Exercice 1 : (6points)
A) Dans le graphique ci- contre , on a tracé la courbe C f C f C f C f représentative
d’une fonction décroissante sur ainsi que la tangente à C fC fC fC f au point
Les droites d’équations et sont des asymptotes à C f.C f. C f.C f.
On désigne par la fonction réciproque de
1) Pour chacune des questions suivantes votre choix .
a/
réalise une bijection de b/ lim
→
c/
2) Tracer dans le même repère la courbe représentative de
B) Le plan est muni d’un repère orthonormé. Soit une fonction deux fois dérivable sur
Dans la figure ci-dessous , on a représenté la courbe (C C C C ‘‘‘‘)))) admet une tangente horizontale au point
au voisinage de (+∞
Pour chacune des propositions suivntes 1) est décroissante sur , ∞ .
2) (C ) C ) C ) C ) admet le point d’abscisse 1 comme point
3) Pour tous ! et " de #, ∞ , |
4) Si # # , alors (C ) C ) C ) C ) est située entre
et
Lycée Pilote 15 octobre 1963
Prof: Mme Bayoudh
WxäÉ|Ü wx
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WxäÉ|Ü wx áçÇà{¢áx
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áçÇà{¢áx Ç¥
Ç¥
Ç¥
Ç¥DDDD
représentative point % , . et la fonction réciproque de .hacune des questions suivantes, une seule réponse est correcte, indiquer laq
sur :
IR
] [
−
1 3
,
− +∞
1
,
+ ∞ − ∞-2 1 2 2
-Tracer dans le même repère la courbe représentative de .
muni d’un repère orthonormé.
une fonction deux fois dérivable sur #, ∞ , on désigne par (C ) C ) C ) sa courbe représentative.C )
, on a représenté la courbe (C C C C ‘ ‘ ‘ ‘ )))) de la fonction dérivée
une tangente horizontale au point % , et une asymptote horizontale d’équation
acune des propositions suivntes, répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse.
point d’abscisse 1 comme point d’inflexion.
" ! | * |" !|
est située entre les deux droites
Pilote 15 octobre 1963 - Bizerte
ClasseClasseClasseClasse ::::4444èmeèmeèmeème Date Date Date DateDDDD xÇ Åtà{°Åtà|Öâxá
xÇ Åtà{°Åtà|Öâxá
xÇ Åtà{°Åtà|Öâxá
xÇ Åtà{°Åtà|Öâxá
Durée DuréeDuréeDurée, indiquer laquelle en justifiant
]
[
−
1 3
,
− +∞
1
,
-2
2
sa courbe représentative. fonction dérivée ’ de la fonction . et une asymptote horizontale d’équation
justifiant la réponse. (C C C C ‘‘‘‘)))) ème èmeème ème
SciencesSciencesSciences techniquesSciencestechniquestechniquestechniques1111 : Le 04/12/: Le 04/12/: Le 04/12/: Le 04/12/201320132013 2013 Durée
Durée Durée
Exercice 2: ( 6points)
Soit l’équation (-. : 0 1 0 23 4 .50 2 4 .5 # où .6 . 1) a/ Vérifier que 2i est une solution de (-. .
b/ Vérifier que 0 1 0 23 4 .50 2 4 .5 0 0 0 2 4 .5]
c/ Résoudre dans ℂ l’équation (-. .
2 Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé dicerct :, ;<, =<), on considère les points
, %, > et ? d’affixes respectives , − 4. , + 4. et .
a/ Montrer que est le milieu de [%>].
b/ Montrer que A et B varient sur un même cercle dont on précisera. 3) On suppose que . ≠ + A ; A ∈ ℤ.
a/ Montrer que :%?> est un rectangle.
b/ Montrer que :% = :> si et seulement si . = A ; A ∈ ℤ.
Exercice 3: (8points)
A) Soit la fonction définie sur ]−∞, #] par ) = − + √ − 1) a/ Etudier les variations de sur ]−∞, #].
b/ Déduire que réalise une bijection de ]−∞, #] sur un intervalle que l’on déterminera. 2) Expliciter ) pour ∈ .
B) Soit la fonction définie sur ]#, +∞[ par ) = − +
F +
1) a/ Montrer que est dérivable sur ]#, +∞[ et que pour tout ∈ ]#, +∞[ , ’ ) = − −
2√ G 5
b/ Déduire que réalise une bijection de ]#, +∞[ sur un intervalle H que l’on précisera. c/ Justifier que est dérivable sur H.
2) a/ Montrer que l’équation ) = admet une solution unique I dans ]#, +∞[ et que #. 3 < K < 1 b/ Montrer que pour tout ∈ ]#, +∞[ , on a | ) − I| ≤ | − I|
c/ Montrer que ) I) =
GI
C) Soit L la fonction définie sur par L ) = M ) ≤ #) > 0P
L est- elle bijective sur IR ? Justifier.