onde dans un milieu stratifié n’est pas nouvelle (voir [8, 14, 19, 20]).

(15)

La transformée de Fourier généralisée apparaît comme un opérateur de décomposition sur la famille des fonctions propres et des fonctions propres généralisées {Φλ, λ ∈ Λ} :

(F ϕ) (λ) := Z

R+

ϕ(z)Φλ(z)dz, ∀λ ∈ Λ (2.8)

qui a un sens par exemple lorsque ϕ ∈ L2(R+) a un support compact. Comme la transformée

de Fourier usuelle, cette expression conduit à un certain L2-espace spectral. Cependant la mesure associée à ce L2-espace contient non seulement la partie continue sur Λc mais aussi

la contribution ponctuelle correspondante au Λp.

La construction de la transformée de Fourier généralisée associée à l’opérateur A est basée sur le théorème spectral (voir [13]) qui assure l’existence de la mesure spectrale E (aussi appelée résolution de l’identité) telle que pour toute fonction mesurable f : R → C, l’opérateur f (A) peut être exprimé comme

f (A)ϕ = Z

R

f (λ) dEλϕ, ∀ϕ ∈ D (f (A)) (2.9)

où le domaine de f (A) est caractérisé par

D (f (A)) =    ψ ∈ L2(R+); Z R |f (λ)|2d kEλψk2R+ < +∞   

La formule de Stone fournit un moyen pratique pour calculer la mesure E au moyen de la résolvante Rξ := (A − ξ)

−1

de A : pour tout intervalle fermé I = [λ1, λ2] ⊂ R et toutes ϕ ,

ψ ∈ L2(R+) on a :

(EIϕ, ψ)R+ =

1

2iπlimη→0limε→0 λ2+η

Z

λ1−η

((Rλ+iε− Rλ−iε) ϕ, ψ)R+dλ (2.10)

Pour notre problème la résolvante peut s’exprimer explicitement par une représentation in-tégrale. Nous commençons par la rappeler ( pour plus de détails voir l’article de Hazard [13]).

Représentation intégrale de la résolvante

Par définition, ξ ∈ C est dans l’ensemble résolvant de A si sa résolvante Rξ définit un

opérateur borné sur L2(R+) pour tout ϕ ∈ L2(R+), la fonction ψ := R

ξϕ est l’unique solution

dans H2(R+) de

 −ψ00− (k2

0+ ξ) ψ = ϕ dans R+

(16)

Soit la fonction de Green associée à ce problème , c’est-à-dire la fonction gξ = gξ(z, z0) solution de    −d 2g ξ dz02 − (k 2 0 + ξ) gξ(z, z0) = δ (z0− z) dans R+ gξ(z, 0) = 0 (2.12)

où δ désigne la mesure de Dirac à l’origine.

Multiplions l’équation de (2.11) par gξ et l’équation de (2.12) par ψ et intégrons par

parties. Puis utilisons les conditions aux limites, on établit la formule de représentation intégrale suivante (Rξϕ) (z) = Z R+ gξ(z, z0) ϕ (z0) dz0 (2.13)

2.2.1

La fonction de Green

La méthode existante pour calculer la fonction de Green est de choisir deux solutions particulières de l’équation différentielle homogène, l’une satisfait la condition aux limites pour z = 0 et l’autre appartient à L2(R+). Pour cela, on choisit Φ

ξ(z) la première solution et

θξ(z) = cξ(z) −

q −k2

2 − ξsξ(z)

la deuxième solution qui est évanescente, puisque si z > h

θξ(z) = exp(−

q −k2

2 − ξ (z − h))

qui décroit exponentiellement lorsque z → +∞. Ensuite, on obtient :

gξ(z, z0) =



A (z) Φξ(z0) si z0 < z

B (z) θξ(z0) si z0 > z

Comme gξ est continue en z = z0 et gξ0 est discontinue en z = z

0. De plus  dgξ+ dz0 − dgξ− dz0  z=z0 = 1

Ce qui implique le système suivant :

 A (z) Φξ(z) − B (z) θξ(z) = 0

A (z) Φ0ξ(z) − B (z) θξ0 (z) = 1

dont les solutions sont :

A (z) = 0 −θξ(z) 1 −θξ0 (z) W (Φξ, θξ) = θξ(z) W (Φξ, θξ)

(17)

où W (Φξ, θξ) = Φξ(z) θξ(z) Φ0ξ(z) θ0ξ(z) s’appelle le Wronskien de Φξ et θξ et B (z) = Φξ(z) 0 Φ0ξ(z) 1 W (Φξ, θξ) = Φξ(z) W (Φξ, θξ) Donc gξ(z, z0) =        θξ(z) Φξ(z0) W (Φξ, θξ) si z0 < z Φξ(z) θξ(z0) W (Φξ, θξ) si z0 > z

qui s’écrit d’une manière équivalente

gξ(z, z0) =

Φξ(min (z, z0)) θξ(max (z, z0))

W (Φξ, θξ)

Remarquons que le Wronskien W (Φξ, θξ) ne dépend pas de z (

dW

dz = 0) puisque Φξ et θξ sont des solutions de l’équation différentielle homogène. Donc

W (Φξ, θξ) = Φ0ξ(0) θξ(0) − Φξ(0) θ0ξ(0) = θξ(0)

ce qui conduit à

gξ(z, z0) =

Φξ(min {z, z0}) θξ(max {z, z0})

θξ(0)

à condition que θξ(0) 6= 0. La dernière formule montre que gξest une fonction meromorphe de

ξ dans C\ [−k2

2, +∞[. Ces pôles sont les zéros de θξ(0), qui sont localisés dans ]−k12, −k22]. Pour

chaque pôle λ ∈ ]−k2

1, −k22[, θλ(0) = 0 ce qui est équivalent à l’équation (2.4), en substituant

cette valeur dans la définition (2.3) on trouve que Φλ et θλ sont proportionnelles :

Φλ = −sλ(0) θλ, ce sont les fonctions propres associées à la valeur propre λ. Pour le pôle

λ = −k2

2, θλ(0) = 0 conduit à cλ(0) =p−k22− λ sλ(0) = 0, donc : cos

 pk2 1 − k22h  = 0, et par la suite : k21 − k2 2 =  n + 1 2 2 π2 h2, pour un certain n ∈ N (2.14)

Dans ce cas Φλ(z) devient constante pour z > h, donc Φλ ∈ L/ 2(R+) et λ = −k22 ne peut

pas être une valeur propre de A. C’est pour cela cette borne a été exclue dans l’équation de dispersion (2.5) qui est équivalente à l’équation θλ(0) = 0. Ici la fréquence λ s’appelle

fréquence de coupure, où le mode guidé devient un mode de radiation.

2.2.2

Calcul de la mesure spectrale

Comme le spectre de A est inclus dans]−k2

1, +∞[, la mesure E s’annule sur ]−∞, −k21].

(18)

spectrale est ponctuelle : pour tout intervalle I qui ne contient aucun point du spectre autre que λ, EI est en fait le projecteur spectral E{λ} associé à λ, soit

E{λ}ϕ =

(ϕ, Φλ) Φλ

kΦλk

2 (2.15)

Considérons maintenant la coupure Λc. De part et d’autre d’un point λ ∈ ]−k22, +∞[, la

fonction de Green admet des limites unilatérales

gλ±i0(z, z0) := lim

ε→0+gλ±iε(z, z

0) = Φλ(min {z, z0}) θλ±i0(max {z, z0})

θλ±i0(0)

où les limites unilatérales de θξ sont données par

θλ±i0(z) = cλ(z) ± i

q k2

2+ λsλ(z)

puisque p−k2

2 − (λ ± i0) = ∓ipk22+ λ. En remarquant que :

θλ+i0(z) θλ+i0(0) −θλ−i0(z) θλ−i0(0) = 2ipk 2 2 + λ |θλ+i0(0)| 2Φλ(z)

on déduit que pour tout λ ∈ ]−k2 2, +∞[,

(gλ+i0− gλ−i0) (z, z0) = 2iπρλΦλ(z) Φλ(z0) (2.16)

où ρλ := pk2 2+ λ π |θλ+i0(0)| 2 = pk2 2+ λ π (c2 λ(0) + (k22+ λ) s2λ(0))

. Nous pouvons maintenant appliquer la

formule de Stone (2.10), en y reportant la représentation intégrale (2.13) de Rξ. Pour un

intervalle I ⊂ Λc, on aura

(EIϕ, ψ) =

1

2iπ limη→0 ε→0lim λ2+η Z λ1−η Z R+×R+ (gλ+iε− gλ−iε) (z, z0) ϕ (z0) ψ (z)dzdz0

En choisissant ϕ et ψ à support compact, on peut permuter la limite ε → 0+avec les intégrales

en utilisant le théorème de convergence dominé de Lebesgue (puisque

(gλ+iε − gλ−iε) (z, z0) ϕ (z0) ψ (z) est uniformément bornée par rapport à ε par une fonction

intégrable. De plus elle est continue en ε), ce qui donne

(EIϕ, ψ) = 1 2iπ λ2 Z λ1 Z R+×R+ (gλ+i0− gλ−i0) (z, z0) ϕ (z0) ψ (z)dzdz0

D’après (2.16) et le théorème de Fubini, les intégrales en z et z0 se découplent :

(EIϕ, ψ) = λ2

Z

λ1

(19)

ceci signifie que sur Λc, la mesure spectrale est absolument continue. Sachant que kEλϕk2R+ = (Eλϕ, ϕ) = λ Z −∞ |hϕ, ΦλiR+| 2 ρλdλ donc d kEλϕk2R+ = |hϕ, ΦλiR+| 2 ρλdλ (2.17)

Soit dµ la mesure sur R définie par

dµ := X λ∈Λp ρλδλ+ ρλ dλ|Λc où ρλ := kΦλk −2 R+ pour λ ∈ Λp.

Alors on obtient les propriétés de la transformée F suivantes :

Proposition 2.1 La transformation F définie par (2.8) pour tout ϕ ∈ L2(R+) à support compact se prolonge en un opérateur unitaire encore noté F de L2(R+) dans L2(Λ; dµ), qui

diagonalise A au sens où pour toute fonction mesurable f : R → C,

f (A)ϕ = F∗f (λ)F ϕ, ∀ϕ ∈ D(f (A)) = F∗ L2(Λ); 1 + |f (.)|2 dµ (2.18) où f (λ) est l’opérateur de multiplication par f (λ) dans L2(Λ; dµ). La transformation adjointe F∗ = F−1 est l’opérateur de "recomposition" sur la famille {Φ

λ; λ ∈ Λ} : F∗ϕ =b Z Λ b ϕ(λ)Φλdµ (λ) , ∀ϕ ∈ Lb 2(Λ; dµ). (2.19)

Remarque 2.1 la formule (2.19) peut être écrite de manière plus explicite comme suit, ce qui met en évidence la partie discrète et la partie continue de F∗ϕ :b

F∗ϕ =b X λ∈Λp ρλϕ(λ)Φb λ(z) + Z Λc b ϕ(λ)Φλ(z) ρλdλ (2.20)

Comme la transformée de Fourier usuelle, l’intégrale sur Λc est la limite dans L2(R+) des

intégrales sur les intervalles bornés de la forme (−k2

2, M ) lorsque M → +∞.

Démonstration. Il nous reste à reporter (2.15) et (2.17) dans la représentation spectrale (2.9), pour avoir (f (A)ϕ, ψ) R+ = X λ∈Λp ρλf (λ) (ϕ, Φλ) (ψ, Φλ) + Z Λc f (λ) (ϕ, Φλ) (ψ, Φλ)ρλdλ.

Lorsque ϕ et ψ sont à support compact, cette formule prend la forme condensée

(f (A)ϕ, ψ)

(20)

En prenant f (λ) =1, autrement dit f (A) = Id, il s’ensuit que F est isométrique. Par densité, elle se prolonge alors en une isométrie de L2(R+) dans L2(Λ; dµ), et la formule précédente sera satisfaite pour toute fonction mesurable ϕ appartenant à D(f (A)), ce qui conduit à (2.18). L’expression de l’adjointe de F s’exprime aisément en remarquant que

(F∗ϕ, ψ)b R+ = (ϕ, F ψ)b Λ;dµ = Z Λ b ϕ (λ) Z R+ ψ (z)Φλ(z) dzdµ (λ) ce qui conduit à (F∗ϕ, ψ)b R+ = Z R+ Z Λ b ϕ (λ) Φλ(z) dµ (λ) ψ (z)dz

par permutation des intégrales. Cette permutation est justifiée si ϕ a un support compactb qui ne contient pas −k2

2 (notons que ρλ est singulier au voisinage de λ = −k22 qui est solution

de θλ+i0(0) = 0 et qui est satisfaite pour les seuils définis par (2.14)). On obtient donc la

formule (2.20) par densité.

2.2.3

Relation entre la décroissance physique et la régularité

spec-trale

La caractérisation spectrale (2.18) de D(f (A)) montre comment la régularité physique d’une fonction ϕ ∈ L2(R+) donnée est liée au comportement asymptotique de F ϕ (λ) pour

λ grand. En effet, choisissons par exemple f (A) = An avec n ∈ N donné ϕ ∈ D (An) ⇐⇒ (1 + |λ|n) F ϕ ∈ L2(Λ; dµ),

et à partir de la définition (2.6) de D(A), on peut voir qu’une fonction ϕ ∈ D (An) est

caractérisée par les conditions suivantes :

ϕ|(0,h)∈ H2n(0, h) et ϕ| (h,+∞) ∈ H 2n(h, +∞) d2lzϕ (0) = 0 pour l = 0, ...., n − 1 h d2z+ k02lϕi h =hdz d2z+ k 2 0 l ϕi h = 0 pour l = 0, ...., n − 1

où nous utilisons la notation dz au lieu de d/dz, et [ψ]h désigne le saut de ψ en z = h,

c’est-à-dire,

[ψ]h := lim

ε→0{ψ (h + ε) − ψ (h − ε)} .

Nous présontons maintenant un résultat plus précis démontré dans [13] qui donne la relation entre la décroissance physique et la régularité spectrale.

Théorème 2.1 Supposons que k12− k2

2 n’est pas l’un des seuils donnés par (2.14). Donc pour

tout n ∈ N et ϕ ∈ L2(R+), nous avons

znϕ (z) ∈ L2 R+ ⇐⇒ Dnλ(F ϕ)|Λ

c ∈ L

2

(Λc; ρλdλ) ,

où Dλ est l’opérateur de dérivation spectral donné par : Dλϕ := db  pλ + k2 2  b ϕ/dλ.

(21)

Nous allons résoudre le problème (1.1)-(1.2), en utilisant la transformée de Fourier généralisée définie dans L2(R+). Physiquement, pour x ∈ R fixé, la fonction u0(x, .) n’appartient pas

en général à L2(R+). Ceci, nous oblige à étendre la transformée F à un espace plus large. Comme la transformée de Fourier usuelle, F peut être interprétée au sens des distributions dans un espace similaire à l’espace de Schwartz S0(R) des distributions tempérées [17]. La construction de cette extension est décrite dans [13]. On rappelle ici les résultats essentiels. Pour la transformée de Fourier usuelle, cette extension est basée sur le fait qu’elle conduit à une échange de régularité et décroissance à l’infini entre les variables physiques et spectrales z et λ, mais pour cette transformée de Fourier généralisée, cette propriété a lieu sous l’hypothèse de k21− k22 6=  n + 1 2 2 π2 h2, pour tout n ∈ N (2.21)

qui exclut les fréquences de coupure du guide d’ondes (voir (2.14)), c’est le cas lorsque un mode guidé devient un mode de radiation (si λ = −k22, Φλ(z) devient constant pour z > h).

Extension de F à un espace de distributions

On note par SA(R+) l’espace des fonctions ϕ qui sont infiniment différentiables sur les

deux intervalles (0, h) et (h, +∞), et décroissent rapidement à l’infini ainsi que ses dérivées ( dans le sens que lim

z→+∞d n

z(zmϕ (z)) = 0 pour touts n, m ∈ N ), et satisfont

d2nz ϕ (0) = 0 et  d2z+ k20nϕh =dz d2z+ k 2 0

n

ϕh = 0, pour tout n ∈ N

Ces dernières conditions assurent que SA(R+) ⊂ D (An) pour tout n ∈ N. Les fonctions de

SA(R+) jouent le rôle des fonctions d’essai. Cet espace s’injecte de façon continue et dense

dans L2(R+). De plus il est adapté à "A" dans le sens où A apparaît comme un opérateur continu dans SA(R+).

L’espace de distributions correspondant est donc défini comme l’espace dual SA0 (R+) de SA(R+) (où le terme "dual" signifie ici l’espace des formes antilinéaires continues). Si

on identifie L2(R+) avec son espace dual, il peut être interprété comme un sous-espace de

SA0 (R+) dans le schéma fonctionnel :

SA R+ ⊂ L2 R+ = L2 R+

0

⊂ SA0 R+

(2.22) où le produit de dualité h., .iR+ entre SA(R+) et SA0 (R+) apparaît comme une extension du

produit scalaire de L2(R+) :

hϕ, ψi

R+ = (ϕ, ψ)R+ , ∀ϕ ∈ L 2

R+ , ∀ψ ∈ SA R+ .

Et A peut être interprété au sens des distributions en posant hAϕ, ψi R+ := hϕ, AψiR+, ∀ϕ ∈ S 0 A R + , ∀ψ ∈ S A R+ 

La chaîne d’espaces (2.22) est naturellement convertie en une chaîne spectrale par la trans-formée de Fourier généralisée. En effet, posons bSA(Λ) := F (SA(R+)), on peut étendre F

aux distributions SA0 (R+) par la formule D F ϕ, bψE Λ :=ϕ, F−1 ψ R+, ∀ϕ ∈ S 0 A R + , ∀ b ψ ∈ bSA(Λ) ,

(22)

où h., .iΛdésigne le produit de dualité entre bSA(Λ) et son dual bSA0 (Λ) qui définit l’espace des

distributions spectrales. Nous résumons cela dans le diagramme suivant :

SA(R+) ⊂ L2(R+) ⊂ SA0 (R+)

↓ ↓ ↓ F

b

SA(Λ) ⊂ L2(Λ; dµ) ⊂ bSA0 (Λ)

où F apparaît comme un isomorphisme entre chaque couple d’espaces correspondants (flèches verticales).

L’espace des fonctions d’essai spectrales bSA(Λ) est identifié par le lemme suivant ([13]).

Lemme 2.1 Une fonction bψ appartient à bSA(Λ) si et seulement si bψ

Λp ∈ Cn et il existe b ψ ∈ S (R) telle que b ψ (λ) = 1 pk2 2 + λ b ψ q k2 2+ λ  , ∀λ ∈ Λc.

Comme conséquence, à l’extérieure d’un voisinage de λ = −k22, les distributions spectrales b

SA0 (Λ) sont similaires aux distributions tempérées S0(R). En particulier, l’espace des fonc-tions tempérées localement intégrables

L1temp(Λ) := ( b ϕ : Λ → C;ϕ|]b −k2 2,M[ ∈ L 1]−k2 2, M [ pour tout M > −k22 et

limλ→+∞λ−mϕ (λ) = 0 pour un certain m ∈ Nb

)

(2.23)

est contenu dans bSA0 (Λ).

2.3

Expression de la condition de radiation

Considérons une section semi-infinie du guide d’ondes uniforme X± × R+ où X:=

]−∞, −a[ et X+ := ]a, +∞[ pour un certain a > 0. Notre but est d’exhiber une condition

qui séléctionne les solutions sortantes de

− ∆u − k2

0u = 0 dans X ±

× R+ (2.24)

u (x, 0) = 0 pour x ∈ X± (2.25) Nous résolvons d’abord ce problème formellement, qui s’écrit comme

−∂

2u

∂x2 + Au = 0 dans X ±

× R+ (2.26)

en accord avec la définition(2.6)de A. En appliquant la transformée de Fourier généralisée, on est conduit à −∂ 2 b uλ ∂x2 + λbuλ = 0 dans X ± (2.27)

(23)

buλ(x) := (F u (x, .)) (λ). Comme conséquence b uλ(x) =αb + λe −√λx +αbλe+ √ λx , (2.28)

où αb±λ ne dépend pas de x. La transformée inverse, entraîne alors

u (x, z) = Z ( Λ b α+λe− √ λx+ b α−λe+ √ λx λ(z) dµ (λ) , (2.29)

ce qui signifie que u est une superposition des modes sortants-droite et sortants-gauche (2.7), plus précisemment, une superposition finie des modes guidés avec une superposition continue des modes de radiation. La condition de radiation proposée dans cette partie consiste à choisir seulement les modes sortants dans (2.29), c’est-à-dire, imposerαbλ+= 0 dans la section gauche X− etαbλ = 0 dans la section droite X+.

Dans le but de donner une expression propre de cette condition, on doit d’abord justifier la solution formelle de (2.24) − (2.25) au dessus. Ce problème doit être interprété dans un sens faible. En supposant que u ∈ H1

loc(X ± × R+) ∩ L(X± × R+), l’équation (2.24) signifie que Z X±×R+ ∇u∇v − k2 0uv dxdz = 0, pour tout v ∈ H1(X±

× R+) a un support compact et qui s’annule sur la frontière de

× R+. Si v est assez régulière , plus précisemment une limite de fonctions test de la forme v (x, z) = η (x) ψ (z) avec η ∈ D (X±) (c’est-à-dire, une fonction infiniment différentiable et à support compact, voir [17]) et ψ ∈ SA(R+) (qui décroit rapidement lorsque z → +∞), la

formule de Green et la condition (2.25) entraînent

Z

×R+

u(−∆v − k2

0v)dxdz = 0,

en utilisant un argument de densité, puisque u est supposée bornée. Dans cette égalité on peut choisir des fonctions test de la forme v(x, z) = η(x)ψ(z) avec η ∈ D(X+) et ψ ∈ S

A(R+) pour avoir Z X±×R+ u(−η00ψ − ηAψ)dxdz = 0, ∀η ∈ D X± , ∀ψ ∈ S A R+ ,

ce qui signifie exactement que (2.26) est satisfaite dans le produit tensoriel D0(X±)⊗SA0 (R+).

On peut donc appliquer l’extension de la transformée de Fourier au sens de SA0 (R+) à (2.26), par suite (2.27) est satisfait dans D0(X±) ⊗ bSA0 (Λ). Pour résoudre (2.27) au sens des distribu-tions, on utilise la méthode de résolution des équations différentielles ordinaires d’ordre deux (par rapport à la variable x) pour montrer que toutes les solutions possibles sont données par (2.28) où αb+λ et αbλ sont des distributions arbitraires de bSA0 (Λ). Ici, on va considérer seulement le cas où αbλ± sont des fonctions de λ, ce qui est suffisant pour décrire les ondes

(24)

diffractées, mais pas les ondes incidentes comme les modes de radiation. Une telle hypothèse actuellement impose une certaine décroissance de u dans la direction transverse (z → +∞). Nous sommes maintenant en mesure de donner une définition précise de notre condition de radiation sortante.

Définition 2.1 On dit qu’une solution faible u ∈ H1 loc(X

±

× R+)∩L(X±

× R+) de

(2.24)-(2.25) satisfait la condition de radiation modale s’il existe αb±λ ∈ L1

temp(Λ) (voir 2.23 ) tel

que :

(F u (x, .)) (λ) =αb±λe−

(25)

Chapitre 3

Radiation dans le guide d’ondes uniforme

3.1

Le problème de radiation

Dans ce chapitre, nous considérons le problème de radiation non perturbé (P0) pour une

excitation f ∈ L2

R2+ qui est supposée à support compact, dans [−a, a] × R+ :

(P0)        Trouver u ∈ H1 loc(X ± × R+) ∩ L(X± × R+) telle que −∆u − k2 0u = f dans R2+ u (x, 0) = 0 pour x ∈ R

u satisfait la condition de radiation (2.30)

On va vérifier que la seule solution de ce problème est donnée par la représentation intégrale usuelle

u (M ) = Z

R2+

G (M, M0) f (M0) dM0, ∀M ∈ R2+ (3.1)

où G est la fonction de Green sortante du guide d’ondes uniforme. Une telle repésentation est bien connue (voir [[11],[14],[22]]). Notre but est de prouver qu’elle est compatible avec la condition de radiation modale (2.30).

Nous commençons par une construction formelle de (3.1) en utilisant la transformée de Fourier généralisée. Nous procédons comme dans la section 2.3 par réecrire l’équation de Helmholtz avec la condition de Dirichlet sous la forme

−∂ 2u ∂x2 + Au = f En posant ubλ(x) := (F u (x, .)) (λ) et bfλ(x) := (F f (x, .)) (λ), on a donc − ∂ 2 b uλ ∂x2 + λubλ = bfλ sur R (3.2) pour tout λ ∈ Λ. Calculons la fonction de Green de l’équation différentielle (3.2), c’est à dire

(26)

la solution γλ(x) associée à bfλ = δ, si λ 6= 0 la solution générale s’écrit : γλ(x) = ( A+e √ λx+ B +e− √ λx si x > 0 A−e √ λx+ B −e− √ λx si x < 0

Mais la condition de radiation (2.30) entraîne A+ = B− = 0, d’où

γλ(x) = ( B+e− √ λx si x > 0 A−e √ λx si x < 0

D’autre part γλ(x) doit satisfaire les conditions de saut

(γλ)d(0) = (γλ)g(0) et (γλ) 0 d(0) − (γλ) 0 g(0) = −1 ce qui donne A− = B+= 1 2√λ. D’où l’expression γλ(x) := e− √ λ|x| 2√λ pour λ 6= 0.

Grâce aux propriétés du produit de convolution, il est facile de voir que

b uλ(x) =  γλ∗ bfλ  (x) = Z R γλ(x − x0) bfλ(x0) dx0 (3.3) = Z R2+ γλ(x − x0) f (x0, z0) Φλ(z0) dx0dz0 (3.4)

est une solution de (3.2). Remarquant que

b uλ(x) =   a Z −a e± √ λ|x0| 2√λ fbλ(x 0 ) dx0  e −√λ|x| pour ± x > a, (3.5)

nous voyons que cette solution est sortante au sens de (2.30). Finalement, nous appliquons la transformée de Fourier inverse, ce qui conduit à

u (x, z) = (F−1ubλ(x)) (z) = Z Λ    Z R2+ γλ(x − x0) f (x0, z0) Φλ(z0) dx0dz0   Φλ(z) dµ (λ) = Z R2+   Z Λ γλ(x − x0) Φλ(z) Φλ(z0) dµ (λ)  f (x 0 , z0) dx0dz0. (3.6)

(27)

La dernière expression n’est rien d’autre que la représentation intégrale (3.1) où la fonction de Green est donnée par

G (M, M0) := Z

Λ

γλ(x − x0) Φλ(z) Φλ(z0) dµ (λ) pour M = (x, z) , M0 = (x0, z0) (3.7)

La formule d’inversion ci-dessus est formelle et doit être justifiée, ainsi que l’unicité de la solution.

Proposition 3.1 Sous l’hypothèse (2.21), pour toute f ∈ L2

R2+ à support compact dans

un domaine borné donné Ω0 ⊂ R2+, le problème (P0) a une solution unique u donnée par la

représentation intégrale (3.1). Et pour tout domaine borné Ω ⊂ R2

+, il existe C (Ω, Ω0) > 0

tel que

kukH1(Ω) ≤ C (Ω, Ω0) kf kΩ0 (3.8)

Démonstration. On commence d’abord par prouver l’unicité de la solution. On procède comme dans la section 2.3 avec X± remplacé par R. Supposons que u est la solution du problème homogène (i.e., f = 0). Donc buλ(x) satisfait (2.27) dans D0(R) ⊗ ˆSA0 (Λ). La

condition de radiation (2.30) impose que ubλ(x) est une fonction de λ pour |x| > a, mais pas

nécessairement dans ]−a, +a[. Nous devons donc résoudre (2.27) au sens des distributions. La restrictions de buλ à Λ\ {0} est donnée par (2.28) où αb

+ λ et αb

λ sont des distributions

arbitraires de SA0 (Λ). Mais la condition de radiation sur la droite impose que αbλ− = 0, et sur la gauche, que αb+λ = 0. Donc buλ(x) s’annule pour |x| > a (en d’autre terme, buλ est une distribution a support dans [−a, +a] × {0}). D’où u (x, z) = 0 pour |x| > a . En vertu du principe de continuation unique (voir [6, Lemma 8.5] où le résultat est déclaré pour les fonctions C2, mais demeure valable dans notre situation) u s’annule partout. Et alors (P0) a

au plus une solution.

Considérons maintenant la question d’existence. Si Λ est borné, (3.6) est déduit tout simplement du théorème de Fubini. Mais ici les intégrales sur Λ sont considérées comme des intégrales impropres, à cause de la possibilité de la décroissance lente de l’intégrand lorsque λ → ∞, qui conduit à la singularité de la fonction de Green en M = M0. Il est néces-saire d’utiliser l’interprétation de F au sens des distributions, c’est-à-dire, hu (x, .) , ψiR+ =

hubλ(x) , F ψiΛpour ψ ∈ SA(R+) et x ∈ R. L’utilisation du théorème de Fubini est maintenant

justifié par la décroissance de F ψ ∈ bSA(Λ) (voir lemme 2.1), ce qui conduit à

hu (x, .) , ψi R+ = Z R2+   Z Λ γλ(x − x0) Φλ(z0) F ψ (λ) dµ (λ)  f (x 0 , z0) dx0dz0, équivalent à hu (x, .) , ψi R+ = Z R2+ F−1 λ(x − x0) Φλ(z0)} , ψ R+f (x 0 , z0) dx0dz0.

(28)

D’où la formule de G (M, M0) = F−1{γλ(x − x0) Φλ(z0)} (z), qui n’est rien d’autre que (3.7).

La représentation intégrale (3.1) dérivera de la dernière égalité si on peut remplacer le produit de dualité par l’intégrale, et appliquer de nouveau le théorème de Fubini. Ceci peut être justifié par les lignes suivantes où on étudie quelques propriétés de G dans le but de prouver la propriété de stabilité (3.8). Soit Aλ(M, M0) désigne l’intégrand dans la composante de

l’expression (3.7) de G, c’est-à-dire,

Aλ(M, M0) := γλ(x − x0) Φλ(z) Φλ(z0) ρλ, pour λ ∈ Λc.

dont le comportement asymptotique lorsque λ → ∞ est facile à déduire . On obtient

Aλ = A (as) λ + A (re) λ où A (as) λ (M, M 0) := e −√λ|x−x0| 2λ sin √ λzsin√λz0,

et le terme restant A(re)λ (M, M0) est une fonction continue en (M, M0) dont l’ordre de grandeur est O λ−3/2 uniformément par rapport à M et M0 dans un domaine borné. L’intégrale de A(as)λ sur (0, +∞) est bien connue (voir [12, page 491]) :

G(as)(M, M0) := +∞ Z 0 A(as)λ (M, M0) dλ = 1 4πln (x − x0)2+ (z + z0)2 (x − x0)2+ (z − z0)2,

qui n’est rien d’autre que la fonction de Green de l’opérateur de Laplace dans un demi-plan. Puis nous avons la décomposition G = G(as)+ G(re) où G(re)(M, M0) est continue par rapport à (M, M0). La propriété du potentiel du volume associé à G(as), c’est-à-dire, (3.1)

avec G remplacée par G(as), est bien connue [6]. D’autre part, le potentiel du volume associé

à G(re) conduit clairement à une fonction continue. Comme conséquence, pour f ∈ L2(Ω0),

(3.1) définit une fonction u ∈ L2 loc R2+



qui est par construction une solution très faible de −∆u − k2

0u = f (cette équation est satisfait dans S 0

(R) ⊗ SA0 (R+)). Le fait que le

potentiel de volume peut être dérivé par rapport à M n’est pas déduit facilement à partir de la décomposition de G ci-dessus (la dérivation de l’intégrale qui contient G(re) conduit à

une intégrale impropre). Nous pouvons utiliser un argument différent, celui de la régularité intérieure pour l’opérateur de Laplace (voir [15, Theorem 3.22] ; notons que la condition de frontière de Dirichlet ne pose pas de difficulté puisque notre problème se ramène, par prolongement symétrique, à un problème posé dans R2), qui assure que cette solution très

faible est en réalité une solution faible (dans Hloc1 R2+), donc la propriété de stabilité (3.8) est satisfaite.

Il reste finalement à vérifier que (3.5) définit deux fonctions αb±λ ∈ L1

temp(Λ), ainsi la

condition de radiation modale sera satisfaite. En fait, nous allons prouver dans la section suivante un résultat plus précis (voir Proposition 3.3).

3.2

Le flux d’énergie longitudinal

L’expression (3.7) est basée sur la transformée de Fourier généralisée le long de z. Elle est bien adaptée pour décrire le comportement de G, et donc de u, dans la direction longitudinale

(29)

x : notre condition de radiation (2.30) est en réalité une condition de radiation longitudinale. Une autre expression équivalente et utile de G peut être obtenue en utilisant la transformée de Fourier usuelle le long de x. Elle est bien adaptée pour étudier le comportement asymptotique de G dans la direction transverse z (voir par exemple [11]). En particulier, c’est l’outil de base pour prouver la proposition suivante.

Proposition 3.2 La solution u (M ) = u (x, z) donnée par la représentation intégrale (3.1 ) satisfait :

u(M ) = O(z−1/2), ∂u

∂x(M ) = O(z −3/2 ) et ∂u ∂z (M ) = O(z −1/2 ) (3.9) lorsque z → +∞ uniformément par rapport à x dans un domaine borné.

Ce comportement nous permet de définir la notion du flux d’énérgie longitudinal. Consi-dérons le rectangle ΩR := ]−a, +a[ × ]0, R[ où R est choisi assez grand de sorte que ΩR

contient le support de f . En utilisant l’équation de Helmholtz et la formule de Green, on obtient Z ΩR |∇u|2 − k20|u|2 dxdz − Z ∂ΩR ∂u ∂n u dγ = Z R2+ f udxdz, où ∂u

∂n désigne la dérivée normale de u sur la frontière ∂ΩR de ΩR. En prenant la partie imaginaire de cette égalité, on obtient

Im Z ∂ΩR ∂u ∂n u dγ = −Im Z R2+ f udxdz,

où le terme de gauche représente le flux d’énergie sortant de ΩR à travers ∂ΩR (en fait de sa

moyenne durant une période, voir [16]) et le terme de droite represente l’énergie produite par l’excitation f (de même sa moyenne durant une période). Dans l’intégrale de frontière, on peut distinguer trois contributions : une transverse, sur ]−a, +a[ × {R}(notons que l’intégrale sur ]−a, +a[ × {0} s’annule grâce à la condition limite de Dirichlet), et deux composantes longitudinales, sur {±a} × (0, R). D’après la Proposition 3.2, la première s’annule lorsque R → +∞, tandis que les deux dernières ont les limites

E±(u) := Im Z

R+

∂u

∂ |x| (±a, z) u (±a, z) dz, (3.10)

qui définissent respectivement les flux d’énergie sortant-gauche (−) et sortant-droite (+). La conservation d’énergie s’écrit alors comme

E+(u) + E−(u) = −Im Z

R2+

f udxdz. (3.11)

La condition de radiation (2.30) nous offre une information précieuse sur ces flux d’énergie longitudinaux. En particulier, elle nous dit que ces flux sont non-négatifs, qui justifie le mot sortant pour le champ rayonné. En effet nous avons la propriété suivante.

(30)

Proposition 3.3 Si u est une solution de (P0), alors les coefficients de Fourier généralisés

b

αλ± intervenants dans la condition de radiation (2.30) appartiennent à l’espace

b

V : = { ˆϕ : Λ → C measurable ; |λ|14ϕ ∈ Lˆ 2(Λ; dµ)} ⊂ L1

temp(Λ) ,

et les flux d’énergie longitudinaux sont donnés par

E±(u) = Z Λ∩R− p|λ| b α±λ 2 dµ (λ) . (3.12)

Remarque 3.1 Notons que l’intégrale ci-dessus est définie seulement sur la partie négative du spectre, qui corresponde aux modes propagatifs ( guidés et de radiation, voir section 2.1). les modes évanéscents ne contribuent pas au flux d’énergie.

Démonstration. La formule (3.12) résulte de l’identité similaire à l’égalité de Parseval Z R+ ∂u ∂ |x| (±a, z) u (±a, z) dz = Z Λ ∂ubλ ∂ |x| (±a)ubλ(±a) dµ (λ) , (3.13)

oùubλ(±a) := (F u (±a, .)) (λ) et sa dérivée sont données par la condition de radiation (2.30) :

b uλ(±a) =αb ± λe −√λa et ∂ubλ ∂ |x| (±a) = − √ λαb±λe− √ λa.

En prenant la partie imaginaire de (3.13), on arrive au résultat, puisque √λ = −ip|λ| pour λ < 0.

Bien sûr , nous devons justifier (3.13), qui ne peut pas être déduite directement à partir de la nature unitaire de F , car ni u (±a, .), ni ∂u

∂ |x| (±a, .) appartiennent a priori à L

2(R+).

Pour le faire, nous allons préciser le cadre fonctionnel où cette égalité a lieu. Considérons l’espace de Hilbert

b

V0: = { ˆϕ : Λ → C measurable; |λ|−14ϕ ∈ Lˆ 2(Λ; dµ)},

qui est évidemment le dual de bV par rapport au crochet de dualité D b ϕ, bψE b V0, bV :=  |λ|−14ϕ, |λ|ˆ + 1 4ψb  Λ;dµ pour toutϕ ∈ bb V0 et bψ ∈ bV .

Il est facile de voir que bSA(Λ) est continue et dense dans bV et bV0, de sorte que les deux

espaces apparaissent comme des sous espaces de bSA0 (Λ), et le produit de dualité ci-dessus n’est rien d’autre

D b ϕ, bψ

E

Λ si ˆϕ ou bψ appartient à bSA(Λ). En réalité, les deux espaces bV et

b

V0 sont contenus dans L1

temp(Λ) (voir 2.23), puisque |λ| ±1

4 est carré intégrable au voisinage

de λ = 0. Donc, en utilisant la transformée de Fourier généralisée au sens de bSA0 (Λ), nous avons, D b ϕ, bψE b V0, bV = D F−1ϕ, Fb −1ψb E R+ pour tout ϕ ∈ bb V0 et bψ ∈ bSA(Λ) .

(31)

et par densité, cette égalité reste valable pour toute bψ ∈ bV : c’est l’interprétation exacte de (3.13). Il reste à vérifier que notre situation est particulière dans ce contexte.

Essayons de prouver que ubλ(x) appartient à bV pour tout x ∈ R fixé. A partir de (3.3),

nous avons b uλ(x) = a Z −a e± √ λ|x−x0| 2√λ fbλ(x 0 ) dx0 ≤  a 2 |λ| 1/2 fbλ ]−a,+a[ ,

par l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Donc

Z Λ |λ|1/2|ubλ(x)|2dµ (λ) ≤ a 2 Z Λ |λ|−1/2 fbλ 2 ]−a,+a[ dµ (λ) .

Pour voir que le terme de droite est borné, nous divisons l’intégrale en deux parties. D’une part, sur Λ\ ]−ε, +[ pour un certain 0 <  < k2

2, nous avons Z Λ\]−ε,+[ |λ|−1/2 fbλ 2 ]−a,+a[ dµ (λ) ≤ −1/2 Z Λ fbλ 2 ]−a,+a[ dµ (λ) = −1/2kf k2 R2+,

puisque F est unitaire. D’autre part, pour λ ∈ ]−ε, +[, les fonctions Φλ sont uniformémment

bornées, donc fbλ(x 0 ) = Z R+ f (x0, z) Φλ(z) dz ≤ C Z R+ |f (x0, z)| dz ≤ C0kf (x0, .)k R+,

où la dernière inégalité utilise maintenant le fait que le support de f est borné dans la direction z. D’où fbλ ]−a,+a[ ≤ √ 2aC0kf kR2

+ pour tout λ ∈ ]−ε, +[, et par conséquent

+ Z − |λ|−1/2 fbλ 2 ]−a,+a[dµ (λ) ≤ 2aC 02 + Z − |λ|−1/2ρλdλ kf k2R2 +.

Pour résumer, nous avons prouvé qu’il existe une constante C > 0 dépend du support de f tel que |λ| 1/4 b uλ(x) Λ;dµ ≤ C kf kR 2 + pour tout x ∈ R,

donc buλ(x) ∈ bV . Notons enfin que ceci implique

λbuλ(x) = −

∂ubλ

∂ |x|, donc appartient à bV

0.

(32)

Chapitre 4

Diffraction dans le guide d’ondes

localement perturbé

On peut donner maintenant une définition précise du problème de diffraction introduit dans le chapitre 1 . Considérons une onde incidente donnée u0 solution de (1.1)-(1.2), qui

peut être une superposition des modes guidés et de radiation (2.7), la question est de prouver que le problème suivant est bien posé :

(P )        Trouver u ∈ H1 loc R2+ ∩ L ∞ R2+  telle que −∆u − k2u = 0 dans R2 + u (x, 0) = 0 pour x ∈ R

uS := u − u0 satisfait la condition de radiation (2.30)

Remarque 4.1 Comme pour le problème non perturbé (P0), nous sommes intéressés aux

solutions faibles. Notons que comme k2 est borné, les résultats classiques de régularité [10] montrent que u ∈ H2

loc R2+, et est continûment différentiable.

Le problème (P ) peut être écrit de manière classique comme une équation de Lippmann-Schwinger, en remarquant que l’onde diffractée uS satisfait

−∆uS− k02uS = k2− k20 u dans R 2 +,

avec la condition limite de Dirichlet sur z = 0. Donc, uS est la solution du problème de

radiation non-perturbé (P0) pour f = (k2− k02) u ∈ L2 R2+ qui est à support compact. La

proposition 3.1 nous affirme alors que

uS(M ) =

Z

R2+

G (M, M0) k2(M0) − k02(M0) u (M0) dM0, ∀M ∈ R2+ (4.1)

Soit Ω0 un sous ensemble ouvert et borné de R2+qui contient le support de k2−k20. Considérons

alors l’opérateur intégral K défini dans L2(Ω 0) par

(Kv) (M ) := Z

Ω0

(33)

Il est clair que si u est une solution de (P ), sa restriction à Ω0 (encore notée u pour simplifier)

est une solution de l’équation intégrale suivante :

(I − K) u = u0 dans L2(Ω0) (4.2)

Et inversement, si u ∈ L2(Ω

0) est une solution de la dernière équation, elle s’étend à tout le

domaine R2+ en posant u = u0+ uS où uS est donnée par la représentation intégrale (4.1), et

cette extension est une solution de (P ). En d’autres termes, (P ) est équivalent à l’équation de Lippmann-Schwinger (4.2).

Lemme 4.1 K est un opérateur compact dans L2(Ω0).

Démonstration. La proposition 3.1 prouve qu’il existe une constante C > 0 telle que

kKukH1(Ω 0)≤ C k2− k02 u Ω0 ≤ C 0kuk Ω0, ∀u ∈ L 2(Ω 0) .

Par conséquant K apparaît comme un opérateur continu de L2(Ω

0) dans H1(Ω0). Comme

Ω0 est borné, l’injection compacte de H1(Ω0) dans L2(Ω0) conduit au résultat.

La propriété ci-dessus montre que l’alternative de Fredholm peut être appliquée à (4.2) : si sa solution est unique, alors l’équation est bien posée.

Théorème 4.1 Sous l’hypothèse (2.21), le problème (P ) a au plus une solution.

Démonstration. Supposons que u est une solution de (P ) avec u0 = 0, c’est-à-dire, u = uS.

En suivant les mêmes étapes que dans la section 3.2 , avec k0 remplacé par k, la conservation

d’énergie 3.11 s’écrit maintenant comme

E+(u) + E−(u) = 0,

où les flux d’énergie E±(u) sont encore définis par la formule (3.10). D’après la proposi-tion 3.3, E+(u) et E(u) s’annulent puisque ce sont des quantités non-négatives. Plus

pré-cisemment, nous sous savons qu’en dehors du défaut, la transformée de Fourier généralisée b

uλ(x) := (F u (x, .)) (λ) s’annule sur la partie négative du spectre :

b

uλ(x) = 0 pour tout λ ∈ Λ ∩ R− et |x| > a. (4.3)

D’autre part, nous avons vu dans la section 3.1 que la représentation intégrale (4.1) de uS = u est équivalente à la représentation intégrale de ubλ(x) (voir (3.4))

b uλ(x) = Z R2+ e− √ λ|x−x0| 2√λ f (x 0 , z0) Φλ(z0) dx0dz0 où f = (k2− k2

0) u. Comme il est indiqué dans la section 2.1 , la fonction Φλ(z) s’étend à

(34)

choix de la détermination de la racine carrée complexe ; voir chapitre 1). Alors, comme f est à support compact, la représentation intégrale ci-dessus montre que buλ(x) s’étend à une

fonction entière de λ dans C\iR+ pour tout x ∈ R. A partir de (4.3), nous savons que si |x| > a, cette fonction s’annule sur le segment ]−k2

2, 0[. L’analycité implique qu’elle s’annule

dans C\iR+, en particulier pour tout λ ∈ Λ, ce qui signifie que u (x, z) = 0 pour |x| > a.

Puisque k2 est une fonction bornée, le principe de continuation unique ([6, Lemme 8.5]) peut

être appliqué, donc u s’annule partout.

Grâce à l’équivalence entre (P ) et l’équation de Fredholm (4.2), nous savons aussi que (4.2) a au plus une solution, et l’alternative de Fredholm conduit au résultat principal de cette partie, qui peut être formulé comme suit.

Corollaire 4.1 Sous l’hypothèse (2.21), le problème de diffraction (P ) a une solution unique u qui dépend continûment de l’onde incidente u0 dans le sens que pour tout domaine borné

Ω ⊂ R2

+, il existe C (Ω) > 0 tel que

kukH1(Ω) ≤ C (Ω) ku0kΩ0

(35)

Conclusion

Suivant l’idée introduite dans [1], nous avons proposé une nouvelle condition de radiation pour caractériser le comportement de l’onde diffractée par un défaut dans un guide d’onde ouvert, et nous avons prouvé que le problème de scattering assujetti à cette condition est bien posé, la preuve de l’unicité est originale. Les conditions déjà existantes [4, 21, 22] peuvent être vues comme des conditions mixtes modal-Sommerfeld : elles séparent la partie guidée de l’onde diffractée et garantie que cette partie est sortante, cependant le terme qui reste satisfait une condition usuelle de Sommerfeld. Notre condition est une condition modale globale : grâce à l’utilisation de la transformée de Fourier généralisée, les composantes guidée et radiante de l’onde diffractée sont traitées de la même manière. Notre objectif est plutôt de montrer que la transformée de Fourier généralisée nous fournit un outil théorique puissant pour étudier les problèmes de scattering dans un milieu stratifié. En effet, cette transformation est bien adaptée pour décrire le comportement du champ acoustique dans la direction longitudinale, alors que la transformée de Fourier usuelle dans la direction horizontale est plutôt appropriée pour son comportement dans la direction transverse. La simplicité de la preuve de l’unicité pour le problème de diffraction met en évidence l’avantage de l’utilisation de la transformation précédente. Une approche similaire peut être développée dans des situations plus compliquées, par exemple pour la jonction de deux guides d’onde ouverts par une partie de section variable. Des travaux sur ce sujet sont en cours.

(36)

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(38)

Deuxième partie

Diffraction par une interface rugueuse

non bornée

(39)

Chapitre 5

Formulation du problème d’interface

5.1

Introduction

Dans cette partie, on considère le problème de transmission (T) dans le cas général (f à support non compact) et on suppose que l’interface est rugueuse. On cherche la solution sous forme d’un potentiel combiné sur l’interface avec des densités inconnues utilisant la solution fondamentale de l’opérateur de Helmholtz. Comme l’interface est non bornée, on utilise la fonction de Green de demi-plan au lieu de la fonction de Green de R2 pour que le potentiel

converge. Le passage à la limite dans les conditions de transmission nous conduit à un système d’équations intégrales sur la droite réelle.

Figure 5.1 – Le domaine de diffraction.

Cette approche est utilisée par exemple dans l’article [18] pour un plan avec deux couches. Donc, on a besoin d’exposer la théorie du potentiel sur des courbes non bornées (voir [7],[13]).

Figure

Figure 1.1 – Le guide perturbé.
Figure 5.1 – Le domaine de diffraction.
Figure 5.2 – Le rectangle E a (A) On obtient : Z E a (A) ∆uudxdz = − ZEa (A) ∇u∇udxdz + Z∂Ea (A) ∂u ∂n uds Par suite, on a : − Z E a (A) k 2 |u| 2 dxdz = − ZEa (A) |∇u| 2 dxdz + Z∂Ea (A) ∂u ∂n uds Alors : Z E a (A) |∇u| 2 − k 2 |u| 2  dxdz = Z uΓa (A) ∂u ∂n ds + Z u γ(−A) ∂u ∂n ds + Z uγ(A) ∂u ∂n ds = + Z u Γ a (A) ∂u∂z ds − Z u γ(−A) ∂u∂x ds + Z uγ(A) ∂u∂x ds
Figure 6.1 – La courbe Γ ∗
+2

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