3.16 Théorème d’Abel angulaire et théorème taubérien faible
Référence :X. Gourdon, Les maths en tête, Analyse, Ellipses, 2008. Leçons concernées : 230, 235, 241, 243.
Théorème 1 (Abel angulaire). Soit∞n•0anzn une série entière de rayon de convergence
R• 1 telle que ∞n•0an converge. On note f la somme de cette série entière sur le disque
unité D. Pour ✓0 P r0, ⇡{2r, on note ✓0 :“ ! zP C, D⇢ ° 0, ✓ P r´✓0, ✓0s, z “ 1 ´ ⇢ei✓ ) alors lim zÑ1 zP ✓ 0 fpzq “ ÿ n•0 an.
Le domaine ✓0 est représenté ici :
0 1
Démonstration. On note S “∞k•0ak, Sn“∞nk“0ak les sommes partielles et Rn“ S ´ Sn
les restes. En remarquant que pour tout n • 0 an“ Rn´1´Rn, (en convenant que R´1 “ 0),
on a, pour tout |z| † 1, ´ÿN n“0 anzn ¯ ´ SN “ N ÿ n“0pR n´1´ Rnqpzn´ 1q “ Nÿ´1 n“0 Rnpzn`1´ 1q ´ N ÿ n“0 Rnpzn´ 1q “ Nÿ´1 n“0 Rnpzn`1´ znq ´ RNpzN´ 1q “ pz ´ 1q Nÿ´1 n“0 Rnzn´ RNpzN ´ 1q
et donc, en faisant tendre N vers `8, on obtient, puisque la série∞Rnzn est absolument
convergente sur D, fpzq ´ S “ pz ´ 1q `8ÿ n“0 Rnzn. 99
Il s’agit alors de majorer cette quantité. Soit " ° 0 et N • 0 tel que pour tout n ° N, |Rn| † ". On observe alors que d’après la relation précédente, pour tout |z| † 1,
|fpzq ´ S| § |z ´ 1| ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ N ÿ n“0 Rnzn ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ` |z ´ 1|" `8ÿ n“N |z|n§ |z ´ 1| N ÿ n“0|R n| ` "|z ´ 1| 1´ |z|. On se donne alors z P ✓0, qui s’écrit donc z “ 1 ´ ⇢ei✓ avec ⇢ ° 0 et ✓ P r´✓0, ✓0s. On a
|z|2 “ p1 ´ ⇢ cosp✓qq2` ⇢2sinp✓q2 “ 1 ´ 2⇢ cosp✓q ` ⇢2 et donc pour ⇢ § cosp✓ 0q, |z ´ 1| 1´ |z| “ |z ´ 1| 1´ |z|2p1`|z|q “ ⇢ 2⇢ cosp✓q ´ ⇢2p1`|z|q § 2 2 cosp✓q ´ ⇢ § 2 2 cosp✓0q ´ cosp✓0q “ 2 cosp✓0q
par hypothèse sur ⇢ et par décroissance du cosinus sur r0, ⇡{2r. On choisit alors ↵ ° 0 tel que ↵∞N
n“0|Rn| † " alors pour tout z P ✓0 tel que |z ´ 1| § minp↵, cosp✓0qq,
|fpzq ´ S| § " ` "cos2p✓ 0q “ " ´ 1` 2 cosp✓0q ¯ d’où le résultat.
Application 2. Le théorème d’Abel angulaire appliqué à la série entière ∞n•1 p´1q
n`1
n zn“
logp1 ` zq sur D avec∞n•1 p´1qnn`1 convergente nous donne ÿ n•1 p´1qn`1 n “ logp2q. De même, ÿ n•1 p´1qn 2n` 1 “ limxÑ1 ÿ n•1 p´1qn 2n` 1x n“ lim xÑ1arctanpxq “ ⇡ 4. Remarque. La réciproque du théorème est fausse comme le montre
ÿ n•0 p´1qnzn“ 1 1` z ›ÑzÑ1 |z|†1 1 2
alors que la série ∞p´1qn diverge. Le théorème suivant donne cependant une réciproque
partielle.
Théorème 3(taubérien faible). Soit ∞n•0anzn une série entière de rayon de convergence
R • 1. On note f la somme de cette série entière sur le disque unité. On suppose qu’il existe S P C tel que
lim xÑ1 x†1 fpxq “ S. Si an“ op1nq alors ∞n•0an converge et ∞n•0an“ S. 100
Démonstration. On note Sn“∞nk“0ak les sommes partielles. On a, pour n • 1, x Ps0, 1r, Sn´ fpxq “ n ÿ k“0 akp1 ´ xkq ´ `8ÿ k“n`1 akxk. Or pour x Ps0, 1r, p1 ´ xkq “ p1 ´ xqp1 ` x ` ¨ ¨ ¨ ` xk´1q § kp1 ´ xq, ainsi, |Sn´ fpxq| § p1 ´ xq n ÿ k“0 kak` `8ÿ k“n`1 k n|ak|x k§ p1 ´ xqMn ` supk°nk|ak| np1 ´ xq
en notant M un majorant de la suite pkakqk qui converge vers 0 par hypothèse. Soit alors
0† " † 1. On a donc ˇ ˇ ˇSn´ f ´ 1´ " n ¯ˇˇˇ § M" `supk°nk|ak| " . Soit N0 • 0 tel que supk°N0k|ak| § "
2, alors pour tout n • N 0, ˇ ˇ ˇSn´ f ´ 1´ " n ¯ˇˇˇ § "pM ` 1q. Par hypothèse, puisque `1´ n"˘ ›Ñ
nÑ`8 1, il existe N1 • N0 tel que pour tout n • N1,
ˇ
ˇf`1´n"˘´ Sˇˇ † ". On conclut alors par inégalité triangulaire.