Contributions à l’adaptation de maillage anisotrope
sur base hiérarchique
Thèse Thomas Briffard Doctorat en mathématiques Philosophiæ doctor (Ph. D.) Québec, Canada © Thomas Briffard, 2017
Contributions à l’adaptation de maillage anisotrope
sur base hiérarchique
Thèse
Thomas Briffard
Sous la direction de:
Résumé
Cette thèse est la poursuite des travaux entrepris dans [13] pour le développement d’un nou-vel estimateur d’erreur de type hiérarchique. Cet estimateur permet d’adapter un maillage et d’obtenir des solutions plus précises d’une équation aux dérivées partielles. La méthode est relativement générale et peut s’appliquer à une grande variété de problèmes, et permet théoriquement de traiter des approximations de n’importe quel degré. Elle mène, lorsque la solution le permet, à des maillages fortement anisotropes et se compare avantageusement aux méthodes basées sur la définition d’une métrique.
Des améliorations substantielles à la méthode ont été apportées dans le cadre de ce travail. Les principaux objectifs étant de réduire fortement les coûts de calcul associés à la méthode et de la rendre beaucoup plus robuste de manière générale. Ainsi, on a revu et amélioré les algorithmes de reconstruction des gradients par un scaling approprié, de réinterpolation des champs en introduisant une méthode de krigeage. On a également introduit un algorithme de remaillage des coquilles à l’aide d’une méthode dite de «ear clipping» originale en 3D. L’algorithme de déplacement de sommets a également été revu. Enfin la gestion des frontières courbes est également considérée.
De nombreux exemples bi et tridimensionnels sont présentés pour illustrer l’efficacité de l’es-timateur. Des problèmes académiques sont d’abord considérés, y compris des problèmes sin-guliers où on montre que l’on obtient des taux de convergence optimaux (par rapport au nombre de degrés de liberté). Par la suite, on s’intéresse à différents domaines d’applications, notamment en mécanique des fluides et en neurosciences. Enfin, un algorithme général pour l’adaptation de maillage dans le cas instationnaire sera également décrit et testé.
Abstract
This thesis is the continuation of the work undertaken in [13] for the development of a new a posteriori error estimator based on hierarchical basis. This estimator allows to adapt a finite element mesh and to obtain more accurate solutions of various partial differential equations. Most importantly, it leads, whenever possible, to strongly anisotropic meshes, and compares favorably with methods based on the definition of a metric. The method is fairly general and can be applied to approximations of any degree and to a wide variety of problems.
In this work, several significant improvements have been added to the initial method. The objectives being to substantially reduce the calculation costs associated with the method and to make it much more robust. Many substantial contributions have been made to the various algorithms. Let’s mention the introduction of an appropriate scaling in the gradient recovery method, kriging for the reinterpolation of the different fields during adaptation, an original ear clipping method in 3D for local remeshing. A different approach for nodes displacement is also condirered. Finally we detailled how we take care of curved borders.
Many bi and three-dimensional examples are presented to illustrate the efficiency of the es-timator. Academic problems are first considered, including classical singular problems where optimal rates of convergence are observed (relative to the number of degrees of freedom). Applications in different fields such as fluid mechanics and neurosciences are then considered. Finally an algorithm for time-dependent problems is presented and tested.
Table des matières
Résumé iii
Abstract iv
Table des matières v
Liste des tableaux vii
Liste des figures viii
Notations xi
Remerciements xiv
Introduction 1
1 Outils préliminaires 7
1.1 Reconstruction des gradients . . . 7
1.2 Construction d’une solution enrichie . . . 24
2 Adaptation de maillage hiérarchique 32 2.1 Construction de l’estimateur d’erreur . . . 32
2.2 Stratégie d’adaptation . . . 34
2.3 Opérations topologiques . . . 35
2.4 Gestion de l’erreur à la géométrie . . . 56
2.5 Algorithme adaptatif . . . 58
3 Adaptation pour des problèmes singuliers 67 3.1 Géométrie en L . . . 68
3.2 Problème avec conditions aux limites mixtes de type Dirichlet-Neumann . . 70
4 Structures Lagrangiennes cohérentes 78 4.1 Modèle analytique de Rayleigh-Bénard . . . 81
4.2 Modèle des yeux de chat de Kelvin . . . 87
5 Modèle d’électro-diffusion dans un nœud de Ranvier 91 6 Problèmes instationnaires 98 6.1 Équation de diffusion non linéaire . . . 100
6.2 Écoulement d’un fluide autour d’un cylindre . . . 101
Conclusion 109
Liste des tableaux
4.1 Modèle de Rayleigh-Bénard : erreur estimée sur le déplacement. . . 82
Liste des figures
0.1 Exemple de maillage, où Ωh6= Ω. . . 2
1.1 Exemple de patch P(x0) sur un maillage structuré, patch P2 . . . 9
1.2 Maillage obtenu avec une discrétisation P2 et fonction g. . . 14
1.3 Courbes de convergence pour les dérivées de la fonction g(x), en P1. Maillages réguliers (haut) et maillages adaptés (bas). . . 15
1.4 Courbes de convergence pour les dérivées de la fonction g(x), en P2. Maillages réguliers (haut) et maillages adaptés (bas). . . 16
1.5 Maillage P2 et fonction h. . . 17
1.6 Courbes de convergence pour les dérivées de la fonction h(x), en P1. Maillages réguliers (haut) et maillages adaptés (bas). . . 18
1.7 Courbes de convergence pour les dérivées de la fonction h(x), en P2. Maillages réguliers (haut) et maillages adaptés (bas). . . 19
1.8 Coupe du maillage pour la fonction g(x) = e(−((x−0.5)2+(y−0.5)2+(z−0.5)2)) en P2. 20 1.9 Courbes de convergence pour les dérivées de la fonction g(x), en P1. Maillages réguliers (haut) et maillages adaptés (bas). . . 21
1.10 Courbes de convergence pour les dérivées de la fonction g(x), en P2. Maillages réguliers (haut) et maillages adaptés (bas). . . 22
1.11 Gauche : Problème régulier perturbé avec ε = 10−6, droite : graded mesh. . . . 23
1.12 Comparaison entre scaling «isotropre» et «anisotrope», en P1 et P2, sur des maillages gradués. . . 25
1.13 Construction de ˜uk+1 h , corrections apportées.. . . 27
1.14 Problème régulier, g(x) = e(−((x−0.5)2+(y−0.5)2)) . Courbes de convergence de la solution enrichie en norme L2.. . . . 29
1.15 Problème régulier, g(x) = e(−((x−0.5)2+(y−0.5)2)) . Courbes de convergence de la solution enrichie en semi-norme H1. . . . . 30
1.16 Problème singulier perturbé avec ε = 10−6 : courbes de convergence . . . . 31
2.1 Raffinement d’arêtes en 2D & 3D. Coquille initiale à gauche et finale à droite. . 37
2.2 Opérations de déraffinement de sommets. . . 41
2.3 Le polyèdre de Schönhardt est un exemple simple de polyèdre qu’il est impos-sible de remailler avec des tétraèdres sans l’ajout de points intérieurs.. . . 41
2.4 Polynôme de départ P . . . 42
2.5 Première étape de l’algorithme du «ear clipping» en 2D . . . 43
2.6 Seconde étape de l’algorithme du «ear clipping» en 2D . . . 43
2.7 Remaillage final du polygone . . . 44
2.8 Polyèdre original et cône issu du sommet s0 . . . 45
2.10 Second polyèdre et cône issu du sommet s1 . . . 47
2.11 Schéma illustrant les différents cas d’intersections face-arête . . . 48
2.12 Opération de déplacement de sommets. . . 50
2.13 Déplacement de sommets : maillage initial à gauche, adapté à droite . . . 53
2.14 Opération de retournement d’arêtes en 2D. . . 54
2.15 Retournement d’arête dans une coquille à trois tétraèdres : coquille initiale (gauche et centre) et finale (à droite). . . 55
2.16 Retournement d’arête dans une coquille à quatre tétraèdres : coquille initiale (gauche), polygone associé (centre) et coquilles finales (droite). . . 55
2.17 Retournement d’arête sur le bord en 3D. Coquille initiale en haut à gauche et un des remaillages possible pour la coquille en bas : à gauche remaillage partiel, à droite coquille finale. . . 56
2.18 Maillage adapté (et coupe) sur l’interpolation quadratique de la fonction u (2.16) 59 2.19 Solution uh sur maillage initial (haut) et maillage adapté (bas) . . . 61
3.1 Géométrie en L, courbes de convergences en norme L2 et semi-norme H1. . . . 69
3.2 Géométrie en L, efficacité de l’estimateur d’erreur . . . 71
3.3 Géométrie en L et maillage adapté (approximation quadratique avec approxi-mativement 2300 éléments) . . . 72
3.4 Géométrie en L en 3D : maillage (quadratique) . . . 72
3.5 Géométrie en L en 3D : courbes de convergence en norme L2 et semi-norme H1. 73 3.6 Problème de Dirichlet-Neumann . . . 74
3.7 Dirichlet-Neumann : solution, maillage quadratique et gradient de la solution . 75 3.8 Courbes de convergence Dirichlet-Neumann, avec un point fixé en (1 2, 0) . . . . 76
3.9 Courbes de convergence Dirichlet-Neumann, sans point fixé en (1 2, 0) . . . 77
4.1 Courbes de convergence. . . 83
4.2 Champs ELTF calculés et maillages adaptés à partir du champ de déplacement, discrétisation linéaire (N = 37 054 DDLs). . . 84
4.3 Champs ELTF calculés et maillages adaptés à partir du champ de déplacement, discrétisation quadratique (N = 44 168 DDLs). . . 85
4.4 Champs ELTF calculés et maillages adaptés à partir du champ de déplacement, discrétisation quadratique (N = 261 057 DDLs).. . . 86
4.5 Zoom sur les maillages adaptés avec une discrétisation quadratique. Gauche : maillages adaptés en utilisant le champ de déplacement (N = 225 240 DDLs). Droite : maillages adaptés en utilisant le champ ELTF (N = 219 844 DDLs). . 88
4.6 Champ ELTF : discrétisation quadratique avec N = 219 844 DDLs. . . 88
4.7 Yeux de chat : maillage et champ ELTF avec une discrétisation quadratique comportant N = 19 000 DDLs. . . 89
4.8 Yeux de chats en 3D : maillage et champ ELTF avec une discrétisation quadra-tique comportant N = 97 046 DDLs. . . 90
5.1 Domaine et coupe 2D du domaine Ω et de ses sous-domaines. . . 93
5.2 Maillage adapté (P2) et coupe 3D du maillage, 126 617 DDLs . . . 95
5.3 Coupe 2D du maillage adapté, valeurs du potassium . . . 96
5.4 Points de contrôle pour évaluer l’erreur sur le potentiel au niveau de la mem-brane (haut). Comparaison de l’erreur entre différents maillages (bas). . . 97
6.1 Maillage adapté au temps t = 1s . . . 102
6.2 Évolution de l’erreur en norme L2 au cours du temps. . . . . 103
6.3 Domaine de calcul, diamètre du cylindre D = 1 . . . 103
6.4 Exemple de partitionnement du domaine à quatre processus MPI . . . 104
6.5 Comparaison des signaux de pression. En haut : sur le cylindre, en bas : un diamètre derrière le cylindre. . . 106
6.6 Comparaison des signaux de trainée. . . 107
6.7 Comparaison des signaux de pression avec et sans résolution à divergence nulle, un diamètre derrière le cylindre. . . 108
Notations
Ω Domaine de calcul . . . 1
V Espace de Hilbert réel. . . 2
Vh Espace d’approximation interne, de dimension finie. . . 2
Th Maillage . . . 2
gk h Approximation des dérivées de ukh, de degré k . . . 8
P(x0) Patch d’éléments connectés au sommet x. . . 8
uk h Solution discrète de degré k . . . 24
˜ uk+1h Solution enrichie, de degré k + 1, construit à partir de ukh. . . 26
eΩ Erreur cible en norme L2 sur Ω . . . 34
SLC Structures Lagrangiennes Cohérentes. . . 78
Chop-Chop ! José Manuel Urquiza Vincent Grenier Gauthier Maxime Murray
Remerciements
Avant de rentrer dans le vif du sujet, je vais me prêter à l’exercice périlleux des remerciements. Périlleux car le nombre de personnes à remercier est conséquent. Une thèse représente beau-coup de joie, mais également des déceptions et des doutes, ainsi qu’une remise en question permanente. D’emblée, je tiens ainsi à remercier toutes les personnes, qui par une phrase, un mot, même inconsciemment, m’ont soutenu durant cette période. Je pense notamment à mes amis outre-atlantique.
Cette thèse ne serait rien sans mon directeur de thèse, le professeur André Fortin, qui m’a fait confiance et m’a accueilli au sein du GIREF (Groupe Interdisciplinaire de Recherche en Élements Finis). Son expérience et ses conseils sont toujours précieux, et je le remercie infiniment pour son soutien. Je le remercie également d’offrir à ses étudiants un environnement et des conditions de travail agréable et propice à la recherche.
Je n’aurais probablement pas connu le GIREF sans le stage de maîtrise que j’ai effectué au sein de la Manufacture Française des Pneumatiques Michelin. Ma reconnaissance va ainsi aux chercheurs du centre de recherche de Ladoux, avec lesquels j’ai continué d’avoir des échanges toujours aussi enrichissant durant mon doctorat. Je considère que c’est une chance de pouvoir communiquer et travailler avec des partenaires industriels.
Merci également aux membres du GIREF, professeurs et étudiants, ainsi qu’à Eric Cham-berland et Cristian Tibirna pour leur conseils, j’ai beaucoup appris à leur côté. Un grand merci à Michel Lapointe également, toujours présent pour son soutien informatique, ainsi qu’au personnel du département de mathématiques et de statistique. La vie au département de mathématiques ne serait pas la même sans les matchs de soccer organisés par José Manuel Urquiza, merci à lui d’organiser ces moments uniques !
Je suis arrivé à Québec sans tambour ni trompette, ne connaissant pour ainsi dire personne. Je ne cache pas que l’aspect inconnu faisait partie du «challenge» entourant le fait d’effectuer un doctorat à l’étranger. Mon intégration (ou assimilation comme diraient certains) fut rapide. Le mérite en revient à mes amis Québecois, à qui j’exprime ici toute ma gratitude. Vous avez joué un rôle essentiel, et je pense pouvoir affirmer que j’ai beaucoup changé à vos côtés ces quatre dernières années passées à Québec. Si j’avoue être nostalgique de la France quand je
suis à Québec, grâce à vous, je ne doute pas une seule seconde d’être nostalgique du Québec une fois de retour en France.
Enfin, dernier remerciement, et non des moindres, à mes parents et ma famille. Venant d’une famille nombreuse (six enfants), cela n’a pas toujours été facile. Malgré tout, je réalise aujour-d’hui combien cela fut un milieu privilégié pour moi. On a tendance à oublier à quel point recevoir une bonne éducation reste un privilège. À mes parents qui se sont beaucoup sacrifiés pour nous offrir, à mes frères et sœurs et moi-même, les meilleures conditions de vie, un im-mense merci. Qu’ils voient dans l’aboutissement de cette thèse ma reconnaissance pour tout ce qu’ils ont faits et continuent de faire pour nous.
Introduction
La simulation numérique, et plus généralement le calcul scientifique, joue un rôle de plus en plus prépondérant dans l’industrie de haute technologie. Porté à la fois par les progrès théo-riques et informatiques de ces trois dernières décennies, c’est aujourd’hui un outil essentiel permettant bien souvent un gain de temps et d’argent aux entreprises. Mentionnons égale-ment le fait que la simulation numérique permet d’accéder à certaines grandeurs physiques qu’il serait difficile de mesurer expérimentalement, se faisant alors un outil précieux. La plu-part des problèmes rencontrés notamment en ingénierie vont faire intervenir des Équations aux Dérivées Ordinaires (EDO), ou comme c’est souvent le cas en mécanique des solides et des fluides, des Équations aux Dérivées Partielles (EDP). Nous allons principalement nous intéresser aux secondes, bien que toute la théorie concernant l’adaptation de maillage déve-loppée dans cette thèse s’appliquera naturellement aux EDO avec conditions aux limites. Ces EDP vont modéliser le problème physique, que nous allons résoudre à l’aide de la méthode des éléments finis ([23, 16, 22]). Ce n’est évidemment pas la seule méthode numérique pour résoudre des EDP. Cependant, c’est aujourd’hui probablement la méthode la plus populaire, notamment en ce qui concerne les problèmes elliptiques.
La méthode des éléments finis repose sur la discrétisation du domaine de résolution Ω en en un nombre fini d’éléments. Il s’agit le plus souvent de simplexes (le triangle est un 2-simplexe et le tétraèdre un 3-simplexe), mais éventuellement des hexagones (hexaèdres en 3D) et des prismes en 3D. Cela peut également être un mélange de ces types d’éléments. Cependant les simplexes présentent l’énorme avantage de pouvoir représenter relativement facilement n’importe quel type de domaine, même compliqué géométriquement, c’est pourquoi dans la suite de la thèse, nous travaillerons uniquement avec des simplexes (triangles ou tétraèdres). Ces éléments vont constituer le maillage, nous verrons plus loin ce que l’on entend exactement par maillage dans le cadre des éléments finis. L’union de ces simplexes sera noté Ωh, ce sera notre approximation
du domaine Ω, on a donc
Ω≈ Ωh =
[
K∈Ωh K
où K désigne un simplexe. La méthode des éléments repose sur la forme variationnelle (dite également forme faible) des EDP. De manière générale, pour un problème elliptique cela revient
à considérer le problème suivant (
Trouver u ∈ V tel que a(u, v) = L(v)∀ v ∈ V
V étant un espace de Hilbert réel, a une forme bilinéaire sur V et L une forme linéaire sur V . V étant un espace dimension infinie, en pratique on va utiliser des espaces d’approximations Vh
de dimension finie qui seront inclus dans V (on parle d’approximation interne ou conforme). En général on va considérer des espaces d’approximations Vh inclus dans les espaces fonctionnels
usuels que sont H1(Ω), H1 0(Ω),...
Citons quelques avantages de la méthode des éléments finis : tout d’abord les fonctions de bases des espaces d’approximations Vh que l’on utilisera ont bien souvent un support localisé sur un
nombre limité d’éléments, ce qui aura pour conséquence que la matrice que l’on assemblera pour la résolution numérique sera creuse. De plus, de nombreux résultats théoriques concernant l’ordre de convergence de la méthode sont aujourd’hui établis. Ces espaces d’approximations Vh vont être liés au domaine de discrétisation Ω par le maillage, que l’on notera Th dans la
suite de cette thèse. Dans le cadre des éléments finis, Th doit vérifier quelques propriétés. En
deux dimensions, l’intersection de deux triangles est soit vide, soit un point (un sommet) soit une arête entière commune. En trois dimensions, l’intersection de deux tétraèdres sera soit vide, un point, une arête entière ou une face entière commune.
Th
Ki
Figure 0.1 – Exemple de maillage, où Ωh 6= Ω.
La première étape dans la résolution d’un problème par éléments finis sera donc la création d’un maillage du domaine Ω. C’est une tâche loin d’être elle-même évidente, spécialement en 3D. C’est principalement pour cela que les méthodes d’adaptations de maillage consistent le plus souvent (pas toujours) à modifier localement un maillage déjà existant. C’est exactement ce que nous allons faire dans la suite de cette thèse. Nous ne nous intéressons pas à proprement parler de la génération de maillage, on référera au livre de P.Frey et P-L George ([33]). Pour établir le maillage de départ, de nombreux outils, gratuits (GMSH) ou payants (ANSYS,
COMSOL,...) sont aujourd’hui disponibles. Nous supposerons donc toujours que nous avons à disposition un maillage initial et une solution calculée sur ce maillage. Nous allons nous intéresser à modifier le maillage, afin essentiellement d’améliorer la précision des nouvelles solutions qui seront calculées sur ce maillage adapté (pour un nombre d’éléments donné). Il existe plusieurs façons d’améliorer la solution :
— La méthode la plus naïve consiste à raffiner globalement le maillage, en divisant par exemple les arêtes en deux. On augmente alors la taille du système à résoudre. De plus, on perd la connectivité du maillage, ce qui implique de reconstruire les matrices du problème, ce qui peut être coûteux en temps de calcul.
— On peut également raffiner ou déraffiner localement le maillage, à l’aide d’un estimateur d’erreur, on parle alors de h-méthode. Il s’agit alors de raffiner dans les zones présen-tant une grande erreur et de déraffiner dans les zones où l’erreur est faible. On modifie également la connectivité du maillage.
— Une autre solution ne modifiant pas la connectivité du maillage, mais nécessitant égale-ment un estimateur d’erreur, consiste à repositionner les nœuds du maillage en réalisant du déplacement de sommets, on parle alors de r-méthode. Bien que souvent insuffisante quand utilisée seule, cette méthode permet, suivant la solution, l’obtention de maillages anisotropes.
— Améliorer la richesse des espaces d’approximations, globalement ou localement. On parle alors de p-méthode [8]. Cela présente l’avantage de ne pas modifier la connectivité du maillage (on ne touche en réalité pas du tout au maillage) et évite ainsi de ré-assembler les matrices. Cependant, cela peut s’avérer une méthode coûteuse, surtout en 3D, où malgré les progrès informatiques réalisés on se retrouve souvent limité par la taille du système à résoudre.
Notons que ces méthodes peuvent être combinées entre elles, par exemple la h-méthode avec la p-méthode, on parle alors de hp-méthodes. Cette voie ne sera pas exploitée dans cette thèse, mais se retrouve déjà dans plusieurs logiciels (Concepts1, Hermes2,...). Notre stratégie va
plutôt consister à combiner la h-méthode avec la r-méthode. Cela implique d’avoir à disposition une estimation de l’erreur, ce qui est bien souvent une partie délicate où un choix doit être effectué. Il existe plusieurs méthodes pour estimer l’erreur, pour simplifier nous allons les classer dans deux catégories, les méthodes par estimations des résidus, puis celles basées sur une estimation des dérivées.
Pour la première méthode l’idée est d’injecter la solution numérique dans la formulation forte, ce qui donne une approximation du résidu [7]. A noter que si la solution est linéaire, ses dérivées seront constantes, l’approximation du résidu que l’on obtient est alors constante par élément. Il faut alors trouver une façon de définir le résidu sur les faces ou arêtes entre
1. http ://wiki.math.ethz.ch/Concepts/ 2. http ://www.hpfem.org/hermes/
éléments. Un inconvénient de cette méthode est que notre estimateur d’erreur est directement dépendant de l’opérateur différentiel du problème à résoudre. Cela nécessite donc de développer un estimateur par problème, ce que nous voudrions éviter.
La seconde méthode pour construire un estimateur d’erreur, qui nous intéressera plus parti-culièrement, est basée sur une reconstruction des dérivées de la solution éléments finis. L’idée est d’aller chercher plus d’informations à partir de la solution calculée, afin de se servir des dé-rivées pour construire un estimateur d’erreur basé sur celles-ci. L’une des premières méthodes qui est devenue populaire pour estimer les dérivées est celle de Zienkiewicz et Zhu [60] et [61]. Cette méthode est aujourd’hui implémentée dans de nombreux logiciels commerciaux. L’idée repose sur une utilisation judicieuse des moindres carrés. Une autre approche, plus récente mais toujours basée sur des moindres carrés a été introduite par Zhang et Naga [59]. Nous reviendrons plus en détails sur ces deux méthodes dans le chapitre 1. Mentionnons simplement que l’estimateur que nous construirons au chapitre 2 va dépendre directement de la qualité de ces deux méthodes. D’autres approches pour reconstruire les dérivées sont également possibles, mentionnons notamment celles basées sur des projections L2 locales [21].
Une des méthodes d’adaptation de maillage les plus populaires est basée sur une reconstruc-tion des dérivées. Cette méthode consiste en la construcreconstruc-tion d’une métrique et repose sur la reconstruction des dérivées secondes de la solution éléments finis. Ce que nous allons à présent détailler.
La méthode d’adaptation basée sur la définition d’une métrique est probablement la plus populaire. La littérature à son sujet est très dense (cf. Coupez [25], Hecht et Mohammadi [40], Alauzet [3], Alauzet et Frey [4] par exemple). L’idée est de contrôler la longueur des arêtes suivant une certaine métrique riemannienne. L’approche la plus classique pour construire une métrique adéquate repose sur le calcul de la matrice Hessienne de la solution u, qui sera notée Hu. Il sera pratique de décomposer cette matrice symétrique Hu sous la forme
|Hu| = Qt|Λ|Q, avec |Λ| = |λ1|
0 0 |λ2|
!
(1) où Q est la matrice des vecteurs propres et Λ la matrice des valeurs propres associée. Il n’est pas compliqué de montrer qu’avec la norme définie par
kvk =ph~v|Hu(x)|, ~vi
on est en mesure de définir un espace métrique. C’est à partir de cette métrique que le maillage sera modifié. On remarque l’importance des valeurs absolues dans (1), sans elles, il n’est plus possible de définir un espace métrique.
En général, cette matrice n’est pas connue et est estimée à l’aide de méthodes de reconstruction des dérivées, telles que décrites plus en détails au chapitre 1.
L’idée principale repose ensuite sur l’inégalité suivante, reliant l’erreur d’interpolation à la matrice Hessienne (cf. [4]),
ku − Πh(u)k∞,K ≤ Cdmax
x∈K~v∈EmaxKh~v|H
u(x)|, ~vi (2)
où Cd est une constante dépendant de la dimension d’espace, EK représente l’ensemble des
arêtes de l’élément K, Πh(u) est l’opérateur d’interpolation linéaire de u sur l’élément K et
l’expression h~v|Hu(x)|, ~vi représente la longueur de l’arête dans la métrique induite par H.
En pratique, afin de simplifier (2) on suppose que l’on est en mesure de construire une métrique ˜ M telle que max x∈Kh~v|Hu(x)|, ~vi ≤ h~v, ˜M(K)~vi ∀ ~v ∈ EK. Ainsi, (2) devient ku − Πh(u)k∞,K ≤ Cdmax ~v∈EK h~v, ˜M(K)~vi.
Écrit ainsi, on observe que contrôler la longueur des arêtes dans cette métrique permet de contrôler l’erreur d’interpolation. Ainsi, pour une erreur d’interpolation fixée, la seule variable est la longueur des arêtes dans la métrique ˜M. Le processus d’adaptation va alors jouer sur ces longueurs d’arêtes pour obtenir l’erreur prescrite.
L’erreur d’interpolation εK commise sur un élément est alors estimée par
εK = Cdmax
~v∈EKh~v, ˜M(K)~vi.
En pratique, pour adapter le maillage, on utilise la métrique M dans laquelle localement les arêtes sont de longueur 1 suivant cette métrique. Pour cela, commençons par définir ε comme l’erreur d’interpolation maximale que l’on souhaite commettre sur chaque élément du maillage. Les arêtes du maillage doivent alors vérifier
∀ ~v ∈ EK ε = Cdh~v, ˜M(K)~vi.
On définit ensuite M par
M = CεdM.˜
C’est suivant cette métrique M que le maillage va être modifié. On a en effet, h~v, M(K)~vi = 1 ∀ ~v ∈ EK.
Ce qui signifie que la longueur des arêtes dans la métrique M est 1. Le maillage adapté sera alors le maillage dans lequel les arêtes seront localement de longueur 1 suivant la métrique M. Cela nous garantira alors une erreur d’interpolation de l’ordre de ε sur chaque élément. Enfin ([43]), cette métrique peut être définie à partir des valeurs propres de la matrice Hessienne |Hu| par M = ˜Qtλ ˜˜Qoù ˜ λi = min max Cd|λi|, 1 , 1
avec λivaleurs propre de Hu. Les paramètres hmax, hminpermettent de contrôler les longueurs
minimales et maximales possibles. La métrique construite repose donc essentiellement sur la valeur absolue de l’approximation des valeurs propres de la matrice hessienne Hu. Enfin,
ter-minons par deux remarques. Premièrement, signalons que la procédure conduit à des cartes de métriques amenant de l’anisotropie dans les maillages. Deuxièmement, dans le cas où plusieurs variables sont présentes, il est possible de tenir compte de chacune des métriques associées en réalisant une intersection des différentes métriques. La procédure complète est décrite dans Alauzet et Frey [4].
Malgré les très bon résultats obtenus avec une métrique, il reste que dans certaines situations, il n’est pas possible d’obtenir un maillage optimal, c’est-à-dire un maillage minimisant une certaine norme de l’erreur pour un nombre d’éléments donné. En effet, dans le cas où det(Hu) <
0 (Hessien indéfini), la méthode basée sur la métrique donne des éléments sous-optimaux au sens de D’Azevedo et Simpson [27], i.e ne minimisant plus l’erreur.
La généralisation à des degrés supérieurs est également délicate. Pour ces raisons, nous ne suivrons pas l’approche par métrique dans cette thèse. L’approche que nous allons suivre ne nécessitera que les dérivées premières de la solution éléments finis. De plus notre approche a le mérite de s’étendre facilement à n’importe quel degré d’approximation. La méthode que nous allons exploiter existe déjà, cf. Bois [13], Bois et al. [14], et les résultats sont semblables ou supérieur aux résultats obtenus avec une métrique. Cependant la méthode était relativement peu rapide par rapport à l’approche par métrique. Nous proposons ici des améliorations à la méthode, afin d’accélérer les calculs et d’améliorer la robustesse de la méthode. Avant cela, notre estimateur d’erreur reposant sur une reconstruction des gradients de la solution éléments finis, nous allons dans un premier temps détailler et comparer les procédures existantes pour accomplir cela. Nous verrons par la suite (chapitre 2) la construction de notre estimateur d’erreur, ainsi que les améliorations apportées aux opérations topologiques. Les chapitres 3,4 et 5 feront usage de l’estimateur introduit au chapitre 2 et illustreront les performances de notre méthode d’adaptation dans différents contextes. Enfin, le dernier chapitre sera consacré à un exemple illustrant l’adaptation de maillage dans le cas de simulations instationnaires.
Chapitre 1
Outils préliminaires
1.1
Reconstruction des gradients
Nous allons commencer par détailler une étape qui sera cruciale pour le développement de notre estimateur d’erreur : la reconstruction des dérivées. En effet, comme nous le verrons dans la suite de cette thèse, notre estimateur d’erreur sera très dépendant des gradients re-construits à partir de la solution discrète uh. Plus les dérivées calculées seront précises, plus
notre estimateur d’erreur le sera. L’une des méthodes les plus populaires aujourd’hui est celle développée par Zhang et Naga [59], cette méthode fait partie de la famille des méthodes dites SPR (Superconvergence Patch Recovery), dont fait également partie la méthode de Zienkie-wicz et Zhu [60], qui lui est antérieure. Ce ne sont bien sûr pas les seules, des méthodes basées sur des projections L2 sont également possibles. Ces deux méthodes présentent l’avantage
d’être super-convergentes sur certains types de maillage structuré, dans le sens où
k∇u − ghk0,Ω ≤ Chk+1, (1.1)
k est le degré de l’approximation, h est l’élément de longueur du maillage, et gh représente le
gradient reconstruit. En utilisant la relation suivante,
N ∼ h−d, (1.2)
reliant h à N, le nombre de degrès de libertés, l’équation (1.1) devient alors k∇u − ghk0,Ω ≤ CN−(k+1)/d,
Cependant comme nous allons le voir, les applications que nous allons traiter nécessitent souvent l’utilisation d’éléments anisotropes dans des maillages non structurés. Comme nous le verrons également dans les résultats numériques, nous perdons alors bien souvent la propriété de superconvergence. Cependant, même dans ces cas, nous serons malgré tout en mesure d’obtenir des résultats tout à fait satisfaisants (convergence «super-linéaire»).
Nous allons commencer par un bref rappel de ces deux méthodes, puis mesurer la qualité de la reconstruction dans le cas de maillages anisotropes. Mentionnons tout de suite que la méthode de Zhang & Naga l’emporte du point de vue qualitatif, la méthode de Zienkiewicz & Zhu ap-paraissant sur les résultats numériques servant principalement de point de comparaison. Nous verrons également comment améliorer sensiblement la reconstruction dans certaines situations particulières.
1.1.1 Rappels sur les méthodes de Zienkiewicz & Zhu et Zhang & Naga Dans cette section, nous présentons parallèlement les méthodes de reconstruction de gradients développées par Zienkiewicz et Zhu [60, 61] et Zhang et Naga [59]. Les deux méthodes ont plusieurs points communs, mais la philosophie entre les deux est légèrement différente. Nous essayerons de mettre l’emphase sur les différences entre les deux méthodes.
Supposons que l’on ait déjà calculé une solution discrète continue uk
h, de degré k et que l’on
souhaite calculer une approximation des dérivées gk
h. On souhaite de plus que cette
approxi-mation soit également de degré k et soit continue sur le domaine. L’idée de Zienkiewicz & Zhu est d’utiliser localement l’information de ∇uk
h (qui est de degré k − 1 par élément) pour
construire directement gk
h. Localement, pour chaque sommet x0 du maillage (mais également
pour chaque milieu d’arête en P2) et pour chaque composante j correspondant à une dimension d’espace, on va résoudre un problème de moindres carrés de la forme,
inf gk h∈Pk N X i=1 (gkh)j − ∂ukh(xi) ∂xj 2 , (1.3)
Les xi, i = 1, ..., N, représentent les N nœuds du « patch », que l’on notera P(x0). Pour la
méthode de Zienkiewicz & Zhu, les nœuds xi correspondent (généralement) aux points de
Gauss de l’élément. La dérivée présente dans (1.3) correspond ainsi à la valeur de la dérivée dans l’élément. Pour la méthode de Zhang & Naga, le patch contient « en général » le sommet central sur lequel on cherche à approximer les dérivées ainsi que les sommets adjacents (et les milieux d’arêtes en P2, cf. figure 1.1). En réalité, il peut s’agir de plus que cela, notamment sur le bord du domaine, où rajouter une couche d’éléments est parfois nécessaire.
Contrairement à Zienkiewicz & Zhu où l’on tirait de l’information de ∇uk
h, l’idée de Zhang &
Naga est d’utiliser directement uk
h afin d’en tirer un polynôme p de degré k + 1. Notre
ap-proximation des dérivées gk
h de degré k sera alors tout simplement le gradient de p. En chaque
sommet x0, on va localement construire un polynôme p de degré k + 1. Comme pour
Zien-kiewicz & Zhu, on va résoudre pour chaque composante j d’espace, un problème de moindres carrés de la forme inf p∈Pk+1 N X i=1 |p(xi)− ukh(xi)|2 (1.4)
Les xi, i = 1, ..., N représentent encore une fois les N nœuds du patch P(x0). Nous allons
x0
x1 x12 x2
xi
Figure 1.1 – Exemple de patchP(x0) sur un maillage structuré, patch P2
Mentionnons simplement que la matrice du système pour la méthode de Zienkiewicz & Zhu est relativement semblable, mais comporte moins de colonnes (celles associées aux termes de degré k + 1 ne sont plus présentes). Afin d’écrire le problème de moindres carrés sous sa forme matricielle, posons
p(x) = Pta = ˆPtˆa avec
Pt= [1, x, y, x2, ..., xk+1, xky, ..., yk+1] , ˆPT = [1, ξ, η, ξ2, ..., ξk+1, ξkη, ...ηk+1]
at= [a1, a2, ..., am] , ˆat= [a1, ha2, ..., hk+1am] (1.5)
où le paramètre h est un paramètre de mise à l’échelle (x = hξ, y = ηh), que nous expliciterons dans la section suivante, et m = dim(Pk). La solution du problème (1.4) se caractérise comme
étant la solution du système algébrique suivant
AtAˆa = Atbh (1.6)
avec bT
h = [ukh(x1), ..., ukh(xN)], le vecteur contenant l’évaluation de la solution aux nœuds du
patch et A est la matrice N × dim(Pk), soit N × 2 + k + 1
k + 1 ! en 2D et N × 3 + k + 1 k + 1 ! en 3D définie par A = 1 ξ1 η1 . . . ηk+11 1 ξ2 η2 . . . ηk+12 ... ... ... ... ... 1 ξN ηN . . . ηk+1N
En pratique, nous n’avons pas assemblé le système (1.6) mais avons directement travaillé avec la matrice rectangulaire A afin de résoudre min kAˆa − b k. Ce type de problème est
généralement résolu à l’aide d’une méthode de DVS (Décomposition en Valeurs Singulières) ou à l’aide d’une factorisation QR de la matrice A, Q étant une matrice orthogonale et R une matrice triangulaire supérieure. Mentionnons également, et c’est important en pratique, que la matrice AtA est généralement mal conditionnée, ce qui dans le pire des cas résulte en la perte
de l’unicité de la solution. En utilisant une décomposition en valeurs singulières de la matrice A, cela se traduit par la présence de valeurs singulières très proches de la précision machine. Supposons pour le moment que la résolution du problème de moindres carrés possède une unique solution. Dans le cas de la méthode de Zienkiewicz & Zhu, la résolution du système matriciel issue de (1.3) fournit directement gk
h en xj. Pour Zhang & Naga, la résolution du
système (1.6) nous donne l’expression du polynôme p. Il reste donc une étape supplémentaire, qui consiste à évaluer les dérivées du polynôme p au point xj. L’approximation des dérivées
en xj est alors
gkh(xj) =∇p(xj).
Pour approximer les gradients aux milieux d’arêtes (et au centre des éléments éventuellement) on pourrait très bien créer un patch autour des milieux des arêtes et appliquer la même procédure que pour les sommets (la méthode de Zhang & Naga est en ce sens mesh-free). Cependant, afin d’éviter de boucler et de construire un problème de moindres carrés sur les arêtes, on utilise la relation suivante pour approximer les gradients aux milieux d’arêtes
ghk(xjm) = ∇p1
(xjm) +∇p2(xjm)
2
où xjmdésigne un point au milieu d’une arête et p1et p2 sont les deux polynômes associés aux
extrémités de l’arête. On évalue donc les deux polynômes associés aux extrémités au milieu de l’arête, et on prend ensuite la moyenne des deux valeurs. En utilisant la méthode de Zhang & Naga, les problèmes de moindres carrés sont donc résolus seulement aux sommets des triangles (tétraèdres), contrairement à la méthode de Zienkiewicz & Zhu.
Notons également que l’on peut écrire le polynôme p directement sous la forme d’un dévelop-pement de Taylor, en considérant
Pt= [1, (x− x0), (y− y0), (x− x0)2, ..., (x− x0)k+1, (x− x0)k(y− y0), ..., (y− y0)k+1]
Sous cette forme, très utile en pratique, les coefficients aidans (1.5) sont alors (à une constante
près) ce que l’on recherche, c’est-à-dire les valeurs des dérivées partielles en x0.
Remarquons une propriété intéressante de la méthode de Zhang & Naga : la propriété de préservation des polynômes, en effet si la solution analytique u ∈ Pk+1 alors ∇u(x) = gk
h(x).
Nous avons déjà mentionné que pour obtenir la superconvergence, certaines conditions doivent être requises. Premièrement la constante C dans (1.1) dépend de l’aspect des éléments (plus précisément de l’inverse du rayon de la boule inscrite aux éléments). La propriété de super-convergence va être garantie sur des patchs où les nœuds correspondent aux sommets (et
éventuellement aux milieux d’arêtes) d’un maillage régulier, typiquement d’un maillage struc-turé de type différences finies. Tous les résultats présents dans l’article original [59] sont à ce titre obtenus sur des motifs de maillage particuliers, certains motifs possédant des symétries permettant même d’obtenir de «l’ultraconvergence».
Récemment, Cao [21] a établi la convergence «super-linéaire» des méthodes par patch sur des maillages anisotropes. Plus précisément, la convergence «super-linéaire» est démontrée en 2D dans le cas d’une approximation linéaire où le maillage est quasi-uniforme sous une certaine métrique M = QΛQt. Cela signifie que pour tout élément T ∈ T
h, les éléments
ˆ
T = (QΛ−12)−1T sont de taille et de forme semblables. La quasi-uniformité est également caractérisée de la manière suivante
k(QΛ−12)−1JTk2≈ 1 N Z Ω| det(M)| 1/2 ∀ T ∈ T h,
N étant le nombre total d’éléments et JT étant le jacobien de la transformation affine de
l’élément de référence vers l’élément T ∈ Th. De plus, pour établir le résultat, les dérivées
directionnelles d’ordre 2 et 3 doivent être bornées suivant tout vecteur de R2. Enfin, chaque
paire d’éléments adjacents doit former un O(N−(1+α)/2)-parallélogramme, 0 < α < 1. Cette
notion généralise la notion de O(h1+α) parallélogramme introduite dans Lakhany et al. [44]
et que nous rappelons ci-dessous.
Définition 1.1.1
Une paire d’éléments adjacents forme un O(h1+α)- parallélogramme, 0 < α < 1, si
la distance entre les milieux des deux diagonales du quadrilatère est O(h1+α), ou si le
rapport des longueurs de ses côtés opposés est O(hα), h étant le paramètre de taille
du maillage.
Au lieu d’utiliser la définition géométrique ci-dessus, on peut également utiliser une caractéri-sation en fonction de Jacobiens. Soit T1 et T2 deux éléments partageant une arête commune e
de sommet s3 et s4 et soit s1 (respectivement s2) le sommet opposé à l’arête e dans l’élément
T1 (respectivement T2). Soit alors J1 et J2 les matrices jacobiennes de la transformation affine
du triangle de référence vers T1 et T2. Alors T1∪ T2 forme un O(h1+α) parallélogramme si et
seulement si
kI + J1−1J2k ≈ kI + J1J2−1k = O(hα)
Cette caractérisation permet de définir les O(N−(1+α)/2)-parallélogrammes, généralisation des
O(h1+α)-parallélogrammes pour les maillages anisotropes, cas où le paramètre de taille h n’a
Définition 1.1.2
Soit T1 et T2 deux éléments partageant une arête commune, et J1 et J2 les matrices
jacobiennes de la transformation affine du triangle de référence vers T1 et T2. T1∪ T2
forme un O(N−(1+α)/2) parallélogramme, 0 < α < 1, si et seulement si
kI + J1−1J2k = O(N−α/2)
Soit alors Th un maillage quasi-uniforme sous une métrique M = QΛQt et contenant N
éléments. Si chaque paire d’éléments de Th vérifie la définition1.1.2et si les dérivées
direction-nelles d’ordre 2 et 3 de la solution exacte sont bornées suivant toutes directions de R2, alors
Cao [21] a établi, en 2D et dans le cas d’une approximation linéaire, le résultat suivant k∇u − ghk0,Ω0
N ≤ CN
(−1+α)/2,
avec 0 < α < 1 et où Ω0
N est la région composée des éléments intérieurs. Cependant, le résultat
peut être étendu sur tout le domaine. Plus précisément lorsque les paires d’éléments ne formant pas des O(N−(1+α)/2)-parallélogrammes sont «minoritaires» par rapport aux paires respectant
la condition, un résultat similaire peut être établi. On parle dans ce cas de (α, σ) condition, les paires d’éléments ne vérifiant la définition 1.1.2 étant de mesures O(h−σ), voir [57] pour
plus de détails.
Une dernière remarque importante concerne les sommets sur le bord du domaine. Il est possible qu’en construisant le patch P(xi) contenant les nœuds fournis par les éléments connectés au
sommet xi, on ne dispose pas d’assez de nœuds pour reconstruire un polynôme de degré k + 1
(k pour Zienkiewicz & Zhu). Il faut dans ce cas naturellement élargir la bande d’éléments et aller chercher des voisins supplémentaires.
1.1.2 Scaling de la méthode de Zhang & Naga
Comme déjà mentionné, les matrices issues de ces problèmes de moindres carrés sont très mal conditionnées. Une première astuce déjà mentionnée dans Zhang et Naga [59] consiste à appliquer un scaling à la matrice. Pour chaque patch centré sur le nœud xi le paramètre de
mise à l’échelle hisuggéré dans l’article correspond à la longueur de la plus longue arête attaché
à xi. Notre expérience montre en effet que ce scaling permet déjà d’améliorer grandement le
conditionnement des matrices et la qualité des résultats. Ce scaling se trouve nécessaire même dans le cas isotrope. En effet, sans scaling la résolution du système par une méthode de SVD (Singular Value Decomposition) via la librairie LAPACK peut, dans certains cas, donner des résultats aberrants. Ce constat est renforcé dans le cas de maillages anisotropes.
Afin d’améliorer encore la précision des résultats, et toujours dans l’optique d’obtenir des meilleurs résultats sur des maillages très anisotropes, nous avons utilisé un paramètre de
mise à l’échelle différent dans chaque direction d’espace. En effet, au lieu d’utiliser un seul paramètre représentant la longueur de la plus longue arête relié au sommet xi, qui tient
seulement compte d’une direction, nous pouvons utiliser plusieurs paramètres, deux en 2D, trois en 3D, représentant les longueurs des plus longues arêtes suivant les différents axes, autrement dit, on peut définir
hxi = max xj∈P(xi)|x x j − xxi| hyi = max xj∈P(xi)|x y j − xyi| hzi = max xj∈P(xi)|x z j − xzi|
En pratique, cela revient à prendre dans la résolution du système 1.6le vecteur ˆ
at= [a1, hxa2, hya3, ..., (hx)k+1am−1, (hy)k+1am] (1.7)
Ce scaling permet donc de tenir compte des différentes directions présentes, et apporte une amélioration notable en P2 comme le verrons plus tard dans un cas test présentant une forte anisotropie (figure 1.12).
1.1.3 Applications numériques
Afin de mesurer en pratique la qualité de la reconstruction des dérivées, nous présentons ici plusieurs exemples basés sur des solutions manufacturées. Pour mesurer effectivement le gain, nous faisons apparaître l’ordre de convergence des gradients de la solution éléments finis, i.e k∇u − ∇uhk, les résultats obtenus avec la méthode développée par Zienkiewicz & Zhu et
enfin ceux obtenus avec Zhang & Naga. Tous les résultats de convergence (y compris sur les maillages réguliers) seront exprimés en fonction de N, le nombre de degrés de libertés. Tout d’abord prenons le cas d’une fonction régulière présentant peu de variations,
g(x) = e(−((x−0.5)2+(y−0.5)2)).
Nous allons effectuer les tests de reconstruction à la fois sur maillages uniformes (maillages de type différences finies) et maillages adaptés à la solution. Pour les maillages réguliers, nous effectuons une résolution de −∆u = f avec f = −∆g dans Ω et f = g sur ∂Ω. Pour les maillages adaptés, nous effectuons une série de cinq résolutions-adaptations, puis terminons par une résolution sur le dernier maillage adapté pour ensuite reconstruire les gradients et estimer l’erreur. Un maillage adapté et la solution sont illustrés figure 1.2.
Comme on peut le constater, que ce soit en P1 ou P2, la méthode de reconstruction des gradients par Zhang & Naga est super-convergente sur les maillages réguliers, présentant une pente de -1 en P1 et -1.73 en P2 (figures 1.3et1.4). Rappelons que les ordres de convergence sont exprimés en fonction du nombre de degrés de libertés N (voir (1.2) pour la relation entre h et N). Sur les maillages adaptés, la convergence est super-linéaire en P1, on gagne en effet en général un demi ordre de convergence. En P2, on obtient la superconvergence, comme
Figure 1.2 – Maillage obtenu avec une discrétisation P2 et fonction g.
sur les maillages réguliers. C’est sur ces derniers que l’on voit le net gain de la méthode de Zhang & Naga sur celle de Zienkiewicz & Zhu. Cette dernière n’étant pas (contrairement à ce qu’indiquaient leurs auteurs) superconvergente sur les maillages réguliers. Sur les maillages adaptés, les différences sont moins marquées, mais que l’on soit en P1 ou P2, la méthode de Zhang & Naga permet d’obtenir de meilleurs ordres de convergence.
103 104 105 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 Nombre de DDLs Norme L2 Maillages réguliers
k∇u − ∇uhk0, pente = -0.51
k∇u − g1 hk0, ZN, pente = -1.0) k∇u − g1 hk0, ZZ, pente = -0.77) 104 105 10−5 10−4 10−3 10−2 Nombre de DDLs Norme L2 Maillages adaptés
k∇u − ∇uhk0, pente = -0.50
k∇u − g1
hk0, ZN, pente = -0.88)
k∇u − g1
hk0, ZZ, pente = -0.65)
Figure 1.3 – Courbes de convergence pour les dérivées de la fonction g(x), en P1. Maillages réguliers (haut) et maillages adaptés (bas).
103 104 105 106 10−8 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 Nombre de DDLs Norme L2 Maillages réguliers
k∇u − ∇uhk0, pente = -1.00
k∇u − g1 hk0, ZN, pente = -1.73) k∇u − g1 hk0, ZZ, pente = -1.21) 103 104 105 106 10−6 10−5 10−4 10−3 Nombre de DDLs Norme L2 Maillages adaptés
k∇u − ∇uhk0, pente = -1.02
k∇u − g1
hk0, ZN, pente = -1.52)
k∇u − g1
hk0, ZZ, pente = -1.18)
Figure 1.4 – Courbes de convergence pour les dérivées de la fonction g(x), en P2. Maillages réguliers (haut) et maillages adaptés (bas).
Le deuxième exemple traité porte sur une solution présentant quelques oscillations dans son domaine, soit la fonction
h(x) = sin(6(x2+ y2)).
Comme pour l’exemple précédent, nous résolvons −∆u = f avec f = −∆h dans Ω et f = h sur ∂Ω. La fonction est présentée figure 1.5et les courbes de convergence en P1 et P2 figures
1.6 et 1.7. Concernant la méthode de Zhang & Naga, les résultats sont comparables au cas test précédent, c’est-à-dire que l’on observe la super-convergence sur les maillages structurés et une convergence super-linéaire sur les maillages adaptés. La méthode de Zienkiewicz & Zhu s’en sort relativement mieux sur cet exemple, en particulier en P1 sur les maillages adaptés. La méthode est même dans ce cas légèrement plus précise que Zhang & Naga (figure 1.6). Remarquons également l’anisotropie présente dans certaines zones du maillage adapté (figure
1.5).
103 104 105 10−2 10−1 100 101 Nombre de DDLs Norme L2 Maillages réguliers
k∇u − ∇uhk0, pente = -0.51
k∇u − g1 hk0, ZN, pente = -0.97) k∇u − g1 hk0, ZZ, pente = -0.78) 104 105 10−2 10−1 100 Nombre de DDLs Norme L2 Maillages adaptés
k∇u − ∇uhk0, pente = -0.50
k∇u − g1
hk0, ZN, pente = -0.80)
k∇u − g1
hk0, ZZ, pente = -0.73)
Figure 1.6 – Courbes de convergence pour les dérivées de la fonction h(x), en P1. Maillages réguliers (haut) et maillages adaptés (bas).
103 104 105 106 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 Nombre de DDLs Norme L2 Maillages réguliers
k∇u − ∇uhk0, pente = -1.00
k∇u − g1 hk0, ZN, pente = -1.68) k∇u − g1 hk0, ZZ, pente = -1.23) 103 104 105 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 Nombre de DDLs Norme L2 Maillages adaptés
k∇u − ∇uhk0, pente = -1.01
k∇u − g1
hk0, ZN, pente = -1.35)
k∇u − g1
hk0, ZZ, pente = -1.36)
Figure 1.7 – Courbes de convergence pour les dérivées de la fonction h(x), en P2. Maillages réguliers (haut) et maillages adaptés (bas).
Un dernier cas test, en 3D cette fois-ci, est présenté. Nous reprenons le premier exemple que nous étendons en 3 dimensions, considérons la fonction
g(x) = e(−((x−0.5)2+(y−0.5)2+(z−0.5)2)).
Encore une fois le but est de tester la reconstruction des gradients P1 et P2 sur des cas tests ne présentant pas de grandes difficultés. On note cette fois-ci la superconvergence des gradients reconstruits à la fois sur les maillages adaptés (qui pour ce cas test reste relativement réguliers, cf. figure 1.8) et les maillages réguliers, et ce en P1 et P2. Précisons que pour ce cas test, les résultats présentés ne font apparaître que la méthode de Zhang & Naga, la méthode de Zienkiewicz & Zhu n’ayant pas été mise en oeuvre en 3D.
102 103 104 105 106 10−3 10−2 10−1 Nombre de DDLs Norme L2 Maillage régulier
k∇u − ∇uhk0, pente = -0.36
k∇u − g2hk0, ZN, pente = -0.6 103 104 105 10−2 10−1 Nombre de DDLs Norme L2 Maillages adaptés
k∇u − ∇uhk0, pente = -0.38
k∇u − g2
hk0, ZN, pente = -0.61
Figure 1.9 – Courbes de convergence pour les dérivées de la fonction g(x), en P1. Maillages réguliers (haut) et maillages adaptés (bas).
104 105 106 10−5 10−4 10−3 10−2 Nombre de DDLs Norme L2 Maillage régulier
k∇u − ∇uhk0, pente = -0.69
k∇u − g2hk0, ZN, pente = -1.20 104 105 106 10−4 10−3 Nombre de DDLs Norme L2 Maillages adaptés
k∇u − ∇uhk0, pente = -0.69
k∇u − g2
hk0, ZN, pente = -1.05
Figure 1.10 – Courbes de convergence pour les dérivées de la fonction g(x), en P2. Maillages réguliers (haut) et maillages adaptés (bas).
Pour conclure cette section et illustrer à la fois le scaling directionnel introduit dans la sec-tion précédente et le comportement des deux méthodes de reconstrucsec-tion sur maillages ani-sotropes, traitons un problème plus compliqué. Reprenons tel quel le problème traité dans Durán et Lombardi [31], problème présentant une forte anisotropie. Considérons l’équation de convection-diffusion
−∇ · (∇u) + v · ∇u + cu = f dans Ω ∈ R2
u = uD sur la frontière ΓD
(1.8) Le vecteur v est un vecteur vitesses de convection, c est une constante et f est le terme source. La géométrie du problème est le carré [0, 1] × [0, 1] et, tel que dans [30] prenons
v = (1− 2ε)(−1, −1), c = 2(1 − ε), où ε est un paramètre constant, ε = 10−6 et
f (x, y) =− " x− 1− e−x/ε 1− e−1/ε ! + y− 1− e−y/ε 1− e−1/ε !# ex+y avec ces différents choix, la solution analytique est donnée par
u(x, y) = " x−1− e−x/ε 1− e−1/ε ! y−1− e−y/ε 1− e−1/ε !# ex+y qui s’annule le long de la frontière ΓD.
Nous allons résoudre ce problème sur des maillages dit gradués («graded meshes»), maillages définis dans [31]. Ce sont essentiellement des maillages structurés où les points sur les bords du domaine suivent une progression géométrique. Ces maillages sont construits sur mesure afin de capturer des phénomènes physiques raides, tels que des couches limites. Ces maillages structurés présentent la particularité d’être très anisotropes, et sont de bons candidats afin de tester à la fois la reconstruction et le scaling directionnel.
Il s’agit d’un problème raide. Une solution typique est illustrée à la figure 1.11 montrant les brusques variations de la solution. Puisque ε est petit, le problème est caractérisé par la présence de couches limites très fines à la gauche et en bas du domaine. La solution est régulière mais varie très brusquement dans ces couches limites, qui sont très difficiles à capter avec des maillages uniformes.
La figure 1.12 illustre le comportement de la reconstruction des gradients sur les maillages gradués avec le scaling (uni-directionnel) présenté par [59] et celui multi-dirrectionnel introduit en 1.7. Clairement, le problème est plus difficile en raison de l’anisotropie. Malgré tout, on observe bien la super-convergence avec la méthode de Zhang et Naga en P1, qui s’en sort bien mieux que la méthode de Zienkiewicz et Zhu. Remarquons qu’en P1 il n’y a pas de différences entre les deux scalings. En P2, on observe que le scaling multi-directionnel est nécessaire pour avoir un réel gain, permettant de gagner pratiquement un ordre de convergence par rapport au scaling proposé dans l’article original.
Au vu des résultats exposés dans cette section, il est naturel de se poser la question de savoir quelle méthode choisir. En pratique, on observe que les résultats dépendent fortement de la topologie du maillage, une méthode de reconstruction pouvant faire mieux qu’une autre suivant le maillage sur lequel elle est appliquée. Nos résultats rejoignent en ce sens les résultats établis dans [52], où les auteurs comparent différentes méthodes de reconstructions de gradients afin d’approximer le Hessien. Ici, on se limite aux dérivées premières, car comme nous le verrons par la suite, notre estimateur d’erreur ne nécessite qu’une approximation des dérivées premières. Sur les maillages réguliers, les résultats présentés montrent que la méthode de Zhang & Naga fait toujours mieux que la méthode de Zienkiewicz & Zhu. Sur les maillages adaptés, le résultat est plus contrasté (cf. figures 1.6 et 1.7 où la méthode de Zienkiewicz & Zhu fait mieux). Cependant, sur le dernier cas test présentant de l’anisotropie (figure 1.11), qui est également le cas qui nous intéressa le plus en pratique, on constate que la méthode de Zhang & Naga s’en sort mieux quel que soit le degré de discrétisation. Ainsi, dans la suite de cette thèse, dès qu’il sera mention de reconstructions de gradients, on supposera les calculs effectués avec la méthode de Zhang & Naga avec scaling multi-directionnel.
1.2
Construction d’une solution enrichie
Nous allons à présent voir comment, à partir des gradients reconstruits, nous allons être en mesure de construire une solution dite «enrichie», i.e d’un degré d’approximation plus élevé que notre solution discrète. Dans la suite u désignera une solution analytique (le plus souvent inconnue) d’une EDP quelconque et uk
h désignera une approximation de u de degré k
obtenue par résolution numérique de l’EDP. On supposera que uk
h appartient à un espace dont
les fonctions de base sont continues. Pour bien la distinguer de uk+1
h , qui serait la solution
104 105 101 102 103 Nombre de DDLs Norme L2 Discrétisation linéaire k∇u − g1 hk0, ZN - scaling [59], pente = -0.92)
k∇u − g1hk0, ZN - ani. scaling, pente = -0.92)
k∇u − ∇uhk0, pente = -0.51
k∇u − g1 hk0, ZZ, pente = -0.67) 104 105 106 10−1 100 101 Nombre de DDLs Norme L2 Discrétisation quadratique k∇u − g2 hk0, ZN - scaling [59], pente = -1.04) k∇u − g2
hk0, ZN - ani. scaling, pente = -1.36)
k∇u − ∇uhk0, pente = -1.01
k∇u − g2
hk0, ZZ, pente = -1.49)
Figure 1.12 – Comparaison entre scaling «isotropre» et «anisotrope», en P1 et P2, sur des maillages gradués.
enrichie sera notée ˜uk+1
h . Comme nous allons le voir, la construction de ˜uk+1h va se baser sur
l’approximation des gradients de u. L’idée la plus simple pour obtenir une approximation de ces gradients serait de prendre ∇uk
h. Cependant ukh étant une approximation continue, mais
polynomiale par morceaux, son gradient est discontinu. Or on souhaiterait avoir le plus de régularité possible sur les gradients (dans l’optique d’avoir plus de régularité pour ˜uk+1
h ). Plus
précisément on souhaiterait qu’ils soient continus et qu’ils appartiennent au même espace d’approximation que uk
h. Nous ferons pour cela appel à une méthode de reconstruction de
gradients vue à la section précédente, qui va nous fournir une bien meilleure approximation de ∇u. Pour détailler la suite de la construction de ˜uk+1h , nous supposerons donc que nous avons
à la fois une approximation uk
h de u et une approximation de ∇u que nous noterons ghk, dont
chaque composante sera continue et de même degré que uk h.
L’idée fondamentale est d’utiliser des bases hiérarchiques pour construire ˜uk+1
h , tel que décrit
dans Bank et Smith [11]. Nous allons localement construire une correction ck+1
h de degré k + 1
à partir de l’approximation de degré k. Nous allons donc chercher, élément par élément, ˜uk+1 h
sous la forme
˜
uk+1h = ukh+ ck+1h (1.9)
Le problème revient donc à calculer ck+1
h sur chaque élément. Pour cela, introduisons les
coordonnées barycentriques λi d’un élément K du maillage Th. Les corrections apportées
localement sont alors exprimées en terme des fonctions de bases locales des espaces de Lagrange Pk, i.e sur chaque élément K. L’équation (1.9) devient par exemple en 2D pour k = 1,
˜
u2h= u1h+ c2h = u1h+ 4c1λ1λ2+ 4c2λ2λ3+ 4c3λ1λ3
et pour k = 2, ˜
u3h = u2h+ c3h = u2h+ c1λ1λ2(λ1− λ2) + c2λ2λ3(λ2− λ3) + c3λ1λ3(λ1− λ3) + c4λ1λ2λ3
En P1, cela correspond à rajouter un degré de liberté sur chaque arête, en P2 cela correspond à rajouter un degré de liberté sur chaque arête et au centre du triangle, tel qu’illustré figure
1.13.
L’idée est exactement la même quel que soit le degré d’approximation k. Les inconnues sont alors les coefficients ci apparaissant devant les fonctions barycentriques. L’idée pour trouver
ces coefficients est très simple et fait intervenir notre reconstruction des gradients gk
h. En effet,
il est clair que uk
h étant de degré k, ses dérivées d’ordre k + 1 s’annulent. Cependant nous
pouvons utiliser les dérivées d’ordre k de gk
h, et utiliser le fait que les dérivées d’ordre k + 1
de ˜uk+1
h doivent coïncider avec les dérivées appropriées d’ordre k de gkh. Cela nous conduit à
la résolution d’un système, par exemple le système suivant est obtenu dans le cas linéaire : ∂2c h2 ∂x2 = ∂ghx1 ∂x , ∂2c h2 ∂y2 = ∂ghy1 ∂y , ∂2c h2 ∂x∂y = 1 2 ∂g1 hy ∂x + ∂g1hx ∂y ! , (1.10)
u(1)h + + k = 1 k = 2 c(2)h ↓ ↓ ˆ u(2)h u(2)h c(3)h ˆ u(3)h
Figure 1.13 – Construction de ˜uk+1h , corrections apportées.
Un système similaire peut être obtenu pour k = 2 en utilisant les dérivées d’ordre 3 de c3h et les dérivées d’ordre 2 de g2h. Dans le cas général, un système bien posé de dimension dim(Pk+1)− dim(Pk) est construit sur chaque élément, dont la solution détermine
complète-ment chk+1 sur l’élément. Le système ci-dessus peut être résolu une fois pour toute à l’aide
d’un logiciel de calcul formel (tel que Maple). Cela nous donne alors une expression des co-efficients ci dépendant uniquement de l’arête. Plus précisément, les trois coefficients ci vont
dépendre des coordonnées xi et xj et des gradients reconstruits giet gj associés aux nœuds de
l’arête sur lequel porte le coefficient. Il est très important de noter que cela permet d’assurer la continuité de ˜u2
h à la frontière entre deux éléments. Ainsi, sur une arête partagée entre deux
éléments, la valeur du coefficient calculée sur l’arête sera la même pour les deux éléments. À titre d’exemple, explicitons les coefficients ci obtenus par la résolution du sytème (1.10) en 2D
et pour k = 1 : c12= 1 8(x2− x1)· (g1− g2) c13= 1 8(x3− x1)· (g1− g3) c23= 1 8(x3− x2)· (g2− g3)
Pour illustrer les propriétés de la solution enrichie, nous reprenons un exemple simple de la section précédente. Soit
g(x) = e(−((x−0.5)2+(y−0.5)2)).
Encore une fois nous effectuons une résolution de −∆u = f avec f = −∆g dans Ω et f = g sur ∂Ω. On considère un maillage régulier type différences finies. Une fois les gradients reconstruits sur le maillage, nous construisons la solution enrichie telle que décrite auparavant. On observe
le très bon comportement de la solution enrichie sur les courbes de convergences figure 1.14
et1.15. On gagne un ordre de convergence sur la semi-norme H1 de l’erreur (en terme de N),
que l’on soit en P1 ou P2. Ceci est essentiellement dû à la super-convergence des méthodes de reconstructions de gradients sur ces maillages. Pour ce qui est de la norme L2, on attend de
celle-ci qu’elle se montre plus précise que la solution discrète initiale. C’est le cas figure 1.14. Pour ce test en particulier, on constate même de la super-convergence en norme L2 pour le cas
quadratique. La très bonne convergence obtenue sur les dérivées (pour ce problème, on peut parler d’«ultra-convergence» avec une pente de −1.73 pour la méthode de Zhang & Naga sur le maillage régulier, cf. figure 1.4) et l’aspect régulier du problème traité sont probablement les causes du gain en norme L2.
Pour conclure ce chapitre, reprenons le dernier problème traité dans les applications numé-riques de la section précédente et tiré de Durán et Lombardi [31]. Pour rappel, la solution analytique est donnée par
u(x, y) = " x−1− e−x/ε 1− e−1/ε ! y− 1− e−y/ε 1− e−1/ε !# ex+y.
Nous allons nous intéresser à la construction de la solution dite enrichie (1.9) pour ce problème, construction qui repose, comme nous venons de le voir, sur les gradients reconstruits. De plus cela va nous permettre de comparer les résultats obtenus grâce au post-traitement effectué dans [30] au nôtre. En effet, dans [30] les auteurs proposent un post-traitement intéressant afin d’améliorer la précision de leur solution. L’idée derrière leur post-traitement est très simple : ils supposent que leur maillage actuel est un raffinement d’un maillage plus grossier obtenu par division d’arêtes. Les nœuds de la solution biquadratique sur le maillage grossier sont alors exactement les mêmes que ceux de la solution bilinéaire sur le maillage actuel. La solution post-traitée est alors la solution éléments finis biquadratique construite sur le maillage le plus grossier avec des valeurs nodales calculées sur le maillage plus fin avec l’approximation bilinéaire. Leur post-traitement a un très faible coût, mais est cependant limité à des maillages très réguliers. Ils ont montré, à la fois théoriquement et numériquement, que leur solution post-traitée converge quadratiquement sur les maillages gradués dans la norme H1
ε définie par
kvk2
ε = εk∇vk20 +kvk20. Ce que nous vérifions également avec notre post-traitement, en effet
comme le montre la figure 1.16, en linéaire (figure gauche), nous retrouvons bien la super-convergence sur maillages gradués.
Nous remarquons également que nous n’observons pas cette super-convergence en quadratique, où la solution enrichie converge uniquement à l’ordre optimal. Nous pensons que les maillages gradués sont en quelques sortes optimisés et construits sur mesure pour une résolution linéaire et que les maillages optimaux en quadratique auraient une structure différente. Dans les deux cas, notre enrichissement permet de gagner en précision.
103 104 105 106 10−8 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 Nombre de DDLs Norme L 2
Maillage régulier, discrétisation linéaire
ku − u1hk0, pente = -1.01 ku − ˜u2hk0, pente = -1.01 103 104 105 106 10−12 10−11 10−10 10−9 10−8 10−7 10−6 10−5 Nombre de DDLs Norme L 2
Maillage régulier, discrétisation quadratique ku − u2
hk0, pente = -1.51
ku − ˜u3
hk0, pente = -1.98
Figure 1.14 – Problème régulier, g(x) = e(−((x−0.5)2+(y−0.5)2)). Courbes de convergence de la solution enrichie en norme L2.
103 104 105 106 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 Nombre de DDLs Semi-Norme H 1
Maillage régulier, discrétisation linéaire
|u − u1h|1, pente = -0.51 |u − ˜u2h|1, pente = -1.05 103 104 105 106 10−8 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 Nombre de DDLs Semi-Norme H 1
Maillage régulier, discrétisation quadratique |u − u2
h|1, pente = -1.00
|u − ˜u3
h|1, pente = -1.52
Figure 1.15 – Problème régulier, g(x) = e(−((x−0.5)2+(y−0.5)2)). Courbes de convergence de la solution enrichie en semi-norme H1.
103 104 105 10−3 10−2 10−1 Nombre de DDLs Norme H 1 εde l’erreur Discrétisation Linéaire
Sol. bilinéaire Duran et al, pente:-0.54 Sol. post-traitée Duran et al, pente: -1.08 ku − ˜u2 hkε: gradué, pente: -1.03 ku − u1 hkε: gradué, pente: -0.51 104 105 106 10−4 10−3 10−2 Nombre de DDLs Norme H 1 εde l’erreur Discrétisation quadratique ku − u2 hkε: gradué, pente: -1.0123 ku − ˜u3 hkε: gradué, pente: -0.9853
