Devoir de synthèse n°2         4ème Mathématiques Mr Boudhaouia 02 03 10

Lycée 02 03 34 Ksar Hellal Devoir de synthèse N° 2 4ème _M

Mr : Boudhaouia Durée 4h 02/03/2010

Exercice 1(3 points)

On considère l’équation différentielle : − = − − 1 .

1) Soit la fonction définie sur par : = + + . Déterminer les réels , et pour que soit une solution de l’équation .

2) Déterminer les solutions de l’équation différentielle : − = 0.

3) Montrer que est une solution de si et seulement si − est une solution de . 4) Déterminer alors les solutions de .

Exercice 2(4 points)

Soit un plan muni d’un repère orthonormé direct , , .

1) Soit l’application de vers luis même qui à tout point d’affixe associe le point d’affixe tel que : = √2 " − √2 "

a) Montrer que est une similitude indirecte et préciser son rapport et l’affixe de son centre Ω .

b) Déterminer une équation cartésienne de son axe ∆ .

2) Soit l’application de vers luis même qui à tout point d’affixe associe le point d’affixe tel que : = −" + 3.

a) Montrer que est un antidéplacement.

b) Soit d’affixe l’image de par ° , exprimer en fonction de . c) En déduire que est une symétrique glissante et préciser l’affixe de son vecteur. 3) Soit l’application ℎ de vers luis même qui à tout point de coordonnées , telle que :( = − + 3

= + + 1) .

a) On désigne par l’affixe de et par l’affixe de exprimer en fonction de . b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de ℎ.

Exercice 3(4 points)

Soit *+, un triangle rectangle en * tel que :-*+, *,. ≡ 0

1 2234 ( on prend *+ = 5 6).

Soit le point du plan tel que le triangle ,* est isocèle en , et -,*, , . ≡ −0 2234. 1) Soit 7₈ la rotation de centre * et qui transforme + en , ; 7₉ la rotation de centre , et d’angle −0 . On pose = 79° 7₈.

a) Déterminer une mesure de l’angle de 7₈.

b) Montrer que est une rotation et donner une mesure de son angle. c) Déterminer * et + et construire le centre de la rotation . d) Montrer que le quadrilatère *+ , est un parallélogramme.

2) Soit : la similitude directe de centre qui transforme * en + et soit = + ∗ , . a) Déterminer une mesure de l’angle de :.

b) On pose : , = , ; montrer que , ∈ * . c) On pose : = = = ; montrer que =′ = ∗ +.

d) Déduire que ,′ est le centre du cercle circonscrit au triangle +,.

Exercice 4(4 points)

Soit la fonction ? définie sur 40 , +∞2 par :? = A BC

D EF G

H .

1) Montrer que ? est dérivable sur 40 , +∞2 et que ? est strictement croissante sur 40 , +∞2 . 2) a) A l’aide d’une intégration par parties montrer que :

∀ ∈ 40 , +∞2 ? = B_GJ− K + A_HGB_DLC EF. b) En déduire que ∀ ≥ 1 on a : ? ≥BJ

G − K.

c) En déduire lim_G→RS? et lim_G→RST G

G .

3) a) Montrer que ∀ ∈ 40 , 14 on a :? ≤ ln . b) En déduire lim_G→ W? .

4) Donner l’allure de la courbe , de ?, on précisera sa tangente au point d’abscisse 1.

Exercice 4(4 points)

1) Soit la fonction définie sur par : = KG − . a) Déterminer limG→RS et limG→RS .

b) Dresser le tableau de variation de . c) En déduire que : ∀ ∈ , > 0.

2) Soit la fonction définie sur par = 2 − KG − 1. a) Déterminer lim_G→YS et lim_G→RS

b) Dresser le tableau de variation de .

c) Montrer que l’équation = 0 admet exactement deux solutions ; on notera par Z la solution qui appartient à l’intervalle 4−∞ , 14 et par [ l’autre solution.

d) Fn déduire le signe de sur .

3) Soit la fonction définie sur par :

=

BJ_YG.

a) Déterminer les limites de en −∞ et en +∞. b) Montrer que

Z =

[ =

=

d) Tracer dans un repère orthonormé ( unité graphique 2 6 ) la courbe de On prendra Z = −1,1 et [ = 1,8.