Lycée Azeiz El Khouja de Kélibia Section: Sciences expérimentales 1, 2 et 4.
14/05/2010 Durée : 3 heures
DEVOIR DE SYNTHESE N°3
Professeurs : M.Chérif - M.Chékili- M.Kdous MathématiquesExercice 1 : (
3 points)Choisir la bonne réponse sans aucune justification :
1) La durée du repos en minutes d’un ouvrier est une variable aléatoire X qui suit une loi uniforme sur
30,60
.La probabilité pour que l’ouvrier soit encore au repos après 40 minutes est : a) 1
3 b)
2
3 c) 0
2) La droite de Mayer d’une série statistique double (X,Y) a pour équation Y
X 2, 4, le point moyen decette série est
G 10 ;0, 2
alorsߙ=a) 11
50
b) 50
11 c) 0, 22
3) Soient A et B deux évènements d’un même univers muni d’une probabilité p. Si A et B sont indépendants et si p(A) = p(B) = 0,4 alors p (A
B) =a) 0,8 b) 0,64 c) 0,36
Exercice 2 :
(5 points)I. Dans un lycée 23%des élèves se font vacciner contre la grippe. Pendant l’hiver, il y a eu une épidémie de grippe et 10% des élèves attrapent la maladie. De plus 3%des élèves vaccinés ont eu la grippe.
1) On choisit au hasard un élève de ce lycée. On considère les événements suivants : V : « L’élève est vacciné » et G « L’élève a eu la grippe »
a) Calculer la probabilité de l’évènement A : « l’élève a été vacciné et il a eu la grippe »
b) On choisit au hasard un élève non vacciné, quelle est la probabilité pour qu’il ait eu la grippe . 2) On choisit au hasard six élèves du lycée.
Calculer la probabilité pour que 4 élèves exactement aient eu la grippe.
II. L’infirmière du lycée prélève pendant 7 jours le nombre des élèves malades. Les résultats sont donnés par le tableau suivant. N° du jour (X) 1 2 3 4 5 6 7 Nombre des élèves grippés (Y) 1 3 5 7 10 16 21
Le nuage des points associé à la série statistique double (X, Y) est représenté en annexe ainsi que le point moyen G.
1) Déterminer graphiquement XetY .
2) La forme du nuage suggère un ajustement exponentiel, pour cela on pose Z=ln(Y). a) Recopier et compléter le tableau suivant :
N° du jour (X)
1 2 3 4 5 6 7
Z=ln(Y)
Les valeurs seront données à 2
10 prés.
b) Calculer le coefficient de corrélation linéaire r de la série statistique double (X, Z). Interpréter le résultat trouvé.
c) Donner une équation de la droite de régression de Z en X. d) Déduire un ajustement de Y en X de la forme BX
Y Ae .
e) Estimer le nombre d’élèves grippés le 10èmejour.
Exercice 3 :
(6 points)Le graphique représenté en annexe représente la courbe c d’une fonction f définie sur
c possède deux asymptotes horizontales d’équationsy
1
ety
1
.Soit a l’aire de la partie hachurée (le domaine limité par la courbe c , l’axe des abscisses et les droites d’équations
x 1etx0). On donne : a 1 2 ln e 1 u.a. 2 1) En utilisant le graphique : a) Préciser
xlim f x etxlim f x
.b) Dresser le tableau de variation de la fonction f. c) Calculer l’intégrale 0
1I
f x dx
. 2) On suppose que
x xe
1
f x
e
1
.a) Vérifier que pour tout réel x,
x 2 x2e
f ' x
e
1
. b) Montrer que :
2
1
f x
2 f ' x
.c) Déduire le volume du solide (S), engendré par la rotation de l’arc
OA
de la courbe c autour de l’axe des abscisses. (voir annexe)Exercice 4 :
(6 points)I. Soit l’équation différentielle
xE : y ' y
x
1 e
1) Vérifier que la fonction
x
2) Résoudre dans
, l’équation différentielle
E : y ' y
0
0
.3)
a) Montrer que f est une solution de
E
si et seulement si (f-g) est une solution de
E
0 .b) Déduire que toute les solutions de
E
sont de la forme :
x
xf x x 1 e ke , k
.c) Déterminer la solution de
E
vérifiant :f 0
1
.II. On pose
x
f x
x
x
1 e , x
0,
.1)
a) Montrer que
xlim f x .
b) Montrer que la droite
: y xest une asymptote à la courbe c de la fonction f.c) Déterminer la position de c et
. (On vérifiera que sur
0,1
, la courbe c est au dessous de
).2) On donne le tableau de variation de f
x 0 α
f’(x) 3 + f(x) +∞ 0 -1Tracer la courbe c de la fonction f dans un repère orthonormé.(On précisera la demi-tangente au point d’abscisse 0). 3) On pose
u
n 1f x
ndx , n
( 0<ߙ< 1 )a) Prouver que pour tout
x
,1
;
f x
nx , n
n
.b) Déduire que pour tout n
on a :n 1 n
