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Devoir de synthèse n°1      4ème Sc Techniques Me bayoudh 04 12 13

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

Exercice 1 : (6points)

A) Dans le graphique ci- contre , on a tracé la courbe C f C f C f C f représentative

d’une fonction décroissante sur ainsi que la tangente à C fC fC fC f au point

Les droites d’équations et sont des asymptotes à C f.C f. C f.C f.

On désigne par la fonction réciproque de

1) Pour chacune des questions suivantes votre choix .

a/

réalise une bijection de b/ lim

c/

2) Tracer dans le même repère la courbe représentative de

B) Le plan est muni d’un repère orthonormé. Soit une fonction deux fois dérivable sur

Dans la figure ci-dessous , on a représenté la courbe (C C C C ‘‘‘‘)))) admet une tangente horizontale au point

au voisinage de (+∞

Pour chacune des propositions suivntes 1) est décroissante sur , ∞ .

2) (C ) C ) C ) C ) admet le point d’abscisse 1 comme point

3) Pour tous ! et " de #, ∞ , |

4) Si # # , alors (C ) C ) C ) C ) est située entre

et

Lycée Pilote 15 octobre 1963

Prof: Mme Bayoudh

WxäÉ|Ü wx

WxäÉ|Ü wx

WxäÉ|Ü wx

WxäÉ|Ü wx áçÇà{¢áx

áçÇà{¢áx

áçÇà{¢áx

áçÇà{¢áx Ç¥

Ç¥

Ç¥

Ç¥DDDD

représentative point % , . et la fonction réciproque de .

hacune des questions suivantes, une seule réponse est correcte, indiquer laq

sur :

IR

] [

1 3

,

− +∞

1

,

+ ∞ − ∞

-2 1 2 2

-Tracer dans le même repère la courbe représentative de .

muni d’un repère orthonormé.

une fonction deux fois dérivable sur #, ∞ , on désigne par (C ) C ) C ) sa courbe représentative.C )

, on a représenté la courbe (C C C C ‘ ‘ ‘ ‘ )))) de la fonction dérivée

une tangente horizontale au point % , et une asymptote horizontale d’équation

acune des propositions suivntes, répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse.

point d’abscisse 1 comme point d’inflexion.

" ! | * |" !|

est située entre les deux droites

Pilote 15 octobre 1963 - Bizerte

ClasseClasseClasseClasse ::::4444èmeèmeèmeème Date Date Date Date

DDDD xÇ Åtà{°Åtà|Öâxá

xÇ Åtà{°Åtà|Öâxá

xÇ Åtà{°Åtà|Öâxá

xÇ Åtà{°Åtà|Öâxá

Durée DuréeDuréeDurée

, indiquer laquelle en justifiant

]

[

1 3

,

− +∞

1

,

-2

2

sa courbe représentative. fonction dérivée ’ de la fonction . et une asymptote horizontale d’équation

justifiant la réponse. (C C C C ‘‘‘‘)))) ème èmeème ème

SciencesSciencesSciences techniquesSciencestechniquestechniquestechniques1111 : Le 04/12/: Le 04/12/: Le 04/12/: Le 04/12/201320132013 2013 Durée

Durée Durée

(2)

Exercice 2: ( 6points)

Soit l’équation (-. : 0 1 0 23 4 .50 2 4 .5 # où .6 . 1) a/ Vérifier que 2i est une solution de (-. .

b/ Vérifier que 0 1 0 23 4 .50 2 4 .5 0 0 0 2 4 .5]

c/ Résoudre dans ℂ l’équation (-. .

2 Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé dicerct :, ;<, =<), on considère les points

, %, > et ? d’affixes respectives , − 4. , + 4. et .

a/ Montrer que est le milieu de [%>].

b/ Montrer que A et B varient sur un même cercle dont on précisera. 3) On suppose que . ≠ + A ; A ∈ ℤ.

a/ Montrer que :%?> est un rectangle.

b/ Montrer que :% = :> si et seulement si . = A ; A ∈ ℤ.

Exercice 3: (8points)

A) Soit la fonction définie sur ]−∞, #] par ) = − + √ − 1) a/ Etudier les variations de sur ]−∞, #].

b/ Déduire que réalise une bijection de ]−∞, #] sur un intervalle que l’on déterminera. 2) Expliciter ) pour ∈ .

B) Soit la fonction définie sur ]#, +∞[ par ) = − +

F +

1) a/ Montrer que est dérivable sur ]#, +∞[ et que pour tout ∈ ]#, +∞[ , ’ ) = − −

2√ G 5

b/ Déduire que réalise une bijection de ]#, +∞[ sur un intervalle H que l’on précisera. c/ Justifier que est dérivable sur H.

2) a/ Montrer que l’équation ) = admet une solution unique I dans ]#, +∞[ et que #. 3 < K < 1 b/ Montrer que pour tout ∈ ]#, +∞[ , on a | ) − I| ≤ | − I|

c/ Montrer que ) I) =

GI

C) Soit L la fonction définie sur par L ) = M ) ≤ #) > 0P

L est- elle bijective sur IR ? Justifier.

Bon travail

Bon travail et bonne chance

Bon travail

Bon travail

et bonne chance

et bonne chance

et bonne chance

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