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Méthode d'inférence utilisant la vraisemblance empirique basée sur l'entropie pour les modèles de diffusion avec sauts

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Academic year: 2021

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(1)

Méthode d'inférence utilisant la vraisemblance

empirique basée sur l'entropie pour les modèles de

diffusion avec sauts

Mémoire

Francis Laporte

Maîtrise en actuariat - avec mémoire

Maître ès sciences (M. Sc.)

(2)

Méthode d’inférence utilisant la vraisemblance empirique

basée sur l’entropie pour les modèles de diffusion avec

sauts

Mémoire

Francis Laporte

Sous la direction de:

(3)

esum´

e

Avec la venue de mod`eles de plus en plus ´elabor´es pour mod´eliser les rendements boursiers, la m´ethode classique du maximum de vraisemblance pour inf´erer les param`etres n’est g´en´eralement plus applicable puisque, par exemple, la fonction de densit´e n’est pas disponible ou tr`es difficile `

a calculer num´eriquement. Dans la litt´erature, l’inf´erence par la m´ethode des moments (MM) est donc g´en´eralement sugg´er´ee. Dans ce m´emoire, une m´ethode d’inf´erence plus efficace, soit celle du maximum de vraisemblance empirique bas´e sur l’entropie (MEEL), est propos´ee pour deux cas particuliers du processus de L´evy, soit les mod`eles de Merton et de Tsay. Premi`erement, un retour sur certains mod`eles d´evelopp´es par le pass´e est fait. Les lacunes du mouvement brownien g´eom´etrique sont pr´esent´ees afin de justifier l’utilisation de mod`eles plus ´

elabor´es. Ensuite, les deux mod`eles, Merton et Tsay, et leurs propri´et´es sont pr´esent´es plus en d´etail. Par la suite, il y a une analyse comparative entre l’efficacit´e du MEEL et celle du MM ; un exemple sur des donn´ees r´eelles est aussi pr´esent´e. Pour terminer, deux approches de tarification de produits d´eriv´es sont pr´esent´ees.

(4)

Abstract

With the advent of increasingly sophisticated models for modeling stock market returns, the classical maximum likelihood method for inferring parameters is generally no longer applicable since, for example, the density function has no closed form or very difficult to calculate numerically. In the literature, inference by the method of moments (MM) is therefore generally suggested. In this master’s thesis, a more efficient inference method, the maximum empirical entropy likelihood (MEEL), is proposed for two particular cases of the L´evy process, namely the Merton and Tsay models. First, a review of some models developed in the past is done. The flaws of the geometric Brownian motion are presented to justify the use of more sophisticated models. Then, the two models, Merton and Tsay, and their properties are presented in more detail. Subsequently, there is a comparative analysis between the effectiveness of the MEEL and the MM; an example with real data is also presented. Finally, two approaches to pricing derivatives are presented.

(5)

Table des mati`

eres

R´esum´e iii

Abstract iv

Table des mati`eres v

Liste des tableaux vii

Liste des figures ix

Rermerciements x

Introduction 1

1 Mod`eles de rendements financiers 3

1.1 Rendements financiers et notations . . . 3

1.2 Retour sur les premiers mod`eles . . . 5

1.3 Mod`ele de Black-Scholes . . . 10

2 Mod`eles bas´es sur les lois infiniment divisibles 16 2.1 D´efinition . . . 16

2.2 Processus de L´evy . . . 17

2.3 Processus subordonn´e . . . 18

2.4 Processus de Laplace . . . 19

3 Processus avec sauts 25 3.1 Mod`ele de Merton . . . 25

3.2 Mod`ele de Tsay . . . 29

4 Inf´erences 34 4.1 Maximum de vraisemblance . . . 34

4.2 M´ethode des moments . . . 36

4.3 Maximum de vraisemblance empirique bas´e sur l’entropie . . . 42

4.4 Initialisation d’un optimisateur . . . 49

4.5 Comparaison des estimateurs . . . 53

4.6 Exemple appliqu´e du MEEL . . . 59

5 Tarification de produits d´eriv´es 64 5.1 D´efinitions . . . 64

(6)

5.2 Evaluation neutre au risque . . . .´ 67 5.3 M´ethodes num´eriques . . . 69 5.4 Exemple . . . 78

Conclusion 87

A Tableaux de r´esultats de la tarification 89

(7)

Liste des tableaux

1.1 Asym´etrie et exc`es d’aplatissement pour le TSX. . . 13

2.1 Cas particuliers de la distribution de GAL. . . 23

4.1 Merton - Efficacit´e relative globale avec sensibilit´es sur σ et δ. θ=0.00, λ=0.04 et τ= −0.02. . . 54

4.2 Merton - Efficacit´e relative globale avec sensibilit´es sur λ et τ. θ =0.00, σ=0.01 et δ=0.02. . . 55

4.3 Merton - Efficacit´e relative par param`etre pour λ=0.01 et λ=0.08. θ=0.00, σ =0.01, τ= −0.02 et δ=0.02. . . 55

4.4 Merton - Efficacit´e relative globale avec sensibilit´es sur λ et σ. θ =0.00, τ=0.00 et δ=0.02. . . 56

4.5 Tsay - Efficacit´e relative globale avec sensibilit´es sur σ et η. θ=0.00, λ=0.04 et κ= −0.02. . . 57

4.6 Tsay - Efficacit´e relative globale avec sensibilit´es sur λ et κ. θ=0.00, σ=0.01 et η=0.02. . . 58

4.7 Tsay - Efficacit´e relative globale avec sensibilit´es sur λ et σ. θ =0.00, κ = −0.04 et η=0.02. . . 58

4.8 Param`etres initiaux obtenus pour le Bitcoin. . . 60

4.9 Param`etres estim´es pour le Bitcoin par l’estimateur MEEL. . . 60

4.10 Param`etres estim´es pour le Bitcoin par l’estimateur MM. . . 61

4.11 Intervalles de confiance `a 95% pour les param`etres du mod`ele de Merton. . . . 62

4.12 Intervalles de confiance `a 95% pour les param`etres du mod`ele de Tsay. . . 63

4.13 R´esultats du test d’ad´equation pour le mod`ele de Merton et de Tsay. . . 63

5.1 Asym´etrie, exc`es d’aplatissement et test de JB pour le fonds XEG. . . 79

5.2 Param`etres initiaux pour l’estimation avec le fonds XEG. . . 80

5.3 Param`etres estim´es pour le fonds XEG par l’estimateur MEEL. . . 80

5.4 Intervalles de confiance `a 95% pour les param`etres du mod`ele de Merton - Fonds XEG. . . 82

5.5 Intervalles de confiance `a 95% pour les param`etres du mod`ele de Tsay - Fonds XEG. . . 82

5.6 Param`etre ˜θ pour le mod`ele de Merton et de Tsay. . . 82

5.7 Caract´eristiques des options europ´eennes. . . 83

5.8 Caract´eristiques des options bermudiennes. . . 85

A.1 Prix des options de vente europ´eennes avec la m´ethode de Euler. . . 89

(8)

A.3 Prix des options de vente bermudiennes avec la m´ethode de COS. . . 90 A.4 Prix des options de vente am´ericaines avec la m´ethode de COS. . . 90

(9)

Liste des figures

1.1 Comparaison de la distribution des rendements du TSX avec la loi normale. . . 13

1.2 Evolution de la volatilit´´ e des rendements du TSX. . . 14

3.1 Comparaison de la fonction de densit´e du mod`ele de Merton et de la loi normale. 28 3.2 Exemple de trajectoire deS(t)sous le mod`ele de Merton. . . 28

3.3 Comparaison de la fonction de densit´e du mod`ele de Tsay et de la loi normale. 31 3.4 Exemple de trajectoire deS(t)sous le mod`ele de Tsay. . . 32

4.1 Densit´e des rendements du Bitcoin. . . 59

5.1 Fonction de densit´e de Merton calcul´ee par la m´ethode de COS. . . 72

5.2 Fonction de densit´e de Tsay calcul´ee par la m´ethode de COS. . . 73

5.3 Fonction de densit´e de Tsay calcul´ee par la m´ethode de COS avec λ=0.5. . . 73

5.4 Sch´ematisation de la m´ethode r´etrograde. . . 75

5.5 Sch´ematisation des ´etapes de calcul pour l’option bermudienne. . . 78

5.6 Evolution de la valeur normalis´´ ee du fonds XEG. . . 79

5.7 Densit´e des rendements du fonds XEG. . . 80

5.8 Densit´e des rendements du fonds XEG compar´ee `a celle de Merton. . . 81

5.9 Densit´e des rendements du fonds XEG compar´ee `a celle de Tsay. . . 81

5.10 Densit´e du mod`ele de Merton sous la mesureP et Q. . . . 83

5.11 Densit´e du mod`ele de Tsay sous la mesure P et Q. . . . 83

5.12 Prix des options de vente europ´eennes avec la m´ethode de Euler. . . 84

5.13 Prix des options de vente europ´eennes avec la m´ethode de COS. . . 84

5.14 Prix des options de vente bermudiennes avec la m´ethode de COS. . . 85

(10)

Remerciements

Je tiens `a remercier dans un premier temps mon superviseur, Andrew Luong, pour son ac-compagnement dans ma maˆıtrise. Par le partage de ses connaissances et sa disponibilit´e, ce projet fut agr´eable et tr`es enrichissant. M. Luong m’a aussi grandement aid´e dans la r´edaction de ce m´emoire et m’a aid´e `a approfondir mes connaissances dans les math´ematiques financi`eres.

En plus de M. Luong, je dois ´egalement remercier les correcteurs, M. Ghislain L´eveill´e et M. Ilie Radu Mitric, pour leurs g´en´ereux commentaires.

J’aimerais ´egalement remercier chaleureusement mes amis, mes coll`egues et ma famille pour leurs encouragements et supports tout au long de ma maˆıtrise. Tout particuli`erement `a Camille, `

a qui je serai ´eternellement reconnaissant pour tout le soutien qu’elle m’a donn´e.

Finalement, j’aimerais remercier la Banque Nationale, l’Institut Canadien des Actuaires et la Chaire d’actuariat de l’Universit´e Laval pour leur soutien financier.

(11)

Introduction

Les mod`eles math´ematiques pour repr´esenter les rendements boursiers, couramment utilis´es aujourd’hui dans la litt´erature et dans la pratique, se sont grandement complexifi´es depuis le mouvement brownien g´eom´etrique utilis´e par Black-Scholes. Par exemple, certains auteurs proposent des mod`eles incluant de la volatilit´e stochastique et d’autres incluant des processus de sauts ; il est mˆeme possible de m´elanger ces deux derni`eres caract´eristiques et d’y inclure de la corr´elation. Aussi, d’autres lois de probabilit´e peuvent ˆetre utilis´ees en remplacement de la loi normale ; la loi stable en est un exemple. L’objectif de cette sophistication est de mieux repr´esenter les caract´eristiques observ´ees sur le march´e. Ce m´emoire s’int´eresse principalement `

a deux cas particuliers du processus de L´evy, soit les mod`eles de Merton et de Tsay. Ces deux derniers sont des processus avec sauts.

Une difficult´e rencontr´ee par l’utilisation de mod`eles sophistiqu´es est l’estimation de leurs param`etres. Souvent, la fonction de densit´e n’a pas de forme explicite et, par cons´equent, la m´ethode classique d’estimation par maximum de vraisemblance n’est pas applicable ; celle-ci n´ecessite la fonction de densit´e. L’estimation par la m´ethode des moments est g´en´eralement utilis´ee en remplacement. La motivation de ce m´emoire est d’obtenir une approche plus efficace pour nos deux mod`eles. La principale originalit´e est l’utilisation du maximum de vraisemblance empirique bas´e sur l’entropie associ´ee aux mod`eles de Merton et de Tsay. Cette m´ethode ne n´ecessite pas la fonction de densit´e ; elle peut se limiter `a l’utilisation de la fonction g´en´eratrice des moments par exemple.

Dans le premier chapitre, la notation utilis´ee dans ce m´emoire est pr´esent´ee. Il y a aussi une revue de certains mod`eles utilis´es par le pass´e. Les lacunes du mod`ele de Black-Scholes sont ´

egalement pr´esent´ees. Le deuxi`eme chapitre aborde les mod`eles bas´es sur les lois infiniment divisibles, soit les processus de L´evy, et leurs propri´et´es. Le cas particulier, soit le processus de Laplace, tr`es connu en finance est aussi pr´esent´e. Au troisi`eme chapitre, les mod`eles de Merton et de Tsay et leurs propri´et´es sont pr´esent´es plus en d´etail. Dans le quatri`eme chapitre, le maximum de vraisemblance bas´e sur l’entropie est introduit et une revue des m´ethodes classiques est faite. Aussi, il y a une analyse comparative de l’efficacit´e entre la m´ethode propos´ee et la m´ethode des moments. Des approches pour trouver un bon vecteur de param`etres

(12)

initial `a un optimisateur num´erique sont ´egalement propos´ees. Ce chapitre termine avec un exemple d’estimation sur des donn´ees r´eelles. Finalement, le cinqui`eme chapitre pr´esente des m´ethodes de tarification de produits d´eriv´es pour nos deux mod`eles. Pour ce faire, certaines notions sur l’´evaluation neutre au risque sont d’abord introduites. Il sera vu que la m´ethode de COS permet de retrouver tr`es efficacement la fonction de densit´e `a partir de la fonction caract´eristique.

(13)

Chapitre 1

Mod`

eles de rendements financiers

L’utilisation de mod`eles de march´e est aujourd’hui un incontournable pour les institutions financi`eres. Ceux-ci permettent, entre autres, d’´evaluer les prix d’actifs financiers et de faire de la saine gestion des risques. Depuis celui d´evelopp´e parBachelier (1900), les mod`eles propos´es dans la litt´erature se sont grandement complexifi´es afin de mieux repr´esenter les caract´ eris-tiques observ´ees sur le march´e. Suite `a la publication de Black and Scholes(1973), qui ´etablit les fondements de l’´evaluation d’options, les mod`eles de march´e ont atteint une grande notori´et´e. Le chapitre 1 fait un retour sur les premiers mod`eles de dynamique de march´e apr`es une introduction sur la notation utilis´ee. Ensuite, le mod`ele de Black-Scholes est introduit, ainsi que ses lacunes. Les mod`eles plus couramment utilis´es aujourd’hui seront introduits dans les chapitres suivants.

1.1

Rendements financiers et notations

Lorsque la dynamique du prix d’un actif peut ˆetre d´ecrite par un mod`ele, les propri´et´es des rendements de l’actif sont en g´en´eral l’int´erˆet principal.Campbell et al. (1997) donnent deux raisons pour expliquer l’int´erˆet aux rendements. Premi`erement, le rendement est un r´esum´e complet et libre d’´echelle. Deuxi`emement, les rendements ont des propri´et´es statistiques plus int´eressantes, par exemple, la stationnarit´e et l’ergodicit´e. Pour les actions, le rendement est principalement compos´e du gain en capital et des dividendes vers´es ; pour les obligations, ce sont des coupons au lieu des dividendes.

Il y a deux m´ethodes couramment utilis´ees pour calculer le rendement d’un actif ; soit les rendements simples, ou soit, les rendements compos´es en continu. Ici, les rendements sont suppos´es compos´es en continu. C’est en g´en´eral l’hypoth`ese utilis´ee afin de rendre les math´ e-matiques plus tractables. Le prix d’un actif au temps T est repr´esent´e par S(T) > 0. Avec

(14)

notre hypoth`ese, le prix peut s’´ecrire sous la forme

S(T) =S(0)eR0Tx(t)dt, (1.1)

o`u, x(t), est le rendement al´eatoire `a l’instant t et, S(0), est suppos´e connu. Le prix d’un actif est habituellement observ´e `a des temps discrets, par exemple, `a la fermeture des march´es. Les rendements sont suppos´es constants entre chacune des n observations sur l’intervalle [0, T]. Par cons´equent, l’´equation 1.1se r´e´ecrit sous la forme

S(T) =S(0)e∑ni=1xi∆ti, (1.2)

o`u xi est le rendement continu constant sur [ti−1, ti]; ti correspond au temps de la ii`eme

observation ; 0= t0 < t1 < · · · <ti < · · · < tn= T ; et ∆ti =ti−ti−1. De l’´equation 1.2, il

est observ´e que le rendement sur plusieurs p´eriodes est la somme des rendements de chacune des p´eriodes ; ce qui n’aurait pas ´et´e le cas pour les rendements simples. Afin de calculer les rendements observ´es sur le march´e, l’´equation1.2 se r´e´ecrit sous la forme

xi∆ti =ln  S(ti) S(ti−1)  xi∆ti =ln(S(ti)) −ln(S(ti−1)), (1.3)

pour i=1, . . . , n. Ensuite, les intervalles de temps sont suppos´es r´eguliers, soit ∆ti =∆t=1.

L’intervalle de temps peut repr´esenter 1 heure, 1 jour, 1 mois, etc. ; l’important c’est qu’il soit constant `a travers les observations. Le rendement cumul´e, X(T), est donc repr´esent´e par

X(T) = n

i=1 xi X(T) = n

i=1 ln(S(i)) −ln(S(i−1)) (1.4) X(T) =ln(S(T)) −ln(S(0)). (1.5) En pr´esence de dividendes pay´es par l’actif, l’´equation 1.4prend la forme

X(T) = n

i=1

ln(S(i) +D(i)) −ln(S(i−1)),

o`u D(i) est le dividende pay´e dans la p´eriode [i−1, i] et, donc, le prixS(i) n’inclut pas le dividende. Par cons´equent, l’´egalit´e 1.5 n’est pas valide en pr´esence de dividendes. Pour le reste du m´emoire, les dividendes sont ignor´es.

Ensuite, il est suppos´e que les rendements, x1, . . . , xn, sont ind´ependants et identiquement

distribu´es ; autrement dit, X(T)est un processus de L´evy. Ce processus est pr´esent´e plus en d´etail au chapitre2. Il y a des avantages `a utiliser des intervalles de temps r´eguliers ; l’applica-tion des m´ethodes d’inf´erences et les simulations sont grandement simplifi´ees. ´Evidemment,

(15)

pour permettre aux rendements d’ˆetre identiquement distribu´es, il faut au pr´ealable que les intervalles de temps soient r´eguliers.

Aussi, il est important de d´efinir la fonction g´en´eratrice des moments puisqu’elle est souvent requise pour l’utilisation de mod`eles o`u la fonction de densit´e n’a pas de forme explicite ; ce sera justement le cas pour ceux utilis´es aux chapitres2 et3. Cette fonction est d´efinie par

MY(s) = Z ∞ −∞e syf Y(y)dy = EhesYi, (1.6)

o`u Y est une variable al´eatoire et s ∈ R ; il est suppos´e que l’´equation1.6 existe pour tout s. Par les hypoth`eses ´etablies pr´ec´edemment, la fonction g´en´eratrice des moments de X(T)

s’´ecrit sous la forme

MX(T)(s) = n

i=1 Mxi(s) MX(T)(s) = (Mx(s))n, (1.7)

o`u x1, . . . , xn ∼ x. Le fait d’utiliser une distribution pour les rendements, x, qui est ferm´ee

sous la convolution apporte un net avantage. En effet, il est alors possible de prendre cette mˆeme distribution pour les rendements cumul´es, X(T), en ajustant les param`etres pour la longueur d’intervalle T comme il est observable par l’´equation1.7.

1.2

Retour sur les premiers mod`

eles

1.2.1 Mod`ele de Bachelier

Le mod`ele fondateur propos´e parBachelier(1900) introduit pour la premi`ere fois le mouvement brownien en finance. Malgr´e son innovation importante pour l’´epoque, son article ne re¸coit pas beaucoup d’attention.

Dans ce mod`ele, il est suppos´e que le prix d’une action, S(t), peut varier dans l’intervalle

[−∞, ∞). Mˆeme si en principe, S(t) peut seulement subir une variation dans l’intervalle

[−S(t),∞), une variation absolue sup´erieure `a S(t)est suppos´ee n´egligeable. Aussi, les proba-bilit´es de variations de S(t)sont ind´ependantes de celle-ci. Autrement dit, les variations sont ind´ependantes du niveau du prix. De plus, la distribution des variations est sym´etrique autour de S(t).

La fonction de densit´e des variations est d´etermin´ee `a l’aide du principe de la probabi-lit´e compos´ee. De ce principe, la probabilit´e de deux ´ev´enements ind´ependants est le produit de la probabilit´e de ceux-ci. D’abord, notons, px,t1dx, la probabilit´e que le prix de l’action

(16)

prenne une valeur dans l’intervalle [S(0) +x, S(0) +x+dx]au temps t1 (ou plus simplement

dit, prenne la valeur S(0) +x). Il faut chercher `a d´eterminer la probabilit´e que l’action prenne la valeur S(0) +z au temps t1+t2, not´e pz,t1+t2dz. Donc, avec les probabilit´es compos´ees, il

est possible de trouver que cette probabilit´e est donn´ee par pz,t1+t2dz= Z ∞ −∞px,t1pz−x,t2dxdz pz,t1+t2 = Z ∞ −∞px,t1pz−x,t2dx. (1.8)

En effet, la partie droite de l’´equation1.8indique que l’action varie d’abord de x au temps t1

et, ensuite, de z−x au temps t1+t2. Il suffit alors de sommer pour toutes les valeurs dex.

Donc, la fonction de densit´e px,t doit satisfaire l’´equation1.8. La solution propos´ee est de la

forme p(x, t) = Ae−B2x2, avec la condition Z ∞ −∞Ae −B2x2 dx=1,

afin que px,t soit bien une fonction de densit´e. La condition implique que

B= A√π.

En posant x=0, il est observ´e que A= p0,t; A est alors la probabilit´e que l’action ne varie

pas. Par cons´equent, la solution prend la forme p(x, t) = p0,te−π p

2

0,tx2. (1.9)

Il est maintenant possible de r´esoudre l’´equation1.8, soit la densit´e de probabilit´e pz,t1+t2. Le

r´esultat est donn´e par

pz,t1+t2 = px,t1pz−x,t2 q p2 x,t1+p 2 z−x,t2 e −π p2x,t1p2z−x,t2 p2x,t1+p2z x,t2 z2 .

Avec un changement de variable, il est facilement observ´e que l’´equation1.9 est la fonction de densit´e de la loi normale. En effet, avec σt2 = 1

2π p2 0,t , l’´equation 1.9devient p(x, t) = √ 1 2πσt e− 1 2σ2x2 t.

Puisque la moyenne est ´egale `a z´ero, la distribution est bien centr´ee autour de S(0). Il est aussi possible de montrer que σt est de la forme σt=σ

t. Puisque les variations successives sont ind´ependantes, le mod`ele implique que

(17)

Les variations sont, en effet, ind´ependantes du niveau du prix. Pour les mod`eles qui ont suivis celui de Louis Bachelier, les variations sont g´en´eralement proportionnelles au prix. C’est le mod`ele deOsborne(1959) qui propose que ce sont les variations du logarithme du prix qui suivent une loi normale, c’est-`a-dire

ln(S(T)) −ln(S(t)) ∼N(0, σ2(T−t)).

L’utilisation de la loi normale pour mod´eliser les rendements est souvent critiqu´ee dans la litt´erature puisqu’elle ne permet pas d’expliquer plusieurs observations empiriques. Les critiques de la loi normale sont abord´ees `a la section1.3.

1.2.2 Mod`ele de Mandelbrot

Le mod`ele propos´e par Mandelbrot(1997) tente de pallier `a certaines lacunes du mouvement brownien suppos´e par le mod`ele deBachelier (1900). L’auteur mentionne, par exemple, que la forme pointue habituellement pr´esente dans les distributions empiriques ne peut ˆetre expliqu´ee par la loi normale.

Pour s’y faire, il propose de remplacer la loi normale par la loi stable. Une variable al´eatoire X est de loi stable si elle v´erifie la propri´et´e de L-stabilit´e, soit

(a1X1+b1) + (a2X2+b2)

d

= aX+b, (1.10)

pour∀a1, a2>0 et ∀b1, b2, o`u

d

=est l’´egalit´e en distribution. Les variables al´eatoiresX1 et X2

sont des copies ind´ependantes deX. La propri´et´e1.10indique que l’addition de deux variables al´eatoires appartient `a la mˆeme famille. C’est cette propri´et´e qui rend la loi stable attrayante pour d´ecrire la distribution empirique des rendements (Fama(1965)). Paul L´evy propose une solution g´en´erale `a l’´equation 1.10; il trouve que le logarithme de la fonction caract´eristique, φX(u) =MX(ui), est donn´e par

ln(φX(u)) =iδuγ|u|α  1+  u |u|  tanαπ 2  ,

o`u i2 = −1 est le nombre imaginaire habituel de l’analyse complexe. Lorsque α = 2, la loi normale est retrouv´ee ; et lorsque α=1 et β=0, la loi de Cauchy. De la fonction caract´eristique φX(u), il est observ´e que la variable al´eatoire d´efinie par

XN = N

k=1

xk,

o`u lesxk sont ind´ependants et de loi stable, est aussi de loi stable avec les mˆemes param`etres

α et β. Les param`etres δ et γ sont multipli´es par N. Donc, il s’en suit que xk−δ et 1 N1/α N

k=1 (xk−δ)

(18)

ont la mˆeme distribution, ce qui est une caract´eristique tr`es connue pour la loi normale. Le param`etre α ∈]0, 2] d´etermine l’aplatissement de la distribution ; plus α est petit, plus les queues de distribution sont ´epaisses. Lorsque α>1, le param`etre de localisation, δ∈] −∞, ∞[, est la moyenne de la distribution. β ∈] −1, 1]d´etermine l’asym´etrie ; le param`etre est seulement d´efini lorsque α6=1. Plus la valeur absolue de β est grande, plus l’amplitude de l’asym´etrie est importante. Le cas sym´etrique correspond `a β = 0 ; l’asym´etrie n´egative, `a β < 0 ; et, l’asym´etrie positive, `a β>0. ´Evidemment, δ est aussi la m´ediane lorsque β= 0. γ∈]0,∞[

est le param`etre d’´echelle. La loi stable a la particularit´e d’avoir une variance finie seulement lorsque α=2, soit lorsqu’elle se r´esume `a une loi normale. De plus, la moyenne existe seulement pour α >1. Lorsque α<1 et β6=0, δ n’a pas de signification explicite.

Fama explique que le mod`ele de Mandelbrot est en quelque sorte une g´en´eralisation du mod`ele de Bachelier. Le th´eor`eme central limite stipule que la somme

X(T) = n

i=1

xi

tend vers une loi normale lorsque le nombre de sous-intervalles augmente pour T fixe ; autre-ment dit, le rendeautre-ment cumul´e peut ˆetre approxim´e par la loi normale, et ce, peu importe la distribution de xi. Cet argumentaire pour justifier l’utilisation de la loi normale se retrouve

dans Osborne (1959). Or, l’application du th´eor`eme n´ecessite que la moyenne et la variance soient finies. Donc, le mod`ele de Mandelbrot est plus g´en´eral puisqu’ils n’ont pas `a ˆetre finis. Les moments d’ordre sup´erieur non d´efinis permettent d’expliquer le comportement erra-tique dans les moments empiriques et la discontinuit´e dans la variation des prix. Elles per-mettent aussi d’expliquer l’autocorr´elation observ´ee empiriquement dans la variance. En fait, puisque la variance n’est pas d´efinie, les tests statistiques classiques ne sont pas applicables et m`enent `a des r´esultats erron´es. La variance ind´efinie a aussi de l’impact sur l’utilisation des r´egressions lin´eaires et la gestion de portefeuille (par exemple, lorsqu’il faut optimiser la moyenne/variance du portefeuille d’actions). Pour pallier au probl`eme de la variance, d’autres mesures de dispersion sont sugg´er´ees tel que l’´ecart absolu moyen d´efini par

D= 1 N N

k=1 |xk− ¯x|.

De plus, la fonction de densit´e n’a pas de forme explicite et cela rend les m´ethodes d’inf´erences et de tarifications d’options plus difficilement applicables.

1.2.3 Mod`ele de Press

Le mod`ele de Press(1968) propose un ajout int´eressant au mouvement brownien g´eom´etrique. Le mod`ele est l’addition du processus de Wiener, W(t), et d’un processus Poisson compos´e, lequel est compos´e de variables al´eatoires normalement distribu´ees. Le mod`ele peut ˆetre vu

(19)

comme un cas particulier du processus de L´evy. Le processus de poisson s’interpr`ete comme l’arriv´ee d’un nombre d’informations impactant le prix de l’action et, W(t), un certain bruit inexplicable dans le processus. Contrairement au mod`ele de Bachelier, Press mod´elise le logarithme de la variation des prix afin de reconnaˆıtre que la magnitude des variations d´epend du niveau des prix.

Le processus de Poisson, N(t), d´etermine le nombre d’informations re¸cues au temps t ; le param`etre du processus est λt, o`u λ est une fr´equence. Une information re¸cue g´en`ere un saut Yk ∼ N(θ, σ12). Les variables al´eatoiresYk,k =1, . . . , N(t), sont ind´ependantes et

identique-ment distribu´ees. En reprenant la notation de la section1.1, le rendement cumul´e est donn´e par X(T) = N(T)

k=1 Yk+W(T),

o`uW(T) ∼N(0, σ22T)est un processus de Wiener ; et N(T),Yk etW(T)sont mutuellement

ind´ependantes. L’incr´ement xi sur la p´eriode [i−1, i] est d´efini par

xi =

N(i)

k=N(i−1)+1

Yk+W(i) −W(i−1),

pour i=1, . . . , n. `A noter que les incr´ements, x1, . . . , xn, sont stationnaires et ind´ependants ;

donc, X(T) est bien un processus de L´evy. De plus, la fonction de densit´e de x, comme celle de X(T), n’est pas une fonction simple puisqu’elle implique une somme infinie d’´el´ements, soit

fx(x) = ∞

k=0 e−λ λk k! e− 1 2 (x−θk)2 a2k ak ,

o`u a2k = σ22+12. Le mod`ele de Press n´ecessite l’utilisation de la fonction de caract´ eris-tique, comme c’est souvent le cas pour les processus de L´evy. Le logarithme de la fonction caract´eristique de x est donn´e par

ln φx(u) = − σ22u2 2 +λ  eiθuσ21 u2 2 −1  .

La fonction g´en´eratrice des moments est aussi pr´esent´ee puisqu’elle est utile pour les m´ethodes d’inf´erences. Elle est donn´ee par

Mx(s) =φx(−is) =e σ22s2 2 +λ e θs+σ212s2 −1 ! .

Dans son article, Press sugg`ere l’utilisation des cumulants pour estimer les param`etres de la distribution de x. Des m´ethodes plus efficaces seront pr´esent´ees au chapitre 4. Le ni`eme cumulant est d´efini par

Kn = dnln(Mx(s)) dsn s=0 . (1.11)

(20)

Pour d´eterminer les 4 param`etres, les 4 premiers cumulants th´eoriques sont utilis´es, soit K1=λθ,

K2=σ22+λ(θ2+σ12),

K3=λθ(θ2+12) >0 ou<0, K4=λ(θ4+2σ12+14) >0.

Par ces cumulants th´eoriques, il est observ´e que le mod`ele procure une plus grande flexibilit´e dans la mod´elisation des rendements. En effet, il est possible de contrˆoler l’asym´etrie, mesur´ee par K3; elle est positive si θ>0 et n´egative si θ <0. De plus, les queues de distribution sont

plus lourdes que ceux de la loi normale puisque K4 > 0. Ensuite, les cumulants empiriques

sont donn´es par

ˆ K1 =m1, ˆ K2 =m2−m21, ˆ K3 =m3−3m1m2+2m31, ˆ K4 =m4−3m22−4m1m3+12m21m2−6m41,

o`umj est le moment empirique d’ordrej, soit

mj = 1 T T

k=1 [xk]j.

Donc, les param`etres sont estim´es en r´esolvant 0= ˆθ4−  2Kˆ3 ˆ K1  ˆθ2+ 3 2 ˆ K4 ˆ K1  ˆθ− 1 2 ˆ K2 3 ˆ K21 ! , (1.12) ˆλ= Kˆ1 ˆθ , (1.13) ˆσ12= Kˆ3− ˆθ 2Kˆ 1 3 ˆK1 , (1.14) ˆσ22=Kˆ2− 1 3 ˆθ 2 ˆK1ˆθ 2+Kˆ 3 , (1.15)

o`u ˆθ est trouv´e num´eriquement.

Le mod`ele de Merton, qui est pr´esent´e `a la section 3.1, est tr`es semblable `a celui de Press. La diff´erence se situe dans le processus de Wiener, o`u Merton suppose un param`etre de localisation diff´erent de 0.

1.3

Mod`

ele de Black-Scholes

`

A pr´esent, le c´el`ebre mod`ele deBlack and Scholes (1973) (BS) est introduit. Ce dernier est souvent utilis´e comme r´ef´erence dans l’introduction de mod`eles plus ´elabor´es. Le mod`ele de BS suppose des conditions de march´e id´eales afin de calculer les prix d’options, soit

(21)

— Le taux sans risque est connu et constant ;

— Le prix des actifs suit un mouvement brownien g´eom´etrique avec un rendement esp´er´e µ et une volatilit´e σ constante. Les rendements sont continus ;

— Les options sont de style europ´een ;

— Il y a une absence de frais de transactions ou de p´enalit´es lors de vente `a d´ecouvert ; — Les actifs sont infiniment divisibles.

Dans ce mod`ele, le march´e est complet et, par cons´equent, il est possible de couvrir (hedg´e) parfaitement le risque et d’obtenir un prix unique pour les options. Pour des mod`eles plus ´

elabor´es, par exemple, lorsque les rendements sont discontinus, il n’est pas possible d’obtenir un prix unique. La section 5.2 aborde plus en d´etail cette propri´et´e.

Le prix d’une action est repr´esent´e par le processus stochastique continu

dS(t) =µS(t)dt+σS(t)dW(t), (1.16) o`u S(t) est le prix de l’action au tempst ; µ, le rendement esp´er´e ; σ, la volatilit´e ; et, W(t), le processus de Wiener d´efini sur l’espace de probabilit´e avec filtration (Ω,F,{Ft},P). Le prix initial d’une action, S(0), est suppos´e connu. Conform´ement aux conditions ´etablies, les deux param`etres µ et σ sont constants. Comme discut´e dansEpps (2007), il est possible d’utiliser µ(t) et σ(t), soit deux fonctions d´eterministes (ouF0-mesurable), et d’ajouter un dividende

eterministe, δ(t), r´einvesti en continu dans l’action sans r´eellement complexifier la d´erivation des prix d’options. Dans ce cas-ci, l’´equation diff´erentielle stochastique 1.16prend la nouvelle forme

dS∗(t) = (µ(t) +δ(t))S∗(t)dt+σ(t)S∗(t)dW(t). (1.17) L’´equation1.17 est une l´eg`ere extension du mod`ele original de BS. Par simplicit´e, la version originale est conserv´ee dans ce qui suit. En utilisant le lemme de Itˆo, la solution `a1.16 est

S(T) =S(0)e  µσ22  T+σW(T) .

Comme il a ´et´e mentionn´e `a la section 1.1, les prix des actions sont observ´es `a des temps discrets. En reprenant la notation de l’´equation 1.2, les rendements prennent la forme

xi ∼N θ, σ2 ,

o`u S(T) =S(0)e∑ni=1xi et θ = µσ2

2. La param´etrisation avec θ est tout `a fait ´equivalente.

Cette approche est plus simple pour l’application des m´ethodes d’inf´erences et pour la simula-tion.

Le mod`ele a l’avantage d’ˆetre facile d’utilisation et m`ene `a des solutions analytiques pour le calcul de prix d’options. La tarification de produits d´eriv´es est abord´ee plus en d´etail

(22)

au chapitre 5. Aussi, avec les rendements ayant une distribution normale, ils partagent les propri´et´es de la loi stable discut´ee `a la sous-section 1.2.2. Donc, la somme des rendements est encore de distribution normale. Par contre, le mod`ele de BS n’est pas en mesure de repr´esenter ad´equatement certaines caract´eristiques observ´ees sur le march´e.

Afin d’illustrer l’inad´equation de l’hypoth`ese de normalit´e dans les rendements, les moments empiriques sont compar´es avec ceux d’une loi normale par un test statistique. Ensuite, certaines propri´et´es observ´ees de la distribution empirique sont analys´ees graphiquement.

Pour la distribution empirique, l’historique des prix quotidiens `a la fermeture des march´es de l’indice TSX est utilis´e. Ce dernier repr´esente le march´e canadien et englobe une part significative de la valeur boursi`ere de la bourse de Toronto. Les donn´ees sont obtenues `a partir de Yahoo finance. Seules les observations entre le 01/01/2010 et le 31/12/2017 sont conserv´ees, pour un total de 2005 rendements observ´es. Les rendements sont obtenus `a partir de la relation 1.3avec ∆ti =∆t=1. `A noter qu’il n’y a pas de dividendes vers´ees en fonction

de l’indice. La m´ethode des moments est utilis´ee afin d’obtenir les param`etres de la loi normale. Les m´ethodes d’inf´erences sont abord´ees plus en d´etail au chapitre4. Donc, les param`etres sont estim´es par les ´equations

ˆσ2 = 1 n n

i=1 (xi− ¯x)2, ˆ µ= ¯x+ ˆσ 2 2 ,

o`u n est le nombre d’observations de log-rendements ; xi, la ii`eme observation ; et, ¯x= ∑

n i=1xi

n .

Les estimateurs suivants sont utilis´es pour calculer l’asym´etrie, γ3, et l’exc`es d’aplatissement,

γ4, ˆ γ3 = 1 n ˆσ3 n

i=1 (xi− ¯x)3, ˆ γ4 = 1 n ˆσ4 n

i=1 (xi− ¯x)4−3.

Ce sont des estimateurs avec biais ; ils sont suppos´es n´egligeables ´etant donn´e le nombre ´elev´e d’observations. Il est possible de tester la normalit´e des rendements avec l’aide des moments estim´es et le test statistique propos´e parJarque and Bera (1980) (JB). Ce dernier est bas´e sur le fait que le troisi`eme et quatri`eme moment centr´e devrait ˆetre ´egal `a 0 et 3, respectivement. La statistique de JB est d´efinie par

JB=n  ˆ γ32 6 + ˆ γ42 24  ≈ χ2(2).

L’hypoth`ese nulle, H0, est que les rendements proviennent d’une loi normale (ou γ3 =0 et

(23)

rejet´ee pour une p-value petite, par exemple, inf´erieure `a0.01.

Le tableau 1.1 pr´esente les valeurs obtenues pour γˆ3 et γˆ4. Les r´esultats montrent que

l’exc`es d’aplatissement est sup´erieur `a 0. D’ailleurs, la distribution des rendements du TSX a une asym´etrie n´egative non anticip´ee par la loi normale. La valeur de la statistique JB obtenue est 516, ce qui correspond `a une p-value de 0. L’hypoth`ese H0 est facilement rejet´ee,

la conclusion du test est que les rendements du TSX proviennent d’une autre distribution que la loi normale. Statistiques Valeurs ˆ γ3 -0.344352 ˆ γ4 2.388333

Table 1.1 – Asym´etrie et exc`es d’aplatissement pour le TSX.

Ensuite, l’illustration 1.1 pr´esente la comparaison entre la distribution observ´ee pour le TSX et celle de la loi normale. La distribution empirique est beaucoup plus pointue que la loi normale, ce qui est souvent mentionn´ee dans la litt´erature (par exemple, Mandelbrot(1997)). Aussi, la distribution empirique a des queues de distribution plus ´epaisses, ce qui est coh´erent `

a l’exc`es d’aplatissement obtenu au tableau 1.1. Ceci sugg`ere que les rendements prennent des valeurs plus extrˆemes qu’anticip´ees par la loi normale. Par l’illustration, il est plus difficile de voir l’asym´etrie dans la distribution.

(24)

Le mod`ele de BS suppose que la volatilit´e est constante, cependant, les observations em-piriques rejettent cette hypoth`ese. Afin d’illustrer la variabilit´e de la volatilit´e des rendements, la moyenne mobile sur 30 jours de la volatilit´e est calcul´ee, c’est-`a-dire

MA(t) = v u u t 1 30 29

i=0 (xt−i− ¯xt)2.

o`u ¯xt = 301 ∑29i=0xt−i. L’illustration 1.2 pr´esente l’´evolution de MA(t) avec les rendements

du TSX. De toute ´evidence, la volatilit´e n’est pas constante. De plus, il y a une certaine d´ependance dans la volatilit´e (volatility clustering), c’est-`a-dire que de grandes variations sont suivies par d’autres grandes variations et de mˆeme pour les petites variations. Le mod`ele de GARCH est un exemple d’extension afin de repr´esenter cette caract´eristique des rendements. Il y a aussi le mod`ele bien connu de Heston(1993) qui propose un param`etre σ(t) qui est lui-mˆeme repr´esent´e par un processus stochastique.

Figure 1.2 – ´Evolution de la volatilit´e des rendements du TSX.

´

Evidemment, le but n’est pas de faire une analyse exhaustive des caract´eristiques des ren-dements, mais de donner un aper¸cu de la non-normalit´e de ceux-ci. Les caract´eristiques des rendements sont largement ´etudi´ees dans plusieurs articles.

Dans l’article Fama (1965), l’auteur fait une analyse sur le comportement des march´es boursiers. Plus pr´ecis´ement, il parle du mod`ele de marche al´eatoire et de sa validit´e pour la mod´elisation des rendements. En analysant les rendements de 30 actions du Dow-Jones Industrial Average, il conclut que le mod`ele de Mandelbrot (1997), pour lequel il estime

(25)

empiriquement que α <2, est plus r´ealiste que la loi normale. Il observe que ce mod`ele est en mesure d’expliquer la distribution leptokurtique et le comportement erratique de la variance des rendements. Pour chacune des actions, les queues de distribution sont plus lourdes qu’anticip´ees par la loi normale. L’auteur d´emontre aussi, par 2 m´ethodes simples, que la combinaison de lois normales est aussi incapable d’expliquer les observations empiriques. Il montre qu’il y a une certaine d´ependance dans la volatilit´e, comme il est pr´esent´e `a l’illustration1.2pour le TSX. Plus r´ecemment, Raheem and Ezepue (2018) propose une analyse des rendements dans un pays ´emergent, le Nig´eria. Plus pr´ecis´ement, c’est le secteur bancaire de celui-ci qui est ´

etudi´e. La distribution des rendements, entre 2001 et 2013, de quatre banques d’importances permet d’observer plusieurs caract´eristiques telles que l’asym´etrie, l’exc`es d’aplatissement sup´erieur `a z´ero et la pr´esence d’autocorr´elation dans la volatilit´e. L’hypoth`ese de normalit´e est fortement rejet´ee dans ce march´e. Il est conclu que la non-normalit´e dans la distribution des rendements ne se limite pas aux pays d´evelopp´es.

Plus sp´ecifiquement pour le mod`ele de BS, d’autres critiques se retrouvent dans Bakshi et al. (1997) et Rubinstein (1985). Par exemple, sur le march´e, une forme de sourire est observ´ee dans la volatilit´e implicite par rapport au ratio in-the-money dans les prix des options, surtout `a court terme. Avec une volatilit´e constante, le mod`ele de BS ne permet pas d’expliquer ce ph´enom`ene. La forme de sourire est li´ee `a l’asym´etrie n´egative et l’exc`es d’aplatissement dans la distribution des rendements. De plus, les rendements observ´es sur le march´e sont discontinus, par exemple, des sauts sont pr´esents dans les rendements, ce qui est contraire au mod`ele BS. Par rapport `a d’autres mod`eles, il est d´emontr´e empiriquement que celui de BS est moins performant au niveau de la tarification d’options, de la couverture du risque de march´e et `a repr´esenter la dynamique de march´e.

En conclusion, la normalit´e dans les rendements suppos´ee par le mod`ele BS n’est pas appropri´ee, ce qui motive l’utilisation de mod`eles plus ´elabor´es. Les prochains chapitres vont aborder des mod`eles qui corrigent certaines lacunes de la loi normale. Plus pr´ecis´ement, le processus de L´evy est introduit au chapitre 2; celui-ci regroupe les mod`eles bas´es sur les lois infinies divisibles. Ensuite, deux cas particuliers seront abord´es au chapitre3.

(26)

Chapitre 2

Mod`

eles bas´

es sur les lois infiniment

divisibles

Les lois infiniment divisibles sont primordiales pour la mod´elisation des rendements d’actifs. Les propri´et´es de cette famille de lois en font un choix judicieux pour la mod´elisation financi`ere. De plus, il est possible de montrer que chaque distribution de probabilit´e infiniment divisible correspond `a un processus de L´evy, d’o`u l’importance de ce dernier. L’introduction du processus de L´evy permettra, par la suite, d’introduire des cas particuliers tr`es r´epandus dans la pratique.

Le chapitre 2 fait d’abord un rappel sur la d´efinition des lois infiniment divisibles. Ensuite, il introduit le processus de L´evy. Le cas particulier tr`es connu en finance, le processus de Laplace, est aussi abord´e. L’´etude de ce cas particulier met en ´evidence les propri´et´es d´esirables qu’il est possible d’obtenir `a partir d’un processus de L´evy afin de mieux mod´eliser les rendements financiers.

2.1

efinition

Pour introduire les lois infiniment divisibles, Kyprianou (2006) sert de r´ef´erence. En 1929, Bruno de Finetti introduit pour la premi`ere fois le concept de lois infiniment divisibles. C’est aussi ce dernier qui a montr´e le lien avec les processus de L´evy. En effet, il y a une correspon-dance biunivoque entre les processus de L´evy et les lois infiniment divisibles. Ce lien montre l’importance de ces processus.

Une variable al´eatoire X, prenant des valeurs sur R, sera dite de distribution infiniment divisible si, pour chaque n=1, 2, . . . , il existe une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et identiquement distribu´ees X1,n, . . . , Xn,n telle que

(27)

Par cons´equent, il revient `a dire que la distribution de X est la convolution des distributions de X1,n, . . . , Xn,n. Il est aussi possible de d´eterminer si une variable al´eatoire est infiniment

divisible par sa fonction caract´eristique d´efinie par φ(u) =E[eiuX],

pouru∈ R. La variable al´eatoire X a une distribution infiniment divisible si, pour tout n≥1, il existe une fonction caract´eristique, φn(u), telle que φ(u) = (φn(u))n. Les lois normale,

Poisson et gamma sont des exemples de lois infiniment divisibles ; d’un autre cˆot´e, les lois binomiale et uniforme ne le sont pas.

D’un point de vue pratique, l’utilisation des lois infiniment divisibles dans la mod´elisation des rendements financiers est attrayante puisqu’elles permettent de toujours obtenir la mˆeme distribution, peu importe l’intervalle de temps choisi.

2.2

Processus de L´

evy

Le processus de L´evy constitue une classe tr`es g´en´erale de processus stochastique. Ancienne-ment, il ´etait fr´equemment retrouv´e sous le nom processus avec accroissements stationnaires et ind´ependants dans la litt´erature. Cette classe regroupe, entre autres, le mouvement brownien et le processus de Poisson. `A premi`ere vue, ces deux derniers processus peuvent sembler assez diff´erents puisque l’un est continu et l’autre est discontinu. D’un autre cˆot´e, ces processus sont continus `a droite et ont des accroissements ind´ependants et stationnaires, ce qui en fait des processus de L´evy.

Plus pr´ecis´ement, le processusX(t), d´efini sur l’espace de probabilit´e avec filtration(Ω,F,{Ft},P), est un processus de L´evy s’il a les propri´et´es

— X(t) est continu `a droite et limit´e `a gauche ; — P(X(0) =0) =1 ;

— Pour0≤s ≤t, X(t) −X(s)a la mˆeme distribution queX(t−s); — Pour0≤s ≤t, X(t) −X(s)est ind´ependant de X(u), ∀u≤s.

Le processus de L´evy est souvent repr´esent´e par sa fonction caract´eristique, soit φ(u) =E[eiuX(t)] =e−(u), o`u ψ(u) =iau+1 2σ 2u2+Z R(1−e iux+iux1 |x|<1)Π(dx),

et, Π(dx)doit satisfaire

Π({0}) =0 et

Z

R(1∧x

(28)

La fonction ψ(u) est appel´ee l’exposant caract´eristique et est connue sous le nom de repr´ e-sentation de L´evy-Khintchine. Le processus de L´evy est compl`etement d´efini par son triplet

(a, σ2,Π); celui-ci est unique pour chacun d’eux. La fonction Π(dx)est appel´ee la mesure de

L´evy. `A l’aide de ses propri´et´es, il est facilement observable que le processus de L´evy appartient bel et bien `a la famille des distributions infiniment divisibles. En effet, le processus X(t)s’´ecrit sous la forme de l’expression 2.1, soit

X(t) =X t n  +  X 2t n  −X t n  + · · · +  X(t) −X  (n−1)t n  ,

pour n≥1 et il faut rappeler que X(t)a des accroissements stationnaires et ind´ependants et que X(0) =0. Aussi, la correspondance biunivoque entre les lois infiniment divisibles et le processus de L´evy implique qu’ils ont la mˆeme fonction caract´eristique.

2.3

Processus subordonn´

e

Soit X(t)et τ(s), deux processus de L´evy ind´ependants avec leurs fonctions caract´eristiques ψ etΞ, respectivement. Le processus τ(s)est d´efini comme ´etant le subordonnant ; soit, un processus non d´ecroissant. Pour ˆetre non d´ecroissant, le triplet de τ(s)doit satisfaire

Z 0

−∞Π(dx) =0,

Z ∞

0

(1∧x)Π(dx) <∞ et σ2=0. Alors, un processus subordonn´e,Y(s), est d´efini par l’expression

Y(s) =X(τ(s)).

Le processus Y(s) est aussi un processus de L´evy. `A l’aide de l’esp´erance conditionnelle, la fonction de densit´e deY(s)est donn´ee par

fY(s)(y) =Eτ(s)[fX(s)(y|τ(s))]

=

Z ∞

0 fX(s)

(y|τ(s) =a)fτ(s)(a)da. L’exposant caract´eristique de Y(s)est donn´e par

Λ(u) =Ξ((u)), et la fonction caract´eristique par

φY(s)(u) =e−sΞ((u)).

En finance, les mouvements browniens subordonn´es sont souvent utilis´es puisqu’ils sont facilement manipulables. Aussi, elles permettent d’obtenir une mod´elisation plus r´ealiste des rendements. La section 2.4 pr´esente un exemple de processus subordonn´e couramment utilis´e finance.

(29)

2.4

Processus de Laplace

Maintenant, un cas particulier du processus de L´evy tr`es r´epandu en finance est pr´esent´e ; soit le processus de Laplace. Pour introduire ce processus, il faut d’abord pr´esenter les deux processus n´ecessaires `a son ´elaboration, soit le processus gamma et le processus de Wiener. Par la suite, la distribution de Laplace asym´etrique g´en´eralis´ee est introduite. Cette distribution a ´

et´e introduite parMadan and Seneta(1990), sous le nom de Variance-Gamma, afin de mieux repr´esenter les rendements financiers. Elle est attrayante puisqu’elle permet, par exemple, d’avoir des rendements discontinus et asym´etriques. Elle a aussi ´et´e ´etudi´ee parKozubowski and Podg´orski(1999). Dans ce qui suit, la param´etrisation utilis´ee par ces derniers est choisie.

2.4.1 Processus gamma

La fonction de densit´e de la loi gamma est donn´ee par f(x) =xτ−1βτe−βx

Γ(τ) ,

pour τ, β, x>0. Le param`etre τ repr´esente la forme et le param`etre β, l’´echelle. La fonction de caract´eristique prend la forme

φ(u) = Z ∞ 0 e iuxf(x)dx = 1 (1−iu/β)τ =  1 (1−iu/β)τ/n n = (φn(u))n. (2.2)

L’´equation2.2 montre que la loi gamma est bien infiniment divisible. Par cons´equent, il y a un processus de L´evy correspondant, soit le triplet

a= −

Z 1

0 xΠ

(dx), σ2=0 et Π(dx) =τx−1e−dx, o`uΠ(dx)est d´efini sur [0,∞]. En effet, l’exposant caract´eristique est donn´e par

ψ(u) =iau+1 2σ 2u2+Z ∞ 0 (1−eiux+iux1|x|<1)Π(dx) =i  − Z 1 0 xΠ (dx)  u+0+ Z ∞ 0 (1−eiux+iux1|x|<1)τx−1e−dx =  − Z 1 0 iuτedx  + Z ∞ 0 (1−eiux)τx−1e−dx+ Z ∞ 0 (iux1|x|<1)τx−1e−dx = Z ∞ 0 (1−eiux)τx−1e−dx =τ Z ∞ 0 (e−−e(iu−β)x)x−1dx (2.3) =τln(1−iu/β),

(30)

o`u l’´equation2.3 est r´esolue par l’int´egrale de Frullani (voirSpiegel and Liu (1999, p. 100)). Ensuite, G(t)repr´esente le processus gamma de param`etres τ et β o`u

G(t+1) −G(t) ∼Gamma(τ, β).

Puisque le processus est presque partout strictement croissant, il est id´eal pour ˆetre un subordonnant. En effet, avec la propri´et´e des accroissements ind´ependants et stationnaires, il r´esulte que

G(t) =G(s) +G¯(t−s),

pour 0≤ s<t <∞ et ¯G(t−s)est une copie ind´ependante de G(t−s). Puisque ¯G(t−s)est strictement positif, il r´esulte que G(t) >G(s)presque partout. Pour le processus de Laplace, le cas d’int´erˆet est lorsque β = 1, ce qui correspond `a la loi exponentielle. Le param`etre τ repr´esente la fr´equence du processus, et, donc, l’esp´erance est donn´ee par

E[G(t)] =τt.

2.4.2 Processus de Wiener

`

A pr´esent, le processus de Wiener est `a son tour introduit. Dans ce cas-ci, la fonction de densit´e est celle de la loi normale. Cette derni`ere est donn´ee par

f(x) = √1 2πσe −1 2 (x−µ)2 σ2 dx,

o`u x, µR et σ>0. Le param`etre µ repr´esente la localisation et, σ, l’´echelle. La fonction de caract´eristique prend la forme

φ(u) = Z ∞ 0 e iuxf(x)dx =e−12σ2u2+iuµ = e−12  σ √ n 2 u2+iuµ n !n = (φn(u))n.

Comme pour le cas de la loi gamma, il est facile de montrer que la normale est infiniment divisible. Le triplet du processus de L´evy correspondant `a la loi normale est donn´e par

a= −µ, σ2 =σ2 et Π=0. De plus, l’exposant caract´eristique est donn´e par

ψ(u) =σ2u2/2−iuµ.

Finalement, le processus de Wiener, de param`etres µ et σ, est repr´esent´e par W(t), o`u W(t+1) −W(t) ∼N(µ, σ2).

Il est important de noter que la variance est proportionnelle au temps, ce qui est facilement observable par la fonction caract´eristique. Cette propri´et´e sera importante pour la suite.

(31)

2.4.3 Processus de Wiener subordonn´e par un processus gamma

Maintenant les processus de Wiener et gamma introduits, on pr´esente le processus de Laplace. Ce dernier est le processus de Wiener subordonn´e o`u le subordonnant est le processus gamma. Puisque la variance du processus de Wiener est proportionnelle au temps, la variance du processus de Laplace est donc al´eatoire. Le processus de Laplace, not´e L(t), est alors d´efini par

L(t) =W(G(t)).

Avec la propri´et´e des processus subordonn´es ´enonc´ee `a la section2.3, l’exposant caract´eristique, ψL(u), est donn´e par

ψL(u) =ψG(ψW(u)) =τln(1−i(W(u))) =τln  1+ σ 2u2 2 −iµu  ,

o`u ψG(u) et ψW(u) sont les exposants caract´eristiques du processus gamma et de Wiener,

respectivement. `A l’aide de l’exposant caract´eristique, la fonction g´en´eratrice des moments est donn´ee par ML(u) =e−ψL(−iu) = 1 1− 1 2σ2u2−µu τ, (2.4) o`uu doit satisfaire `a 1− 1 2σ 2u2 µu>0.

Les accroissements du processus de Laplace, not´e X= L(t+1) −L(t), se repr´esentent sous la forme intuitive d’un m´elange de distribution de loi normale et gamma, soit

X=d µY+σ

YZ, (2.5)

o`u Z∼N(0, 1),Y∼ Gamma(τ, 1). Cette repr´esentation est tr`es conviviale dans un contexte de simulation. Elle permet aussi de voir le processus de Laplace comme un mouvement brownien o`u l’´echelle de temps est al´eatoire. Comme l’explique Madan and Seneta(1990), G(t)peut ˆ

etre interpr´et´e comme le nombre d’ann´ees ´economique pourt ann´ees r´eelles. Par exemple, un nombre d’ann´ees ´economiques sup´erieur au nombre r´eel peut ˆetre vu comme une p´eriode `a haute volatilit´e, o`u il y a beaucoup d’´ev´enements dans le march´e. Dans ce contexte, le temps ´

economique est al´eatoire par rapport au temps r´eel. Il est donc possible d’avoir plus ou moins une ann´ee ´economique pour une ann´ee r´eelle.

Il existe aussi une deuxi`eme repr´esentation conviviale pour la simulation en utilisant la diff´erence de deux variables al´eatoires ind´ependantes de distribution gamma, soit

X =d √σ 2  1 κG1 −κG2  , (2.6)

(32)

o`u µ = σ

2 1

κκ et G1, G2∼ Gamma(τ, 1). La composante G1 s’interpr`ete comme les gains

et G2, comme les pertes r´ealis´ees sur la p´eriode.

Le processus de Laplace d´evelopp´e jusqu’`a maintenant peut ˆetre encore g´en´eralis´e en ajoutant une composante de d´erive, not´e θ. L’expression2.5prend la forme

X =d θ+µY+σ √ YZ, et l’expression 2.6, X=d θ+ √σ 2  1 κG1−κG2  . ´

Etant donn´e que cette nouvelle composante est constante, il suffit d’ajouter le terme −iuθ `a l’exposant caract´eristique, soit

ψL(u) = −iuθ+τln  1+ σ 2u2 2 −iµu  . De mani`ere ´equivalente, la fonction g´en´eratrice des moments s’´ecrit

ML(u) =

eθu

1−12σ2u2−µuτ

. (2.7)

Dans ce cas-ci, les accroissements du processus ont une distribution de Laplace asym´etrique g´en´eralis´ee. La prochaine sous-section aborde cette distribution plus en d´etail.

2.4.4 Distribution de Laplace asym´etrique g´en´eralis´ee et ses propri´et´es

La distribution de Laplace asym´etrique g´en´eralis´ee (GAL) a quatre param`etres,(θ, µ, σ, τ)0, tels que vus `a la sous-section 2.4.3. Cette distribution peut ˆetre vue comme un cas limite de la distribution hyperbolique g´en´eralis´ee. Le param`etre θ repr´esente la localisation et σ, l’´echelle. Le param`etre µ contrˆole l’asym´etrie de la distribution ; lorsque µ=0, la distribution est sym´etrique ; µ>0, a une asym´etrie positive ; et µ<0, une asym´etrie n´egative. Finalement, le param`etre τ contrˆole l’´epaisseur des queues de distribution.

La distribution de GAL est attrayante dans le sens o`u elle corrige certaines lacunes de la distribution normale pour la mod´elisation des rendements telles que l’asym´etrie et l’´ epais-seur des queues. `A partir de la fonction g´en´eratrice des moments 2.7, les quatre premiers cumulants, d´efinis par l’´equation 1.11, sont repr´esent´es par

K1 =θ+τµ, K2 =τσ2+τµ2,

K3 =3τσ2µ+2τµ3 >0 ou<0, K4 =6τµ4+12τσ2µ2+3τµ4 >0.

(33)

`

A partir des cumulants, certaines propri´et´es sur la distribution de GAL sont observables. K3 peut effectivement prendre des valeurs positives ou n´egatives d´ependamment de µ, soit

l’asym´etrie. Finalement, K4 > 0 puisque τ > 0, soit la possibilit´e d’avoir une ´epaisseur de

queues de distribution plus lourde que la loi normale.

Quoique compliqu´ee, la fonction de densit´e de la distribution GAL a une forme explicite. L’expression se retrouve dans Kotz et al. (2001), soit

f(x) = √ 2e √ 2 (1/κκ)(x−θ) √ πστ+1/2Γ(τ) √ 2|x−θ| κ+1/κ !τ−1/2 Kτ−1/2 √ 2  1 κ +κ  |x−θ| ! ,

o`uKλ(u) est la fonction modifi´ee de Bessel de troisi`eme esp`ece avec l’index λ. L’´equation de

cette fonction est

Kλ(u) = (u/2)λΓ(1/2) Γ(λ+1/2) Z ∞ 1 e −ut(t21)λ−1/2dt,

o`u λ ≥ −1/2. Comme discut´e dansLuong(2017a), la discontinuit´e de la fonction de densit´e par rapport aux param`etres et la pr´esence de la fonction de Bessel rendent difficilement utilisables les m´ethodes classiques d’inf´erences ; par exemple, l’estimation par maximum de vraisemblance. La distribution de GAL poss`ede plusieurs cas particuliers. Le tableau2.1 illustre ces cas ; ce tableau se retrouve dansKotz et al.(2001). La distribution de GAL regroupe les lois classiques telles que la loi exponentielle et la loi gamma.

Cas Distribution Notation Fonction de densit´e

θ=0 τ=1 σ=0 µ>0

Exponentielle avec une moyenne de µ GAL(0,µ,0,1)Γ

(1, µ) 1 µe −x/µ (x>0) θ=0 σ=0 µ>0

Gamma avec α=τ et β=µ GAL(0,µ,0,τ)Γ

(τ, µ) xτ−1ex/µ µτΓ(τ) (x>0) τ=1 σ>0 µ=0

Laplace sym´etrique GAL(θ,0,σ,1) √1

e

−√2|x−θ| (x R)

τ=1 σ>0 µ6=0

Laplace asym´etrique GAL(θ,µ,σ,1) σ(1+κ2) ( e √ σ (θ−x), x≥θ e √ 2 σκ(x−θ), x<θ θ=0 τ=0 σ=0 µ=0

D´eg´en´er´e `a 0

(34)

Avec l’exemple de la distribution de GAL, il a ´et´e observ´e que l’utilisation du processus de L´evy est plus flexible que la loi normale dans le sens o`u il est possible de contrˆoler l’asy-m´etrie et le kurtosis. Ceci en fait un choix id´eal pour la mod´elisation des rendements. Le d´esavantage est que la fonction de densit´e n’a g´en´eralement pas de forme explicite ou tr`es difficile `a calculer. Il est donc plus commode de d´efinir un processus de L´evy par sa fonction caract´eristique. Cette derni`ere sera plus utile dans un contexte de tarification d’options au chapitre 5. Quant `a la fonction g´en´eratrice des moments, elle est plus appropri´ee dans un contexte d’estimation de param`etres. Cette fonction a l’avantage d’avoir une expression simple.

(35)

Chapitre 3

Processus avec sauts

Ce chapitre pr´esente deux autres cas particuliers du processus de L´evy et leurs propri´et´es. Ce sont deux mod`eles avec sauts (ou jump-diffusion en anglais). Le premier ´etudi´e est le c´el`ebre mod`ele deMerton (1976). Pour celui-ci, les sauts ont une distribution normale. Le deuxi`eme mod`ele ´etudi´e est celui de Tsay(2010, p. 311-318) ; celui-ci est vu comme un cas particulier du mod`ele deKou(2002). Dans ce mod`ele, les sauts ont une distribution Laplace. Les m´ethodes d’inf´erences d´evelopp´ees au chapitre4 seront appliqu´ees sur ces mod`eles.

3.1

Mod`

ele de Merton

Merton propose une extension au mouvement brownien g´eom´etrique tel qu’utilis´e par le mod`ele de Black-Scholes ; son mod`ele ajoute des sauts avec des distributions de loi normale. Ces sauts impliquent que les rendements sont discontinus. Ils sont d´efinis par un processus de Poisson compos´e,q(t), soit q(t) = N(t)

j=1 Yj,

o`u N(t) est un processus de Poisson avec E[N(t)] =λt et {Yj}j∈N est une suite de variables

al´eatoires, ind´ependantes et identiquement distribu´ees etYj ∼Log-N(τ, δ2). Le processusN(t)

est ind´ependant de la suite de variables al´eatoires {Yj}. L’´equation diff´erentielle stochastique

du mod`ele de Merton est donn´ee par

dS(t) =µS(t)dt+σS(t)dW(t) +d(q(t) −1), (3.1) o`u S(t) > 0 est le prix de l’actif ; µR, le rendement ; σ > 0, la volatilit´e ; et, W(t), le processus de Wiener tel que d´efini `a la sous-section 2.4.2. Aussi, les processus q(t) et W(t)

sont ind´ependants. `A l’aide du lemme d’Itˆo, la solution `a l’´equation 3.1 est donn´ee par S(t) =S(0)e(µσ22 )t+σW(t)Y(m), (3.2) o`uY(m) =1, si m=0 ; et Y(m) =mj=1Yj, sim≥1.

(36)

En reprenant la notation de la section 1.1, le rendement d’un accroissement s’´ecrit sous la forme x= Z+ N

j=1 Vj,

o`u Z ∼ N(θ = µσ22, σ2), N ∼ Pois(λ), Vj ∼ N(τ, δ2) et xi ∼ x, ∀i ∈ N>0. Il est ainsi

possible de r´e´ecrire l’´equation 3.2sous la forme

S(t+1) =S(t)ext+1. (3.3)

La fonction de densit´e de x est alors donn´ee par l’expression

f(x) = ∞

j=0 e−λ λj j! e −1 2 (x−θτ j)2 a2j aj √ , (3.4)

o`u a2j =σ2+2. La somme infinie d’´el´ements implique que la fonction de densit´e n’est pas une fonction simple.

Le mod`ele est semblable `a celui de Press pr´esent´e `a la sous-section 1.2.3. Le mod`ele de Merton diff`ere du pr´ec´edent en ajoutant un param`etre de localisation diff´erent de z´ero au processus de Wiener. Aussi, Merton apporte une interpr´etation diff´erente pour les deux compo-santes,Z et{Vj}. Il associe le processus de sauts `a des variations anormales, ou non marginales,

suite `a l’arriv´ee d’informations importantes `a des temps discrets. G´en´eralement, ce sont des nouvelles sp´ecifiques `a une entreprise ou une industrie. Le processus de Wiener repr´esente les variations normales (ou marginales) caus´ees, par exemple, par un d´es´equilibre temporaire dans l’offre et la demande ou un changement dans les perspectives ´economiques.

La distribution des rendements du prix des actions est plus r´ealiste avec l’inclusion d’un processus de sauts. Plus pr´ecis´ement, la distribution obtenue a une asym´etrie n´egative (si τ<0), un exc`es d’aplatissement positif et une discontinuit´e dans les rendements, ce qui est coh´erent avec les rendements observ´es sur le march´e. De plus, le processus de sauts explique mieux la forme de sourire dans la volatilit´e implicite des prix des options, surtout `a court terme, comme discut´e dansBakshi et al. (1997).

Il est possible d’analyser les propri´et´es du mod`ele de Merton avec ses cumulants obtenus `a partir de sa fonction g´en´eratrice des moments. Cette derni`ere est donn´ee par

Mx(s) =e θs+σ22 s2+λ  eτs+δ2 2s2−1  . (3.5)

(37)

La fonction g´en´eratrice des moments sera fort utile au chapitre 4 pour l’application des m´ethodes d’inf´erences. Les cinq premiers cumulants pour le mod`ele de Merton sont

K1 =θ+λτ,

K2 =σ2+λ(τ2+δ2),

K3 =λ(3τδ2+τ3) ≥0 ou<0, K4 =λ(4+2δ2+τ4) >0, K5 =λ(15τδ4+10τ3δ2+τ5).

La pr´esence d’un processus de sauts, lorsque λ>0, permet effectivement d’avoir des cumulants d’ordre sup´erieur `a 2 diff´erents de 0. Aussi, le param`etre τ permet de contrˆoler l’asym´etrie de la distribution. En effet, pour τ =0, elle est sym´etrique ; τ>0, asym´etrique positive ; et τ<0, asym´etrique n´egative. Finalement, puisque K4 >0, les queues de distribution sont plus

lourdes que ceux de la loi normale, o`u K4Normale=0.

Il est int´eressant de comparer graphiquement la fonction de densit´e de probabilit´e du mod`ele de Merton `a celle de la loi normale. Pour ce faire, des param`etres arbitraires sont fix´es pour le mod`ele de Merton et, ensuite, les param`etres pour la distribution normale sont ´etablis de telle sorte que les deux premiers cumulants des mod`eles soient identiques. Donc, les param`etres

(θ =0.05, σ=0.20, λ=0.05, τ= −0.10, δ=0.25)0 sont pos´es pour Merton. Par cons´equent, les param`etres (θN =0.045, σN ≈0.209)0 sont obtenus pour la loi normale. Aussi, il faut fixer la sommation dans la fonction de densit´e `a un nombre fini (grand de pr´ef´erence) ; il est fix´e `a N=100, soit f(x) ≈ N=100

j=0 e−λ λj j! e −1 2 (x−θτ j)2 a2j aj √ .

L’illustration3.1 pr´esente ces deux densit´es. Il est possible d’observer l’asym´etrie n´egative = −0.10) et l’´epaisseur des queues du mod`ele de Merton l´eg`erement sup´erieur `a la loi normale. Enfin, la densit´e du mod`ele de Merton est plus pointue. De plus, l’illustration 3.2 pr´esente un exemple de trajectoire deS(t)avec et sans la composante de sauts. Cette derni`ere peut avoir un impact important sur la valeur de S(t).

3.1.1 Lien avec le processus de L´evy

Comme mentionn´e au d´ebut du chapitre, le mod`ele de Merton est un cas particulier du processus de L´evy. En effet, il est ais´ement d´emontr´e que la distribution du mod`ele est bien

(38)

Figure 3.1 – Comparaison de la fonction de densit´e du mod`ele de Merton et de la loi normale.

Figure 3.2 – Exemple de trajectoire de S(t) sous le mod`ele de Merton.

infiniment divisible, soit

φ(u) =Mx(iu) =eθiuσ2 2u2+λ  eτiuδ2 2u2−1  =  e( θ n)iu−  σ √ n 2 u2 2+λn  eτiuδ2 2u2−1   n

(39)

pour n≥1. Le triplet de L´evy correspond `a a= −θλ

Z

Rx1|x|<1f(x)dx, σ=σ, et Π(dx) =λ f(x)dx,

o`u f(x) est la fonction de densit´e des sauts, dans ce cas-ci, de la loi normale. L’exposant caract´eristique est bien retrouv´e `a partir de la forme g´en´erale pour les processus de L´evy avec le triplet d´efini, soit

ψ(u) =iau+ 1 2σ 2u2+Z R(1−e iux+iux1 |x|<1)Π(dx) =i  −θλ Z Rx1|x|<1f(x)dx  u+1 2σ 2u2+Z R(1−e iux+iux1 |x|<1)λ f(x)dx = −iθuλ Z Riux1|x|<1f(x)dx+ 1 2σ 2u2+ λ Z R(1−e iux)f(x)dx +λ Z Riux1|x|<1λ f(x)dx = −iθu+ 1 2σ 2u2+ λ Z R(1−e iux)f(x)dx = −iθu+ 1 2σ 2u2+ λ  1−eτiuδ22u2  .

3.2

Mod`

ele de Tsay

L’utilisation de la loi double exponentielle asym´etrique afin de mod´eliser les sauts est initiale-ment propos´ee parKou(2002). Ce mod`ele `a 6 param`etres a la particularit´e d’avoir des queues de distribution asym´etriques telles qu’observ´ees empiriquement. Une version simplifi´ee se retrouve dansTsay(2010, p. 311-318) o`u les sauts suivent une double exponentielle sym´etrique (ou, autrement dit, une distribution de Laplace). Dans ce cas-ci, le mod`ele a 5 param`etres. Dans ce qui suit, la version simplifi´ee est conserv´ee et elle sera d´enomm´ee le mod`ele de Tsay.

Par rapport au mod`ele de Merton, seule la suite de variables al´eatoires {Yj}change. Dans

ce mod`ele-ci,Y est d´efini tel que V=ln(Y)a une distribution double exponentielle avec la fonction de densit´e fV(x) = 1 e −|x−κ|, 0< η<1.

Il est pertinent de rappeler certaines propri´et´es de la distribution de Laplace, soit E[V] =κ, Var(V) =2 et E[eV] = e

κ

1−η2.

L’´equation diff´erentielle stochastique du mod`ele de Tsay a la mˆeme forme que celle pour le mod`ele de Merton, et donc, la solution aussi ; ces ´equations sont donn´ees par3.1 et 3.2, respectivement.

Figure

Table 1.1 – Asym´ etrie et exc` es d’aplatissement pour le TSX.
Figure 1.2 – ´ Evolution de la volatilit´ e des rendements du TSX.
Table 2.1 – Cas particuliers de la distribution de GAL.
Figure 3.2 – Exemple de trajectoire de S ( t ) sous le mod` ele de Merton.
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