DU ROLE DES TRANSFERTS ENTRE
REPRESENTATIONS: (Maquettes, images,
codages, formules, langages formels et
"naturels"....) PERSPECTIVES POUR UNE
REVOLUTION DE L'INTELLIGENCE DANS
L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES ET
DANS LE SYSTEME EDUCATIF!
Marcel DUMONT
Ecole d'Architecture de Normandie et IREM de Rouen
HOTS CLEfS DU TEXTE INTRODUCTIf A L'ATELIER:
Visions, Carences, Significations, formes, Transferts.
RESUME :
Outre un descriptif sommaire de l'atelier proposé, ce texte introductif souligne
à propos de mathématiques (domaine spatial, numérique, formel) le rôle filtrant de l'unicité des visions et modèles archaïques. Il essaie de provoquer une prise de conscience de :
Il
l'utilité de la diversification des visions, représentations et interprétations. 2 l'importance, dans un système éducatif, des démarches modélisantes et des transferts.ABSTRACT :
After a summary describing the purposed task of workshop, this text emphasize, about mathematics (spatial, numerical. temporel domains) the filtering power of uni-city of visions and archTcs models.
It try to provocate consciousness about:
1) utility of diversification of interior visions, representations and Interpretations,
Cet atelier se Pl'oposait un essai d'analyse de la situation actuelle dans l'en-seignement des mathématiques et ailleurs, ainsi que quelques réflexions et suggestions. Voici le résumé proposé;
MOTS CLEFS; Diversifier, Représenter, Interpréter, Fonctionner, Valider.
RESUME; (à partir de multiples exemples dans les domaines "numérique", "spatial", comb i natoi re" ... )
1) Introduction: démarches modélisantes en mathématiques et leur enseignement; croyances, et carences.
2) Essai d'analyse;
-rôle des changements d'interprétation, .•.
-rôle des changements de représentations, codes et langages, -rôle des changements de fonctionnement, de syntaxe, ... -rôle des "formes" (au sens large .•. )
-rôle des mouvements, déformations et transformations ...
-rôle de l'élargissement ou rétricissement des contextes, des échelles de perception (du local au global, du court terme au long terme .•. )
-rôle de l'évolution des matériaux et des techniques dans la création de modè les ...
3) Quelques remarques
-hasard et déterminisme dans les modèles et dans les situations modél isées ...
-des paradoxes ; modèles qui fonctionnent facilement mais qui s'interprè-tent difficilement ou vice-versa; modèles qui prévoient et n'expliquent rien, modèles qui expliquent sans pouvoir prévoir,
-modèles rigoureux de l'à-peu-près et modèles approximatifs de la rigueur ...
-des faits de langue (récursivité dissimulée, contradictions syntaxiques ... )
4) Conclusions;
- Les mathématiques; une école de construction de modèles de modèles de .... - L'activité humaine; utilisation et création permanente de modèles (y compris à l'aide des langues naturelles)
L'école, en développant cette idée de modélisation (le terme ne figure toujours pas dans les objectifs et les programmes de mathématiques 1) saura-t-elle combler le fossé entre les unes et les autres 7
INTRODUCTION
Toute l'histoire de l'humanité montre que l'évolution des connaissances va de pair avec l'évolution des "représentations" (au sens large: y compris l'évolution des "idées" que l'on s'en fait au travers des discours, des codes, des images, des maquettes, etc ..• ). Que signifient des mots tels que "connaissanc.es", "idées", "concepts" •.• 1 Il est banal de constater qu'il n'y a pas d'idées qui ne s'appuient sur des perceptions (directes ou indirectes, via des instruments ... ). Le même indivi-du peut, à certains moments, voir ou entendre des mots, puis à d'autres percevoir des images, des sons, des objets, des actions ..• etc. Il est moins banal de prendre cons-cience :
1- qu'il s'agit en fait d'une cascade de représentation de représentations de .•. (on imagine un discours-au sens de traduire en images, on code une image, on décrit le fonctionnement d'une maquette •.• ).
2- que ce sont les transferts entre les unes et les autres qui donnent un "sens". Si l'on s'en tient aux représentations communes, alors il s'agit du "sens commun" facilitant une bonne communication avec sa propre curiosité. Tant que nous n'ajoutons pas nos propres représentations aux représentations communes, notre com-portement a de grandes chances de ressembler à celui d'une machine. On imagine fort bien, à bref délai, les futures machines à architecture parallèle, capables de stoc-ker ces représentations et de réaliser, par apprentissage, ces transferts, beaucoup plus vite (et sans étourderie ni ... désobéissance) que nous. C'est la création de nouvelles représentations, intégrant, complétant, voire contrariant ou effa~ant les précédentes, qui, en s'appuyant sur le champ des expériences personnelles, met en oeuvre le potentiel insoupçonné que chacun porte au plus profond de son être.
Or plus les expériences personnelles sont voisines de celles des autres, meil-leurs sont les chances d'accord, de consensus social, mais aussi plus grands sont les risques d'un bloquage de toute évolution des connaissances. En effet, s'il est évi-dent que c'est à partir de la "réalité", de l'univers de nos perceptions que nous bâ-tissons nos propres "visions" ou "représentations·, il est moins évident de prendre conscience que, vice-versa, les problèmes que nous nous posons à propos de cette "réalité", sont généralefJl€nt ceux qui "cadrent bien" avec la vision que nous avons de cette "réalité". Autrement dit, les "conceptions" que nous avons, jouent le rôle d'un filtre pour les problèmes et les perceptions que l'on tire de cette réalité.
Un autre facteur de b1oquage est cet te croyance en l'un i versa 1i té d'un mode d'expression, dans la suprématie omnivalente de l'un d'entre eux sur les autres (par exemple: une langue naturelle, le langage des ensembles, la géométrie euclidienne, le système "quasi-vectoriel" de numération -la base dix étant privilégiée •.• ).
Enfin la rareté des transferts provient, sans doute, aussi de la multipl icité des frontières et cl oi sons en tous genres, qu i, mi ses en place progress i vement au cours des siècles, ont abouti à une conception taylorienne du travail intellectuel
autant que manuel. Une expression cOlTIne "Rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme" a bouleversé l'évolution des connaissances au début du XIXe siècle. nous sOl1lTIes à l'aube d'une époque où l'expression "Rien n'est vide, rien n'est plein, tout se traverse" bouleversera nos conceptions spatiales et beaucoup d'autres (y compris les cloisonnements de discours cOlTIne celui-ci.
2 - L'exemple de l'espace est significatif à ces égards Quelles visions avons-nous de l'espace 1
- 22 siècles après Euclide nous sOlTlnes encore prisonniers du point, de la ligne droite et du plan pour 90% de la population scolarisée et. .. diplômée. (conique et quadrique apparaissent cOlTIne un rafinement réservé aux 10% restant -ne parlons pas des cubiques et autres ... ).
- Presque toutes les représentat ions s'appuient sur des "objets" di ts usue ls : parallélépipèdes, prismes, cônes, sphères (oubliant d'autres tels les tores c'est-à-dire "anneaux, chambres à air .... ").
- Le cloisonnement entre lignes, surfaces, volumes (interdit d'aller au-delà!) reste encore l'idée fixe de la majorité de nos contemporains.
- Près de 5 siècles après la Renaissance, perspectives et projections consti-tuent l'outil essentiel de la création de nos images.
- Plus de trois siècles après Descartes, tous les corps de métiers, presque tou-tes les branches de la recherche sont bloquées par un univers "II 3 dimensions".
On en rajoute une, depuis Einstein pour faire semblant d'avoir compris ce Qu'é_ tait le temps; puis on en rajoute quelques autres pour tenter d'unifier les 4 forces fondamentales. Mais c'est encore la conception 3D qui sous-tend la plupart des repré-sentations même en infographie, CAO, DAO et autres retombées récentes des technolo-gies nouvelles (et malgré les visions fractalisantes de Mandelbrot).
- Seul le solide, le rigide apparait cOlTIne la base de nos certitudes (que signi-fient ces mots Il l'échelle de milliards d'années 1) Où voit-on des problèmes portant sur des quadrilatères gauches, des configurations mobiles, articulables, déformables, fluides, turbulentes 1
Comment peut-on prendre conscience d'un espace sans possibilité de déplacement, de cheminement 1 A ce sujet, quelle différence fait-on entre un mouve-ment et une déformation 1 (par exemple quand deux galaxies se traversent 1).
- Vers Quels paradoxes nous entralne ce concept de points sans dimension Qui peuvent, en s' accumu 1ant, donner des espaces Il dimens i ons non nu 11 es, 1i gnes Il sec-tion nulle, "surfaces sans épaisseur", etc... s'accumuler, c'est-II-dire se toucher bord à bord, mais justement ces points n'ont pas de bord ! •..
- Cornnent dès lors imaginer un cube Il une "dimension" 1 c'est-II-dire qu'on peut repérer Il l'aide d'un seul nombre n'importe quel sous-cube aussi petit soit-il. (à
l'aide par exemple d'un labyrinthe fractal dont le "module de base" ressemble à un étrier aux 2 branches retournées ou encore un "trombone à papier" retourné). Chaque
fois qu'on passe d'une partition du cube à une partition plus fine, on passe du laby-rinthe précédent au suivant en remplaçant chaque "segment" par un module de base con-venablement placé et il suffit d'un chiffre supplémentaire au nombre à virgule pour repérer un sous-cube, plus petit, du sous-cube précéde~nent repéré. On ne repère donc pas un point au sens usuel, mais des "zones d'espace" aussi petites que l'on veut avec des labyrinthes qui "remplissent" autant qu'on veut le cube initial!.
- 11 est curieux de constater que la modélisation de la géométrie grecque com-mencée au début du XIXe siècle a conduit les théoriciens comme Hi Ibert à préciser que, dans leurs modèles qu'on appelle encore des géométries, le mot "point" est dé-pourvu de toute interprétation et peut signifier n'importe quoi ! Il n'empêche que pour la majorité des gens c'est encore la vision atomiste grecque du point insécable qui est restée, si tant est qu' il n'est pas de mot qui n'évoque des ·visions· ou ·sensations". Peut-être vaudrait-il mieux suggérer carrément une "définition récursive" du type suivant: "tout point est un nuage de points" ce qui aurait l'a-vantage de permettre les traversées sans pour autant éviter des chocs ! La théorie des supercordes en physique théorique est là pour nous interroger.
- Comment imaginer des "sans-bord" qui ne bordent rien puisque jusqu'au bacca-lauréat inclus, les seuls espaces proposés sont ceux où tout sans-bord est un bord! Mais près d'un siècle après Poincaré la notion de bord n'est toujours pas entrée dans la culture. (curieux paradoxe à l'époque du règne des cloisons !). (Une ligne non-bouclée a un bord constitué de ses deux extrémités) Sur un plan, sur une sphère ou "surfaces analogues" toute ligne bouclée (donc sans bord) borde deux sous-espaces ha-bituellement appelés intérieur, extérieur. Par contre, sur un tore, des cercles pa-rallèles ou méridiens ne partagent pas la surface en deux régions bien qu'étant des sans-bord. Un polyèdre usuel est bordé par son ensemble de faces, lui-même sans bord, etc ... Imaginez alors une boutei lie de Klein ou une surface de Boy polyédrique. Que bordent ces sans -bords ? 11 es t vrai que, sile ruban de Moeb ius commence à être connu, qui connait ces autres "objets· aux vertus traversantes?
- Pourquoi, malgré l'existence de matériaux contemporains permettant facilement la construction de maquettes, a-t-on tant de peine à imaginer des "hyper-cubes" 1 Mot bien mal choisi puisque la métrique usuelle est inutile; le préfixe hyper souligne le bloquage idéologique. Appelons-les des pavés dont on ne retient provisoirement que les arêtes et sommets pour mieux imaginer que des "objets" peuvent se traverser sans avoir d'éléments communs! (on ne retient que la carcasse éventuellement articu-lab1e). On translate le pavé à n-1 directions dans une direction supplémentaire pour obtenir le pavé à n directions; le segment engendre le parallélogramme ou pavé à 2 directions, ce dernier engendre le pavé à 4 directions etc ••. Ce dernier, pour ne pas privilégier une direction, est donc bordé par B pavés à 3 directions (ses faces !) (4 paires de 2) 2 de ces pavés en translation, peuvent être dits parallèles bien que pouvant se traverser dans la vision classique. Chacun d'entre eux est lui aussi bor-dée de pavés à une dimension de moins etc .. L'intérêt de telles "visions" est de
matérialiser des systèmes relationnels fondamentaux: relations entre les noeuds, à un niveau donné, d'un arbre exponentiel de base 2, entre les faces de différents ni-veaux d'un simplexe, cellule de base d'un réseau multi-directionnel, constituant des espaces affines suspendus à chaque niveau d'un arbre exponentiel de base quelconque et mieux encore relations entres les morphismes associés c'est-à-dire fonctions res-pectant les relations de bord •.. Exemple pratique: la "Connection Machine" -machine de 5e génération- est constituée de 65536 (soit 12 16 ) microprocesseurs reliés selon les arêtes d'un hypercube de dimension 16 (pavé à 16 directions) et cette organisa-tion n'est pas innocente!
- Où et Quand voit-on des arbres exponentiels se transformer par conmutativité des branches et identification des noeuds correspondants, en réseaux multi-directionnels? Il est évident que sur de tels réseaux il vaut mieux utiliser, pour le repérage, autant de coordonnées que de directions (d'où le mot multi-directionnel plutôt que multi-dimensionnel). De tels réseaux permettent entre autres de "comprendre" les cristaux et de construire à volonté des pavages quasi-périodiques.
- Comment imaginer des tores à plusieurs trous? (exemple de visions s'appuyant sur d'autres visions). Imaginer les arêtes d'un hypercube en tuyaux de baudruche rac-cordés aux sommets. On gonfle le tout et on obtient une "surface" inhabituelle plus proche de la théor i e des noeuds que de 1a "géométri e" .
- Imaginons une particule se déplaçant sur une telle surface et s'enroulant au-tour des "arêtes" tout en s'enroulant auau-tour des "trous· (c'est-à-dire une générali-sation d'un solénoïde) i ou encore une autre généralisation par itération: solénoïde s'enroulant autour d'un solénoïde s'enroulant autour d'un solénoïde dont l'fune est un cercle .•. ou un noeud!
- Des mots nouveaux sont porteurs de visions (commodes ou incommodes !) : espa-ces lisses, fibrés, annelés, tonnelés, courbes, feuilletés, ... allant jusqu'au lan-gage de la couture, de la chirurgie ou de l'architecture: pli, fronce, immeuble ... Par contre des mots comme "dimension" pourvus de 5 ou 6 sens différents sont perçus le plus souvent avec leur sens traditionnel. Comment comprendre une dimension frac-tionnaire si on ne change pas l'interprétation. La nouvelle permet une généralisation que ne permettait pas l'ancienne tout en englobant les anciens domaines d'application parmi les nouveaux.
etc •.•
3 - Mais de telles visiuns, fixes ou mobiles, fermées ou ouvertes, transférables ou non, généralisables ou non, ... ne sont pas sans incidence sur un autre domaine par-faitement cloisonné par des siècles de tradition: celui qu'on appelle le domaine numérique. (certains, aujourd'hui encore, admettent difficilement la présence de chiffres sans un texte, a fortiori de signes opératoires et encore moins la présence de signes appartenant à une modélisation du modèle précédent !).
En effet, le "calcul" au sens originel du mot, c'est-à-dire ."manipulation de cailloux", est sans doute, avec les langues orales les premiers exemples de "démdrches modélisantes" ; ce sont le graphisme puis l'écriture qui relient constalrment, à chaque niveau de modélisation les deux domaines, spatial et numérique. Quelqu'un a pu dire "les nombres imitent l'espace" ; on pourrait ajouter "inversement nos concept ions d'espace imitent 1es nombres".
- Mais que signifie le mot "nombre" 1 parmi une douzaine de sens différents (grosso modo), l'usage ne retient que le plus ancien, le cardinal d'un ensemble fini, appelé aussi un "naturel". leur identification se fait par des mots, puis des écrits: ce sont les systèmes de numération. Ces systèmes de construction de codes sont insé-parables des objectifs pour lesquels ils ont été conçus, c'est-à-dire traitements ou calculs. Par exemple, le système actuel, qui est un système polynomial (ou presque) en base dix, ou deux, ou seize (ce qui ne change rien aU système lui-même), bien adapté aux traitements additifs ou multiplicatifs et leurs inverses, se révèle incom-mode voir inutilisable pour des grands nombres ou d'autres types d'opérations. S'~t taquer à des problèmes nouveaux sans vouloir toucher aux systèmes d'écriture est aus-si absurde que de vouloir effectuer une multiplication en écriture romaine! et pourtant. ..
- l'histoire des qualificatifs montre d'ailleurs que l'humanité a autant de pei-ne à effectuer les transferts d'interprétation que les transferts d'écriture. Par exemple, les négatifs, à leur origine, étalent appelés imaginaires. Si les relatifs avalent été interprétés COnIne des translations sur une "droite aux noeuds discrets, séparés· c'est-à-dire un réseau à une direction, ou conme le nombre de tours à l'endroit, à l'envers sur un cercle ou un piquet, Il est probable que le mot imagi-naire n'aurait pas été utilisé. Mais il eut fallu aussi interpréter l'addition comme "composition de 2 translations" et l'opérateur multiplicatif (-1) comme renversement des tours ou translations, ce qui est moins évident. (l'idée de fonction et celle de composition de fonctions ont à peine pénétré dans nos moeurs: la langue écrite des flèches est encore mal perçue!
- Rationnels et "irrationnels· codant ou interprétant des rapports de "grandeurs" (géométriques à l'origine).
Complexes (réels, "imaginaires purs" et les autres) codant ou interprétant les siml itudes opérant sur les points d'un plan vectoriel (c'est-à-dire rotations et homothéties) avec une multiplication interprétant la composition de similitudes (d'où des carrés négatifs entre autres: i2 ; -1 car 2 quarts de tour donnent un demi-tour ! ).
Algébriques et "transcendants", les premiers étant racines de polynomes algébriques, les deux conduisant, durant le XIXe siècle, à diverses axiomatiques de R, l'ensemble des réels identifié à l'ensemble des points d'une droite (une droite et non un cube ou autre espace fractalisé •.. ).
finalêmênt R jouê le rôlê d'une brique pour la construction de la plupart des modèles. - Et l'on croyait achêvée et définitive cette construction rigoureuse des réels lorsqu'apparut, au milieu de ce sièclê, l'analyse non-standard. Cette axiumatique, due à Robinson, parfaitement cohérentt, ênglobant les précédentes, permet de simpli-fier démonstrations et calculs en analyse 9"âce à de nouveaux "ubjêtS" encore appelés nombres, qualifiés ceux-ci de non-standards par opposition aux anciens dits standards. En fait il s'agit d'une résurgence des infiniment petits, des infiniment grands de Pascal, introduits dans les calculs par Newton et Leibnitz de façon plus ou moins intuitive, mais d'un maniement corrmode. La nécessité de rendrê rigoureux ces calculs et d'éliminer des contradictions a conduit les mathématiciens du XIXe et du début de ce sièclê à créer une nouvelle branche des mathématiques, la topologie, au nom signific,,üif, mais qui se situe dans une démarche modélisante de l'analyse tout en s'appuyant sur une vision spatiale et une axiomatique des ensembles.
- Mais cette dernière, bien que dite fondamentale, ou générale, se trouve à son tour distancée par un autre rameau, encore plus puissante et envahissant, la topolo-gie algébrique appelée un instant, topologie combinatoire, héritière de l'analysis situs, lancée par Poincaré au début du siècle, et escortée de la topologie différen-tielle et autres ...
Tout ceci, pour souligner l'imbrication étroite du spatial et du numérique au travers d'une cascade de théories, modèles, axiomatiques ... sans qu'un seul mot n'ap-paraisse à l'horizon de la culture de nos 80% de bacheliers futurs.
4 - Il reste enfi n le domaine le plus important car il touche à l'essence de toute chose y compris la vie: le temps mot qui, corrme celui de hasard, dissimule notre ignorance. Ce sont les phlogistiques de notre époque.
- Quelle vision avons-nous du temps, autre que celle de R, c'est-A-dire des nom-bres réels alignés sur une ligne, droite de préférence? celle d'un univers unidimen-sionnel privilégié à laquelle nous ne parvenons pas à échapper malgré la relativité.
- Cette dernière a fait disparaitre la notion de simultanéité (l'analogue du ·point· !). Donc la notion de durée (sans bord) n'a plus son sens usuel. COfIIl1ent peut-on définir une vitesse sans notion de durée? Comment alors parler de relativité sans notion de vitesse?
- Quelles échelles utilisons-nous autres que additive, multiplicative, parfois mais très rarement exponentielle 1
- Pourtant, avec les ultralasers, la course à la ferntoseconde est engagée (1 femtosecondê 10"15 seconde c'est-à-dire un millième de millionième de millionième de secondê). Il y a grosso modo autant de fêmtosecondes dans une seconde, que de secon-des dans 30 millions d'années! Un être "vivant" à l'échelle des femtosecondes con-s1d.renotre "vie" COlline nous, nous considérons les phénomènes se déroulant à l'é-chelle de trente mil liuns d'années à peu près!
pour les autres (car sa période est hors de l'échelle des "temps sellsibles") ? Mais c'est peut-être le concept même de fonction périodique qui est à revoir ; à une échelle donnée, la coîncidence de 2 points d'espace n'a pas plus de sens que la
CUIII-cidence de 2 "instants" ! d'o~ l'incertitude! '"
- Quelle différence entre une explosion et une expansion sinon celle d'echelles des temps •.•
- Quelle relation entre le "hasard" naturel et le "hasard" artificiel (fonction alétoire d'une machine) ? sinon celle entre les fréquences d'apparition et une pério-de suffisamment longue pour que l'utilisateur ne puisse s'apercevoir que la fonction est périodique (d'o~ le lien avec la notion de quantité d'information nécessaire à la reproduction).
- Un monde rétrochrone est-il plus utopique qu'un monde d'anti-matière 1 etc •.•.
5 - Pourquoi des ·d~arches ~délisantes 1
Le mot "modèle"" lui aussi des sens très variés, plus ou moins flous ou précis selon les domaines d'emploi (allant de la théorie des modèles aux modèles éconrnni-ques et autres) et surtout selon les domaines de production. Peut-on d'ailleurs sépa-rer aussi nettement les deux objectifs, création de modèles ou utilisation de modèles préfabriqués, par exemple des modèles mathématiques (qu'est-c.e qu'un modèle non-mathématique 1 Celui qui ne comporte pas de "calcul" ? mais dans toutes les sciences, tout fini par des calculs même lorsque n'intervient pas le "numérique" usuel !).
a) En effet, il n'y a pas de modèle sans graphisme puis écritures. La "maquette" matérielle n'est qu'une étape. Elle joue, pour notre époque, le rôle que jouait les cailloux à l'aube des premières "mesures" ; le ·c~nptage".
Que ce soit le système de Ptolémée ou le modèle de Bohr, on voit l'interven-Uon conjointe de "représentations" et moyens d'expressions variés, dessins, langues naturelles, se terminant inévitablement par des codages. C'est une grave erreur de laisser dans nos systèlnes d'éducation, se perpétuer la croyan-ce dans la supériorité de l'un sur les autres, par exemple une langue naturel-le sur naturel-les systèmes codés ou vice versa (ce texte sans dessins ni codes est une gageure pour souligner avantages et inconvénients du "discours" !).
b) Hais un modèle, ce n'est pas seulement une maquette, un vocabulaire, un alphabet avec ses signes et assemblages, tous étant munis d'une interpré-tation, plus ou moins significative. Il n'y a modèle que si un système de rè-gles de fonctionnement, de "syntaxe", permet de transformer les "maquettes", les ·représentations", les "mots" et ·écritures", de passer d'un état à un autre. Si les "règles de fonctionnement" ainsi que les différents états ont une interprétation compatible avec les précédentes, alors le modèle a une vo-cation "explicative" ; il permet de "comprendre", de simuler le fonctionnement du phénomène modélisé (il peut cependant y avoir analogie de fonctionnement sans qu'il y ait volonté de simulation). Mais il se peut que règles ou états
intermédiai,'es ne soient pas susceptibles d'interprétations compatibles avec l'interprétation initiale. Seul le résultat final est interprétable. Dans ce cas, le modèle a une vocation prédictive. Tout se passe comne si, mais le mo-dèle contient des boîtes noires. Ce système de règles de "fonctionnement" con-duit à une véritable "algébrisation" (l'origine du mot "algèbre" -al-jabr ; le complément, le remplissage- reflète le souci de faire fonctionner, à cette différence près que les signes représentaient des "nombres" alors qu'au-jourd'hui ils peuvent représenter tout autre chose que du numérique, par exem-ple des transformations "géométriques", "topologiques", voire "algébriques" ; pour certains, le mot "algébriser" est presque synonyme de "faire fonctionner autolllatiquement un code").
cl Ce mot automatique nous amène au caractère "scientifique" du modèle en complément nécessaire du caract~le "visionnaire" présenté au début: en effet, il n'y a pas de création de modèle sans une Rvision R sous-jacente, un type ou un autre de perception. C'est la part du rêve, de l'intuition propre à tout être humain. Le rêve est la nourriture de l'esprit: on le retrouve dans tou-tes les couches sociales, dans toutou-tes les activités ou "inactivités". Mais le rêve peut conduire aux impasses. Il doit donc être constamment contrôlé par la "raisonR, d'où la recherche permanente d'un Rfonctionnement échappant à l'em-prise de l'affectif R ; c'est la Rrigueur d'un raisonnement" éventuellement "formalisé" pour mieux être automatisé. En mathématiques, le modèle finit tou-jours par devenir le centre d'intérêt, effaçant presque le phénODène modélisé, qui était déjà modèle d'autre chose. Ceci explique la recherche d'une cohéren-ce interne et le souci d'élargir le champ des interprétations. Dans d'autres domaines c'est la recherche d'une cohérence externe entre le modèle et le Rphénomène" qui reste le souci majeur.
d) Enfin un modèle n'est jamais ni définitif, ni parfait: il oublie tou-jours des aspects ; il est fait pour résoudre ou cOlllPrendre les problèmes d'une époque, ou prévoir l'évolution d'un phénomène localisé dans le temps et l'espace. Il s'Inscrit dans une évolution sans cesse rl!llise en cause. C'est pourquoi si l'enseignement scientifique s'intéresse aux lIodèles, l'éducation scientifique pourrait s'intéresser plus aux Rdéurches .odélisantes" qu'aux modèles eux-mêllles (à moins qu'on ne propose des .adèles de dé.arches modé 1i santes ... ).
6 - Fin de l'introduction
Un fait de langue souligne bien la symétrie des transferts entre représentant et représenté, signifiant et signifié. En peinture, le mot modèle désigne (j'allais dire représente !l le "phénomène" représenté et non le représentant. La distinction entre f orme et sens ne s' appui.~-t-e 11 e pas sur un mythe ; ce 1ui du mot "sens". Le sens de
ce mot s'éclairerait peut-être. la lumière des transferts de forme L
Mais les machines actuelles et futures. avec la simulation numérique, les syn-thèses d'images, avec les traitements algorithmiques, ou logiques, séquent iels ou pa-rallèles renouvellent les anciennes dualités entre continu et discret. entre fini et infini. Elles deviennent celles qui sont chargées de faire fonctionner des modèles. Elles sont loin d'être prêtes à en créer à cause justement des transferts.
Si l'enseignement des mathématiques prêtait un peu plus d'attention. ces derniers, quelle efficacité il gagnerait en signification et quels services il pour-rait rendre. tous! (c'était l'objet des points 2 et 3 de l'atelier, points qui ne pouvaient être abordés dans ces quelques pages).
Quelques lectures au hasard pour alimenter nos réflexions:
Histoire des mathématiques A. Dahan-Dalmedico, J. Peiffer. ed. du Seuil Le calcul et l'imprévu. Ivar Ekeland. ed. du Seuil
Leçons d'à peu près, G. Th. Guilbaud. ed. Christian Bourgeois Topologicon. Géométricon •.•• J.P. Petit, ed. Belin
Images des mathématiques. Courrier du CNRS: supp. au n062, 1985 Nombre, mesure et continu, J. Dhombres, ed. Cédic-Nathan 6 thèmes pour 6 semaines, A. Myx, ed. Cédic-Nathan Mathématiques buissonières, A. Deledicq. ed. Cédic-Nathan Modèles mathématiques, Cundy. ed. Cédic-Nathan
L'algèbre linéaire par ses applications. J. Fletcher, ed. Cédic-Nathan Penser les mathématigues. ed. du Seuil
Modèles mathématiques de la morphogénèse, R. Thom, ed. du Seuil
Articles de revues: la Recherche (lR). Pour la Science (PlS) "Théorie géométrique des ordinaux" PLS n093 07-85
"Les surfaces minimales" PLS n"gg 01-86 "Le théorème géant" PLS n0100 02-86 "Nombres transcendants" PLS n080 06-84 "Le calcul parallèle" PLS n08g 03-85
"Les limites physiques du calcul" PLS nog5 09-85 "Les machines de Türing" PLS n081 07-84
"La classification des noeuds" PLS n0105 07-86
"Paver l'espace: un jeu mathématique pour les physiciens" LR n0167 06-85 "Quasi-cristaux" LR n0174 02-86; LR n0178 06-86; PLS nOl08 10-86 "Les cristaux aux très hautes pressions" PLS nog3 07-85
"La chimie d'intercalation" LR n0181 10-86 "Activités chimiques et topologie" PLS nOl0g 11-86
"Quand les supraconducteurs jouent au passe-muraille" LR n0172 12-85 "Le chaos" PLS nOl12 O~-87; "L'ordre chaotique" LR n0185 U2-87
01-85 04-87
06-85 "Du silence au chaos accoustique" tR n0173 02-86
"Un ordre caché dans la matière désordonnée" PtS n087 "Expérimentation numérique par ordinateur" tR 11°187 "Simulations
a
l'aide de nombres aléatoires" PtS n092 "La musique des gênes" LR n0179 07,08-86"Le retournement mental des objets" PtS n088 02-85 "Les dimensions cachées de l'espace-temps" PLS n"91 05-85 "L'évolution des plantes simulée sur ordinateur" PLS nOl03 05-86 "Classification des oiseaux d'après leur ADN" PLS nOl02 04-86 "La topologie des mirages" PLS n"94 08-85
"Demence
a
4 dimensions '" ... PLS nOl04 06-86 "Les super-cordes" PLS nOl09 11-86; LR n° 173 01-86"Les fractales" PLS n096 10-85; "Les montagnes fractales" PLS n0112 02-87 "La croissance fractale" PLS n° 113 03-87
"Les agrégats" LR n"171 11-85
"D'o~ vient la forme des dendrites 1" tR n"176 04-86 "L'espace, le temps et le toucher" PLS n0107 09-86 "Conjugaison de phases" PLS n"100 et 101 02,03-86
"L'intelligence artificielle" LR n0170 10-85; LR n0158 09-84 "Les lasers ultra-rapides" tR n0187 04-87
"La formation de l'univers· LR n0174 02-86
"La nature est-elle super-symétrique 1" PLS nOl06 08-86 "Onde, particule; Le double jeu quantique" LR n0178 06-86 "Niels Bohr et l'étrangeté du monde" tR nOl71 11-85 etc ..• (ordre non significatif)
