Un modèle de concurrence spatiale comportant deux variables de décision des firmes (prix et localisation)

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Un modèle de concurrence spatiale comportant deux

variables de décision des firmes (prix et localisation)

Agnès Basaille-Gahitte

To cite this version:

Agnès Basaille-Gahitte. Un modèle de concurrence spatiale comportant deux variables de décision des firmes (prix et localisation). [Rapport de recherche] Institut de mathématiques économiques (IME). 1991, 24 p., ref. bib. : 8 ref. �hal-01538712�

INSTITUT DE MATHEMATIQUES ECONOMIQUES

DOCUMENT de TRAVAIL

UNIVERSITE DE BOURGOGNE

FACULTE DE SCIENCE ECONOMIQUE ET DE GESTION

4, boulevard Gabriel _-21000 DIJON - Tél. 80395430 -Fax 80395648

UN MODELE DE CONCURRENCE SPATIALE COMPORTANT DEUX VARIABLES DE DECISION DES FIRMES :

PRIX ET LOCALISTION

Agnès BASAILLE-GAHITTE*

octobre 1991

* Chercheur à 1’ I.M. E.

Ce papier a fait l’objet d ’une communication au colloque

l’A. S. R. D. L. F. "Nouvelles activités, nouveaux espaces".

Un modèle de concurrence spatiale comportant deux

variables de décision des firmes: prix et localisation

Agnès BASAILLE-GAHITTE

La concurrence spatiale a été analysée en premier lieu par HOTELLING en 1929. Elle a, depuis lors, donné naissance à de nombreuses publications spécialement dans le cadre de la localisation.

Le but de cette recherche est un approfondissement du modèle de THISSE, FUJITA, OG AW A de 1988. Les auteurs recherchent la localisation d'équilbre de firmes vendant des biens à un continuum de consommateurs uniformément distribués le long d'une droite.

Ils ont posé des conditions mathématiques nécessaires à l'existence de la solution au problème de maximisation de l'utilité du consommateur sous contrainte de budget. Nous avons justifié économiquement ces conditions.

Ce modèle permet, selon les auteurs, de faire apparaître une différenciation entre les biens en fonction du signe de certains paramètres: on obtient ainsi soit des biens substituts, soit des biens compléments, soit des biens indépendants. Or ils n'ont pas vérifié cette affirmation.

Par simulation et à partir de données arbitraires, nous avons vérifié que le modèle permet effectivement de différencier les biens, dans le cas de deux et trois firmes produisant deux et trois biens. Néanmoins la complexité de l'expression des fonctions de demande nous obligera à limiter notre exemple au maximum.

Or dans cette étude seule la localisation est une variable de décision des firmes. Lors d'une recherche parallèle, nous avons décidé de considérer les prix et les localisations comme variables de décision des firmes. Dans ce cas, envisager deux types d'analyse doivent être envisagées:

• le choix simultané des variables prix et localisations par les firmes (c'est le cas d'un jeu simultané)

* le choix séquentiel des variables prix et localisations par les firmes (c'est à dire un jeu séquentiel)

Nous avons prouvé qu'il n'existe pas de solution d'équilibre (prix, localisation) lorsque les entreprises choisissent simultanément ces deux variables. Nous développerons l'étude mathématique de ce premier pas.

Il faut donc étudier le cas où ces variables sont obtenues selon un processus séquentiel à deux étapes. Cette séparation est motivée par le fait que le choix de la localisation est prioritaire par rapport à celui du prix. Bien entendu, dans ce cadre d'analyse, il faut supposer que les prix sont choisis de telle sorte qu'ils soient des prix d'équilibre. Ainsi, dans le modèle qui sera développé ultérieurement, les prix sont des prix d'équilibre et les profits résultant de la seconde étape dépendent des localisations choisies dans la première étape. Nos recherches futures auront donc pour but l'élaboration de ce nouveau modèle.

Introduction

L'introduction de l'espace en analyse économique place la firme dans un cadre particulier. En effet, comme les firmes sont dispersées dans l'espace, chaque firme a un nombre réduit de concurrents dans son voisinage immédiat. De même, les clients s'approvisionnent à une firme qui n'est pas trop éloignée de façon à sup­ porter un coût de transport minimal. Le modèle mathématique qui résume cette situation est un modèle de concurrence spatiale.

La concurrence spatiale a été analysée en premier lieu par HOTELLING en 1929. Elle a, depuis lors, donné naissance à de nombreuses publications, spécialement en économie spatiale, dans le cadre de la théorie de la localisation.

Dans ce type de modèle, on suppose que les consommateurs et les firmes sont dispersés dans l'espace, ces dernières produisent un bien homogène. Ainsi, le consommateur achète à l'entreprise qui charge le prix C.A.F. le plus faible.

Le nombre de clients que possède une firme dépend de sa localisation, de sa politique de prix et de celles de ses concurrents localisés dans la même aire de marché.

L'ensemble de ces éléments correspond à un jeu coopératif dans lequel

• les stratégies sont les prix et/ou les localisations, • les payoffs sont les fonctions de profits.

Le but de ce travail est rélargissement du modèle de THISSE, FUJITA, O G A W A datant de 1988. Ce modèle ne comporte qu'une variable de décision des firmes: la localisation.

Les firmes et les consommateurs sont situés dans un même espace, qui spa­ tialement représente une différenciation horizontale du produit.

Le modèle de la "rue principale" élaboré par HOTELLING en 1929 est l'exem­ ple caractéristique des boutiques installées à l'intérieur de l'aire résidentielle, ce qui correspond à des jeux de localisation intérieurs.

Ainsi, dans un premier temps, sera exposé le modèle utilisé par THISSE, FUJITA et OGAW A. Ces auteurs recherchent la localisation d'équilibre des fir­ mes vendant des biens à un continuum de consommateurs uniformément distribués le long d'une droite.

Puis dans un second temps j'examinerai ce modèle dans un autre cadre. En effet, dans ce cas, les firmes choisissent simultanément les variables prix et localisation (c'est le cas d'un jeu simultané).

En conclusion, j'exposerai le cas où les firmes choisissent séquentiellement les variables prix et localisation.

Le modèle

Tout d'abord une présentation succinte du modèle de THISSE FUJITA et OGAW A (1988) sera donnée, puis l'analyse de la structure de la demande per­ mettra de montrer que ce modèle est capable de différencier les biens ( substituts, compléments, indépendants ).

Présentation du modèle

Le modèle de FUJITA, THISSE, OGAW A (1988) suppose un segment unitaire X, X = [0 , 1], sur lequel des consommateurs identiques sont distribués. On ap­ pelle x la localisation d'un consommateur (et la distance de celui-ci relativement à l'origine), jc e [ 0 , 1].

Dans cette économie linéaire m biens sont consommés par des individus et sont offerts par n firmes. Chaque firme est supposée offrir un seul bien i, i e /, / = {1, 2, ..., n}. Chaque bien i est offert par n( firmes. Soit Ft l'ensemble des firmes offrant le bien i, on appelle F l'ensemble de toutes les firmes dans l'économie (économie dans laquelle il existe plus de firmes que de biens, m < n), F = {1,2,

La localisation d'une firme k, k e F, est notée xk , xk e X. Le vecteur de locali­ sation de toutes les firmes vendant le bien i est noté Xi = (xk, k e Fi).

Si chaque firme k, k e Fu vend un bien i à un prix d'usine pp donné, alors le prix de ce bien / localisé en x est donné par:

Pi(x) = p f + Min i(- U - x fc| = Piix/Xi)

ke Fj

i e I , x e X, où tt est le taux de transport par unité du bien i, I x — xk | la distance séparant l'offreur du demandeur. Le vecteur prix de tous les biens est noté:

P(x) = O i(* W > ••■./’M ) ]

Le problème de la localisation d'un consommateur x peut être décrit comme la maximisation de son utilité sous contrainte de budget. Les auteurs ont choisi la fonction d'utilité V:

V = % + t % i , - , qn)

où <70 est le numéraire, qt la quantité consommée du bien i. Cette fonction d'utilité est quadratique et de la forme (pour deux biens 1 et 2):

î % i ,< 7 2 ) = «1^1 + a 2<72 ~ y < 7 i 2/* ii - Y < h 2P22 ~ <7l<72/?21

Les auteurs ont considéré une fonction d'utilité strictement concave, hypothèse classique due à l'hypothèse de décroissance de l'utilité marginale.

Le problème de la localisation d'un consommateur x revient donc à maximiser son utilité sous contrainte de revenu. L'écriture matricielle de cette expression nous donne la relation suivante:

Max ([a - / > ( * ) ] '< 7 - \ q ' B q )

q> 0 \ I /

où B est une matrice symétrique définie positive de taille n , a(l, ri) un vecteur de constantes, a, > pf, i e /, et:

(i) Pit > 0

(ii) XiPjj - dfiij > O i * j

(iii) /?u/?22 > P n2 (dans une économie à deux biens).

Ces trois conditions sont nécessaires à l'obtention d'une solution économique, mais elles n'ont pas été justifiées par les auteurs.

(i) Pour que la fonction d'utilité soit strictement concave, le signe des dérivées secondes doit être négatif:

Ainsi les éléments situés sur la diagonale principale de la matrice B doivent être positifs, Pu > 0.

( ii) Cette condition garantit que les quantités <7, consommées sont positives.

(iii) B est une matrice définie positive, donc toutes les valeurs propres Ai , A2 de B (dans le cas de deux biens) sont strictement positives. On obtient:

or Ai > 0, et A2 > 0 o PwP22 >

Pn2-Le choix optimal du consommateur est solution du problème de maximisation sous contrainte dont les variables sont notées <7, , i e I. Dans le cas d'une économie • à deux biens, on obtient:

+ P22ÍP1 - « 1 ) P 22P 11 ~ P 12

P u ( « 2 - P 2 ) + P n i P i - ^ i ) P 2 2 P 1I ~ P\2

Les solutions sont les fonctions de demande de chaque bien i.

L'aire de marché de la firme k est l'ensemble des prix du bien i en fonction de la localisation x et de celle de la firme k. Elle est notée Mk:

où xk est la localisation de la firme k

Les ventes totales Qk de la firme k sont déterminées étant données les locali­ sations des autres firmes:

où AL* est le vecteur de localisation de toutes les firmes sauf celle de k, rii(xk) est le

nombre de firmes vendant le bien i en un lieu jc*. Cette relation implique que si en un même lieu on trouve plus d'une firme vendant le bien i, alors elles se partagent également les ventes de celui-ci sur leur aire de marché commune. Chaque firme se comporte de façon à maximiser ses ventes, car dans ce modèle les coûts de pro­ duction sont supposés nuls et chaque firme appartient à un seul agent.

Pour examiner les caractéristiques de la localisation d'équilibre, il faut connaître la nature des fonctions de demande qh i e I.

Analyse de la structure de la demande.

FUJITA, THISSE, OG AW A (1988) supposent tout d'abord que le prix est indépendant de la localisation. La solution du problème

existe et est unique, elle est notée J{p) = [f^ .../m(/>)]. f[p) est la fonction de de­ mande non spatiale étant donné p Les auteurs partitionnent ensuite le prix spatial (en sous ensemble des biens de l'économie) comme suit:

où Pj 0, V/c=/, (J Pj — [Rmf, Pj est l'ensemble des prix de demande de J

Cette condition signifie qu'en chaque point de Pj, seules les biens situés dans le secteur J sont consommés en quantités positives, sinon la demande de ce bien est nulle.

En réalisant les conditions de premier ordre pour chaque <7, , on obtient les fonctions de demande pour le prix du bien i appartenant à l'ensemble des prix de demande de J données par

= > 0 , i e J m <

0, i$ J

où on doit avoir: (i) at{J) > 0 (ii) ba(J) > 0

Vérifions que ces conditions sont respectées.

Pour une économie à deux biens, on obtient:

(i) _ a2^21 ~ a l/^22 P li2 ~~ P llP l2 <2,(7) > 0 aiP u ~ aiP ii P i\ 2 ~ P11P22 Or, nous savons que:

a 1/^22 ~ “2/^21 > ® si ^1 > 0

a2^ n — a i P 2 i > ® sl(Î2> ^ y donc ûj > 0, a2 > 0 P 1 1P 2 2 ~ P 2 1 2 > ®

Cette condition est vérifiée.

P22PM — P2? ’ P22PW — P2I2

Les deux conditions (i) et (ii) sont respectées compte tenu des hypothèses du modèle initial.

Dans le but de rattacher les fonctions de demande J]{p) à des fonctions de de­ mande spatiale q^x), les auteurs définissent l'ensemble X]{X) de toutes les locali­ sations pour lesquelles seuls les biens situés dans le secteur J sont consommés en quantités positives.

Xj(x) est l'aire de demande du secteur J ayant le vecteur de localisation X :

pour chaque x e XJ(x).

Ainsi dans chaque aire de demande la fonction de demande spatiale garde la même structure linéaire.

De plus, la nature des biens offerts par les firmes affecte leurs localisations d'équilibre. Ainsi, en termes de demande compensée f h les auteurs affirment que:

X J{X) = {x e X, p{xjX) e Pj},

L'ensemble de toutes ces aires constitue une partition de X.

les biens i et j sont substituts si V./c/, Vi, j e J, b^J) < 0, 1 les biens i et j sont compléments si V/c=/, Vi, j e J, b(j(J) > 0, les biens i et j sont indépendants si V/c:/, Vi, j e /, 6ÿ(/) = 0.

Ce modèle a été examiné dans le cas d'un exemple d'école (les coefficients /?, et a, étant arbitrairement choisis); dans le cas de trois biens, il permet de conclure qu'en fonction de certains paramètres les biens sont soit substituts, soit compléments, soit indépendants. L'objectif de cet article n'étant pas de détailler cet exemple, nous nous contenterons de quelques résultats. Mais ce modèle n'inclut qu'une variable de décision des firmes, à savoir, la localisation. Dans le paragraphe qui suit, l'introduction de deux variables (prix et localisation) est présentée et le modèle qui en découle sera donné.

1 Cette condition signifie que la demande du bien i est une fonction croissante du prix du bien j, quand les biens i et j sont consommés en quantités positives.

Les prix et les localisations sont variables: jeu

simultané

Dans un jeu simultané, une stratégie pour la firme k, k e F, est définie comme un couple (pk(x), jr*), et un prix-localisation d'équilibre est défini comme une paire de stratégies (p*(x), x*k) telle que:

V/)^ > 0, Vx^ e X,

Qk[(Pk(x )>xk)IXlk\

= Max

lj

xh eX

V*e F,

La première inégalité impose un prix positif, la deuxième relation suppose que la firme se situe sur le segment unitaire, et Qk représente les ventes totales de la firme k.

Rappelons que dans ce modèle, la firme cherche à maximiser son profit, ce qui revient à maximiser ses ventes, car les coûts de production sont supposés nuls dans ce type de modèle. De plus, dans le modèle de FUJITA, O G A W A et THISSE (1988), il n'existe pas de solution au problème, c'est à dire qu'aucun prix- localisation d'équilibre n'existe dans un modèle de jeu simultané. Comme ces au­ teurs l'ont précédemment fait pour d'autres modèles, examinons le cas d'un jeu simultané entre deux firmes dans notre cadre d'analyse.

Comme nous l'avons vu précédemment, l'aire de marché est déterminée pour les firmes 1 et 2 par: M i = e X ,p f + - xt | = />*(*)} pour i = 1 et 2, soit: M x = e X, pi + tx | x — jcj | = P l (x)} M 2 — e X, P2 + t21 x — x 21 =

En effet, la firme 1 offre le bien 1 et la firme 2 le bien 2.

/>i(x) est le prix du bien 1 qui tient compte des coûts de transport. Il en est de même pour le bien 2 et la firme 2.

Les ventes totales des firmes 1 et 2 sont notées Qif Q2, telles que:

Ôj (•*!/*_,) Ô 2(*2/ ^ -2) • V <?,(•*) <i,(•*) n,(x) dx dx

Dans notre exemple à deux firmes :

X-i est la localisation x 2 de la firme 2. X-2 est la localisation x t de la firme 1.

Ô iC *i/*2) = ^ r j r d x = J qx{x)dx

” l W JAf,

car ft](x) — 1. En effet seule la firme 1 offre le bien 1 dans cette économie à deux biens.

Et comme i = 2 pour la firme 2 il vient:

Ql(x 2lx \)

M-,

— r - r d x

«2W "M.J A/f.q2{x)dx

car n2(x) = 1.

Une stratégie pour la firme 1 est une paire (/?i(x), Xi), et pour celle-ci, un prix- localisation d'équilibre est une paire de stratégies xj) telle que:

V/>j> 0, Vx, e X, fii[frî(x),jrî)/*li]

n,(x) dx

Dans notre exemple, pour la firme 1 :

X*.\ = *2, car la localisation optimale de toutes les autres firmes sauf la firme 1 est la localisation de la firme 2.

<7¡(*) = <7i(x). n((x) = m(x) = 1.

Ainsi, l'égalité précédente devient:

Qi[(p¡(x), x¡)/x¡] = Max Qi[(/>i(x), Xj €A

= q{ (x)dx •W,

Les ventes totales de la firme 1, à l'équilibre, correspondent à la demande du bien 1 sur l'ensemble de son aire de marché.

On obtient pour la firme 2 le même type de relation. Ainsi un prix-localisation d'équilibre {pfl, X2) est tel que:

V/>2 > 0, Vx2 6 X,

QiliPii*)’ *2)/x i] = Max Q2[(p2(x l x2)lx¡]

x2 eX

q2(x)dx

j m2

A l'équilibre, les ventes de la firme 2 correspondent à la demande du bien 2 sur l'ensemble de son aire de marché.

A l'équilibre les deux firmes doivent faire des profits positifs, ce qui implique que /^(x) # 0 et p*2(x) 0.

Deux cas apparaissent :

1 * z *

. Xi =£ x 2 ,

A * *

2. X\ = x 2 .

Etudions ces deux cas successivement.

I . xi ^ ^2.

Ceci signifie que les localisations d'équilibre des deux firmes ne sont pas confondues.

Sans perte de généralités, nous pouvons supposer que les profits de la firme 2 sont supérieurs à ceux de la firme 1. Alors cette dernière peut accroitre ses profits en se localisant en 3cT tel que:

et en chargeant un prixpf(x) tel que:

^7(jc) = p*2{x) — e(jc), t > 0

£ arbitrairement petit.

C'est à dire que, tant que la firme 1 capture le marché complet au prix P i {x ) — £, les ventes totales de celle-ci sont supérieures à celles de la firme 2;

dans ce cas l'inégalité précédente est vérifiée.

Comme on a par hypothèse l'inégalité

Ô

M * ).

X2)lx-i] > Q\[(P\(x)>x])lx -i]

Ô i[W *),*T )/*li] > Q\[ip\{x), •*!*)/*!,]

ce qui est une contradiction car le membre de droite de l'inéquation précédente est la solution d'équilibre pour la firme 1, c'est donc la meilleure possible.

On peut donc conclure que dans le cas où les localisations d'équilibre ne sont pas situées au même endroit, il n'existe pas de paire prix-localisation d'équilibre dans le cas d'un jeu simultané.

Etudions à présent le second cas.

* *

2. Xi = x 2

Cette égalité signifie que les deux firmes ont la même localisation d'équilibre. Examinons cette situation.

Dans ce cas, considérons les aires de marché respectives des deux firmes.

= {jc e X,pi + tx\x - x x | =

M2 = \ x e X , p 2 + t2 \ x - x 2 \ = />2(*)}

Comme xl = xj1 , les prix des deux biens sont égaux donc pCxÎ) = p(x\) . Chaque firme va avoir tendance à vendre moins cher que son concurrent, ce qui est une contradiction.

Nous avons montré que dans le cas d'un choix simultané des variables prix et localisation il n'existe pas de solution d'équilibre. Il faut donc ensuite considérer le cas où ces variables sont choisies selon un processus séquentiel à deux étapes.

Cette séparation est motivée par le fait que le choix de la localisation est priori­ taire par rapport à celui du prix. Bien entendu, dans ce cas d'analyse, il faut sup­ poser que les prix sont choisis de telle sorte qu'ils soient des prix d'équilibre. Explicitons cette démarche.

L'étude de FUJITA, OG AW A et THISSE (1988) montre que l'existence d'un prix (de concurrence spatiale) d'équilibre n'est pas évidente. Les auteurs annoncent que contrairement à une opinion largement répandue, l'absence de prix d'équilibre n'est pas nécessairement liée à l'existence de discontinuités dans la demande. C'est plutôt la non quasi concavité des fonctions de résultats qui peut poser problème. Revenons au concept théorique.

Dans la théorie de l'oligopole, une condition suffisante pour s'assurer de la quasi concavité de la fonction de profit est d'établir la concavité des fonctions de de­ mande.

THISSE et GABSZEW ICZ (1988) donnent des exemples, et considèrent que même dans le cas d'un continuum de consommateurs, on peut trouver des fonc­ tions de densité, des fonctions de coût de transport pour lesquelles les fonctions de demande qui en résultent ne sont pas concaves.

Dans leurs articles, FUJITA, OGAW A et THISSE (1988) montrent qu'une déviation par rapport à la concavité élimine la solution, même si les fonctions de profit des firmes sont continues. Ils considèrent que la concavité des fonctions de demande qui implique la quasi concavité des profits est axée sur les propriétés de la fonction de densité de localisation du consommateur et sur la fonction de coût de transport. Ils ont montré que même dans le cas le plus simple de deux firmes et dans le cas d'une densité uniforme des consommateurs localisés sur une droite, il n'existe pas de prix d'équilibre pour certaine fonctions de coût de transport. Mais la fonction de demande n'est pas concave s'il existe une paire de prix qui crée une frontière de marché entre les firmes.

Il serait possible de lister tous les cas où les prix existent ou n'existent pas, ce qui permettrait d'identifier les situations où le prix, pour un équilibre non coopératif, peut être considéré comme une conséquence du processus du marché. On pourrait aussi identifier les cas où d'autres types de comportement peuvent être attendus de la part des vendeurs.

Selon THISSE et GABSZEW ICZ (1986), il semble qu'une coordination entre les firmes tend à stabiliser la concurrence lorsque le prix d'équilibre n'existe pas.

Choix de la localisation puis choix du prix : jeu

séquentiel à deux étapes

Examinons à présent le cas d'un jeu séquentiel. Ce jeu a été introduit par HOTTELING lui même. Dans ce cas, les stratégies sont supposées suivre un pro­ cessus à deux étapes. Dans ce jeu les stratégies sont les prix et les localisations. La localisation est choisie prioritairement relativement au prix.

Ainsi, les localisations sont choisies dans la première étape d'un jeu séquentiel alors que les prix sont choisis dans une deuxième étape. Les prix sont ici pi et p2. Ce sont les prix d'équilibre d'un sous jeu non coopératif, les joueurs ayant des stratégies pures. Dans une deuxième étape, les pay-offs d'équilibre correspondant à ces prix sont définis lorsque le prix d'équilibre existe et est unique, et ils dépendent de la localisation choisie dans la première étape.

Nous allons tout d'abord rappeler brièvement la définition d'un équilibre non coopératif (équilibre de Nash).

Le scénario de comportement qui conduit à l'étude des équilibres non coopératifs n'est justifiable que dans un univers où la décision prise aujourd'hui dépend de celles qui ont été prises hier. Ainsi les joueurs communiquent entre eux, ils peuvent également échanger de l'information à condition qu'ils ne conviennent pas de jouer telle stratégie.

Ainsi M OULIN (1983) définit l'équilibre de Nash comme un contexte non coopératif où les joueurs se comportent comme s'ils n'avaient pas conscience de leur interdépendance stratégique. Ils envisagent de changer de stratégie sans

pou-voir anticiper la réaction des autres joueurs à ce changement, donc en supposant qu'ils ne réagiront pas. Tout se passe comme si les joueurs ne ressentaient pas les effets externes de leur comportement, ne tenaient pas compte de l'influence qu'ils pourraient ainsi acquérir sur les autres joueurs. Ils ne forment pas de coalitions d'intérêt.

Dans le jeu qui nous intéresse, les pay-offs peuvent être utilisé comme des fonc­ tions ,dans la première étape du jeu dans lequel les stratégies sont les localisations Xi et x2. Donnons la définition formelle du sous-jeu d'équilibre parfait.

Un prix-localisation d'équilibre dans ce jeu est une paire (x^x^) e [0, 1] x [0,1] et une paire de fonction de prix [/v(xi, x2); p\{x\, x2)] tel que : V(-Xj, *2) 6 [0, 1] x [0, 1] ; ntp'i(x,, x2);pj(xl , x2); x, , x2) > n(p-, pAxx, x2); x,, x2), (

1

On considère que, dans ce contexte de sous-jeu parfait, les firmes choisissent leurs localisations, elles anticipent les conséquences de leur choix sur la concurrence en matière de prix. En particulier elles savent que cette concurrrence sera plus sévère si elles sont proches les unes des autres (plutôt que loin les unes des autres).

Le concept d'équilibre de sous jeu n'est opérationnel que si, pour tous les choix de localisations possibles fait par les firmes, il n'existe qu'un et un seul de ces choix

qui correspond au prix d'équilibre. Dans le cas contraire, soit les pay-offs n'exis­ tent pas, soit ils sont surévalués.

Considérons le cas d'un modèle ayant des coûts de transport linéaires.

c(x) = Min¿e F ti U — xk I

Ces coûts, de transport correspondent à ceux du modèle étudié ci-avant. Dans le cas de coûts de transport linéaires, OSBORNE et PITCHICK (1987) ont effectués des calculs qui suggèrent qu'il existe un équilibre dans le sous jeu parfait dans le­ quel les firmes se localisent symétriquement dans le premier et le troisième quartile (c'est à dire dans la région qui correspond à leur choix dans le cas d'une décision aléatoire de leur système de prix). Des calculs analogues seront effectués pour le modèle modifié de THISSE, FUJITA et OGAW A, et une analyse des résultats obtenus sera donnée.

GABSZEWICZ et THISSE (1989) analysent d'autres modèles ayant des coûts de transport quadratiques et linéaire-quadratiques. Ils concluent que les résultats concernant une prise de décision aléatoire des prix sont très sensibles à la spécification de l'espace de localisation étudié. Ils donnent des résultats concernant ces deux types de coûts de transport. Pour ces auteurs, dans le cas de jeu de loca­ lisation intérieur (différenciation horizontale des produits), l'existence de l'équilibre du sous jeu parfait dépend de l'existence et de l'unicité du prix d'équilibre dans la seconde étape du sous jeu; ces conditions sont, pour eux, rarement réunies dans ce cadre.

En conclusion, nous pouvons rappeler que le modèle élaboré par THISSE, FUJITA et O G A W A permet de différencier les biens en fonction du signe de cer­ tains paramètres. Mais ce modèle ne prend en compte qu'une variable de décision des firmes: les localisations.

Nous avons prouvé ensuite que dans le cas d'un choix simultané des variables prix et localisation, il n'existe pas de solution d'équilibre. L'analyse de l'équilibre dans le cas de jeux simultanés est donc une approche décevante, mais le résultat était prévisible.

Enfin, dans le cas d'un jeu de localisation intérieur (différenciation horizontale des produits) GABSZEW ICZ et THISSE affirment que l'existence de l'équilibre dans le cas d'un jeu séquentiel dépend de l'existence et de l'unicité du prix d'équilibre dans la seconde étape du sous jeu. Pour ces auteurs, ces conditions sont rarement réunies dans le cas de jeux de localisation intérieure. Il semble selon ces auteurs que des jeux de localisation extérieurs ont une stabilité plus importante que les jeux de localisation intérieure. Ces jeux de localisation extérieure sont des jeux dans lesquels des produits sont verticalement différenciés. C'est une situation dans laquelle les vendeurs se localisent à l'extérieur de l'aire résidentielle (comme les centres commerciaux situés à l'extérieur de la ville), au même prix, tous les consommateurs préfèrent acheter au centre commercial qui est le plus proche de la ville. L'espace dans lequel on travaille n'est plus [0, 1] mais [l,oo] car [0,1] représente l'espace résidentiel.

Ainsi, dans une recherche parallèle, nous analyserons le modèle modifié de THISSE, FUJITA et OG A W A dans ce cadre et nous utiliseront une fonction de coût de transport quadratique. Néanmoins, THISSE et GABSEWICZ (1989) mettent l'accent sur le fait que l'approche du jeu séquentiel perd quelque peu de

son intérêt en ce qui concerne un résultat important en concurrence imparfaite : le principe de différenciation minimale.

De plus, ces jeux de localisation extérieur ou intérieur relâchent la concurrence en matière de prix (au point d'équilibre prix localisation du sous jeu), car elles se localisent loin les unes des autres. Il serait également intéressant de se situer par exemple sur un cercle plutôt que sur un segment de droite, et d'analyser les conséquences de cette modification de l'espace de référence sur le système de prix (choisi de manière aléatoire) de l'entreprise. Le passage de l'espace unidimensionnel à l'espace bidimensionnel pose un certain nombre de problèmes et entraine des complications mathématiques qui ne sont pas négligeables.

Bibliographie

EATON B. C., LIPSEY R. G.: 1975, The Principle of Minimum différenciation reconsidered some new developments in the theory of spatial competition, Review of Economic studies, 42, pp 27-49.

HOTELLING H.: 1929, Stability in competition, Economics Journal 39, pp.41-57.

OSBORNE C., PITCHIK C.: 1987, Equilibrium in Hotelling's model of spatial competition, Econometrica 55, pp 911-923.

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