Lycée 7/11/1987 Métlaoui
Prof. Mr. Abdelkader K
Devoir de Synthèse n°1
Niveau : 4
ème
Sc. Techniques
Date : 09/12/2010 – Durée : 2H
Exercice n°1 : Q.C.M : (3points)
Dans chaque question une réponse est correcte. Indiquer la par la lettre correspondante.
1) La forme exponentielle de 1 i 3 est :
a) i 3 2 e ; b) 2 i 3 2 e ; c) i 3 2 e 2) Pour tout réel θ et pour tout n ,
cos isin
n est égal à :a) cos n
isin n
; b) cosn isinn ; c) ncos insin3) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé
O,u,v .
L’ensemble des points M d’affixes z vérifiant z 2i z 1 est :a) une droite ; b) un cercle ; c) une demi – droite
Exercice n°2 : (7points)
Le plan est muni d’un repère orthonormé
O,i, j , on considère la fonction f défini sur par : 2 x f(x) si x 0 2x 1 f(x) x x x si x<0 1) a) Etudier la continuité de f en 0.
b) Etudier la dérivabilité de f en 0. Interpréter le résultat graphiquement. 2) Calculer
xlim f(x) , xlim f(x) , x
1 lim f(x) 2x
2. Interpréter les résultats graphiquement. 3) a) Montrer que, pour tout x>0 ;
2 1 f (x) 2x 1 .b) Montrer que, pour tout x<0 ;
2 2x 1 f (x) 1
2 x x
, déduire le signe de f (x) sur
;0 .
c) Dresser le tableau de variation de f.4) Montrer que l’équation f(x) = 2 admet une unique solution
;0 .
5) TracerC
f dans le repère
O,i, j .6) a) Montrer que pour tout x
2; 1 on a
f ' x
1.Exercice n° 3 : (4points)
Ci – dessous est le tracé de la courbe représentative (
C
f) d’une fonction f définie sur .1) a) Déterminer f(2) , f (2) , d f (2)g .
b) Dresser le tableau de variation de f. 2) a) Déterminer f(–1) et f ’(–1).
b) On suppose que pour tout x
;0 ;
f(x)ax b 1x. Déterminer les réels a et b puis en déduire l’équation de l’asymptote au voisinage de .
3) Soit
pour tout
x ;
2 . Montrer que h est dérivable sur
2; et que
Exercice n° 4 : (6points)
1) Déterminer deux nombres complexes z1 et z2 tels que :
1 2 1 2 z z 1 i z z 6 2i
2) On considère l’expressionf z
z3
1 2i z
2
3 3i z 10 10i , où z est un nombre
complexe.a) Montrer que f(–2i) = 0.
b) Résoudre alors dans l’équation f(z) = 0.
3) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé
O,u,v , on considère les points
A, B, C et D d’affixes respectives zA = –2i ; zB = – 2+i ; zC = 1+3i et zD = 3.Montrer que ABCD est un carré. - Bon Travail –
2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 0 1 1 x y O i j
