ARTheque - STEF - ENS Cachan | Le coup du serre-joint, pas d'aberration au pays des arcs boutements (suite)

(1)

LE COUP DU SERRE - JOINT ( suite)

PAS D'ABERRATION AU PAYS

DES ARCS - BOUTEMENTS!

Tout est normal Michel BANGUET

Marc OUZIAUX Lycée Technique BAGGIO - LILLE L'article de M. CHAUVET paru dans le numéro 17, nous a suggéré les quelques commentaires qui suivent.

Nous reprenons le schéma de départ et les notations de M. CHAUVET.

STRiCT'

a

Equilibre strict (statique) si k

>

-2f quel que soit d= 1X G'

(G = centre d'inertie) et quel que soit le module de R.

Si R croit, A1 et A2 augmentent sans que pour autant le mouvement apparaisse, ce qui est bien la caractéristique de l'arc-boutement.

Le mouvement ne peut se produire qu'après évolution du système initialement àl'arrêt (conditions initiales =vitesse et accélération nulles) lorsqu'on applique l'effort R.

Etude dynamique = ily a donc néccessité de poser la condition d'existance du mouvement d'existence du mouvement susceptible d'être créé par l'effort R

soit

~I

k <;

~f

Q

<; 0 peut exister 1

d'où les différentes configurations

(2)

-18-!'f01..'VEMENr

OE

T/rANSLA

i

iON

---.

1

7 Fr

CdSo(:

d(k'~F

Fig.2.

---Xi

'

oc::::::.'

'---

---.

---"

x'

.s->:

<:".-=-

--1.

:r.

G

Equilibre strict =comportement statique = arc-bouternent =

a

pour k

>

2f

on a la configuration figure 1

Comportement dynamique=mouvement de translation. Traitons séparément le cas particulier

pour

1

k = ;f1on a la configuration

«

limite du casO('Q» et

~

= O.

La condition initiale = vitesse nulle montre que le solide reste théoriquement à l'arrêt, à la limite de l'équilibre.

Expérience réelle:

a

En fait, si on place l'effort Rà la distance k=2 fst (avec fst coefficient de frottement statique), l'expérience réelle fera apparaître le mouvement en donnant une légère impulsion au solide; dès que la vitesse n'est plus nulle, le coefficient de frottement prend une valeur fdy (coefficient de frottement

a

dynamique) inférieureà fst et on a alors k

< -

d'où

s-

O.

2fdy

a

NOTA: Si de plus d = k =-',A_1' A2 et ~ sont indéterminés. 2f .

Seules subsistent en effet les équations = A₁_{= A2 = A et m ~ = 2A. sin}I{J - R

Cas

ex

Les équations de dynamique comme le préciseM.CHAUVET donnent:

(3)

Cas particuliers= d = k - A

=

0 Chute «non freinée» sous l'effet de R avec ' ( - R

m

Dans ce cas l'équation de moment dynamique est modifiée et on trouve:

avec A '.c

R {d - k)

acos e ~ 2d sin..p n'a de sens que si d

>

k

et

ll'

R a/2f + k

m a/2f + d Condition

"6'"'"

0 toujours vérifiée

Les configurations III et {32 ne constituent donc qu'un seul cas .(J de disussion : a Cas III si k.;;; d

<

2f On retrouve bien A

=

0 Si d

=

k a Si d=o:-2f a Cas 112 si k

<2'f<

d R et

'6

= -m

y

R (1 0 1<~) sans particularité.

Conclusion :Iln'y a donc pas de résultat aberrant :

a l'hypothèse d'existence du mouvement de translation est assujettieàla condition k ~

2f

D'ailleurs partant de l'état initial, solide immobile, et appliquant le même effort R «moteur», il

serait paradoxal qu'on aboutisse soit à l'équilibre strict, soit au mouvement. Cette aberration appa-rente n'est due qu'à des hypothèses mal posées.

Proposition d'une méthode générale d'étude.

Puisque le problème posé est d'étudier le comportement du serre-joint suivant les valeurs données aux paramètres, on peut utiliser une méthode plus générale dans laquelle les actions de liaison Al et A2 sont définies par leurs composantes en mesures algébriques.

(voir figure 3)

.~

):. IOlt

r:~

~~

-r-

_,

r

...

e

O~-~---r--4,-'~

j

Yi

...

G

(.1,0)

...-.-X"

i

R

(O, ...

cl;....

6

.

k

J

(4)

-20-Equations d'équilibre:

Projections sur Ox : _{X1 + X2}

o

(1) d'où X1 = - X2 Posons

1

X1 =

Ex

X ;;;. 0 X 2

=

-é.

X

é.=

± 1 Projections sur Ov : Y1 + Y2 - R= m ~ (2)

avec ~ .:;;;

a

y

1 ;;;.

a

Les actions tangentielles dues au

avec d'où frottement s'opposent au

if

<

a

y

2 ;;;.

a

déplacement.

Posons _{Y1 =XIX 1}1 avec

a.:;;;

X.:;;;f _Y1

₌

XX

Y2 = X IX21

*

d'où Y2

=

X X

Si X

_<

f alors

0=

a

statique Si X = f alors

~.:;;;

a

mouvement

* En fait il faudrait considérer X1 et X2 différents dans le cas de l'adhérence aux contacts mais cette hypothèse permet de résoudre l'hyperstatisme dans ce cas précis. .

Moments par rapportàG: R (d - k) - _{b X1 + c X2 - d Y1 - dY2 =}

a

(3) d'où R (d - k) - a

E

X - 2dX X =

a

et X = - - - -R (d - k)

é

a- 2Xd Si

E.

a+ 2 Xd=F

a

(2) m

'0

=

2 XX - R et après réduction

~=

mR,Ea/2X + k

Ea/2X

+ d Discussion X

<

f d'où ₀₌ 0 alors--+ ké a STATIQUE 2X a a d'où - = k et X= -

<

f 2X 2k

O vérifié seulement si

tE:.

= -1 donc si

r

k

>

a

1

(5)

On retrouve bien que l'équilibre strict ne peut s'établir qu'avec la configuration figure 1 ( = - 1) et ceci quels que soient d et R.

À = f d'où

0 <

a

Dynamique

a

si k

< -

(déduit du cas précédent) 2f .

Il faut X R (d - k)

>

a

E..

a- 2df

E...

= - 1

~

d < ksi d

<~

2f

et d

of.

a/2f si

t..

= -

1

E.

=

+1

toujours vérifié . a .. d> ksid> 2f a a

E..

= - 1

~

k

<

2f si d <:2f a a -+k

>2't

si d

>"2f

Bilan:

E. ~

.1 [k

<~

d

>

k

1

on retrouve la configuration

1

On vérifie bien que {31 et {32 ne constituent qu'un seul cas de discussion.

é

=-1 d < -a d<k k

<-

a _Id<k<;f [on retrouve le cas 'iX.

2f 2f a k>-2-d>-. d>k contraire àl'hypothèse. 2f _2f a

On retrouve bien X et

G

indéterminés.

Si d

2f

Cette méthode plus générale et abstraite intéressante pour des mécaniciens de bon niveau permet d'é-tablir logiquement les différents comportements. En particulier, l'équilibre strict statique n'intervient que comme un cas particulier des équations de dynamique.