Development of fast methods for electronic structure calculations

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Development of fast methods for electronic structure

calculations

Maxime Barrault

To cite this version:

Maxime Barrault. Development of fast methods for electronic structure calculations. domain_other.

Ecole des Ponts ParisTech, 2005. English. �pastel-00001655�

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N

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M

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(z

k

)

k=1,M

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(m

k

)

k=1,M

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T

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(x

k

)

k=1,M

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N

❆❅

T

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N

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m

e

= 1,

e = 1,

~

= 1,

1

4πǫ

0

= 1.

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k

❏❍❑❋❆❈ ❆❅

l

◆❃❏❃❋❋❆❈ ❆❈❅ ❋❃❅▲

M(k, l)

✒ ❁❏❃❄❈ ✓❇❆

M

S

(k)

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k

❆❅

I

k

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k

❆❅

δ

ij

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Ψ(t, .)

✒ ❲❍❲❁❋❅ ▼❁❋❈ ❇❋ ❈❃❇❈❬❆❈❂❁◆❆

H

▼❆

L

2

_(IR

d

₎

❁❲❆◆

d = 3(M + N)

▼❃❋❅ ❏✍▲❲❃❏❇❅❍❃❋ ❆❈❅ ❄▲❑❍❆ ❂❁❄❏✍▲✓❇❁❅❍❃❋ ▼❆ ☛◆❴❄☞▼❍❋❑❆❄ ✏❆❘◆❆❂❅▲ ▼❁❋❈ ▼❆❈ ◆❁❈ ❅❄❯❈ ❂❁❄❅❍◆❇❏❍❆❄❈✑✕ ❭❁ ▼❍❙❆❋❈❍❃❋ ▼❆

H

❄❆❋▼ ❂❄❆❈✓❇❆ ❅❃❇ ✛❃❇❄❈ ❏❆ ❅❄❁❍❅❆❙❆❋❅ ❋❇❙▲❄❍✓❇❆ ▼❆ ◆❆❅❅❆ ▲✓❇❁❅❍❃❋ ❍❙❂❃❈❈❍✌❏❆✕■✔❋ ▼❆ ▼▲◆❄❍❄❆ ❏❆ ❈❨❈❅❯❙❆✒ ❃❋ P❁❍❅ ▼❁❋❈ ❇❋ ❂❄❆❙❍❆❄ ❅❆❙❂❈ ❏✍ ❁❂❂❄❃❘❍❙❁❅❍❃❋ ❁▼❍❁✌❁❅❍✓❇❆ ✓❇❍ ◆❃❋▼❇❍❅ ❁❇ ❙❃▼❯❏❆ ▼❆ ▼❨❋❁❙❍✓❇❆

❙❃❏▲◆❇❏❁❍❄❆ ❉❏❆❈ ❋❃❨❁❇❘ ❁❅❃❙❍✓❇❆❈ ❈❃❋❅ ▼❆❈ ❂❁❄❅❍◆❇❏❆❈ ◆❏❁❈❈❍✓❇❆❈ ❄❆❏❆❲❁❋❅ ▼✍❇❋❆ ▼❨❬ ❋❁❙❍✓❇❆ ▼❆ ❖❆ ✔ ❅❃❋ ❆❅❈❍ ❏❆❈▲❏❆◆❅❄❃❋❈ ❄❆❈❅❆❋❅ ▼❆❈ ❃✌✛❆❅❈ ✓❇❁❋❅❍✓❇❆❈ ❍❏❈ ❈❃❋❅ ❈❇❂❂❃❈▲❈ ✢❅❄❆ ✖ ❅❃❇❅ ❍❋❈❅❁❋❅ ▼❁❋❈ ❏❆❇❄ ▲❅❁❅ P❃❋▼❁❙❆❋❅❁❏ ✏❍✕❆✕ ▲❅❁❅ ▼❆ ❂❏❇❈ ✌ ❁❈❈❆ ▲❋❆❄❑❍❆✑✕ ❭❆❈ ❋❃❨❁❇❘ ❈❃❋❅ ❲❇❈ ❂❁❄ ❏❆❈ ▲❏❆◆❅❄❃❋❈ ◆❃❙❙❆ ❇❋ ❂❃❅❆❋❅❍❆❏ ▲❏❆◆❅❄❍✓❇❆ ✘❆❘❅▲❄❍❆❇❄✙ ❆❅ ❏❆❈ ▲❏❆◆❅❄❃❋❈ ❈❃❋❅ ❲❇❈ ❂❁❄ ❏❆❈ ❋❃❨❁❇❘ ◆❃❙❙❆ ❇❋ ◆❴❁❙❂ ▼❆ P❃❄◆❆ ❁▼▼❍❅❍❃❋❋❆❏✓❇❍ ❄❆✓❇❍❆❄❅ ▼❆ ❄▲❈❃❇▼❄❆ ❏❆ ❂❄❃✌❏❯❙❆

inf

n

hΨ

e

|H

e

|ψ

e

i, Ψ

e

∈ H

e

,

kΨ

e

k = 1

o

✏ ✕ ✑ ❃✌

H

e

❆❈❅ ❏✍❴❁❙❍❏❅❃❋❍❆❋ ▼❆ ❏❁ ❂❁❄❅❍❆ ▲❏❆◆❅❄❃❋❍✓❇❆✕ ❚❃❙❙❆

H

e

❆❈❅ ❇❋ ❈❃❇❈❬❆❈❂❁◆❆ ▼❆

L

2

_(IR

3N

₎

❃❋ P❁❍❅✒▼❁❋❈ ❇❋ ❈❆◆❃❋▼ ❅❆❙❂❈✒❏✍ ❁❂❂❄❃❘❍❙❁❅❍❃❋ ▼❆ ✏ ✕ ✑❂❁❄ ▼❆❈ ❙❃▼❯❏❆❈ ▼❆ ❅❨❂❆ ✘❁❄❅❄❆❆❬❊❃◆✩ ✞★✟ ❃❇ ▼❆ ❅❨❂❆ ❃❴❋❬☛❴❁❙ ✞✧✟✕❊❃❄❙❆❏❏❆❙❆❋❅✒❃❋ ❆❈❅ ❁❏❃❄❈ ❄❁❙❆❋▲ ❁❇ ◆❁❏◆❇❏ ▼❆

N

P❃❋◆❅❍❃❋❈

{φ

i

}

i=1,N

❈❁❅❍❈P❁❍❈❁❋❅ ❇❋ ❂❄❃✌❏❯❙❆ ▼❆ ❙❍❋❍❙❍❈❁❅❍❃❋ ❁❂❂❆❏▲ ❂❄❃✌❏❯❙❆ ▲❏❆◆❅❄❃❋❍✓❇❆ ▼❆ ❏❁ P❃❄❙❆

inf

n

E(φ

1

, . . . , φ

N

), φ

i

∈ H

1

(IR

3

),

Z

IR

3

φ

i

φ

j

= δ

ij

,

∀ 1 ≤ i, j ≤ N

o

✏ ✕ ✑ ❭❁ P❃❋◆❅❍❃❋❋❆❏❏❆ ▼✍▲❋❆❄❑❍❆

E

▼▲❂❆❋▼ ❂❁❄❁❙▲❅❄❍✓❇❆❙❆❋❅ ▼❆ ❏❁ ❂❃❈❍❅❍❃❋ ▼❆❈ ❋❃❨❁❇❘

¯

x

k

❁❇ ❂❁❈ ▼❆ ❅❆❙❂❈ ◆❃❋❈❍▼▲❄▲✕❭❃❄❈ ▼❆ ❏❁ ❄▲❈❃❏❇❅❍❃❋ ▼❇ ❂❄❃✌❏❯❙❆ ▲❏❆◆❅❄❃❋❍✓❇❆✒❏❆❈ P❃❄◆❆❈ ❆❘❆❄◆▲❆❈ ❂❁❄ ❏❆ ❋❇❁❑❆ ▲❏❆◆❅❄❃❋❍✓❇❆ ❈❇❄ ❏❆❈ ❋❃❨❁❇❘ ❈❃❋❅ ▼❃❋❋▲❆❈ ❂❁❄

{∂E/∂¯x

k

}

k=1,M

❆❅ ❇❅❍❏❍❈▲❆❈ ❂❃❇❄ ◆❁❏◆❇❏❆❄ ❁❇ ❂❁❈ ▼❆ ❅❆❙❂❈ ❈❇❍❲❁❋❅ ❏❁ ❂❃❈❍❅❍❃❋ ▼❆❈ ❋❃❨❁❇❘ ❂❁❄ ❏✍❍❋❅❆❄❬ ❙▲▼❍❁❍❄❆ ▼✍❇❋ ❈◆❴▲❙❁ ❁▼❁❂❅▲ ▼✍❍❋❅▲❑❄❁❅❍❃❋ ▼❆❈ ▲✓❇❁❅❍❃❋❈ ▼❆ ❖❆ ✔ ❅❃❋ ✞ ✟ ❉

∀ 1 ≤ k ≤ M, m

k

d

2

_x

_¯

k

dt

2

(t) =

−

∂

_E

∂ ¯

x

k

−

∂

_W

nuc

∂ ¯

x

k

,

W

nuc

=

X

1≤i<j≤M

z

i

z

j

|¯x

i

− ¯x

j

|

.

✠✡✚ ✛✞☛✙☞✒✠✟ ✒✠ ✝✞✟☞✍✌☛✑☞✡ ✒✌ ✆✝☞✏✍☛✜✠ ✞✍✠✔☛✝☞✛ ✡✑✢✌✠ ❭✍❃✌❅❆❋❅❍❃❋ ▼❆❈P❃❄◆❆❈ ▲❏❆◆❅❄❃❋❍✓❇❆❈ ❁❑❍❈❈❁❋❅ ❈❇❄ ❏❆❈ ❋❃❨❁❇❘ ❋▲◆❆❈❈❍❅❆ ▼❆ ❄▲❈❃❇▼❄❆ ❏❆ ❂❄❃✌❏❯❙❆ ✏ ✕ ✑✒❆❅❆❋ P❁❍❅✒❆❋ ❂❄❁❅❍✓❇❆✒❏❆ ❂❄❃✌❏❯❙❆ ❁❇❘❲❁❏❆❇❄❈❂❄❃❂❄❆❈❋❃❋ ❏❍❋▲❁❍❄❆ ❁❈❈❃◆❍▲✒ ◆✍❆❈❅❬✖❬▼❍❄❆ ❏❆❈ ▲✓❇❁❅❍❃❋❈ ▼✍ ◗❇❏❆❄❬❭❁❑❄❁❋❑❆ ◆❃❄❄❆❈❂❃❋▼❁❋❅❆❈✕ ✥❋❆ ❂❄❆❙❍❯❄❆ ❁❂❂❄❃◆❴❆ ◆❃❋❈❍❈❅❆ ❋❁❅❇❄❆❏❏❆❙❆❋❅ ✖ ◆❁❄❁◆❅▲❄❍❈❆❄ ❏❆❈

φ

i

❂❁❄ ❏❆❇❄❈ ❲❁❏❆❇❄❈ ❈❇❄ ❇❋❆ ❑❄❍❏❏❆ ❆❅ ▼✍▲❲❁❏❇❆❄ ❏❆❇❄ ▼▲❄❍❲▲❆❈ ❂❁❄ ▼❍✤▲❄❆❋◆❆❈ ✔❋❍❆❈ ✞☞✒✡ ✟✕ ❚❆❅❅❆ ❁❂❂❄❃◆❴❆ ❆❈❅ ❂❆❇ ❇❅❍❏❍❈▲❆ ❆❋ ❂❄❁❅❍✓❇❆ ❂❃❇❄ ❏❆❈ ❈❨❈❅❯❙❆❈ ▼❆ ❂❆❅❍❅❆ ❅❁❍❏❏❆✒ ❙❁❍❈ ❆❏❏❆ ❂❆❇❅ ❏✍✢❅❄❆ ❂❃❇❄ ❏❆❈ ❈❨❈❅❯❙❆❈ ❆❋ ❂❴❁❈❆ ❈❃❏❍▼❆ ▼❆ ❑❄❁❋▼❆ ❅❁❍❏❏❆✕❭❆ ❂❏❇❈ ❈❃❇❲❆❋❅✒ ❃❋ ❈❆ ❂❏❁◆❆ ▼❁❋❈ ❏❆ ◆❃❋❅❆❘❅❆ ▼✍❇❋❆ ▼❍❈◆❄▲❅❍❈❁❅❍❃❋ ▼❆❈

φ

i

❈❇❄ ❇❋❆ ✌❁❈❆ ▼❆ ✙❁❏❆❄✩❍❋✕

✌✍✎✍✌ ✏✑✒✓✔✕✖✑✒✗✖✑✘✙ ✚✛ ✜✔✘✢✣✤✥✦ ❭✍❇❅❍❏❍❈❁❅❍❃❋ ▼✍❇❋❆ ❙▲❅❴❃▼❆ ▼❆ ✙❁❏❆❄✩❍❋ ❂❃❇❄ ❄▲❈❃❇▼❄❆ ❏❆ ❂❄❃ ✌❏❯ ❙❆ ▲❏❆◆❅❄❃❋❍✓❇❆ ◆❃❋❈❍❈❅❆ ✖ ◆❃❋❈❍▼▲❄❆❄ ❇❋❆ ✌❁❈❆ ▼❆ P❃❋◆❅❍❃❋❈

{χ

µ

}

µ=1,N

b

❆❅ ✖ ◆❴❆❄◆❴❆❄

φ

i

❈❃❇❈ ❏❁ P❃❄❙❆

∀ 1 ≤ i ≤ N, φ

i

=

N

b

X

µ=1

C

µi

χ

µ

.

✏ ✕✡✑ ✡❋ ❈❇❂❂❃❈❆ ❈❁❋❈ ❂❆❄❅❆ ▼❆ ❑▲❋▲❄❁❏❍❅▲ ▼❁❋❈ ❏❁ ❈❇❍❅❆ ✓❇❆ ❏❆❈ P❃❋◆❅❍❃❋❈

χ

µ

❆❅ ❏❁ ❙❁❅❄❍◆❆

C

❈❃❋❅ ❄▲❆❏❏❆❈✕ ✄✧✎✧✄✧✄ ★✝✑☎✄✡✒✏✟✝ ✆ ✞✄ ✑✑✝✎✡✎☎☛ ✞✟✂✓✑✁✏✟✂✁ ❭❆ ▼▲❲❆❏❃❂❂❆❙❆❋❅ ✏ ✕✡✑ ◆❃❋▼❇❍❅ ✖ ❏❁ P❃❄❙❆ ▼❍❈◆❄▲❅❍❈▲❆ ▼❇ ❂❄❃✌❏❯❙❆ ▲❏❆◆❅❄❃❋❍✓❇❆ ✏ ✕ ✑ ❈❇❍❲❁❋❅❆

inf

n

E

d

(CC

t

), C

∈ M(N

b

, N), C

t

SC = I

N

o

✏ ✕☛✑ ❃✌ ❂❃❇❄ ❏❆❈ ❙❃▼❯❏❆❈ ✞✆✠✟✠☎✓✟✆✡ ✩✞✠✟✠✆✆✏✪✠✓✫ ✏ ❀✘❊✑ ❆❅ ▼❆ ✬✠☞✞✏✭☞✞✁ ✏ ☛✑✒ ❃❋ ❁ ❄❆❈❂❆◆❅❍❲❆❙❆❋❅















E

d

RHF

(D) = Tr(hD) +

☞❄

J(D)D

₋

1

2

☞❄

K(D)D

,

E

KS

d

(D)

=

2Tr(hD) + 2

☞❄

J(D)D

+

E

xc

(D).

❁❲❆◆

∀ 1 ≤ µ, ν ≤ N

b

,

S

µν

=

Z

IR

3

χ

µ

χ

ν

,

h

µν

= h

L

µν

+ h

V

µν

=

1

2

Z

IR

3

∇χ

µ

∇χ

ν

+

Z

IR

3

V

¯

x

χ

µ

χ

ν

,

V

x

¯

=

−

M

X

k=1

z

k

|x − ¯x

k

|

,

J(X)

µν

=

N

b

X

κ,λ=1

(µν

|κλ)X

κλ

,

✏ ✕☞✑

K(X)

µν

=

N

b

X

κ,λ=1

(µλ

|νκ)X

κλ

,

∀ 1 ≤ κ, λ ≤ N

b

,

(µν

|κλ) =

Z

IR

3

Z

IR

3

χ

µ

(x)χ

ν

(x)χ

κ

(x

′

)χ

λ

(x

′

)

|x − x

′

_|

dx dx

′

_.

❭❁ ❙❁❅❄❍◆❆

S

❆❈❅ ❏❁ ✁✞✟✠☎✓✆ ✡ ✆ ✠✆✓✠✍✒✠✆✁✆✞✟✒

h

❆❈❅ ❏❁ ✁✞✟✠☎✓✆ ☞✞✁☎✄✟✠✞☎✆✞✞✆ ▼❆ ◆✔❇❄✒

V

x

¯

▼▲❈❍❑❋❆ ❏❆ ❂❃❅❆❋❅❍❆❏ ▼❆❈ ❋❃❨❁❇❘ ❁❑❍❈❈❁❋❅ ❈❇❄ ❏❆❈ ▲❏❆◆❅❄❃❋❈ ❆❅

E

xc

(D)

❆❈❅ ❏✍✂✞✆✠✤☎✆ ✡✮✂✓☞✞✞✤✆✏✓✠✠✠✂✄✞✟☎✠✞✕❚❆❅❅❆ P❃❋◆❅❍❃❋❋❆❏❏❆ ❆❈❅ ❑▲❋▲❄❁❏❆❙❆❋❅ ❋❃❋ ◆❃❋❲❆❘❆ ❆❅ ❋❃❋ ❏❍❋▲❁❍❄❆✯ ❂❁❄ ❆❘❆❙❂❏❆✒ ❂❃❇❄ ❇❋❆ P❃❋◆❅❍❃❋❋❆❏❏❆ ▼❍❅❆ ❭❫■ ✞☛✟

dite

_E

xc

(D) =

Z

IR

3

ρ(x)ε

LDA

_xc

ρ(x)

dx

❁❲❆◆

ρ(x) = 2

N

b

X

µ,ν=1

D

µν

χ

µ

(x)χ

ν

(x).

✏ ✕✧✑

❭❆❈ ◆❃❆✪◆❍❆❋❅❈

(µν

_|κλ)

❈❃❋❅ ❁❂❂❆❏▲❈ ☎✞✟✂✤✠✞✄✆✠ ✝☎✂✄✆✓✟✠✠✞☎✚✍✆✠✕ ❭❆❇❄ ◆❁❏◆❇❏ ❆❈❅ ▼❆ ◆❃❙❂❏❆❘❍❅▲ ✞ ✟✠☎✠✠☎

O(N

4

b

)

✕ ❭✍▲❋❆❄❑❍❆

E

d

❋❆ ▼▲❂❆❋▼ ✓❇❆ ▼❆ ❏❁ ❙❁❅❄❍◆❆

D = CC

t

✒❁❂❂❆❏▲❆ ✁✞✟✠☎✓✆ ✡✆✞✠☎✟✂✕❚❆◆❍ ❆❈❅ ❏❁ ◆❃❋❈▲✓❇❆❋◆❆ ▼❆ ❏✍❍❋❲❁❄❍❁❋◆❆ ▼❆ ❏✍▲❋❆❄❑❍❆ ▼❆ ✘❁❄❅❄❆❆❬❊❃◆✩ ❆❅ ▼❆ ❃❴❋❬☛❴❁❙ ❂❁❄ ❄❃❅❁❅❍❃❋ ❃❄❅❴❃❑❃❋❁❏❆ ▼❆❈

φ

i

✕ ■✔❋ ▼❆ ❈✍ ❁✤❄❁❋◆❴❍❄ ▼❆ ◆❆❅❅❆ ▼▲❑▲❋▲❄❆❈◆❆❋◆❆✒ ❃❋ ❂❆❇❅ ◆❃❋❈❍▼▲❄❆❄ ❏❁ P❃❄❙❆ ▲✓❇❍❲❁❏❆❋❅❆ ✖ ✏ ✕☛✑ ❈❇❍❲❁❋❅❆

inf

n

E

d

(D), D

∈ M

S

(N

b

), DSD = D,

☞❄

(DS) = N

o

✏ ✕★✑ ✄✧✎✧✄✧✎ ✏☛✂ ✁✏✄✒✏✟✝✆✂ ✞ ✁✄✡☛✑✒✏✒✠✑✒✆✠☛ ✒✂✂✝✓✟✁☛✂ ❭❆❈ ▲✓❇❁❅❍❃❋❈ ▼✍◗❇❏❆❄❬❭❁❑❄❁❋❑❆ ❁❈❈❃◆❍▲❆❈ ✖ ✏ ✕☛✑ ❈✍▲◆❄❍❲❆❋❅ ✏❆❋ ❇❅❍❏❍❈❁❋❅ ❏✍❍❋❲❁❬ ❄❍❁❋◆❆ ❂❁❄ ❄❃❅❁❅❍❃❋ ❃❄❅❴❃❑❃❋❁❏❆ ▼❆❈ ◆❃❏❃❋❋❆❈ ▼❆

C

❂❃❇❄ ▼❍❁❑❃❋❁❏❍❈❆❄ ❍❙❙▲▼❍❁❅❆❙❆❋❅ ❏❁ ❙❁❅❄❍◆❆ ▼❆❈ ❙❇❏❅❍❂❏❍◆❁❅❆❇❄❈ ▼❆ ❭❁❑❄❁❋❑❆✑







F (D)C = SCE,

E =

❫❍❁❑

(ǫ

1

, . . . , ǫ

N

),

C

t

SC

=

I

N

,

D

=

CC

t

_.

✏ ✕☞✑ ❭❁ ❙❁❅❄❍◆❆

F (D)

❆❈❅ ❁❂❂❆❏▲❆ ✁✞✟✠☎✓✆ ✡✆ ✪✠✓✫✕ ✣❃❇❄ ❏❆❈ ❙❃▼❯❏❆❈ ❀✘❊ ❆❅ ☛✒ ❆❏❏❆ ❈✍▲◆❄❍❅ ❉

F

RHF

(D) = h + 2J(D)

− K(D), F

KS

_{(D) = h + 2J(D) + F}

xc

(D)

❁❲❆◆

∀ 1 ≤ µ, ν ≤ N

b

,



F

xc

(D)



µν

=

1

2

Z

IR

3

µ

xc

(ρ)χ

µ

χ

ν

✏ ✕✌✑ ❁❲❆◆

µ

xc

(ρ) = ∂

E

xc

/∂ρ

❃✌

ρ

❆❈❅ ▼▲✔❋❍❆ ❆❋ ✏ ✕✧✑✕ ◗❋ ❂❄❁❅❍✓❇❆✒ ❏❁ ❄▲❈❃❏❇❅❍❃❋ ▼❆ ✏ ✕☞✑ ❆❈❅ ❂❄❆❈✓❇❆ ❅❃❇✛❃❇❄❈ ❂❄▲P▲❄▲❆ ✖ ❏❁ ❙❍❋❍❙❍❈❁❅❍❃❋ ▼❍❄❆◆❅❆ ▼❆ ✏ ✕☛✑✕ ✄✧✎✧✄✧✓ ☎✆ ✏✑✝✞✄✓✏✟✝ ✆ ✁ ✾ ☛✆✏✄☛✡✡☛ ✞ ✄ ✆ ✑✂☛✄✞✝✒✑✝✏☛✆✏✟☛✡ ✣❃❇❄ ❇❋❆ ❑❄❁❋▼❆ ❂❁❄❅❍❆ ▼❆❈ ❈❨❈❅❯❙❆❈ ❂❴❨❈❍✓❇❆❈✒ ❏❁ ❂❏❇❂❁❄❅ ▼❆❈ ❂❴▲❋❃❙❯❋❆❈ ◆❴❍❬ ❙❍✓❇❆❈ ❈❃❋❅ ▼▲❅❆❄❙❍❋▲❈ ❂❁❄ ❏❆❈ ▲❏❆◆❅❄❃❋❈ ▼❆ ❲❁❏❆❋◆❆ ✏ ❁❈❈❃◆❍▲❈ ❁❇❘ ❃❄✌❍❅❁❏❆❈✒ ▼❍❅❆❈ ▼❆ ❲❁❏❆❋◆❆✒ ▼❆ ❂❏❇❈ ❴❁❇❅❆ ▲❋❆❄❑❍❆✑ ❆❅ ❋❃❋ ❂❁❄ ❏❆❈ ▲❏❆◆❅❄❃❋❈ ▼❆ ◆✔❇❄ ✏ ❁❈❈❃◆❍▲❈ ❁❇❘ ❃❄✌❍❅❁❏❆❈✒▼❍❅❆❈ ▼❆ ◆✔❇❄✒▼❆ ❂❏❇❈ ✌❁❈❈❆ ▲❋❆❄❑❍❆✑ ✞✌ ✟ ✕ ✣❏❇❈ ❂❄▲◆❍❈▲❙❆❋❅✒❏❆❈ ❑❄❁❋▼❆❇❄❈ ❂❆❄❅❍❋❆❋❅❆❈ ▼✍❇❋ ❂❃❍❋❅ ▼❆ ❲❇❆ ❂❴❨❈❍◆❃❬◆❴❍❙❍✓❇❆ ❈❃❋❅ ❆❋ P❁❍❅ ❏❆❈ ❃❄✌❍❅❁❏❆❈ ▼❆ ❲❁❏❆❋◆❆ ✂ ✄✮✆✄✟✂✠☎✆✍✠ ▼❆ ❄▲❑❍❃❋❈ ❆❋❅❃❇❄❁❋❅ ❏❆❈ ❋❃❨❁❇❘ ▼❇ ❈❨❈❅❯❙❆✕■❍❋❈❍✒✖ ◆❴❁✓❇❆ ❁❅❃❙❆✒❃❋ ❂❆❇❅ ❁❈❈❃◆❍❆❄ ❇❋ ◆✔❇❄✒ ✓❇❍ ◆❃☎❋◆❍▼❆ ❁❲❆◆ ❏❁ ❄▲❑❍❃❋ ▼❆ ❏❃◆❁❏❍❈❁❅❍❃❋ ▼❆❈ ❃❄✌❍❅❁❏❆❈ ▼❆ ◆✔❇❄ ❁❈❈❃◆❍▲❆❈✒ ▼❁❋❈ ❏❆✓❇❆❏ ❏❆❈ ❃❄✌❍❅❁❏❆❈ ❈❃❋❅ ❂❆❇ ❍❋✟❇❆❋◆▲❆❈ ❂❁❄ ❏❆ ❙❍❏❍❆❇ ❆❘❅❆❄❋❆✕ ✠❏ ❋✍❆❈❅ ▼❃❋◆ ▼✍❁❇◆❇❋ ❍❋❅▲❄✢❅ ▼❆ ◆❁❏◆❇❏❆❄ ❆❘❁◆❅❆❙❆❋❅ ❏❆❈ ❃ ❄✌ ❍❅❁❏❆❈ ▼❆ ◆✔❇❄ ❆❅ ❏❆❈ ❃❄✌❍❅❁❏❆❈ ▼❆ ❲❁❏❆❋◆❆ ▼❁❋❈ ❏❆❈ ◆✔❇❄❈ ▼❆ ◆❴❁✓❇❆ ❁❅❃❙❆ ✞ ✍ ✟ ✕ ◗❋ ❄❁❍❈❃❋ ▼❆ ◆❆❈ ◆❃❋❈❍▼▲❄❁❅❍❃❋❈ ❂❴❨❈❍✓❇❆❈✒ ❃❋ ❁✌❃❇❅❍❅ ✖ ❇❋❆ ❄▲▼❇◆❅❍❃❋ ❋❃❅❁✌❏❆

◆❃❋❈❍▼▲❄▲ ❆❈❅❇❋ ❈❨❈❅❯❙❆ ▼❆❅❄❯❈❑❄❁❋▼❆ ❅❁❍❏❏❆✒❏❆❂❃❅❆❋❅❍❆❏❋❇◆❏▲❁❍❄❆

V

x

¯

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V

ps

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∀ ψ(r, θ, ϕ) V

ps

.ψ(r, θ, ϕ) = V

_loc

ps

(r)ψ(r, θ, ϕ)

+

l

max

X

l=0

l

X

m=−l

 Z

S

2

ψ

Y

m

l

dθdϕ



V

_l

ps

(r)

Y

m

l

(θ, ϕ)

❃✌

(

_Y

m

l

)

lm

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V

_loc

ps

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V

_l

ps

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r

c

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φ

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V

_loc

ps

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V

_l

ps

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[0, r

c

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h

V

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h

ps

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∀ 1 ≤ µ, ν ≤ N

b

,

h

ps

µν

=

Z

IR

3

χ

µ

V

ps

.χ

ν

= h

ps

_loc

_µν

+

l

max

X

l=1

h

ps

_l

_µν

.

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φ

i

❈✍▲◆❄❍❅ ◆❃❙❙❆ ❇❋❆ ◆❃❙✌❍❋❁❍❈❃❋ ❏❍❋▲❁❍❄❆ ▼✍❃❄❬ ✌❍❅❁❏❆❈ ❁❅❃❙❍✓❇❆❈ ✏◆✍❆❈❅ ✖ ▼❍❄❆ ▼❆ ❈❃❏❇❅❍❃❋❈ ◆❁❏◆❇❏▲❆❈ ❈❇❄ ❏✍❁❅❃❙❆ ❍❈❃❏▲✑✕ ❚❆❈ ✌❁❈❆❈ ▼❃❋❅ ❏✍❆✪◆❁◆❍❅▲ ❋▲◆❆❈❈❍❅❆ ❇❋ ❄▲❆❏ ❈❁❲❃❍❄❬P❁❍❄❆✒❈❃❋❅ ◆❁❄❁◆❅▲❄❍❈▲❆❈ ❂❁❄ ❏❆❇❄ ❂❆❅❍❅❆ ❅❁❍❏❏❆ ✏

N

b

=

O(N)

✑ ❆❅ ❏❆ ◆❁❄❁◆❅❯❄❆ ◆❄❆❇❘ ▼❆❈ ❙❁❅❄❍◆❆❈ ❍❋❅❄❃▼❇❍❅❆❈ ❆❋ ✏ ✕ ☞✑✕☞❃❇❅❆P❃❍❈✒ ❆❏❏❆❈ ❈❃❋❅ ❋❃❋ ❃❄❅❴❃❑❃❋❁❏❆❈ ❆❅ ❂❆❇❲❆❋❅ ❂❄▲❈❆❋❅❆❄ ▼❆❈ ❆❄❄❆❇❄❈ ▼❆ ❈❇❂❆❄❂❃❈❍❅❍❃❋ ✞✡✌✟ ✓❇❍ ◆❃❋▼❇❍❈❆❋❅ ❂❁❄ ❈❇❍❅❆ ✖ ❏❁ ❈❍❋❑❇❏❁❄❍❅▲ ▼❆ ❏❁ ❙❁❅❄❍◆❆ ▼❆ ❄❆◆❃❇❲❄❆❙❆❋❅

S

✕

❭❁ ✌❁❈❆ ▼✍❃❋▼❆❈ ❂❏❁❋❆❈ ❇❅❍❏❍❈▲❆ ▼❁❋❈ ❏❆❈ ◆❃▼❆❈ ✭✎✒ ✝☎✞☎✟ ✞ ✍ ☞✒ ✍ ✌✟ ❉ ◆❆❅❅❆ ✌❁❈❆ ❃❄❅❴❃❑❃❋❁❏❆

(S = I

N

b

)

❁▼❁❂❅▲❆ ❁❇ ❅❄❁❍❅❆❙❆❋❅ ▼❆❈ ❈❨❈❅❯❙❆❈ ❂▲❄❍❃▼❍✓❇❆❈ ❆❈❅ ❅❄❯❈ ❂❃❂❇❏❁❍❄❆ ▼❁❋❈ ❏❆ ▼❃❙❁❍❋❆ ▼❆ ❏❁ ✣❴❨❈❍✓❇❆ ▼❇ ☛❃❏❍▼❆✕ ❭✍❃❂▲❄❁❅❆❇❄ ◆❍❋▲❅❍✓❇❆ ❆❈❅ ▼❍❁❑❃❋❁❏ ▼❁❋❈ ◆❆❅❅❆ ✌❁❈❆ ❆❅ ❃❋ ❂❆❇❅ ✌▲❋▲✔◆❍❆❄ ❁❲❁❋❅❁❑❆❇❈❆❙❆❋❅ ▼❆ ❏❁ ❅❄❁❋❈P❃❄❙▲❆ ▼❆ ❊❃❇❄❍❆❄ ❄❁❂❍▼❆✕❭❆ ◆❁❄❁◆❅❯❄❆ ❃❈◆❍❏❏❁❅❃❍❄❆ ▼❆❈ P❃❋◆❅❍❃❋❈

φ

i

❂❄❯❈ ▼❆❈ ❋❃❨❁❇❘ ◆❃❋▼❇❍❅ ✖ ◆❃❋❈❍▼▲❄❆❄ ❇❋❆ ✌❁❈❆ ▼❆ ❅❁❍❏❏❆ ✌❍❆❋ ❂❏❇❈ ❑❄❁❋▼❆ ✓❇❆ ❏❁ ❅❁❍❏❏❆ ▼❆❈ ✌❁❈❆❈ ❏❃◆❁❏❍❈▲❆❈ ❇❈❇❆❏❏❆❈ ❉

N

b

≃ 10

2

N

✕ ✣❁❄ ❁❍❏❏❆❇❄❈✒ ❏❆❈ ❙❁❅❄❍◆❆❈ ❍❋❅❄❃▼❇❍❅❆❈ ❆❋ ✏ ✕☞✑ ❈❃❋❅ ❂❏❆❍❋❆❈✕ ✄✧✎✧✄✧☛ ✁✒✡✓✄✡ ✞ ✟✆✏✁✠✑✒✡☛✂ ❭❆ ◆❴❃❍❘ ▼❆ ❏❁ ✌❁❈❆ ▼❆ ▼❍❈◆❄▲❅❍❈❁❅❍❃❋▼▲❂❆❋▼ ❆❋ ❂❄❆❙❍❆❄❏❍❆❇ ▼❇ ❈❨❈❅❯❙❆ ◆❃❋❈❍▼▲❄▲✕ ❭❆ ❅❄❁❍❅❆❙❆❋❅▼❆❈ ❈❨❈❅❯❙❆❈❂▲❄❍❃▼❍✓❇❆❈❆❈❅❄▲❁❏❍❈▲ ❑▲❋▲❄❁❏❆❙❆❋❅❂❁❄❇❋❆ ✌ ❁❈❆ ▼✍❃❋▼❆❈ ❂❏❁❋❆❈ ❃❇ ❇❋❆ ✌❁❈❆ ❙❍❘❅❆✕ ◗❋ ❄❆❲❁❋◆❴❆✒ ❏❆❈ ✌❁❈❆❈ ❏❃◆❁❏❍❈▲❆❈ ❈❃❋❅ ❂❄▲P▲❄▲❆❈ ❂❃❇❄ ❏❆ ❅❄❁❍❅❆❙❆❋❅ ▼❆❈ ❈❨❈❅❯❙❆❈ ❙❃❏▲◆❇❏❁❍❄❆❈ ❍❈❃❏▲❈✕ ❫❁❋❈ ❇❋ ▼❆❇❘❍❯❙❆ ❅❆❙❂❈✒ ◆❆ ◆❴❃❍❘ ❆❈❅ ❃❄❍❆❋❅▲ ❂❁❄ ❏❆ ◆❁❏◆❇❏ ▼❆❈ ❍❋❅▲❑❄❁❏❆❈ ❋▲◆❆❈❈❁❍❄❆❈ ✖ ❏❁ ◆❃❋❈❅❄❇◆❅❍❃❋ ▼❆❈ ❙❁❅❄❍◆❆❈ ▼▲✔❋❍❆❈ ❆❋ ✏ ✕☞✑✒ ✏ ✕ ✌✑ ❆❅ ✏ ✕ ✍ ✑✒ ❆❅ ▼❃❋◆ ❍❋▼❍❄❆◆❅❆❙❆❋❅ ❂❁❄ ❏❆ ❙❃▼❯❏❆ ✞✝ ☎✞☎✟☎✠ ◆❃❋❈❍▼▲❄▲✕ ✏☛✂ ☎✝✞✎✡☛✂ ✁✒✑✏✑☛☛✒★✝✓✂ ❭❁ ◆❃❙❂❏❆❘❍❅▲ ▼❇ ◆❁❏◆❇❏ ▼❆❈ ❍❋❅▲❑❄❁❏❆❈ ✌❍▲ ❏❆◆❅❄❃❋❍✓❇❆❈ ◆❃❋▼❇❍❅ ✖ ❃❂❅❆❄ ❏❆ ❂❏❇❈ ❈❃❇❲❆❋❅ ❂❃❇❄❇❋❆ ✌❁❈❆ ▼❆❑❁❇❈❈❍❆❋❋❆❈✕❚❆❈✌❁❈❆❈❍❋❅❄❃▼❇❍❅❆❈❂❁❄❵❃❨❈ ✞ ☞✟❂❆❄❙❆❅❅❆❋❅ ☎✞ ✄✞✆ ❇❋ ◆❁❏◆❇❏ ❁❋❁❏❨❅❍✓❇❆ ▼❆❈ ❍❋❅▲❑❄❁❏❆❈ ▼▲✔❋❍❈❈❁❋❅ ❏❆❈ ❙❁❅❄❍◆❆❈ ▼▲✔❋❍❆❈ ❆❋ ✏ ✕☞✑✕ ◗❋ ❂❁❄❅❍◆❇❏❍❆❄✒ ❏❆ ◆❁❏◆❇❏ ▼❆❈ ❍❋❅▲❑❄❁❏❆❈ ✌❍▲❏❆◆❅❄❃❋❍✓❇❆❈

(µν

_|κλ)

❈❆ ❄❁❙❯❋❆ ❁❇ ◆❁❏◆❇❏ ▼✍❇❋❆ ❍❋❅▲❑❄❁❏❆ ✖ ❇❋❆ ▼❍❙❆❋❈❍❃❋✕ ❭✍ ❁❈❈❃◆❍❁❅❍❃❋ ▼❆ ❏❁ ❏❃◆❁❏❍❈❁❅❍❃❋ ▼❆❈ ❑❁❇❈❈❍❆❋❋❆❈ ❆❅ ▼✍❇❋❆ ❙▲❅❴❃▼❆ ❙❇❏❅❍❂☎❏❆ ❄❁❂❍▼❆ ✞ ✌✟ ❂❆❄❙❆❅ ▼❆ ◆❃❋❈❅❄❇❍❄❆ ❏❁ ❙❁❅❄❍◆❆

F (D)

❁❲❆◆ ❇❋❆ ◆❃❙❂❏❆❘❍❅▲ ❏❍❋▲❁❍❄❆ ✞✌☞✟✕ ✏☛✂ ☎✝✞✎✡☛✂ ✞☛ ✆✝✡✆✒✝✡✒☎ ☛❆❇❏ ❏❆ ◆❁❏◆❇❏ ▼❆

J

❆❈❅ ❋▲◆❆❈❈❁❍❄❆✕ ✣❁❄ ▼▲✔❋❍❅❍❃❋ ▼❆

ρ

❆❋ ✏ ✕✧✑✒❃❋ ❁

2J

µν

=

Z

IR

3



ρ ⋆

1

|x|



χ

µ

χ

ν

.

✏ ✕ ✑ ❭✍❆❘❂❏❃❍❅❁❅❍❃❋ ▼❆ ❏❁ ❂❄❃❂❄❍▲❅▲ ✏ ✕ ✑ ❂❆❄❙❆❅ ❏❆ ◆❁❏◆❇❏ ▼❆

J

❁❲❆◆ ❇❋❆ ◆❃❙❂❏❆❘❍❅▲

O N

α

b

❁❲❆◆

α

_{≤ 3}

❂❃❇❄ ❏❆❈ ✌❁❈❆❈ ❁❇❅❄❆❈ ✓❇❆ ❑❁❇❈❈❍❆❋❋❆❈✕ ✣❃❇❄ ❏❁ ✌ ❁❈❆ ▼✍❃❋▼❆ ❂❏❁❋❆✒

S = I

N

b

❆❅ ❏❆ ◆❁❏◆❇❏ ▼❆

h

L

❆❈❅ ▼❍❄❆◆❅ ◆❃❙❙❆ ❏❆ ❏❁❂❏❁◆❍❆❋ ❆❈❅ ▼❍❁❑❃❋❁❏▼❁❋❈ ◆❆❅❅❆ ✌❁❈❆✕◗❋ ❄❁❍❈❃❋ ▼❇ ◆❁❄❁◆❅❯❄❆ ❏❃◆❁❏ ▼❆ ❏✍❴❁❙❍❏❅❃❋❍❆❋ ▼❆ ◆❴❁❙❂ ❙❃❨❆❋ ▼❆ ❃❴❋❬☛❴❁❙✒◆❴❁✓❇❆ ◆❃❆✪◆❍❆❋❅ ▼❆❈ ❙❁❅❄❍◆❆❈

h

V

✒

J

❆❅

F

xc

❆❈❅ ❇❋ ◆❃❆✪◆❍❆❋❅ ▼❆ ❊❃❇❄❍❆❄ ❁❈❈❃◆❍▲ ❄❆❈❂❆◆❅❍❲❆❙❆❋❅ ✖

V

x

¯

✒

ρ ⋆

1

|x|

❆❅

µ

xc

(ρ)

✕✥❋❆ ❅❄❁❋❈P❃❄❙▲❆ ▼❆ ❊❃❇❄❍❆❄ ❄❁❂❍▼❆ ❂❆❄❙❆❅ ❏❆ ◆❁❏◆❇❏ ▼❆ ◆❴❁✓❇❆ ❙❁❅❄❍◆❆ ❁❲❆◆ ❇❋❆ ◆❃❙❂❏❆❘❍❅▲

O N

b

log(N

b

)

✕ ❭❁ ◆❃❋❈❅❄❇◆❅❍❃❋ ▼❆

F (D)

❆❈❅ ▼❃❋◆ ❑❏❃✌❁❏❆❙❆❋❅ ▼❆ ◆❃❙❂❏❆❘❍❅▲

O N

2

b

✕ ✣❃❇❄ ❇❋❆ ✌❁❈❆ ▼✍❃❄✌❍❅❁❏❆❈ ❁❅❃❙❍✓❇❆❈ ❏❃◆❁❏❍❈▲❆❈ ▼▲✔❋❍❆❈ ❈❇❄ ❇❋❆ ❑❄❍❏❏❆✒ ❏❆ ◆❁❏◆❇❏ ▼❆

S

❆❅

F

xc

❈✍❆✤❆◆❅❇❆ ❂❁❄ ❍❋❅▲❑❄❁❅❍❃❋ ❋❇❙▲❄❍✓❇❆✕ ❭❆ ◆❁❏◆❇❏ ▼❆

h

L

❈❆ P❁❍❅ ❆❋ ❁❂❂❄❃❬ ◆❴❁❋❅ ❏✍❃❂▲❄❁❅❆❇❄ ◆❍❋▲❅❍✓❇❆ ❂❁❄ ▼❍✤▲❄❆❋◆❆❈ ✔❋❍❆❈✕ ☛❃❍❅

W = V

x

¯

+ ρ ⋆

1

|x|

✒

W

❆❈❅ ❈❃❏❇❅❍❃❋ ▼❆ ❏✍▲✓❇❁❅❍❃❋ ▼❆ ✣❃❍❈❈❃❋

−△W = 4π(ρ

x

¯

− ρ)

❃✌

ρ

x

¯

❆❈❅ ❏❁ ▼❍❈❅❄❍✌❇❅❍❃❋ ▼❆❈