NOM: INTERROGATION N◦1 14/01/2020
Exercice 1.
Soit (fn) une suite de fonctions d´efinie sur un intervalle I.
1. Donner la d´efinition de la convergence normale de la s´erie P fn.
2. Donner la d´efinition de la convergence uniforme de la suite (fn).
3. ´Enoncer pr´ecis´ement le th´eor`eme d’int´egration terme `a terme. Exercice 2 (Exercice compliqu´e).
On note, lorsqu’elle existe, f (x) =
+∞ X n=0 (−1)ne−x √ n n + 1 .
D´eterminer Df, ´etudier la continuit´e sur Df et calculer lim x→+∞f (x).
Exercice 3 (Exercice simple). On note, lorsqu’elle existe, f (x) =
+∞
X
n=0
(−1)ne−x√n
1 + n . 1. Prouver que f est d´efinie sur R+.
2. P fn converge-t-elle normalement sur R+?
3. Calculer lim
x→+∞f (x).
4. Prouver que f est continue sur R+.
