Analyse et conception des systèmes de télécommunications (transparents)

(1)

télé ommuni ations

M. Van Droogenbroe k

(2)

Examen

oral (obligatoire) à livre fermé

Notes de ours

disponibles à l'AEES

version HTML en ligne à l'adresse http://www.ulg.a .be/tele om

version PDF disponible sur le site http://orbi.ulg.a .be

Transparents

(3)

Modélisation d'un système de télé ommuni ations et traitement numérique des signaux

Estimation

Représentation des signaux et des systèmes passe-bande

(4)

Estimation

Cal ul du bruit dans les systèmes de télé ommuni ations

Aspe ts de type système des te hniques de télé ommuni ations

Modulations numériques

Modélisation du anal pour transmissions numériques et interféren e inter-symbolique

Étalement de spe tre

Multiplexage et a ès au multiplex

(5)

Estimation

Étude du tra

Étude des supports de transmission

Transmission dans le réseau téléphonique

(6)

Rappels de dénitions et nouvelles dénitions

Notion de spe tre

Observation du spe tre

(7)

Moyenne temporelle

µ

_X

(T ) =

1 2T

Z

T

−T

x(t)dt

(1) Moyenne statistique

µ

_X

_{(t) = E {X(t)}}

(2) Auto orrélation

Γ

_XX

(t

₁

, t

₂

_{) = E {X(t}

₁

)X(t

₂

_)}

(3)

(8)

Dans la mesure où le pro essus est stationnaire au sens large, on a

µ

X

(t) = µ

X

=

onstante (4)

Γ

XX

(t

1 , t

2 ) = Γ

XX

(t

2 − t

1 ) = Γ

XX

(τ )

(5)

Densité spe trale de puissan e

γ

_X

(f ) =

Z

_+∞

−∞

(9)

Dénition 1. [Transformée de Fourier à temps dis ret℄ La transformée de Fourier

à temps dis ret (dtFT) de ette séquen e est dénie par

X (f) =

+∞

X

n=−∞

x[nT

_s

]e

−2πjfnT

s

(7)

Il ne s'agit ni plus ni moins que de la transformée de Fourier du signal é hantillonné.

Cette fon tion est ontinue et périodique de période

f

s

=

1 T

s

; la onnaissan e de ette fon tion sur l'intervalle

[0, f

s

[

sut don .

Il est d'usage de dénir une fréquen e normalisée ou fréquen e réduite

F

par

(10)

Transformées de Fourier d'un signal re tangulaire (

N = 2

et

N = 5

)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 −1

0

1

2

3

4

5 N=2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 −2

0

2

4

6

8

10

12 N=5

(11)

Dénition 2. [Transformée de Fourier dis rète (DFT)℄

X (F

k

) =

N −1

_X

n=0

x[n]e

−2πjF

k

n

_{, F}

k

=

k

N

, k ∈ {0, . . . , N − 1}

(9)

Proposition 1. [Égalité de Parseval℄

N −1

_X

n=0

kx[n]k

2 =

1 N

N −1

_X

k=0

kX (F

k

)k

2 , F

k

=

k

N

(10)

(12)

−0.5

0 −0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

5

10

15

20

25

30

35

(13)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

5

10

15

20

25

30

35

(14)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

5

10

15

20

25

(15)

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200 −1

−0.5

0

0.5

1

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0

10

20

30

40

50

(16)

1

1.5

2

2.5

3

0

20

40

60

80

100

120

140

0

5

10

15

20

25

30

35

(17)

0

20

40

60

80

100 −5

0

5

0

20

40

60

80

100 −5

0

5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

10

20

30

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

10

20

30

0

20

40

60

80

100 −5

0

5

0

20

40

60

80

100 −5

0

5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

10

20

30

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

10

20

30

(18)

Soit une série de

N

é hantillons

{x[0], x[1], . . . , x[N − 1]}

obtenus par é hantillonnage d'un pro essus sto hastique. On veut estimer le paramètre

α

à partir des é hantillons

{x[0], x[1], . . . , x[N − 1]}

; ette quantité est non aléatoire.

b

α = A(x[0], x[1], . . . , x[N − 1])

(11) La fon tion

A

est appelée estimateur de

α

;

α

b

est l'estimation.

(19)

L'estimation idéale aurait une densité de probabilité

f

b

α

= δ(α − b

α)

. En pratique, on lui asso ie les paramètres de qualité suivants :

le biais. Le biais est déni par

b

_α

_b

= µ

_α

_b

_{− α}

(12)

(20)

f

b

α

= δ(α − b

α)

b

_α

_b

= µ

_α

_b

_{− α}

(12)

Un estimateur de biais nul est dit non biaisé.

la varian e de l'estimateur, qui est elle de la variable

α

b

, soit

(21)

f

b

α

= δ(α − b

α)

b

_α

_b

= µ

_α

_b

_{− α}

(12)

Un estimateur de biais nul est dit non biaisé.

la varian e de l'estimateur, qui est elle de la variable

α

b

, soit

σ

_α

2 _b

= E

(

_{α − µ}

_b

_α

_b

)

2

(13)

l'erreur quadratique moyenne (Mean Square Error). Il s'agit de la quantité

(22)

Supposons une séquen e aléatoire

x[n]

stationnaire et ergodique. On dispose d'un enregis-trement

{x[0], x[1], . . . , x[N − 1]}

de durée

N

, et l'on voudrait estimer la moyenne

µ

x

. La moyenne arithmétique des é hantillons

c

µ

x

=

1 N

N −1

_X

n=0

x[n]

(16)

semble être un estimateur raisonnable.

Biais de

µ

c

x

?

En prenant l'espéran e mathématique des deux membres de ette équation,

E {c

µ

_x

_{} = µ}

_x

(17)

c

µ

(23)

L'estimation spe trale s'apparente à l'estimation de la transformée de Fourier de la sé-quen e observée.

Pour le démontrer, nous partons d'un signal

x(t)

déterministe, à énergie nie, 'est-à-dire tel que

Z

_+∞

−∞

|x(t)|

2 dt

(19) On dénit

une pseudo fon tion d'auto orrélation par

Γ

xx

(τ ) =

Z

_+∞

−∞

(24)

On peut réé rire l'expression de la densité spe trale en introduisant

X (f)

γ

_x

(f ) =

Z

_+∞

−∞

Γ

_xx

(τ ) e

−2πjfτ

dτ

(22)

=

Z

_+∞

−∞

Z

_+∞

−∞

x(t)x(t + τ )dt

e

−2πjfτ

dτ

(23)

=

Z

_+∞

−∞

x(t)

Z

_+∞

−∞

x(t + τ )e

−2πjfτ

dτ

dt

(24)

=

Z

_+∞

−∞

x(t) X (f)e

2πjf t

_dt

(25)

= X (f)

Z

_+∞

−∞

x(t)e

2πjf t

dt

(26)

= X (f)X

∗

(f )

(27)

(25)

Estimation

(26)

Estimation

(27)

Estimation

Étude du tra

(28)

Introdu tion

É hantillonnage des signaux passe-bande

Représentation des signaux passe-bande déterministes

Systèmes linéaires, invariants en translation et passe-bande

(29)

Théorème 1. Une fon tion

g(t)

à énergie nie et à spe tre limité, 'est-à-dire dont la transformée de Fourier

G(f)

est de largeur

W

, et qui admet une borne supérieure

f

u

, est entièrement déterminée par ses é hantillons

g[nT

s

]

,

n ∈ {−∞, +∞}

si la fréquen e d'é hantillonnage

f

s

vaut

2f

u

k

, tel que

k

est le plus grand entier stri tement inférieur à

f

u

W

. Il est à noter que toutes les fréquen es d'é hantillonnage ne onviennent pas sauf si elles sont

(30)

Dénition 3. [Passe-bande℄ Un signal

g(t)

est de type passe-bande s'il existe deux valeurs

W

et

f

0

, pour lesquelles

W ≪ f

0

, et telles que

∀f 6∈

f

0 −

W

2 , f

0 +

W

2 , kG(f)k = 0

(29)

(31)

Dénition 3. [Passe-bande℄ Un signal

g(t)

est de type passe-bande s'il existe deux valeurs

W

et

f

0

, pour lesquelles

W ≪ f

0

, et telles que

∀f 6∈

f

0 −

W

2 , f

0 +

W

2 , kG(f)k = 0

(29)

Dénition 4. [Passe-bas équivalent℄ Considérons un signal passe-bande déterministe

g(t)

dont la ara téristique est de posséder un ontenu spe tral on entré dans une ertaine bande

de fréquen es. Le signal

g(t)

peut s'é rire sous la forme de

g(t) = Re g(t)e

2πjf

0 t+jϕ

0

(32)

Appli ation d'un ltre

H(f) =

0

si

f < 0

2

si

f ≥ 0

(31)

h(t) = δ(t) +

j

πt

(32)

(33)

Appli ation d'un ltre

H(f) =

0

si

f < 0

2

si

f ≥ 0

(31)

h(t) = δ(t) +

j

πt

(32)

Dénition 5. [Signal analytique℄ La sortie d'un tel ltre à un signal d'entrée

g(t)

est appelée signal analytique. Elle vaut

g

_a

_{(t) = g(t) ⊗}

δ(t) +

j

πt

(33)

= g(t) + jg(t) ⊗

_πt

1

(34)

Dénition 6. [Transformée de Hilbert℄ Soit un signal

g(t)

. Sa transformée de Hilbert, notée

eg(t)

, vaut

eg(t) = g(t) ⊗

1 πt

(35)

Par ette dénition,

(35)

Dénition 6. [Transformée de Hilbert℄ Soit un signal

g(t)

. Sa transformée de Hilbert, notée

eg(t)

, vaut

eg(t) = g(t) ⊗

1 πt

(35)

Par ette dénition,

g

_a

(t) = g(t) + j

_eg(t)

(36)

Propriétés de la transformée de Hilbert

L'énergie (ou la puissan e) d'un signal et elle de sa transformée de Hilbert sont égales.

[Transformée de Hilbert d'un signal modulé℄ Soit un signal

g(t)

en bande de base,

^

(36)

Dénition 7. [Enveloppe omplexe du signal℄ Le signal obtenu par dé alage du signal analytique le long de l'axe fréquentiel porte le nom d'enveloppe omplexe du signal original. Elle sera notée

e

g

(t)

.

Par dénition, l'enveloppe omplexe et son spe tre sont respe tivement liés à leur équivalent

analytique par les relations

e

_g

(t) = g

_a

(t)e

−2πjf

0 t

(38)

E

g

(f ) = G

a

(f + f

0 )

(39)

(37)

e

g

(t) = g

I

(t) + jg

Q

(t)

(40) Cal ul pratique des omposantes de Ri e?

(38)

e

g

(t) = g

I

(t) + jg

Q

(t)

(40) Cal ul pratique des omposantes de Ri e?

g

I

(t) = Re (e

g

(t))

(41)

= Re g

a

(t)e

−2πjf

0 t

(42)

(39)

g(t) = Re (g

_a

(t))

(47)

= Re e

_g

(t)e

2πjf

0 t

(48)

= Re (g

_I

(t) + jg

_Q

(t))e

2πjf

0 t

(49)

= g

_I

(t) cos(2πf

₀

_{t) − g}

_Q

(t) sin(2πf

₀

t)

(50)

cos (2πfct)

gI(t)

g(t)

+

(40)

+π

₂

g(t)

cos (2πfct)

Hilbert

sin (2πfct)

+

gI(t)

g(t) × 2 cos(2πf

0 t) = 2 [g

I

(t) cos(2πf

0 t) − g

Q

(t) sin(2πf

0 t)] cos(2πf

0 t)

(51)

= 2

g

_I

(t) cos

2 (2πf

₀

_{t) − g}

_Q

(t) sin(2πf

₀

t) cos(2πf

₀

t)

(52)

(41)

+π

₂

gI(t)

2 sin (2πf0t)

2 cos (2πf0t)

−gQ(t)

g(t)

(42)

h(t) = Re e

h

(t)e

2πjf

0 t

(54) Le signal ltré vaut

y(t) = g(t) ⊗ h(t)

(55)

=

Z

_+∞

−∞

h(λ)g(t − λ)dλ

(56)

(43)

h(t) = Re e

h

(t)e

2πjf

0 t

(54) Le signal ltré vaut

y(t) = g(t) ⊗ h(t)

(55)

=

Z

_+∞

−∞

h(λ)g(t − λ)dλ

(56) Thèse :

e

_y

(t) =

1 e

_h

_{(t) ⊗ e}

_g

(t)

(44)

y(t) = g(t) ⊗ h(t)

(58)

=

Z

_+∞

−∞

h(λ)g(t − λ)dλ

(59)

g(t) =

1 ₂

e

_g

(t)e

2πjf

0 t

+ e

∗

g

(t)e

−2πjf

0 t

et

h(t) =

1

2 e

h

(t)e

2πjf

0 t

+ e

∗

h

(t)e

−2πjf

0 t

Dès lors,

y(t) =

1

4 e

2πjf

0 t

Z

_+∞

−∞

e

_h

(λ)e

_g

_{(t − λ)dλ +}

1

4 e

−2πjf

0 t

Z

_+∞

−∞

e

∗

_h

(λ)e

∗

_g

_{(t − λ)dλ}

+

1 e

−2πjf

0 t

Z

_+∞

e

h

(λ)e

∗

(t − λ)e

4πjf

0 λ

dλ +

1 e

2πjf

0 t

Z

_+∞

e

∗

(λ)e

g

(t − λ)e

−4πjf

0 λ

dλ

(45)

y(t) = g(t) ⊗ h(t)

(58)

=

Z

_+∞

−∞

h(λ)g(t − λ)dλ

(59)

g(t) =

1 ₂

e

_g

(t)e

2πjf

0 t

+ e

∗

g

(t)e

−2πjf

0 t

et

h(t) =

1

2 e

h

(t)e

2πjf

0 t

+ e

∗

h

(t)e

−2πjf

0 t

Dès lors,

y(t) =

1

4 e

2πjf

0 t

Z

_+∞

−∞

e

_h

(λ)e

_g

_{(t − λ)dλ +}

1

4 e

−2πjf

0 t

Z

_+∞

−∞

e

∗

_h

(λ)e

∗

_g

_{(t − λ)dλ}

1 Z

+∞

1 Z

+∞

(46)

y(t) =

1

2 Re ((e

h

(t) ⊗ e

g

(t)) e

2πjf

₀

t

₎

(47)

Par analogie ave les signaux déterministes, on dénit le signal analytique en ltrant le

pro essus sto hastique

X(t)

par un ltre

H(f)

qui élimine les fréquen es négatives

H(f ) =

0

si

f < 0

2

si

f ≥ 0

(61)

Par le théorème de Wiener-Kint hine, la densité spe trale de puissan e du signal

ana-lytique est donnée par

γ

_X

_a

_{(f ) = kH(f)k}

2 γ

_X

(f )

(62)

=

4 γ

_X

(f )

si

f ≥ 0

0

si

f < 0

(63)

(48)

Par analogie ave le as déterministe, on peut exprimer l'enveloppe omplexe dire tement

sous la forme

X(t) = Re e

X

(t) e

2πjf

0 t

(64)

X(t)

étant un pro essus sto hastique, l'enveloppe omplexe

e

X

(t)

est également un pro- essus sto hastique.

Ce pro essus sto hastique

X(t)

n'est pas stationnaire ar sa moyenne dépend du temps. Solution : introdu tion d'une phase aléatoire

Θ

uniformément répartie sur

[0, 2π[

X(t) = Re

e

_X

(t) e

j(2πf

0 t+Θ)

(49)

Comme pour l'enveloppe omplexe, on peut dénir les omposantes en phase et en

quadra-ture d'un pro essus sto hastique

e

X

(t) = X

I

(t) + j X

Q

(t)

(66)

La dé omposition de Ri e du pro essus sto hastique

X(t)

est alors donnée par

X(t) = Re e

X

(t) e

2πjf

0 t

(67)

= Re (X

I

(t) + j X

Q

(t)) e

2πjf

0 t

(68)

= X

_I

(t) cos(2πf

₀

_{t) − X}

_Q

(t) sin(2πf

₀

t)

(69)

(50)

Estimation

(51)

Estimation

(52)

Estimation

Étude du tra

Ingénierie des radio ommuni ations mobiles terrestres

(53)

Sour es physiques de bruit

Bruit thermique

Cara térisation d'un diple

Puissan e disponible

Température de bruit d'un diple

Rapport signal à bruit

Cara térisation d'un quadriple

Gain

Fa teur de bruit

Fa teur de mérite

Température de bruit ee tive

Cas parti ulier : atténuateur

(54)

γ

E

(f ) = 2k

B

T R

(70) où

k

B

= 1, 38 × 10

−23

_[J/K]

est la onstante de Boltzmann.

R

G = 1/R

E(t)

I(t) =

E(t)

_R

(a)

(b)

Figure 8: Équivalents de Thévenin (a) et de Norton (b) orrespondant au bruit

(55)

Z

s

(f ) = R

s

(f ) + jX

s

(f )

(71) est l'impédan e de sour e et

Z

L

(f )

l'impédan e de harge.

Zs

ZL

E

(56)

Cas des signaux sinusoïdaux

La puissan e de sour e fournie par le diple

P

sf

vaut

P

_sf

=

1 T

Z

T

0 v(t)i(t)dt =

1

2 Re

b

V b

I

∗

(72)

Dans une harge

Z

L

P

sf

=

b

E

2 Re (Z

L

)

2 kZ

s

+ Z

L

k

2

(73) Puissan e maximale ?

À adaptation onjuguée, on parle de puissan e disponible du diple :

b

E

2

(57)

Examinons la question pour un bruit aléatoire quel onque

P

_bf

= lim

T →+∞

1 T

Z

T

0 V (t)I(t)dt

(75)

par appli ation du théorème de Wiener-Kint hine,

γ

bd

(f ) =

γ

E

(f )

4Re (Z

s

)

(76)

Exemple. Dans le as parti ulier du bruit thermique

(58)

Charge quel onque Adaptation onjuguée Signaux sinusoïdaux

P

sf

=

1

2 Re

b

V b

I

∗

=

E

b

2 Re(Z

L

)

2kZ

s

+Z

L

k

2 P

sd

=

b

E

2 8Re(Z

s

)

Signaux sto hastiques

P

bf

= lim

T →+∞

1 T

R

T

0 V (t)I(t)dt

γ

bd

(f ) =

γ

_E

(f )

4Re(Z

s

)

Bruit thermique

γ

bd

(f ) =

k

_B

T

2

(59)

Température de bruit pon tuelle

Dénition 8. La température de bruit pon tuelle, ou à une fréquen e donnée, est la tem-pérature absolue à laquelle doit être portée une impédan e pour produire, par bruit thermique,

à ette fréquen e, la même densité spe trale de la puissan e de bruit disponible que le diple

onsidéré.

On a don , par dénition,

γ

_bd

(f ) =

k

B

T (f )

(60)

Température de bruit pon tuelle

Dénition 8. La température de bruit pon tuelle, ou à une fréquen e donnée, est la tem-pérature absolue à laquelle doit être portée une impédan e pour produire, par bruit thermique,

à ette fréquen e, la même densité spe trale de la puissan e de bruit disponible que le diple

onsidéré.

On a don , par dénition,

γ

_bd

(f ) =

k

B

T (f )

2

(78)

Température de bruit et bande passante

Dénition 9. La valeur maximale de

T (f )

, notée

T

, est appelée température de bruit du diple et la bande passante est dénie telle que

(61)

Dénition 10. Le rapport signal à bruit

(S/N )

du diple est déni omme le rapport de la puissan e disponible du signal à elle du bruit

S

N

=

P

_sd

P

_bd

(80)

Par onvention, lorsque le signal est modulé, on utilise pour la dénition de la puissan e du

signal :

en modulation d'amplitude ou en modulation angulaire, la puissan e de la porteuse non modulée (rapport porteuse à bruit

C

N

),

en modulation d'amplitude à porteuse supprimée, la puissan e moyenne du signal, et en modulation d'impulsions, la puissan e de rête.

(62)

1

1 ₂

2

quadriple linéaire sortie

ZS

E

V

entrée

Figure 10: S héma d'un quadriple.

(63)

1

1 ₂

2

quadriple linéaire sortie

ZS

E

V

entrée

Figure 10: S héma d'un quadriple.

Démar he :

Notion de gain?

Cara térisation du bruit interne du quadriple au moyen de la notion de fa teur de bruit

(64)

Dénition 11. L'impédan e interne du quadriple générateur étant donnée, le fa teur de bruit du quadriple à la fréquen e d'entrée

f

, noté

F

0 (f )

, est le rapport de

(1) la densité spe trale de bruit disponible à la sortie du quadriple, à la fréquen e

orrespon-dante, lorsque la température de bruit du diple générateur est

T

0 = 290 [K]

à

(2) la partie de ette densité spe trale due au bruit du diple générateur à la fréquen e

f

.

1

1 ₂

2

linéaire

Rs

Rin = Rs

γbd1(f) =

1 _{2 kBT0}

γbd2(f) = G(f)γbd1(f) + γbdq(f)

Quadriple

4kBT RsW

(65)

γ

bd2

(f ) = γ

bd1

(f ) |

T =T

₀

G(f )F

0 (f )

(81)

G

γbdq(f)

γbd2(f) = G(f)γbd1(f) + γbdq(f)

γbd1(f)

(F0(f) − 1)γbd1(f)

γbd2(f) = G(f)F0(f)γbd1(f)

(66)

Le rapport du signal à bruit à l'entrée vaut

S

N

in

=

γ

in

(f )

γ

_bd1

(f )

(82) À la sortie du quadriple,

S

N

out

=

γ

out

(f )

γ

_bd2

(f )

(83) Dès lors,

S

N

in

S

N

out

=

γ

in

(f )

γ

_bd1

(f )

γ

_bd2

(f )

γ

out

(f )

(84) Comme

γ

out

(f ) = G(f )γ

in

(f )

, e rapport devient

(67)

Fa teur de bruit moyen

Dénition 12. Le fa teur de bruit moyen est le rapport de (1) la puissan e de bruit disponible à la sortie du quadriple à

(2) la partie de ette puissan e due au diple générateur supposé à la température de bruit

T

₀

= 290 [K]

.

F

_0m

=

R

_+∞

−∞

1

2 k

B

T

0 G(f )F

0 (f )df

R

_+∞

−∞

1

2 k

B

T

0 G(f )df

=

R

_+∞

−∞

G(f )F

0 (f )df

R

_+∞

−∞

G(f )df

(86)

(68)

Fa teur de bruit moyen

Dénition 12. Le fa teur de bruit moyen est le rapport de (1) la puissan e de bruit disponible à la sortie du quadriple à

(2) la partie de ette puissan e due au diple générateur supposé à la température de bruit

T

₀

= 290 [K]

.

F

_0m

=

R

_+∞

−∞

1

2 k

B

T

0 G(f )F

0 (f )df

R

_+∞

−∞

1

2 k

B

T

0 G(f )df

=

R

_+∞

−∞

G(f )F

0 (f )df

R

_+∞

−∞

G(f )df

(86)

Fa teur de mérite (pour

T

s

6= T

0

) : lien ave

F

0

? Comme

γ

bdq

(f ) =

1

2 k

B

(F

0 − 1)T

0 G(f ) =

1

2 k

B

(F − 1)T

s

G(f )

,

T

(69)

G

γbdq(f)

γbd2(f) = G(f)γbd1(f) + γbdq(f)

γbd1(f)

(F0(f) − 1)γbd1(f)

γbd2(f) = G(f)F0(f)γbd1(f)

γ

bd2

(f ) =

1

2 k

B

T

0 G(f ) + γ

bdq

(f ) =

1

2 k

B

[T

0 + (F

0 − 1)T

0 ]G(f )

(88)

(70)

Cas du quadriple atténuateur résistif de gain

G = 1/L

Cet atténuateur purement résistif est supposé être à la même température

T

0

que la résis-tan e équivalente d'entrée. L'observation nous enseigne que la puissan e de bruit disponible en sortie vaut don (à adaptation onjuguée en entrée et en sortie!)

γ

bd2

(f ) =

1

(71)

Cas du quadriple atténuateur résistif de gain

G = 1/L

Cet atténuateur purement résistif est supposé être à la même température

T

0

que la résis-tan e équivalente d'entrée. L'observation nous enseigne que la puissan e de bruit disponible en sortie vaut don (à adaptation onjuguée en entrée et en sortie!)

γ

bd2

(f ) =

1

2 k

B

T

0

(90)

Ce i doit être mis en orrespondan e ave le adre dénissant

F

0

. Si on ara térise l'atté-nuateur par sa température ee tive

T

e

,

γ

bd2

(f ) =

1

2 k

B

(T

0 + T

e

)

1 L

(91)

T

_{= (L − 1)T}

(72)

γbd1(f)

(F01 − 1)γbd1(f)

(F02 − 1)γbd1(f)

G1F01γbd1(f)

G2

G1

F02

F01

(73)

γbd1(f)

(F01 − 1)γbd1(f)

(F02 − 1)γbd1(f)

G1F01γbd1(f)

G2

G1

F02

F01

Figure 13: Mise en as ade de quadriples.

Pour un quadriple à

n

étages,

F

₀

= F

₀₁

+

F

02 − 1

G

₁

+

F

03 − 1

G

₁

G

₂

+ · · · = F

01 +

n

X

i=2

F

0i

− 1

Q

_i−1

j=1

G

j

(93) De même,

(74)

Estimation

(75)

Estimation

(76)

Estimation

Étude du tra

Ingénierie des radio ommuni ations mobiles terrestres

(77)

Critères de omparaison

Dénition des modulations numériques

Modulations linéaires lassiques

Des ription

Cal ul de la densité spe trale de puissan e

Modulation d'amplitude numérique (ASK)

Modulation de phase numérique (PSK)

Modulation en quadrature de phase (QPSK)

Modulations linéaires à dé alage

Des ription

Modulation en quadrature de phase à dé alage (OQPSK)

(78)

1. la résistan e aux distorsions et aux interféren es; ette lasse omporte les ritères de

(a) la résistan e au bruit en terme de probabilité d'erreur, elle- i étant généralement une fon tion du rapport énergie à bruit

E

b

/N

0

,

(b) la sensibilité aux interféren es dues à des multitrajets,

( ) la sensibilité aux imperfe tions des ltres qui produit de l'interféren e entre les sym-boles numériques,

(d) la sensibilité aux non-linéarités, 2. l'o upation spe trale ara térisée par

(a) l'e a ité spe trale exprimée en (bit/se onde) par Hertz

[b/s/Hz]

, qui représente le débit binaire que l'on peut transmettre dans un anal large de

1 [Hz]

pour un type de modulation,

(79)

Formulation générale

s(t) = Re

ψ [m(t)] e

j(2πf

c

t+ϕ

c

)

ψ [m(t)]

est une fon tion du signal

m(t)

et onstitue l'enveloppe omplexe

e

s

(t)

du signal modulé.

(80)

La fon tion omplexe

ψ(.) = ψ

I

(.) + j ψ

Q

(.)

dénit le type de modulation. On distingue généralement deux types de modulations :

les modulations linéaires pour lesquelles

ψ [m(t)]

est une fon tion linéaire de

m(t)

. les modulations angulaires pour lesquelles

ψ [m(t)]

a la forme

ψ [m(t)] = e

jϕ[m(t)]

(95)

où

ϕ [m(t)]

est une fon tion linéaire de

m(t)

.

Le signal modulé peut également s'exprimer par les relations

(81)

s(t) = Re



e

j(2πf

c

t+ϕ

c

)

+∞

X

k=−∞

d

_k

(t) e

j(θ

k

−2πf

c

kT )





(98)

Deux types de modulation linéaire seront détaillées :

les modulations lassiques, pour lesquelles

θ

k

= 2πf

c

kT

, et

les modulations à dé alage (ou oset), pour lesquelles

θ

k

= 2πf

c

kT + k

π

2

.

(82)

Des ription

Les modulations linéaires lassiques sont telles que

θ

k

= 2πf

c

kT

. Dès lors,

s(t) = Re

e

_s

(t) e

j(2πf

c

t+ϕ

c

)

(99)

où l'enveloppe omplexe s'exprime par

e

s

(t) =

+∞

X

k=−∞

d

k

(t)

(100)

=

+∞

X

D

_k

g

_k

_{(t − kT )}

(101)

(83)

L'enveloppe omplexe s'exprime également par

e

s

(t) = s

I

(t) + js

Q

(t)

. D'où

s

_I

(t) =

+∞

X

k=−∞

A

_k

_{g(t − kT )}

(102)

s

_Q

(t) =

+∞

X

k=−∞

B

_k

_{g(t − kT )}

(103) e qui onduit à

s(t) = s

I

(t) cos (2πf

c

t + ϕ

c

) − s

Q

(t) sin (2πf

c

t + ϕ

c

)

(104)

soit en ore, en remplaçant

s

I

et

s

Q

par leur valeur,

(84)

Densité spe trale du puissan e du signal modulé

Le signal numérique modulé est un pro essus sto hastique

S(t)

que l'on peut é rire, en prenant arbitrairement

ϕ

c

= 0

, sous la forme

S(t) = Re M (t) e

j2πf

c

t

(106)

où

M (t)

est un pro essus sto hastique omplexe.

Stationnarisation

Le pro essus sto hastique

S(t)

n'est pas stationnaire au sens large vu ar sa moyenne dépend du temps. Il est don né essaire de stationnariser le signal. Pour ela, nous ajoutons

(85)

Fon tion d'auto orrélation

Γ

_SS

_{(t, t − τ) = E {S(t) S(t − τ)}}

(108) Comme

S(t) =

1

2 h

M (t) e

j(2πf

c

t+Θ)

_{+ M}

∗

_{(t) e}

−j(2πf

c

t+Θ)

i

(109) Dès lors,

S(t) S(t − τ) =

1 ₂

h

M (t) e

j(2πf

c

t+Θ)

_{+ M}

∗

_{(t) e}

−j(2πf

c

t+Θ)

i

(110)

×

1

2 h

M (t − τ) e

j(2πf

c

(t−τ)+Θ)

_{+ M}

∗

_{(t − τ) e}

−j(2πf

c

(t−τ)+Θ)

i

(111)

(86)

=

1

2 Re E

M (t) M

∗

_{(t − τ) e}

j2πf

c

τ

(114)

=

1

2 Re Γ

M M

(t, t − τ) e

j2πf

c

τ

(115) Enn, puisque

Γ

SS

(τ ) =

1

4 Γ

M M

(τ ) e

j2πf

c

τ

+ Γ

M M

(τ )

∗

e

−j2πf

c

τ

(116) on a

γ

_S

(f ) =

γ

M

(f − f

c

) + γ

M

∗

(−f − f

c

)

4

(117)

(87)

L'enveloppe omplexe du signal modulé est

M (t) =

+∞

X

k=−∞

D

_k

_{g(t − kT )}

(118)

La séquen e de variables aléatoires

D

k

est ara térisée par sa moyenne :

µ

D

= E {D

k

}

sa varian e :

σ

2 D

= E

(D

k

− µ

D

) (D

k

− µ

D

)

∗

sa fon tion d'auto orrélation :

Γ

AA

(k, k − l) = E

D

_k

D

_k−l

∗

sa fon tion d'auto ovarian e :

C

AA

(k, k − l) = E

(D

k

− µ

D

) (D

_k−l

− µ

D

)

∗

Après stationnarisation de la séquen e de variables aléatoires

D

k

,

(88)

Des ription

e

_s

(t) =

+∞

X

k=−∞

A

_k

_{g(t − kT )}

(120)

Choix ourant : une impulsion re tangulaire de durée

T

:

g(t) =

re t

[0,T ]

(t)

On doit déterminer l'enveloppe

a(t)

et la phase

ϕ(t)

du signal modulé. Ces deux signaux s'obtiennent à partir de l'enveloppe omplexe par la relation

e

_s

(t) = a(t) e

jϕ(t)

(121)

Comme

A

k

peut s'é rire

A

k

= kA

k

k e

(1−sgn(A

k

))

π

₂

j

, nous pouvons déduire

a(t) =

+∞

X

k=−∞

kA

k

re t

[0,T ]

(t − kT )

(122)

(89)

(A, 0)

(−A, 0)

−g(t) sin (2πfct + ϕc)

g(t) cos (2πfct + ϕc)

(90)

Hypothèse : les deux amplitudes

±A

sont équiprobables. La moyenne

µ

A

de la variable aléatoire

A

k

est don nulle. Sa varian e est donnée par

σ

2 A

= E

A

2 _k

= A

2

.

Le signal de mise en forme étant la fon tion re t

[0,T ]

(t)

, sa transformée de Fourier vaut

G(f) = e

−j2πf

T

2 T sinc(f T )

(124)

Il en résulte une densité spe trale de puissan e pour l'enveloppe omplexe donnée par

γ

e

s

(f ) = A

2 _{T sinc}

2 _{(f T )}

(125)

(91)

Des ription

s(t) = A

+∞

X

k=−∞

re t

[0,T ]

(t − kT ) cos (2πf

c

t + ϕ

c

+ ψ

k

)

(126) où

ψ

k

est une variable aléatoire onstante sur l'intervalle de temps

[kT, (k + 1)T [

, pouvant prendre

N

valeurs possibles D

ψ

_k

_∈

ψ

ψ = ϕ

0 + i

2π

N

, i = 0, ..., N − 1

(127)

s(t) = A

+∞

X

(92)

−





+∞

X

k=−∞

A sin ψ

_k

re t

[0,T ]

(t − kT )



 sin (2πf

_c

t + ϕ

_c

)

(129)

L'enveloppe omplexe du signal s'en déduit

e

s

(t) = s

I

(t) + j s

Q

(t)

(130)

= A

+∞

X

k=−∞

re t

[0,T ]

(t − kT ) (cos ψ

k

+ j sin ψ

k

)

(131)

L'enveloppe et la phase du signal modulé :

a(t) = A

+∞

X

k=−∞

re t

[0,T ]

(t − kT )

(132)

(93)

Keying) Des ription

D

k

∈

n

Ae

−j

3π

4 , Ae

−j

π

4 , Ae

j

π

4 , Ae

j

3π

4 o

(134)

(+ A

√

2 , + A

√

2 )

(+ A

√

2 , − A

√

2 )

00

01 (− A

√

2 , + A

√

2 )

(− A

√

2 , − A

√

2 )

11

10 −g(t) sin (2πfct + ϕc)

g(t) cos (2πfct + ϕc)

(94)

où

I

k

= +1

orrespond à l'information binaire 1 et

I

k

= −1

orrespond à l'information binaire 0.

(95)

À partir de la séquen e

I(t)

, nous formons les deux séquen es

s

_I

(t) =

_√

A

2 +∞

X

k=−∞

I

_2k

_{g(t − kT ) =}

+∞

X

k=−∞

A

_k

_{g(t − kT )}

(136)

s

Q

(t) =

A

√

2 +∞

X

k=−∞

I

2k+1

g(t − kT ) =

+∞

X

k=−∞

B

k

g(t − kT )

(137) où

(96)

t

Tb

1 1

0 1 1

0 0

1

0 1 1

0 0

1

0

1

0

0 I(t)

sI(t)

sQ(t)

+1

−1

+ A

√

2 − A

√

2 T = 2Tb

+ A

√

2 − A

√

2 t

3π

4 −π

₄

3π

4 3π

4 −π

₄

3π

4 π

4 φ(t)

Figure 16: Formation des omposantes en phase et en quadrature pour la modulation

(97)

e

s

(t) = s

I

(t) + j s

Q

(t)

(138)

=

+∞

X

k=−∞

(A

_k

+ j B

_k

)

re t

[0,T ]

(t − kT )

(139)

=

_√

A

2 +∞

X

k=−∞

(I

2k

+ j I

2k+1

)

re t

[0,T ]

(t − kT )

(140)

a(t) =

q

s

2 _I

(t) + s

2 _Q

(t)

(141)

A

+∞

X

q

₂

(98)

ϕ(t) =

+∞

X

k=−∞

re t

[0,T ]

(t − kT ) tan

−1

I

2k+1

I

_2k

(144)

(99)

0

2

4

6

8

10

12 −1

0

1 (a)

Modulation QPSK

0

2

4

6

8

10

12 −1

0

1 (b)

0

2

4

6

8

10

12 −1

0

1 (c)

0

2

4

6

8

10

12 −1

0

1 (d)

0

2

4

6

8

10

12 −1

0

1 (e)

0

2

4

6

8

10

12 −1

0

1 (f)

(100)

−π

₂

cos (2πfc)t

sin (2πfc)t

sQ(t)

sQ(t) sin (2πfct)

parallèle

sI(t)

sI(t) cos (2πfct)

+

−

s(t)

série

I(t)

Figure 18: Modulateur QPSK.

(101)

−π

₂

Filtreadapté etdé ision

Filtreadapté etdé ision série parallèle

1 2I(t)

cos (2πfc)t

s(t)

sin (2πfc)t

1 2sQ(t)

1 2sI (t)

Figure 19: Démodulateur QPSK.

γ

_s

(f ) =

A

2 _T

b

2 sinc

2 _{[(f − f}

_c

) 2T

_b

] + sinc

2 [(f + f

_c

) 2T

_b

]

(145)

(102)

Des ription

e

_s

(t) =

+∞

X

k=−∞

A

_k

_{g(t − kT ) e}

jk

π

2

(146)

s(t) =

+∞

X

k=−∞

A

k

g(t − kT

b

) cos

2πf

c

t + ϕ

c

+ k

π

2

(147)

=





X

+∞

k=−∞

A

k

g(t − kT

b

) cos

k

π

2 

 cos (2πf

_c

t + ϕ

c

)

(148)

−





+∞

X

_A

_k

_{g(t − kT}

_b

_{) sin}

_k

π

2 

 sin (2πf

_c

t + ϕ

c

)

(149)

(103)

En tenant ompte du fait que

cos (kπ/2) = 0

pour

k

impair et que

sin (kπ/2) = 0

pour

k

pair, les omposantes en phase et en quadrature peuvent s'exprimer par

s

_I

(t) =

+∞

X

k=−∞

A

_k

_{g(t − kT}

_b

) cos

k

π

2

(150)

=

+∞

X

k

′

_=−∞

A

_2k

′

(−1)

k

′

g (t − 2k

′

T

_b

)

(151) et

s

_Q

(t) =

+∞

X

k=−∞

A

_k

_{g(t − kT}

_b

) sin

k

π

2

(152)

(104)

Phase Shift Keying)

Des ription

Considérons une sour e binaire fournissant le train d'impulsions suivant

I(t) =

+∞

X

k=−∞

I

_k

_{δ(t − kT}

_b

)

(154) On forme

s

_I

(t) =

_√

A

2 +∞

X

k=−∞

(−1)

k

I

_2k

_{g (t − 2kT}

_b

) =

+∞

X

k=−∞

A

_2k

_{g (t − 2kT}

_b

)

(155)

s

_Q

(t) =

_√

A

2 +∞

X

(−1)

k

I

_2k+1

_{g (t − (2k + 1) T}

_b

) =

+∞

X

A

_2k+1

_{g (t − (2k + 1) T}

_b

)

(105)

de départ.

t

Tb

1 1

0 1 1

0 0

1

0 1 1

0 0

1

0

0 I(t)

sI(t)

sQ(t)

+1

−1

+ A

√

2 − A

√

2 T = 2Tb

1

0

0 + A

√

2 − A

√

2 Tb

(106)

(+ A

√

2 , + A

√

2 )

(+ A

√

2 , − A

√

2 )

00

01 (− A

√

2 , + A

√

2 )

(− A

√

2 , − A

√

2 )

11

10 −g(t) sin (2πfct + ϕc)

g(t) cos (2πfct + ϕc)

(107)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 −1

0

1 (a)

Modulation OQPSK

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 −1

0

1 (b)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 −1

0

1 (c)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 −1

0

1 (d)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 −1

0

1 (e)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 −1

0

1 (f)

Figure 22: Illustration de la modulation OQPSK : (a) séquen e binaire

I(t)

, (b)

s

I

(t)

, ( )

s

Q

(t)

, (d)

s

I

(t) cos (2πf

c

t)

, (e)

s

Q

(t) sin (2πf

c

t)

et (f) signal modulé

s(t)

.

(108)

dé alage

L'idée onsiste à modier l'expression de la mise en forme en ajoutant un terme

e

−j2π

_4Tb

t

,

de sorte à obtenir une onde de mise en forme qui vaudra :

g(t − kT ) e

jk

π

2 e

−j2π

t

4Tb

_{= g(t − kT ) e}

−j

2T

π

(t−kT )

(156)

On ompense et ajout par l'introdu tion d'une nouvelle fréquen e porteuse

f

′

c

s(t) = Re

e

_s

(t) e

j(2πf

c

t+ϕ

c

)

(157)

= Re

e

_s

(t) e

−j2π

4Tb

t

_e

j

2π

f

c

+

_4Tb

1 t+ϕ

c

(158)

(109)

Si nous onnaissons la densité spe trale de puissan e du signal omplexe

v(t)

, alors

γ

_s

(f ) =

γ

v

(f − f

c

′

) + γ

v

∗

(−f − f

c

′

)

4 =

γ

_v

_{f − f}

_c

₋

_4T

1 b

+ γ

_v

∗

_{−f − f}

_c

₋

_4T

1 b

4

(160) Il reste à al uler

γ

v

(f )

.

v(t) =

+∞

X

k=−∞

A

_k

_{g(t − kT}

_b

) e

jk

π

2 e

−j2π

t

4Tb

(161)

=

+∞

X

k=−∞

A

_k

_{g(t − kT}

_b

) e

−j

2Tb

π

(t−kT

b

)

(162)

+∞

X

(110)

Le signal

h(t)

orrespond à un nouveau signal de mise en forme dont la transformée de Fourier se déduit du signal

g(t)

H(f) = G

f +

1 4T

_b

(165)

La densité spe trale de puissan e du signal

v(t)

s'obtient alors en adaptant la formule

γ

v

(f ) =

kH(f)k

2 T

_b

"

σ

_A

2 + µ

2 _A

+∞

X

m=−∞

1 T

_b

δ

f −

_T

m

b

#

(166) dans

γ

_s

(f ) =

γ

v

f − f

c

−

_4T

1 b

+ γ

_v

∗

_{−f − f}

c

−

_4T

1 b

4

(167)

1 −

1 γ

(f )

(111)

L'enveloppe omplexe du signal modulé est donnée par

e

s

(t) =

+∞

X

k=−∞

A

k

g(t − kT

b

) e

jk

π

2

(168)

où le signal de mise en forme

g(t)

et la variable aléatoire

A

k

valent respe tivement

g(t) =

re t

[0,2T

_b

]

(t)

(169)

A

k

∈

+

_√

A

2 , −

A

√

2

(170)

La densité spe trale de

v

se al ule omme :

γ

(f ) = 2A

2 T

sinc

2 f +

1 2T

(112)

(113)

Des ription

La ara téristique qui diéren ie la modulation MSK de la modulation OQPSK est le signal

de mise en forme qui prend maintenant la forme

g(t) =

re t

[0,2T

b

]

(t) sin

πt

2T

_b

(173)

Les séquen es

s

I

(t)

et

s

Q

(t)

sont formées exa tement de la même manière que pour la modulation OQPSK. La omposante en phase

s

I

(t)

s'é rit sous la forme

s

I

(t) =

A

√

2 +∞

X

k=−∞

I

2k

re t

[0,2T

b

]

(t − 2kT

b

) sin

π (t − 2kT

b

)

2T

_b

(174)

(114)

s

_I

(t) =

_√

A

2 +∞

X

k=−∞

I

_2k

re t

[0,2T

_b

]

(t − 2kT

b

) sin

πt

2T

b

− kπ

(176)

=

_√

A

2 +∞

X

k=−∞

I

_2k

re t

[0,2T

b

]

(t − 2kT

b

)

sin

πt

2T

_b

cos (kπ) − cos

_2T

πt

_b

sin (kπ)

(177)

=

_√

A

2 +∞

X

k=−∞

I

2k

re t

[0,2T

b

]

(t − 2kT

b

) sin

πt

2T

b

cos (kπ)

(178)

=

+∞

X

k=−∞

A

√

2 I

2k

(−1)

k

re t

[0,2T

_b

]

(t − 2kT

b

) sin

πt

2T

_b

(179)

= cos

π

2 −

πt

2T

_X

+∞

A

√

2 I

2k

(−1)

k

re t

[0,2T

b

]

(t − 2kT

b

)

(180)