Espaces Euclidiens. Novembre 2007.
Exercice 1 On se place dans l'espace vectoriel R3 muni de sa base canonique et de son produit
scalaire usuel. On considère le plan P d'équation x + y − z = 0. 1. Déterminer une base orthonormée de P.
2. Déterminer la symétrie orthogonale de (0, −4, 1) par rapport au plan P.
Exercice 2 1. Écrire la matrice de la symétrie de R2 d'axe la droite d'équation ax + by = 0
dans la base canonique de R2 (On rappelle que la symétrie σ
Dd'axe D vaut 2πD− idoù πD
est la projection orthogonale sur D).
2. Quelle est la symétrie orthogonale du vecteur 7 5,
1 5
par rapport à la droite d'équation x − 2y = 0? Exercice 3 Soit Φ : R[X]2 → R[X] (P, Q) 7→ R∞ 0 e −tP (t)Q(t)dt
1. Montrer que Φ est un produit scalaire. 2. Déterminer inf(a,b)∈R2R
R+e
−t(t2− at − b)2dt.
Exercice 4 Soit E un espace euclidien de dimension n et soit u = (u1, . . . , un)un vecteur unitaire
de E. On note D la droite de E engendrée par u.
1. Montrer que la matrice de la projection orthogonale sur D esttuu.
2. En déduire la matrice de la symétrie orthogonale par rapport au plan P : x + 2y + 3z = 0 dans R3.
Exercice 5 Soit E = C0
([0, 1], R) muni de la norme k.k∞. On dé nit également l'application N1
sur E par :
N1(f ) =
Z 1
0
et|f (t)|dt. 1. Montrer que N1 est une norme sur E.
2. Soit (fn)n∈N la suite d'éléments de E dé nie par
fn(x) =
1 − nxsi 0 6 x 6 1/n 0sinon.
Étudier cette suite pour les normes k.k∞et N1. Que peut-on en conclure ?
Exercice 6 On munit R3 de sa structure euclidienne usuelle. Soit P le plan de R3 d'équation
2x − 2y + z = 0.
1. Déterminer une BON {u1, u2} de P et un vecteur normé {u3} de P⊥.
2. On pose v = (4, −1, −1). Déterminer le projeté orthogonal πP(v) de v sur P.
3. Donner la matrice de la projection πP dans la base B puis dans la base canonique de R3.
Exercice 7 Pour tout couple (x, y) ∈ R2, on note
N (x, y) = sup t∈R x + ty 1 + t + t2 .
Montrer que N dé nit une norme sur R2 et tracer la boule unité fermée
BN0 (0, 1) = {(x, y) ∈ R2/ N (x, y) 6 1}.