Diffusive limit for finite velocity Boltzmann kinetic models
41
0
0
Texte intégral
(2) !" $#&%"')(*,+-%/.(*0')112 3. 46587:9;4,<>= U. EV?,CMWXA. ?@4BA YZJLJ. 46C. DFEHG. IKJL4,CM=. [\4@JL=]CM4@P. A. <N=O?BEQPR46CTS EQ^_=X?09. `acbedd&bXfhg0ijalkMfmacg@nokqp@njrtsuaciokbevov"b]wmg0kxpBnoa. y z k}|dpBx |~ - 6606 66-66 { } ¡6}6 ¢£;¤ 6)¥¦$¨§t©ª« 6 V¬, 6}¡$6 6}6q$}®} ¯ X£° £"6q} X ±²³ ´ 6} µ0;6}± 66} £¶6; ·6} 6 §¸·¹ ºº6 » ]6;T6 ¼ $½] 66 66¯}, ]£j6¯ -6 6 §¾·} 6]µ§¾ 6 6 6»B³µ±;¿e X£À± 6»66Á §$0 ¸¹¨ R6° ºB £Â6 B±} {6 q,q}6eà 6R6& 6ĥŠ} ÆT° 6]66½, Ä u 6°»³ 6£Ç}·6 §¸ È ~¯Én±|d&g roiox |&aÊg0nh~ ¹¨ O6¬$ 6};6 §]£"³²¤ ¡ }Ë ¥¦$¨§]$6º£"6 © «} 6 R¿$ X,6±}¡Ä6}µ±6q}, R£6²¥ ª e §6µ , ģ̯¤ }6ª ª±{£ ;¬$ 66ª£ËB &ÄB³ ª¡6uÍB¥Å½6 Î 6ϳ 6¿$ -±}6-¥ 6}Ä Z6]±]Í ¥Å6} HÐ6} 6 §ZÑÌÒ { Z6 6 Í ¥Å6} 6} 6 §uÓ@¸ªÔÂ6ÕÏT 6²³ Ì ¥¦±} 6³ ue Ë¿$6µ66 6 ]ÑÄÖVÓ Ò6}µ±}¾µe§Ä6´¿$ 6 ×ÏØ ¸ Ø&Ù. Þ Ñ Ü ÚÛ Þ@ßMàÎá Þ Ó ÛÝ Þ@ß ä á. Þ Ñ Ö â × ÑÌãÓBãÍ Ù × Ó´äÑ Ù ã Þ Í ¢ Þ Ó × Ù × Ù Þ Í Ö¢â ÌÑ ãÓBãÍ ÑqäÓ ã éêë. ÍRå¾æ]ã ßmçHè ã.
(3) éêé. ì %,í %,í eh îïº%eð $& . 6 } á -6¯e666Ò£j6Õ 6ϳ T±}R£j6B@ 6¡â{ M 6 6 6}´³´$}®} ¸ ÔÂ6M»£Ê 6»²½ M £6q$6 º6 ±}¡µe§OñÂ¥ } Ëòó» O6 Øôõ è òö¯ 66±} ¡6 ¯£Ç 6M¤6Ï Øô÷ø VùóñÂú¸¡¹¨ ÎñÂ} Ëòóe6Òâ × ÑÌãÓ@ãÍ Ù ÖûÑ à Ó@R 6ýü¥ 6þ}ª {6º¥¦ 6u6»£ ×ÏØ ¸ Ø&Ù 6²µ0´µ § } } 6 µ±² B}¸Hÿº }³ } ε±} } }6£·6]£Ç ¥ }´ §$0M6 ¾ ¾6¯£"6}´ §$±M 6,},¸ ñª§Âñ ý¿e 6M ] 6 6 6£Ç6 §$ Ò ²6}³¥ 6 ¾B6,6}- 6 6² ¾£j 6]¸ ñª6$ 6¢â × ÑÌãÓBãÍ Ù Ö Ø Ã µ6 6X§,Ï]¯¬$ 6 6 $¥ Ôo§, oe60ù ú¦ ù/Ôo§$ú¦¸jÔ-6h§, }6 ¶6m£Ç ¿e Õ£Ç j6m6 6 §;£ T6", 6 Õ 6 ¶Ï±M 6 6ÕÍ ¥ ½,±,µ Ï}}» ± ³ 66º²} ´£À6} 6˺6 Ï6M £¶Mϳ 6 ¶ u6$T£o6 6Ò³ ¸ ÔÂ6 } q µ ¯£Ç Õ6$6ÕM6 6 6¨§ ½ NÖ á × ÑätÓ Ù ¸Q¹ ÄÄ }Ï 6ý } ¬ Ö Ñ à Ó@º 6 6 ¼ $. » 6Ñ 6NÓZ tµ±)½,6> V}u£ 6 »ý â × ÑÌãÓ@ãÍ Ù Ö¢â ×
(4) ã ãÍ Ù Ï§,} ×ÏØ ¸ Ø&Ù h}¿$6 } "6T£Ç 6¯ }¥ ¯¿e 6-£Ç -6¯ Ò6 6 §u 6¾6 ¼ $½ Þ Þ Ö è ã à B Þ ß Þ Í Ü ÚÛ ×ÏØ ¸ Ù Þ Þ ä mâ ×
(5) ã ãÍ Ù mã Íå¾æ¾ã ßmçZè ã ÛÝ Þ@ßàÎá Þ Í Ö ©Â §Ë 6±}} Õ §e±£m6 µ ¯£Ç ¯6§,Ï ×ÏØ ¸ Ø&Ù µ± £Ç 6°Ë¸ºÔÂ6Õ¤6» 6;Ò6; 6° Ì » 6° ¥¦µ±6 6 §¾ 6¯6 µ,¥ }]¸¶ÔÂ6· 6 6Òh §,M6 Â6 µ ]¸ Ì}m6h 6- h6 O£°B´ 6 Õ 6 «}¡¾6 6 §Fµ ,Õ¯£°Õ ¡6}¿$ »Ãü þB³ ²} ¸ X 6§±6º 6· » ×ÏØ ¸ Ø&Ù } Õâqµe§¾â ¸"Ô-6º£Ç 6¿$6 6 Ä ,³ §  6» 6;£Ç L£F§, ×ÏØ ¸ Ù è 6¾6 66´ 6° 0 £F6¯ 6¿$ ¾³Ä6 6° Ë ³M e°} ×ÏØ ¸ !Ù ÔÂ6¡" N#ä è ± 66u 6X 6 V£° ¬, 6} 6²6 £j6Õ -M ·£À T · e66]@ 6 ´£Ç}· 6» §$6 Ò6 µ L h6º§$,$,§$ ·m $ 6 ¬, 6}§$ ×ÏØ ¸ Ø&Ù ¸ R6³Â¬, 6 ¾£Ç ºñÂ} Ëòó¿e u u6¯ 6 Ø Þ Ñ Ø Þ Ñ × Ó äÑ Ù ã Ö Þ@ßMà Þ Í .
(6) $m %%'&ÏóeÕ#)Ë (%² $ )% ´e#} $ +*-,¶ e#¨ /.)± 10e q $î&#². éê32. Ø Þ Ó Ø Þ Ó × Ñ ä¡Ó Ù54 ä Ö Þ@ß Þ Í ÔÂ6Ä §,M6 u6 µ {¤6Ä µe§ 6´,«ýù76´,ú¸ ©m§ 6h£±6·6 §M£ 6 6 6ª , e6·6 $£Ç m 6° ³ Ñ#8 × Í Ù Ö Ó98 × Í Ù ; å :< × æ Ù 6 º6 6 § /= × Íjã ß Ù }»> :? < £Ç T ߪçZè × ÍFã ß Ù £°§$ 6M6 6 6 6T6±6 ]¿e Ø Þ Ø Þ Þ ×ÏØ ¸A@ Ù Ö ã Íå¾æ¾ã ߪçZè ã Þ@ß @ Þ " Í B Þ D Í C = × Íjã ß Ù }´u«}}6¸¹Ï O 6} 6 ×ÏØ A¸ @ Ù ´6M§,,e,§e¥ 6E Ë£Ì6;ñÂ} Ëòó¿e ×ÏØ ¸ õÙ ¸ F ,µ }¿$6 §# R' 6 7ù R' 6»új 6²³ «]6´66 66 µe§ &$ 6{6M}} X ´6 6 ¼ $½ »uµ0M³¬} ¡¿e À «}6¸ G ,6}¶6Àm66m 6±}H F £B 6;ÆÒ³¾7ù 6 FÆ-ú¦ 6º Ï¥ G ¯6"6 µ G ¢G ¯µI § 6´,« E ¥¦6}±} 66 " 6° ³, 6 Ø «µ6µ± Äù ú¦,ù J ú 6º66}6h6 µ } Tµ06 666 R06°´ ¼ }} 6{µ±6 6 §R 66 6¸Ô-6}6$R£6$££ 6 £Ç } 6B0}·T 6§u 66 §¾£ 6 6 6 , B 6] Ä6´£Ê }T -66 µ ÒE :<¥ ²} ¸ R' 6´ Ëòó¶}6ÒKù X 6´ú oµ±} ; §;²½, 66;µe§ÕÔj 6$ 6 h6, "7ù mÔF ú±M6¯§$ Ø Þ Ñ Ø Þ Ñ Ö ML × ÓÕäÑ Ù ã à @ Þ ß Þ Í Ü ÚÛ ×ÏØ ¸ ÷Ù Ø Þ Ó Ø × Þ Ó ÛÝ Þ@ß ä Þ Í Ö ML ÑäÓ Ù ã è NQPRN Ø ¸¡Ô-6{§$ ×ÏØ ¸ ÷Ù 6}66M ;B}6°q µ± O ñ Ëòó¿$ × P Ö Ø&Ù 6¾6 $¥ Ôo§, Ò$6 × P Ö è Ù ¸ ¹¨ R6;6 ´B±} o ; X6;6±6·6 §$ Þ U= Þ = Ö è ã @ Þ ß Þ à Í Ü ×ÏØ T¸ S Ù ÚÛ Þ = Þ U= ä =L = ã ÍRåuæ]ã ßhçHè 4 ÛÝ ÞBß à Þ Í Ö £Ç » §u 6¯£ P V Ø ¸ÂÔÂ6Õ P V ä Ø Ò£oB6°T }Ϻ 6} µ6³ u u6ª6 }¥¬, 6 u± 6-6q¿e Ø Þ Þ ×ÏØ ¸ øÙ Ö <ZY\[ [ 4 Þ@ß P Ù Þ Í L ×ÏØ àXW W ×ÏØ ¸ õÙ. .
(7) éê3]. ì %,í %,í eh îïº%eð $& . ¹¨ 6R 6HB{£º6B±} T ]666 $¥ ¶ 6R RB}6°º6Õ,6 6 F² X£À§,Ï ×ÏØ ¸ Ø&Ù ¸ ¹¨ ,6 6 6£»B Â66}£º6]¤ }6 { ý6} 6B³ ªO 6u£Ò6u½6}qÍ < ãÍ ã5Í ^ 6} Ã6 ±´6} ] - Ä6¯ 6}»6} Ë` ¸ _» 6 6Mµ§¾bÑ a × Ï±²¥ §qbÑ a Y ^ Ù U coÖ Ø dã $ã õ 6T6} 6m£±6h&$ 6´ 6Ò± × }±²§¾ 6} Ù eÍ aÊ¥Å6} 606¯Ò 6}³ F§, 6³ Xe o¿e6µ66 6} ¡bÑ amÖ 9S,e cÂÖ Ø dã $ã 43434 fã S, 6} h Ö g bÑ aª 6 Â6 6¨§6³¬}-6£Ç Þ bÑ a Þ bÑ a × 43434 Ù × ä SÀ#Ñ a Ù ã Þ@ßàÃá Þ #Í a Ö â Ñ < ã ã#Ñ jãÍ k Ü Û Ú ×ÏØ ¸Ti Ù Û Þ bÑ a Y ^ Þ bÑ a Y ^ × 43434 Ù × ä SbÑ a Y ^ Ù ã ä ÛÛÝ ÞBß á Þ #Í a Ö¢â Ñ < ã ãeÑ jãÍ ; cÖ Ø dã $ã õ hÍ å æ ^ Ò 6 ßRç è ¸t H£Ç $6¤ ˪, 6²¥¦6 6 - §$²½$ 66MO6{,)¥Å6 6  6 â × Ñ < ã 43434 ã#Ñ jãÍ Ù Ö L P;V Ø ¸ l 6};$6 × 6M Õ66 6 Ù ¡µ066 , ³6 6¿$6 ¸Àÿº 6º6¾ }6À 6 }Ââ × ÑÌãÓBãÍ Ù n Ö m × Í Ù 6 â × ÑÌãÓ@ãÍ Ù Ö gpoqsr < Ñ ot q Ó q u å v`Yº¸ ÔÂ6; ¾ µ Ï}}»£o6Õ6 ´ Ï ]ÒE Ï6£°§]6¯B Ï¥ {£° 6{} Ä6}}6 ã-¬$ 6}6 §¡X6Ä }¥ 6£ª} e66 6 §¸Ô-6¯B M¯6 §O6²µ0µe§ 6 §$6 ´° 6Tµ±² R, 6º£o6©ª« 6 ¾}¿$ 6 , 6; £ w"6}q 6O x»,²¥ F ¬};¿$ 6¸¹ 6 6 6u 6³²¯¿e 6´£m e66 6 §X ¡µ0 µ,¥ ³ 6Ð6²§¡£° ]} 6²6 ˸]¹¨ ÐB6o6 6²¥ 66} £@6±6 }¿$ 6" "»§$,$6 Âo£@BÂe6 ¥Å66,yµ Ï}¸MM¿$6 q6}q6MB0}¯µz § 6M¸ l }³6| { ² ù l ú¦ 6³¾6± 6T66:¿$ ¾Ò µ6³ 6 TM£o BM§,Ï Õ ²³ }Õ6 66²;6 } £ª 6}¿$ 0 ° ·6 6µ0}»£ÀB}·} 66»Ä ,¤ 6 § ¸ _»}±} 66 6Ä X6; 6 B³ ²}ª6 Ëe60} ª} 6m£06Ò± 6m66 ¿$ 6-À,§$ Ò µ6³ 6}˸¶ÿV60} ª ϱ}"£06-À,§$ M¥ }T£Ç »} X¬Ä§,ÏÁ£j §{B@ 6]6¯ }} 6Õ6 ± 6-6°;¿e {£Ë6» 06 6 §{£Ë6» 6µ0}-£ÌB¥ À oµ± q mµ§;¹¨ 66¯ù ¹¨ 6 ú¦¸j¹¨ ;6oB0}6~ 6 ²|¥ R' 6´ 6 B ¾£F) Ò£Ç T6´§$K-6 ¾6˸ ¹¨ F ²k 66´6 6 À 6¡6q 6° ¥¦µ±6 6 §X 6 6 µ  e° ×ÏØ ¸ Ø&Ù , 6 B}-} ³§ ¯6 .
(8) $m %%'&ÏóeÕ#)Ë (%² $ )% ´e#} $ +*-,¶ e#¨ /.)± 10e q $î&#². éêê. };£Ç q6Ä, ˸>º} 6Ä$6 ×ÏØ ¸ ÷Ù , §¡}B³ O ,µ± }¶ ϱ 66 6 P N Ø 6 PV ä Ø ±}}}§¸ 6 W P W V Ø F¯ ¡ 6M6} 6W W Ë 66 µ ´6 uµ± : < ¥ }} ¸ wh § µ±6 66T´66] F } õ 6Ä6´ 6 F }" @6¸oV6} 6-$66h }}} M 6° , 6 £,µ±6 66}q° Ë+ :<¥Å ³ ² 6Õ 6° e 6ª § ³ e µ±6 66" M6-, Ë 6 6- qB ´6-À£Ç 6} y :<À 6° 66 6 M·³6}À³ £Ç × 6q³ 6 Ù ¸ Ì}6qµ6 ¼ §ý6}66u PQÁè ¸Ô-6u §ýµ±6 66£ § F } õ 6Ô-6} õ ¸ Ø $ §M d = mµ±6 66u : 6{6ªµe§ 6 } 6ý£Â¿e 6 ×ÏØ T¸ S Ù Þ /= Þ@ß Õµ±6 66}ýk : × è !ã E 7t < Ù £Ç 5 Zè ¸¶¹¨ u$ £F6q6 ±µ±6 66Ò£ F ² $5 U= µ06 66 : × æ Ù ¸ ÔÂ6-µ±6 66;µ 6 " 0" $¸ õ §Õ À6-£Ê M¥ § U= -°§{}B }Ò × ù è !ã -ú : < × æ ÙÙ £Ç T 5 Zè ¸ º 6} =L = #ä L O : ¥ ¬± = bä è Ï 6§Ðk : 6 £°:6 ¼ $½]¿e 666 Þ Ö ä L Þ Í Q ¯ ¡6 6£m6ϵ , 6 × 6 £Ê ²Õ : Ù ¸ñ 66} 6 å:Du66Õµ0&´¿$ §{M }Â Ö ä. Ø. Þ <t L ×ÏØ ä P Ù Þ Í. : " ¸ Ô-6´ Mä Ø N POVZè £Ç ÄT6 ¸ ÔÂ6 PN ä Ø ; 6} G 666; ³6}еe§ 0 6}¡B ² 6´6 § × ¸R,³ ù7R Ø ú¦"ù7Rb új 6>"¸ ÔoÕù/Ôo Ø ú¦ËùöÔo/ ú Ù ¸o¹¨ F }G ÷ ´²½$ 6¾,T §$Â6»,²¥ 6 6 Ìe6 ×¨Ø ¸ i Ù ¸ § ; 6,Ò6$£Ç·6T²½$¥ 6 6 6q ¶£ 6ª6¶ µ6³ 6µ± ¸o¹¨ M£Ê },"}6$ £h6e£m 6´¾$6 u} e66¯}Õ£e¸¹¨ ¡B¥ 6° Ä ¬u} ³ ² × 6Ã6 ±Ä Ä 6} Â6$£Ç Ù Ã6 ¥¦ RG ÆT}° 666½, ] ³ 6³ 6£Ç}»6} § × }qñ»¸ ©Â6 ¸ ©º¸ ¶² h 6ÕƯ¸ F mùö© F ú¦& 6¯6£Ç}} 6 6} Ù ¸.
(9) éê3. ì %,í %,í eh îïº%eð $& . ~pBkalx¾p¡vodaÊgBdamb$k}|&ap6|b,kpBnor e¡Êg z pb¡mbM¢Ìack}|b,noxb0~. ¨¹ 6h}} ·66h6Ò 6° 66Ò 6° ¥¦µ±6 6 §q 6 6 µ Õ£Ç ;ϧ,} ×ÏØ ¸ Ø&Ù ¸X §6 ¯ ;£Ç M}§}²¥ ³§B 6]66$£Ç ˵±Õ˸©ª6@T Tµ0± , Â6» 6}³ Ì;6 Ë 06 Ä6}¿$6l,M, ¬, 6 G 6 Ò 6}²Tµ±} ]6]µ0£Ç ¸ ·,Ò ,±}Ë Ëµ±¯}º}Ò Ë Õ 6]6,§ ×ÏØ ¸ Ø&Ù Xµ±6 66}¡ } £>Ö × ä mBfã m Ù 0}e6Õµ06 6 §R 66 6¸ ÔÂ6o³ ¯ j6oÒ6&ª)½6Ï 6 6;6 6¿$6 6£ ·, 6 66} ¬Ä 66 6Ò u6´}$}® âB¸ ¤º}£Ç6»6 ·}£Ç 6R, ϧ,} ×ÏØ ¸ Ø&Ù £Ç µ§ 6u6},u£T6ýü 6þX}]¸ÐÔo¬$ 6R6Ä6 £-6{ ¿e 6 6Z } ³ 6¡&} £´ µ6 ý6 6} Ë ¦ § ¥§ × ÍFã ß Ù ¨ Í· 66²± 66 »£ ßÂç è ¸ F}T 6 ª © × « Ù « çHè µ±¯ × }6° Ù ²½O£Ç6 6} ˸M¹Ï£ 6 §6M¤6ϯ¿e O£m§$ ×ÏØ ¸ Ø&Ù µ§ ©¬ × Ñ Ù 6Z6} 6Hµ§ ©¬ × Ó Ù Ò £°}{ ³ 6} £ µ6³ Þ © ×Ñ Ù Þ © ×Ó Ù § Þ@ß à § Þ@ß × $¸ Ø&Ù ® ® Ö ä § â × ÑÌãÓ@ãÍ Ù × ÑäÓ Ù × © ¬ × Ñ Ù ä © ¬ × Ó ÙÙ ¨ Í 4 ®. F 6} ©¬ ׫ Ù j 6 ¯6} 666¥¦ 6;6"£ × $¸ Ø&Ù j 6 ¯0 ¸ ÔÂe6 T6666h h£Ç § ¥§ × © × Ñ Ù à © × Ó ÙÙ¨ Í " 6 6. 6 ] 6} 6 ßmçHè 6 × $¸ Ù ®. × × × Ù Ù × × ÙÙÙ¨ Í § © Ñ ÍFã ß à © Ó ÍFã ß N ®. × × × Ù Ù × × ÙÙÙ¨ Í 4 § © Ñe8 Í à © Ó98 Í. ¹¨ B 6·£6O 6 ·6 6}¾Ñ#8 ãÓ98µ± 6Ã: × £ Ù T¬, 6 O666¡6 © × « Ù Ö «¯ £Ç ¾ §;° ç Ø · 6t} 6°N à ± £Ç 6qµ±6 6 × $¸ õÙ ² ½ ³³Ñ × ß Ù ³ 9ã ³³Ó × ß Ù ³ N ² ½ ³³#Ñ 8M³ 9ã ³³+Ó 8³ 4. ç ´ª ç ´ £:£Ç F °§ ] §Î 6¾ Ñe8 × Í Ù µ Ó98 × Í Ù ¶ ´çNè ¸ºÔÂ6 Ë˳6$ 6 © ׫ Ù Ö « t ¯ × ° tè Ù × $ ¸ Ù µ± Ë 6R² 6.
(10) $m %%'&ÏóeÕ#)Ë (%² $ )% ´e#} $ +*-,¶ e#¨ /.)± 10e q $î&#². à ± ¯ µ6³ Ø Ø ½¸¹¹ × ß Ù ¹¹ /ã ¹¹ × ß Ù ¹ Ñ ¹ ¹ Ó ¿e6 §6£Ç T ßmçZè. éê3·. °q. × $¸A@ Ù. ¹. ¹ >º ¹. N ½I¸`¹. Ø. ¹. ¹ Ñe8 ¹ ¹ ¹. ã/¹¹. Ø. ¹ ã Ó¹ 98 ¹¹ z º. 6§£ Ñ × ÍFã ß Ù ãÓ × Íjã ß Ù ç 6§£ Ñ#8 × Í Ù ãÓ98 × Í Ù 4. ?9». ?9». Ô 6 £Ç u6 ¯,® ;¾§,¡6 µB ²½,Ï¥  6}¯£oq6 6¿e6, u£j§$ ×ÏØ ¸ Ø&Ù £Ç º°´° ң̳´$£¥ ¤ ¸ R 6§ Õ 6 6]ϱ£°§,TµB ; 66 6 Xâ × ÑFãÓBãÍ Ù ¸ ¼ bU½ÀnoaÇ|&acg@n ~ È ~ Ø&Ù â × ÑFãÓBãÍ Ù ¾J¿À9ÁÂÀ/Ã+ľJ¿f¿d¾ÆÅ'ÇÉÈ Ê!À+ËZÈ1ÌfÍÈÎÏ̾|ÈÁÐË ÍÒÑ ËÓfÔbÈ´Ø u Ñ3ÍÊ ¿dÓ¿dË
(11) ÈÄ ×ÏØH4 Ø&ÙE¾ÕÑ Ù â × ÑFãÓBãÍ Ù N á < ×ÆÖ Ù V ±Ø× ¾KÑ ÑÌãÓ N ÖÑ3Í+ÊIÀ+ÁÐÓIÖ Hè × À+Áeà ÍRå£)Ù Ù â × ÑFãÓBãÍ Ù~¾J¿À+ÁÀ/Ã+Ä1¾J¿d¿d¾ÆÅÇÉÈÚÊÀ+Ë
(12) ÈÌdÍÈÛÎØ̾ÈÁÐË\ÍZÑ~ËÆÓÔbÈ ¾ÕÑ â × è ã è ãÍ Ù Ö À+Áeà ± µ Ù â × ÑÌãÓBãÍ Ù N á ×0Ü Ù V ±Ø× ¾ÕÑ ÑÌãÓ ç Ü Zè Ñ3ÍÊ)À+ÁÐÓ)Ü Zè Ù . ÿ )½ ´Ò uµ§Ä6´}$}® . â × ÑFãÓBãÍ Ù Ö × Ñ à Ó Ù L 4 â Ò£F¨§e± Ø £ PÐçZè @ 6¾£F §$0I £ P;VHè ¸ ´6 ] »6¯£Ç 6 è N Ñe8 × Í Ù ãÓ+8 × Í Ù å : × £ Ù ÙÏÞàß ÈÁ Ë ß È-¾áÁоáËƾÆÀ+Ç â `d&gBv"g@kaÊ|&aÊg@n ~ È ~kÝ È Ë Â ÅdÍãÁeÃ/À9ÊdÓpä+À+Ç ãbÈÔeÊÍHÅ'ÇÉÈÄåÑ3ÍÊ;Ë ß Èk¿dÓ¿dËZÈÄ ×ÏHØ 4Ø&Ùkæ\¾áË ß ÀpÊ!À9Ë
(13) × ÈÌfÍÈÎÏ̾|ÈÁÐË ÍZÑkËÆÓÔ#ÈÐØ ß À¿ ÀØãMÁb¾ÆçãbÈO¿3ÍÇ ã˾|ÍÁ Ñ × ÍFã ß Ù ãÓ × ÍFã ß Ù è å : × £êé × è ã! ÙÙë Ù Ñ3ÍÊÀ+ÇJÇ _è ã Ø N ° V × ù è !ã -ú : ¯ × £ Ù ÙÂì ÁÏÀ/Ã/Ã+¾áËƾÍÁ Ë ß È-¿3Í+Ç ãMËƾÍÁ ± × ¿'À+ËƾJ¿áí~Èd¿Ë ß È1ÅdÍãÁeÃ× 4 õÙ Ù `d&gBv"g@kaÊ|&aÊg@n ~ n ~ Ý ÈË èN Ñ#8 × Í Ù ãÓ98 × Í Ù å:D × £ Ùî¿'À9˾J¿ÛÑdÓ Ñe8 ãÓ+8 çï´ ÍÁ £ Ñ3Í+Ê¿3ÍÄ-È ´)Hè Ù}Þàß ÈÁ Ë ß È¾áÁоÛ˾ÆÀ9Ç âðÅdÍãÁeÃ/À+ÊÓ(ä9À+Ç ãÐÈÔeÊfÍHÅÇÉÈÄñÑ3ÍÊ Ë ß È × Ì¾ÈÁÐËòËÆÓÔbÈ }ß À¿²ÀãÁоÆç'ãÐÈÚ¿ÍÇ ãMËƾÍÁÅdÍãÁeÃUÈà ¿dÓ¿dËZÈÄ ×ÏHØ 4Ø& Ù æ\¾áË ß ÀÊÀ+ËZÈÌfÍÈÛÎØ À+æÀ9ÓEÑÊÍÄïóÈÊÍ Ñ × Íjã ß Ù ãÓ × ÍFã ß Ù O å : × £ñé × è ã! ÙÙôë × ù è ã!-ú: ¯ × £ ÙÙÑ3ÍÊ À+ÇJÇ \è Ø N ° V Ùì Á À/Ã/Ã+¾Û˾Í+Á Ë ß ¾J¿1¿ÍÇ ãMËƾÍÁO¿'À+ËƾJ¿áí È¿Ë ß È-ÅdÍãÁeÿ ± × × 4óõ) Ù À+ÁeÃ{× × 4 @ Ù Ù.
(14) é3õ. ì %,í %,í eh îïº%eð $& . ÿ B}6°)6£Ââ µ,6§O ´¾ µ6³ 66 o²¥ 6Õ£Ç ¯6 6° ¥¦µ±6 6 §X 6q6 µ } ×ÏØ ¸ Ø&Ù ¸ÿº6 6 e66} Ë { }Ð 6 ¼ 6$¥Å,§$ £ª§$ ×ÏØ ¸ ÷Ù 6 T} 0 66·6³6Mâ × ÑFãÓBãÍ Ù Ö × Ñ Ó Ù L Ö L 6} Ù L ´ 6à µ Ì)½6Ï 6M 6 PpN Ø ¯ ¤,½6O 6³ ¸ F 6} × Ñ Ó 6 6¿e6 6M£·R, Ð : £Ç à ;µeO § " ± $¸ Ø 6 P ± 6 Òµ § " 0 $¸ 6 P - 6 ¸ R] 6 66R£Ç u£Ê } £° 6]6 §ý£ 6Bh 0}³ }ö¸ F²ø ÷uÖ × ÑÌãÓ Ù 6;}ö ù µ0h6m 0}³ j6}¤ 6 L µ§ ù ÷uÖ × ML × ÓÕäÑ Ù ã UL × ÑäÓ Ù5Ù 4 L ÔÂ6 fhb;p ~ È ~Ý ÈË è1N PON Ø Ù1Þàß È Á × Ë ß È ÍfÔbÈÊ!À9Ë
(15) ÍÊ ù ¾J¿²Ã+¾J¿d¿d¾TÔÐÀ+Ëƾáä9ÈòÑÊÍÄ L Ë ß È)ÃUÍÄ"À+¾áÁ ú Y ×ù. Ù ÖX × ÑFãÓ Ù å: < × £ Ù é: < × £ Ù ã"³³Ñ\³ ã9³³Óà³ V ± L ¾áÁÐËZÍ :< × £ Ù é:< × £ Ù Ù ì Ñ ä Ø NûPpVQè +À Áeæ¾KÑ ´ è Ë ß ÈîÍfÔbÈÊ!À9Ë
(16) ÍÊ ù ¾J¿}Ã+¾á¿f¿d¾TÔÐÀ9˾áäHÈDÑÊÍÄ × × L Ë ß È)ÃUÍÄ"À+¾áÁ ú ü Y × ù Ù ÖX × ÑFãÓ Ù å: < × £ Ù é: < × £ Ù ãºÑFãÓ çÏ´ ã"³³Ñ\³ ã9³³Óò³ V ± L ¾áÁÐËZÍ :< × £ Ù é :< × £ Ù Ù ý²þ#ÿÿÌ}o6j ¶Ò}; ±}³ öùΣ°¢6m6 ú × ù Ù : Y ×OÙ (: < ×OÙ -6B£ÅB£Ç T §¾£Ç6 6} 6÷ < ãd÷ åú × ù Ù × ù ÷ < äÂù ÷ Ù × ÷ < äO÷ Ù¨ Í Z N è 4 ® ¹¨ ],Ò #¾ ÷ Ö × ÑFãÓ Ù ,M . × ù ÷ < äÂù ÷ Ù × ÷ < äO÷ Ù L L Ö ×× Ñ < à Ó < Ù L × Ó < äÑ < Ù ä × Ñ à Ó Ù L × Ó äÑ ÙÙ × Ñ < äÑ Ù Ù × ÙÙ Ù54 ×× Ù × Ù × × à Ñ < à Ó < L Ñ < äÓ < ä Ñ à Ó L Ñ äÓ Ó < äÓ ÔÂ6 Ëe6T 66 £06· º£Ç "µ§ µ ², 6¯ £Ç m çHè 6£Ç6 6} . Ö × Í à m Ù L × Í äÂm Ù54.
(17) $m %%'&ÏóeÕ#)Ë (%² $ )% ´e#} $ +*-,¶ e#¨ /.)± 10e q $î&#². é
(18) . - 6 6´ 6 ¾6}} 6 £Ç · §{¤,½6 P åÐùä Ø ã Ø ú¸ Ì}·6Ò 6 }. Þ Þ Ó Þ ä Þ Ñ à ML × ÓÕäÑ Ù ã Þ à ML × ÑäÓ Ù Ö Þ × äÒÑÌãÓ Ù à ù ÷ 4 B C Í Í Í L L ÔÂ6 ËB6£Ç 6} ;-6°. ÷¾Ö. fhb;p ~ ~Ý ÈË èN PON Ø Ù1Þàß È Á × Ë ß È ÍÔ#ÈÊ!À+ËZÍÊ ¾J¿²Ã+¾J¿d¿d¾TÔÐÀ+Ëƾáä9ÈòÑÊÍÄ L Ë ß È)ÃUÍÄ"À+¾áÁ ú Y × L. Ù ÖX × ÑÌãÓ Ù å << × £ Ù é <T< × £ Ù . ¾áÁÐËZÍ : < × £ Ù é : < ×£ Ù Ù ì Ñ ä Ø NªP V è +À Áeæ¾KÑ ´ è Ë ß ÈîÍÔ#ÈÊ!À+ËZÍÊ ¾J¿"Ã9¾J¿f¿d¾TÔbÀ+˾Ûä9ÈÑÊÍÄ × × L Ë ß È)ÃUÍÄ"À+¾áÁ ú üY × Ù X Ö × ÑÌãÓ Ù å << × £ Ù é << × £ Ù ã·ÑÌãÓ ç ´ L ¾áÁÐËZÍ :< × £ Ù é:< × £ Ù Ù. àþ ¹¨£ èkN PûN Ø 6Ä)½6Ï 6{6 § O: õ0{²½$¥. 66} T£´æ 6,Ä §Z6®6¨§¸¢ÿ £Ç,6}u 6¿e6 6O£ " ± } $¸ Ø ;µ 6} q6T»6 6 × $¸ Ù À e£@6 6° Ë eÑ 8 × Í Ù ãÓ98 × Í Ù å: × æ Ùøë : ¯ × æ Ù £Ç · ° ç Ø 66¯, Ù ë : ¯ × æ Ù 6 Ñ × Íjã ß Ù ãÓ × ÍFã ß Ù å :D × æ ` B. ®"!. × Ñ × ÍFã ß Ù ¯ Ó × ÍFã ß Ù ¯ Ù ¨ Í <$# ¯ à C. - 6 6´ 6 ¾ 6} 6£Ç ßmçZè ¸ © §ÏF} $¸ $·6,6t6¡ 6 · 6]¡ púY × Ù ·6 m L , u£F6§, ×ÏØ ¸ ÷Ù ¾µ0 ] × Ñ &× % ã ß Ù ãÓ × % ã ß ÙÙ Ö('*),+.- × Ñ#8 ×&%)Ù ãÓ98 ×&%)ÙÙ 6Ë ÷ < Ö × Ñ < ãÓ < Ù b÷ Ö × Ñ ãÓ × $¸ ÷Ù ³/'*),+.-Ð÷ < ä01' ),+.-Ð÷. . Ù. ³ < N ³ ÷ < äO÷ ³ < 4 .
(19) é*2. ì %,í %,í eh îïº%eð $& . ¹¨ ¾B6°B£F6 6° Ë6 6 × Ñ#8 × Í Ù ãÓ98 × Í ÙÙ ¯£Fµ06 66]¥ Ë » -6´, × Ñ × ÍFã ß Ù ãÓ × Íjã ß Ù٠£̵06 66¾° Ë 6 × $¸TS Ù. Þ × ßÙ ½ ¸ ¹¹ Ñ Þ ÍFã Í ¹. ¹¹ ã ¹¹ ¹ < ¹. Þ Ó × Íjã ß Ù Þ Í ¹¹¹ < º Þ Ñ#8 × Í N ½ ¸`¹ ¹ Þ Í ¹. Ù. ¹¹ ã ¹¹ ¹ < ¹. Þ Ó98 × Í Þ Í. Ù. 4 ¹ < º Ì}Õ6 6 66}¯6 ¾ä Ø NûPnVQè ¸©ª§z ± $¸ $Ì} G § ´1Hè ÕM6 6¿e6Õ µB , ¾£o§,Ï ×ÏØ ¸ ÷Ù :D × £ Ù ¸ ,6} 0µ§Ì î $¸ $0} X 6 j ³÷ Ö × Ñ ãÓ Ù 6Â÷ Ö × Ñ ãÓ Ù ÷ < ãd÷ åú ü Y × Ù 6u, 6M< §ý,< µ < ¿$6} ß Z è £°§u 6¿$ § × $¸ ÷Ù ¸ L ¹¹. ÿºª ¥¦¬$ 6 {£Ç - }}º 6 6 6 , e6 h ² ½$ 6O6M} ,X¾ ö:<¥Å ³,¸Õ¹¨ 66 Ë £hÑ#8 × Í Ù ãÓ98 × Í Ù µ±6 66} 6&6m, × Ñ × ÍFã ß Ù ãÓ × Íjã ß ÙÙ jµ±6 66;° Ë 6 6}¿$ § × $¸ S Ù 66¸ÔÂ6T6}$6m6 mT6 «qµe§ 6£Ç 6 è N Ñ#8 × Í Ù Ó+8 × Í Ù åR:< × £ Ù Ù¶Þàß ÈÁ ÔeÊÍ+ä¾ÆÃUÈà `d&gBv"g@kaÊ|&aÊg@n ~43Ë~êÝ ÈË n P N Ø Ë ß È¾áÁоáËƾÆÀ+Ç â!ÅdÍãÁeÃ/À+ÊÓzä+À+Ç ãbÈ1× Ô5ÊÍHÅÇÉÈÄ ×ÏØH4 ÷Ù ß À¿À>ãÁоÆ× ç'ãÐÈ65+ÇÉÍHÅfÀ+Ç W¿3ÍÇ W ãËƾÍÁ × Ñ × Íjã ß Ù ãÓ × ÍFã ß Ù n Ù Ñ3Í+ÊÀ+ÇJÇ ç:è Ù;ì Á À/Ã/Ã+¾áËƾÍÁ å × ù è !ã -ú :< × £ Ù ¾ÕÑ #Ñ 8 × Í Ù ã9Ó 8 × Í Ù å7 98 × £ Ù Ë ß ÈÁ Ñ × ÍFã ß Ù ãÓ × Íjã ß Ù å :D × è ã ± : 98 × £ ÙÙÀ+ÁeÃ × × × 4Ø è Ù ß ÍÇ Ã+¿ Ù<; ãMÊË ß ÈÊdÄ"ÍÊfÈ ÑÍÊIÀ+ÁbÓ ° ç Ø ¾ÕÑ eÑ 8 ã+Ó 8´å: ¯ × £ Ù æDÈ ß À+äHÈ × × × B. ® !. × Ñ × Íjã ß Ù ¯ Ó × Íjã ß Ù ¯ ÐÙ ¨ Í <$# ¯ N C B à . × Ñ × Íjã ß < Ù ¯ Ó × Íjã ß < Ù ¯ ÐÙ ¨ Í <$# ¯ ã à C. ® ! Ñ3ÍÊ ß < VZß ÙÚì Ñ èN PON Ø Ë ß Èd¿3ÈEÊfÈd¿dãÇ ËÛ¿È>=HËZÈÁeÃ}ËZÍ Z £ Ö æ Ù × àþ ( 4 ÒÕ} «}¯ º 66}? 98´¥µ±6 66± 6 ²: ¯ ¥¦µ06 66 £Ç Õ6 ϧ,} ×ÏØ ¸ ÷Ù 6}0 6à  ¸¾Ô-6ÕÕ 6 ¯6 £ e ¬¡£Ç : ¯ ¥µ±6 66· Ä66²}¸. ¹¨ 66 ¯ `d&gBv"g@kaÊ|&aÊg@n À+Áeà è N #Ñ 8 × Í èîN eÑ 8 × Í Ù +Ó 8 ×. ~A@F~Ý È Ë è N #Ñ 8 × Í Ù Ó98 × Í Ù åXúY × Ù Ù +Ó 8 × Í Ù å ú üY × Ù × Ñ3× ÍÊ¿3ÍÄ"È ´Qè × L ¾ÕÑ ×× Í Ù åB L è Ø N ° N Ñ × ÍFã ß Ù o ¯ × u ç> × ±Ø×. ¾ÕÑ è NµPQN Ø ×PV\è ÙOÞàß ÈÁ ¾ÕÑ × ãÓ × ÍFã ß Ù å0 o × ¯ ×.
Documents relatifs
c) the estimated overall AM-PM of the corresponding LMBA. In red and blue the curves corresponding to the peak output power and maximum back-off efficiency respectivelly. 121
Cette thèse est consacrée à l’étude de l’existance globale et à la décroissance de l’energie pour des équations et des systèmes d’évolution non linéaire de
This article somehow completes the former paper [16]: numerical diffusive limits of (1+1)-dimensional kinetic models (1.1) are studied by rescaling well-balanced schemes relying
particles, strongly interacting at distance ε, the particle density approximates the solution to the Boltzmann equation when N → ∞ , ε → 0, in such a way that the collision
While such problems exhibit purely diffusive behavior in the optically thick (or small Knudsen) regime, we prove that UGKS is still asymptotic preserving (AP) in this regime, but
Jang SCHILTZ (University of Luxembourg) joint work with Jean-Daniel GUIGOU (University of Luxembourg), & Bruno LOVAT (University of Lorraine) () An R-package for finite
The paper is organized as follows: in Section 2, we define precisely the model and we present the hydrodynamic equations we obtained and the definition of weak solutions that we
In the latter category, mixtools provides algorithms for estimating parameters in a wide range of different mixture-of-regression contexts, in multinomial mixtures such as those
