De la théorie des sous-ensembles flous aux probabilités non-additives : 36 remarques

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De la théorie des sous-ensembles flous aux probabilités

non-additives : 36 remarques

Antoine Billot

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Antoine Billot. De la théorie des sous-ensembles flous aux probabilités non-additives : 36 remarques. [Rapport de recherche] Institut de mathématiques économiques (IME). 1992, 15 p. �hal-01538367�

INSTITUT DE MATHEMATIQUES ECONOMIQUES

LATEC C.N.R.S. URA 342

DOCUMENT de TRAVAIL

UNIVERSITE DE BOURGOGNE

FACULTE DE SCIENCE ECONOMIQUE ET DE GESTION

4, boulevard Gabriel -21000 DIJON - Tél. 80395430 -Fax 80395648

9204

DE LA THEORIE DES SOUS-ENSEMBLES FLOUS AUX PROBABILITES NON-ADDITIVES : 36 REMARQUES

Antoine BILLOT*

Professeur à 1’ Université de Bourgogne

Laboratoire d ‘Analyse et de Techniques Economiques Institut de Mathématiques Economiques

D e LA THEORIE DES SOUS-ENSEMBLES FLOUS

AUX PROBABILITES NON-ADDITIVES :

36

R e m a r q u e s 1

Antoine Billot

Institut de Mathématiques Economiques, Université de Dijon 4 boulevard Gabriel, 21000 Dijon, France

In t r o d u c t io n

Depuis l’article initial "Fuzzy Sets", de L.A. Zadeh, en 1965, dans Information and Control, nombreux et variés furent les domaines d’application de la théorie des sous-ensembles flous ( linguistique, intelligence artificielle, biologie.. ). En ce qui concerne la science économique, l’influence de cette nouvelle théorie mathématique - dont on devrait dire qu’elle constitue essentiellement une généralisation au sens d’une "théorie générale” qui accepte comme cas limite l’approche standard - s’est uniformément répartie par delà les domaines traditionnels de l’analyse micro-économique2 : théorie des préférences, agrégation des préférences, théorie des jeux, théorie de la valeur, recherche opérationnelle, décision multicritère, analyse des données, analyse spatiale, choix d’investissement et théorie de la décision.

Il est facile de constater qu’il existe en fait deux courants distincts, relatifs d’une part à l’application directe de la théorie des sous-ensembles flous ( PR1 ) - relations de préférence, théorèmes de point fixe, structure topo­ logique d’économie, fonctions d’utilité et axiomatique - et d’autre part à l’utilisation des mesures non-additives d’incertitude ( PR2 ) qui en dérivent ( possibilité, nécessité )3. De plus, il est raisonnable de constater que l’impact de PR2 dans l’uni vers des économistes ( via l’extension aux probabilités non-additives de Gilboa 1987 et Schmeidler 1982,1984/1989 ) est plus important que celui de PR1. L’un des objectifs que ce papier s’est fixé, consiste à proposer un certain nombre d’arguments servant à expliquer cette différence de réussite.

Pour cela, nous allons essayer de faire un bilan comparatif des deux programmes tout en proposant quelques explications et conjectures quant à leur développement et leur avenir. Dans une première section, nous défendons la thèse suivant laquelle PR1 ne s’est globalement concentré que sur une approche en termes de généralisation. Dans une seconde, nous cherchons à montrer que PR2, à l’inverse, s’est attaché à produire des résultats autonomes. Ceci aurait permis à PR2 de s’intégrer facilement à l’intérieur de thématiques en arrêt ou en crise ( ce qui est incontestablement le cas de la théorie standard de la décision ) cependant que PR1 n’était envisagé que sous l’angle d’une sorte de jeu mathématique consistant à appliquer des règles nouvelles à un modèle ancien. Dans le premier cas (PR2), on pourrait ainsi parler d’un principe de résolution, et dans le second cas (PR1 ), d’un principe d’extension.

1 Ce papier est une version française, assez largement remaniée et plus courte del’article " From Fuzzy Set Thtory to Non-Additive Probabilities :

how have economists reacted1\ publié dans Fuzzy Sets and Systems,49, n*lt pp 75-90.

2 ü appartiendrait ailleurs de réfléchir sur l'absence quasi-totale de travaux sur l'application de cette théorie à la macro-économie.

3 L'aiticle de Zadeh, en 1978, "Fuzzy Sets as a Basis for a Theory o f Possibility” permet sans ambiguité de relier - et donc paradoxalement de distinguer - les deux courants.

Se c t io n 1 : P R l o ule Pr in c ip e D’Ex t e n sio n

1.1. A l’intcrieur du programme de recherche lié à l’application directe de la théorie des sous-ensembles flous ( PRl ), on peut distinguer trois sous- programmes : d’une part, les travaux de recherche fondamentale dont le noyau dur se constitue autour du concept d’équilibre général4 ( PRl A ), d’autre part ceux relatifs à la théorie des préférences en tant que telle ( PR1B ) et enfin ceux ( PR1C ), plus "instrumentalistes" dont le projet est de fournir de nouveaux outils aptes à résoudre des problèmes dont la nature économique demeure standard ( modèle de Hotteling en univers imprécis, programmation linéaire floue, décision multicritère.. ).

1.2. L’un des premiers papiers fondateurs du courant PRl est celui de Ponsard 1975. Cet article propose - d’abord sous forme de working-paper puis de publication dans la Revue d ’Economie Politique - un certain nombre d’in­ tuitions au travers desquelles le principe d’extension s’affirme déjà en tant que justification. Le raisonnement est très clair : l’imprécision, jusqu’alors une fatalité contre laquelle la science est globalement impuissante ( le calcul d’erreurs étant d’une autre nature, voir Dubois 1983 dans son introduction générale ), devient évaluable, il est désormais possible de l’intégrer au sein de modèles mathématiques sans perdre de pouvoir explicatif. De plus, n’importe quel modèle standard peut être considéré comme le cas limite-de la précision absolue, à la manière dont un modèle certain peut être appréhendé comme le cas particulier d’un modèle incertain ( cette analogie ne sera d’ailleurs pas neutre dans la réception des premiers travaux de PRl ). L’ambiguïté du principe d’extension est tout entière contenue dans cette insistance - récurrente - à rattacher le nouveau à l’ancien, le général au particulier comme si l’inclusion du modèle initial dans le modèle final constituait en soi un défi scientifique.

13. PRIA est probablement celui des trois sous-programmes dont le mode de fonctionnement fût le plus influencé par le principe d’extension ( le cas de PR1C est différent puisque d’inspiration purement mathématique ). L’une des mesures possibles de cette influence est le nombre de références faites à des théorèmes mathématiques de généralisation ( extérieurs au travail présenté ). Le premier article traitant de l’existence d’un équilibre général flou est de 1984 ( il fût publié par Ponsard dans Ponsard & Fustier ( eds ) 1986 ). Au coeur de cette recherche, on trouve le théorème de point fixe généralisé de Butnariu 1982. A l’identique, le premier théorème d’existence d’une fonction d’utilité continue sur un ensemble convexe d’objets est de 1986 ( Billot 1986 ) et il se fonde sur les topologies floues ( généralisées ) de Chang 1968. Les exemples sont très nombreux : équilibre partiel du consommateur ( ou du producteur ) et programmation floue généralisée ( Zimmermann, Sugeno ), correspondance de demande et généralisations de Bose & Sahani 1987, jeux d’échange et jeux flous ( Butnariu 1978 ), etc...

1.4. A l’intérieur de PRIA, il convient de distinguer la partie qui concerne les fondations du nouveau concept d’équilibre, préférences, structures d’ensemble d’objets ( ensemble de consommation, de production, de budget ) et celle qui concerne les équilibres obtenus. Relativement aux préférences, PRIA n’a curieusement pas profité des résultats de PR1B. L’étanchéité est quasi-totale entre les deux sous-programmes, même si Negoita & Ralescu 1978 et Orlovsky 1980 proposent quelques pistes en termes de systèmes économiques. L’approche par les préférences de l’équilibre général flou est essentiellement constituée de Ponsard 1981,1986a, 1990 et Billot 1991a5, 1992. 1.5. Il est ainsi des préférences floues qui ne concernent que PRIA et d’autres, qui sont au coeur de PR1B. Pour les premières, les résultats principaux sont la disparition de l’axiome de complétude ( l’incomparabilité devenant juste une situation extrême qui n’infirme pas la procédure de préférence ), la distinction entre préférence locale ( le préordre flou ) et préférence globale ( la fonction d’utilité ), l’hypothèse d'irrationalité dominée ( Billot 1992 ) et la résolution afférente des paradoxes suivants : celui dit du morceau de sucre ( que l’on doit à Luce et qui concerne la transitivité de proximité ) et celui de l’âne de Buridan ( relatif à l’indifférence incapacitante*).

4 Nous le noterons parfois E.G.

5 En fait, ce papier est à l'intersection de PRIA et PR1B.

1.6. De manière plus générale, à la lecture des différents papiers - qu’il s’agisse d’articles de PRIA ou de PR1B -, on s’aperçoit de ce qu’au centre des discussions se trouve de façon quasi permanente, la propriété de transitivité floue. Il en existe de multiples formes. Le seul critère que se soient imposés les auteurs - et c’est ici particulièrement révélateur de l’influence du principe d’extension -, c ’est l’intégration parfaite de la transitivité standard. Outre la Max-Min transitivité initiale de Zadeh 1971, on trouve les Max-* transitivités7 ( voir Bezdek & Harris 1978 ), les quasi, restreinte ou simple transitivités, la f-transitivité - "F pour flou oufuzzy - ( voir Liu 1985 ou Billot 1991a ), la transitivité additive-composée de Bazu 1984, etc... L’observation de ces diverses formes de transitivité permet de mettre en évidence une ligne de démarcation8 entre PRIA et PR1B. En effet, dans la très grande majorité des cas, les papiers de PRIA utilisent les niveaux de préférence de façon purement ordinale ( à l’aide de la relation

supérieur ou égal ) et à l’inverse, dans PR1B, ils sont utilisés de manière additive ( et donc cardinale ).

1.7. Les préférences floues furent initialement le coeur de PRIA avant que le sous-programme ne tende vers la construction d’un équilibre flou. La fascination que l’ouvrage de Debreu, Theory o f Value, a exercé sur plusieurs générations d’économistes est totalement responsable de l’architecture chronologique de PRIA. Hormis le chapitre purement mathématique, nous retrouvons le couple consommateur- producteur ( Ponsard 1982a, 1982b ), puis l’équilibre ( Ponsard 1986a ) et enfin l’optimum9 ( Ponsard 1987 ). C’est au niveau même de cette référence que le principe d’extension a été le plus actif : en suivant une démarche parallèle, le risque était grand de ne pas s’arrêter aux questions théoriques afférentes ( rendements croissants, concurrence imparfaite, divisibilité des biens.. ) et de poursuivre la généralisation sans proposer de solutions. Il s’agissait alors de traquer l’imprécision des phénomènes ( et elle est quasiment partout ), d’introduire des mathématiques floues au sein de leur représentation et d’inteipréter le résultat en termes de généralisation.

1.8. Cette tentation de la généralisation - et la tendance à y céder - se mesure au degré de fuzzyfication des différents modèles. Dans les travaux de Ponsard, les préférences, les contraintes de budget, la fonction d’utilité et celle de profit ( par l’intermédiaire d’une utilité pour le profit ) et les contraintes technologiques sont floues. A l’inverse, dans Aubin 1974, seules les coalitions sont floues et répondent à la volonté d’étendre les conditions de blocage pour restreindre lecoeurd’une économie ; dans Bazu 1984 ou Barret,Pattanaik&Salles 1986, seules les préférences sont floues afin de proposer une rationalité plus faible ou des contraintes d’agrégation moins restrictives, dans Butnariu 1987, seuls les payoffs sont flous afin de lever certaines situations de vacuité du cœur ou à l’inverse de diminuer le nombre des équilibres, etc...

1.9. Il serait néanmoins extrêmement réducteur de considérer que le principe d’extension ( dont PRIA constitue le vecteur privilégié10) ne s’est contenté que de fuzzyfier sans discernement En prenant le parti-pris d’une réflexion générale sur la micro-économie, Ponsard a défini les fondements d’une analyse critique de la théorie standard de l’équilibre général( incarnée par Debreu 1959 ) qui, en sortant de l’épistémologie habituelle et de ses condamnations sévères ( que l’on peut résumer par la proposition suivante : l’E.G. n’est pas une théorie puisque non-infirmable, Blaug 1982 ) a permis d’ouvrir de nombreuses pistes : spatialité imprécise11 ( zone d’attraction floue ), indifférence multivaluée, décision soft et décision crisp ( Ponsard 1986b ),...

7 désigne n'importe quel opérateur satisfaisant le critère d’intégration de la transitivité initiale. Min est un cas particulier.

8 H est, bien sûr, possible de s’amuser à trouver des contre-exemples ( voir par exemple Barrett, Pattanaïk & Salles 1990 ). On peut ajouter à ce critère que les travaux de PRIA, et en particulier ceux de Ponsard, ne concernent jamais les préférences sous l’angle de leur éventuelle agrégation.

9 II ne manque que le chapitre sur l’incertitude où, a priori, le mixage de probabilité et d’imprécision qu’il suppose, semblait ( et semble toujours ) difficile à gérer. D est vrai aussi qu’une telle progression est traditionnelle en micro-économie, standard ou déviante.

10 Dans PRIA, on trouve aussi certains travaux d’Aubin, de Butnariu ou même d’Oriovsky. La notion d’équilibre flou est très large, et la plupart des équilibres de jeux flous est exportable en économie ; il en est ainsi du concept de coeur flou au sens d’Aubin, directement adapté en économie par Ekeland 1979 ou du concept de solution possible de Butnariu.

1.10.Le noyau dur de PRIA- nous l’avons déjà signalé -concerne le modèle d’E.G. à la Arrow - Debreu. Il convient donc maintenant de mesurer l’apport de PRIA à la notion d’équilibre. D’un strict point de vue technique, il faut très largement distinguer les travaux de Ponsard des autres articles ( Aubin 1986, Butnariu 1987, Billot 1990 ). La raison en est, là aussi, le degré de fuzzyfication. En effet, pour ces derniers, l’équilibre flou est soit une restriction du concept d’équilibre ( Aubin, Butnariu ), soit une extension à l’hypothèse non-standard de préférences non- convexes ( Billot ). Dans le premier cas, l’objectif poursuivi par les deux auteurs est de diminuer le cardinal de l’ensemble des équilibres - afin implicitement de se rapprocher de l’unicité - et dans l’autre cas, il s’agit d’étendre la notion de coeur d’une économie aux agents dont les préférences non-convexes interdisent la mise en évidence d’un équilibre réalisable coopératif. La finalité est donc de répondre aux deux questions contradictoires : comment réduire le coeur ? comment l’accroître12? Dans Ponsard 1986a, le principe d’extension n’agit plus directement. Le projet développé dans l’article consiste à montrer que les demandes et les offres d’agents dont le comportement est généralisé - par l’intermédiaire des préférences floues et de l’utilité floue pour le profit - permettent d’engendrer un système de prix d’équilibre dont paradoxalement la nature est standard. En fait, cela revient à démontrer que l’existence d’un E.G. walrassien ne dépend pas de la précision des comportements, et plus encore que le processus d’organisation par le marché demeure efficace quelque soit le degré de généralisation auquel on se situe en matière de comportement économique.

1.11. Le principe d’extension - à l’intérieur de PRIA - coïncide avec l’introduction d’un discours sur la diversité des comportements et outre le procès de généralisation que l’on peut lui faire, il reste que cette entreprise était nécessaire à la clarification des limites du modèle d’équilibre général. En effet, s’il est incontestable qu’aucun des grands problèmes afférents au modèle Arrow - Debreu de référence n’a trouvé de solution grâce à l’introduction de l’imprécision dans la représentation des comportements économiques, il n’en reste pas moins qu’il était fécond de montrer que les individus peuvent différer dans leur rationalité, dans leur comportement, dans leur perception de l’environnement sans que pour autant le concept d’équilibre soit menacé, ni dans sa pertinence théorique - en tant qu’évaluation de la compatibilité des intérêts individuels ( la main invisible d’Adam Smith ) - ni dans sa définition même.

1.12. En ce qui concerne les deux autres sous-programmes, où la volonté instrumentale est beaucoup plus présente, il est clair que le principe d’extension est moins directement évoqué ( ou moins apparent pour l’économiste ), puisque la délimitation du domaine d’investigation se fonde non sur la généralisation du discours économique mais bien plutôt sur la généralisation des instruments. Il y aurait ainsi, en quelque sorte, une extension en amont et une

extension en aval. L’extension en amont conditionne les résultats sans que la volonté de généralisation serve d’objectif déclaré : il y a exportation de l’extension, des instruments vers les résultats sans que les auteurs aient finalisé économiquement leurs recherches. A l’inverse, l’extension en aval préconise la méthode après que l’on a déterminé l’objectif économique. Si l’on envisage les travaux de PR1 de façon globale, cette distinction n’est guère convaincante, toutefois elle permet de mettre l’accent sur l’intention du modélisateur ainsi que sur le processus de décision de recherche. Il est ainsi évident que PRIA se fonde sur le principe d’extension en aval ( 1. Définition des objectifs : généralisation des résultats économiques, 2. Mise en place des instruments adéquats : application des théorèmes de généralisation ) cependant que PR1B comme PR1C lui préfèrent le principe d’extension en amont ( 1. Définition des objectifs : application d’un instrument nouveau à une problématique ancienne non résolue, 2. Mise en place de la méthode au sein des modèles : interprétation des résultats ).

1.13. La plupart des papiers de PR1C se fonde sur le principe d’extension en amont mais le caractère instrumental y est encore plus présent qu’en PR1B. C’est ainsi que l’on voit apparaître la distinction - néanmoins fort imprécise - entre un article de mathématiques appliquées à l’économie13 et un article d’économie mathématique14. Le critère le

12 Dans le contexte particulier où il serait vide.

13 Dont on peut dire que c’est plutôt le cas des recherches de PR1C. 14 Dont on peut dire que c’est plutôt le cas des recherches de PRIA.

plus objectif semble être l’origine institutionnelle des auteurs. Les auteurs s’inscrivant dans PR1A sont généralement de purs économistes ( Ponsard, Fustier,.. ) à quelques notables exceptions mathématiciennes ( Aubin, Butnariu ). Pour PR1B, les économistes ( Salles, Montero, Pattanaïk, Barrett,.. ) sont en nombre à peu près équivalent à celui des mathématiciens ( Chakraboty, Orlovsky, Ovchnnikov, Roubens,.. ). En revanche, au sein de PR1C, le rapport s’inverse et les économistes ( Roy, Farreny,.. ) sont en très faible minorité face aux mathématiciens ( Asaï, Bellman, Kacprzyk, Zadeh, Zimmermann,.. ).

1.14. L’évolution prochaine des trois sous-programmes de PR1 ne sera pas uniforme. Relativement au principe d’extension, les objectifs poursuivis par Ponsard et son équipe dijonnaise ont été atteints. Ils ont exhibé les conditions d’existence d’un équilibre économique lorsque la quasi-totalité des variables déterminantes du système Arrow - Debreu est floue au sens de la théorie initiale de Zadeh. En cela, le programme PRIA est maintenant

"dégénérescent" ( dans la terminologie de Kuhn ) puisque achevé, les différentes étapes annoncées dès le début, en 1974, ayant été systématiquement et régulièrement "traitées".

1.15. La réserve à l’égard des fuzzy économies s’explique de deux façons : d’abord, le milieu scientifique ( au sens large de la profession des économistes ) a cru que la théorie des sous-ensembles flous n’était qu’une version plus souple de la théorie des probabilités et qu’ainsi, on pouvait mettre en évidence avec une fonction d’appartenance ce qui s’obtenait pareillement avec une fonction standard de densité15 ; ensuite, le principe d’extension qui gouverne la démarche globale fût rejeté ( avec parfois de bonnes raisons ) par la communauté scientifique déjà réticente à l’égard des nombreux développements techniques ( mais standard ) de la théorie de l’E.G.

1.16. En ce qui concerne PR1B et PR1C, les perspectives sont très différentes. La théorie standard des préférences n’ayant pas apporté de réponse nette aux interrogations issues du théorème d* Arrow, la voie est dégagée pour d’éventuelles approches alternatives et le cas de Pattanaïk est, à cet égard, très typique puisqu’il est l’un des premiers auteurs à avoir bifurqué, du standard vers le flou et cela malgré la défiance des autres chercheurs du domaine. Durant une vingtaine d’années, le programme d'agrégation des préférences fût tout à la fois dynamique et de plus en plus sophistiqué sur le plan mathématique ( par exemple Hammond 1976, Grandmont 1978 ou Moulin 1985 ), puis, peu à peu, on assista à une sorte de lente renonciation et c ’est précisément en cela que PR 1B bénéficie d’un environnement favorable : il est d’une part scientifiquement légitime qu’on attende beaucoup d’une approche aussi nouvelle et d’autre pan, il semble bien que l’originalité des démarches ( pour en juger, il suffit de prendre la juste mesure du nombre de concepts différents faussement rassemblés sous le vocable "préférence floue"16, d’Orlovsky à Ovchin- nikov, en passant par Roubens, Montero,.. ) à défaut de résoudre les problèmes dans leur contexte traditionnel permettra de suggérer de nouvelles interprétations et même de nouveaux cadres d’analyse jusqu’à peut-être attirer de plus en plus d’auteurs. L’autre élément déterminant pour PR1B, est sa situation "stratégique" c’est-à-dire le carrefour de l’économie des choix, de la théorie pure des préférences ( au sens de l’analyse des relations ) et donc de leur agrégation. Incontestablement, ces trois éclairages possibles enrichissent et nourrissent la réflexion sur les préférences, ce qui permet d’envisager de nombreux développements futurs.

1.17. Le programme PR 1 C, quant à lui, est typiquement en dehors de ce principe d’évaluation en ceci que purement instrumental, il puise sa propre substance dans l’extension de résultats mathématiques classiques, et qu’à l’évidence, il reste de nombreux domaines de la mathématique ( du moins celle dont on se sert en économie ) qui n’ont pas été abordés. Toutefois, les travaux les plus notables de PR1C, en particulier Tanaka, Okuda & Asaï 1974, Negoita & Ralescu 1978, Farreny & Prade 1981, Roy 1985 ou Zimmermann 1985, ne sont pas uniformément réductibles à des recherches abstraites. Il convient donc de différencier au sein de PR 1C ceux des résultats ( comme, par exemple, l’ensemble des analyses portant sur les préférences multicritères ) dont l’application est immédiate et ceux comme

15 Le démenti, curieusement, viendra avec force de PR2.

Liu 1977 ou Badard 1984 ( le théorème de point fixe pour des nombres flous ), dont l’application est différée17. Il est clair que les perspectives de la première catégorie sont identiques à celles que nous indiquions pour PR1B cependant que celles de la second catégorie échappent à toute évaluation "économiste"1*.

1.18. En définitive, le principe d’extension provient sans nul doute de la définition même des objectifs premiers de PR1. Il semblait naturel de commencer une aussi vaste réflexion par l’analyse de la généralisation des modèles standard à seule fin de démontrer qu’ils ne sont que des cas particuliers, des cas-limites et qu’à cette extrémité

correspond une hypothèse implicite, restrictive qui en relativise la portée globale. Néanmoins, si l’unique apport significatif de la théorie des sous-ensembles flous à l’économie devait être la constitution d’un modèle généralisé ( mais, à notre avis, ce n’est pas le cas ), ceux des économistes qui ont cru en son application se seraient trompés : c’est par l’originalité et la pertinence de résultats nouveaux que l’on peut justifier l’emploi d’une technique nou­ velle19.

Se c t io n2 : PR2 ou le Pr in c ip ed eRésoLimoN

2.1. Le second programme ( PR2 ), lié à l’utilisation des probabilités non-additives, est beaucoup plus difficile à cerner et cette difficulté de délimitation n’est pas étrangère à son ( relatif ) succès. Historiquement, PR2 existe avant même les articles fondateurs de Zadeh, puisque G.L.S. Shackle, dès 1952, propose un concept alternatif à celui de probabilité subjective - la surprise potentielle - qui s’avérera correspondre à une nécessité, cette dernière mesure étant la fonction d’ensemble duale de la possibilité. Ce premier paradoxe annonce le second : douze ans avant l’article "Fuzzy Sets", article qui généralise l’algèbre d’ensembles, un mathématicien français, G. Choquet publie un très long papier ( 164 pages! ) dans les Annales de l’institut Fourier où il propose le concept de capacité qui généralise la probabilité au cas non-additif et fait de la possibilité et de la nécessité de simples caractérisations liées à des formes spécifiques de combinaison de sous-ensembles.

2.2. A l ’intérieur de PR2, il n’est pas a priori facile de distinguer des sous-programmes en ceci que l’incertitude et les diverses formes de modélisation que l’on peut en faire constituent le domaine commun et que seul le choix de telle ou telle mesure - ou encore le degré de généralité où l ’on se situe, capacité, belief function de Dempster 1967 - Shafer 1976, possibilité-nécessité - permet de distinguer les courants. Pourtant, si l’on tient compte de l’origine et de l’histoire des deux approches ( Choquet et Zadeh ), il est possible de mettre en évidence une sorte de ligne de démarcation permettant de les distinguer : l’un ( PR2A ) prend sa source dans une critique de Voutil probabiliste ( Keynes 1921, Shackle 1952 ) en tant que système de représentation des croyances cependant que l’autre( Choquet 1953, Allais 1953,Ellsberg 1961 )s ’attaqueàla totalité théoriqueque forme le modèle d’espérance d’utilité.

2 3 . ,,1982,, est la date de publication sous forme de working-paper de l’article de D. Schmeidler "Subjective Probability without Additivity”, où pour la première fois les capacités étaient introduites au coeur même de la méthodologie de l’espérance d’utilité (à l’inverse de Shackle qui s’en affranchissait totalement). Par la suite, Schmeidler 1984/1989 fera remarquer dans son introduction que l’utilisation de ces probabilités non-additives n’est pas récente. Sans remonter aussi loin que Shafer, il cite le physicien Feynman 1963 et surtout Ellsberg 1961 dont

17 II en est, de même, pour l'ensemble des travaux de Butnaiiu ou Heilpem sur les point fixes flous.

18 Laissons aux mathématiciens le soin d’établir ce genre de constat ( Cf le numéro spécial de Y International Journal ofFuzzy Sets and Systems consacré au biJan de vingt cinq années de recherches sur la théorie des sous-ensembles flous )

19 L’avertissement en forme d’impertinence écrit par Aubin 1986, n’est pas totalement inutile à rappeler : Aubin signalait que les économistes avaient une certaine tendance à s’investir en toute théorie mathématique nouvelle ( les graphes, le flou, les catastrophes, le chaos, les fractals ) et qu’a priori, il fallait être très prudent quant à la légitimité d’une telle démarche, même si lui, considérait ( il l’a montré par ses travaux ) que la théorie des sous-ensembles flous trouvait sans ambiguïté sa place en économie.

le paradoxe visait à mettre en évidence les limites de la probabilité subjective ( et donc additive ) comme système de modélisation des croyances. Il est à remarquer que la plupart des papiers issus d’auteurs appartenant à ce courant débute par l’exposé de ce paradoxe.

2.4. Le courant Shackle - Zadeh ( PR2A ) est centré sur un certain type particulier de mesures d'incertitude liées à la théorie des sous-ensembles flous - la possibilité et la nécessité - cependant que le courant Choquet - Schmeidler ( PR2B ) se concentre sur la capacité, mais de façon totalement indépendante d’une réflexion préalable en termes d’algèbre d’ensembles20. Cette distinction ne doit pas laisser croire, néanmoins, que les deux approches sont en quelque sorte "concurrentes", en ceci qu’elles se aboutissent à certains résultats identiques, presque par hasard, tout en partant d’hypothèses ou d’intuitions différentes. En revanche, il est une chose qui les réunit : l’énoncé initial d’un problème classique ( ou d’une problématique ) auquel les travaux présentés sont censés apporter une réponse, une résolution possibles. Jamais, on ne trouve à l’origine explicite des deux courants la volonté de généralisation quel’on constate pour PR1 ( etparticulièrementPRIA ),lorsmêmequeroutilpouvaitaffîchercettesorted’ambition puisqu’il généralisait effectivement ( de manière partielle pour la possibilité, de manière globale pour la capacité ). 2.5. Depuis la naissance du modèle initial d’utilité espérée ( puisque finalement il ne s’agira que d’améliorer la théorie des choix en situation d’incertitude ), nombreuses furent les critiques, et nombreuses furent les réponses apportées aux questions que posaient ces critiques. Ici, l’ambition est unique : il faut résoudre certains problèmes particuliers dont les énoncés jalonnent l’histoire de cette approche.

2.6. Si l’on cherchait à exprimer ces problématiques, il serait relativement facile de les résumer tant elles s’affichent en chaque introduction de chaque article, tant elles revendiquent leur légitimité : pour l’une ( PR2A ), il s’agit de dénoncer la probabilité en tant que mode pertinent de représentation des croyances, pour l’autre ( PR2B ), d’améliorer le modèle standard de comportement de choix dans l’incertain qui, précisément, utilise traditionnel­ lement les probabilités. Dans les deux cas, et c’est ici que les deux courants fusionnent finalement, l’argumentaire se développe autour de la critique des probabilités subjectives bayésiennes.

2.7. En ce qui concerne le courant Shackle - Zadeh, on retrouve l’essentiel des remarques formulées par Keynes dans son "Treatise on Probability" et qui amenèrent Shackle à définir la surprise potentielle, ( il suffit pour cela de lire Katzner 1986, 1987 ou même Dubois 1980,1983 ) : critique du principe de la raison insuffisante ( Cohen & Jaffray 1980), de la rationalité cognitive implicite (Walliser 1989, Billot 1991b). Pour le courant Choquet - Schmeidler, en revanche, la culture ambiante est différente, elle prend sa source dans la littérature de théorie statistique de la décision, c’est-à-dire l’ensemble des travaux qui se sont développés autour des modèles initiaux de von Neumann & Morgenstem 1944, Savage 1954 ou Anscombe & Aumann 1963. C’est ainsi, que toutes les critiques exprimées à l’aide de paradoxes, celui d’Allais 1953 comme celui d’Ellsberg 1961, réfèrent au cadre du modèle général de l’utilité espérée - c’est-à-dire le couple utilité-croyance - et non précisément à la probabilité en tant que mesure de croyance autonome.

2.8. En caricaturant quelque peu, il apparaît que les deux démarches sont parties de points théoriques différents mais aussi qu’elles ont convergé vers les mêmes modèles alternatifs de décision dans l’incertain, comme en atteste l’article récent de Wakker 199021. Critiquer les seules probabilités ( ce qui est historiquement propre à PR2A ) revient à contester aux probabilités la faculté de décrire pertinement les croyances des agents ; argument que l’on trouve aussi chez Allais, et surtout chez Kahneman & Tversky 1979 ( prospects theory ), Loomes & Sugden 1982 ( regrets theory ), Quiggin 1982, Yaari 1987 ou Schmeidler 1982,1984/1989 ( Choquet expected utility models ), c’est-à-dire l’essentiel des auteurs appartenant à PR2B ou à son voisinage. L’une des manières les plus efficaces de mettre en évidence cette relation entre les deux programmes PR2A et PR2B est de faire la liaison par l’inter­

20 D est clair que PR2 pouvait faire l'économie d*une telle réflexion.

21 Du moins, existe-t-il des conditions mathématiques simples ( la dominance stochastique du premier ordre ou l'aversion pour l'incertitude au second degré dans le cas des probabilités de probabilités, voir sur ce dernier point Walliser 1991 ) permettant de rapprocher de« modèle! dont le degré de généralisation est différent a priori.

médiaire du modèle Dempster - Shafer qui définit deux mesures duales, la crédibilité et la plausibilité. En effet, d’une part, la nécessité et la possibilité sont des cas particuliers de crédibilité et de plausibilité et d’autre part, ces dernières se définissent à partir de l’inverse de Möbius ( que Shafer appelle une probabilité basique ) d’une capacité de Choquet ( voir Chateauneuf & Jaffray 1989 ). En bref, il est toujours possible de relier les deux approches en faisant varier le degré de généralité.

2.9. Du point de vue de l’intention, qu’ici nous assimilons au principe de résolution, nous pouvons considérer que le problème auquel s’est attaché PR2A est plus étroit que celui qui caractérise PR2B en ceci que l’approche Shackle - Zadeh s’intégre comme cas particulier de l’approche Choquet - Schmeidler, même si préalablement telle n’était pas l’intention active de PR2A; la réponse de Shackle au critère d’espérance d’utilité ne se formulait finalement qu’en termes de mesure de croyance, puisque, ainsi que l’a démontré Dubois 1980, la surprise potentielle n’est pas un mélange d’utilité et de mesure de croyance mais bien une nécessité qui n’est rien d’autre qu’une capacité particulière. Il y a donc suppression de l’utilité en tant que mesure de satisfaction dans le modèle alternatif proposé par Shackle. En revanche, au sein des modèles d'anticipated utility, il est possible de mélanger les deux approches en considérant que la fonction qui déforme les probabilités est une nécessité. Dans ce cas, sous le critère de dominance stochastique du premier ordre, il y a équivalence avec le modèle Schmeidler - Gilboa.

2.10. L’une des critiques majeures de la construction de Savage 1954 concerne la mise en évidence axiomatique des probabilités subjectives à partir d’une relation de préférence définie sur les actes, c’est-à-dire les fonctions qui unissent les états de la nature aux conséquences. Ellsberg 1961 proposa l’exemple suivant : supposons deux urnes contenant chacune 100 boules. Les boules peuvent être noires ou rouges. On sait que la première urne, A, contient avec certitude 50 boules noires et 50 boules rouges cependant que l’on ignore tout de la contenance de B, la deuxième urne, sinon qu’elle contient 100 boules. On demande maintenant à l’agent dont on cherche à évaluer les croyances sous forme de probabilités subjectives, de choisir une urne et une couleur et enfin de tirer une boule de l’urne qu’il a choisie. Si la couleur choisie a priori correspond à la couleur de la boule effectivement tirée, l’agent gagne $10 ; sinon, il ne gagne ni ne perd rien. Quel sera le choix de l’agent ? On a pu montrer que la plupart des gens que l’on confrontait à ce choix, était indifférente en termes de couleur mais n’était pas indifférente en termes d’urne. Par exemple, la relation de préférence la plus typique ( i.e. la plus fréquemment observée ) consistait à préférer stric­ tement n’importe quel pari lié à l’urne A, dont l’agent connaissait la répartition des boules, à n’importe quel pari lié à l’autre urne B, dont il ne connaissait pas la répartition. ( Voir Annexe )

2.11. La conclusion d’Ellsberg est simple : il n’est pas possible d’obtenir une mesure additive de probabilités compatible avec le préordre de préférence qui apparaît généralement ( cf. équation (1) ). Il était alors justifiable de critiquer le modèle axiomatique de Savage sur la base de ce paradoxe, en considérant que la mesure de croyance compatible avec ce préordre ne pouvait être additive.

2.12. Dans Gilboa & Schmeidler 1989, on nous propose l’explication suivante du paradoxe : dans le cas de l’urne Æ, l’agent n’a pas assez d’information pour forger sa conviction, et donc pour exprimer une croyance ; il est ainsi amené à considérer comme possibles plusieurs probabilités. L’agent qui est risk-adverse sera alors amené à considérer l’utilité espérée minimale lorsqu’il évalue son choix ( à chaque distribution de probabilités possibles correspond une espérahce d’utilité possible ). Parexemple, on peut considérer le cas extrême de l’agent qui considère comme possibles toutes les distributions de probabilités22. Les probabilités subjectives que l’on peut ainsi construire en même temps que la préférence ne sont pas compatibles avec des probabilités additives en ceci qu’elles ne respectent pas le principe de masse-unité selon lequel la somme des probabilités associées à un événement et son complémentaire doit être égale à 1 ( voir Billot 1991b, Billot & Thisse 1990 ).

22 Si l'on se rciere à l'annexe, l'espérance minimale d'utilité des actes AN, AR serait de $5 puisque la probabilité objective de répartition des couleurs dans A est égale à 0,5. En revanche, celle des actes BN, BR serait égale à $0 puisque la probabilité minimale ( en absence d'information ) pour n'importe quel état de la nature est bien 0. Les préférences observées ( cf équation (1) ) sont alors cohérentes avec la règle max-min de décision.

2.13. Il existe dans la littérature de nombreux exemples où Ton remet en cause empiriquement la pertinence des probabilités bayésiennes. Ainsi Hurwicz 1951 ou Smith 1961, le premier mettant en scène un statisticien ayant trop peu d’information pour construire des probabilités bayésiennes et le second proposant une axiomatique du com­ portement qui se fonde sur des intervalles de probabilités possibles ( "Odds'* concept ). Toutefois, la réponse viendra non d’une démarche utilisant plusieurs distributions de probabilités mais d’une approche plus générale, où, dès le départ, l’outil englobe les probabilités bayésiennes comme cas particulier généralement lié à la perfection de l’information. Cet outil sera celui proposé par Choquet 1953, à savoir, les capacités.

2.14. Si l’on reste dans le cadre du paradoxe d’Ellsberg, il est très facile de voir qu’une mesure non-additive, notée v(.) par Schmeidler 1982,1984/1989, permet de conserver les utilités attendues compatibles avec le préordre de préférence décrit par la fameuse équation (l)23.

2.15. La réflexion menée sur les probabilités non-additives consiste donc, au départ, à concilier la mise en évidence de structure de préférences incompatibles avec la notion d’utilité espérée au sens de Savage 1954 mais aussi von Neumann & Morgenstern 1944, et néanmoins pertinentes en termes de croyance au sein d’un modèle de décision dans l’incertitude. Le modèle initial de Schmeidler prend appui sur l’axiomatique d’Anscombe & Aumann 1963, celle-ci impliquant simultanément des probabilités objectives ( physical ) et subjectives. Dans cette approche, seules les probabilités subjectives sont dérivées d’une relation de préférence sur les actes ( Horse Lotteries ).

2.16. Tous les modèles s’inscrivant au sein du courant Schmeidler - Gilboa reposent sur un principe mathématique de généralisation, la capacité étant un outil qui comprend la probabilité commme cas particulier. Toutefois, la liste des paradoxes ( ou des contre-exemples ) issus de la théorie standard de l’utilité espérée qui introduit les travaux de PR2 suffit, sans ambiguïté, à défendre la thèse selon laquelle le principe de résolution ( des paradoxes ) est celui qui y prédomine.

2.17. A partir de la mise en évidence de cette probabilité non-additive issue de l’affaiblissement de l’axiome d’indépendance, Gilboa 1987 a poursuivi la démarche de Schmeidler en s’attaquant cette fois au modèle pur de Savage 1954. En d’autres termes, il a axiomatisé le principe de maximisation de l’utilité espérée dans le cas où la mesure de croyance correspond à une probabilité non-additive. Relativement à Schmeidler, il n’a plus recours à une distribution objective de probabilités contingentes puisqu’il sort du cadre Anscombe & Aumann. Dans la lignée des travaux de Schmeidler et Gilboa, on trouve nombre de recherches consacrées à certains points particuliers de ce que l’on appelle maintenant les Choquet Expected Utility Models. Ainsi, Wakker 1989 étend un célèbre théorème de Debreu 1960, en donnant les conditions sous lesquelles on peut obtenir une représentation additive des préférences susceptible d’être utilisée dans un contexte non-additif. Comme Gilboa 1987, Wakker 1989 ne prend pas en compte l’hypothèse selon laquelle on doit connaître les probabilités objectives affectant les loteries. Plus récemment, Wakker 1990 a montré comment il était possible de relier l’approche Quiggin - Yaari et celle de Schmeidler - Gilboa ( cf note 25 ). Nakamura 1990 prend la même direction que Gilboa en restreignant l’ensemble des états de la nature au cas fini. Il présente ainsi trois axiomatisations différentes, la première concernant des probabilités non-additives simples, la deuxième des probabilités avec additivité complémentaire ( complementary additivity ) et la dernière des probabilités additives.

2.18. Cette voie de recherche est en plein développement. Aux travaux très directement reliés au modèle initial de Schmeidler, viennent s’ajouter ceux qui approfondissent la notion de capacité - à l’aide des inverses de Möbius, par exemple - ( Chateauneuf 1990, Jaffray 1988, 1989a, 1989b, Chateauneuf & Jaffray 1989, Cohen & Jaffray 1985 ) et qui cherchent de nouvelles interprétations, par delà les raffinements mathématiques. Ces auteurs sont particulièrement exigeants quant à la nécessité de parvenir à un discours économique nouveau qui améliorerait la

23 Avec: v({e<A/R,B/R)te(AlRtB/N)}) = v({e(/ilNtB IR \eV L lN tBIN)}) = 0 ¿ et v({e(AlRtBIR)te(A/N,B/R)}) = v({e(A/R,BIN)te(A/NtBIN)}) = 0.

description dü comportement de décision dans l’incertitude. A la lecture de ces différents papiers, on prend la juste mesure de cette étroite évolution des instruments et des objectifs, ce qui nous permet de penser que PR2 est l’un des plus dynamiques programmes de recherche actuels.

Co n c l u s io n

Nous avons laissé entendre que les perspectives de PR1 étaient plus réduites que celles de PR2. Ce constat provient d’une part de la réception accordée par le milieu scientifique aux deux sortes de travaux et d’autre part de la structure initiale des deux approches : si l’on considère les revues majeures en économie24 ( Econometrica Journal of Economie Theory, Journal of Mathematical Economies, Journal ofRisk and Uncertainty, etc... ) force est de constater que le seul papier de PR1 publié dans une telle revue est celui de Bazu 198425. Il est notable, par exemple, que les travaux de Pattanaïk, lorsqu’ils concernent l’agrégation des préférences floues, n’utilisent pas les mêmes supports que ceux de ses articles qui concernent l’agrégation des préférences usuelles. A l’inverse, la plupart des auteurs se rattachant à PR2 a publié, dès le début, dans ces quelques revues majeures. A défaut de prendre ce critère comme mesure absolue de l’enthousiasme ( ou du scepticisme ) de la communauté scientifique, il serait étonnant que la rareté des travaux de PR1 publiés dans ces journaux ne provienne que d’une simple coïncidence. D’autre part, le principe de généralisation est, par définition, moins ambitieux que celui de résolution. Aussi, PR1B, qui concerne un domaine dans lequel les problèmes sont nombreux et irrésolus, semble être celui des sous-programmes de PR1 qui est le plus dynamique. En effet, peu à peu, on assiste à une mutation de sa démarche, de la généralisation vers la résolution ( il suffit de lire Dubois, Prade, Yager & alii 1990, chapitre 3, pour s’en convaincre ).

An n e x e : le paradoxe d ’Ellsberg

Supposons deux urnes contenant chacune 100 boules. Les boules peuvent être noires ou rouges. On sait que la première urne, A, contient avec certitude 50 boules noires et 50 boules rouges cependant que l’on ignore tout de la contenance de B, la deuxième urne, sinon qu’elle contient 100 boules. On demande maintenant à l’agent dont on cherche à évaluer les croyances sous forme de probabilités subjectives, de choisir une urne et une couleur et enfin de tirer une boule de l’urne qu’il a choisie. Si la couleur choisie a priori correspond à la couleur de la boule effectivement tirée, l’agent gagne $10 ; sinon, il ne gagne ni ne perd rien.

Si l’on appelle AR l’acte qui consiste à parier sur une boule rouge issue de l’urne A, AN celui qui consiste à parier sur une boule noire issue de A, etc, le préordre de préférence le plus typique est donc le suivant :

AR - AN >BB = BN (1)

où "=" signifie "être indifférent à" et V ' signifie "être strictement préféré à".

Il est relativement facile de voir qu’une telle structure de préférence est incompatible avec le Principe de la Chose Sure ( Sure Thing Principle, c’est-à-dire l’axiome P2 chez Savage 1954 ). Les quatre actes AR,AN,BR et

BN peuvent être décomposés en deux conséquences possibles C l ( $10 ) et C2 ( $0 ), et quatre états de la nature

e(A IR ,B IR \e(A /R ,B /N ), e(A/N,BIR) et e{AIN,BIN) signifiant pour le premier "une boule tirée de A comme de B est rouge", pour le second "une boule tirée de A est rouge tandis qu’une boule tirée de B est noire", les deux derniers se définissant de façon symétrique. Cette décomposition en états de la nature et conséquences d’actes peut être présentée sous la forme du tableau suivant :

24 H s'agit essentiellement des revues qui acceptent des articles de micro-économie sous l'angle des théories du choix, de l'équilibre général, de la décision en incertitude, etc...

25 II en est différemment en théorie des jeux. Ainsi Aubin et Butnariu ont publié leurs principaux résultats dans VInternational Journal ofGame

e(A/R,B/R) e(AIR,BIN) e(AIN,BIR) e(A/N ,B /N)

AR 10 10 0 0

AN 0 0 10 10

BR 10 0 10 0

BN 0 10 0 10

Considérons maintenant l’événement E = {e(A/R,B/R),e(A/N,B/N)}, ( nous reprenons ici exactement les termes de la présentation du paradoxe d’Ellsberg par Gilboa 1987 ). Alors, nous pouvons écrire :

-AR(e) = BR(e) et AN(e) = BN(e) pour e e E, -AR(e) = BN(e) et A N (e)-B R (e) pour e e E c.

En toute rigueur, l’axiome P2 de Savage 1954, c’est-à-dire le Principe de la Chose Sure, impose à la relation de préférence sur les actes, relation que nous avons notée "è", de satisfaire l’ordre suivant :

AR >BR o BN > AN. (2)

Il est clair que ce que nous présentions comme le préordre le plus couramment observé, l’équation (1), est incompatible avec l’équation (2), qui elle, décrit le seul préordre satisfaisant le Principe de la Chose Sure.

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Theory and Decision, ( to appear ).

Ab str a c t

In this paper, we are going to try to conduct a comparative review of the two programmes ( devoted to the application of fuzzy sets theory in economics for the first and to nonadditive probabilities for the second) while putting forward some explanations and conjecture as to their development and their future. In Section 1, we defend the thesis which claims that the firstprogramme has only had a global focus on the approach in terms of generalization and we shall go deeper into the analysis of the particular area of General Equilibrium. In Section 2, we shall seek to show that the second programme, devoted to the introduction of nonadditive probabilities in decision theory, on the contrary, has attempted to come up with independent findings. This would explain why this last programme has managed to fit into topics at a standstill or in crisis easily ( which is undeniably the case of the standard theory of decision making) while the first programme was only envisaged as a kind of mathematical game involving the application of new rules to an old model. In the case of the first programme, one might thus speak of an extension principle and in the second case of an resolution principle.