HAL Id: pastel-01022672
https://pastel.archives-ouvertes.fr/pastel-01022672
Submitted on 10 Jul 2014
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
faisceau de cylindres oscillant latéralement en
écoulement axial
Lise Divaret
To cite this version:
Lise Divaret. Caractérisation des forces fluides s’exerçant sur un faisceau de cylindres oscillant latérale-ment en écoulelatérale-ment axial. Mécanique des fluides [physics.class-ph]. ENSTA ParisTech, 2014. Français. �NNT : 447�. �pastel-01022672�
Caractérisation des forces fluides s’exerçant
sur un faisceau de cylindres oscillant
latéralement en écoulement axial
Thèse présentée pour l’obtention du titre de
DOCTEUR DE L’ENSTA PARISTECH Spécialité : Mécanique
par
Lise Divaret
Soutenue le 10 avril 2014 devant le jury composé de
Président : Laurent Jacquin Directeur du DAFE, Onera, Meudon, France
Rapporteurs : Sergio Bellizzi Directeur de Recherche CNRS, LMA, Marseille, France
Lionel Schouveiler Professeur, IRPHE, Marseille, France
Examinateur : Xavier Amandolèse Enseignant-Chercheur, LadHyX, Palaiseau, France Directeur : Olivier Cadot Professeur, UME ENSTA ParisTech, Palaiseau, France Encadrants : Pierre Moussou Ingénieur-Chercheur, EDF R&D, Clamart, France
Olivier Doaré Professeur, UME ENSTA ParisTech, Palaiseau, France
Unité de Mécanique LaMSID
Remerciements
Mon travail de thèse a été réalisé entre l’Unité de Mécanique de l’ENSTA ParisTech et le département Analyses Mécaniques et Acoustique d’EDF R&D. Je souhaite remercier l’ensemble des personnes qui m’a accueillie et accompagnée tout au long de ma thèse.
Je tiens à exprimer toute ma gratitude à Olivier Cadot qui a été pour moi un directeur de thèse très disponible et également à Pierre Moussou et Olivier Doaré pour leur participation active à l’encadrement de ma thèse. Un grand merci à vous trois pour votre implication, votre confiance et pour toutes les discussions scientifiques – toujours très enrichissantes – que nous avons pu avoir.
J’exprime tous mes remerciements à l’ensemble des membres de mon jury : Laurent Jacquin pour avoir présidé mon jury de thèse, Sergio Bellizzi et Lionel Schouveiler pour m’avoir fait l’honneur de rapporter mes travaux et Xavier Amandolèse pour avoir examiné mon travail.
Les différentes expériences de ma thèse ont été réalisées à l’Unité de Mécanique de l’ENSTA. Je remercie vivement Thierry P., Nicolas B., et Lahcene C. pour leur contribution au montage des différentes manips et pour l’usinage des pièces. La conception et les premiers tests de l’expérience sur le faisceau de cylindres ont été effectués au département AMA d’EDF R&D. Je tiens à remercier tout particulièrement Nicolas dB.dC. pour sa grande implication dans la conception du montage et l’achat des différentes pièces : la réussite de la manip t’est en grande partie due. Merci également à Mathieu C. et Pierre B. pour leurs nombreux conseils dans les phases de conception et d’optimisation, et à Patricia L. et Karima M. pour leur aide au montage et pour l’étalonnage des capteurs.
Je remercie Fanny Depaix, que j’ai eu la chance de co-encadrer pendant son stage de fin d’étude, pour son implication et sa minutie dans la réalisation des mesures expérimentales. Merci également à Julien Berland et Hassan Berro pour leur collaboration et leurs conseils sur la partie numérique.
Je tiens à remercier mes collègues du département AMA et plus particulièrement du groupe T61 pour leur aide et leur bonne humeur. Merci à Albert A., Thibaud T., Nicolas B., Laurent D., Nicolas G., Charles B., Thomas G., Didier C., Karima M., pour les pauses café enjouées, les soirées top chef, les footings le midi, les théories – de préférence complexes – sur tout et n’importe quoi, et j’en oublie encore... Emmanuel B. et Sylvie A., merci pour votre relecture méticuleuse du manuscrit. Bon courage à Julie A. et Wissam B. pour la suite et fin de leur thèse !
Je remercie également mes amis qui m’ont soutenu tout au long de la thèse : merci en particulier à Claire, Charlotte, Christophe, Thierry, Valérie et Vincent ! Mes remerciements s’adressent enfin à ma famille et à Aron pour leur soutien et leurs encouragements.
Table des matières
Nomenclature v
Introduction 1
I Etude d’un cylindre oscillant dans un écoulement axial non confiné 7
1 Modèles d’amortissement pour un cylindre oscillant en écoulement axial 9
1.1 Approches dynamique et quasi-statique . . . 11
1.1.1 Formulation générale du problème dynamique . . . 11
1.1.2 Approche quasi-statique . . . 12
1.2 Forces normale et d’amortissement . . . 13
1.2.1 Décomposition de la force normale : forces d’inertie et d’amortissement . . . 13
1.2.2 Cylindre à grand angle d’attaque : principe d’indépendance . . . 14
1.2.3 Cylindre faiblement incliné : modèle de Taylor . . . 18
1.3 Conclusion . . . 20
2 Cylindre statique en écoulement quasi-axial 23 2.1 Montage expérimental . . . 25
2.1.1 Géométrie . . . 25
2.1.2 Mesures de forces . . . 25
2.1.3 Mesures de pressions . . . 27
2.1.4 Mesures de vitesses . . . 27
2.2 Forces normales s’exerçant sur le cylindre . . . 29
2.2.1 Forces de portance et de traînée . . . 29
2.2.2 Influence de la longueur du cylindre . . . 30
2.2.3 Expression de la force normale aux petits angles . . . 31
2.3 Origine de la force de portance . . . 33
2.3.1 Etude des distributions de pression autour du cylindre . . . 33
2.3.2 Pression à l’avant et à l’arrière du cylindre . . . 35
2.4 Caractérisation de l’écoulement autour d’un cylindre faiblement incliné . . . 36
2.4.1 Profils de vitesse au fil chaud . . . 36
2.4.2 Champs PIV à l’arrière du cylindre . . . 37
2.5 Discussion et Conclusion . . . 39 i
3 Cylindre oscillant latéralement en écoulement axial 41
3.1 Montages expérimentaux . . . 43
3.1.1 Géométrie du montage en eau et mesures de déplacement . . . 43
3.1.2 Géométrie du montage en air et mesures d’accélération . . . 44
3.2 Fréquence d’oscillation et taux d’amortissement . . . 45
3.2.1 Configuration de référence : analyse des signaux temporels . . . 45
3.2.2 Configuration de référence : détermination de l’amortissement . . . 48
3.2.3 Comparaison des résultats en eau avec et sans carénage . . . 49
3.2.4 Montage en air . . . 50
3.3 Amortissement du cylindre en fonction de la vitesse d’écoulement . . . 52
3.3.1 Calcul du coefficient d’amortissement . . . 52
3.3.2 Comparaison des coefficients d’amortissement obtenus à partir des quatre expé-riences dynamiques . . . 54
3.3.3 Comparaison des résultats du cas dynamique de référence avec ceux donnés par l’approche quasi-statique . . . 54
3.4 Conclusion . . . 56
4 Simulations CFD sur un cylindre fixe en écoulement quasi-axial 59 4.1 Description du problème numérique . . . 61
4.1.1 Géométrie . . . 61
4.1.2 Paramètres de maillage . . . 62
4.1.3 Modèle de turbulence . . . 62
4.2 Validation des calculs CFD . . . 63
4.2.1 Validation en force pour la configuration de référence . . . 63
4.2.2 Validation en pression pour la configuration de référence . . . 65
4.2.3 Validation en vitesse pour la configuration de référence . . . 67
4.2.4 Influence du maillage et du modèle de turbulence . . . 69
4.3 Évolution de la pression et du champ de vitesse le long du cylindre . . . 71
4.3.1 Étude de la pression . . . 71
4.3.2 Étude du champ de vitesse . . . 73
4.4 Conclusion . . . 75
II Faisceau de cylindres oscillant dans un écoulement axial 77 5 Eléments bibliographiques sur le faisceau de cylindres oscillant en écoulement axial 79 5.1 Variation de la masse ajoutée avec le confinement et le nombre de Reynolds . . . 81
5.1.1 Masse ajoutée d’un cylindre confiné . . . 81
5.1.2 Masse ajoutée d’un faisceau de cylindres . . . 82
5.2 Force d’amortissement fluide s’exerçant sur un faisceau de cylindres . . . 83
5.2.1 Modèle d’amortissement pour un faisceau de cylindres . . . 83
5.2.2 Modèle de force normale pour un faisceau de cylindres . . . 85
TABLE DES MATIÈRES iii
6 Etude expérimentale d’un faisceau de cylindres oscillant en écoulement axial 87
6.1 Montage expérimental . . . 89
6.1.1 Description générale du montage . . . 89
6.1.2 Géométrie du faisceau de cylindres . . . 90
6.1.3 Motoréducteur . . . 92
6.2 Système de mesure . . . 93
6.2.1 Mesures de forces . . . 93
6.2.2 Mesures de déplacement . . . 93
6.2.3 Mesures de vitesse d’écoulement . . . 93
6.3 Traitement des signaux temporels de force et de déplacement . . . 94
6.3.1 Signaux de déplacement . . . 94
6.3.2 Décomposition de la force en termes élémentaires . . . 95
6.4 Caractérisation du montage expérimental en air . . . 97
6.4.1 Signaux de force du faisceau en air . . . 97
6.4.2 Force de frottement en air . . . 99
6.4.3 Réponse inertielle du système en air . . . 99
6.5 Résultats en eau sous écoulement . . . 100
6.5.1 Forces temporelles s’exerçant sur un faisceau de cylindres . . . 100
6.5.2 Coefficients de masse ajoutée . . . 106
6.5.3 Coefficients d’amortissement . . . 107
6.5.4 Synthèse des résultats sur la force normale s’exerçant sur le faisceau de cylindres 110 6.6 Discussion et Conclusion . . . 113
Conclusions et perspectives 117
Annexes 121
A Principe d’indépendance 123
B Calculs CFD sur un maillage non raffiné aux pointes 125
C Calcul potentiel de la masse ajoutée d’un cylindre oscillant 141
D Calculs CFD 2D sur un faisceau oscillant 143
Nomenclature
Les différentes notations utilisées dans le documents sont listées dans cette section. Les vecteurs sont notés en gras A, le produit scalaire A.B et la valeur moyenne entre crochets < A >.
C Coefficient d’amortissement
Ca Coefficient de masse ajoutée
CD Coefficient de traînée :CD = FD/(12ρncylU2DL)
Cα=90◦
D Coefficient de traînée du cylindre en écoulement transverse
Cf Coefficient de friction
CL Coefficient de portance :CL= FL/(12ρncylU2DL)
CN Coefficient de force normale :CN = FN/(12ρncylU2DL)
Cdiss
N Composante dissipative de la force normale
Cp Coefficient de pression : Cp= (p − p0)/(12ρU2)
D Diamètre du cylindre
Dh Diamètre hydraulique
FD Force de traînée exercée par le fluide sur le cylindre
FL Force de portance exercée par le fluide sur le cylindre
FN Force exercée par le fluide sur le cylindre dans la direction normale : FN= FLcosα + FDsinα
Fdiss
N Composante dissipative de la force normale
Finer
N Composante inertielle de la force normale
Fstat
N Composante dissipative de la force normale mesurée sur le cas statique d’un cylindre incliné
L Longueur du cylindre
Las Largeur de la lame d’eau entre deux assemblages combustibles
Ma Masse ajoutée
Mcyl Masse du cylindre
Re Nombre de ReynoldsRe = DU/ν
Reas Nombre de Reynolds axial pour l’assemblage combustibleRe = LasU/ν
U Vitesse de l’écoulement incident
Uaxial Vitesse de l’écoulement axial
˙
X Vitesse d’oscillation du cylindre ou du faisceau de cylindres
¨
X Accélération du cylindre ou du faisceau de cylindres
Pdiss Puissance dissipée
R Ratio entre la vitesse latérale et la vitesse axiale pour un assemblage :R = A2πf /U
f Fréquence d’oscillation du cylindre ou du faisceau de cylindres en eau
fair Fréquence d’oscillation du cylindre ou du faisceau de cylindres en air
fD Coefficient de friction à la paroi
ncyl Nombre de cylindres dans le faisceau
p0 Pression de référence à l’entrée de la veine d’essai
α Angle d’inclinaison du cylindre ou angle de la vitesse relative avec l’axe du cylindre
α = atan( ˙X/U )
αmax Angle maximal de la vitesse relative avec l’axe du faisceau de cylindresαmax= atan(R)
γ Taux d’amortissement
µ Viscosité dynamique du fluide
ν Viscosité cinématique du fluide
ρ Masse volumique du fluide
θ Angle azimutal
Introduction
Des problèmes d’interaction fluide-structure peuvent se rencontrer sur plusieurs types d’éléments dans les centrales nucléaires comme les tubes des générateurs de vapeur, les échangeurs, les organes de robinetterie ou les assemblages combustibles. Les phénomènes physiques associés sont, par exemple, des instabilités fluides élastiques sur les tubes des générateurs de vapeur, des détachements tourbillonnaires synchronisés sur des organes de robinetterie, ou encore des oscillations latérales sous écoulement axial des assemblages combustibles en cas de séisme [1,5,46].
Fig. 1 – Évolution de la carte de risque sismique entre 1991 et 2011.
Suite à une réévaluation sismique ayant abouti à une nouvelle carte du risque sismique en 2011 (figure 1), EDF doit quantifier les marges de tenue au séisme de ses installations. D’un point de vue pratique, l’excitation sismique est déterminée par des spectres d’accélération au sol déduits d’accéléro-grammes et des spectres de plancher pour l’accélération sur la dalle des bâtiments. Des normes de sécurité existent comme, par exemple, celles données par la commission nucléaire des standards de sécurité KTA (Kerntechnischer Ausschuss) [34], qui recense les exigences et les recommandations pour le calcul de tenue au séisme des composants des centrales nucléaires. Lors d’un tel calcul, l’amortissement et la
tilité de l’équipement sont des données importantes aux basses et moyennes fréquences. En particulier, l’amortissement diminue la valeur maximale de l’accélération dans les spectres d’accélération [16] et sa connaissance précise est donc de première importance. Dans la présente thèse, on s’intéresse à l’amor-tissement fluide sur le composant assemblage combustible en conditions accidentelles sous séisme.
Un assemblage combustible est un réseau confiné de25 tubes guides et de 17 × 17 crayons com-bustibles contenant des pastilles d’oxyde d’uranium. Les crayons comcom-bustibles ont un diamètre de9 mm
et l’espace entre les crayons dans l’assemblage est de 3 mm. Les assemblages combustibles sont des
structures élancées (figure 2a) : leur hauteur totale est d’environ 4.5 m. Les crayons sont maintenus par
des grilles munies d’ailettes de mixage servant à augmenter l’échange de chaleur entre les crayons et le fluide caloporteur, dans ce cas de l’eau liquide. Les assemblages combustibles sont soumis, dans le cœur des réacteurs de centrales nucléaires de type REP (Réacteur à Eau Pressurisée), à un écoulement axial, le long des crayons, qui sert à transférer la chaleur des crayons combustibles. Le cœur d’un réacteur REP (figure 2b) contient 157 assemblages pour un réacteur 900 MW, 193 pour un 1300 MW, 205 pour un 1400 MW et 241 pour un 1650 MW (EPR).
(a) Assemblage combustible, vue de dessous.
(b) Coupe d’un réacteur à eau pres-surisée.
Fig. 2 – Faisceau de cylindres en écoulement axial : assemblage combustible dans le cœur d’une
cen-trale nucléaire.
Les calculs de dimensionnement au séisme en France métropolitaine sont réalisés avec des accélé-rations au sol variant entre 0.1 et 0.3 fois l’accélération de la pesanteur. L’accélération des structures
est généralement amplifiée d’un facteur2 ou 3. En conséquence des accélérations subies par la cuve du
réacteur, les assemblages oscillent à des amplitudes pouvant aller jusqu’à quelques diamètres de crayons et jusqu’à des fréquences de20 Hz. Il est possible de calculer l’ordre de grandeur de R = A2πfU qui re-présente le ratio entre la vitesse d’oscillation latérale de l’assemblage ˙X ∼ A2πf et la vitesse de
l’écou-INTRODUCTION 3 lement axialU . On évalue son ordre de grandeur sur la base d’une amplitude d’oscillation A = 0.02 m
de l’ordre de deux diamètres de crayons, d’une vitesse d’écoulement axialU = 5 m.s−1
et de fréquences d’oscillation de2 et 6 Hz correspondant aux fréquences de résonance des deux premiers modes
d’oscil-lation d’un assemblage en eau [17]. On obtient ainsiR ∼ 5% pour le mode 1 à 2 Hz et R ∼ 15% pour le mode2 à 6 Hz. On donne également le nombre de Reynolds axial Reas= LasνU basé sur la largeur de
lame fluide entre deux assemblages Las ∼ 6 mm et la vitesse de l’écoulement axial dans les conditions
réelles de fonctionnement d’un cœur REP, avec des conditions de pression à 150 bar et de température
à300◦
C. Dans ces conditions, la viscosité cinématique de l’eau vautν = 1.3 10−7
m2.s−1
. Le nombre de Reynolds axial pour l’assemblage est ainsi Reas ∼ 2.3 105. On peut conclure des valeurs des deux
paramètres R et Re que l’écoulement autour d’un assemblage sous séisme est toujours quasi-axial et à très grand nombre de Reynolds.
Cette thèse débute par l’étude de l’amortissement fluide créé par l’écoulement axial sur un objet le plus simple possible mais représentatif : un cylindre rigide oscillant latéralement en écoulement axial. Les résultats obtenus sur ce cas fondamental permettront une bonne compréhension des phénomènes physiques à l’origine de l’amortissement et serviront à l’interprétation de configurations plus complexes comme celle d’un faisceau confiné de cylindres oscillant en écoulement axial.
(a) Propulsion des animaux marins longs comme les anguilles ou certaines espèces de poissons (Lauder & Tytell [36]).
(b) Cylindres flexibles en écoulement axial, second mode de flot-tement (Païdoussis [48]).
Fig. 3 – Exemples de corps cylindriques flexibles oscillants.
Dans la littérature, les cylindres oscillant en écoulement axial à basse fréquence ont été majoritaire-ment étudiés avec une approche quasi-statique. Par changemajoritaire-ment de référentiel, un cylindre oscillant en écoulement axial est équivalent à un cylindre soumis à un écoulement oblique d’inclinaison variant avec le temps. Le cas statique équivalent est alors celui d’un cylindre en écoulement oblique de vitesse et d’inclinaison constantes. Les premiers travaux réalisés sur des cylindres en écoulement oblique ont été appliqués à la détermination des forces aérodynamiques s’exerçant sur des câbles tendus (Relf & Powell
[59]). Les résultats ont ensuite été directement utilisés pour l’analyse de la propulsion des animaux ma-rins longs (figure 3a), en considérant la force s’exerçant sur une section de l’animal comme équivalente à celle s’exerçant sur un long cylindre de même diamètre, dans un écoulement de même vitesse et incliné du même angle. Des modèles de force plus récents [50] ont été appliqués avec le même principe pour décrire le flottement de cylindres flexibles dans un écoulement axial (figure 3b).
La connaissance des forces d’amortissement sur des cylindres oscillant en écoulement axial ou oblique est également cruciale dans l’industrie offshore pour estimer le niveau de sollicitations des câbles, risers ou streamers. Les risers servent à transporter le pétrole du sous-sol aux plate-formes pétrolières à la surface (figure 4a). Ils sont soumis à des écoulements fluides externes et internes ainsi qu’à des oscilla-tions basse fréquence, inférieures à0.5 Hz, engendrées par la houle qui met en mouvement la plate-forme.
A l’approche du fond marin, la courbure du riser est plus importante et l’écoulement dans le référentiel du riser est oblique voire quasi-axial. D’autres objets dans l’industrie offshore sont soumis à des écoule-ments obliques : les streamers. Les steamers sont des câbles de3000 m à 8000 m de long auxquels sont
fixés des hydrophones (figure 4b). Il servent de récepteurs lors de la recherche de réservoirs de pétrole en eau par détection sismique. Les streamers étant tractés par un navire, ils sont soumis à un écoulement principalement axial ou quasi-axial.
(a) Risers. (b) Streamers.
Fig. 4 – Risers et streamers dans l’industrie offshore.
A l’échelle de l’assemblage, on s’intéresse aux faibles valeurs du ratio R. Ceci reste également
valable à l’échelle du crayon combustible. Le cas du cylindre non confiné oscillant en écoulement axial doit être étudié dans la gamme des faibles vitesses d’oscillation comparées à la vitesse d’écoulement, ce qui revient, en statique, à ne considérer que les faibles inclinaisons. Un ratioR ≤ 15% équivaut ainsi en statique à un angle d’inclinaison du cylindreα ≤ 8.5◦
.
Plan de la thèse
La thèse est divisée en deux grandes parties : la première vise à déterminer une loi expérimentale pour l’amortissement d’un cylindre non confiné oscillant en écoulement axial avec des approches dynamique
INTRODUCTION 5 et quasi-statique, et la deuxième a pour objectif l’évaluation de la force d’amortissement pour un faisceau de cylindres confiné oscillant en écoulement axial.
Sur le cas du cylindre unique oscillant en écoulement axial, on définit, dans le premier chapitre, le sys-tème étudié en dynamique et l’approche quasi-statique associée. Une revue bibliographique des modèles d’amortissement existants est effectuée. Les deuxième et troisième chapitres sont consacrés à l’étude expérimentale de l’amortissement avec des approches respectivement quasi-statique et dynamique. Les résultats expérimentaux donnés par les deux approches sont comparés et une loi expérimentale pour l’amortissement est proposée. Dans le quatrième chapitre, des simulations numériques sont réalisées sur le cas statique du cylindre incliné. Les résultats sont comparés aux résultats expérimentaux du deuxième chapitre. Les simulations permettent d’avoir des données en pression et vitesse sur tout le domaine, ce qui apporte un complément d’information aux résultats expérimentaux. On peut alors étudier la variation du champ de vitesse et des forces de pression le long du cylindre.
Dans la deuxième partie, l’influence du confinement des cylindres est caractérisée à travers l’étude des forces d’amortissement pour un faisceau de cylindres. Une synthèse des résultats de la littérature sur les forces fluides s’exerçant sur un faisceau oscillant en écoulement axial est réalisée dans le cin-quième chapitre. Dans le sixième chapitre, le montage expérimental permettant de faire osciller à basses fréquences un faisceau rectangulaire de 40 cylindres dans un écoulement axial d’eau est présenté. Les
forces de masse ajoutée et d’amortissement sont caractérisées en fonction de la vitesse de l’écoulement axial et l’effet du confinement est discuté.
En conclusion, les résultats obtenus pour l’amortissement sur les cas du cylindre unique et du faisceau de cylindres sont résumés et des perspectives d’études expérimentales et numériques offertes par ces travaux, notamment sur les effets du confinement pour le faisceau de cylindres, sont proposées.
Première partie
Etude d’un cylindre oscillant dans un
écoulement axial non confiné
Chapitre 1
Modèles d’amortissement pour un
cylindre oscillant en écoulement axial
Ce chapitre introduit le problème général étudié dans la première partie de la thèse. Il s’agit de ca-ractériser la force d’amortissement s’exerçant sur un cylindre oscillant latéralement en écoulement axial. Cette force correspond à la force dissipative dans la direction normale, c’est-à-dire dans la direction de l’oscillation. L’amortissement peut être caractérisé en dynamique, c’est-à-dire en mesurant la force de dissipation s’exerçant sur le cylindre oscillant ou par une approche quasi-statique. Dans ce dernier cas, identifier les forces s’exerçant sur un cylindre oscillant en écoulement axial revient à étudier les forces s’exerçant sur un cylindre immobile incliné dans un écoulement. La connaissance de la force normale s’exerçant sur un cylindre fixe et incliné permet alors de déterminer l’amortissement d’un cylindre oscil-lant en écoulement axial.
Le problème dynamique est tout d’abord décrit et l’approche quasi-statique traditionnellement uti-lisée pour déterminer l’amortissement est détaillée. La deuxième partie est consacrée à un état de l’art des modèles statiques de force normale. On distingue le cas des grands angles d’inclinaison, qui cor-respondent en dynamique au cas des grands ratios vitesse latérale - vitesse axiale, des faibles angles d’inclinaison où l’écoulement est toujours quasi-axial. En conclusion de ce chapitre, la problématique autour la configuration quasi-axiale est affinée.
1.1.1 Formulation générale du problème dynamique . . . 11
1.1.2 Approche quasi-statique . . . 12
1.2 Forces normale et d’amortissement . . . . 13
1.2.1 Décomposition de la force normale : forces d’inertie et d’amortissement . . . . 13
1.2.2 Cylindre à grand angle d’attaque : principe d’indépendance . . . 14
1.2.3 Cylindre faiblement incliné : modèle de Taylor . . . 18
1.1. APPROCHES DYNAMIQUE ET QUASI-STATIQUE 11 Uaxial ˙ X ˙ X = −Aω sin(ωt) FN ex ey ez Fluide (ρ, ν)
Fig. 1.1 – Cylindre oscillant en écoulement axial : Schéma du système et notations.
1.1
Approches dynamique et quasi-statique
1.1.1 Formulation générale du problème dynamique
Le problème dynamique est présenté en figure 1.1. Un cylindre de longueur finieL et de diamètre D
est placé dans un écoulement de vitesseUaxialet de même direction que l’axe du cylindre. Les extrémités
du cylindre sont profilées afin de réduire leur influence sur les efforts fluides globaux s’exerçant sur le cylindre. Le cylindre oscille latéralement dans une direction orthogonale à son axe et sa vitesse ˙X est
une sinusoïde d’amplitudeA et de fréquence f : ˙
X = −Aω sin(ωt), où ω = 2πf (1.1)
La masse volumique et la viscosité cinématique du fluide sont notées respectivement ρ et ν. Le milieu
est infini : on est dans une configuration où le cylindre n’est pas confiné.
Trois nombres adimensionnels permettent de caractériser le problème : un nombre de ReynoldsRe
basé sur le diamètre du cylindre D et la vitesse axiale de l’écoulement Uaxial, l’inverse de la vitesse
réduiteR qui est égal au rapport des vitesses latérale ˙X et axiale Uaxial, et le rapport d’aspect du cylindre
Ladim: Re = DUν R = A2πfU Ladim = DL (1.2)
Le nombre de Reynolds peut être vu comme le rapport entre les forces d’inertie ρDU2 et les forces visqueuses :ρνU . Le rapport de vitesse R, commenté en détail dans le paragraphe 1.1.2, est pour les petites valeurs (R << 1) assimilable à un angle instantané. L’écoulement axial le long du cylindre crée d’emblée un problème tridimensionnel. Le rapport d’aspectLadim rend compte de l’influence des
extrémités du cylindre. Dans les expériences et simulations numériques réalisées dans cette thèse, la gamme de nombre de Reynolds est4500 < Re < 35000, le rapport de vitesse est R < 0.35 et le rapport d’aspect15 < Ladim< 75.
Uaxial U − ˙X α ex ey ez Fluide (ρ, ν) FL FD FN
Fig. 1.2 – Schéma du problème statique et notations.
Dans l’étude du cylindre oscillant, la force d’amortissement est l’unique force dissipant de l’énergie. La puissance moyenne dissipée< Pdiss> pendant une période d’oscillation du cylindre T s’écrit :
< Pdiss>= 1 T Z T 0 F.Vcyldt = 1 T Z T 0 FNXdt,˙ (1.3)
où F est la force exercée par le fluide sur le cylindre et Vcylest la vitesse du cylindre dans la direction des oscillations. La puissance instantanée étant le produit scalaire entre la force et la vitesse du cylindre, elle dépend uniquement de la force dans la direction des oscillations FN (figure 1.1). Par conséquent,
seule la connaissance de la force normaleFN est nécessaire pour déterminer l’amortissement.
1.1.2 Approche quasi-statique
En effectuant un changement de référentiel, un cylindre oscillant latéralement à la vitesse ˙X est
équivalent à un cylindre immobile dans un écoulement oscillant à la vitesse− ˙X. Par composition des
vitesses, le cylindre est donc placé dans un écoulement de vitesse égale à la somme des vitesses axiale et latérale, de normeU , et incliné d’un angle α par rapport à son axe, tel que :
U = Uaxial √ 1 + R2 = U axial r 1 + − ˙X Uaxial 2 α = arctan (R) = arctan − ˙X Uaxial (1.4)
Le problème du cylindre oscillant présenté en figure 1.1 est donc équivalent au problème d’un cylindre en écoulement oblique présenté en figure 1.2, avec un angle d’inclinaison dépendant du temps.
Lorsque la vitesse de la structure est très faible devant la vitesse des particules fluides, il est pos-sible de faire une hypothèse quasi-statique. Cela revient, aux basses fréquences à considérer la vitesse du cylindre comme constante. Par changement de référentiel, on assimile donc le problème du cylindre oscillant en écoulement axial au problème statique équivalent, c’est-à-dire celui d’un cylindre en écou-lement stationnaire oblique. On définit dans le cas statique les forces normale FN, de portance FL et
1.2. FORCES NORMALE ET D’AMORTISSEMENT 13 l’écoulement et dans la direction de l’écoulement (figure 1.2). La force normale est reliée aux forces de portance et de traînée par l’équation 1.5.
FN = FLcos α + FDsin α (1.5)
On définit également les coefficients de force normale, de force de portance et de traînée associés aux forces de même nom :
Ci =
Fi
1
2ρU2DL
, avec i = N, L ou D. (1.6)
En pratique, pour déterminer la force d’amortissement par une approche quasi-statique, on mesure la force normale sur un cylindre incliné pour différents angles α et différentes vitesses incidentes U .
On en déduit un modèle de force d’amortissement Fdiss
N qui dépend de deux paramètres :U et α. Les
valeurs de ces deux paramètres sont calculées à partir des vitesses latérale ˙X et axiale U à chaque instant
de l’oscillation (équation 1.4) et sont les paramètres d’entrée du modèle statique pour calculer la force dynamique à l’instantt :
FNdiss(t) = FNstat(U (t), α(t)) (1.7)
L’approche quasi-statique est classiquement utilisée pour déterminer la force d’amortissement d’un cy-lindre oscillant en écoulement axial. Le paragraphe suivant présente les modèles statiques de référence pour déterminer l’amortissement d’un cylindre oscillant en écoulement axial.
1.2
Forces normales s’exerçant sur un cylindre oscillant
1.2.1 Décomposition de la force normale : forces d’inertie et d’amortissement
L’étude de la force normale s’exerçant sur un cylindre oscillant en écoulement axial s’inspire des travaux effectués sur le cas du cylindre oscillant dans un fluide au repos. Morison [45] propose une décomposition de la force normale en deux termes : un terme de dissipation (ou d’amortissement)Fdiss
N
et un terme inertielFiner
N (équation 1.8).
FN(t) = FNiner+ FNdiss (1.8)
Plus précisément, dans la décomposition proposée par Morison, le terme inertiel est assimilé à une masse ajoutée, en phase avec l’accélération et pouvant être calculée en considérant l’écoulement comme poten-tiel, et le terme de dissipation ou d’amortissement correspond à la traînée du cylindre dans le cas limite où la vitesse du cylindre est constante. En pratique, on ne se situe pas toujours dans une gamme de paramètres où les coefficients d’inertie et d’amortissement sont connus. Ceux-ci sont alors calculés par identification des termes de la force normale respectivement en phase avec l’accélération du cylindre et en phase avec la vitesse d’oscillation au carré.
Lighthill [37] formule l’hypothèse que le terme d’inertie correspond au terme de la masse ajoutée potentielle, qui peut donc être calculé en considérant un écoulement potentiel autour du cylindre. Un
seul paramètre, l’amortissement, reste à déterminer empiriquement. Sarpkaya [63] montre néanmoins que le terme d’inertie ajoutée peut dépendre de l’amplitude et de la fréquence d’oscillation ainsi que de la rugosité du cylindre.
Le même type de décomposition est utilisé dans le cas d’un cylindre en écoulement axial. Avec une approche potentielle, l’écoulement axial de vitesse Uaxial ne modifie pas la masse ajoutée : le terme
asymptotique d’inertie est donc le même que dans le cas du cylindre oscillant dans un fluide au repos. Le terme d’amortissement asymptotique, dans le cas limite où la vitesse du cylindre ˙X est stationnaire,
dépend de la vitesse de l’écoulement axial. Il est important de noter que le terme d’amortissement asymp-totique correspond au cas statique présenté dans le paragraphe 1.1.2 sur l’approche quasi-statique et est donc égal à la force normale Fstat
N (U (t), α(t)) s’exerçant sur un cylindre incliné d’un angle α dans
un écoulement de vitesse U . L’équation 1.9 résume la décomposition choisie dans le cas d’un cylindre
oscillant en écoulement axial :
FN(t) = −Ca ρπLD2 4 X¨ | {z } terme d’inertie + FNstat(U (t), α(t)) | {z } terme d’amortissement , (1.9)
oùCaest le coefficient de masse ajoutée dans le terme d’inertie proportionnel à l’accélération du cylindre
¨
X et caractérise la résistance du fluide [6].
Les paragraphes 1.2.2 et 1.2.3 présentent deux modèles asymptotiques de force d’amortissement
FNstat(U (t), α(t)) obtenus en considérant le cas statique d’un cylindre incliné.
1.2.2 Cylindre à grand angle d’attaque : principe d’indépendance
On considère le cas d’un cylindre incliné d’un angleα dans un écoulement de vitesse U présenté
en figure 1.2. A α = 90◦
, le cylindre est en écoulement transverse et àα = 0◦
en écoulement axial. Relf and Powell [59] ont été les premiers à mesurer des forces fluides sur des cylindres inclinés dans un écoulement, pour des inclinaisonsα entre 0◦
et90◦
par pas de10◦
. Le coefficient de force normaleCN,
mesuré en fonction de l’inclinaison, est tracée en figure 1.3.
Les points expérimentaux de Relf & Powell sont proportionnels au sinus carré de l’angle d’inclinaison et suivent ainsi la loi CN(α) = Cα=90
◦
D sin2α, avec Cα=90
◦
D le coefficient de traînée du cylindre en
écoulement transverse. Ce résultat est appelé principe d’indépendance, car il revient à ne considérer que la composante normale à l’axe du cylindre U sin α comme vitesse de référence dans le calcul du
coefficient de force normale. La force fluide s’exerçant sur un cylindre incliné d’un angle α dans un
écoulement de vitesseU est alors la même que celle qui s’exerce sur un cylindre en écoulement transverse
de vitesseU sin α (figure 1.4).
Jones [32] et Sears [65] ont apporté une justification théorique au principe d’indépendance dont les détails sont donnés en annexe A. Ils ont montré qu’en retirant les termes négligeables, les équations de couche limite devenaient identiques à celles que l’on aurait pour un cylindre en écoulement transverse avec une vitesse d’écoulement égale à la composante transverse de la vitesse incidente dans le cas oblique
1.2. FORCES NORMALE ET D’AMORTISSEMENT 15 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 ( ) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 CN
Fig. 1.3 –(—)Principe d’indépendanceCN(α) = Cα=90
◦
D sin
2
αet(•)résultats expérimentaux de Relf & Powell.
U sin α U cos α
U α
U sin α
Fig. 1.4 – Principe d’indépendance : équivalence entre le système constitué par un cylindre incliné
d’un angleαpar rapport à l’écoulement de vitesseU et celui constitué par un cylindre en écoulement transverse de vitesseU sin α.
dans la littérature [54,81], le principe d’indépendance permet de déterminer la force normale dans une large gamme d’angles d’inclinaison et de nombres de Reynolds.
Par projection de la force normale FN prédite par le principe d’indépendance dans les directions
respectivement parallèle et orthogonale à l’écoulement et en négligeant la force longitudinale le long du cylindre, on peut obtenir les expression des forces de traînée FD et de portance FLs’exerçant sur un
cylindre incliné. Hoerner [31] donne ainsi les expressions des coefficients de traînéeCind
θ U sin α U cos α
section du cylindre
Fig. 1.5 – Notations pour les distributions de coefficient de pressionCp(θ)sur une section de cylindre, avecθl’angle azimutal.
Cind L : ( CDind = CDα=90◦sin3α Cind L = Cα=90 ◦ D sin2α cos α (1.10)
Il montre que selon le principe d’indépendance la force de portance est supérieure à la force de traînée jusqu’à45◦
.
Toutefois, il existe des limites au principe d’indépendance que souligne Zdravkovich [82] : le principe d’indépendance n’est plus valable au-delà du point de séparation, il ne peut servir à prédire le point de séparation et le sillage du cylindre incliné peut être très différent de son équivalent en écoulement transverse, notamment en ce qui concerne la fréquence de détachement tourbillonnaire. En effet, d’après la théorie du principe d’indépendance, la force normale mais également la distribution de pression autour du cylindre sont proportionnelles au sinus carré de l’angle d’inclinaison. La distribution de pression autour d’un cylindre incliné est donc la même que celle d’un cylindre en écoulement transverse, au facteur d’échelle près. Pour les distributions de pression, on définit le coefficient de pressionCp(θ) sur
une section de cylindre :
Cp(θ) = p(θ) − p1 0
2ρU2
(1.11) où p0 est une pression de référence, U la vitesse incidente, p(θ) la pression en paroi du cylindre à la
coordonnée azimutaleθ définit en figure 1.5. Le principe d’indépendance pour la distribution de pression
sur une section de cylindre s’écrit donc :
Cp(θ) = Cα=90
◦
p (θ) sin2α, (1.12)
avec Cα=90◦
p la distribution de pression d’un cylindre en écoulement transverse. Smith et al. [68] ont
montré que si le principe d’indépendance est toujours vérifié avant le point de séparation, il ne peut décrire la pression de base qui dépend de l’angle d’inclinaison. Le principe d’indépendance s’applique donc uniquement dans la zone où sa justification théorique est valable. La figure 1.6 illustre ce phé-nomène : les distributions de pression expérimentales de Smith et al. sont normalisées par la vitesse
1.2. FORCES NORMALE ET D’AMORTISSEMENT 17 normale, ce qui permettrait de retrouver directement la distribution de pression en écoulement transverse si le principe d’indépendance s’appliquait partout. Les distributions de pression des cylindres inclinés se superposent parfaitement à la distribution en écoulement transverse jusqu’à θ = 60◦
mais au-delà, les variations de pression ainsi que les valeurs de la pression de base diffèrent du cas transverse. Les
Fig. 1.6 – Coefficients de pressionCpn= (p − p0)/( 1
2ρU
2
N)normalisés par la vitesse normaleUN =
U sin α mesurés par Smith et al. [68] pour différentes inclinaisons αentre 30◦ et90◦ à
ReN =DUνN = 6950.
expériences de Smith et al. ont été réalisées à un nombre de Reynolds basé sur la vitesse normale
ReN = DUνN = 6950. Bursnall et Loftin [11] ont réalisé le même type d’expériences à nombre de
Reynolds plus élevé (6.0 104 < Re
N < 2.0 105) et concluent tout comme Smith et al. [68] à la validité
du principe d’indépendance uniquement avant le point de séparation.
Les conditions aux limites peuvent également modifier le sillage du cylindre. Dans le cas d’un cy-lindre en écoulement axial, l’écoulement est tridimensionnel avec le développement d’une couche limite le long du cylindre. Il y a donc une influence de la pointe amont contrairement au cas d’un cylindre en écoulement transverse. Dans une configuration de cylindre incliné, on peut s’attendre à une influence de la condition aux limites à l’amont du cylindre sur le sillage. Ramberg [57] et Hyashui [29] ont en par-ticulier montré que le sillage pouvait être très différent entre des conditions aux limites d’extrémités de cylindre libres et des conditions où les pointes sont encastrées dans les parois supérieures et inférieures pour des grands angles d’inclinaison. Un paramètre important dans la description du sillage d’un cylindre en écoulement transverse est le nombre de StrouhalSt = f D/Utransversequi correspond à la fréquence
de détachement tourbillonnaire adimensionnée par le rapportUtranverse/D. Dans le cas transverse, cette
Han-son [28] et Van Atta [74] ont observé une influence de l’inclinaison sur la fréquence de détachement tourbillonnaire, ce qui constitue une limite au principe d’indépendance.
On ne dispose pas de données expérimentales en pression pourα < 30◦
. Dans le paragraphe suivant, on présente le modèle de Taylor, qui a adapté le principe d’indépendance aux petites inclinaisons en prenant en compte la force de friction.
1.2.3 Cylindre faiblement incliné : modèle de Taylor
Le modèle de force normale de Taylor [72] est le modèle d’amortissement de référence et a été utilisé entre autres par Païdoussis [48], Triantafyllou et Chryssostomidis [73], Gosselin et de Langre [27] et Singh et al. [67]. Taylor a proposé plusieurs modèles de force de friction, selon le type de rugosité du cylindre, mais on ne détaillera dans ce paragraphe que le modèle le plus utilisé. Celui-ci, résumé dans la figure 1.7, ajoute à la force normale donnée par le principe d’indépendance la contribution de la force de friction. En effet, aux petits angles, la force de traînée du cylindre est majoritairement due à de la friction. Taylor fait ainsi l’hypothèse d’une force de traînée de friction constante (équation 1.14) et égale à celle du cylindre à l’horizontale (équation 1.13). Il en déduit la contribution de la friction à la force normale en projetant la force de traînée dans la direction normale (équation 1.5). Ce terme de friction Cfsin α
est linéaire avec l’inclinaison aux petites inclinaisons (équation 1.16). Aux petits angles, l’expression du
Modèle de Taylor
1. Définition du coefficient de frictionCf à partir de la force de traînée du cylindre à
l’hori-zontale : Cf = CD(α = 0 ◦ ) = FD(α = 0 ◦ ) 1 2ρU2DL (1.13) 2. Hypothèse de traînée de friction constante aux petits angles :
CD(α) ∼ Cf (1.14)
3. Ajout de la force de traînée projetée dans la direction normale au coefficient de force nor-male donné par le principe d’indépendance :
CN = Cfsin α + Cα=90
◦
D sin2α (1.15)
4. Aux petits angles,sin α ∼ α :
CN ∼ Cfα + Cα=90
◦
D α2 (1.16)
Fig. 1.7 – Modèle de Taylor : prise en compte de la force de friction dans le modèle de force normale
donné par le principe d’indépendance.
1.2. FORCES NORMALE ET D’AMORTISSEMENT 19 s’écrire comme la somme d’un terme de friction proportionnel à l’inclinaison du cylindre et un terme de pression quadratique avec l’inclinaison. Les deux constantes Cf etCα=90
◦
D sont définies comme la
traînée du cylindre respectivement à l’horizontale et en écoulement transverse. Pour des très petits angles, on peut s’attendre à ce que le terme linéaire, c’est-à-dire de friction soit prépondérant.
Taylor a proposé ce modèle de force de friction faute de données expérimentales sur les forces aux petits angles. En pratique, le modèle de Taylor (figure 1.7) est souvent modifié en prenant un coefficient de friction différent de la valeur de la traînée du cylindre à l’horizontale. Selon Ives et Ortloff [47], le ratioCf/Cα=0
◦
D peut ainsi varier entre 0.5 et 2.0 en fonction de la rugosité du cylindre. Dowling [23]
utiliseCf/Cα=0
◦
D = 0.25 et Païdoussis [50] donne une gamme de valeurs pour le coefficient de force
normaleCN :0.005 < CN < 0.040, soit une variation d’un ordre de grandeur.
Un autre modèle de forces de traînée semi-empirique a été proposé par Taylor [72] et concerne les inclinaisons supérieures à 10◦
. Une démonstration de ce modèle a été apportée par Ehrenstein & Eloy [24]. Ce modèle ne sera pas utilisé dans le cadre de cette thèse : on s’intéresse en effet qu’aux faibles inclinaisons pour lesquelles ce deuxième modèle de traînée de Taylor ne s’applique pas.
Les seules mesures de forces réalisées aux petits angles sont celles d’Ersdal et Faltinsen [25] qui ont mesuré la force normale s’exerçant sur un cylindre rigide incliné tracté dans un canal d’eau à vitesse constante. Leurs résultats sont présentés en figure 1.8. Si le coefficient de force normale est quadra-tique avec l’angle d’inclinaison pour α > 5◦
, ce qui est conforme au principe d’indépendance, pour les inclinaisons inférieures, Ersdal et Faltinsen observent une linéarité du coefficient de force normale (figure 1.8b) dont la valeur de la pente est trop élevée pour être uniquement due à la friction. Ersdal
0 5 10 15 20 25 30 ( ) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 CN 0 2 4 6 8 10 ( ) 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 CN
(a) Coefficient de force normale en fonction de l’inclinai-son du cylindre. 0 5 10 15 20 25 30 ( ) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 CN 0 2 4 6 8 10 ( ) 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 CN
(b) Zoom de la figure (a) pour les petites inclinaisons.
Fig. 1.8 – Coefficient de force normale mesuré par Ersdal et Faltinsen [25] pourL/D = 39.2.(—) Principe d’indépendance :CN(α) = Cα=90
◦
N sin
2
α,(•) U = 1m/s (Re = 51000) et(•)
U = 2.5m/s (Re = 128000).(•)Résultats de Relf et Powell.
directement sur un cylindre oscillant en appliquant le principe d’indépendance seul ou en prenant en compte la linéarité de la force normale aux petits angles. Ils en ont conclu que la prise en compte de la linéarité aux petits angles avec la pente mesurée dans les expériences statiques permet d’améliorer la prédiction de la force d’amortissement dynamique.
1.3
Conclusion
L’étude des forces fluides s’exerçant sur un cylindre oscillant en écoulement axial est liée à des pro-blématiques d’interaction fluide-structure comme la caractérisation des forces d’amortissement s’exer-çant sur des risers ou streamers en industrie offshore ou des assemblages combustibles dans l’industrie nucléaire. Pour ce dernier cas, on s’intéresse à de faibles vitesses d’oscillation comparées à la vitesse de l’écoulement axial.
La structure oscillant latéralement, l’amortissement est dû à la force fluide dissipative s’exerçant dans la direction normale à l’axe du cylindre, c’est-à-dire dans la direction des oscillations. On s’intéresse donc exclusivement à la force normale. Les modèles d’amortissement existant sont tous basés sur une approche quasi-statique : à chaque instant, la force d’amortissement est égale à la force normale s’exerçant sur un cylindre incliné d’un angleα dans écoulement de vitesse U . Pour les petits angles, l’angle d’inclinaison
est égal au ratio entre la vitesse latérale d’oscillation à l’instantt et la vitesse de l’écoulement axial : α ∼
− ˙X/U , et la vitesse de l’écoulement oblique est égale à la vitesse de l’écoulement axial : U ∼ Uaxial.
Le modèle d’amortissement de référence est le modèle de Taylor, basé sur le principe d’indépendance avec l’ajout d’une contribution de la friction. Le principe d’indépendance qui a été à la fois observé expérimentalement et justifié théoriquement stipule que seule la composante de vitesse dans la direction normale est à l’origine de la force normale. La force normale s’exerçant sur un cylindre incliné d’un angle
α dans un écoulement de vitesse U est donc égale à celle qui s’exerce sur un cylindre en écoulement
transverse de vitesse U sin α. Des mesures de force normale pour des inclinaisons supérieures à 10◦
confirment ce résultat ; en revanche il n’existe pas de données expérimentales à des angles inférieurs. Aux petits angles, Taylor suppose une contribution de la force de friction à la force normale. Il crée un modèle simple de force de friction où le coefficient de friction est évalué à partir de la traînée du cylindre à l’horizontale. La friction rajoute une contribution, linéaire en inclinaison, au coefficient de force normale du principe d’indépendance, qui est quadratique en inclinaison. Selon le modèle de Taylor, les forces de friction prédominent donc aux petits angles.
Le manque de données aux faibles inclinaisons ne permet pas une validation complète du modèle de Taylor. Il est d’ailleurs fréquent que ce modèle soit utilisé avec des valeurs de coefficient de friction supérieures ou inférieures d’un facteur2 à celles mesurées sur le cylindre à l’horizontale. Les expériences
d’Ersdal et Faltinsen ont de plus montré que si le coefficient de force normale était effectivement linéaire aux faibles angles, sa pente était trop élevée pour que la linéarité soit uniquement créée par une force de friction. Il est donc crucial de déterminer l’origine de la linéarité avec l’angle de la force normale aux faibles inclinaisons afin d’apporter un modèle complètement validé d’amortissement dans cette gamme
1.3. CONCLUSION 21 d’inclinaisons.
Afin de déterminer l’amortissement d’un cylindre oscillant à faible amplitude, on se propose dans un premier temps d’effectuer une étude expérimentale basée sur des mesures de forces normales sur un cy-lindre fixe incliné à de faibles inclinaisons. Des mesures de champs de vitesse et de pression permettront de discuter de l’origine de la linéarité de la force. La validité de l’approche quasi-statique sera égale-ment étudiée à travers la comparaison des forces d’amortisseégale-ment quasi-statiques avec celles mesurées directement sur une expérience dynamique.
Chapitre 2
Cylindre statique en écoulement
quasi-axial
Les modèles d’amortissement de la littérature présentés dans le chapitre précédent sont basés sur une approche quasi-statique. Aux basses fréquences d’oscillation, la force d’amortissement s’exerçant sur un cylindre en écoulement axial est égale à la force normale s’exerçant sur un cylindre incliné par rapport à l’écoulement incident. Dans le cadre de la thèse, on s’intéresse exclusivement en dynamique aux faibles ratios R entre la vitesse d’oscillation et la vitesse d’écoulement axial. L’équivalent en statique de ce problème est la caractérisation de la force normale aux faibles inclinaisons.
Dans les travaux présentés dans ce chapitre, on souhaite dans un premier temps vérifier la validité du modèle statique de Taylor aux petites inclinaisons. A cet effet, on réalise des expériences sur différents montages permettant de mesurer les forces fluides, la pression à la paroi du cylindre, et les vitesses autour du cylindre. Une loi pour l’amortissement, basée sur des résultats expérimentaux, est ensuite développée. Le modèle de Taylor prend en compte la force de friction pour les petites inclinaisons et ne considère que la composante de portance donnée par le principe d’indépendance. Le modèle de Taylor sera alors discuté à la lumière des mesures de forces réalisées dans les expériences de ce chapitre. L’écoulement autour du cylindre faiblement incliné sera également comparé à l’écoulement autour d’un cylindre en écoulement transverse.
2.1.1 Géométrie . . . 25
2.1.2 Mesures de forces . . . 25
2.1.3 Mesures de pressions . . . 27
2.1.4 Mesures de vitesses . . . 27
2.2 Forces normales s’exerçant sur le cylindre . . . . 29
2.2.1 Forces de portance et de traînée . . . 29
2.2.2 Influence de la longueur du cylindre . . . 30
2.2.3 Expression de la force normale aux petits angles . . . 31
2.3 Origine de la force de portance . . . . 33
2.3.1 Etude des distributions de pression autour du cylindre . . . 33
2.3.2 Pression à l’avant et à l’arrière du cylindre . . . 35
2.4 Caractérisation de l’écoulement autour d’un cylindre faiblement incliné . . . . 36
2.4.1 Profils de vitesse au fil chaud . . . 36
2.4.2 Champs PIV à l’arrière du cylindre . . . 37
2.1. MONTAGE EXPÉRIMENTAL 25
2.1
Montage expérimental
2.1.1 Géométrie
Les expériences sont réalisées dans la soufflerie Eiffel de l’ENSTA. L’intensité turbulente est de moins de 0.3% et l’homogénéité en vitesse dans la section d’essai de 400 mm × 400 mm de 0.4%. La veine d’essais est longue de1.2 m. Les cylindres placés dans la veine ont un diamètre D = 20 mm et
leurs extrémités sont des pointes coniques d’angle valant 11.3◦
. Dans le but de faire varier le rapport d’aspect du cylindre, des cylindres de différentes longueurs L = 0.3 m, L = 0.6 m, L = 1.2 m et L = 1.5 m pointes comprises sont utilisés. La vitesse de référence des expériences est U = 18.5 m/s et
le nombre de ReynoldsRe = DU/ν correspondant égal à 24000. Trois montages différents ont été mis
en place pour maintenir le cylindre en fonction des mesures à réaliser et sont présentés dans les sections suivantes. Le premier montage permet de mesurer simultanément les forces de portance et de traînée, le deuxième est utilisé pour mesurer la force de portance avec un grande précision et le troisième sert à la fois à mesurer la pression à la paroi du cylindre et à mesurer les vitesses d’écoulement autour du cylindre par vélocimétrie par images de particules et au fil chaud.
2.1.2 Mesures de forces
(a) Vue de face. (b) Vue de côté.
Fig. 2.1 – Schéma du montage utilisé pour la mesure simultanée des forces de traînée et de portance à
l’aide d’une balance bidimensionnelle.
Deux montages différents ont été utilisés pour mesurer les forces fluides s’exerçant sur un cylindre incliné. Des mesures simultanées de forces de portanceFLet de traînéeFD ont été réalisées en reliant
le cylindre à une balance bidimensionnelle qui mesure simultanément les efforts dans des directions normales et longitudinales par rapport à l’axe du cylindre. Le cylindre est solidaire d’un profil NACA
0010 fixé à la balance bidimensionnelle, comme décrit en figure 2.1. Le profil NACA (figure 2.2) permet
Fig. 2.2 – Photo du cylindre dans la soufflerie pour le montage utilisé pour la mesure simultanée des
forces de traînée et de portance à l’aide d’une balance bidimensionnelle pour lequel le cy-lindre est maintenu par un profil NACA.
La résolution de la balance bidimensionnelle est de 0.4 g en portance et0.6 g en traînée. La balance a
une plate forme rotative motorisée permettant de régler son inclinaison et ainsi l’inclinaison du cylindre avec une précision de0.2◦
. Les forces sont mesurées pendant une durée de120 s et avec une fréquence
d’échantillonage de 100 Hz ; les signaux sont ensuite moyennés. Avant chaque mesure, un signal de
référence sans écoulement est mesuré et les valeurs moyennes des forces mesurées sont soustraites à celles mesurées avec l’écoulement. La force aérodynamique due au profil NACA à l’horizontale, mesurée en enlevant le cylindre, est également soustraite. Cette correction est de ∼ 0.5 g pour la traînée et de
∼ −2.0 g pour la portance.
Dans le but d’améliorer la précision des mesures de force de portance et pour éviter la création de portance par le profil NACA qui peut dégrader les mesures aux petits angles, un nouveau montage, dans lequel le cylindre est maintenu par un cadre, a été créé. Dans ce montage, présenté en figure 2.3, le cadre est relié via un goniomètre à une balance de précision mesurant uniquement la force de portance avec une précision de ±0.01 g. Le goniomètre permet de régler l’inclinaison à 0.1◦
près. Les barres verticales du cadre sont situées en dehors de la section d’essai (figure 2.3a) et n’interfèrent donc pas avec l’écoulement. La barre horizontale du cadre est un petit cylindre de5 mm de diamètre et ne crée
qu’une force de traînée supplémentaire. De la même manière que pour les mesures effectuées avec la balance bidimensionnelle, une mesure de force correspond à un signal de force de120 s moyenné. La
fréquence d’échantillonage est ici de 1000 Hz. Une mesure sans écoulement ainsi qu’une mesure du
cadre en écoulement sans le cylindre sont effectuées et leurs valeurs moyennes soustraites à la valeur moyenne obtenue pour le montage complet en écoulement. De légères vibrations du cylindre dégradent
2.1. MONTAGE EXPÉRIMENTAL 27
(a) Vue de face. (b) Vue de côté.
Fig. 2.3 – Schéma du montage utilisé pour les mesures de la force de portance à l’aide d’une balance
de précision.
la précision de la balance qui passe alors à±0.2 g.
Les coefficients de force normale, portance et traînée sont calculés à partir des forces mesurées en utilisant la définition donnée en équation (1.6).
2.1.3 Mesures de pressions
Un troisième montage, présenté en figure 2.4, a été créé et monté dans la soufflerie pour mesurer des distributions de pressionCp(θ) sur un contour du cylindre. Un cylindre creux est fixé par un support
qui permet de régler l’angle d’inclinaison α et l’angle de rotation θ défini en figure 1.5. La pression
est mesurée par un trou de 0.8 mm percé dans le cylindre à une distance x = 0.46 m de la pointe
amont. La pression de référencep0est prise dans l’écoulement à l’entrée de la section d’essai. Un tube
de Pitot, placé en amont du cylindre, mesure la pression dynamique avec laquelle est calculée la vitesse
U de l’écoulement. Toutes les prises de pression sont connectées à un capteur de pression Scanivalve
DSA3217/16px qui mesure la pression à une précision de ±1 Pa. Les pressions sont mesurées pendant 3 minutes à une fréquence d’acquisition de 500 Hz. Les signaux sont ensuite moyennés et leur écart
type est utilisé pour caractériser l’incertitude en pression des mesures. Le coefficient de pressionCpest
calculé à partir de l’équation (1.12). Pour réaliser les distributions de pression Cp(θ), le cylindre est
tourné autour de son axe par pas de15◦
avec une précision de3◦
.
2.1.4 Mesures de vitesses
Mesures au fil chaud
Des mesures locales de vitesses sont réalisées en utilisant un fil chaud DANTEC (fil chaud de type
(a) Vue de face avec définition de l’angle azimuthalθ.
(b) Vue de côté.
Fig. 2.4 – Schéma du montage utilisé pour les mesures de pression, de vitesse locales à l’aide d’un fil
chaud et de champs PIV.
chaudDISA55 avec un ratio de surchauffe de 1.5. La sonde est montée sur un support robotisé placé
sur le plafond de la soufflerie permettant de déplacer la sonde perpendiculairement à l’axe du cylindre (figure 2.4). Le fil chaud est orienté de manière à être sensible au module de la vitesse uD dans le plan
(xD, yD). Le support robotisé permet le déplacement vertical de la sonde pour l’acquisition de profils de
vitesse sur la partie supérieure du cylindre pouryD > 0.0 à une distance xD = 0.5 de la pointe amont
du cylindre. La valeur moyenne de la vitesseUD est obtenue en moyennant les signaux de vitesse acquis
à une fréquence d’échantillonage de1 kHz sur 30 s. Des précisions supplémentaires sur les mesures de
vitesses par anémométrie à fil chaud peuvent être trouvées dans l’ouvrage de Lomas [38].
2.2. FORCES NORMALES 29 et l’épaisseur de déplacementδ1définies dans les équations (2.1) et (2.2).
δ99= y0tel queUD(y0) = 0.99UD∞ (2.1)
δ1= 1 UD∞
Z ∞
0 (UD∞− UD)dy (2.2)
Mesures par un système de PIV (Particle Image Velocimetry)
L’analyse du sillage à l’arrière du cylindre est réalisée par vélocimétrie stéréoscopique à images de particules (SPIV). Pour plus de détails sur la méthode PIV, le lecteur peut se référer à l’article d’Adrian [2]. Le système PIV est constitué d’un laser DANTEC dual pulse (Nd :YAG,2 135 mJ, 4 ns) et de deux
caméras CCD DANTEC (FlowSense EO,4 Mpx). Les images sont acquises à une fréquence de 10 Hz ;
et chaque série d’acquisition totalise 1000 paires d’images. La taille de la fenêtre d’interrogation est de 32 × 32 pixels, ce qui correspond à une taille physique de 2.4 × 2.4 mm et le taux de recouvrement de 25%. La stéréo-PIV permet de mesurer simultanément les trois composantes de la vitesse dans le plan
de mesure(y, z), situé à la même distance de la pointe du cylindre que la prise de pression. Les champs
de vitesse moyenne et de vorticité sont calculés à partir des vecteurs valides des1000 mesures.
2.2
Forces normales s’exerçant sur le cylindre
2.2.1 Forces de portance et de traînée
La force normale s’exerçant sur un cylindre incliné est la somme d’une composante de portance et d’une composante de traînée (équation 1.5). Les forces de portance et de traînée ont ainsi été mesurées par une balance bidimensionnelle dans l’expérience décrite en figure 2.1 pour des angles d’inclinaisonα
entre 0◦
et9◦
par pas de0.5◦
. La vitesse de l’écoulement incident estU = 18.5 m/s. Les composantes
de traînée CDsinα et de portance CLcosα de la force normale ont été calculées à partir des mesures de
forces et sont tracées en figure 2.5. Les résultats montrent que la contribution de la force de traînée est proportionnelle à l’inclinaison, ce qui est conforme au modèle de Taylor (figure 1.7). Une régression linéaire des données expérimentales donne :
CD = 0.012 ± 0.001. (2.3)
Cette valeur de la force de traînée est en accord avec la gamme de valeurs donnée par Païdoussis [50]. La contribution de la force de traînée à la force normale est cependant très faible comparée à la contribution de la force de portance. D’autres mesures ont été réalisées à des vitesses de15 m/s et 25 m/s et donnent
des résultats similaires. La suite de l’étude en force sera donc consacrée à l’évaluation de la force de portance puisque celle-ci est majoritairement à l’origine de la force normale. A cet effet, un deuxième montage a été créé pour mesurer la force de portance avec une balance de précision et est présenté en figure 2.3. La contribution de la force de portance à la force normale évaluée avec ce nouveau montage
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ( ) 0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 CDsin CLcos
Fig. 2.5 – Composantes de portanceCLcosα et de traînée CDsinαde la force normalFN tel que
CN = CLcosα + CDsinα.(•)composante de portance mesurée avec la balance bidimen-sionnelle,(•)composante de portance mesurée avec la balance de précision et(■)
compo-sante de traînée mesurée avec la balance bidimensionnelle.
est tracée en rouge en figure 2.5 et est en très bon accord avec les mesures effectuées avec la balance bidimensionnelle.
Les coefficients de portance mesurés avec la balance de précision en fonction de l’inclinaison du cy-lindre sont tracés en figure 2.6 et sont comparés aux coefficients de portanceCind
L donnés par le principe
d’indépendance (équation 1.10). Tout comme dans l’expérience avec la balance bidimensionnelle, la vi-tesse de l’écoulement est de18.5 m/s. Les mesures mettent en évidence deux comportements différents
du coefficient de portance selon la gamme d’inclinaison. Pour|α| > 5◦
, le coefficient de portance varie quadratiquement avec l’inclinaison, ce qui est prédit par le principe d’indépendance (figure 2.6a). En revanche, pour|α| < 5◦
, (figure 2.6b) le coefficient de portance est linéaire avec l’angle d’inclinaison. De toute évidence, le principe d’indépendance n’est plus valable pour|α| < 5◦
.
2.2.2 Influence de la longueur du cylindre
Dans le but d’estimer l’influence des effets de bords sur la portance, les mesures de coefficient de portance sont répétées pour quatre longueurs de cylindre telles que L/D = 15, 30, 60, 75 et à des
angles d’inclinaison |α| < 5◦
. On observe que les coefficients de portance, tracés en figure 2.7(a), sont toujours proportionnels à l’inclinaison du cylindre, quelque soit la longueur du cylindre. La pente de la droite a été calculée pour chaque cylindre par régression linéaire. L’incertitude sur la pente est calculée en prenant la différence entre les pentes maximales et minimales des droites telles que toutes les données expérimentales soient comprises entre ces deux droites. Les pentes CL/α pour chaque longueur de
