L25 [V2-VàC] – Pourcentages

9

Pourcentages

25

Leçon

n°

Niveau Tous niveaux

Prérequis Proportionnalité, fonction affine, fonction linéaire, tableau de proportionnalité, trigonométrie

Références [76], [77], [78], [79]

25.1

Introduction du pourcentage au collège

25.1.1 Une définition et des exemples

Définition 25.1 — Pourcentage. Un pourcentage est un rapport de proportionnalité ramené à100. on peut l’écrire sous la forme d’une fraction décimale dont le dénominateur est100.

Exemple 25.2 Si, dans une classe de25 élèves, 40% sont des garçons, combien représentent-ils ? On peut dresser un tableau de proportionnalité suivant :

Pourcentage 100% 40%

Élèves 25 x

et on effectue le calcul pour trouver la valeur de x :

x= 25 × 40

100 = 10.

Il y a donc10 garçons dans la classe. 

R 25.3 L’utilisation d’un tableau de proportionnalité (et des fameux produits en croix) est une méthode qui permet à coup sûr de résoudre les problèmes posés.

Exemple 25.4

Sur les routes de montage, on rencontre par-fois ce panneau.

Que représentent-ils ? Quel est l’angle d’une telle pente ?



Dv

1. Le panneau de signalisation suivant signifie que la pente descendue est à10%, autrement dit, si la voiture parcourt100 mètres, elle descend d’une altitude de 10 mètres.

2. Voici une petite figure :

100 m

10 m

A B

C

La tangente de l’angle \BACest donnée par :

tan(\BAC) = 10 100 = 1 10. D’où : \ BAC= arctan(1/10) ≈ 5, 7°. •

25.1.2 Interprétation des pourcentages

Une chaîne de télévision a relevé l’Audimat (taux d’écoute d’une émission) pour la journée du 23 décembre à 20 h 50.

42% des téléspectateurs ont regardé Soft Lory. Ce qui revient à dire qu’en moyenne sur 100 téléspectateurs,42 ont regardé cette émission, ou encore :

— sur50 téléspectateurs, 21 ont regardé Soft Lory ; — sur200 téléspectateurs, 84 ont regardé Soft Lory ; — sur1000 téléspectateurs, 420 ont regardé Soft Lory.

Nombre total de téléspé. 100 50 200 1000 Nmbre de téléspé. pour Soft Lory 42 21 84 420

R 25.5 Dans le cas où le dénominateur est cent, le coefficient de proportionnalité est appelé pourcentage.

25.1.3 Appliquer un pourcentage

Ce jours-là, à Rians, on comptait 11250 téléspectateurs. Dans cette ville, à combien peux-t-on estimer le nombre de personnes ayant regardé Soft Lory ?

Nombre total de téléspé. 100 11250 Nmbre de téléspé. pour Soft Lory 42 x

25.2 Des pourcentages en 1re_{ES 11}

42

100 ×11250 = 4725

On peut donc estimer à4725 le nombre de Riannais ayant regardé Soft Lory.

Propriété 25.6 Pour prendre les p% d’une quantité a, on effectue le calcul a ×₁₀₀p .

25.1.4 Calculer un pourcentage

La population totale de Rians est de17067 habitants. Quel est le pourcentage de Riannais ayant regardé la télévision le 23 décembre 2001 ?

Population totale 100 17067 Nombre total de téléspé. x 11250

Pour17067 habitants, 11250 ont regardé la télévision. Pour 100 habitants, combien ont regardé la télévision ?

100 ×11250₁₇₀₆₇ = 66% Donc environ66% des Riannais ont regardé la télévision.

Propriété 25.7 Pour trouver le pourcentage que a représente par rapport à b, on effectue le calcul :

a b × 100.

25.1.5 Retrouver une quantité initiale

Un autre jour,10584 habitants ont regardé l’émission, soit 5% de plus que la veille. Combien de personnes avaient regardé la télévision, la veille ?

Si x représente le nombre de personnes qui ont regardé l’émission la veille, alors x+ 5 100xont regardé l’émission.

x+₁₀₀5 xcorrespond à10584 habitants, soit

x+ 0, 05x = 10584.

En résolvant l’équation, on trouve x = 10080. Le nombre d’habitants ayant regardé l’émission est 10080.

25.2

Des pourcentages en 1

_ES

25.2.1 Expression en pourcentage d’une augmentation ou d’une diminution

Théorème 25.8 1. Augmenter une grandeur de t% équivaut à multiplier sa valeur initiale par

1 + t

100.

2. Diminuer une grandeur de t% équivaut à multiplier sa valeur initiale par 1 − t

Dv

•Démonstration —Si A1désigne la valeur initiale et A2la valeur finale de cette gradeur. 1. A2= A1+₁₀₀t A1= A1  1 + ₁₀₀t . 2. A2= A1−₁₀₀t A1= A1  1 − ₁₀₀t . • Exemples 25.9 1. Augmenter de50%, c’est multiplier par 1 + ₁₀₀50, c’est-à-dire1, 5.

2. Diminuer de75%, c’est multiplier par 1 − 75

100, c’est-à-dire0, 25.



25.2.2 Augmentations et diminutions successives

Théorème 25.10 tet t0 désignent deux nombres positifs (augmentations) ou négatifs (diminutions).

Faire évoluer une grandeur de t% puis de t0_{% équivaut à multiplier sa valeur initiale par :} 

1 +₁₀₀t ×



1 +₁₀₀t0 .

Dv

•Démonstration —Notons A1la valeur initiale, A2la valeur après application de l’augmen-tation (ou la diminution) de t% et A3la valeur finale de cette grandeur.

A2= A1  1 + ₁₀₀t  et A3= A2  1 +₁₀₀t0  Soit : A3= A1  1 +₁₀₀t  1 + ₁₀₀t0 . •

Exemple 25.11 Le litre de super sans plomb coûte1, 12 e. Il subit deux augmentations succesives de5% et de 2%. Pour obtenir son nouveau prix P , on calcule :

P = 1, 12  1 + 5 100   1 + 2 100  = 1, 12 × 1, 05 × 1, 02 = 1, 19952 soit P ≈ 1, 20 e. 

Exercice 25.12 À la bourse de Paris, l’action Renault a augmenté de1, 45% le 10 juin 2000. Sachant que son évolution sur les deux jours du 10 juin 2000 et du 11 juin 2000 est une baisse de 0, 50%,

25.2 Des pourcentages en 1re_{ES 13}

Dv

•Solution —On cherche t tel que :  1 + 1, 45₁₀₀ 1 +₁₀₀t = 1 −0, 5₁₀₀ c’est-à-dire 1, 0145 ×1 + ₁₀₀t = 0, 995  1 + t 100  = 0, 995 1, 0145 d’où : t= 100 × 0,995 1, 0145 −1  .

Donc t= −1, 92 et l’action Renault a baissé d’environ 1, 92% le 11 juin 2000. • R 25.13 naugmentations de p% n’est pas équivalent à une augmentation de np%.

25.2.3 Variation d’un pourcentage

Un pourcentage est exprimé par un rapport de dénominateur100. Alors il permet de communiquer, de comparer des quantités, ou des évolutions aisément. Mais il ne faut pas oublier qu’l résulte le plus souvent du calcul d’un rapport x

y (x >0 et y > 0) où y n’égale pas égal à 100.

La variation de ce rapportx

y peut être due à la variation de x, mais aussi à la variation de y.

Exemple 25.14 Il y a12 filles dans une classe de 25 élèves ; le pourcentage de fille est donc de 48% (car 12₂₅ = 0, 48). Dans le courant de l’année ce pourcentage passe de 48% à 60%. Cette augmentation est due :

— à une augmentation du numérateur :3 filles sont arrivés dans la classe ; on passe donc de12 25 à 15

25;

— à une deminution du dénominateur :5 garçons sont partis ; on passe donc de 12 25à 1220.



25.2.4 Formulation des variations en termes d’indices

Définition 25.15 Dire que Ik/0 est l’indice à la date tk, en prenant100 pour base à la date t0, signifie

que Ik/0est à la quatrième proportionnelle du tableau ci-dessous :

date t0 tk valeur A0 Ak indice 100 Ik/0 c’est-à-dire que : I_k/0 = 100 × Ak A0.

Théorème 25.16 Avec les notations de la définition ci-dessus, le pourcentage d’évolution de A0à Ak

Dv

•Démonstration —Ak =

A0×Ik/0

100 donc A0100×Ik/0 = A0 1 + 100t
et t= Ik/0− 100. •

Exemple 25.17 Prenons100 pour base l’année 0. Alors

I_2/0= 0, 63

0, 53 ×100 soit I2/0 ≈ 119.

année 0 1 2

prix de la baguette (en e) 0, 53 0, 56 0, 63

Le prix de la baguette a augmenté de19% entre l’année 0 et l’année 2. 

25.2.5 Utiliser un indice pour évaluer des pourcentages d’évolution

 Exercice 25.18 Le tableau ci-dessous donne les montants, en milliards d’euros, des cotisations sociales versées par les non-salariées en France, de 1994 et 1999.

année 1994 1995 1996 1997 1998 1999 montant 16, 66 17, 33 19, 03 19, 25 15, 23 15, 99 1. En prenant100 pour base en 1994, calculer les indices pour les autres années.

2. En déduire les pourcentages d’évolution de ces montants de 1994 à 1996, de 1994 à 1998 et de 1994 à 1999.

3. En utilisant les indices, calculer le pourcentage d’évolution de ces montants de 1997 à 1999. 

Dv

•Démonstration —

1. Voici les indices arrondis au dixième.

rang 0 1 2 3 4 5 année 1994 1995 1996 1997 1998 1999 indice 100 104, 0 114, 2 115, 5 91, 4 96, 0 Par exemple : I1/0= 100 ×17, 33_{16, 66} et donc I1/0= 104, 0.

2. I2/0− 100 = 14, 2, donc de 1994 et de 1996, le montant des cotisations a augmenté d’environ14, 2%.

I4/0− 100 = −8, 6, donc de 1994 à 1998, le montant des cotisations a baissé d’environ 8, 6%.

25.3 Les pièges des pourcentages 15 3. Soit t ce pourcentage. I6/0= I3/0  1 + ₁₀₀t ⇔ 96 = 115, 5 ×  1 + ₁₀₀t . On en déduit : t= 100 × 96_{115, 5 −}1  = −16, 9. De 1997 à 1999, le montant des cotisations a baissé de16, 9% environ.

•

25.2.6 Pourcentages de pourcentages

Théorème 25.19 Prendre t1% de t2%, c’est prendret₁₀₀1t2%.

Exemple 25.20 Dans une classe de 1reES,60% des élèves sont externes et 70% des externes sont des filles. Les filles externes représentent70% des externes, c’est-à-dire 70% de 60% de la classe.

70 × 60

100 % = 42%,

donc il y a42% de filles externes dans la classe. 

25.2.7 Comparaison de pourcentages

Théorème 25.21 1. Lorsque deux pourcentages portent sur un même ensemble de référence, ils sont dans le même ordre que les données absolues.

2. Lorsque deux pourcentages portant sur des ensembles de référence distincts leur ordre ne renseigne pas sur l’ordre des données absolues.

Exemples 25.22 1. 25% de 130 est égal à 32, 5 ; 50% de 130 est égal à 65. On a à la fois25% < 50% et 32, 5 < 65.

2. 25% de 40 est égal à 10 ; 50% de 10 est égal à 5. On a 25% < 50% mais 10 > 5.



25.3

Les pièges des pourcentages

R 25.23 En général, les pourcentages ne s’ajoutent pas et ne se retranche pas.

Exemple 25.24 Un objet coûte100 e. Son prix augmente de 10%, puis le nouveau prix est diminué

de10%. Quel est son nouveau prix ? 

Dv

•Solution —Une erreur serait de croire que100 e+10% − 10% = 100 e ! En effet, on a : 100 e + 10% = 110 e et la diminution suivante, de 10% sera appliquée aux 110 e soit :

• R 25.25 Seuls les pourcentages portant sur le même ensemble sont suceptibles de s’ajouter.

 Exemple 25.26 Dans une classe de 30 élèves, 15 élèves sont bruns et 3 sont roux. Quel est le

pourcentage d’élèves qui ne sont pas blonds ? 

Dv

• Solution —Les élèves bruns représentent 15×100₅₀ = 50% de la classe et les élèves roux représentent 3×100₃₀ = 10% de la classe. Les pourcentages ayant été calculés à partir du même ensemble de définition (la classe), on peut affirmer que50%+10% = 60% des élèves ne sont

pas blonds. •

R 25.27 naugmentations de p% ne sont pas équivalentes à une augmentation de np%.

Exemple 25.28 Une somme d’argent de500 euros est placée sur un compte rénuméré à 4% l’an. Au bout de la première année, la somme d’argent, augmentée de ses intérêts devient égale à500×1, 05 = 520 e. Mais, lors de la deuxième année, les 4% ne sont plus calculés sur les 500 du début mais sur les 520 e de sorte qu’à la fin de la deuxième année, le capital obtenu s’élève à :

520 × 1, 04 = 500 × 1, 04 × 1, 04 = 500 × (1, 04)2_{= 540, 80 e.}

Deux augmentations succesives de 4% ne sont donc pas égales à une augmentation de 8%. Pour connaître leur effet sur une somme, il convient de calculer (1, 04)2 _{= 1, 0816. Ceci nous permet} d’affirmer que2 augmentations successives de 4% sont équivalentes à une augmentation de 8, 16%.

25.4

Applications économiques : les intérêts

Exemple 25.29 Une personne décide de placer la somme de1500 e à un taux d’intérêt annuel de 3%.

— L’intérêt acquis au bout d’un an sera de1500 × 0, 03 = 45 e. — L’intérêt acquis au bout d’un mois sera de1500 ×0,0312 = 3, 75 e. — L’intérêt acquis au bout de6 mois sera de 3, 75 × 6 = 22, 50 e.



25.4.1 Intérêt simple

Définition 25.30 — Intérêt simple. L’intérêt simple est proportionnel au capital placé, au taux d’intérêt et à la durée de placement :

I = C × t × n

où :

— I est l’intérêt (en e), — C est le capital placé,

— t est le taux périodique (ce qui rapporte1 e durant une période)

25.4 Applications économiques : les intérêts 17

25.4.2 Valeur acquise

Définition 25.31 La valeur acquise est la somme disponible à la fin du placement :

A= C + I

où

— A est la valeur acquise (en e), — C est le capital placé,

— I représente les intérêts acquis.

Exemple 25.32 Un placement de2300 e placé 5 mois au taux mensuel de 0, 5% rapporte un intérêt de57, 50 e soit une valeur acquise de :

2300 + 57, 50 = 2357, 50 e.



25.4.3 Taux proportionnels

Définition 25.33 — Taux proportionnels. Deux taux sont dits proportionnels s’ils sont proportionnels à leur durée de placement :

tsemestriel = tannuel₂ , ttrimestriel = tannuel₄ , tmensuel= tannuel₁₂ R 25.34

1. À intérêts simples, des taux proportionnels sont équivalents, car ils conduisent à la même valeur ac-quise.

2. Une année commerciale compte360 jours, 12 mois et 24 quinzaines.

25.4.4 Taux moyen de placement

Définition 25.35 — Taux moyen de placement. Le taux moyen de placement est le taux unique auquel il aurait fallu placer les capitaux pendant les mêmes durées pour obtenir le même intérêt total. Exemple 25.36 Trois placements de2000 e, 1500 e et 750 e sont respectvement placés pendant un an à4, 25% l’an, pendant 8 mois à 0, 3% mensuel et pendant 120 jours à 5, 5%. L’intérêt total rapporté par les 3 placements est :

I = (2000 × 0, 0425) + (1500 × 0, 003 × 8) + (750 × 0, 055 ×120₃₆₀) = 134, 75 e.

Le taux moyen de placement T est obtenu par la résolution de l’équation suivante : 134, 75 = (2000T ) + (1500T × 8

12) + (750T × 120360

soit134, 75 = 3250T ⇔ T = 0, 0415. Le taux moyen de placement est de 4, 15% annuel. 

Propriété 25.37 L’intérêt simple est une fonction linéaire de la durée de placement. Elle est représen-tée par une droite passant par l’origine.

Exemple 25.38 Une personne a placé500 e au taux annuel de 4%. L’intérêt est représenté par la droite d’équation y = 500×0, 04×x soit y = 20x où y représente l’intérêt et x la durée du placement. 

Propriété 25.39 La valeur acquise est une fonction affine de la durée du placement. Elle est représen-tée par une droite qui ne passe par l’origine.

Exemple 25.40 La valeur acquise au bout de x année est représentée par la droite d’équation y =

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[60] G. COSTANTINI, Nombres complexes, Terminale S. URL :http://bacamaths.net. [61] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminales S, Ch. 1, 2009-2010. http://

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[62] D. FELDMANN, 21. Géométrie analytique. URL : http://denisfeldmann.fr/PDF/ 21ganal.pdf.

[63] Contributeurs de Wikipédia, Base orthormale, Wikipédia.

[64] Coordonnées Géographiques, MPS. URL : http://www.mimaths.net/IMG/pdf/ coorgeo.pdf.

[65] G. COSTANTINI, Exercices de Géométrie Analytique. URL :http://bacamaths.net. [66] J. ONILLON, Géométrie analytique : un regard d’un autre temps, 2007.http://tanopah.

jo.free.fr/ADS/bloc13/geoanalytique.pdf

[67] Contributeurs de Wikipédia, Géométrie analytique, Wikipédia.

[68] Contributeurs de Wikipédia, Repérage dans le plan et dans l’espace, Wikipédia. [69] Contributeurs de Wikipédia, Système de coordonnées, Wikipédia.

[70] D. ROBERT, Mathématiques en Terminale ES, Enseignement de spécialité, 2012-2013.http:

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[71] Devoir maison – 5, Chiffrement de Hill, Spé TS, Lycée Victor Duruy - Mont de Marsan.http://mathstsduruy.fr/wp-content/uploads/2013/04/dev5_

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[72] Chapitre 12 : Proportionnalité. http://maths.vivien.free.fr/documents/

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[73] Chapitre 13 : Proportionnalité. http://www2.ac-lyon.fr/etab/colleges/ col-69/jgiono/IMG/pdf/cours_Proportionnalite.pdf

[74] Théorème de Thalès - Démonstration. URL : http://mathadoc.sesamath.net/ Documents/college/3eme/3thales/demoaire.PDF

[75] S. PASQUET, Proportionnalité, Classe de 6ème, 5ème, 4ème et 3ème. http://mathweb. fr.

[76] J.-G. CUAZ, Pourcentage, Première L Math-Info. http://francois. schulhof.perso.neuf.fr/cours_maths/lycee/statistiques/cours_ pourcentage.pdf

[77] Contributeurs de Wikipédia, Pente (topographie), Wikipédia.

[78] Pourcentages, CNED Académie en Ligne. URL :http://www.academie-en-ligne. fr/Ressources/7/MA11/AL7MA11TEPA0012-Sequence-02.pdf

[79] Intérêts simples. http://mathadoc.sesamath.net/Documents/mp/bacpro/ bacgestion/int_simp.PDF