ARTheque - STEF - ENS Cachan | Enseignement avec l'ordinateur: exemples

ENSEIGNEMENT AVEC L'ORDINATEUR EXEMPLES

213

-Résumé

Alain DUREY, Michel LAURENT Ecole Normale Sup~rieure de Saint-Cloud

L'ordinateur utilisé comme instrument d'expérience d'une part et comme instrument de résolution numérique d'autre part permet de s'intéresser à des problèmes de Physique plus en prise sur le réel et ignorés jusque là dans l'enseignement. A titre d'exemples nous t'Eaitons

- les trajectoires de balles et de ballons, - le problème à trois corps,

- le pendule pesant de grande amplitude, - le profil d'une lentille astigmatigue, - étude de quel gues lois statistiques, - fabrication d'une population de Boltzmann.

_ 214 - LE MICRO-ORDINATEUR POURQUOI FAIRE

La classification adoptée par G. Benchimol~ situe notre travail au niveau de l'enseignement avec le micro-ordinateur, par opposition à l'enseignement par l'or-dinateur.

Deux constatations essentielles, touchant au caractère de la physique scolaire actuelle nous ont guidé dans le choix de ce travail :

- Les étudiants ne sont jamais confrontés à des problèmes réels de physique on ne leur demande qu'une pseudo mise en forme mathématique, puis la résolution mathématique.

Les phases d'observation, de collecte des données, de mise en forme du problème ainsi que la confrontation des rêsultats"thêoriques" à l'expérience sont absentes (sauf parfois en T. P. pour "vérifier" une loi). Jamais on offre, sur un problèP.1e concret, la possibilité de sentir la nécessité de l'ensemble de la démarche.

- Les programmes de physique ne sont pas tant conçus en fonction d'une com-plexité croissante des concepts physiques abordés, qu'en fonction des possibilités mathématiques des élèves de les résoudre ; on fait faire aux élèves la physique que leurs mathématiques leur permettent de faire.

Nous allons montrer comment l'ordinateur peut remédier à ces deux défauts et permettre ainsi à l'enseignement des sciences physiques de mieux poursuivre son objectif de formation à la méthodologie expérimentale.

Adoptons le schéma suivant de démarche expérimentale en physique

intérêt observation ~délisatio ~~ntr9ntatles resulta

L _{collecte de}~ hypothèse _~ Résolution u modèle a ques tian

données m~se en fo me données obs

1 ~ 1

n s x rvées

Les relations qui lient la physique aux mathématiques sont de deux ordres. - Le premier lien correspond à la modélisation; dans la physique actuelle, aucun problème n'échappe à ce lien. (Si l'on considère les mathématiques au sens large: algèbre, géométrie, analyse, topologie etc . .. ). C'est dans la mise en forme mathématique du problème que se situe la démarche la plus délicate et la plus spéci-fique du physicien. Celle-ci se situe, selon les cas (niveau des élèves, stade du développement de la science) soit au niveau qualitatif, définition des concepts soit au niveau quantitatif. C'est cette étape sous toutes ses formes (formulation d'hypo-thèses, modélisation) que nous proposons de développer en se servant des possibilités de l'informatique.

*

215

-- Le deuxième lien est celui de la résolution mathématique, d'équations - mathé-matique~ (géO~étriques, algébriques, différentielles ... ) posées grâce au modèle: c'est un travail strictement mathématique, "techniquell

, que le physicien peut, en quelque sorte, confier à un "sous traitant".

Dans l'enseignement ce traitement mathématique se fait de façon littérale, le micro-ordinateur ouvre maintenant les possibles aux problèmes résolubles numérique-ment. Les élèves peuvent et doivent alors envisager la formalisation de problèmes

à priori plus complexes (mécanique avec toutes sortes de frottements, optique non gaussienne etc ..• ). Ces activités peuvent s'envisager autour de projets libres, soit dans le cadre des travaux pratiques prolongés dans les activités d'un club soit dans le cadre d'un nouvel horaire correspondant par exemple à l'informatique appliquée.

Les exemples suivants vont nous permettre d'illustrer cette introduction générale. On pourrait distinguer trois types d'utilisations essentielles du micro-ordinateur La première c'est de l'utiliser comme calculateur. Il fait des applications numé-riques à partir d'une formule qui est déjà le résultat d'une résolution mathématique.

Exemples: 1) Interférence par N Fentes

2) Profondeur de champ d'un objectif en fonction de la distance -pour différentes focales.

La seconde utilise l'ordinateur pour faire des résolutions numériques. Les méthodes des Mathématiques appliquées permettent de résoudre des intégrales,

équations différentielles, équations non algébriques etc .•• Exemples (voir ci-après 1). La troisième utilise l'ordinateur pour des calculs simples sur des grands nombres. Il peut ainsi simuler des phénomènes aléatoires et en faire des descriptions statis-tiques. L'ordinateur est l'intrument d'expérience. Exemple: voir ci-après II.

l - PROBLEMES NON RESOLUBLES LITTERALEMENT

1.1. ~!~~~_Q~_!~~~~!Q!~~_Q~_~~~~~~_Q~_~~~~Q~~ ~QQ~~l~~!!Q~_QQ_~X~!~~_~~X~!g~~

- le poids

mg

Forces prises en compte :

_...

-k S v2 v

v

- force due à la rotation de la balle 2a11(;! Il

V

Equation du mouvement ~ soit, sur les axes

{

:

₃

₌

-

2-;;

---;r

-

I~

Vi<' •

y'

3.1.

~ ~

i:.

-~

~sX~'-·I.l.·5~

-

La trajectoire se calcule point p= point, avec un pas 6t

l~

!~

+x

Y

Y

n-l +

Z

Z

?TUDE DES TRAJECTOIRES REELLES

---Les coefficients aérodynamiques k, a, peuvent se trouver dans des livres ou articles spécialisés (Comolet

(Bouasse (Davies

Mécanique des fluides) Gyroscopes et projectiles) The aerodynamics of golf balls)

nous en avons nous-mêmes vérifié quelques uns.

Pour k, nous utilisons une petite soufflerie verticale et une balance. Pour a, nous avons utilisé deux méthodes :

10

- Mesure de la force transversale sur la balle en rotation à la sortie de la

soufflerie.

ZO - Etude du pendule constitué par la balle en rotation (pertubation du plan d'oscillation).

10

- Tennis: Etude d'un service de Lendl filmé avec caméra amateur Super 8

à 48 images s-l (Roland Garros 1981).

ZO - Football: Etude du coup-franc historique de Platini (d'après photos fournies par France-Soir Magazine).

30

- Golf: Etude du rôle de l'angle, rotation, vitesse initiaux.

Comparaison aux trajectoires qualitatives indiquées par plusieurs auteurs. Possibilité d'une portée (drive) plus longue que dans le vide.

I.Z. PROBLEME A TROIS CORPS

---Il s'agit d'étudier les mouvements de trois points matériels soumis à leurs seules interactions mutuelles de gravitation.

- ml~ ~

Les seules lois à connaître sont Fmi = G u

r_Z

et

Dans le problème général, les trajectoires ne sont pas planes. Pour des raisons de facilité de représentation des trajectoires (tracé à la table X, y), nous nous li~­ terons au cas de trajectoires planes. (Vitesses initiales Eplan Ml M

ZM3 défini par les positions initiales). De plus, ce cas représente assez bien celui d'une planète + un satellite CS, T, L) autour du soleil.

Entrée paramètres Entrée il0 ,

ê

ETUDE DE LA PERIODE

217

-A. Comparaison avec la formule théorique: (cf. Bruhat Mécanique)

T

2 2

+ (.!...:l) sin4 0 0 _{+ .... (1.3 2n-l)}

2.4 2 2.4 _2n S1n. 2

2

....

1

Cette valeur T peut elle-même être calculée par ordinateur avec une précision fixée à l'avance (Test sur le dernier terme).

B. Comparaison avec des mesures expérimentales

m

1---.,----1

Pour

eo'~o

exp

Valeur Théorique : T

th 1,18034 (le 1er temme 1+

l~

- pp

Pas de 5.10-3 _ _ T 1,170 Pas de 10-3 _ _TPP 1,1789

- 218 - 1.4. PROFIL D'UNE LENTILLE PLAN CONVEXE STIGèlATIQUE POUR UN POINT A L'INFINI

le stigmatisme - Dans l'approximation de Gauss, ce profil est un demi-cercle

est approché.

- On cherche, à partir de la seule loi de Descartes, le profil d'une lentille rigoureusement stigmatique pour des rayons d'inclinaison nulle.

D tg D i' - A L (II) x et n sin A= sin i' ~ D et tg A= dx (III) dy

Arc sin (n sin A) - A (1)

- ORGANIGRAMME ---ENrREE~ ÇOC.AlE JND·c.E ?Q..)

..

'/N::nt../

D .... -= Av.::S'~'y! ()h...\.A,N-i

N. B. Pour le premier passage Qans la boucle (N=l), on définit A, par

AY

II - L'ORDINATEUR INSTRUMENT D'EXPERIENCE 219

-Etude de la distribution des moyennes mi et des écarts quadratiques~ide N échantillons de n individus issus d'une population gaussienne.

~!~g!~~ : On constitue d'abord une population gaussienne . Puis on y prélève au hasard des échantillons de n individus.

Etude d'une population de moyenne M=

a

On a étudié N= 100 échantillons de n = 100 individus

Ecart Distribution des ID_fi - 0,00317 m..m 0

moyennes 0,0995 a = 0,1 5.10- 3 0_ _01'!i

V;;;

'W-

°

°

L'hypothèse de Boltzmann, relative à une grande assemblée de particules (dont le nombre total N est constant) consiste à admettre que la probabilité d'un état macros-copique se mesure par le nombre de complexions distinctes qui le réalisent ; toutes les complexions étant également probables.

Il en résulte si No représente le nombre de particules se trouvant au niveau d' énergie fondamental E. une loi du type

N

n N

-(En-Eo)/KT

.e on pose E - E. = n h \i

n

Connaissant ainsi la loi de probabilité des énergies En' on peut calculer l'énergie moyenne : L: E N n n h \i x, y, z

/

/

Einstein applique le même type de calcul aux états d'énergie des oscillateurs d'un cristal en attribuant à chaque case quantique

représentant une particule de coordonnées x, y, z et de quantité de mouvements

rx,jY,tz,

- 220 - SU1ULATION

On part d'une grille de N2 cases, et de

~2

On définit un état initial de remplissage (Ex 1 par case, 2 dans les cases paires; toutes dans la première case, etc ... ).

L'ordinateur tire au hasard 2 numéros de case: une de départ, une d'arrivée. Si la case départ n'est pas vide. on lui soustrait une particule qu'on affecte dans la case d'arrivée; sinon, on rejoue.

L'opération est répétée un grand nombre de fois (jusqu'à quelques la 000 fois).

l' - Quel que soit l'état initial, on tend vers la même répartition finale. (si le nombre de tirages ~ 00) .

2' Cette répartition finale suit la loi de Boltzmann.

3° - Si l'on étudie les contenus successifs dans le temps, d'une case donnée, on obtient la même loi (de Boltzmann) que pour la répartition des différentes cases à un instant donné; c'est une illustration de l'hypothèse ergodique.

Dans cette simulation, le contenu de chaque case représente son énergie (la même en valeur moyenne pour toutes les cases).

Les échanges d'énergie (par agitation thermique) sont simulés par les échanges d'une particule entre cases (en conservant donc l'énergie totale).

On aboutit au résultat non intuitif que l'état le plus problable d'une case est d' être vid~. (En d'autres termes, les états d'énergies faibles sont les plus probables).

La même simulation peut être faite "à la main" sur une grille 6 X 6 avec 2 dés à jouer qui donnent les cases de départ et d'arrivée.

Les résultats sont seulement moins significatifs parce que moins nombreux.

John OCBORN

BRUHAT

Nuffield advenced Physics 1973

(Unit 9 Change and Chance) Thermodynamique