Modélisation et commande pour les optiques adaptatives des VLT et ELT : de l'analyse de performance à la validation ciel

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des VLT et ELT : de l’analyse de performance à la

validation ciel

Rémy Juvénal

To cite this version:

Rémy Juvénal. Modélisation et commande pour les optiques adaptatives des VLT et ELT : de l’analyse de performance à la validation ciel. Optique [physics.optics]. Université Paris Saclay (COmUE), 2017. Français. �NNT : 2017SACLO007�. �tel-01661369�

Composition du Jury :

Mme Caroline Kulcsár Professeure des universités (Directrice de thèse)

Institut d’Optique Graduate School

M. Gérard Rousset Professeur des universités (Président)

Observatoire de Paris

M Simone Esposito Astronome (Rapporteur)

Osservatorio di Arcetri (Italie)

M. Jean-Pierre Véran Assistant professeur (Rapporteur)

University of Victoria (Canada)

M. Benoît Neichel Chargé de recherche (Examinateur)

Laboratoire d’astrophysique de Marseille

M. Henri-François Raynaud Maître de conférence (Examinateur)

Institut d’Optique Graduate School (Co-encadrant)

Thèse de doctorat

de l’Université Paris-Saclay

préparée à l’Institut d’Optique Graduate School

Ecole doctorale n

575

« Physique et ingénierie : électrons, photons, sciences du vivant »

(EOBE)

Spécialité de doctorat : Physique

par

M. Rémy Juvénal

Modélisation et commande pour les optiques

adaptatives des VLT et ELT : de l’analyse de

performance à la validation ciel

C’est avec beaucoup d’émotions que je conclus ces trois années d’expérience enrichis-santes tant du point vue scientifique et professionnel, qu’humain. C’est ainsi avec un certain plaisir que j’achève la rédaction de ce manuscrit en écrivant cette traditionnelle rubrique des remerciements, accordant ainsi une pensée amicale à tous ceux avec qui j’ai pu interagir, et qui occuperont à jamais une place particulière dans ma mémoire.

Je tiens à commencer par remercier les membres de mon jury de thèse, et en premier lieu Simone Esposito et Jean-Pierre Véran d’avoir accepter de rapporter mon travail, malgré des conditions de planning accélérées. Merci en outre pour vos questions, qui ont permis d’amé-liorer la qualité de ce manuscrit. Un grand merci aussi à Gérard Rousset et Benoît Neichel de me faire l’honneur d’examiner mes travaux de thèse. Je tiens à remercier chaleureusement mes trois gourous : Caroline, Henri-François, et Jean-Marc, qui m’ont apporté leur soutien indéfectible au cours de ces trois années de thèse, pour la qualité des nombreuses discussions scientifiques que nous avons pu avoir, toujours au combien enrichissantes, et pour m’avoir proposé une dynamique et un cadre de travail particulièrement agréable. Goûter à la re-cherche académique à vos côtés a été une réelle chance, et pour moi un vrai plaisir quotidien. Un grand merci aux équipes SPIm et HRA pour votre accueil, pour votre disponibilité tant autour de petits séminaires qu’en privé, pour avoir toujours répondu à mes questions (parfois naïves). Travailler à vos côté m’a beaucoup appris, et je ne pourrais jamais assez vous remercier pour cela. Merci aussi à Mondher Besbes, sans qui j’attendrais encore au-jourd’hui mon premier budget d’erreur ! Comment ne pas avoir aussi une pensée émue pour toute l’équipe de GEMINI, avec qui j’ai adoré collaborer (même avec le décalage horaire, et les réunions qui finissent tard chez nous). Merci infiniment à Gaetano Sivo, déjà pour avoir lancer cette collaboration, et qui m’a permis d’aborder les contraintes liées au fonc-tionnement d’un système comme GeMS, et surtout pour votre accueil lors de cette mission de novembre 2015. Ainsi, merci Vincent, Martin, Eduardo pour ces trois semaines passées ensemble, pour le retour en enfance le soir autour de la Cube, et pour m’avoir fait découvrir ce beau pays qu’est le Chili.

La thèse c’est beaucoup de boulot (je n’étonnerai personne) mais pas que, et je voulais remercier tous mes super collègues, et amis, doctorants, postdoc et stagiaires, avec qui j’ai adoré partager couloir, bureau, café, et explosion de chatons ! Ainsi en vrac un grand merci à Marie-Anne, Rafael, Lijo, Sergio, Nicolas, Riadh, Corentin, Léonard (qui a la lourde de tâche de me succéder ;) ), Stéphane, Jan, et Claudiu (tu nous as fait rêver !). Merci à Matthieu,

Merci aussi aux doctorant de l’équipe HRA, je n’ai pas pu vous côtoyer à moitié autant que j’aurais aimé, mais j’ai toujours apprécié l’ambiance autour des repas et pauses (quand je pouvais y participer !) à Châtillon, et de vous retrouver en conférence ! Donc merci à Joel, Sébastien, Adrien, Olivier, Kassem, Elena, Pedro, Anaïs, et je souhaite un bon courage aux petits nouveaux avec qui je n’ai pas eu l’occasion de beaucoup discuter.

Enfin, qu’est-on sans son entourage proche ? Merci les amis pour tous ces moments de détente, qui permettent de s’aérer la tête de temps en temps ! Merci à mes parents et ma soeur qui, en plus de m’avoir toujours poussé dans mes études, m’ont toujours apporté le soutien dont j’avais besoin. Enfin, je finis par vous parce que vous êtes mes deux étoiles guides : merci Anne de m’avoir supporté ces trois dernières années (et les sept d’avant aussi mais c’est un autre sujet), je ne sais pas si j’aurais pu accomplir tout ça sans ton soutien, et merci à mon petit bonhomme, qui me donne l’envie de déplacer des montagnes !

1 Introduction Générale 19 2 L’optique adaptative pour l’imagerie astronomique 23

2.1 Imagerie à travers la turbulence atmosphérique . . . 24

2.1.1 Principes de formation d’image . . . 24

2.1.2 Propagation optique à travers la turbulence atmosphérique . . . 26

2.1.2.1 Caractérisation optique des déformations introduites par la turbulence . . . 26

2.1.2.2 Caractérisation statistique de la turbulence . . . 28

2.1.2.3 Phénomène d’anisoplanétisme . . . 29

2.1.3 Bases de représentation de la turbulence atmosphérique . . . 30

2.1.3.1 Représentation zonale . . . 30

2.1.3.2 Base des polynômes de Zernike . . . 31

2.1.3.3 Base des polynômes de Karhunen-Loève . . . 35

2.1.4 Autres sources de perturbation . . . 35

2.2 Compensation des effets de la turbulence atmosphérique . . . 36

2.2.1 Optique adaptative classique . . . 37

2.2.1.1 Principe . . . 37

2.2.1.2 Critères de performance en imagerie . . . 37

2.2.1.3 Limites . . . 39

2.2.2 Description des composants du système d’optique adaptative . . . 41

2.2.2.1 Dispositifs d’analyse de surface d’onde . . . 41

2.2.2.2 Dispositifs de correction de front d’onde . . . 44

2.2.2.3 Étoiles guides laser . . . 45

2.2.3 Quelques modalités d’optique adaptative . . . 47

2.2.3.1 Optique adaptative extrême (XAO) . . . 47

2.2.3.2 Optique adaptative à tomographie laser (OATL) . . . 48

2.2.3.3 Optique adaptative multi-conjuguée (OAMC) . . . 49

2.2.3.4 Optique adaptative multi-objet (OAMO) . . . 50

2.3 Asservissement des systèmes d’optique adaptative . . . 51

2.3.1 Modélisation de la boucle d’asservissement . . . 51

2.3.1.1 Optique adaptative classique . . . 52

2.3.1.2 Adaptation aux systèmes grand champ . . . 54

2.3.2 Concepts de commande en optique adaptative . . . 57

2.3.2.1 Régulateur à action intégrale . . . 57

2.3.2.2 Le régulateur statique MMSE . . . 58

2.3.2.3 Commande optimale linéaire quadratique gaussienne (LQG) 59 3 Caractérisation de la performance d’un correcteur linéaire en optique adaptative classique : expression du budget d’erreur 63 3.1 Évaluation du budget d’erreur d’une OA classique . . . 64

3.1.1 Résumé de l’article . . . 64

3.1.2 Article : Linear controller error budget assessment for SCAO systems 65 3.1.3 Retour sur le biais de reconstruction lié au repliement spatial . . . 78

3.2 Implémentation algorithmique et complexité calculatoire . . . 80

3.2.1 Forme d’état de régulateurs particuliers . . . 80

3.2.1.1 Régulateur à action intégrale . . . 81

3.2.1.2 Régulateur LQG – forme prédicteur . . . 81

3.2.1.3 Régulateur LQG – forme estimateur . . . 82

3.2.1.4 Régulateur mixte LQG bas ordres – intégrateur hauts ordres 82 3.2.2 Forme d’état associée aux fonctions de transfert . . . 85

3.2.2.1 Fonction de transfert de réjection de perturbation . . . 85

3.2.2.2 Fonction de transfert de propagation de bruit . . . 87

3.2.3 Complexité calculatoire et parallélisation des calculs . . . 88

3.3 Extension du formalisme au cas des systèmes d’optique adaptative grand champ 89 3.3.1 Adaptation de la formulation du budget d’erreur . . . 89

3.3.2 Expression du budget d’erreur commandé . . . 91

3.3.3 Discussion sur l’implémentation . . . 92

3.4 Conclusion et discussion . . . 93

4 Analyse de performance sur données ciel GeMS : Intégration d’une com-mande LQG tip/tilt avec filtrage de vibrations 95 4.1 Présentation de GeMS et performances actuelles . . . 96

4.1.1 Le banc d’OAMC CANOPUS . . . 96

4.1.2 Analyse de performance des campagnes d’avril 2015 . . . 97

4.2 Intégration d’une commande tip/tilt LQG pour GeMS . . . 98

4.3 Identification paramétrique dynamique de modèles tip/tilt vibratoires pour la commande LQG . . . 100

4.3.1 Identification paramétrique de modèles AR2 turbulent et vibratoires . 101 4.3.2 Le filtre de Kalman étendu (EKF) . . . 102

4.3.3 Minimisation de l’erreur de prédiction (PEM) . . . 103

4.3.4 Minimisation d’erreur de prédiction en cascade (cPEM) . . . 104

4.4 Analyse des performances des régulateurs synthétisés en rejeu . . . 106

4.4.1 Principe de la simulation en rejeu . . . 106

4.4.2 Performances des régulateurs . . . 107

4.4.3 Analyse du budget d’erreur . . . 109

5 Nouveaux régulateurs tenant compte de la direction du vent : performance

et analyse 113

5.1 Quelle modélisation peut-on déduire des données ? . . . 114

5.2 Un compromis : le régulateur LQG tiède . . . 115

5.2.1 Mode bouillonnant . . . 115

5.2.2 Mode translation pure . . . 117

5.2.2.1 Description de la stratégie de commande . . . 117

5.2.2.2 Remplissage de la phase entrant dans la pupille . . . 118

5.2.2.3 Optimalité du régulateur . . . 120

5.2.3 Mode tiède . . . 121

5.2.4 Expression en optique adaptative grand champ . . . 122

5.3 Impact de la modélisation sur la performance en SCAO . . . 122

5.3.1 Conditions de simulation . . . 122

5.3.2 Simulation d’une turbulence en translation pure . . . 123

5.3.3 Simulation d’une turbulence bouillonnante . . . 124

5.4 Conclusion et discussion . . . 124

6 Conclusion et discussion 127

A Documentation technique : Intégration d’une commande LQG avec fil-trage de vibration pour GeMS – Interface graphique et architecture

2.1 FEP normalisée d’un télescope idéal (tache d’Airy) . . . 26 2.2 Principe de l’effet de la turbulence atmosphérique sur le front d’onde incident 27 2.3 Illustration du phénomène d’anisoplanétisme en optique adaptative classique :

L’objet d’intérêt est écarté d’un angle ↵ de la direction de l’étoile guide . . . 30 2.4 Représentation zonale d’une phase de type von Kármán sur différentes grilles

d’échantillonnage . . . 30 2.5 Matrice de covariance spatiale d’une phase de type von Kármán, pour une

représentation zonale 32x32 . . . 31 2.6 Représentation des 21 premiers polynômes de la base de Zernike . . . 33 2.7 Statistiques spatiales de phase turbulente exprimées dans une base de

poly-nômes de Zernike . . . 34 2.8 Statistiques spatio-temporelle de phases turbulentes exprimées dans une bases

de polynômes de Karhunen-Loève . . . 36 2.9 Illustration de la présence de vibrations sur le tip/tilt. Données acquises par

SCEXAO, au télescope Subaru (Hawaii). Graphe issu de [Kulcsár et al., 2012]. 37 2.10 Principe de l’optique adaptative classique (SCAO) . . . 38 2.11 Principe du phénomène d’anisoplanétisme pour l’optique adaptative classique 40 2.12 Illustration d’effet d’anisoplanétisme sur la qualité d’imagerie de l’OA

clas-sique (crédit C. Petit) . . . 41 2.13 Principe de l’analyseur de Shack-Hartmann . . . 43 2.14 Les deux technologies d’étoiles laser . . . 46 2.15 Illustration de l’utilisation d’une EGL de type sodium en optique adaptative

classique. On suppose la turbulence localisée sur deux couches fines. . . 48 2.16 Schéma de principe de l’optique adaptative à tomographie laser (OATL) avec

deux étoiles guides naturelles, trois étoiles guides laser de type sodium et un champ d’intérêt restreint autour d’un objet. On suppose la turbulence localisée en deux couches, l’une au sol et l’autre en altitude. . . 49 2.17 Schéma de principe de l’optique adaptative multi-conjuguée (OAMC) avec

trois étoiles guides naturelles, deux étoiles guides laser de type sodium et deux objets dans un champ d’intérêt étendu. On suppose la turbulence localisée en deux couches, l’une au sol et l’autre en altitude. . . 50 2.18 Champ d’observation dans le cas de l’OAMO. Plusieurs cibles sont présentes

2.19 Schéma de principe de l’optique adaptative multi-objet avec deux étoiles guides naturelles, deux étoiles guides laser de type sodium et un objet d’in-térêt sur axe. On suppose la turbulence localisée en deux couches, l’une au sol et l’autre en altitude. . . 52 2.20 Schéma bloc de principe de l’asservissement d’un système d’optique adaptative 53 2.21 Chronogramme d’un système d’OA à deux trames de retard. . . 53 2.22 Schéma de principe de l’asservissement d’un système d’OA grand champ.

Sont représentées deux étoiles guides (laser en orange, naturelle en bleu), des miroirs déformables conjugués à des altitudes différentes (plans violets) et plusieurs couches turbulentes (plans gris). Les empreintes des faisceaux et des métapupilles sont matérialisées en pointillés sur chacune des couches turbulentes. . . 56 2.23 Influence du gain de l’intégrateur sur les fonctions de transfert de la boucle

d’OA . . . 58 2.24 Influence du modèle sur la fonction de transfert de réjection d’un régulateur

LQG . . . 61 3.1 Influence du repliement spectral sur l’estimation de la DSP de la phase de

perturbation à partir de la reconstruction de front d’onde. Les DSP estimées à partir de phases reconstruites par MC (marron) et MAP (vert) sont com-parées à celles estimées à partir de la vraie trajectoire de phase (noir). La loi fréquentielle d’évolution (Taylor - rouge) et celle du repliement spectral (violet, cas MC [Gendron et Rousset, 2012]) sont superposées. . . 79 3.2 Signatures spectrales du repliement au travers du reconstructeur MAP aux

hautes fréquences spatiales . . . 80 3.3 Budget d’erreur du régulateur mixte à 2 ou 9 modes LQG comparé à celui

de régulateurs LQG complet ou à action intégrale . . . 85 3.4 Schéma-bloc équivalent du point de vue entrée-sortie à la fonction de transfert

de réjection d’une boucle fermée d’OA classique . . . 86 3.5 Schéma-bloc équivalent du point de vue entrée-sortie à la fonction de transfert

de propagation de bruit d’une boucle fermée d’OA classique. . . 87 4.1 Schéma de principe optique de l’instrument d’OAMC CANOPUS. Crédit

GEMINI. . . 97 4.2 Caractéristiques spectrales des 57 enregistrements ASO de GeMS en avril 2015 98 4.3 DSP du modèle identifié sur le jeu de données NGS15108023248 par la

mé-thode AR2. Ordre du modèle : 22 (1 AR2 turbulent + 10 AR2 vibratoires). . 101 4.4 DSP du modèle identifié sur le jeu de données NGS15108023248 par la

mé-thode EKF. Ordre du modèle : 30. . . 103 4.5 DSP du modèle identifié sur le jeu de données NGS15108023248 par la

mé-thode PEM. Ordre du modèle : 30. . . 104 4.6 DSP du modèle identifié sur le jeu de données NGS15108023248 par la

mé-thode cPEM. Ordre du modèle : 30 (15 cellules d’ordre 2). . . 105 4.7 Schéma de principe de l’algorithme d’identification c-PEM (PEM en cascade)

4.8 Illustration du principe d’une simulation en rejeu à partir de données ciel boucle fermée . . . 107 4.9 Performance en rejeu des différentes commandes envisagées pour GeMS, sur

67 fichiers d’avril 2015 . . . 108 4.10 Budget d’erreur moyen tip/tilt de GeMS sur les enregistrements d’avril 2015.

Les cas d’instabilité de la méthode AR2 ont été supprimés pour tous les régulateurs. . . 110 4.11 Comparaison des fonctions de transfert des différents régulateurs pour le jeu

de données ngs15105213323. . . 110 5.1 Illustration du mécanisme de prédiction pour le régulateur LQG modifié en

2.1 Quelques caractéristiques de différentes générations de miroirs déformables pour l’optique adaptative classique. Rcieldésigne la distance inter-actionneurs

reportée par conjugaison optique dans la pupille. . . 45 5.1 Conditions de simulation inspirées du système NAOS/VLT . . . 123 5.2 Performances des régulateurs en simulation avec génération d’une turbulence

en frozen flow, exprimées en rapport de Strehl . . . 124 5.3 Performances des régulateurs en simulation avec génération d’une turbulence

ARn Auto-régressif d’ordre n ASO Analyseur de surface d’onde

CANARY Démonstrateur d’OAMO au télescope W. Hershell (Îles Canaries) CTR Calculateur (ou contrôleur) temps-réel

DSP Densité spectrale de puissance EG Étoile guide

EGL Étoile guide laser EGN Étoile guide naturelle

EKF Filtre de Kalman étendu ou Extended Kalman filter ELT Télescope géant ou Extremely large telescope

E-ELT Télescope géant européen ou European-Extremely large telescope FEP Fonction d’étalement du point

GEMINI Observatoire composé de deux télescopes : le Sud au Chili et le Nord à Hawaï KL mode de Karhunen-Loëve

LQG Linéaire quadratique gaussien MAP Maximum a posteriori

MC moindres carrés MD Miroir déformable

MMSE Minimisation d’erreur quadratique moyenne ou Minimum mean square error NAOS Instrument d’OA classique du VLT (Chili)

NCPA Aberrations de voie non commune ou non-common path aberrations OA Optique adaptative

SCAO OA classique ou single conjugate adaptive optics OATL OA à tomographie laser

OAMO OA multi-objets

XAO OA extrême ou eXtreme adaptive optics

PEM Minimisation d’erreur de prédiction ou prediction error minimization cPEM PEM en cascade ou cascaded-PEM

RS Rapport de Strehl

SH Shack-Hartmann (type d’ASO)

SVD Décomposition en valeurs singulières ou singular values decomposition TTM Miroir de tip/tilt ou tip/tilt mirror

VLT grand télescope ou Very large telescope le VLT Observatoire européen (au Chili)

r Coordonnées spatiales en mètres ↵ Coordonnées angulaires en radians ↵iso Angle d’isoplanétisme

Angle zénithal en radians h Altitude en mètres

⌫ Fréquence temporelle normalisée fs Fréquence spatiale

fc Fréquence de coupure spatiale

! pulsation en radians par secondes (_·) Fonction d’onde

I(_·) Image O(_·) Objet

f (_·) Amplitude complexe de l’onde ⌦(_·) Fonction pupillaire

F EP Fonction d’étalement du point F EPAiry(·) Distribution d’Airy

F T O Fonction de transfert optique J0 Fonction de Bessel d’ordre 0

J1 Fonction de Bessel d’ordre 1

Dpup Diamètre de la pupille

r0 Paramètre de Fried

L0 Grande échelle

V Vitesse du vent

n Variance de l’indice de réfraction Longueur d’onde

Phase de perturbation b _{Phase estimée}

v Bruit formeur

⌃v Matrice de covariance du bruit formeur

(A, ) Matrice de l’équation d’état x vecteur d’état

res _{Phase résiduelle} cor _{Phase de correction} zon _{Phase en zonal} zer _{Phase en Zernike}

Cn2_{(h) Constante de structure}

D Fonction de Structure C Fonction de covariance

S Densité spectrale de puissance

fml Distance focale des micro-lentilles en mètres

(dx, dy) Écarts au centre optique des sous-pupilles

⌦ss Surface d’une sous-pupille

Fe Fréquence d’échantillonnage en Hertz

Te Temps d’échantillonnage en secondes

D Opérateur ASO

y Vecteurs de mesure ASO w Bruit de mesure

⌃w Matrice de covariance du bruit de mesure

C Matrice du modèle de mesure

2

photon Variance de bruit de photons 2

lecture Variance de bruit de lecture

⇢pix Distance entre deux pixels, en pixels

Npix Nombre de pixels

dpix Largeur d’un pixel

N Matrice d’influence du MD u Vecteur de commande

u(i) _{Tension envoyée au i}eme _actionneur

nact Nombre d’actionneurs

dact Distance inter-actionneurs en mètres

fi Fonctions d’influence

Pu Projecteur sur le miroir déformable

L₁ Gain de Kalman K Gain de commande R Reconstructeur de phase n Ordre radial de Zernike m Ordre azimutal de Zernike P_Zon!Zer Projecteur zonal vers Zernike PZer!Zon Projecteur Zernike vers zonal

Mint Matrice d’influence du système

Mcom Matrice de commande du système

RS Rapport de Strehl

Ec Énergie cohérente

ihalo Intensité du halo 2

res Variance de phase résiduelle 2

tempo Erreur temporelle 2

tomo Erreur tomographique 2

alias Erreur de repliement 2

fitting Erreur de fitting 2

bruit, prop Erreur de bruit propagé 2

NCPA Erreur lié aux aberrations de voie non commune

Trej Fonction de transfert de réjection

Tbruit Fonction de transfert de propagation de bruit M↵ Projecteur dans la direction de mesure

M Projecteur dans la direction di’ntérêt P Espace des phases

Pk Espace des phases sans repliement P? Espace complémentaire de Pk Pk Projecteur sur Pk

Introduction Générale

L’observation astronomique au sol, née au début des années 1600 avec l’invention de la lunette de Galilée, a subi un essor considérable ces cent dernières années. Le premier télescope à miroirs est quant à lui inventé en 1666 par Newton, et ouvre la porte à l’ex-tension du diamètre de collection de la lumière. En effet, le diamètre des télescopes, lié à la limite de diffraction, limite théorique de la résolution des images qu’il délivre, n’a cessé de croître pour passer d’un mètre au début du XXe _{siècle à dix mètres de nos jours. Les}

télescopes dits VLT, pour Very Large Telescopes, représentent ceux dont le diamètre est compris en huit et dix mètres. Les années à venir verront l’émergence des télescopes géants, baptisés ELT pour Extremely Large Telescopes, avec des diamètres de plusieurs dizaines de mètres. Cette croissance importante des surfaces collectrices n’a pour autant pas servi, tout au long du XXe _{siècle, à accroître la résolution de ces instruments. En effet, la présence de}

l’atmosphère terrestre limite la résolution de tous les télescopes au sol. Ainsi, quel que soit le télescope, l’atmosphère limite sa résolution à celle qu’aurait un télescope d’une trentaine de centimètres de diamètre, limité par la diffraction. Dès 1953, Babcock propose un prin-cipe de correction des déformations induites par la turbulence atmosphérique, posant de ce fait les bases de l’optique adaptative (OA) [Babcock, 1953]. Néanmoins, ce n’est qu’en 1989 que ce principe sera mis en œuvre et donnera lieu à la première observation appro-chant la limite de diffraction, avec la réalisation du premier instrument d’optique adaptative, COME-ON [Rousset et al., 1990]. Cette nouvelle modalité d’instrumentation astronomique est immédiatement apparue comme incontournable [Fontanella et al., 1991] et a donné lieu à de nombreux développements, conduisant à l’élaboration de programmes scientifiques de pointe concernant les instruments des VLT et ELT.

Le principe de l’OA repose sur deux dispositifs optiques : les analyseurs de surface d’onde (ASO) et les correcteurs de front d’onde, dont font partie les miroirs déformables (MD). De nombreux développements sont encore à l’œuvre aujourd’hui pour améliorer ces dispositifs, motivés par les objectifs ambitieux des programmes d’observation actuels et futurs, comme par exemple, en ce qui concerne les ASO, les analyseurs à pyramide [Ragazzoni, 1996, Bond et al., 2016, Chen et al., 2016], ou encore l’analyseur LIFT actuellement caractérisé sur le télescope Keck [Meimon et al., 2010a, Plantet et al., 2016]. Le traitement des mesures ASO et la commande en temps réel de ces systèmes représentent un autre enjeu

d’impor-tance, croissant avec la complexité des systèmes conçus et envisagés. Alors que les stratégies mises en place à l’époque de COME-ON se limitaient à l’emploi de lois de commande simples, les derniers instruments, comme SPHERE [Beuzit et al., 2005, Sauvage et al., 2014] ou GPi [Macintosh et al., 2008, Poyneer et al., 2016], emploient des lois de commande plus com-plexes, dont une partie repose sur des propriétés physiques des phénomènes perturbant l’observation (turbulence atmosphérique, vibrations, etc).

Les développements pour la commande des systèmes d’OA s’articulent principalement autour des deux axes suivant : les commandes qui ne tiennent pas compte explicitement d’un modèle dynamique des perturbations et celles basées sur un modèle dynamique, les com-mandes à base de modèle. Les stratégies utilisées à l’époque de COME-ON appartiennent à la première catégorie, avec un régulateur à action intégrale. C’est un régulateur couramment utilisé en OA sur les systèmes opérationnels. Les commandes s’appuyant sur un modèle ex-plicite d’évolution des perturbations affectant le système comprennent actuellement princi-palement la commande linéaire quadratique gaussienne (LQG). La commande LQG a suscité de l’intérêt très tôt, dès le débuts de années 1990. Les premiers travaux proposaient une formulation LQG continue approximée [Paschall et al., 1991, Paschall et Anderson, 1993]. Malgré leur potentiel évident, ces méthodes ont peiné à convaincre la communauté pendant plus d’une décennie, en particulier à cause de leur complexité calculatoire accrue. Cepen-dant, contrairement aux autres régulateurs utilisés, elles tiennent compte de la dynamique de la perturbation et des retards inhérents aux systèmes d’optique adaptative, ce qui permet de prédire l’évolution de la perturbation.

La commande LQG optimale au sens de la variance de phase résiduelle, pour les systèmes d’optique adaptative classique et grand champ, a été introduite par [Le Roux et al., 2003, Le Roux et al., 2004]. La démonstration complète de son opti-malité peut être trouvée dans [Kulcsár et al., 2006]. Les développements se sont alors accélérés. La première démonstration expérimentale de ce concept de commande a été obtenue dans les laboratoires de l’ONERA, en collaboration avec le L2TI, sur le banc BOA [Petit et al., 2005], suivie par les premiers résultats de compensation de vibrations [Petit et al., 2008]. Les premières validations expérimentales de commande LQG grand champ ont ensuite suivi sur le banc HOMER [Costille, 2009]. Suite aux premiers résultats expérimentaux très concluants, l’approche a gagné de l’intérêt dans la communauté. Une commande LQG a ainsi été développée sur la base d’une modélisation différente : la phase turbulente est supposée de type Taylor (un écran figé qui se translate sous l’effet du vent), et sa dynamique est exprimée dans le domaine de Fourier. Cette approche est dénommée Predictive Fourier Control [Poyneer et Véran, 2008]. Cette stratégie de commande a été validée en OA classique [Poyneer et al., 2009, Rudy et al., 2015].

La capacité de ces commandes à compenser des perturbations complexes, et les résultats obtenus par les différentes équipes, ont motivé la communauté à intégrer la commande LQG dans la conception de la commande des instruments. La première validation sur ciel d’une commande LQG complète en OA classique, en OA multi-objet et en OA à tomographie laser, a eu lieu dans le cadre des travaux de [Sivo, 2013, Sivo et al., 2013, Sivo et al., 2014],

le régulateur LQG à la compensation des modes de basculement, généralement affectés de vibrations mécaniques, ainsi qu’éventuellement à la compensation d’autres modes à basse fréquence spatiale. Le reste des modes est alors régulé par un intégrateur. Ce type de solution a d’abord été proposée et est opérationnelle pour la commande des modes de basculement de l’instrument d’OA extrême SPHERE [Sauvage et al., 2014]. Dans le même temps, le Predictive Fourier Control a été intégré à la conception de la loi de commande de l’imageur d’exoplanètes GPi (de l’observatoire américain GEMINI) pour la correction des modes de basculement et de la défocalisation [Poyneer et al., 2016]. Les performances atteintes par CANARY, SPHERE et GPi ont ainsi motivé l’observatoire GEMINI à intégrer une solution LQG avec filtrage de vibrations pour la commande des modes de basculement de l’instrument d’OAMC GeMS [Sivo et al., 2016], solution dont l’apport en performance a été montré en simulation [Juvénal et al., 2015b, Leboulleux et al., 2015].

L’apport en performance des lois de commande à base de modèles est acquis pour la compensation de la partie basses fréquences de la turbulence et pour les vibrations. Elles sont aussi envisagées pour les futures mises à jour des instruments de VLT les plus ambi-tieux, comme GeMS [Sivo et al., 2016] ou RAVEN [Jackson et al., 2014], ainsi que pour la plupart des nouveaux instruments des ELT, comme HARMONI [Correia et al., 2016]. En revanche, la compréhension fine des performances de ces systèmes, du point de vue du type de régulateur employé, reste à approfondir. Comparer les performances obtenues pour tous ces systèmes et pour toutes ces stratégies de commande n’est pas simple.

L’analyse fine de la performance passe par l’établissement d’un budget d’erreur, outil parfaitement adapté à l’analyse des performances d’un système d’OA. Cela consiste à découper le critère de performance, en général la variance de la phase résiduelle sur la voie scientifique, en postes d’erreur indépendants ou considérés comme tels. Pour ne citer que l’exemple des instruments d’optique adaptative extrême, dédiés à l’imagerie d’exoplanètes, les travaux de [Guyon, 2005] présentent les principales limites et les princi-paux axes d’amélioration des instruments d’alors pour atteindre les objectifs de l’optique adaptative extrême. Des budgets d’erreur ont été établis pour la conception de SPHERE [Fusco et al., 2006] et de GPi [Macintosh et al., 2007] , et l’analyse de performance est à ce jour en cours [Sauvage et al., 2014, Poyneer et al., 2016]. Les budgets d’erreur sont ainsi principalement élaborés et calculés pour deux raisons : définir les spécifications d’un système lors de sa phase de conception, et analyser les performances réelles des instruments en traitant des séquences de mesures ASO enregistrées sur le ciel. Lorsque ces budgets d’erreur sont élaborés en phase de conception des instruments, ils le sont à partir d’approxi-mations quant aux caractéristiques de la turbulence, et utilisent des approxid’approxi-mations comme par exemple concernant l’erreur de dimensionnement (ou fitting) du miroir déformable [Hudgin, 1977, Roddier, 1999], et des hypothèses correspondant à des régulateurs simples (intégrateur, ou reconstruction de front d’onde par moindres carrés). Les analyses de performances de systèmes à partir d’enregistrements sur le ciel, comme par exemple celles réalisées pour CANARY [Martin, 2013, Martin et al., 2017, Vidal et al., 2014], sont

particularisées au système étudié, et donc non applicable au cas général.

Ces travaux de thèse ont donc pour premier objectif de formuler un budget d’erreur pour tout régulateur linéaire, afin de pouvoir évaluer et comparer finement les performances. Ils ont également pour objectif de définir de nouveaux modèles pour la commande haute performance de systèmes d’optique adaptative sur des télescopes de type VLT ou ELT, dans la perspective d’une implémentation ciel.

Le chapitre 2 de ce manuscrit introduit les différentes notions relatives à l’imagerie en limite de diffraction par un télescope au sol, ainsi que le formalisme nécessaire aux déve-loppements présentés dans ce manuscrit. Le chapitre 3 introduit un formalisme de calcul de budget d’erreur, s’adaptant à n’importe quel système et à tout régulateur linéaire. Dans un premier temps, ce formalisme est développé dans le cadre d’un système d’optique adaptative classique, et validé en simulation, puis est étendu au cas des systèmes d’optique adaptative grand champ. Le chapitre 4 utilise ce formalisme de budget d’erreur pour analyser les perfor-mances du système d’OAMC GeMS pour la commande des modes de basculement. L’analyse de performance permet ainsi de guider les choix de modèle pour l’intégration d’une nouvelle commande avec filtrage de vibrations. Le chapitre 5 introduit de nouveaux régulateurs, te-nant compte de la direction de vent, améliorant encore les performances des commandes utilisées jusqu’alors. Enfin, ce manuscrit se conclut sur une discussion et des perspectives pour les futurs développements en commande optimale pour l’optique adaptative.

L’optique adaptative pour l’imagerie

astronomique

Sommaire du chapitre

2.1 Imagerie à travers la turbulence atmosphérique . . . 24

2.1.1 Principes de formation d’image . . . 24 2.1.2 Propagation optique à travers la turbulence atmosphérique . . . . 26 2.1.3 Bases de représentation de la turbulence atmosphérique . . . 30 2.1.4 Autres sources de perturbation . . . 35

2.2 Compensation des effets de la turbulence atmosphérique . . . . 36

2.2.1 Optique adaptative classique . . . 37 2.2.2 Description des composants du système d’optique adaptative . . . 41 2.2.3 Quelques modalités d’optique adaptative . . . 47

2.3 Asservissement des systèmes d’optique adaptative . . . 51

2.3.1 Modélisation de la boucle d’asservissement . . . 51 2.3.2 Concepts de commande en optique adaptative . . . 57

L’observation des astres, et donc leur imagerie, depuis la surface de la Terre fait face à un obstacle structurel : la présence de l’atmosphère terrestre. En effet, le faisceau lumineux issu de l’objet que l’on veut observer, dit objet d’intérêt, est perturbé par sa propagation à travers l’atmosphère, en particulier à cause de sa structure (masses d’air de températures différentes, variations d’indice de réfraction, ...) et de sa dynamique interne (mouvements de convection, vents, ...). Ce chapitre a pour vocation d’introduire les bases de l’imagerie astrophysique assistée par optique adaptative. Ainsi, les différents concepts liés à la propa-gation de l’onde optique émise par l’objet au travers de la turbulence atmosphérique sont rappelés, ou, le cas échéant, introduits dans la première partie de ce chapitre. La deuxième partie a pour objectif de présenter le principe de l’optique adaptative, de présenter les diffé-rents composants formant ces systèmes, et d’introduire la nomenclature liée à ses différentes modalités. Enfin, la troisième partie introduit le formalisme utilisé pour l’asservissement de ces systèmes, sujet qui est au cœur du manuscrit.

2.1 Imagerie à travers la turbulence atmosphérique

Cette partie présente dans un premier temps quelques rappels d’optique de Fourier, ainsi que la description du processus d’imagerie par un système optique linéaire télémétrique. Le deuxième paragraphe décrit le phénomène de turbulence atmosphérique, sa caractérisation statistique, et ses conséquences sur les images astrophysiques. Le troisième paragraphe est dédié aux modalités de représentation de la turbulence atmosphérique. D’autres sources de perturbation des systèmes d’imagerie astronomique sont présentées en conclusion de cette partie.

2.1.1 Principes de formation d’image

La lumière émise par l’objet d’intérêt se propage sous la forme d’une d’onde électro-magnétique, dans un milieu homogène, transparent et isotrope. L’onde optique peut donc être entièrement décrite par sa fonction d’onde :

(r) = a(r) exp (i (r)), (2.1) où r est le vecteur de coordonnées, bidimensionnel, dans la pupille, a la distribution d’am-plitude de l’onde, et la phase, appelée aussi front d’onde. L’objet d’intérêt, O (une étoile) est suffisamment loin pour être considéré comme un point lumineux à l’infini, de telle ma-nière que le front d’onde issu de cet objet soit considéré comme plan à son entrée dans l’atmosphère. L’optique de Fourier décrit alors le processus d’imagerie de cet objet par un système optique linéaire invariant par translation, par la relation :

I(↵) = O(↵)_{⇤ FEP(↵),} (2.2) avec ↵ le vecteur de coordonnées angulaires, bidimensionnel, en angle sur le ciel (radians), I l’image au foyer du système optique, FEP la réponse du système, appelée fonction d’éta-lement du point, et ⇤ le produit de convolution entre deux quantités. La FEP est liée à la

pupille du système optique, notée ⌦(↵), par : FEP(↵) = ˜f (µ) 2

µ=↵

, (2.3)

où ˜· désigne la transformée de Fourier, | · |, le module, la longueur d’onde, Ftél la focale

du télescope et f l’amplitude complexe définie par :

f (r) = ⌦(r) (r). (2.4) On considère généralement que le télescope est un instrument optique de pupille circu-laire, confondue avec le miroir primaire. Ainsi,

⌦(r) = (

1 si |r| < Dpup

2 ,

0 sinon, (2.5)

où Dpup est le diamètre du miroir primaire du télescope. Dans ce cas, la FEP du télescope

est une tache d’Airy, et s’écrit :

FEPAiry(↵) = ⇡D2 pup 4 2 2J1(⇡Dpup↵/ ) ⇡Dpup↵/ 2 , (2.6)

avec J1 la fonction de Bessel du premier ordre, et

↵ = r

Dpup. (2.7)

Cette tache d’Airy représente la réponse idéale du système optique, et induit une limite intrinsèque en résolution spatiale en l’absence d’aberration optique. La distribution d’in-tensité de la tache d’Airy est reproduite en figure 2.1. Lorsque l’on cherche à quantifier la résolution spatiale, ou angulaire, d’un système optique, il est d’usage de caractériser sa fonction de transfert optique (FTO), qui est liée à sa FEP par :

FTO(fs) = F 1(FEP(↵)) , (2.8)

où fsest la fréquence spatiale en rad 1, et F 1(·) désigne la transformée de Fourier inverse.

Le télescope agit alors comme un filtre spatial passe-bas, de fréquence de coupure fc =

Dpup

. (2.9)

La résolution angulaire du télescope, ↵tél, est définie par convention comme l’inverse de cette

fréquence de coupure :

↵tél=

Dpup

. (2.10)

-6 -4 -2 0 2 4 6 /D_pup -6 -4 -2 0 2 4 6 /D pup

(a) Distribution d’énergie au plan focal image du télescope -6 -4 -2 0 2 4 6 /D pup 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 Intensié normalisée

(b) Coupe centrale en échelle logarithmique

Figure2.1 – FEP normalisée d’un télescope idéal (tache d’Airy)

2.1.2 Propagation optique à travers la turbulence atmosphérique

La présence de l’atmosphère terrestre dégrade substantiellement la résolution effective des télescopes au sol. En effet, les dynamiques internes de l’atmosphère engendrent des phénomènes de nature turbulente. Ces turbulences vont se traduire par des déformations du front d’onde incident, évolutives au cours du temps, se comportant comme des aberrations optiques aléatoires. Le principal effet de ces déformations est la modification de la FEP du système et de sa FTO. En éclairage monochromatique et en présence de turbulence, la FEP courte pose (intégrée sur un temps faible devant le temps de cohérence temporelle de la turbulence atmosphérique) présente des tavelures, ou speckle, de taille caractéristique /Dpup. La largeur de l’enveloppe globale de la FEP est quant à elle de l’ordre de /r0,

où r0 est le paramètre de Fried, caractérisant la force de la turbulence. A contrario, en

longue pose et en présence de turbulence, on observe au foyer de l’instrument une tache uniforme de diamètre /r0. En pratique sur les sites astronomiques, le paramètre de Fried

varie de quelques centimètres à une trentaine de centimètres pour les très bonnes conditions d’observation (à une longueur d’onde de 0,5 µm).

2.1.2.1 Caractérisation optique des déformations introduites par la turbulence Les mouvements naturels de l’atmosphère (convection, cisaillement, ...) conduisent à l’apparition de tourbillons d’air, encore appelés zones d’écoulement turbulent. La taille ca-ractéristique de ces volutes peut varier en pratique de quelques dizaines de centimètres à plusieurs dizaines de mètres, la borne inférieure constituant le paramètre de petite échelle, noté l0, et la borne supérieure le paramètre de grande échelle, noté L0. Le mélange de masses

d’air de températures différentes induit ces tourbillons qui s’accompagnent alors, d’un point de vue optique, de variations localisées de l’indice de réfraction de l’air autour de sa valeur moyenne. De ce fait, le front d’onde, initialement plan avant sa traversée de l’atmosphère,

Figure2.2 – Principe de l’effet de la turbulence atmosphérique sur le front d’onde incident va se trouver déformé à son arrivée dans la pupille du télescope. Ainsi, si l’on imagine les rayons optiques perpendiculaires au front d’onde plan, ces variations d’indice vont avoir pour effet d’introduire une différence de marche entre les différents rayons. Ces variations d’in-dice de réfraction du milieu se traduisent donc par un déphasage entre les rayons lumineux, introduit par la propagation de l’onde sur une épaisseur d’atmosphère h :

(r, h) = 2⇡ n(r, h) h, (2.11) avec la phase de l’onde, h l’altitude et n(r, h) la variation d’indice. La figure 2.2 illustre graphiquement ce principe. La force (intensité) de la turbulence est caractérisée localement par la constante de structure C2

n(h). Le paramètre de Fried, caractérisant la force totale de

la turbulence, est lié à la constante de structure par [Fried, 1966] : r0 = " 0, 42 ✓ 2⇡◆2 1 cos Z ₁ 0 Cn2(h)dh # 3 5 , (2.12)

avec l’angle zénithal du télescope, c’est-à-dire l’angle entre le zénith (la normale au télescope) et la direction d’observation.

L’étude de ces phénomènes de turbulence dans les fluides, qui intriguait déjà au XVIe_{siècle Léonard de Vinci, n’a abouti à un modèle solide qu’au milieu du XX}e_{siècle, avec}

les travaux de [Kolmogorov, 1941a, Kolmogorov, 1941b]. Kolmogorov formalise en effet un modèle décrivant la turbulence atmosphérique fondé sur la théorie des cascades d’énergie. Dans le cadre de ce manuscrit, un intérêt particulier est porté à la caractérisation de la den-sité spectrale de puissance (DSP) S de la phase turbulente. La théorie de Kolmogorov en propose une expression théorique, qui sert généralement de valeur étalon pour la définition de nouveaux modèles : SKol(fs, h)' 0, 033 (2⇡) 2 3 C_n2(h) f 11 3 s . (2.13)

Le modèle de Kolmogorov ne permet néanmoins pas de tenir compte des phénomènes de grande et de petite échelles. En effet, la densité spectrale de puissance de la phase turbulente ne converge pas lorsque la fréquence spatiale tend vers zéro, et est largement supérieure à la valeur prédite par le modèle aux hautes fréquences spatiales, au-delà de la petite échelle. [Von Karman, 1948] modifie le modèle de Kolmogorov pour tenir compte des échelles de la turbulence : SKar(h, fs)' 0, 033 (2⇡) 2 3 C2 n(h) ✓ 1 L2 0 + fs2 ◆ 11 6 exp (fsl0)2 . (2.14)

2.1.2.2 Caractérisation statistique de la turbulence

Le calcul des statistiques spatiales de la phase turbulente requiert la connaissance de la fonction de structure de phase :

D (⇢, ✓) = E _{| (r)} (r + ⇢)_|2 , (2.15) où E(·) désigne l’espérance mathématique. La fonction de structure de phase n’a pas de dépendance angulaire du fait que la phase turbulente est considérée comme isotrope et stationnaire. Ainsi, tout couple de points de phase séparés d’une distance ⇢ présente les mêmes caractéristiques statistiques. La fonction de structure est alors reliée à la covariance spatiale de la phase par :

D (⇢) = 2⇥E ( (r) (r)) E ( (r) (r + ⇢))⇤, (2.16) = 2⇥C (0) C (⇢)⇤, (2.17) avec C (⇢) la covariance spatiale entre deux points de la phase séparés d’une distance ⇢. Le théorème de Wiener-Khintchine permet d’exprimer la fonction de structure en fonction de la densité spectrale de puissance de la turbulence intégrée sur toute la colonne d’air [Conan, 1994] :

D (⇢) = 4⇡ Z ₁

0

⌫S (⌫) [1 J0(2⇡⌫⇢)] d⌫. (2.18)

Pour une phase de type Kolmogorov, D peut être approximée par : DKol(⇢)_{' 6, 88} ✓ ⇢ r0 ◆5 3 . (2.19)

Le calcul de D à partir de l’équation (2.18), pour une phase de type von Kármán conduit à [Conan, 2000] : DKar(⇢) = ✓ L0 r0 ◆5 3 ✓₂₄ 5 ✓ 6 5 ◆◆5 6 216 11 6 ⇡83 " ₅ 6 216 ✓ 2⇡⇢ L0 ◆5 6 K5 6 ✓ 2⇡⇢ L0 ◆# , (2.20) avec (x) la fonction gamma d’Euler évaluée au point x, et K5

6(x) la fonction de Bessel

modifiée du deuxième type. [Conan, 2000] injecte ce résultat dans l’équation (2.17) pour identifier l’expression de la covariance spatiale entre deux points de la phase distants de ⇢ :

CKar(⇢) = ✓ L0 r0 ◆5 3 ✓₂₄ 5 ✓ 6 5 ◆◆5 6 11 6 256⇡83 ✓ 2⇡⇢ L0 ◆5 6 K5 6 ✓ 2⇡⇢ L0 ◆ . (2.21)

Pour caractériser les statistiques temporelles de la phase turbulente, on adopte généra-lement l’hypothèse de Taylor, qui consiste à supposer que chacune des couches de phase est figée, et se translate dans une direction déterminée par la direction du vent, à une vi-tesse coïncidant avec la norme du vecteur de vent V(h) [Taylor, 1938]. Pour une turbulence constituée d’une seule couche évoluant à une vitesse V , la variance temporelle de la phase turbulente entre deux instants séparés de ⌧, notée 2_{, se déduit de la fonction de structure}

de phase [Roddier, 1990] :

2_{(⌧ ) = D (V ⌧ ), (2.22)}

ce qui correspond, pour une turbulence de type Kolmogorov, à :

2_{(⌧ )} ' 6, 88 ✓ V ⌧ r0 ◆5 3 . (2.23)

On définit alors le temps caractéristique ⌧0 des fluctuations temporelles de la phase

comme le temps nécessaire pour obtenir une variance temporelle égale à 1 radian carré : ⌧0' 0, 314

r0

V . (2.24)

2.1.2.3 Phénomène d’anisoplanétisme

La turbulence atmosphérique est un phénomène physique structurellement anisoplané-tique [Fried, 1982]. Le front d’onde est perturbé par sa traversée du volume d’atmosphère. Or ce volume de turbulence diffère selon la direction d’observation. En effet, la turbulence évolue spatialement dans le volume turbulent, ce qui conduit deux faisceaux arrivant avec un angle ↵ les séparant à ne pas voir la même turbulence atmosphérique, en particulier en altitude. La figure 2.3 illustre schématiquement ce principe.

[Fried, 1982] propose de définir un angle à partir duquel l’anisoplanétisme affecte la qualité d’imagerie. Il définit ainsi la zone d’isoplanétisme comme le champ autour de l’axe optique dans lequel la variance d’écart aberrant de la turbulence reste inférieure à un radian carré. [Roddier, 1981] relie cet angle au paramètre de Fried par :

↵iso = 0, 314r0 h, (2.25) où h = 0 B B @ Z ₁ 0 h53C_n2(h)dh Z ₁ 0 Cn2(h)dh 1 C C A 3 5 . (2.26)

L’angle d’isoplanétisme est fortement dépendant de la longueur d’onde, de par sa dé-pendance au paramètre de Fried (équation (2.12)). L’anisoplanétisme est un phénomène qui limite significativement les performances des système d’optique adaptative. De nombreuses études ont été consacrées à sa compensation comme discuté dans la suite de ce manuscrit.

Figure2.3 – Illustration du phénomène d’anisoplanétisme en optique adaptative classique : L’objet d’intérêt est écarté d’un angle ↵ de la direction de l’étoile guide

2.1.3 Bases de représentation de la turbulence atmosphérique

La turbulence atmosphérique étant un phénomène naturel continu spatialement et tem-porellement, le problème de sa représentation se pose, en particulier pour sa modélisation. En effet, discrétiser la turbulence permet de limiter la complexité d’utilisation des modèles, notamment pour la commande. Deux types de représentation sont discutés tout au long de ce manuscrit : les représentations zonales et les représentations modales.

2.1.3.1 Représentation zonale

La représentation zonale d’une phase consiste à la projeter sur une grille de points de manière à l’échantillonner spatialement. De ce fait, la résolution de représentation de la phase est directement gérée par le nombre de points utilisés pour la constitution de la grille (figure 2.4).

512x512 128x128 32x32

Figure2.4 – Représentation zonale d’une phase de type von Kármán sur différentes grilles d’échantillonnage

La covariance entre chacun des pixels est alors donnée par l’équation (2.21), évaluée en ⇢pix =

q n2

pix, x+ n2pix, y dpix, avec dpix la largeur du pixel (considéré comme carré), et

[npix, x, npix, y] le nombre de pixels séparant en abscisses et en ordonnées les deux pixels

considérés. Pour faciliter le calcul matriciel, ces cartes de phases sont réorganisées en vec-teurs de taille N2

pix (nombre total de pixels) : on parle alors de forme lexicographiée (ou

lexicographique). C’est pour cela que la matrice de covariance décrivant les corrélations entre tous ces pixels est présentée sous la forme d’une matrice de N2

pix⇥ Npix2 (322⇥ 322

dans le cas de la figure 2.5). Une partie de la complexité calculatoire des lois de commande utilisant des a priori physiques est liée au nombre de corrélations non nulles dans la ma-trice de covariance. Comme le montre la figure 2.5, la mama-trice de covariance d’une phase en représentation zonale est pleine. Les modèles s’exprimant dans ce type de représentation utilisent donc, en général, une matrice de covariance tronquée, où par exemple on néglige la covariance entre les pixels séparés par une distance supérieure à une certaine valeur [Correia et al., 2015, Assémat et al., 2006, Fried et Clark, 2008].

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Figure 2.5 – Matrice de covariance spatiale d’une phase de type von Kármán, pour une représentation zonale 32x32

2.1.3.2 Base des polynômes de Zernike

Les approches modales permettent en général de réduire le nombre de corrélations du phénomène sur sa base de représentation, et de rendre plus creuse la matrice de covariance dudit phénomène. L’autre avantage des bases modales est de condenser l’énergie sur les premiers modes de la bases, conduisant ainsi à la réduction de la taille des vecteurs servant à la description du phénomène. La représentation modale la plus largement utilisée à ce jour en optique adaptative, voire même pour la conception des systèmes optiques en général, est la base des polynômes de Zernike. En effet, les premiers polynômes de Zernike ont l’avantage de correspondre aux aberrations optiques classiques, représentées sur la figure 2.6. Pour le

couple de coordonnées polaires r 2 [0, 1] et ✓ 2 [0, 2⇡], les polynômes de Zernike sont définis par : Z_nm(r, ✓) = 8 > < > : p n + 1Rm n(r) p

2 cos(m✓) pour m 6= 0 et j pair, p

n + 1Rm n(r)

p

2 sin(m✓) pour m 6= 0 et j impair, p n + 1Rm n(r) p 2 pour m = 0, (2.27)

avec n l’ordre radial, m l’ordre azimutal, j l’index dans la base de Zernike, selon la convention de [Noll, 1976], et Rm n(r) = n m+2_X k=0 ( 1)k_{(n k)!} k!(n+m 2 k)!( n+m 2 + k)! rn 2k_{. (2.28)}

La phase turbulente s’exprime alors comme une combinaison linaire de modes de la base de Zernike : = 1 X j=0 ajZj, (2.29)

où aj est le coefficient du je polynôme de Zernike. Pour simplifier l’écriture des équations,

on considérera dans la suite de ce manuscrit qu’une phase représentée dans une base modale est caractérisée par ses coordonnées dans cette base, c’est-à-dire, dans le cas de la base de Zernike : Zer₌ 0 B @ a1 a2 ... 1 C A . (2.30)

[Noll, 1976] calcule la matrice de covariance des coefficients de Zernike pour une phase de statistique de Kolmogorov. Ainsi, la covariance entre deux modes de Zernike Zi et Zj,

Cij, est donnée par :

Cij = 3, 90 ✓ Dpup r0 ◆5 3 q (ni+ 1)(nj+ 1) ni+nj 2mi 2 mi,mj ⇥ 2 314 14 3 ⇣_n i+nj 5₃ 2 ⌘ ⇣ _n i+nj+17₃ 2 ⌘ ⇣_n i nj+17₃ 2 ⌘ ⇣_n i+nj+23₃ 2 ⌘, (2.31)

où (ni, mi)et (nj, mj)sont les ordres radiaux et azimutaux des modes de Zernike

respecti-vement Zi et Zj, et est la fonction de Kroenecker. La matrice de covariance des quatorze

premiers ordres radiaux est reproduite en figure 2.7a, pour un rapport Dpup/r0 = 1. La

diagonale de cette matrice de covariance contient la variance spatiale de chacun des modes de Zernike. [Chassat, 1992] propose de modifier les variances de Noll pour tenir compte de

Piston

Tip

Défocalisation

Coma 90°

Sphéricité

Coma 0° Trefoil 90° Trefoil 0° Astigmatisme 45° Astigmatisme 0° Tilt Ordre radial

n

Ordre azimutal

m

Figure 2.6 – Représentation des 21 premiers polynômes de la base de Zernike la grande échelle : 2 n=1 ' 0, 451 ✓ Dpup r0 ◆5 3 " 1 0, 77 ✓ Dpup L0 ◆1 3 + 0, 09 ✓ Dpup L0 ◆2 0, 054 ✓ Dpup L0 ◆7 3# 2 n=2 ' 0, 0234 ✓ Dpup r0 ◆5 3" 1 0, 39 ✓ Dpup L0 ◆2 + 0, 27 ✓ Dpup L0 ◆7 3# (2.32) ✓ D ◆5 n 5 " 0, 38 ✓D ◆2# 33

avec 2

n la variance de chaque mode de Zernike d’ordre radial n, et pour un rapport

Dpup/L0 < 2. Ce seuil n’était pas limitant à l’époque, mais le devient à l’avènement des

télescopes géants, comme le montrent certaines études où des grandes échelles de moins de 25 mètres ont été mesurées, comme par exemple au site du VLT [Fusco et al., 2004].

20 40 60 80 100 index j 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 index j

(a) Matrice de covariance (en échelle lo-garithmique) Kolmogorov des 119 premiers modes de Zernike, hors piston, pourDpup

r0 = 1

(b) Variance des modes de Zernike pour une phase turbulente de type Kolmogorov et von

Kármán, pour Dpup

r0 = 1,

Dpup

L0 = 0, 2

Figure 2.7 – Statistiques spatiales de phase turbulente exprimées dans une base de poly-nômes de Zernike

Notons que la variance des modes de Zernike est identique pour tous les modes d’un même ordre radial. Notons également que le piston n’est pas pris en compte dans ces graphes car il n’affecte pas la qualité d’imagerie, et n’est donc jamais corrigé par l’optique adaptative. L’effet de la grande échelle dans une représentation de Zernike se traduit quant à lui uniquement par une déplétion de la variance et des covariances des tous premiers modes (principalement les modes de basculement).

Du point de vue temporel, le comportement de la turbulence décomposée sur une base de Zernike est remarquable. En effet, les spectres temporels (DSP) des modes de Zernike, introduits par [Conan, 1994], présentent des comportements semblables à haute fréquence, avec une dépendance en ⌫17

3 , et un comportement à basse fréquence lié à l’ordre radial

du mode de Zernike et au vecteur de vent. Par ailleurs, [Conan, 1994] met en évidence la fréquence de coupure temporelle ⌫c (à la croisée des asymptotes) pour chaque mode de

Zernike :

⌫c ' 0, 3

(n + 1)V Dpup

. (2.33)

La phase turbulente étant un phénomène continu, à bande passante infinie, la décomposer sur une base modale requerrait une infinité de modes, ce qui n’est pas implémentable. Ainsi, quelle que soit l’approche modale, il faut utiliser une base tronquée, ce qui aboutit à une approximation dans la représentation de la phase turbulente. En outre, la limite de calcul numérique pour une représentation en base de Zernike se situe entre 800 et 900 modes,

principalement à cause des problèmes de discrétisation des polynômes. Les bases de Zernike ne sont donc pas adaptées à l’étude des systèmes dédiés aux ELT, qui requerraient des bases tronquées à plus de 5000 modes de Zernike. Notons enfin qu’il est facile de passer d’une représentation modale à une représentation zonale : il suffit d’échantillonner chaque mode sur la grille d’échantillonnage de la représentation zonale et d’appliquer la formule (2.29). Ainsi, pour la base de Zernike,

Zon _{= P}

Zer!Zon Zer, (2.34)

où Zon _{désigne la phase en zonal, et P}

Zer!Zon la matrice de passage de la représentation

Zernike vers la représentation zonale, définie par :

P_Zer!Zon = (Z1 Z2 . . .). (2.35)

Inversement, le passage de la représentation zonale vers la représentation Zernike se fait en utilisant la matrice de passage PZon!Zer, définie comme la matrice pseudo-inverse de

P_Zer!Zon :

PZon!Zer= P_Zer!Zon+ = PZer!ZonT PZer!Zon 1PZer!ZonT . (2.36)

2.1.3.3 Base des polynômes de Karhunen-Loève

La base de représentation modale utilisée pour les simulations de systèmes type ELT est la base des polynômes de Karhunen-Loève (KL). Il n’existe cependant pas d’expression analytique de ces polynômes. La base des polynômes de Karhunen-Loève est la représen-tation qui conduit à une matrice de covariance des modes diagonale. Cette base concentre l’énergie vers les premiers modes. Il suffit donc d’un nombre restreint de modes pour re-présenter une grande proportion de l’énergie turbulente. [Roddier, 1990] montre que ces derniers peuvent être obtenus en prenant les vecteurs propres issus de la diagonalisation de la matrice de covariance des modes de Zernike (équation (2.31)), ce qui ne permet néanmoins pas de s’affranchir de la limitation en nombre de modes [Lane et Tallon, 1992]. La méthode de [Cannon, 1995], moins complexe d’un point de vue algorithmique, et ne passant pas par un espace intermédiaire engendré par une base de Zernike, est à ce jour la méthode la plus utilisée pour générer des bases de Karhunen-Loève. La figure 2.8a reproduit la matrice de covariance d’une base de polynômes de Karhunen-Loève obtenus par la diagonalisation de la matrice de covariance en figure 2.7a. Cette matrice de covariance étant diagonale, donc très creuse, l’utilisation d’une base de KL constitue un avantage pour la modélisation de la turbulence dans des simulations liées aux ELT.

2.1.4 Autres sources de perturbation

La turbulence atmosphérique a constitué jusqu’à encore récemment le principal effet néfaste à corriger en temps réel pour atteindre les performances requises en imagerie astro-nomique. Avec les instruments de dernière génération sur les VLT, en particulier pour les

20 40 60 80 100 index KL 20 40 60 80 100 index KL -12 -10 -8 -6 -4 -2

(a) Matrice de covariance (en échelle loga-rithmique) Kolmogorov obtenue par la dia-gonalisation de celle en figure 2.7a

20 40 60 80 100 index KL 20 40 60 80 100 index Zernike -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0

(b) Matrice de passage (en échelle logarith-mique) de l’espace de Zernike (figure 2.7a, 119 modes) vers l’espace des KL

Figure2.8 – Statistiques spatio-temporelle de phases turbulentes exprimées dans une bases de polynômes de Karhunen-Loève

systèmes imageurs d’exoplanètes, la correction d’effets optiques dont l’origine est liée à la structure mécanique du télescope ou à l’environnement mécanique de l’instrument d’ima-gerie s’est avérée nécessaire. La taille des télescopes croissant encore significativement avec les ELT, on peut s’attendre à ce que ces effets soient encore plus importants, et nécessitent d’être quasi-obligatoirement corrigés par optique adaptative. On peut classer ces effets en deux familles : les vibrations mécaniques, qui font osciller la tache image sur le capteur, détruisant la résolution lors de longue pose ; et la prise au vent du télescope. Néanmoins ces effets indésirables sont cantonnés aux bas ordres, c’est-a-dire aux basses fréquences spatiales, grâce en particulier à la rigidité de la structure du télescope [Sedghi, 2007]. Les vibrations, affectant principalement les modes de basculement (tip/tilt), apparaissent sur la densité spectrale de puissance de la perturbation sous la forme d’un pic à la fréquence de chaque vibration (voir la figure 2.9), dont la largeur dépend de l’absorption de cette vibration par l’environnement mécanique. La prise au vent, communément appelée windshake, se traduit quant à elle par une élévation du plateau basse fréquence de la densité spectrale de puissance de la perturbation pouvant augmenter dans les pire cas de plusieurs ordres de grandeur.

2.2 Compensation des effets de la turbulence

atmosphé-rique

L’optique adaptative est un dispositif permettant de compenser l’effet de la turbulence atmosphérique pour obtenir une qualité d’imagerie proche de la limite de diffraction du télescope. Le paragraphe qui suit détaille le principe de fonctionnement des systèmes d’op-tique adaptative et aborde leurs limitations. Les composants (techniques) de ces systèmes sont ensuite décrits dans le second paragraphe, et le troisième paragraphe présente d’autres modalités d’optique adaptative, permettant de contourner certaines des limitations comme

HiCIAO rubber - August 17th 2011 1e-05 1e-04 1e-03 1e-02 1e-01

1e-03 1e-02 1e-01 1e+00 1e+01 1e+02 1e+03

Vibrations Amplitude [sqrt(pix

2)/Hz] Frequency [Hz] Axis X 1e-06 1e-05 1e-04 1e-03 1e-02 1e-01

1e-03 1e-02 1e-01 1e+00 1e+01 1e+02 1e+03

Vibrations Amplitude [sqrt(pix

2)/Hz]

Frequency [Hz] Axis Y

Figure 2.9 – Illustration de la présence de vibrations sur le tip/tilt. Données acquises par SCEXAO, au télescope Subaru (Hawaii). Graphe issu de [Kulcsár et al., 2012].

l’anisoplanétisme.

2.2.1 Optique adaptative classique

2.2.1.1 Principe

Un système d’optique adaptative est un système opto-électro-mécanique permettant de corriger en temps réel les déformations du front d’onde introduites, entre autres, par la turbulence atmosphérique. Le schéma de principe est donné en figure 2.10. Le faisceau rencontre éventuellement un miroir plan, dédié à la correction des modes de basculement, et un miroir déformable. Le faisceau est ensuite séparé en deux, par une lame dichroïque (si la longueur d’onde de l’analyseur de surface d’onde est différente de la longueur d’onde d’imagerie) ou par une lame séparatrice. Une partie du faisceau poursuit son chemin vers la caméra d’imagerie tandis que l’autre part vers l’ASO, qui mesure les déformations résiduelles du front d’onde. Les mesures ASO sont alors transmises au calculateur temps réel qui calcule et envoie la commande au miroir déformable (et éventuellement au miroir de basculement). De cette manière, le front d’onde du faisceau arrivant à la caméra d’imagerie est quasiment plan, permettant ainsi au télescope de se rapprocher de la limite de la diffraction.

2.2.1.2 Critères de performance en imagerie

Plusieurs critères sont couramment utilisés pour caractériser la performance d’un sys-tème optique, c’est-à-dire pour quantifier sa proximité à la limite de diffraction. Parmi les indicateurs de performance les plus courants, on peut citer par exemple la fonction de trans-fert de modulation du système optique, l’énergie encerclée dans un certain diamètre autour du centre optique (particulièrement adapté aux systèmes de couplage à des fibres optiques), la variance des écarts aberrants (largement utilisée pour quantifier l’importance

d’aberra-KďũĞƚ &RQWU{OHXU WHPSV UpHO &DPpUD $62 0LURLU GpIRUPDEOH 0LURLU GH EDVFXOHPHQW WLSWLOW &RXFKH WXUEXOHQWH )URQW GRQGH SODQ )URQW GRQGH GpIRUPp 7pOHVFRSH )URQW GRQGH FRUULJp /DPH GLFKURwTXH

Figure 2.10 – Principe de l’optique adaptative classique (SCAO)

tions résiduelles) ou encore le rapport de Strehl. Ce dernier s’est imposé comme l’indicateur de qualité d’imagerie pour l’astronome. Le rapport de Strehl, noté R_S, est défini par

R_S = FEP(0)

FEPAiry(0)

, (2.37)

où FEP(α) désigne l’intensité de la FEP à la position angulaire α (le centre optique étant positionné en α = 0) en présence de turbulence (voir le paragraphe 2.1.2), et où F EPAiry

est la FEP du système équivalent idéal, en limite de diffraction. Ainsi, plus le rapport de Strehl se rapproche de 1, plus le système est proche de la limite de diffraction, et plus le scientifique sera satisfait des performances du système d’optique adaptative. En pratique, le rapport de Strehl se mesure directement sur les images astronomiques, donnant pour chaque image la performance de la correction par optique adaptative, performance qui est très dépendante des conditions d’observation.

La variance d’écarts aberrants, plus généralement appelée variance de phase résiduelle, et notée σ2_φres, est quant à elle le critère utilisé pour caractériser la qualité de la correction

apportée par le système d’optique adaptative [Roddier, 1999]. De nombreuses études ont été menées pour tenter de relier le rapport de Strehl à la variance de phase résiduelle.

[Maréchal, 1948] en propose une première approximation empirique :

RS ' 1 2res. (2.38)

Celle-ci ne s’avère valable que pour de très faibles écarts aberrants, tendant à fortement sous estimer le rapport de Strehl quand 2

res augmente. [Mahajan, 1983] propose une autre

approximation empirique, repoussant un peu le domaine d’application de l’approximation de Maréchal :

RS ' exp 2res . (2.39)

On peut démontrer l’équivalence avec l’approximation de Mahaja lorsque 2

res tend vers

zéro, en réalisant un développement limité au premier ordre. Pour les rapports de Strehl faibles (donc pour 2

res plus élevé), [Fusco, 2000] introduit le concept de halo lumineux, qui

s’ajoute à l’énergie cohérente [Rousset et al., 1992] :

Ec = exp 2res . (2.40)

Finalement,

RS = ihalo+ Ec, (2.41)

où ihalo est l’intensité du halo lumineux au centre optique, et Ec est l’énergie cohérente.

Notons que cette expression tend vers l’approximation de [Mahajan, 1983] lorsque le rapport de Strehl augmente, le halo devenant alors négligeable devant l’énergie cohérente.

2.2.1.3 Limites

Aussi performants que soient ces systèmes, la limite de diffraction n’est, dans la plupart des cas, qu’approchée, et la performance de correction n’est pas constante dans le champ. En effet, la principale limitation des systèmes d’optique adaptative classique réside en l’anisoplanétisme de la turbulence atmosphérique [Fried, 1982]. Ainsi, lorsque l’objet d’intérêt se détache d’un angle ↵ > ↵iso de la direction de l’étoile guide (figure

2.11b), la correction calculée n’est pas adaptée au front d’onde issu de l’objet. L’effet de l’anisoplanétisme sur la qualité d’imagerie d’une optique adaptative classique est illustré en figure 2.12, et se traduit par une élongation des taches lorsque l’on s’éloigne de l’étoile guide. Néanmoins, même lorsque l’objet est suffisamment lumineux pour permettre directement l’analyse de front d’onde (figure 2.11a), ou que l’étoile guide est dans la même direction que l’objet, la performance du système reste limitée, en particulier à cause du contexte d’imagerie à très faible flux (comptage de photons) et des choix de conception. En effet, on dénombre généralement plusieurs sources d’erreur dans un système d’optique adaptative classique, liées à la géométrie même du système optique ainsi qu’au comportement de ses différents composants :

- La présence de deux voies optiques distinctes pour l’imagerie et l’analyse de surface d’onde induit des aberrations optiques présentes sur la voie d’imagerie qui ne sont pas vues par l’ASO et donc non compensées (et inversement), ce qui provoque une erreur due aux « aberrations non communes » (NCPA – Non-Common Path Aberrations), notée

2 NCPA.