Approximation algorithms for the maximum Hamiltonian path problem with specified endpoint(s)

                      
     
    !""! #

∗

$%&'#( %))* +, -./ 01.

234 56 7689:8 7; 5<4=3=3869>?;8@>AB>C 5=9DB=4CEF7@4;=>C4 7C6 7=3 5>A>6=4@ 7;<84E3=GB7;;8 :

HII

s,t

4A=38=<>8C :6>4C=5798568B4J8 :GHII

s

4A >C; K >C88C :6>4C=4 5568B4J8 :L M853><=3 7= HII

s,t

4 5

1

2

N :4O898C=4 7; 7669> P 4@ 7?;8 7C : HII

s

4 5

2

3

N :4O898C=4 7; 7669> P 4@ 7?;8L Q>98> R 89G<8 >? 589 R 8=3 7==38 5869>?;8@ 5B7CC>=?8:4O898C=4 7;7669> P 4@ 7?;8?8==89=3 7C

741

742

L S758 :D6>C=38 5898 5D;=5G<8>?=74CC8<?>DC :5A>9T UV WX V YXY VUZ[ \ 7

1

2

N 5=7C :79 :7669> P 4@ 7 N = 4>CA>9] ^_ HII

s,t

7C :7

2

3

A>9] ^_ HII

s

G <34B3B7C?84@69> R 8 : = >

2

3

A>9] ^_ HII

s,t

[a, 2a]

`7;; =388 :E8<84E3=5798<4=34C7C4C=89 R 7;

[a, 2a])

G =>

5

6

A>9] ^_ HII

s

[a, 2a]

7C :=>

2

3

A>9 ] ab HII

s,t

[a, 2a]

G= >

3

4

A>9 ] ab HII

s

[a, 2a]

L cd ef [ YX T \ g 669> P 4@ 7=8 7;E>94=3@ 5h i4O898C=4 7; 9 7=4>h j>@6;8 P 4= K =38>9 K h j>@?4C 7=>94 7; >6 = 4@4 k 7 = 4>Chl89A>9@ 7CB89 7 = 4>h g C 7; K 54 5>A g ;E>94 = 3@ 5hF7@4; = >C4 7C6 7 = 3 5L m n o p q rs tu pvro wx y z{| }~€ { } | ‚ xƒ„ …€†‚ x‡ †…† ˆx ‚ { … x ‚ z † | ‰  {|‰x … ƒ{| † zx ‚ { † „xz{ … {Š † z{x|‹ † | ~ zŒ … x € z { …  x ‚ z † |z{ ~ †€ x‡ † „ } x ‚ {zŒ … { ‰Œ †Ž ƒ  | † „{ ~ zxzŒ … ~y‚ {| } zŒ  „ †€ zz  |z  †‚€ ‹ €‘ Œ ‚ { € zx’ ~€ “ ” • ‹–{ € Œ ‚ z † „— “˜ ™ • ‹š † { … x Ž { ‰Œ † | ~ w{||xx  ›† | “˜ œ • ‹ › x € †‚† ˆ y  z † „— “ ™ • ‹š †€€ {| † | ~ w y ƒ{| € z  {| “˜• † | ~ž † Š }† |  z † „— “™•— Ÿ  {„„ƒ  ‰x| ‰ ‚ | ~ {zŒ € x …  ‚ xƒ„ …€ ‰„x € „ ‚ „ † z ~ zxzŒ   †¡ { …y… ¢ ‚†Ž „{| }£† „ €…† | ‚ xƒ„ … ‹| †… „  ‹ zŒ   ‚ xƒ„ … x‡’| ~ {| }†¤¥¦ §¨ © ª « § ¥«¬¥ ©­x‡ …†¡ { …y… { } Œz— Ÿ   {„„ € z y~ z  x Ž†‚ { † |z € ~   | ~ {| } x| z Œ  | y… ƒ ‚ x‡ €   ‰{’ ~ | ~ x{|z € ® x|  x ‚ z  x¯ x‡ z Œ   † z Œ— ° ±² ³´´

s

† | ~ ° ±² ³´´

s,t

‚€   ‰z{ Ž „  ~ |xz  zŒ  š †… {„zx|{ † |  † zŒ  ‚ xƒ„ …  {zŒ x|  ’ ¡~  | ~ x{|z

s ∈ V

† | ~ z  x ’ ¡~  | ~ x{|z €

s, t ∈ V

— ¢x x y‚ µ |x  „ ~}  † | ~ ‡ ‚ x … †  ‚ x ¡ { …† z{x| x{|z x‡ Ž {  ‹zŒ € z  x„ † zz ‚  ‚ xƒ„ …€ Œ †Ž |xzƒ  | € z y~ { ~ ƒ  ‡x ‚ ‹  Œ ‚ †€ zŒ  { ‚… {|{ … {Š † z{x| Ž‚€ {x| € Œ †Ž ƒ  | € z y~ { ~ ƒ  šxx } Ž | “• † | ~ ¶y zz …† ||  ž ‰ µ z † „— “˜·• ® {| †‚ z{ ‰ y „ †‚ ‹{z { €  „„ µ |x  | zŒ † z zŒ  … {|{ … {Š † z{x|  ‚ xƒ„ …€ †‚ ¸ ¹ º» ¼½¾ ¯— Ÿ  † „ € x ~ † „  {zŒ † Ž†‚ { † |z ‰ † „„ ~ ³´´

s,t

[a, 2a]

‹  Œ ‚ zŒ ~}    { } Œz € †‚ {|zŒ € z

{a, a + 1, . . . , b − 1, b}

— ž xzŒ

M in−

† | ~ ° ±² ³´´

s,t

†‚ ¸ ¹ º » ¼½¾ ‹ Ž | {| z Œ  { ‚ ‚€ z ‚ { ‰z ~ Ž‚€ {x| €  {z Œ

b > a

‹ € {| ‰  z Œ  †‚ x„  |x … { † „  z{ … ›†‚   ‚~y ‰{ƒ„  “¿• zx  † ‰ŒxzŒ ‚ —

∗

ÀÁÂÂÁ ÃÄÅ Æ ÀÇ ÆÈ ÉÊ ÈÆ ËÌÍÎÂÉÊ Ï ÐÑÒ ÓÔÕ Ö×Ø Ù Õ Ø ÚÛ Ñ Ü Ù Ô

7024

Ñ Ü ÂÎÝÉÐÇÎ Ã Þ ßÆ Ð ÎÇ Ö ÚÆ ËÌÍÎÂÉÑ àÐ Æ ÂáÉ

 …†¡ { …y… š †… z † |  † z  ‚ … …†  †€ z  € †… † † € †€ z  …†¡ { …y… z ‚†Ž „{| } € † „ €…† |  ‚ xƒ„ … € {| ‰  † | xz{ …y… š †… {„zx|{ † |  † zŒ { €  †€ {„  ‰x| Ž‚ z ~ zx † | xz{ …y… z ‚†Ž „{| }€ † „ €…† | ƒ  †~~ {| } x|  ® x ‚ z  x¯ ~y……Ž‚ z ¡ ®Ž‚ z{ ‰ € ¯  {zŒ †  ‚ x ‚ { † z  ~ { € z † | ‰  zx † „„ xz Œ ‚Ž‚ z{ ‰ € ‹  Œ ‚ z Œ €   ‰{’‰ † z{x| x‡ ⠆  ‚ x ‚ { † z  â ~   | ~€ x| z Œ  | y… ƒ ‚ x‡  | ~ x{|z € z Œ † z Œ †Ž ƒ  |’ ¡~ — ¢Œ y€ ‹‡x ‚ {| € z † | ‰  ‹{z { € µ |x  |zx ƒ  †‚ „ Ž† |z … x ~ „ ‡x ‚ € ‰Œ ~y „{| } † € {| } „   ‚ x‰ €€ x ‚  {zŒ € z y  € †‚ { € {| } {| …† | y ‡ † ‰z y‚ {| } ‹‰x …  y z{| } ‹ã ä £ å ~€ { } | † | ~…† |  xzŒ ‚ † „{ ‰ † z{x| € ‹ä † „ ‚  z † „— “”• — šx Ž‚ ‹ zŒ{ €  ‚ xƒ„ … † „ € x Œ †€ €   ‰{’‰ † „{ ‰ † z{x| € zx æª ¦¬çèéé §ª « ê¥ © ¥ ‹ ¢ †‚ Œ{x † | ~ ë µµ x|  | “ì¿• x ‚ ê¥ © ¥ ¥çç¥í æ¨ îé © èç § «ï {| ðñò x ‚ …†‚µ z{| } ƒ y~}  z € ‹ š †‚ z{ }† | “˜• — –x ‚ ¡†… „  ‹ z Œ  ¦¥ó § ¦¥ ¨ æª ¦¬çèéé §ª «¬ç ª ô¨ 規 Œ{ ‰Œ †‚ { €€ {| Ž†‚ {x y€ ‰x …  ‚€€ {x| ~ † z †  ‚ xƒ„ …€ ‰ † | ƒ  ~ ’| ~ †€ ‡x„„x €õ } { Ž | † ‰x„„  ‰z{x| x‡ € z ‚ {| } €

s

1

, . . . , s

n

‹  €µ † € z ‚ {| }

S

€y ‰Œ zŒ † z Ž‚ € z ‚ {| } {| zŒ  ‰x„„  ‰z{x| { € † €y ƒ € z ‚ {| } x‡

S

† | ~ zŒ † z …†¡ { … {Š €

P

i

|s

i

| − |S|

— å| zŒ  € zz{| } ‹ zŒ  Ž‚ z{ ‰ € ‚  ‚€ |z € z ‚ {| } € † | ~ z Œ  { } Œ z x‡ † | ~}  ƒ  z  | z  x ⠀ z ‚ {| } € â { € € z zx z Œ †… x y |z x‡ …†¡ { …y… x Ž‚ „ †  ƒ  z  | zŒ € € z ‚ {| } € — ¢Œ  xz{ …† „ ‰x …  ‚€€ {x| { € öy { Ž† „  |z zx zŒ   { } Œz x‡ †…†¡ { …y… š †… {„zx|{ † | † zŒ— ò|xzŒ ‚† „{ ‰ † z{x|zx …†¡ { …y… š †… {„zx|{ † | † zŒ  {zŒ z  x €   ‰{’ ~ | ~ x{|z € { €} { Ž |ƒ  zŒ  ‡x„„x  {| }¡†… „  ‹ ¶†‚ ’| µ „ “˜÷• õ €y x €†‚} { Ž | †~ † z ††‚‚† {|zŒ  ‡x ‚… x‡ † |

m × n

…† z ‚ { ¡

A = (a

i,j

)

zŒ † z ‰x| € { € z € x‡  „ … |z € zŒ † z †‚ {zŒ ‚ ˜ {‡{z ¡ { € z € †‚ „ † z{x|ƒ  z  | ‚ x 

i

† | ~ ‰x„ y… |

j

¡ { € z € x ‚ ø {‡ {z ~ x € |xz — Ÿ  †‚ {|z ‚€ z ~ {| }‚ x y {| } ‚ x € † | ~ ‰x„ y… | € zx }  z Œ ‚ {| €y ‰Œ † † zŒ † z zŒ  € Œx  € { … {„ †‚ ‚ „ † z{x| € — –x ‚ {| € z † | ‰  ‹ ‰x| € { ~‚ † | y… ƒ ‚ x‡

m

…†‚µ z{| } z  ‰Œ|{ öy€ † | ~

n

 ‚ x ~y ‰z € — å‡ † …†‚µ z{| } z  ‰Œ|{ öy

i

 x ‚µ€ x y z €y ‰‰ €€ ‡ y „„  x| †  ‚ x ~y ‰z

j

‹ z Œ  |

a

i,j

}  z € zŒ Ž† „ y ˜‹ † | ~ ø xzŒ ‚ { € — £ { … {„ †‚…†‚µ z{| } z  ‰Œ|{ öy€†‚€y x €~ zxƒ  €y ‰‰ €€ ‡ y „ x| € { … {„ †‚  ‚ x ~y ‰z € — ¢Œ ‚ ‡x ‚ ‹‰„ y€ z ‚ {| } zŒ  z  ‰Œ|{ öy€† | ~ zŒ   ‚ x ~y ‰z € } { Ž€ {| € { } Œz{|zŒ ‚ „ † z{x| € x‡ z Œ …†‚µ z{| } z  ‰Œ| { öy€ † | ~ z Œ   ‚ x ~y ‰z € — ¢x‡x ‚…† „{Š  zŒ{ € ‹  {|z ‚ x ~y ‰  zŒ  … †€y‚ x‡  ù  ‰z{ Ž | €€

me

i,j

= a

i,j

(a

i−1,j

+ a

i+1,j

+ a

i,j−1

+

a

i,j+1

)

‡x ‚ † ‰Œ  „ … |z

a

i,j

— ¢x  | €y‚ zŒ  { ‚¡ { € z  | ‰  ‹ †~~ zxzŒ …† z ‚ { ¡

A

†‚ z{’‰{ † „ ‚ x € x‡{| ~¡ ø † | ~…ú ˜ † | ~ †‚ z{’‰{ † „ ‰x„ y… | € x‡ {| ~¡ ø † | ~ | ú ˜û zŒ €‚ x € † | ~ ‰x„ y… | € ‰x|z † {|Š ‚ x € x|„  — ¢Œ  zxz † „ … †€y‚ x‡  ù  ‰z{ Ž | €€ x‡zŒ …† z ‚ { ¡

A

‹ ~ |xz ~ ƒ 

tme(A)

‹{ € ‰x …  y z ~ ƒ €y…… {| } zŒ  … †€y‚ x‡  ù  ‰z{ Ž | €€ x Ž‚ † „„  „ … |z € x‡ z Œ  …† z ‚ { ¡ ¡ ‰  z ‡x ‚ z Œ  †‚ z{’‰{ † „ ‚ x € † | ~ ‰x„ y… | € — ¢Œ y€ ‹zŒ } x † „{ € zx’| ~†…† z ‚ { ¡

A

0

‰x| € z ‚y ‰z ~ ‡ ‚ x …

A

ƒ   ‚…y z{| } € x …‚ x €† | ~€ x … ‰x„ y… | € …†¡ { … {Š{| }

tme(A

0

₎

— –x ‚ †‚ ƒ{z ‚†‚  ‚…y z † z{x| €

ρ

† | ~

σ

x‡ z Œ  ‚ x € † | ~ ‰x„ y… | € ®‚  ‚€ |z{| } z Œ  …† z ‚ { ¡

A

0

¯‹ z Œ  zxz † „ … †€y‚ x‡  ù  ‰z{ Ž | €€ x‡zŒ  …† z ‚ { ¡

A

0

{ €

tme(A

0

_{) = tme}

1

(A

0

) + tme

2

(A

0

)

 Œ ‚

tme

1

(A

0

) =

P

m

i=1

P

n

j=1

(a

ρ(i),σ(j)

× a

ρ(i),σ(j−1)

+ a

ρ(i),σ(j)

× a

ρ(i),σ(j+1)

)

† |

~

tme

2

(A

0

) =

P

m

_i=1

P

n

_j=1

(a

ρ(i),σ(j)

×

a

_{ρ(i−1),σ(j)}

+ a

_ρ(i),σ(j)

× a

ρ(i+1),σ(j+1)

)

— w ‚ {z{| }

tme

1

 {  „ ~€õ

tme

1

(A

0

) =

P

n

j=1

P

m

k=1

2a

k,σ(j)

×

a

_k,σ(j+1)

€ {| ‰  x|zŒ  x|  Œ † | ~ ‹

ρ

{ € †  ‚…y z † z{x| † | ~ x| zŒ  xzŒ ‚ Œ † | ~ ‹

a

_k,σ(0)

= a

_k,σ(n+1)

= 0

— ¢Œ y€ ‹ {‡ ~  ’|  zŒ ~ { € z † | ‰ 

d(i, j)

ƒ  z  |‰x„ y… | €

i

† | ~

j

†€

d(i, j) = 2

P

m

k=1

a

k,i

× a

k,j

‹zŒ  |  xƒz † {|zŒ   ‚ xƒ„ … x‡’| ~ {| }†…†¡ { …y… š †… {„zx|{ † | † zŒ‡ ‚ x … ‰x„ y… | ø zx‰x„ y… || ú ˜— £ { … {„ †‚ „  ‹  ‰ † | ƒ  ‚‚ {z{| }

tme

2

(A

0

)

xƒ z † {| z Œ   ‚ xƒ„ … x‡’| ~ {| } †…†¡ { …y… š †… {„ z x|{ † | † z Œ‡ ‚ x …‚ x  ø zx ‚ x …ú ˜‹  Œ ‚ zŒ{ € z{ … zŒ  ~ { € z † | ‰ €†‚ ~ ’| ~ ƒ 

d(i, j) = 2

P

n

k=1

a

i,k

× a

j,k

— –{| † „„  ‹  € zŒ † z  ‚ xƒ„ … x‡‰„ y€ z ‚ {| }†~† z ††‚‚† ‰ † |ƒ ~  ‰x … x €~ {|zx z  x …†¡ { …y… š †… {„zx|{ † | † zŒ  ‚ xƒ„ …€ ‹x|  ~  ’| ~ x| z Œ  ‚ x € † | ~ x|  ~ ’| ~ x| z Œ  ‰x„ y… | € —

 y€ z  ~€ { } | †  ‚ ¡ { …† †} ‚ {z …€  {z }y†‚† |z ~  ‚ ‚…† | ‰  ‚† € ‹ z † z ‚ y |  {zŒ{|x„  |x … { † „z{ …† | ~  ‚ x ~y ‰ €y ƒ  xz{ …† „ € x„ y z{x| € — ë €y† „„  ‹x|  ‰x …  †‚€ zŒ  x ‚€ z ‰ †€ ‚† z{x ® ‰ † „„ ~€ z † | ~ †‚~‚† z{x¯x‡zŒ  ‰x € z x‡zŒ € x„ y z{x| }  | ‚† z ~ ƒ  zŒ † „ } x ‚ {zŒ … zxzŒ  xz{ …† „‰x € z‹ {| z Œ   x ‚€ z  ‰ †€ — šx Ž‚ ‹  …† {|„  ‚ ‡ ‚ {| z Œ{ € †‚ z{ ‰„  zx † |xz Œ ‚ ‚† z{x ‰ † „„ ~ ê § ü èçè« ©§ ¥ ¨ ç¥ ©§ª  Œ{‰Œ … †€y‚€ zŒ   x ‚€ z ‚† z{xx‡‹ x|zŒ  x|  Œ † | ~ ‹zŒ  ~ {ù ‚ | ‰  ƒ  z  | zŒ  ‰x € z x‡zŒ  € x„ y z{x| }  | ‚† z ~ ƒ  zŒ  † „ } x ‚ {zŒ … † | ~ zŒ   x ‚€ z ‰x € z‹ † | ~ x| zŒ  xzŒ ‚ Œ † | ~ ‹ zŒ  ~ {ù ‚ | ‰  ƒ  z  | zŒ  xz{ …† „ ‰x € z † | ~ zŒ   x ‚€ z ‰x € z — ¢Œ{ € … †€y‚ ‹ € z y~ { ~ ƒ  ò{  „„x  z † „— “• ‹ ò y€ {  „„x  z † „— “¿•‹ ‘ x ‚ | y ˆx„ €  z † „— “÷• ‹ã †Ž†€ { € “왕 ® {|zŒ  ‰x|z ¡ z x‡ |x|  „{|  †‚  ‚ x }‚†…… {| } ¯‹ ý … „ “씕 † | ~ … x ‚ ‚ ‰  |z „  ƒ  ð …† | }  † | ~þ†€ ‰Œx € “˜ ì • † | ~ š †€€ {| † | ~ › Œ y „„ ‚ “  ø • ‹ „  †~€ zx|  † „ } x ‚ {z Œ …€ z †µ {| } {|zx † ‰‰x y |zzŒ ¡ z ‚…€ x„ y z{x| € x‡ zŒ  {| € z † | ‰  ‹ † | ~  ‚ x Ž { ~€ zŒ  xx ‚ z y |{z  zxƒ  zz ‚y | ~‚€ z † | ~ zŒ €  ‚ xƒ„ …€ — ¢Œ ‚†‚}‚ † z ~ {ù ‚ | ‰ € ƒ  z  | € z † | ~ †‚~ † | ~~ {ù ‚ |z{ † „ †  ‚ x ¡ { …† z{x|‡x ‚ zŒ  …†¡ { …y… š †… {„ zx|{ † |  † z Œ  ‚ xƒ„ …€ — –x ‚ {| € z † | ‰  ‹  ‰ † |  †€ {„   ‚ x Ž z Œ † z z Œ  ÿè¥çèé © ÿè § ï ­ôª ç ¤èîç § é ©§æ ®€ –{ € Œ ‚  z † „— “˜™• x ‚   x||xz “œ•¯ { €

1

2

 € z † | ~ †‚~ †  ‚ x ¡ { …† ƒ„  ‡x ‚ ° ±² ³´´

s

† | ~ { €

1

3

 € z † | ~ †‚~†  ‚ x ¡ { …† ƒ„  ‡x ‚ ° ±² ³´´

s,t

x ‚ zŒ † z  Œ †Ž † z ‚ { Ž { † „ € z † | ~ †‚~†  ‚ x ¡ { …† z{x| € ‰Œ … ‡x ‚ ° ±² ³´´

s,t

[n; n + 1]

 Œ ‚ †€ ‹zŒ ÿè¥çèé © ÿè § ï ­ôª ç¤èîç § é ©§æ{ € |xz †~ {ù ‚ |z{ † „ †  ‚ x ¡ { …† z{x|  {zŒ † |  ‰x| € z † |z ‚† z{x‡x ‚ ° ±² ³´´

s

† | ~ ° ±² ³´´

s,t

[n; n + 1]

{ € |xz ~ {ù ‚ |z{ † „ †  ‚ x ¡ { …† z   {z Œ ‚† z{x }‚ † z ‚ z Œ † |

741

742

— Ÿ  |x } { Ž € x … € z † | ~ †‚~~ ’|{z{x| €õ
     «¬ç ª ô¨ è¦

π

§ é ¥ è  © î¬ ¨ è

(I, sol, m, T riv, goal)

é î æ­ ©­ ¥ ©  § 

I

§ é ©­ è éè © ª  § «é © ¥« æ èé ¥«ê § éçè æª ï« § ¥ ô¨ è § «¬ ª¨ í« ª ¦ § ¥ ¨  ©§ ¦è  §§  § è« ¥« § «é © ¥« æ è

I ∈ I



sol[I]

§ é ©­ è éè © ª  è¥é §ô¨ è é ª¨ î ©§ª «é ª

I

 ¦ ª çè ª èç  ©­ èçè èó § é © é ¥ ¬ ª¨ í« ª ¦ § ¥ ¨

P

é î æ­ ©­ ¥ ©   ª ç ¥«í

x ∈ sol[I]



|x| ≤ P (|I|)

  îç ©­ èç¦ ª çè  § © § é ê è æ§ ê¥ ô¨ è § « ¬ ª¨ í« ª ¦ § ¥ ¨ ©§ ¦è  ­ è ©­ èç

x ∈ sol[I]

 ª ç ¥«í

I

¥«ê  ª ç ¥«í

x

é î æ­ ©­ ¥ ©

|x| ≤ P (|I|)

  § «¥ ¨¨ í  ©­ èçè § é ¥  è¥é §ô¨ è é ª¨ î ©§ª «

T riv(I)

 æª ¦¬î © ¥ ô¨ è § «¬ ª¨ í« ª ¦ § ¥ ¨  ©§ ¦è ª ç ¥«í

I

 §§§  § è« ¥« § «é © ¥« æ è

I

¥«ê¥é ª¨ î ©§ª «

x

ª

I



m[I, x]

ê è« ª© èé ©­ è« ª «  «èï¥ ©§ è § « © èïèç¥ ¨ îè ª

x

 ­ è  î« æ©§ª «

m

§ é æª ¦¬î © ¥ ô¨ è § «¬ ª¨ í« ª ¦ § ¥ ¨ ©§ ¦è ¥«ê § é ¥ ¨ é ª æ ¥ ¨¨ èê ©­ è ª ô è 橧 è  î« æ©§ª «   §  

goal ∈ {M ax, M in}



♦

Ÿ  ‰ † „„

π

zŒ  ¸ ¹ ‚ xƒ„ …

(I, sol, m, T riv, goal)

 Œ ‚

goal

{ € ~ ’| ~ †€ ‡x„„x €õ {‡

goal = M ax

‹ z Œ  |

goal = M in

† | ~

goal = M ax

— ¢Œ  } x † „ x‡ † | ¸ ¹  xz{ … {Š † z{x|  ‚ xƒ„ …  {z Œ ‚€   ‰z z x † | {| € z † |‰ 

I

{ € zx ’| ~† | ª ¬ ©§ ¦î¦é ª¨ î ©§ª «

x

∗

€y ‰ŒzŒ † z

opt(I) = m[I, x

∗

_{] = goal{m[I, x] : x ∈ sol[I]}}

— ò|xzŒ ‚ { … x ‚ z † |z € x„ y z{x|x‡

π

{ €† ª çé © é ª¨ î ©§ª «

x

∗

~ ’| ~ ƒ õ

wor(I) = m[I, x

∗

] = goal{m[I, x] :

x ∈ sol[I]}

— ò  x ‚€ z € x„ y z{x| ‡x ‚

π

{ € † | xz{ …† „ € x„ y z{x| ‡x ‚

π

† | ~ Ž { ‰ Ž‚€ † — å| ò y€ {  „„x  z † „— “ ¿ • ‹ zŒ  z ‚… © ç §  § ¥ ¨ é ª¨ î ©§ª «‚ ‡ ‚‚~ zx †€  ª çé © é ª¨ î ©§ª «† | ~† „„zŒ ¡ x €~¡†… „ € Œ †Ž zŒ   ‚ x ‚ z  zŒ † z † x ‚€ z € x„ y z{x| ‰ † | ƒ  z ‚ { Ž { † „„  ‰x …  y z ~ {| x„  |x … { † „  z{ … — – x ‚ ¡†… „  ‹ zŒ{ € { € zŒ  ‰ †€ x‡ zŒ  …†¡ { …y… ‘y z  ‚ xƒ„ …  Œ ‚ ‹ } { Ž | †}‚† Œ‹zŒ   x ‚€ z € x„ y z{x| { € zŒ  … z ~}   € z } { Ž | ƒ   ÍÉáÁÀ ÀÁÂ È É ! ÂÎ Ã ÎÁÂÁ Ï á Å Æ ÇÇ"#$ È ÁÉÇÂÁ à ÐÉ %ËÎÐÉ Ã ÍÉÉ&ÎÇ Ã ÉÂáÉÁ Ï Æ Ã Ð ÎÝÎ ÆÅ ÇÁ Å Ë Ã ÎÁÂÊ

z Œ   †‚ z{z{x|

(V, ∅)

‹ x ‚ z Œ ž {|  þ† ‰ µ {| }  ‚ xƒ„ …  Œ ‚ ‰ † | z ‚ { Ž { † „„   y zz Œ  {z …€y€ {| }†~ { € z{| ‰z ƒ{| ‚ {z … — '|zŒ  ‰x|z ‚†‚ ‹ € {| ‰ † x ‚€ z € x„ y z{x| x‡ zŒ …†¡ { …y… { } Œzš †… {„zx| { † | † zŒ ‡ ‚ x …

s

zx

t

{ € † |xz{ …† „ € x„ y z{x|x‡zŒ … {|{ …y…  { } Œz š †… {„zx|{ † | † zŒ‡ ‚ x …

s

zx

t

‹zŒ  ‰x …  y z † z{x| x‡ €y ‰Œ † € x„ y z{x| { € ¸ ¹ º» ¼½¾ — ¢Œ y€ ‹ ‰x …  y z{| } †  x ‚€ z € x„ y z{x| x‡ ³´´ ® x ‚ ³´´

s

x ‚ ³´´

s,t

‚€   ‰z{ Ž „  ¯ { € †€ Œ †‚~ †€ ‰x …  y z{| } † | xz{ …† „ x|  x‡ ³´´ ® x ‚ ³´´

s

x ‚ ³´´

s,t

‚€   ‰z{ Ž „  ¯— ñxz  zŒ † z zŒ  € †…  ‚ x ‚ z  x‰‰ y‚€ ‡x ‚ † „ †‚}  ‰„ †€€ x‡  ‚ xƒ„ …€ ‹   x||xz “÷•— ( ) ( * ++,-./01 2 3 1 45-,/ 26 07 1 8 9 , 39 :; 2 /-87 å| x ‚~‚ zx € z y~ † „ } x ‚ {zŒ …  ‚ ‡x ‚…† | ‰ € ‹ zŒ ‚ †‚ z  x µ |x  | … †€y‚€õ é © ¥«ê¥çê ç¥ ©§ª “˜”• ‹ “ì•‹ “ · • † | ~ ê §ü èçè« ©§ ¥ ¨ ç¥ ©§ª “˜ ì • ‹ “ ¿ • ‹ “  ø • † | ~ “ ÷ •—
    < = è ©

π

ô è ¥« ¬ç ª ô¨ è¦ ¥«ê

x ∈ sol[I]

 > è ê è «è ©­ è¬èç  ª 禥« æ è ç¥ ©§ ª é ª 

x

 § ©­ çèé¬è æ© © ª ©­ è § «é © ¥« æ è

I

¥é

•

? @  ¼  ¾¼½¾ ½¼  A

ρ

π

(I, x) = M in

½ m[I, x]

opt(I)

,

opt(I)

m[I, x]

¾

•

? ¾ B
½
   ¼ C ½¼   A

δ

π

(I, x) =

wor(I) − m[I, x]

wor(I) − opt(I)

♦

¢Œ   ‚ ‡x ‚…† | ‰ ‚† z{x{ €† | y… ƒ ‚ „ €€ zŒ † |x ‚öy† „zx

1

‹ † | ~ { €öy† „zx

1

{‡ † | ~ x|„  {‡

m[I, x] =

opt(I)

— ñx z  z Œ † z‹ ‰x …  †‚~ z x € x … ~ ’|{z{x| € ‹  Œ †Ž {| Ž‚ z ~ z Œ  € z † | ~ †‚~  ‚ ‡x ‚…† | ‰  ‚† z{x {| zŒ  ‰ †€ x‡ … {|{ … {Š † z{x|  ‚ xƒ„ …€ € x zŒ † z zŒ  ‚† z{x Ž† „ y { € † „ †€ ƒ  z  |

0

† | ~

1

— ä  z

π

ƒ  † | ¸ ¹  ‚ xƒ„ … — –x ‚ † |  {| € z † | ‰ 

I

x‡

π

‹ † x„  |x … { † „ z{ … † „ } x ‚ {zŒ …

A

‚ z y‚ | € † ‡  †€ {ƒ„  € x„ y z{x|

x

A

— ¢Œ   ‚ ‡x ‚…† | ‰  x‡

A

 {z Œ ‚€   ‰z zx

R ∈ {δ, ρ}

x| z Œ  {| € z † | ‰ 

I

{ € z Œ  öy† |z{z 

R

A

[π](I) = R

π

(I, x

A

)

— Ÿ  € † zŒ † z

A

{ € † |

ε

 ¥¬¬ç ª ó § ¦¥ ©§ª « ¥ ¨ ï ª ç § ©­ ¦ {zŒ ‚€   ‰z zx

R

{‡‡x ‚ † |  {| € z † |‰ 

I

‹  Œ †Ž

R

A

(I) ≥ ε

—
    D  ª ç ¥«í¬èç  ª 禥« æ è ç¥ ©§ª

R ∈ {δ, ρ}



•

¥« ¬ç ª ô¨ è¦ ô è ¨ª «ïé © ª©­ è æ¨ ¥éé

APX

_(R)

§ ©­ èçè èó § é © é ¥«

ε

 ¥¬¬ç ª ó § ¦¥ ©§ª «  § ©­ çèé¬è æ© © ª

R

 ª çé ª ¦è æª «é © ¥« ©

ε ∈]0; 1]



•

¥« ¬ç ª ô¨ è¦ ô è ¨ª «ïé © ª©­ è æ¨ ¥éé

PTAS

_(R)

§ ©­ èçè èó § é © é ¥«

ε

 ¥¬¬ç ª ó § ¦¥ ©§ ª «

A

ε

 ª ç ¥«í æª «é © ¥« ©

ε ∈]0; 1[

 ­ è  ¥¦ §¨ í

{A

ε

}

0<ε<1

§ é é¥ § ê © ª ô è ¥¬ ª¨ í« ª ¦ § ¥ ¨ ©§ ¦è ¥¬¬ç ª ó § ¦¥ ©§ª « é æ­ è¦è 

♦

‘ „  †‚ „  ‹ zŒ  ‡x„„x  {| } {| ‰„ y€ {x| Œx„ ~€ ‡x ‚ † |  … †€y‚

R ∈ {δ, ρ}

õ

PTAS

_{(R) ⊆ APX(R)}

— ò € {z { € y€y† „„  ~ x|  ‹   {„„ ~ |xz  ƒ 

APX

† | ~

PTAS

‹ ‚€   ‰z{ Ž „  ‹ z Œ  ‰„ †€€€

APX

_(ρ)

† | ~

PTAS

_(ρ)

— Ÿ  ‰x y „ ~†‚}y Œ  zŒ ‚ zŒ ~ {ù ‚ |z{ † „ ‚† z{x{ €‚ † „„   ‚ z{|  |z õ zŒ †y zŒx ‚€ x‡ “˜ì• † | ~ “¿• † | €‚~ x € {z{ Ž „  z x z Œ † z öy€ z{x| † | ~ ‰x| ‰„ y~~ z Œ † z z Œ{ € … †€y‚ { € ‰x … „ … |z †‚  {z Œ z Œ  € z † | ~ †‚~ ‚† z{x— ò € € Œx  | {| “˜˜•‹ …† |   ‚ xƒ„ …€ ‰ † |Œ †Ž ~ {ù ‚ |z ƒ  Œ †Ž {x ‚  † zz ‚ | € ~   | ~ {| } x|  Œ  zŒ ‚ zŒ  ~ {ù ‚ |z{ † „ x ‚ € z † | ~ †‚~ ‚† z{x { € ‰Œx € | õ ‰x| € { ~‚ ‡x ‚ {| € z † | ‰  ã ‚ z ¡ ‘ x Ž‚ {| } x ‚ ðx … {| † z{| } £ z  ‚ xƒ„ …€ — '| zŒ  xzŒ ‚ Œ † | ~ ‹ zŒ ‚ †‚  ‚ xƒ„ …€ zŒ † z € z † ƒ„{ € Œ € x … ‰x||  ‰z{x| € ƒ  z  | zŒ  ~ {ù ‚ |z{ † „ † | ~ zŒ  € z † | ~ †‚~ ‚† z{x € ‹ „{ µ ž {| þ† ‰ µ {| } “˜• x ‚ …†¡ { …y…  { } Œz ƒx y | ~~  ~ zŒ €  † | |{| } z ‚ “·• † | ~ € ý … „ “씕 ‡x ‚ … xz{ Ž† z{x| € † | ~ ‰x … „ … |z †‚ {z  „{| µ€ ƒ  z  | zŒ  z  x

… †€y‚€ ž€ { ~€ ‹  €  z † zz ‚ †‚ z{ } z µ€  z  | z … †€y‚€ ‚ z   ‚ …€ ~ † z  {zŒ {|zŒ  ‰ †€ Œ ‚ zŒ  ~}    { } Œz € Œ †Ž „x ‚ † | ~y  ‚ ƒx y | ~€ — ñx  ‹‰x| € { ~‚ zŒ  ‡x„„x  {| } †  ‚ x ¡ { …† z{x| ‚€‚Ž {| } ‚~y ‰z{x| € ƒ  z  | † { ‚€

(π, R)

—
    E  ª ç

π

i

∈ N P O

¥«ê

R

i

∈ {δ, ρ}



i = 1, 2



•

¥«

A

 çèêî 橧 ª «  ç ª ¦

(π

1

, R

1

)

© ª

(π

2

, R

2

)

 ê è« ª© èê ô í

(π

1

, R

1

) ≤

A

(π

2

, R

2

)

 § é ¥ © ç § ¬ ¨ è ©

(∝, f, c)

é î æ­ ©­ ¥ © §

∝: I

π

1

7−→ I

π

2

 © 祫é ª ç¦é ¥« § «é © ¥« æ è ª

π

1

§ « © ª ¥« § «é © ¥« æ è ª

π

2

§ «¬ ª¨ í« ª ¦ § ¥ ¨  ©§ ¦è  §§

f : sol

π

2

[∝ (I)] 7−→ sol

π

1

[I]

 © 祫é ª ç¦é é ª¨ î ©§ª «é ª ç

π

2

§ « © ª é ª¨ î ©§ª «é ª ç

π

1

§ « ¬ ª¨ í« ª ¦ § ¥ ¨  ©§ ¦è   §§§ 

c : [0; 1] 7−→ [0; 1]

æ ¥ ¨¨ èê èó¬¥«é §ª « ª  ©­ è  çèêî 橧ª «  § é ¥  î« æ©§ª « é¥ ©§ é  í § «ï

c

−

1

_{(0) ⊆ {0}}

¥«ê

∀ε ∈ [0; 1], ∀I ∈ I

π

1

, ∀x ∈ sol

π

2

[∝ (I)]



R

2

[π

2

](∝ (I), x) ≥ ε =⇒ R

1

[π

1

](I, f (x)) ≥ c(ε)

•

¥«

A∗P

 çèêî 橧ª «  ç ª ¦ ©­ 謥 § ç

(π

1

, R

1

)

© ª ©­ 謥 § ç

(π

2

, R

2

)

 ê è« ª© èê ô í

(π

1

, R

1

) ≤

A∗P

(π

2

, R

2

)

 § é ¥«

A

 çèêî 橧ª «  ç ª ¦

(π

1

, R

1

)

© ª

(π

2

, R

2

)

é î æ­ ©­ ¥ © ©­ è çèé © ç §æ©§ª « ª   î« æ©§ª «

c

© ª é ª ¦è § « © èç¥ ¨

[a; 1]

§ é ô§ è 橧 è ¥«ê

c(1) = 1 (c(0)

¦¥í ô è« ª «  èç ª  

♦

ò|

A

 ‚~y ‰z{x| ‚€‚Ž€ ‰x| € z † |z †  ‚ x ¡ { …† z{x|  Œ{„ 

A ∗ P

 ‚~y ‰z{x| ‚€‚Ž€†  ‚ x ¡ { …† z{x| € ‰Œ …€ — ¢Œ  †‚ † | † z y‚† „ }  | ‚† „{Š † z{x| x‡ zŒx € ~€ ‰ ‚ {ƒ ~ ƒ  ' ‚ x|  | † | ~   † ||{„ † “ì ø • † | ~ ‘‚€ ‰  |Š{ † | ~þ† | ‰x| € { “ œ • —
    F G

(π

1

, R

1

) ≤

A∗P

(π

2

, R

2

)

¥«ê

(π

2

, R

2

) ≤

A∗P

(π

1

, R

1

)

 § ©­

c(ε) = ε

 è é¥í ©­ ¥ ©

(π

1

, R

1

)

§ é èHî § ¥ ¨ è« © © ª

(π

2

, R

2

)



♦

¢Œ  ~ {ù ‚ |z{ † „ ‚† z{x … †€y‚€ Œx  zŒ  Ž† „ y x‡ † | †  ‚ x ¡ { …† z  € x„ y z{x|

m[I, x]

{ € „x‰ † z ~ {| zŒ  {|z ‚Ž† „ ƒ  z  |

opt(I)

† | ~

wor(I)

—   x ‚ ¡† ‰z„  {z { € öy { Ž† „  |z ‡x ‚ † …†¡ { … {Š † z{x|  ‚ xƒ„ … zx  ‚ x Ž

δ

π

(I, x) ≥ ε

† | ~

m[I, x] ≥ εopt(I) + (1 − ε)wor(I)

— '| zŒ  xzŒ ‚ Œ † | ~ ‹zŒ  € z † | ~ †‚~‚† z{x … †€y‚€ ® ‡x ‚ † …†¡ { … {Š † z{x|  ‚ xƒ„ … ¯ Œx  z Œ  Ž† „ y x‡ † | †  ‚ x ¡ { …† z  € x„ y z{x| { € „ † ‰ ~ {| z Œ  {|z ‚Ž† „ ƒ  z  |

0

† | ~

opt(I)

— š  | ‰  ‹  Œ †Ž † |

A ∗ P

 ‚~y ‰z{x| ‡ ‚ x … zŒ  € z † | ~ †‚~ ‚† z{x zx zŒ  ~ {ù ‚ |z{ † „ ‚† z{x õ I
JJ ¼ K G

π = (I, sol, m, T riv, M ax) ∈

  ©­ è«

(π, ρ) ≤

A∗P

(π, δ)

 § ©­

c(ε) = ε

 ¹ ½L M ä  z

I

ƒ  † | {| € z † | ‰  x‡

π

† | ~

x

ƒ  † ‡  †€ {ƒ„ € x„ y z{x|— å‡

m[I, x] ≥ εopt(I) + (1 − ε)wor(I)

zŒ  |  Œ †Ž † „„zŒ  … x ‚ € x

m[I, x] ≥ εopt(I)

€ {| ‰ 

wor(I) ≥ 0

—

¤

ñxz  zŒ † z‹ {| }  | ‚† „‹ zŒ ‚ { € |x Ž { ~ |z z ‚† | € ‡ ‚ x‡ † x € {z{ Ž x ‚ | }† z{ Ž ‚€y „z ‡ ‚ x … x|  ‡ ‚†… x ‚µ zxzŒ  xzŒ ‚ ‡x ‚†… {|{ … {Š † z{x| ‚ xƒ„ … — –x ‚ {| € z † | ‰  ‹  Œ †Ž  ‚ x Ž~ {|ð …† | }  z † „— “˜ ø • z Œ † z † Ž‚€ {x| x‡  { } Œ z ~ … {|{ …y… ‰x„x ‚ {| } †~… {z € † € z † | ~ †‚~ |x|  †  ‚ x ¡ { …† z{x| z Œ ‚€ Œx„ ~ öy† „ zx

7

8

{| ƒ{ †‚ z{z  }‚† Œ €  Œ ‚ †€  Œ †Ž ƒ y {„z † ~ {ù ‚ |z{ † „ †  ‚ x ¡ { …† z{x| € ‰Œ … û {| zŒ{ € ‰x„x ‚ {| } Ž‚€ {x| ‹ zŒ  ‰x € z x‡ †€ z † ƒ„ € z{ € } { Ž | ƒ  zŒ …†¡ { …y… x‡zŒ Ž‚ z ¡ { } Œz € {| zŒ{ € € z † ƒ„  € z —

N ¢Œ  š †… {„zx|{ † | † zŒ ‚ xƒ„ … ‹ † „ € x‰ † „„ ~ zŒ   ç¥è ¨§ «ï X¥ ¨ èé ¦¥«Y¥ ©­ ¬ç ª ô¨ è¦ ‹{ € ‡x ‚…† „„ ~ ’| ~ †€ ‡x„„x € —
    < Zª «é § ê èç ¥ æª ¦¬ ¨ è © è ï祬 ­

K

n

 § ©­ « ª «  «è ï¥ ©§ è æª é © é

d(x, y)

 ª ç è¥ æ­ èç © èó ¬¥ § ç  > 襫 ©© ª «ê ¥« ª ¬ ©§ ¦¥ ¨  æª é © ¤¥¦ §¨ © ª « § ¥«¬¥ ©­   ­ èçè ©­ è æª é © ª  ¥¬¥ ©­ § é ©­ èé î¦ ª ©­ èè § ï ­© é ª « § © é èêïèé  > è çè  èç ©­§ é¬ç ª ô¨ è¦ ¥é ³´´  > ­ è« ª «è è«ê¬ ª§ « ©

s

 çèé¬  ©  ª è«ê¬ ª§ « © é

s

¥«ê

t

 ª  ¤¥¦ §¨ © ª « § ¥«¬¥ ©­ ¥çèé¬è æ§ èê  è îéè ©­ è « ª© ¥ ©§ª « ³´´

s

 çèé¬  ³´´

s,t

  G

goal = M ax

 ©­ è¬ç ª ô¨ è¦ § é æ ¥ ¨¨ èê ° ±² ³´´  è ¨ éè ° [\ ³´´  > èîéè« ª© ¥ ©§ª « ³´´  ³´´

s

ª ç ³´´

s,t

 § ©­ « ª ¬çè ó  ­ è«è æª «é § ê èç § ©­ª î © ê § é ©§ « 橧ª « ©­ è æ ¥éè

goal = M ax

ª ç

goal = M in



♦

£ z † | ~ †‚~‚† z{x †  ‚ x ¡ { …† z{x| ‚€y „z € ‰ † |ƒ  ~‚ { Ž~ ‡x ‚ ³´´ ƒ  y€ {| } z ‚ { Ž { † „ ‚~y ‰z{x| zx]^ ´õ zŒ  ’ ‚€ z | }† z{ Ž†  ‚ x ¡ { …† z{x| ‚€y „z ® zŒ † z  ‰ † | ~~y ‰  ‡ ‚ x … “ì앯 € z † z € zŒ † z {z{ € |xzx €€ {ƒ„  zx †  ‚ x ¡ { …† z  ° [\³´´  {z Œ{|

1/f (|I|)

 Œ ‚ ‡ { €† |  {|z } ‚ ‡ y | ‰z{x|‰x …  y z † ƒ „   {z Œ{|x„  |x … { † „ z{ …y |„ €€ ¹_ ¸ ¹—'|zŒ  xzŒ ‚ Œ † | ~ ‹

metric

` ° [\³´´ { € †  ‚ x ¡ { …† ƒ„  {zŒ{|

2/3

“”• † | ~ ° [\ ³´´

[1, 2]

{ € a ¹b ºc  J dC

®~~y ‰ ~ ‡ ‚ x … þ†  †~ { … {z ‚ {x y † | ~e† || †µ†µ { € “옕¯— –x ‚ ° ±² ³´´ ‹ zŒ ‚€y „z €†‚… x ‚ xz{ … { € z{ ‰ € {| ‰  zŒ{ €  ‚ xƒ„ … { € {| a ¹b—¢Œ  ƒ € z  µ |x  | € z † | ~ †‚~‚† z{x{ €öy† „ zx

25

33

† | ~ ‰ † | ƒ ~~y ‰ ~ ‡ ‚ x … š †€€ {| † | ~ w y ƒ{| € z  {| “˜• — ° [\ ° fg h[i³´´

s,t

{ €†€ Œ †‚~ zx †  ‚ x ¡ { …† z †€ ° [\ ° fg h[i³´´

s

— å € ° [\ ° fg h[i³´´

s,t

‚† „„  …y ‰ŒŒ †‚~‚ zx †  ‚ x ¡ { …† z  zŒ † | ° [\ ° fg h[i ³´´

s

j ¢Œ{ € {|z ‚€ z{| } öy€ z{x| ‚† { €~ zŒ  ’ ‚€ z z{ … ƒ k xŒ| € x| † | ~ þ†  †~ { … {z ‚ {x y “ì• x|zŒ  ‚ „ † z{ Ž Œ †‚~ | €€ x‡zŒ  z  x €   ‰{’ ~ | ~ x{|z € Ž‚€ {x| ‰x …  †‚~ zx z Œ  x|  €   ‰{’ ~  | ~ x{|z { € € z{„„ x  | zx ~ † — šx Ž‚ ‹ z Œ  x € {z{ Ž ‚€y „ z € } { Ž | x| zŒ €  ‚ xƒ„ …€ „  †~ zx † x € {z{ Ž † | €‚ zx zŒ  öy€ z{x| € {| ‰  zŒ  ƒ € z  µ |x  | € z † | ~ †‚~ ‚† z{x € †‚

2

3

‡x ‚ ° [\ ° fg h[i ³´´

s

‹ šxx } Ž | “  • † | ~

3

5

‡x ‚ ° [\ ° fg h[i ³´´

s,t

šxx } Ž | “• ‹ ¶y zz …† ||  ž ‰ µ  z † „— “˜·• — –{| † „„  ‹{‡  ‰x| € { ~‚ zŒ  ‰ †€

a ≤ d(e) ≤ 2a

zŒ ‚ †‚ |x €   ‰{’‰ ‚€y „z € — –x ‚ ¡†… „  ‘ Œ ‚ { € zx’ ~€l… x ~ {’‰ † z{x| † „ } x ‚ {zŒ … “• ‚…† {| € †

2/3

 € z † | ~ †‚~ ‚† z{x‡x ‚ ° [\ ³´´

s

[a; 2a]

— ¢x x y ‚ µ |x  „ ~}  ‹ |x € z † | ~ †‚~ †  ‚ x ¡ { …† z{x| ‚€y „ z Œ †€ ƒ  | ‡x y | ~ ‡x ‚ ° ±² ³´´

s

† | ~ ° ±² ³´´

s,t

— Ÿ  € Œx  z Œ † z ³´´

s

{ €

2

3

†  ‚ x ¡ { …† ƒ„  † | ~ ³´´

s,t

{ €

1

2

†  ‚ x ¡ { …† ƒ„  y | ~‚ z Œ  ~ {ù ‚ |z{ † „ ‡ ‚†… x ‚µ — Ÿ  ‰ † | ~~y ‰  ‡ ‚ x … ä ……† ˜—” †

2

3

 € z † | ~ †‚~ †  ‚ x ¡ { …† z{x| ‡x ‚ ° ±² ³´´

s

† | ~ †

1

2

 € z † | ~ †‚~ †  ‚ x ¡ { …† z{x| ‡x ‚ ° ±² ³´´

s,t

—   x ‚ x Ž‚ ‹x y‚ z  ‰Œ|{ öy † „„x € zxŒ † | ~ „  zŒ  ‰ †€ Œ ‚ † „„ z Œ  ~}   { } Œ z € †‚  {z Œ{| † | {|z ‚Ž† „

[a, 2a]

‡x ‚ † |  x € {z{ Ž

a

€ {| ‰  ‡ ‚ x …  ‚Ž {x y€ ‚€y „ z € ‹  ~ ~y ‰  †

3

4

®‚€ —

2

3

¯  € z † | ~ †‚~ †  ‚ x ¡ { …† z{x| ‡x ‚ ° [\ ³´´

s

[a, 2a]

®‚€ — ° [\ ³´´

s,t

[a, 2a]

¯ † | ~ †

5

6

®‚€ —

3

4

¯  € z † | ~ †‚~ †  ‚ x ¡ { …† z{x| ‡x ‚ ° ±² ³´´

s

[a, 2a]

®‚€ — ° ±² ³´´

s,t

[a, 2a]

¯— ¢Œ y€ ‡x ‚ zŒ €‚€ z ‚ { ‰z{x| € ‹  { …  ‚ x Ž zŒ  ƒ € z  µ |x  |ƒx y | ~€ x‡

2

3

®‚€ —

3

5

¯ ‡x ‚… {|{ … {Š † z{x| Ž‚€ {x| € } { Ž | ƒ  šxx } Ž | “• ®‚€ — ¶y zz …† ||  ƒ  ‰ µ z † „— “˜·• x ‚ “• ¯— m ÕÆ Ã ÎÇ Ï nÎÂo Ï ÁÐ ÆÅÅ ÝÉÐ Ã ÎáÉÇ

x, y, z

à ÍÉÎÂÉ %Ë ÆÅ Î Ã np

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

Ê

q s ä  z y€ ’ ‚€ z € z † ƒ„{ € Œ € x … ‚ „ † z{x| € ƒ  z  | ³´´ ‹ ³´´

s

‹ ³´´

s,t

† | ~~ {ù ‚ |z €y ƒ‰ †€€ — Ÿ   ‚ x Ž zŒ † z ³´´

s,t

{ € zŒ  … x € z }  | ‚† „  ‚ xƒ„ … — ò € † € ‰x| ~ € z  ‹  € z † ƒ„{ € Œ ‡x ‚  † ‰Œ  ‚ xƒ„ … € x … ‰x||  ‰z ~ ‚ „ † z{x| € ƒ  z  | ~ {ù ‚ |z{ † „ † | ~ € z † | ~ †‚~ ‚† z{x € — å| zŒ  ‡x„„x  {| }  †‚†}‚† Œ‹  {zŒx y z €   ‰{’‰ † z{x|‹zŒ   ‚ x ‚ z{ € zŒ † z   ‚€ |z‡x ‚ ³´´

s,t

†‚ † „ € x z ‚y ‡x ‚ ³´´

s

† | ~ ³´´ — ³´´

s,t

{ €†€ Œ †‚~†€ ³´´

s

® Œ{ ‰Œ { € {z € „‡ †€ Œ †‚~†€ ³´´ ¯ z x †  ‚ x ¡ { …† z  ‡x ‚ ƒx z Œ  ‚ ‡x ‚ …† | ‰  ‚† z{x € —   x ‚ x Ž‚ ‹‡ ‚ x … †~ {ù ‚ |z{ † „ †  ‚ x ¡ { …† ƒ{„{z  x{|z x‡ Ž {  ‹zŒ €~ {ù ‚ |z Ž‚€ {x| € †‚ Ž‚ ‰„x € zx zŒ  ]^ ´ ‹ Ž |{‡  ‰x| € { ~‚ zŒ  ‚€ z ‚ { ‰z{x|

a ≤ d(e) ≤ b

— I
JJ ¼ D  ª ç ¥«í

goal ∈ {M in, M ax}

 è ­ ¥è 

(i) (goal

]^ ´

[a, b]



δ) ≤

A∗P

_(goal

³´´

s,t

[a, b]



δ)

 § ©­

c(ε) = ε



(ii) (goal

³´´

[a, b]



δ) ≤

A∗P

_(goal

]^ ´

[a, b]



δ)

 § ©­

c(ε) = ε

 ¹ ½LM Ÿ  x|„ € Œx  zŒ  ‰ †€

goal = M ax

—

•

–x ‚

(i)

õ ä  z

I = (n, d)

 {z Œ

a ≤ d(e) ≤ b

ƒ  † | {| € z † | ‰  x‡ ° ±² ]^ ´

[a, b]

— ‘ Œxx € †Ž‚ z ¡

s

{|

K

n

† | ~ ~ ’| 

I

v

= (n, s, v, d)

† | {| € z † | ‰  x‡ ° ±² ³´´

s,v

[a, b]

‡x ‚ Ž‚

v ∈ V \ {s}

— ä  z

µ

v

ƒ  † š †… {„zx|{ † | † zŒ‡ ‚ x …

s

zx

v

x‡

I

v

 Œ{ ‰Œ { €† |

ε

 ~ {ù ‚ |z{ † „ †  ‚ x ¡ { …† z{x|‡x ‚ ° ±² ³´´

s,v

[a, b]

— £ x‹ ‡x ‚ Ž‚

v ∈ V \ {s}

 Œ †Žõ

m[I

v

, µ

v

] ≥ εopt

u vwxyy

s,v

(I

v

) + (1 − ε)wor

u vwxy y

s,v

(I

v

)

® 엘¯ – ‚ x …

µ

v

 {zŒ

v ∈ V \{s}

‹  ‰x| € z ‚y ‰zzŒ  š †… {„zx|{ † |‰  ‰„ 

Γ = argmax{m[I, Γ

v

] : v ∈ V \{s}}

 Œ ‚

Γ

v

= µ

v

∪ {(s, v)}

— ñx  ‹ ‰x| € { ~‚

v

∗

€y ‰Œ z Œ † z † | xz{ …† „ š †… {„ z x|{ † |‰  ‰„  x‡

I = (n, d)

‰x|z † {| € ~} 

(s, v

∗

₎

û z Œ y€ ‹  Œ †Žõ

opt

u vwxyy

s,v∗

(I

v

∗

) + d(s, v

∗

) = opt

u vwz {y

(I)

® 엝¯ ä  z

µ

∗

ƒ  †  x ‚€ z š †… {„ zx|{ † |  † z Œ ‡ ‚ x …

s

zx

v

∗

û

µ

∗

∪ {(s, v

∗

)}

{ € † |š †… {„ zx|{ † | ‰  ‰„  † | ~ ~ ~y ‰ õ

wor

u vwxyy

s,v∗

(I

v

∗

) + d(s, v

∗

) ≥ wor

u vwz {y

(I)

® ì—ì¯ ‘ x … ƒ{|{| } {| öy† „{z{ € ® 엘¯‹ ® 엝¯ † | ~ ® ì—쯋  xƒz † {| õ

m[I, Γ] ≥ m[I, µ

v

∗

] + d(s, v

∗

) ≥

εopt

u vwz {y

(I) + (1 − ε)wor

u vwz {y

(I)

—

•

–x ‚ ® {{¯ õ ä  z

I = (n, d)

 {z Œ

a ≤ d(e) ≤ b

ƒ  † | {| € z † | ‰  x‡ ° ±² ³´´

[a, b]

— Ÿ  z ‚† | € ‡x ‚…

I

{|zx{| € z † | ‰ 

∝ (I) = (n+1, d

0

₎

†€ ‡x„„x õ †~~† | Ž‚ z ¡

s

zx }‚† Œ

K

n

† | ~~ ’| 

d

0

_{(s, v) = a, ∀v}

‹

d

0

(e) = d(e)

‡x ‚ xzŒ ‚ ~} € —

¤

'ƒ €‚Ž zŒ † z zŒ   ‚ xx‡ x‡ {z …

(ii)

† „ € x Œx„ ~€ ‡x ‚ zŒ  € z † | ~ †‚~ ‚† z{x  {zŒ

goal = M ax

‹ ƒ y z {| z Œ{ € ‰ †€ ‹  … { } Œ z Œ †Ž

a = 0

— £ x‹ ~~y ‰  ‡ ‚ x … z Œ ‚€y „ z x‡ š †€€ {| † | ~ w y ƒ{| € z  {| “˜•‡x ‚ ° ±²

]^ ´ z Œ † z ° ±² ³´´ { €

25

33

 € z † | ~ †‚~ †  ‚ x ¡ { …† ƒ„  — '| z Œ  x z Œ ‚ Œ † | ~ ‹ ‡ ‚ x … z Œ  ‚€y „ z x‡ £† Œ|{ † | ~ ¶ x|Š † „  Š “ìì•  µ |x  zŒ † z ° [\ ³´´

s,t

{ € |xz {| a ¹b y |„ €€ ¹_ ¸ ¹— ¢Œ{ € †€…… z ‚ {| zŒ  †  ‚ x ¡ { …† ƒ{„{z  x‡ ƒxzŒ Ž‚€ {x| € ® ° ±² ³´´

s,t

{ € {| a ¹b †€ „ † z ‚  ‚ x Ž~ ¯‰ † | ƒ  ‰x| € { ~‚~ †€ € x … Œ † z € z ‚† | }  } { Ž | z Œ  € z ‚y ‰z y‚† „ €…… z ‚ ¡ { € z{| } ƒ  z  | z Œ … — £ {| ‰  ~ {ù ‚ |z{ † „ †  ‚ x ¡  { …† z{x| { € € z † ƒ„  y | ~‚ † ||  z ‚† | € ‡x ‚…† z{x| x‡ zŒ  xƒˆ  ‰z{ Ž ‡ y | ‰z{x| ®€ ‡x ‚ {| € z † | ‰  š †€€ {| † | ~ › Œ y „„ ‚ “ ø • x ‚ ð …† | }  † | ~þ†€ ‰Œx € “˜ì• ¯‹° ±² ³´´

s,t

† | ~ ° [\³´´

s,t

†‚~ {ù ‚ |z{ † „  öy { Ž† „  |z ®€ ð  ’|{z{x| ˜—™¯— ¹ ½d@    D< ­ è  ª¨¨ª  § «ï ¥ééèç ©§ª «é ­ª¨ ê 

(i)

° [\ ³´´

s,t

§ é ê §ü èçè« ©§ ¥ ¨  èHî § ¥ ¨ è« © © ª ° ±² ³´´

s,t



(ii) M inHP P

s,t

[a, b]

§ é ê §ü èçè« ©§ ¥ ¨  èHî § ¥ ¨ è« © © ª

M axHP P

s,t

[a, b]



(iii)

³´´

s,t

§ é ê § ü èçè« ©§ ¥ ¨  èHî § ¥ ¨ è« © © ª ¦è © ç §æ ³´´

s,t



(iv)

³´´

s,t

[a, b]

§ é ê §ü èçè« ©§ ¥ ¨  èHî § ¥ ¨ è« © © ª ³´´

s,t

[a + t, b + t]

  ª 祫í

t

 ¹ ½L M ä  z

d

max

= max

e∈E

d(e)

† |

~

d

min

= min

e∈E

d(e)

— ¶ { Ž | † | {| € z † | ‰   {zŒ ~ { € z † | ‰  ‡ y | ‰  z{x|

d

x‡ zŒ  „  ‡z  ‚ xƒ„ … {| {z …€

(i) − (iv)

‹  ‰x| € z ‚y ‰z † ~ { € z † | ‰  ‡ y | ‰z{x|

d

0

zx † | {| € z † | ‰  x‡ zŒ  ‰x ‚‚€ x| ~ {| } ‚ { } Œz  ‚ xƒ„ … {| {z …€

(i) − (iv)

†€ ‡x„„x €õ

(i) d

0

(e) = d

max

+ d

min

− d(e)

‹

(ii)

d

0

_{(e) = a + b − d(e)}

‹

(iii) d

0

_{(e) = d}

max

+ d(e)

‹

(iv) d

0

_{(e) = t + d(e)}

— £ {| ‰  ~ {ù ‚ |z{ † „ ‚† z{x { € € z † ƒ„  y | ~‚ † ||  z ‚† | € ‡x ‚…† z{x| x‡ z Œ  xƒˆ  ‰z{ Ž ‡ y | ‰z{x| ®€ ð …† | }  † | ~þ†€ ‰Œx € “˜ ì • x ‚ š †€€ {| † | ~ › Œ y „„ ‚ “ ø •¯‹ zŒ{ € ‰x| ‰„ y~€ zŒ   ‚ xx‡—

¤

'ƒ €‚Ž zŒ † z zŒ 

(iv)

x‡ zŒ{ €  ‚ xx € {z{x| † „„x € zx ~ † „  {zŒ zŒ  ‰ †€  Œ ‚ zŒ  ~ { € z † | ‰ € †‚ | }† z{ Ž — ¢Œ  ‡x„„x  {| }  †€ zŒ  x ‚… Œx„ ~€ ‹ zŒ y€ } { Ž {| } † ƒ ‚ { ~}  ƒ  z  | ~ {ù ‚ |z{ † „ † | ~ € z † | ~ †‚~ ‚† z{x € ‡x ‚

goal = M ax

† | ~

goal = M in

‹{| z Œ  ‰ †€  Œ ‚~}   { } Œ z € ƒ  „x| } zx † | {|z ‚Ž† „

[a, b]

— } »
½
J DD

(goal

³´´

s,t

[a, b]



ρ) ≤

A∗P

_(goal

³´´

s,t

[a, b]



δ)

 § ©­ ©­ è èó¬¥«é §ª « é¥ ©§ é  í § «ï 

• c

1

(ε) =

(b − a)ε

b

+

a

b

§ 

goal = M ax

• c

2

(ε) =

a

b − (b − a)ε

§

goal = M in

¹ ½L M Ÿ  x|„   ‚ x Ž z Œ 

goal = M ax

‰ †€ — ä  z

I

ƒ  † | {| € z † | ‰  † | ~

µ

ƒ  † š †… {„ zx|{ † |  † z Œ ‡ ‚ x …

s

zx

t

— å‡

m[I, µ] ≥ εopt(I)+(1−ε)wor(I)

‹zŒ  |

m[I, µ] ≥ c

1

(ε)opt(I)

€ {| ‰ 

wor(I) ≥

a

_b

opt(I)

—

¤

¢Œ  þ‚ xx € {z{x| 엝 † | ~ zŒ  ¢Œ  x ‚… ì—ì † „ € xŒx„ ~ ‡x ‚ ³´´

s

† | ~ … x ‚ }  | ‚† „„  ‹ zŒ € ‚€y „z €  x ‚µ ‡x ‚…† | €   ‰{’‰xz{ … {Š † z{x| ‚ xƒ„ …€ ‡ ‚ x …}‚† ŒzŒ  x ‚ ‹zŒx € ‡x ‚ Œ{ ‰Œ † „„‡  †€ {ƒ„ € x„ y z{x| € Œ †Ž † | öy† „ € {Š  zŒ † z ~   | ~€ x|zŒ  {| € z † | ‰  € {Š  ®€   x||xz “÷•¯— ° ±² ³´´

s,t

[a, b]

† | ~ ° [\³´´

s,t

[a, b]

® ‡x ‚

a

† | ~

b

|xz ~   | ~ {| } x|zŒ  {| € z † | ‰  ¯ †‚ z ‚ { Ž { † „„  {| a ¹b  Œ  |

a > 0

€ {| ‰  † |  € x„ y z{x| { € † z „  †€ z †

a/b

 € z † | ~ †‚~ †  ‚ x ¡ { …† z{x| ® z †µ

ε = 0

{|

¢Œ  x ‚… {| z Œ{ € ‰ †€ ‹ z Œ € z † | ~ †‚~‚† z{x …† |x z ƒ  z Œ † z … † |{| } ‡ y „ € {| ‰ Ž | †  x ‚€ z € x„ y z{x|  {  „ ~€ † ‰x| € z † |z € z † | ~ †‚~ †  ‚ x ¡ { …† z{x|— ñ Ž‚ zŒ  „ €€ ‹  ‰ † | ~~y ‰  ‡ ‚ x … zŒ{ € zŒ  x ‚… zŒ † z zŒ  Œ †‚~ | €€ zŒ ‚€ Œx„ ~ € ‡x ‚ € z † | ~ †‚~ † | ~ ~ {ù ‚ |z{ † „ ‡ ‚†… x ‚µ †‚ { ~ |z{ ‰ † „ € {| ‰  ° [\ ³´´

s,t

[a, b]

{ € a ¹b ºc  J dC

— ~ ½ CC¼½ DE  ª ç ¥ ¨¨

b > a ≥ 0

 ³´´

s,t

[a, b] /

∈ PTAS(δ)

î« ¨ èéé €  Ÿ  ‰ † | † „ € x € z † ƒ„{ € Œ † „{ … {z x|{z € ~ {ù ‚ |z{ † „ †  ‚ x ¡ { …† z{x| ‡x ‚€ x … Ž† „ y€ x‡

a

† | ~

b

— w  ‰ † „„zŒ  | }† z{ Ž ‚€y „ z x‡ | }  ƒ ‚ z € | † | ~ ›†‚ {| €µ { “˜¿• ‡x ‚ ° [\ ]^ ´

[1, 2]

õ ‡x ‚ † | 

² > 0

‹|x x„  |x … { † „ z{ … † „ } x ‚ {zŒ … ‰ † | }y†‚† |z  † € z † | ~ †‚~ †  ‚ x ¡ { …† z{x| ‚† z{x }‚ † z ‚ zŒ † |‹ x ‚ öy† „ zx‹

740

741

+ ²

— å z { € †€ z x xƒ €‚Ž z Œ † z ° [\ ³´´

s,t

[1, 2]

† | ~ ° [\ ³´´

s

[1, 2]

†‚ ®†€… z x z{ ‰ † „„  ¯ öy { Ž† „  |z zx †  ‚ x ¡ { …† z  ° [\ ]^ ´

[1, 2]

— ¢Œ y€ ‹  ‰ † | ~~y ‰  zŒ † z ° [\ ³´´

s

[1, 2]

† | ~ ° [\ ³´´

s,t

[1, 2]

†‚ |xz € z † | ~ †‚~ †  ‚ x ¡ { …† ƒ„   {zŒ ‚† z{x }‚ † z ‚ zŒ † |

740

741

— –{| † „„  ‹ y€ {| } ¢Œ  x ‚… ì—ì † | ~

(iv)

x‡ þ‚ xx € {z{x| 엝‹  xƒ z † {| õ ¹ ½d@    DF  ª ç¥ ¨¨

a

 ³´´

s,t

[a, a+1]

¥«ê ³´´

s

[a, a+1]

¥çè« ª© ¥¬¬ç ª ó § ¦¥ ô¨ è § ©­ ê §ü èçè« ©§ ¥ ¨ ç¥ ©§ª ïçè¥ © èç ©­ ¥«

741

742

î« ¨ èéé €  ‚ ƒVVq r „ v TS p Q S U…rq vp P Tt † rq p PQtQ Vq r W U Q Tt å|zŒ{ € € ‰z{x|‹   ‚ xx € z  x z   € x‡ † „ } x ‚ {zŒ …€  Œ{ ‰Œ  {  „ ~ ‰x| € z † |z ~ {ù ‚ |z{ † „  ‚† z{x— –x ‚ ° ±² ³´´

s

‹ zŒ  † „ } x ‚ {zŒ … { € xƒz † {| ~ ƒ  }  zz{| } €Ž‚† „ ‡  †€ {ƒ„  € x„ y z{x| € † | ~ ƒ  ‰Œxx € {| } zŒ  ƒ € z x|  †… x| } z Œ … —  † ‰Œ x‡ z Œ € {| ~ { Ž { ~y† „ € x„ y z{x| € Œ †€ †~ {ù ‚ |z{ † „ †  ‚ x ¡ { …† z{x| ‚† z{x z  | ~ {| } zx †‚~€ Š ‚ x  {zŒzŒ € {Š  x‡zŒ  {| € z † | ‰  — –x ‚ ° ±² ³´´

s,t

‹zŒ † „ } x ‚ {zŒ … { €Ž‚~ {ù ‚ |z † | ~ z †µ€ {|zx † ‰‰x y |z zŒ ¡ z ‚… € x„ y z{x| € — £ x‹x|zŒ  x|  Œ † | ~ ‹ zŒ  † „ } x ‚ {zŒ … z ‚ { € zx ƒ  zŒ  |  †‚€ z ‡ ‚ x … zŒ  ƒ € z € x„ y z{x| Ž† „ y † | ~ x|zŒ  xzŒ ‚ Œ † | ~ ‹ z ‚ { € zxƒ  zŒ  ‡ y‚ zŒ € z ‡ ‚ x … zŒ   x ‚€ z € x„ y z{x| Ž† „ y — å| x ‚~ ‚ zx ~ x zŒ † z‹ {z {z ‚† z{ Ž „   ‚ x Ž { ~€ † € x„ y z{x| x‡ Ž† „ y }‚ † z ‚ zŒ † |

(wor(I

j

) + opt(I

j

))/2

‹  Œ ‚

I

j

{ € z Œ  €y ƒ  }‚† Œƒ y {„ z † z € z  

j

— ‡ ) ( ˆ63 1 45-,/ 26 0 ‰-, 2 Š- 7+ 3 ;/ ‹39 3 8 9 +-/8 2 7 Œ 3 , 7/-8 ° ±² ³´´

s,t

‰ † | † „ € xƒ  ‚}†‚~~ †€ z Œ   ‚ xƒ„ … x‡ ~ z ‚… {|{| } † š †… {„ z x|{ † | ‰  ‰„  z Œ † z ‰x|z † {| € ~} 

(s, t)

— ¢Œ  † „ } x ‚ {zŒ …  x ‚µ€ ƒ  ’| ~ {| } † …†¡ { …y…  { } Œz

2

 …† z‰Œ{| } †… x| }

2

 …† z‰Œ{| } € ‰x|z † {|{| }

(s, t)

† | ~† z  † ‰Œ € z  ‹ …‚} {| } zŒ  ‰  ‰„ € z  xƒ  z  x— ¢Œ …† {|{ ~ † ‰x| € { € z € {|x{|z{| } x y z zŒ † z  ‰x y „ ~ Œ †Ž „x € z …y ‰Œ … x ‚ ƒ …‚} {| } zŒ  z  x ‰  ‰„ € {| † ~ {ù ‚ |z † — ¢Œ y€ ‹   {„„ ƒ y {„ ~~ | †… { ‰ † „„ † |xzŒ ‚€ x„ y z{x|  Œ{ ‰Œ †  ‚ x ¡ { …† z  zŒ  x ‚€ z € x„ y z{x|û zŒ{ €€ x„ y z{x|  {„„ † ‰z y† „„  ~    | ~€ x|zŒ  ‰Œx{ ‰ €…†~ ƒ  zŒ  † „ } x ‚ {zŒ … † z  † ‰Œ {z ‚† z{x|— ‘ x| € { ~‚ z  x ‰  ‰„ €

C

i

† | ~ z  x ~} €

(x

1

, x

2

) ∈ C

1

† | ~

(y

1

, y

2

) ∈ C

2

‹  ‰ † „„

localchange

i

‡x ‚

i = 1, 2

zŒ  ‡x„„x  {| }  ‚ x‰ €€õ

localchange

i

[(C

1

, (x

1

, x

2

)), (C

2

, (y

1

, y

2

))] = {(x

1

, y

3−i

), (x

2

, y

i

)} ∪ (C

1

∪ C

2

\ {(x

1

, x

2

), (y

1

, y

2

)})

¢Œ € z  x  ‚ x‰ €€€ …‚}  z Œ  ‰  ‰„ €

C

1

† | ~

C

2

{|z x † € {| } „  ‰  ‰„  ®€ z Œ  –{ }y‚ ‡x ‚ † | {„„ y€ z ‚†  z{x|—¯— ñxz  zŒ † z zŒ  Ž‚ z ¡ x ‚~‚ { € { … x ‚ z † |z {| zŒ   ‚ x‰ €€€ û zŒ y€ ‹ ~} €

(x

1

, x

2

)

x ‚

(y

1

, y

2

)

5

1

3

4

6

2

2

1

3

4

5

5

localchange

₁

1

3

4

6

2

2

1

3

4

5

5

1

3

4

6

2

2

1

3

4

5

localchange

₂

C

1

C

2

–{ }y‚ ˜ õ ¢Œ 

localchange

i

 ‚ x‰ €€€ ƒ  z  | zŒ  ~} 

(2, 3)

x‡

C

1

† | ~ zŒ  ~} 

(2, 3)

x‡

C

2

— †‚ { … „{ ‰{z„  } { Ž | †€ ~ { ‚ ‰z ~ ~} € † | ~  Œ †Žõ

localchange

1

[(C

1

, (x

2

, x

1

)), (C

2

, (y

1

, y

2

))] =

localchange

2

[(C

1

, (x

1

, x

2

)), (C

2

, (y

1

, y

2

))]

—   x ‚ x Ž‚ ‹  Œ  |

C

1

= C

2

† | ~

(x

1

, x

2

)

{ € |xz †~ ˆ † ‰  |z z x

(y

1

, y

2

)

‹ z Œ €  ‚ x‰ €€€ € { … „  †… x y |z z x „x‰ † „ ~}  €†  € — Ÿ  †€€ x‰{ † z   {z Œ

localchange

i

† ‡ y | ‰z{x|

cost

i

zŒ † z ‚  ‚€ |z € zŒ  „x €€ {| …‚} {| } z  x ‰  ‰„ €õ

cost

i

[(x

1

, x

2

), (y

1

, y

2

)] = d(x

1

, x

2

) + d(y

1

, y

2

) − d(x

1

, y

3−i

) − d(x

2

, y

i

)

“

LocalchangeHP P

s,t

•   d   õ ò| {| € z † | ‰ 

(n, s, t, d)

û   d   õ ò š †… {„ z x|  † z Œ

sol

‡ ‚ x …

s

z x

t

û ‘ Œ † | }  zŒ  ‰x € z x‡

(s, t)

{|zx

|V |d

max

+ 1

— ‘† „„zŒ{ € ‡ y | ‰z{x|

d

0

û ‘ x …  y z  †…†¡ { …y…  { } Œz

2

 …† z‰Œ{| }

M = {C

i

, i = 1, . . . , k}

x‡

(n, d

0

₎

û £y x € z Œ † z

(s, t) ∈ C

1

‘ Œxx €  ‰x| € ‰ y z{ Ž ~} €

(x

1

₁

, x

1

₂

)

† | ~

(x

1

₂

, x

1

₃

)

{|

C

1

~ {ù ‚ |z‡ ‚ x …

(s, t)

û

sol

1

= C

1

\ {(s, t)}

‹

e

1

1

= (x

1

1

, x

1

2

)

† | ~

e

1

2

= (x

1

2

, x

1

3

)

û –x ‚ {Žzx µ~ x ‘ Œxx € ‰x| € ‰ y z{ Ž ~} €

(x

i

1

, x

i

2

)

† | ~

(x

i

2

, x

i

3

)

{|

C

i

û å‡

cost

1

[e

i−1

₁

, (x

i

1

, x

i

2

)] ≤ cost

2

[e

i−1

₂

, (x

i

2

, x

i

3

)]

z Œ

 |

sol

i

= localchange

1

[(sol

i−1

, e

i−1

1

), (C

i

, (x

i

1

, x

i

2

))]

û £y x €

e

i−1

₁

= (x, y)

‹ † | ~

x

i

0

{ € zŒ  xzŒ ‚ |  { } Œƒx ‚ x‡

x

i

1

{|

C

i

£ z

e

i

₁

= (y, x

i

₁

)

† | ~

e

i

₂

= (x

i

₁

, x

i

₀

)

û „ €

sol

i

= localchange

2

[(sol

i−1

, e

i−1

2

), (C

i

, (x

i

2

, x

i

3

))]

û £y x €

e

i−1

₂

= (x, y)

‹ † | ~

x

i

₄

{ € zŒ  xzŒ ‚ |  { } Œƒx ‚ x‡

x

i

₃

{|

C

i

£ z

e

i

1

= (y, x

i

3

)

† | ~

e

i

2

= (x

i

3

, x

i

4

)

û | ~ {‡ û | ~ ‡x ‚ { û

sol = sol

k

û ˜

ò € z Œ{ € † „ } x ‚ {z Œ … { € x„  |x … { † „‹„  z y€ z Œ  | € Œx  z Œ † z

sol

{ €† |š †… {„ z x|{ † | † z Œ— –{ ‚€ z „  ‹ |x z  z Œ † z ƒ  ‰x| € z ‚y ‰z{x|‹

(s, t)

ƒ  „x| } € zx Ž‚…†¡ { …y…  { } Œz   …† z‰Œ{| } x‡

(n, d

0

)

—   x ‚ x Ž‚ ‹

e

i

₁

† | ~

e

i

₂

xƒ Ž {x y€ „  ƒ  „x| } zx

sol

i

‡x ‚Ž‚ {z ‚† z{x|

i ≤ k

x‡zŒ † „ } x ‚ {zŒ … — ¢Œ € z  x‡ † ‰z € „  †~ zxzŒ ‚€y „z— ò ~€ ‰ ‚ {z{x| x‡ z Œ  † „ } x ‚ {z Œ … { € } { Ž | {| z Œ  –{ }y‚   Œ  |

M = {C

i

: i = 1, 2, 3}

 {z Œ

|C

1

| = 6

‹

|C

2

| = 4

† | ~

|C

2

| = 5

—

t

0

1

2

3

s

3

2

_C

2

1

0

0

1

2

3

4

C

3

C

1

M

t

0

1

2

3

s

3

2

0

1

0

1

2

3

4

sol

1

e

1

₁

e

1

₂

t

0

1

2

3

s

3

2

0

1

0

1

2

3

4

sol

2

e

2

₁

e

2

2

t

0

1

2

3

s

3

2

0

1

0

1

2

3

4

sol

–{ }y‚  õ ¢Œ      † z‰Œ{| }

M

† | ~ zŒ  ~ {ù ‚ |z {z ‚† z{x| € x‡ † „ } x ‚ {zŒ …  Œ  |

k = 3

— } »
½
J E ­ è¥ ¨ ï ª ç § ©­ ¦

LocalchangeHP P

s,t

 § é¥

1

2

 ê §ü èçè« ©§ ¥ ¨ ¥¬¬ç ª ó § ¦¥ ©§ª «  ª ç ° ±²³´´

s,t

¥«ê ©­§ é ç¥ ©§ª§ é ©§ ï ­©  ¹ ½LM ¶ { Ž |

I = (n, s, t, d)

‹ † |{| € z † | ‰  x‡ ° ±² ³´´

s,t

‹ ~ |xz 

(i

2

, . . . , i

k

)

 {zŒ

i

j

∈ {1, 2}

zŒ  €öy | ‰  x‡ ‰Œx{ ‰ €  ‚ x ~y ‰ ~ ƒ  z Œ  † „ } x ‚ {z Œ … €y ‰Œ z Œ † z‹ ‡x ‚

j ∈ {2, . . . , k}

õ

sol

j

= localchange

i

j

[(sol

j−1

, e

j−1

i

j

), (C

j

, (x

j

i

j

, x

j

i

j

+1

))]

¢Œ y€ ‹

d(sol

j

) = d(sol

j−1

) + d(C

j

) − cost

i

j

(j)

 {zŒ

cost

i

j

(j) = cost

i

j

[e

j−1

i

j

, (x

j

i

j

, x

j

i

j

+1

)]

— £y…… {| }

y  z Œ €öy† „{z{ € ‡x ‚

j = 2

z x

k

‹ † | ~€ {| ‰ 

d(sol

1

) = d(C

1

) − d(s, t)

† | ~

d(sol) = d(sol

k

)

‹  xƒ z † {| õ

d(sol) = d(M ) − d(s, t) −

k

X

j=2

cost

i

j

(j)

® ¿—˜¯ ¢Œ …† {|{ ~ † { € zx|xz  zŒ † z ~}   €y ƒ € z

{e

j−1

_3−i

_j

, (x

j

_3−i

j

, x

j

4−i

j

) : j = 2, . . . , k}

ƒ  „x| } € zx € x„ y z{x|

sol

k

— š  | ‰  ‹  ‰ † | â ꥦ¥ïè âzŒ  ‰ y‚‚ |z € x„ y z{x|ƒ  „x‰ † „ ~} €  €† ‡ ‚ x … zŒ{ €~}   €y ƒ € z —   x ‚ ‡x ‚…† „„  ‹‰x| € { ~‚ € x„ y z{x| €

sol

0

j

~ ’| ~ ƒ 

sol

0

1

= sol

k

† | ~ ‡x ‚

j = 2, . . . , k

‹

sol

0

j

= localchange

3−i

j

[(sol

0

j−1

, e

j−1

3−i

j

), (sol

0

j−1

, (x

j

3−i

j

, x

j

4−i

j

))]

ò| {„„ y€ z ‚† z{x| x‡ € x„ y z{x| €

sol

0

i

 {zŒ

i ≤ k

{ € ~ { ‰z ~ {| zŒ  –{ }y‚ ì‡x ‚ zŒ  ¡†… „  ~€ ‰ ‚ {ƒ ~ {| –{ }y‚ —

t

0

1

2

3

s

3

2

0

1

0

1

2

3

4

t

0

1

2

3

s

3

2

0

1

0

1

2

3

4

sol

3

'

sol

2

'

–{ }y‚ ì õ ¢Œ  € x„ y z{x| €

sol

0

2

† | ~

sol

0

3

— ä †€ z„  ‹ ‚ x‰ ~ {| }†€  ‚Ž {x y€ „  ‹  xƒz † {|

d(sol

0

k

) = d(M )−d(s, t)−

P

k

j=2

(cost

i

j

(j)+cost

3−i

j

(j))

— ž ‰x| € z ‚y ‰z{x|‹

cost

i

j

(j) + cost

3−i

j

(j) ≥ 2cost

i

j

(j)

† | ~

wor(I) ≤ d(sol

0

k

)

— š  | ‰ õ

wor(I) ≤ d(M ) − d(s, t) − 2

k

X

j=2

cost

i

j

(j)

® ¿—¯

M

{ € † | xz{ …† „  { } Œz

2

 …† z‰Œ{| } †… x| } zŒ 

2

 …† z‰Œ{| } x‡

(n, d)

‰x|z † {|{| } zŒ ~} 

(s, t)

û zŒ y€

opt(I) ≤ d(M ) − d(s, t)

® ¿—ì¯ ž ‰x … ƒ{|{| } ¡  ‚€€ {x| € ® ¿—쯋 ® ¿—¯ † | ~ ® ¿—˜¯‹  xƒz † {| õ

d(sol) ≥

1

2

opt(I) +

1

2

wor(I)

Ÿ  |x  € Œx  zŒ † z zŒ{ € ‚† z{x { € z{ } Œz— ä  z

J

n

= (n, s, t, d)

ƒ  † | {| € z † | ‰  ~ ’| ~ ƒ õ

V =

( {x

j

_i

, 1 ≤ i ≤ 3 , 2 ≤ j ≤ 2n + 1} ∪ {s, u, t})

‹

d(x

j

₁

, x

j+1

₁

) = d(x

j

₁

, x

j+1

₂

) = 1 ∀j = 2, . . . , 2n

‹ ˜

d(x

j

₁

, x

j+2

₂

) = 1 ∀j = 2, . . . , 2n − 1

‹

d

n

(s, x

2

2

) = d

n

(u, x

2

1

) = d(u, x

2

2

) = d(t, x

2

3

) = 1

† | ~ „  z z Œ  ‰x € z x‡ † „„ xzŒ ‚ ~} € ƒ  z  x— ¢Œ 

2

 …† z‰Œ{| } { € ‰x … x €~ x‡

C

1

= {s, u, t}

† | ~

C

j

= {x

j

1

, x

j

2

, x

j

3

} j =

2, . . . , 2n + 1

— ¢Œ  ~} €  ‚ x ~y ‰ ~ ƒ  zŒ  † „ } x ‚ {zŒ … †‚õ

e

1

1

= (s, u), e

1

2

= (u, t)

‹

e

1

2

= (u, x

2

1

), e

2

2

=

(x

2

₁

, x

2

₃

)

‹

e

j

₁

= (x

j−1

₁

, x

j

₁

), e

j

₂

= (x

j

₁

, x

j

₃

) j = 3, . . . , 2n + 1

† | ~

cost

1

(2) = cost

2

(2) = 2, cost

1

(j) =

cost

2

(j) = 1 j = 3, . . . , 2n + 1

—

d(sol) = 10n + 4, wor(J

2n+1

) = 8n + 3, opt(J

2n+1

) = 12n + 4

¢Œ y€ ‹  xƒz † {|zŒ † z

δ

LocalchangeHP P

s,t

(J

2n+1

)

†  ‚ x † ‰Œ €

1

2

†€

n

} x € zx {|’|{z  —

¤

– x ‚ z Œ € z † | ~ †‚~‚† z{x‹ ~~y ‰  z  x |  { …  ‚ x Ž~‚€y „ z € ƒ  y€ {| } ä ……† ˜—” ‡ ‚ x … z Œ }  | ‚† „ ‰ †€† | ~ ¢Œ  x ‚… ì—ì  {zŒ

b = 2a

‡x ‚ zŒ  ‰ †€ Œ ‚ zŒ  { } Œz € x‡ zŒ  }‚† Œ †‚ ƒx y | ~~ ƒ  z  | zŒ  Ž† „ y€

a

† | ~

2a

— ~ ½ CC¼½ E< > è ­ ¥è ©­ è  ª¨¨ª  § «ï çèé î ¨ © é 

•

° ±² ³´´

s,t

§ é

1

2

 é © ¥«ê¥çê ¥¬¬ç ª ó § ¦¥ ô¨ 襫ê

M ax HP P

s,t

[a, 2a]

§ é

3

4

 é © ¥«ê¥çê ¥¬¬ç ª ó § ¦¥ ô¨ è 

•

° [\ ³´´

s,t

[a, 2a]

§ é

2

3

 é © ¥«ê¥çê ¥¬¬ç ª ó § ¦¥ ô¨ è  ‡ ) ‘ ˆ63 1 45-,/ 26 0 ‰-, -8 3 7+ 3 ;/ ‹39 3 8 9 +-/8 2 Œ 3 , 7/-8 Ÿ   ‚ xx € † | † „ } x ‚ {zŒ …  Œ{ ‰Œ ~ {ù ‚€ ‡ ‚ x … zŒ  x|   ‚Ž {x y€ „  € z y~ { ~ € {| ‰   ¡ „{ ‰{z„  ‰x …  y z  €Ž‚† „ € x„ y z{x| € — ' y‚ † „ } x ‚ {z Œ … { € ƒ †€~ y x| † € { … „  { ~ † † | ~ y€€ € z ‚y ‰z y‚† „  ‚ x ‚ z{ € x‡ € x„ y z{x| € — åz € z{„„  x ‚µ€ ƒ  ’| ~ {| } † …†¡ { …y…  { } Œz

2

 …† z‰Œ{| } ‰x|z † {|{| } €   ‰{’ ~ ~} € † | ~ zŒ  | ~ { € ‰ †‚~ {| } € x … ~} € † | ~ †‚ ƒ{z ‚†‚ {„  ‰x||  ‰z{| } zŒ  ‚€y „z{| }  † zŒ € zx ‡x ‚… † | š †… {„zx|{ † |  † zŒ ‡ ‚ x …

s

— ¢Œ   ‚ {| ‰{„  x‡ x y‚ † „ } x ‚ {zŒ … { € zx }  | ‚† z  |xzx|„  x|  ƒ y z €Ž‚† „ ‡  †€ {ƒ„  € x„ y z{x| € ‡x„„x  {| } zŒ{ €… zŒx ~ — ‘ x| € { ~‚ †…†¡ { …y…  { } Œ z

2

 ¦¥ ©æ­§ «ï

M

r

†… x| } z Œx € ‰x|z † {|{| }

(s, r)

‹ {| ‰„ y~ {| } „ … |z †‚ ‰  ‰„ €

C

i

, i = 1, . . . , k

— å| x ‚~‚ zx ~ x zŒ † z ‹  €y ƒ € z{z y z 

|V |d

max

+ 1

‡x ‚ zŒ  ‰x € z x‡

(s, r)

† | ~ ‰x …  y z  † …†¡ { …y…

2

 …† z‰Œ{| } {| zŒ{ € |  {| € z † | ‰  — ä †€ z„  ‹ ‡x ‚  † ‰Œ ‰  ‰„ 

C

i

‹  ‰x| € { ~‚ ‡x y‚ ‰x| € ‰ y z{ ŽŽ‚ z{ ‰ €

x

i

₁

‹

x

i

₂

‹

x

i

₃

‹

x

i

₄

— ñxz  zŒ † z  Œ †Ž | y… ƒ ‚~Ž‚ z{ ‰ €€y ‰ŒzŒ † z

x

1

₁

= r

† | ~

x

1

₂

= s

—   x ‚ x Ž‚ ‹{‡

|C

i

| = 3

zΠ |

x

i

4

= x

i

1

— –x ‚ zŒ  „ †€ z ‰  ‰„ 

C

k

‹  ‰x| € { ~‚ † | †~~ {z{x| † „ Ž‚ z ¡

y

 Œ{ ‰Œ { € z Œ  xz Œ ‚ |  { } Œƒx ‚ x‡

x

k

₁

{|

C

k

— ¢Œ y€ ‹ {‡

|C

k

| = 4

z Π |

y = x

k

₄

 Œ{„ 

y

{ € † | Ž‚ z ¡ {| z Œ  xz Œ ‚ ‰ †€ — “

P atching 2 − matching

•   d   õ ò| {| € z † | ‰ 

(n, s, d)

û   d   õ ò š †… {„ zx|{ † |  † z Œ

sol

‡ ‚ x …

s

û –x ‚ Ž‚

r ∈ V \ {s}

~ x ‘ Œ † | }  zŒ  ‰x € z x‡

(s, r)

{|zx

|V |d

max

+ 1

— ‘† „„ zŒ{ € ‡ y | ‰z{x|

d

0

û ‘ x …  y z  †…†¡ { …y…  { } Œ z

2

 …† z‰Œ{| }

M

r

= {C

i

, i = 1, . . . , k}

x‡

(n, d

0

)

û {‡

k = 1

zΠ |

sol

r

= M

r

\ {(s, r)}

û {‡

k

{ € Ž | z Œ  | ˜ì

S

1

= ∪

k−1

j=1

{(x

j

2

, x

j

3

)} ∪ {(x

k

1

, x

k

2

), (s, r)}

û žy {„ ~

sol

1

= (M

r

\ S

1

) ∪ {(x

k

1

, x

1

3

), (x

1

2

, x

2

2

)} ∪

(k−2)/2

j=1

{(x

2j

3

, x

2j+1

3

), (x

2j+1

2

, x

2j+2

2

)}

û

(sol

1

{ € † š †… {„zx|{ † | † zŒ‡ ‚ x …

s

zx

r)

S

2

= ∪

k−1

j=2

{(x

j

1

, x

j

2

)} ∪ {(y, x

k

1

), (s, r)}

û žy {„ ~

sol

2

= (M

r

\ S

2

) ∪ {(x

1

1

, x

2

1

)} ∪

(k−2)/2

j=1

{(x

2j

2

, x

2j+1

2

), (x

2j+1

1

, x

2j+2

1

)}

û

(sol

2

{ € † š †… {„zx|{ † | † zŒ‡ ‚ x …

s

zx

y)

S

3

= ∪

k−1

_j=1

{(x

j

3

, x

j

4

)} ∪ {(x

k

2

, x

k

3

), (s, r)}

û žy {„ ~

sol

3

= (M

r

\ S

3

) ∪ {(x

k

2

, x

1

4

), (x

1

3

, x

2

3

)} ∪

(k−2)/2

j=1

{(x

2j

4

, x

2j+1

4

), (x

2j+1

3

, x

2j+2

3

)}

û

(sol

3

{ € † | š †… {„zx|{ † | † zŒ ‡ ‚ x …

s

zx

r)

| ~ {‡ û {‡

k

{ € x ~~ z Œ  |

S

1

= ∪

k

j=1

{(x

j

2

, x

j

3

)} ∪ {(s, r)}

û žy {„ ~

sol

1

= (M

r

\ S

1

) ∪ {(x

k

2

, x

1

3

)} ∪

(k−1)/2

j=1

{(x

2j−1

2

, x

2j

2

)(x

2j

3

, x

2j+1

3

)}

û

(sol

1

{ € † | š †… {„zx|{ † | † zŒ‡ ‚ x …

s

zx

r)

S

2

= {(s, r)} ∪

k

_j=2

{(x

j

₁

, x

j

₂

)}

û žy {„ ~

sol

2

= (M

r

\ S

2

) ∪

(k−1)/2

_j=1

{(x

₁

2j−1

, x

2j

₁

), (x

2j

₂

, x

2j+1

₂

)}

û

(sol

2

{ € † š †… {„zx|{ † | † zŒ‡ ‚ x …

s

zx

x

k

₁

)

S

3

= ∪

k

j=1

{(x

j

3

, x

j

4

)} ∪ {(s, r)}

û žy {„ ~

sol

3

= (M

r

\ S

3

) ∪ {(x

k

3

, x

1

4

)} ∪

(k−1)/2

j=1

{(x

2j−1

3

, x

2j

3

), (x

2j

4

, x

2j+1

4

)}

û

(sol

3

{ € † š †… {„ zx|{ † | † z Œ‡ ‚ x …

s

zx

r)

| ~ {‡ û

sol

r

= argmax{d(sol

1

), d(sol

2

), d(sol

3

)}

û | ~ ‡x ‚‚ û

sol = argmax{d(sol

r

) : r ∈ V \ {s}}

û 'ƒ €‚Ž zŒ † z ‡x ‚Ž‚

r

‹ zŒ  € x„ y z{x| €

sol

1

‹

sol

2

† | ~

sol

3

†‚ š †… {„zx|{ † | † zŒ € ® ‡ ‚ x …

s

zx ~ {ù ‚ |z  | ~ x{|z € ¯ € {| ‰  zŒ †~~ {z{x| † „ ~} €†‚†~ ˆ † ‰  |zzxzŒ  x| €€y ƒ € z{z y z ~ — ò ~€ ‰ ‚ {z{x|x‡ € x„ y z{x| €

sol

1

‹

sol

2

‹

sol

3

{ € } { Ž | {| zŒ  –{ }y‚ ¿  Œ  |

M

r

= {C

i

: i = 1, 2, 3}

 {zŒ

|C

1

| = |C

3

| = 6

† | ~

|C

2

| = 3

— ¢Œ  z{ …  ‰x … „ ¡ {z  x‡ zŒ{ € † „ } x ‚ {zŒ … ‚…† {| € x„  |x … { † „ € {| ‰  zŒ  ‰x …  y z † z{x| x‡ zŒ 

2

 …† z‰Œ{| }  ‚ xƒ„ … { € x„  |x … { † „— } »
½
J ED ­ è ¥ ¨ ï ª ç § ©­ ¦

P atching 2 − matching

 § é¥

2

3

 ê §ü èçè« ©§ ¥ ¨ ¥¬¬ç ª ó § ¦¥ ©§ª « ª ç ° ±² ³´´

s

¥«ê ©­§ é ç¥ ©§ª § é ©§ ï ­©  ¹ ½LM ä  z

I = (n, s, d)

ƒ  † | {| € z † | ‰  † | ~ „  z

sol

∗

ƒ  † | xz{ …† „ š †… {„ z x|{ † |  † z Œ ‡ ‚ x …

s

z x

r

∗

— Ÿ  ~ |xz 

loss

i

, i = 1, 2, 3

‹zŒ  öy† |z{z 

d(sol

i

) − d(M

r

∗

) + d(s, r

∗

)

— 'ƒ Ž {x y€ „  ‹

loss

i

≤ 0

† | ~ Œ †Ž

d(sol) ≥ d(sol

∗

r

) ≥ d(M

r

∗

) − d(s, r

∗

) +

1

3

(loss

1

+ loss

2

+ loss

3

)

® ¿—¿¯   x ‚ x Ž‚ ‹zŒ  ‡x„„x  {| } € z ‚y ‰z y‚† „  ‚ x ‚ z  Œx„ ~€õ

sol

∗

= ∪

j=1,2,3

(sol

j

\ M

r

∗

) ∪ M

_r

∗

\ (S

₁

∪ S

₂

∪ S

₃

)

{ € † š †… {„zx|{ † | † zŒ € z †‚ z{| } ‡ ‚ x …

s

˜¿