FONCTION VALEUR ABSOLUE
I) Valeur absolue et distance1.a) Sur une droite graduée d’origine O, M est un point d’abscisse x.
La valeur absolue du nombre x, notée | |, est la distance OM.
Exemples :
Si x = 4 alors | | = |4| = 4. Si x = –2,5 alors | | = |−2,5| = 2,5. b) Remarque : une distance est toujours positive. Donc, pour tout réel x, | | ⩾ .
c) Soit M’ le symétrique de M par rapport à O. M’ a pour abscisse –x. M et M’ sont à la même distance de O, donc OM = OM’, soit | | = |− | .
2) De la même façon, sur une droite graduée d’origine O, a et b étant les abscisses respectives de deux points A et B. | − | = AB. Donc, | − | représente la distance d’un point M d’abscisse x
à un point A d’abscisse a. II) Fonction valeur absolue
1) Remarque : comme il a été vu ci-dessus, si x est un réel positif, alors | | = x, et si x est un réel négatif, alors | | = – x.
2) Définition : La fonction valeur absolue est la fonction définie sur ℝ, qui à tout réel x associe sa valeur absolue. Soit f(x) = , ℝ
− , ℝ ∗
3) Variations :
Comme pour tout réel x, f(–x) = |− | = | | = f(x), la fonction valeur absolue est une fonction paire. Comme pour tout x de ℝ+, | | = x, et que la fonction linéaire x ֏ x est strictement croissante, alors la fonction valeur absolue est strictement croissante sur ℝ+.
De même, comme pour tout x de ℝ*–, | | = – x et que la fonction linéaire x ֏ –x est strictement décroissante, alors la fonction valeur absolue est strictement décroissante sur ℝ*–.
x –∞ 0 +∞ f(x) 0 4) Courbe représentative : 0 O 1 M x 0 O 1 M 4 0 O 1 M -2,5