Équation des Ondes en Acoustique : Accélération des Potentiels Retardés par la Méthode Multipôle Temporelle

Texte intégral

(1)Équation des Ondes en Acoustique : Accélération des Potentiels Retardés par la Méthode Multipôle Temporelle Guillaume Sylvand. To cite this version: Guillaume Sylvand. Équation des Ondes en Acoustique : Accélération des Potentiels Retardés par la Méthode Multipôle Temporelle. RR-5017, INRIA. 2003. �inria-00071567�. HAL Id: inria-00071567 https://hal.inria.fr/inria-00071567 Submitted on 23 May 2006. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2) INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE. Équation des Ondes en Acoustique : Accélération des Potentiels Retardés par la Méthode Multipôle Temporelle Guillaume SYLVAND. N° 5017 Novembre 2003. ISSN 0249-6399. ISRN INRIA/RR--5017--FR. THÈME 4. apport de recherche.

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(91) _aX*zcjXYmVzhincjUvW\X s IkV_ImdnzTn`fhzqilbVnXvz u (x,t) fhX*cÕ¦bVX ?. Ω. −. +. (P − ). s drkpcjX s ilWYdn_jkX\_akfqvzq_aX*bVz. −.  1 ∂ 2 u−   =0 dans Ω− × + , ∆u− − 2   2  c ∂t   − −    ∂u + 1 ∂u = − ∂uinc + 1 ∂uinc sur Γ × + , − ∂n cη ∂t ∂n cη ∂t (P )   dans Ω−  u− (x,0) = 0    −  ∂u   (x,0) = 0 dans Ω−  ∂t. ¨ kPkVinfqX Φ X*f p caXvpphdrbVfhp s XpTfqzdnw*XvpfhdnkVnXvklfh_jXvcjcaXvp s X u X

(92) f s X  + Φ(x) = u−  |Γ (x) − u|Γ (x)  + − ∂u ∂u (x) − (x)   p(x) = ∂n ∂n |Γ |Γ. ¨ kP_aklfhzqi s b_¼fcaXvpilmvzhdrfqX*bzhpTpqbV_jgdnklfpgn. p. ∂u/∂n. x ∈ Γ, x∈Γ.  Z 1 p(y,t − |x − y|/c)   dy, Sp(x,t) =    4π Γ |x − y|   Z   ∂ p(y,t − |x − y|/c) 1   dy,   Kp(x,t) = 4π ∂n |x − y| x Γ Z 1 ∂ Φ(y,t − |x − y|/c)  0  K Φ(x,t) = dy,   4π Γ ∂ny |x − y|    I   ∂ 2 Φ(y,t − |x − y|/c) 1   dy DΦ(x,t) =   4π Γ ∂nx ∂ny |x − y|. X*f Φ puilkfdncjilzhpTpqincabofq_ainkp s drkp. Γ×. +. `mVcabpX*xodlw3fhX*WYX*kfTn. }. 2 79. s X@n.  1 ∂Φ ∂uinc   =−  (Kp − DΦ) + 2cη ∂t ∂n cη ∂u ∂  inc  (Sp − K 0 Φ) + p = −  ∂t 2 ∂t. A. 2 9. â¥à$ÖIâäÒ.

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(96) f s X%pqt`W\*fqzh_apqX*zNcjX\putopufqUvW\Xl§C°ª ilλmv=zhdr−p/ik fq_aink s X =s _ac.p/(−iω) _epq_jilkKmdrz −iω s dnkp caX s inWdr_akVX%¤¥zq¦bVX*kfq_aX*c ¦lb_jgdrbVf¢Xvk:fhX*WYmilzqXvc{©bVkX%_akfq*lzhdrfq_ainkI§ °IXYwSdnkVnXvW\Xvkf s X\gdrzh_adnVcaX ¦bV_jgdncjXvklfpv w

(97) zh_¼f s ilkw n  Z   p(x,τ )dτ  P(x,t) = c 2@ 9 t. 0.  1 ∂P   p(x,t) = (x,t) c ∂t. ~ilW\WYX X*f Xp}fbVk_¼¤¥ilzqWY*WYXvklfk`bVcacaX,milbVzTfqilbof §]`_ s drkp2A 9 ilkPzqXvW\mcadlw

(98) X mp dnz P oX

(99) fp¦bVXc¡Φ ilkP(x,t) W%bVc¼fh_jmcj_aXcad\mVzhX*WY_aU*zhXv¦bdgfh_jilkmdrz −c ointk'≤inV0fq_aX*kfTn  ∂P 1 ∂Φ ∂uinc   − =c  cDΦ − K ∂t 2η ∂t ∂n ∂ P η ∂uinc ∂  t 0  (S − K Φ) + ∂t P = −  ∂t c 2 ∂t. µ g5Õº

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(104) °ÕdTmVzhX*WY_aU*zhX{v¦bdgfh_jilk. ∂ ∂t P(y,t − |x − y|/c) ∂Ψ (x,t)dxdydt ∂n 4π|x − y| ∂t x Γ×Γ Z Z 1 ~n(x).~n(y) ∂ 2 Φ |x − y| ∂Ψ −. ) (x,t) dxdydt (y,t − 2 c 4π|x − y| ∂t c ∂t Γ×Γ Z Z 1 ~ Γ Φ(y,t − |x − y| )rot ~ Γ ∂Ψ (x,t) dxdydt −c. rot 4π|x − y| c ∂t Z Z Γ×Γ ∂Φ 1 ∂Ψ − (x,t) (x,t) dxdt 2η Γ ∂t ∂t Z Z ∂uinc ∂Ψ c (x,t) (x,t) dxdt =. ∂n ∂t Γ. ¥Z. 2 X9. y$inbzcadpqXvw*ink s X¢v¦bdrfq_ainkIoilkPbofq_acj_epqX¢ced\¤¥inkw3fq_ainkfqXp}f q ink'inofh_jXvklfn 1 c. Ö)ÖÌoÝ3éØ$p. Z Z. 1 ∂2P (y,t − |x − y|/c)q(x,t)dxdydt 2 Γ×Γ 4π|x − y| ∂t Z Z ∂ ∂ Φ(y,t − |x − y|/c) −. q(x,t)dxdydt ∂t ∂ny 4π|x − y| Z Γ×Γ Z η + ∂t P(x,t)q(x,t) dxdt 2 Γ Z Z ∂uinc =. − (x,t)q(x,t) dxdt ∂t Γ. A. 2 9.

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(106) o· ¥µ · ` $ ¨ kKpqX s inkVkXmilbVzcedYzqpuilcjbofh_jilk s X,w

(107) X,mzqilVcjUvWYXbVkPmdnp s XfqXvW\mp X*fmilbVz n ≥ 0 ink'kVirfhX t = n∆t § ¨ kbVfq_acj_epuX,dncjilzhp bVkX s _aphw

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(109) fh_aphdgfh_jilkyXvkfhX*WYmpv§ °ÕXvp ¤¥inkw3fq_ainkp s XdnpqXvppqinkfkVinfq*Xp γ (t) 2 n ≥ 19X*fpuilklf s IkV_aXvppqbVzced InbVzhXYn§ hji hji hji hji Ti h. . . . . . . . n. ∆t. n. 1. 0 tn−1. ).

(110) . tn. 3#$ @ ! & (!. &. . ¨ k s IkV_jfX*kPinbofhzqX¢ced\¤¥inkw

(111) fq_aink. 2. χn (t) n ≥ 0. 9. t. tn+1. γn. s ilklfcaXnzdrmVSXNXp}fzhX*mVzhvpqX*kfh)IlbVzhXV§. 1. 0 tn−1. .

(112) . t. tn. 3#$ @ ! & (!. &. . χn. ¨ k=dYdrcainzpgn  1 ∂γn   = [χn − χn+1 ]  ∂t ∆t 2 ∂ γn 1   − 2δtn + δtn−1 = δt  ∂t2 ∆t n+1. `

(113) V¹ ¨ k pqXmVzhinmCilpqX s Xzqpuilb s zhXc¡ ¦lbdgfq_aink X*kFXpumdlw

(114) Xmdrz\bVkVX'W\*fqSVi s X hji hji Ti s vcjvW\Xvkfhp IkV_ap¢pqbVzu¤@dlw

(115) _e¦bVXvpv§°ÕdpubVzq¤@dnw*X Γ s X%cA inV|}X

(116) fXp}f¢WYdn_jcaca*X©c¡ dr_ s X s bVkVXfqzh_adnkVnbVcedgfh_jilk w*inWYmilzufdrkf vcjvWYX*kfhpfqzh_edrkVlbVcadn_jzhXvpX

(117) f puilWYW\X*fhpv§y)ilbVz'cad ¤¥inkw

(118) fq_aink 2@¦bV_ T zhX*mzqpuXvklfhXcjX%pqdnboNf s X,mzqXpqpq_jilk93ink=bofh_jca_apqX,bVkX s N_epqw*zq*fq_epqdrfq_aink=y,Xvk=Xvpqmdnw*Xn§C~Sdn¦Φ(x,t) bVX¤¥ilkw3fh_jilk s X%dlpuX dnXvw Xvpufdlpqpqiow

(119) _a*X\©bVk puilWYW\X*f S 2Aw3¤}§ IlbVzhX%rj93 X

(120) fX*cacjXYXp}f s !IkV_jX mdrTz n ϕ 1 ≤ i ≤ N pu_ X*fYpu_akVink ϕ (S ) = 1 i = j X } p f y , u p V b zwSdn¦bVXNfqzh_adnkVncaX ϕ ?_jkpq_¡ s drkpTbVk'fqzh_adnkVncaXn Xp}fcedYw

(121) iìnz s inkkV*X¢drzhtow

(122) Xvklfhzq_e¦bVX s X,²7pqbVzcaX,puilWYW\X*f j § ϕ (M ) . . . h. . . T. i. S. S. i. i. j. i. j. â¥à$ÖIâäÒ.

(123) .

(124)

(125) !" #$%!&')(* ,+-. /!0. O O. 0. 1. 1. 0 O. Sj. O. Tj 0. O. ÄÇíÁ}ï¾}Ì*¿AÛÕæCé .

(126) . ÊÇíÁ}ï¾}Ì*¿AÛÕæÕØ. T D&j( D&+ 8+m!& -+ (*)

(127) D

(128) #

(129) (* ,+-. /!0. . 2@¦bV_zhX*mVzhvpqX*kfhXcaX'phdrbof s X'cad s vzq_anvXkVilzqWdrcaX s XmzqXpqpq_jilk93$ink y$inbz\ced:¤¥inkw

(130) fq_aink Vb fq_acj_epuX¢bVkVX s _epqw*zq*fq_epqdrfqp(x,t) _aink P pubVzwSdl¦bVXfhzq_edrkVlcjXl§°ÕXvpª¤¥inkw

(131) fq_ainkp s X¢dlpuX¢puXvzqilklf kVirfh*Xp p dnXw §~XvpT¤¥ilkw3fh_jilkppqinkfw*inkpufhdnklfhXvpmdrzfhzq_edrkVlcjXlVgdrcedrkf,pqbVzcaXfqzh_edrkVlcjX T X

(132) fNpqbVz 1≤j≤N fhinbpTcaXvpdnbofqzhXvp 2Aw3¤}§

(133) InbVzhXnd9

(134) § ¨ k'kVirfhX,drcainzpgn hji hji Ti µ·

(135) o· ¥µ 0. j. T. . . j. . y$inbzTfqinbVfqX s drfqX.  X X  Φ(x,t) = am  j γm (t)ϕj (x)   1≤j≤NS m≥1 X X  P(x,t) = bm  j γm (t)pj (x)  . m≥1. oinkPkVinfqX. 1≤j≤NT m≥1. cjXpTnXvw

(136) fqXvbVzhppqincabofh_jilkpT©%ced s drfqX. X

(137) f. Am Bm   Am = am j m 1≤j≤NS m  B = bj 1≤j≤N. {k kIilkmzqXvk s milbVzT¤¥inkw

(138) fq_ainkfqXp}fcaXvp ¤¥ilkw3fh_jilkp Ψ X*f q s IkV_aXvpmdnzTn T. ; I.   ∂Ψ (x,t) = χ (t)ϕ (x) n i ∂t  q(x,t) = χ (t)p (x) n. Ö)ÖÌoÝ3éØ$p. i. tm. n.

(139) 8D&j. e µ · ! y{ced *inkp,kVinbp s drkpbk mzqXvW\_aX*zfhX*WYmp s drkpcaXw*dlp s bVk8ino|}X*f zh_jl_ s Xn§I¢drkp,w*Xw*dlp*caXvp fhX*zhWYXvpTi P X*f η _aklfhX*zh`_jXvkVkVX*kf s _epumdrzdr_epqpqX*kfv`X*fcjX,pqtop}fhU*WYXp* vw*zq_jfTΩn hji hji. .

(140) !. . . . .

(141). −. 1 c. Z Z. |x − y| ∂Ψ ~n(x).~n(y) ∂ 2 Φ (y,t − ) (x,t) dxdydt 2 c ∂t Γ×Γ 4π|x − y| ∂t Z Z 1 ~ Γ Φ(y,t − |x − y| )rot ~ Γ ∂Ψ (x,t) dxdydt rot −c. 4π|x − y| c ∂t Z ZΓ×Γ ∂Ψ ∂uinc (x,t) (x,t) dxdt =c. ∂t Γ ∂n. Xvldnz s ilkp Wdr_aklfhX*kdnkfTcaXvp s _¼« *zhX*kfqXpWdgfhzq_ew

(142) Xp_akfqXvzqlX*kdnklf s dnkpw

(143) Xpqtop}fhU*WYXcj_akVvdn_jzhXn§ hji hji i h ´

(144) o· ¥¹ `!$ µ º:lo X*drz s inkpªcaX¢fqX*zhWYX s XldrbwSVXn`X*k'kVilbp zqXp}fhzqXv_jlkdrkf © cedY¤¥ilkw3fh_jilk s X,dlpuX Φ(x,t) = ϕ (x)γ (t) X

(145) f©cad¤¥inkw

(146) fq_aink=fhXvpuf ∂Ψ/∂t(x,t) = ϕ (x)χ (t) § ¨ k ilofq_aX*kTf n . . . j. n. i. m. Z Z 1 |x − y| ∂ 2 γn ~n(x).~n(y) − ϕi (y)ϕj (x). (t − )χm (t) dt dxdy c Γ×Γ 4π|x − y| ∂t2 c Z Z |x − y| 1 ~ ~ rotΓ ϕi (y)rotΓ ϕj (x) γn (t − )χm (t) dt dxdy −c c Γ×Γ 4π|x − y|. ~ilW\mVfqXfqXvk`b s Xvp s IkV_jfq_ainkp s X. γn. X

(147) f. χm. Vced\mVzqXvWY_jUvzqX_aklfh*lzhdncjX¢X*kfqXvW\mp s X*`_aX*kfTn. |x − y| ∂ 2 γn (t − )χm (t) dt 2 ∂t c Z 1 |x − y| =. δt − 2δtn + δtn−1 (t − )χm (t)dt ∆t n+1 c |x − y| 1 |x − y| |x − y| χm (tn+1 + = ) − 2χm (tn + ) + χm (tn−1 + ) ∆t c c c |x − y| |x − y| |x − y| 1 − tm−n−2 ) − 2χ1 ( − tm−n−1 ) + χ1 ( − tm−n ) χ1 ( = ∆t c c c Z. °)dgdncjXvbVz s Xw

(148) X*fufhX_jkfqvnzdrcaX%kX s *mCX*k s ¦bVX s Xc¡ w*dnzufX*kfhzqXYcaXvp_ak s _ew

(149) Xvp X

(150) f s dnkpcad qp bV_jfqXTink\kVinfqX s inkw k = m−n §r°ÕXfhX*zhWYX χ (|x − y|/c−t ) dnbVzdÎ|}bpufqXmCinbz{X

(151) « X

(152) mf s XTzhnXvpufqzhX*_ak s zhX c¡ V_akfq*lzhdncjXpqbVz Γ × Γ dnboxgdrcaX*bVzp s X x X

(153) f y n*zh_Idrkf |x − y|/c ∈ [t ,t + ∆t] § °)d\pqXvw*ink s X¢_akfqvnzdrcaXNXvkfhX*WYmppv vw

(154) zh_jfTn 1. k. k. Z. |x − y| γn (t − )χm (t) dt = c. Z. ∆t 0. γ1 (t + tk −. k. |x − y| )dt c. â¥à$ÖIâäÒ.

(155)

(156)

(157) !" #$%!&')(* ,+-. /!0. $w

(158) X

(159) fqfqX_jkfqvnzdrcaXpuXvzhdKkVink k`bVcacjXmilbVz,fhinbofhXgdrcaX*bz s X X*f 2∆t oX

(160) fXvcjcaXdnb s zd n  pq_ t ∈ [−∆t,0] 2%InbVzhXZld 9 1  (t + ∆t)    2∆t   1 pu_ 2%IlbVzhX¢Zl9 ((t + ∆t) − 3t ) t ∈ [0,∆t] 2∆t    pq_ t ∈ [∆t,2∆t] 2:InbVzhXZl7w 9 1    (2∆t − t ). *fhdrkf\kVink k`bVcacjXX*kfqzhX 0 X*f w

(161) ilWYmVzq_epqXNXvklfhzqX. γ1 t0 = tk − |x − y|/c. 0. 2∆t −∆t 2. 0. 0. 02. 2. 0. 0. 0 2. 2∆t. 1. 1. 0 −∆t. t’. 0 t’+∆t. Ä. ∆t. 2∆t. −∆t. t’. Ê. −∆t ≤ t0 ≤ 0. ∆t t’+∆t. 2∆t. 0 ≤ t0 ≤ ∆t. 1. −∆t. Í

(162) . ∆t. t’. 2∆t t’+∆t. ∆t ≤ t0 ≤ 2∆t. CZ -&0 D# m γ !&# t ! t + ∆t ±$_akdrcaX*WYX*kf*inkilofq_aX*kfÕ¦bVX{caX{fqXvzqWYX s _jkfhX*zdnw3fh_jilkNXvkfqzhX{cjXp ¤¥inkw

(163) fq_ainkp X

(164) f kX s *mCX*k s ¦bVX s X (i,j) XvkXvpqmdlw

(165) XX*f s X k = m − n X*kfhX*WYmpv§ ¨ kkVinfqX Mϕ (x)γ ced,Wdg(t)fhzq_ew

(166) X s ϕX(x)χ fhdn_jcacjX n i o h f * X ` k V b n X § ;{k s *lX*cainmVmdnkfcjXpX*xomVzqXpqpq_ainkp,w*_¼ s XpqpqbpvÕinkFfqzhinbVlXcad:gdrcaX*bVz\pubV_agdrkfqX N ×N mCinbzcA *ca*WYX*kf (i,j) s Xcad\Wdgfhzq_ew

(167) X M n . . 1. 0. 0. j k. S. S. Ö)ÖÌoÝ3éØ$p. k. n. i. m (t).

(168) . 8D&j. Mijk. 1 c∆t ZZ −2. ZZ. = −. +. ZZ. +. ZZ. tk ≤ |x−y| ≤tk+1 c. ≤tk tk−1 ≤ |x−y| c. ~n(x).~n(y) ϕi (x)ϕj (y)dxdy 4π|x − y|. ~n(x).~n(y) ϕi (x)ϕj (y)dxdy 4π|x − y|. |x−y| tk−2 ≤ c ≤tk−1. ≤tk+1 tk ≤ |x−y| c. ~n(x).~n(y) ϕi (x)ϕj (y)dxdy 4π|x − y|. ~ i (x)rotϕ ~ j (y) c2 rotϕ |x − y| 2 (tk+1 − ) 4π|x − y| 2 c. ~ i (x)rotϕ ~ j (y) c2 rotϕ |x − y| 2 |x − y| 2 (2∆t2 − (tk − ) − (tk−1 − ) ) |x−y| 4π|x − y| 2 c c tk−1 ≤ c ≤tk ! ZZ ~ i (x)rotϕ ~ j (y) c2 |x − y| 2 rotϕ (tk−2 − ) + 4π|x − y| 2 c ≤tk−1 tk−2 ≤ |x−y| c. +. ZZ. ]`_ ÎcaXvp s inWdr_akVXvp s _akfqvnzdgfq_aink pqinkf`_ s XpX*f Xvpufk`bVcacjX@nw

(169) X*ced fqzd s bV_¼fcjX=¤@dn_¼f ¦ bVXPced5k¤¥in<kw

(170) fq0_ainko¡fqXp}f ϕ (x)χ (t) kI _jkfhX*zdrn_jfYmdnpdlXvwcjXp\M¤¥inkw

(171) fq_ainkp ϕ (x)γ (t) ¦lb_cjbV_Npuilklf mCilpufqvzq_aX*bzqX=Xvk fqXvW\mp 2 n > m9

(172) §~N XvpufbVkX:mVzhinmVzh_a

(173) fq=XpqpqX*kfh_jXvcjcaXKmCinbVz'milbVnil_jzzqpuilb s zhX=cjX pqtop}fhU*WYXnmVbV_eph¦lbÕ XvcjcaXNgd%mXvzqWYX*fufqzhX s bVfq_acj_epuXvzbkdrcanilzq_jfqSW\X s X¢zqpuilcjbofh_jilkmdlp©mdnp X*kfqXvW\mp*§ `¹nµ ! o °ÕXpuXw

(174) ink s WYX*W%VzhXpv vw

(175) zh_jfTn hji hji i k. i. . m. j. n. . . Lni. =c. Z. Z. ∂uinc (x,t).ϕi (x) dxdt ∂n. ¢ drkpw*X

(176) fqfqXY¤¥inzhWbcjXl XvpufbVk5k`bVWYvzqi s XpqinWYWYX

(177) f 2 9NX

(178) f Xvpuf,bVk5mdnp s X fhX*WYmpv§V]`_ u w

(179) ilzqzhXvpqmCink is ©bVkVX¢ink s X¢mVcedrkVXE#-#- & s XN1 ce≤d s i_jzh≤Xvw

(180) Nfq_aink ~r 2@X

(181) nfT≥kVink'1 puXNmVzhinmdnnXvdnkf s drkpcad s _jzhXvw

(182) fq_aink ~r93 drcainzp_ac$pv vw

(183) zh_jf u (x,t) = f (t − t + ~r.Ox/c) i s

(184) fqXvzqWY_akVXcedY¤¥ilzqWYX s bPpq_ankdnc 2@ldnbpqpq_aX*kIVpq_jk`bpqi s dncA §*§v§ 9 X*f t dr|}bpufqXcadYmSdnpqXX*kfq~X*WYmpv§ ¨ k=f dYdrcainzpgn tn−1 ≤t≤tn. Γ. S. inc.

(185). inc. 0. 0. y drzw*inkpqv¦bVXvkf. ~ ∂uinc ~ inc (x,t) = ~n.~r f 0 (t − t0 + ~r.Ox ) (x,t) = ~n.∇u ∂n c c Lni. Xp}fwvdrcew

(186) bVcamdrzn. Lni =. hji hjii. pv vw

(187) zh_jfTn. Iv·lo º. )

(188). . . . Z. Γ. ~n.~r [uinc (x,tn ) − uinc (x,tn−1 )] ϕi (x) dx. ÕlXvw{caXvpÕkVirfdgfh_jilkpIdr_akpq_ s IkV_aXvpvvcaXªpqtop}fhU*WYXÎca_jkVdr_azqX©zqpuilb s zhX X 2@ 9 M .A =L ?. k. n−k. n. k≥0. â¥à$ÖIâäÒ.

(189) l.

(190)

(191) !" #$%!&')(* ,+-. /!0 ? wSdn¦bVXmdnp s XfhX*WYmp ilkKw*dncaw*bVcjX%cjX%nXw3fqXvbVz ©mdrzqfq_az s b5puXw

(192) ink s WYX*WzqX X*f s XvpTlXvw

(193) fqX*bzhp A dnXw kn>>0 0ilofqXvkbpdrboxmdnp s XfhX*WYAmpmVzhvw* s Xvkfhpv§ A p* vw*zq_jfTn n. n−k. Ln. n. n. 0 −1. A = (M ). ". n. L −. X. k. M .A. n−k. #. ¨ k s _ep}fh_jknbVX¢fqzhin_epTmdnzufh_jXp s drkpw*X

(194) fqfqXv¦bdrfq_aink n °IXfhX*zhW\X L zhX*mVzhvpqX*kfhXNc¡ ilk s X_akw

(195) _ s X*kfhX 2¥inbfqilbofqX,dnbofqzhX s inkkV*X89 °IXfhX*zhW\X P M .A zhX*mVzhvpqX*kfhXNced\mVzq_epqX¢Xvk=w

(196) inWYmofhX s bPmdnphpu °IXfhX*zhW\X M .A zhX*mVzhvpqX*kfhXNcaXmVzhvpqX*kfvV©Yw*dncaw*bVcaX*z s ilkwr§ y{S`topq_a¦bVXvW\XvkfvCcadY¤¥ilzqWYX s X%w

(197) X*fufhXv¦bdrfq_aink=pv X*x`mcj_e¦bVXmdnzcaX,¤@dr_jf¢¦bVX%w

(198) X%¦bV_$puX%mdnphpqX,©cad s dgfqX¢k 2 % A 9Xvpufcad\w

(199) ilkpu¦bVX*kw*X s Xw*X¢¦bV_Ipv Xp}fTmdlpqpqN©\ced s drfqX n − k 23 % A 9 pubVzTcaXvp vcjvWYX*kfhp¢pu_jfqbvp¢©bVkVX s _apufhdnkw

(200) X k.c.∆t §²=dgfhSV*Wdgfh_a¦bVXvWYX*kfv w

(201) X%cj_aX*k s X%w*dnbphdrca_¼fhXvpuf¢w*inkfqXvk`b s drkpcaXvpWdrfqzh_aw*Xvp M T§ ;Îk X

(202) « X

(203) fv M zhX*mzqpuXvklfhXYcjXp_jkfqXvzhdlw3fh_jilkpX*kfqzhXcaXvpvcjvW\Xvkfhppq_¼fhbVvp,© bkVX s _ep}fdrkw*X ≈ k.c.∆t c¡ bVk s XcA drbVfqzhXn§ ¨ k'mXvbofX*k s s bV_azqX,¦bV@X n cjXp (M ) puilkfªw

(204) zhX*bpqXv`p 2Aw*dnzÎmilbVzÎbVkvcjvWYX*kf e s inkkVnrcaXvpª*ca*WYX*kfp e puXfhzqilbVgdrkfª©bVkVX s _ep}fdrkw*X k.c.∆t s X e kXw*inkpufq_jfqbX,¦lbÕ bVkXN¤@dn_jcjXmCinzqfq_aink s bPWdr_acjcedrl7X 9 Xvpuf¢mVzhXvph¦bVX s _adnnilkdrcaX 2Aw*drzXvcjcaXYkVX%mzqXvk s Xvk5w*inWYmofqXYcaXvp¢_aklfhX*zdnw

(205) fq_ainkp s XpNvcjvWYX*kfhp M ¦bI dlXvwNX*box` WY¬*WYXvpTX*f*nXvkfqbVXvcjcaX*WYX*kfcaX*bVzpTmVzhi`wSXvpTnil_apq_akp 9 ?ÕlXvw¢bVkPk`bVWY*zhirfdgfq_ainkPd s drmofh*XnocaXvp inkfbVk=dnpqmCXvw3fzhX*mVzhvpqX*kfh¢pqbVzcemd InbVzhXo§ (M ). k>0. n. k≥1 0 n. k. n−k. n. n−k. k. k. k. 1. 2. 1. 0. k. M0. M1. .

(206) . . M2. ' + ( !+ E.#- (*-+. .... Mn. Mk. `] _{ilk:kVinfqX° cjX s _edrWYU

(207) fhzqX s X\cA inV|}X

(208) f 2@wn§ ©§ s L = max 93ink w

(209) ilkp}fdgfhX\¦bVX (|x − y|) XvpufNk`bVcacjX s Uvp¢¦bVX > 2 + L/c.∆t §;Îk5X*«CX*fv ink:ddrcainzp t > L/c §Cy drzw

(210) ilkpqv¦bVX*kf_ac M kÕ X*x`_epufqXmdlp s Xw

(211) ilbVmVcaX k(x,y) fqXvc)¦bVX §VcaX s ilWdr_akVX s _akfqvnzdgfq_aink s XfhinbofhXvpcaXvp _akfqvnzdrcaXvpw*_¼ s XpqpqbpNXvpuf s ilkw`_ s Xn§ °I|xXp¢−_jkoy|/c ¤¥ilzqW≥drfq_atinkpNpuX s *mcad *drkf s drkpNc¡ Xpumdlw

(212) X\©cedw

(213) vcjvzq_jfq Cw*X\¦bV_ puX%mdnphpqX%pqbVz ©ced s dgfqX kI _ak

(214) AbX*kw*X*zdmVcabp¢cA dnXvkV_az s X%cA X

(215) xomC*zh_jXvkw

(216) X\drb s X*ce© s X%cad c s dgfqX (t + L/c) §~N Xp}fw

(217) ΓX¦bV_ X

(218) xomVca_a¦bVt Xcedk`bVcacj_jfq s XpTWYdrfqzh_aw*Xvp M milbVz pubphdrWYWYX*kfTnzdrk s § °ÕX,putopufqU*WYXca_jkVdr_azqXmCX*bof s inkwpv w

(219) zh_jzh@X n (x,y)∈Γ×Γ. k. k−2. k−2. k. X. 0≤k≤2+L/c∆t. Ö)ÖÌoÝ3éØ$p. M k .An−k = Ln.

(220) . 8D&j. °ÕXvpTmVzh_jkw

(221) _amdrcaXvp¦bdncj_jfqp s X,w

(222) X*fufqXWY_epuXXvk'¦bdgfh_jilk s bPmVzhincjUvW\XpqinkfTn °IXpWdgfqzh_ew

(223) XvpTpqinkfcjXpWY¬*WYXvp©YwSdl¦bVX

(224) fhdnmXl§ ;{cacjXppuilkfTXvkPkVinW%VzqX Ik_ noX*cacaXvppqinkfk`bVcjcaXvpTmCinbz inb k > 2 + L/c.∆t § k<0 ;{cacjXppuilkfw*zqXvbpqXvpgn c¡ XvkpqX*WcjX s Xp h z * X V m h z v q p * X k h f X * X k fhX*zhW\X s X=pufqiow gdrlXc¡ ¦bV_jgdncjXvklf s X*k``_jzhink'ZYWYdrfqzh_aw*XvpTmVcaX*_akVXp s XWY¬*WYMX s _aW\Xvkpq_jilkI§ °Õd%WY¬*WYXNWdrfqzh_aw*mX 2 M 9ªXvpufT_ak`nXvzhpq*X©\wSdl¦lbX

(225) fdrmCXn§oNX¢mcjbpv`X*cacjX¢Xvpuf ¤@dnw

(226) _acaX*WYX*kfT_jk`nXvzu pu_aVca@X n`dnXvwTbkpuilcjlX*bVz_¼fh*zdgfh_¼¤Iw

(227) ilWYW\X ²= ilb ²=` ;ª] `ced,w

(228) ilk`nX*zhnXvkw

(229) XXp}fªfqzhUvpzhdnmV_ s X 2@¦bVXvca¦bVXp s _a®vdr_akVXp s _jfqvzhdrfq_ainkp mCinbVzNw

(230) ink`lX*zhnX*z © 9

(231) § 10 °IX,phwSV*Wd%Xvpuf_jkw

(232) ink s _¼fh_jilkVkVXvcjcaX*WYX*kfpufhdnVcjX

(233) ' )

(234) Vº hji hji XvnXvkVinkpTdnb'wvdnp nvkV*zdrc s bVkPino|}X*fkVink'zq_an_ s X¢zqvn_jf mdrzcaXpqtop}fhU*WYXZr}o§`°Õd%¤¥inzhWYXWYdrfqzh_¼ w*_jXvcjcaXp* vw*zq_jTf n. k. 0. −8. . .  X  M k .An−k + N k .B n−k = Ln    k≥0 X ˜ k .An−k + N ˜ k .B n−k = L ñ  M   . ¦bV_ImCX*bVf*ldncjXvWYX*kfp* vw*zq_azqX[n. k≥0. X Mk ˜k M. A

(235) § K@L. n−k n L A = ñ . B n−k L. ~X\putopufqU*WYX%cj_akVvdn_jzhX s _epqmipuX s XvpNWY¬*WYXvpNmVzhinmVzh_j*fqpX

(236) fpuXzqpuilbof s X%cadWY¬*WYXWdrk_jUvzqX¦bVX k≥0. 2 9. Nk ˜k N. cT\

(237) "SGcdP:W

(238)

(239) "S$U WHYU5N[Z"V. inbp)mVzhvpqX*kfqilkp s drkp$w

(240) X*fufqX puXw3fh_jilk,bVkX*xoX*WYmVcaX s drmVmcj_ew*drfq_aink s X cedWY

(241) fhSVi s X s Xvp)minfqX*kfh_jXvcap zhX

(242) fdrz s vpv§ ¨ kFpv _akfqvzqXpqpqX©=c¡ dlw3fq_aink s bVkXink s XmVcednw*Xdnw*inbpufq_e¦bVXpubzbVkFilo|}X

(243) f%zq_an_ s XdnmVmXvcj ~X*fhdr¤X

(244) fYzqXvmVzqpuXvkfqpqbVz%cedInbVzhXV§ °IX=~X

(245) fdg¤XvpufYbVk w*dlp s Xw*dncaw*bVc zqvmVbofq s _ w*_jcaXmCinbz%caXvp wvdrcew

(246) bVcep s X s _j«Czdnw

(247) fq_ainkI§ Àcd=bVkX¤¥inzhWYXfqzdrmC*®vi s drcaXX

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(298) X

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(357) X,¦bV_)mVzhvpqX*zhnX0,25 cad s bVzqvX s Xpq_jW%bVcedgfq_ainkPXvk pqXvw*ink s Xv*p 93§V°IX c∆t 2@¦bV_IXp}fced s _apufhdnkw

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(388) fq_aink s X mCin_akfhp s X\ced'pqbVzq¤@dnw*X Γ Mpq*mdnzqpmdnzbVkVX s _ep}fdrkw*XYw*inWYmVzh_apqX\X*kMfqzhX (k − 2)c∆t X

(389) f (k + 1)c∆t93§ °ÕXvp L pqinkfcaXvp s inkVk*Xvp_jkw*_ s X*kfqXp2¥ilk s XpmVcedrkVXpinb=pqmVSV*zh_e¦lbXvpvVnvkV*zdgfhX*bVzp*§v§*§*9©Ycad s dgfqX § ;Î

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(392) X s b mdlpqpq> 2@¦bV_Xp}fpqinbp}fhzhdn_¼fhX s X L 9 n L ← L − P M .A s dnkpw

(393) X*fufhX,puilW\WY8X 9 2¥kVinfqXvz¦bI ilkkX¢mzqXvk s mdnp k=0 °ÕdYpqincabofq_aink A ©\cad s drfqX t oXvk'zhvpqincagdrkf M .A = L § ¢drkpPw*X

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(395) ilkpq_ s vzhdnkfcA _a

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(398) ilkpq_ s vzhdnkf c¡ _j

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(402) bVcaXpqink=dnw

(403) fq_ainkKpqbVzcedpufqzhbw3fhbVzhX,drbox s dgfhXvpN©nXvkV_jz )§*§v§* §¢drkpNw

(404) X*fufqX%drmVmVzhiowSVXncjXp s inkkV*Xp_akw

(405) _ s X*kfhXvp pqinkfmzq* wvdrcew

(406) bVca*Xp t mCinbzTfqtinbpTcjXpmdntp s XNfhX*WYmpv0§ ;{kpqbV_jfqXl©YwSdn¦bVX¢mdlp s XfqXvW\mp t VinkPw*dncaLw*bVca@X n °ÕdYpqincabofq_aink A X*k'zqpuilcjgdrkf M .A = L § 0≤k≤kmax. k. k. n. j. n. j. k. n. n. n. n. n−k. 0. n. n. n. n. 0<k≤kmax. n. n. n. n. n+1. n+2. Ö)ÖÌoÝ3éØ$p. n. n+kmax. n. n. 0. n. n. k. n−k.

(407) . 8D&j. °Î dnw

(408) fq_aink s X A pubzcjX¤¥bofhbVzTnmilbVzTfqilbof k > 0 L ← L − M .A § ~N Xvpufw

(409) X*fufqX s X*boxo_aU*WYX

(410) fdrmCX,¦lbXcad\WY

(411) fhSVi s X,Wbc¼fh_jmC£ncaXfqXvW\mCinzhX*cacaXpqXmVzhinmCilpqX s dlw*w**ca*zhX*z§ ¨ kpqX s ilkVkVX s inkwbVkVX¤¥ilkw3fh_jilk Φ(x,t) 2 s IkV_aXmdnzÎcad s inkkV*X s X A 93X

(412) fmCinbzÎfqilbofqX¤¥inkw

(413) fq_ainko fhXvpuf ∂Ψ/∂t(x,t) = ϕ (x)χ (t) mip}fh*zh_jXvbVzqX¢X*k'fhX*WYmp 2 m > n9 ilk'wSX*zwSVX¢©Ywvdrcew

(414) bVcaX*zn. n. n+k. n+k. k. n. n. i. −. 1 c. Z. t∈. m. |x − y| ~n(x).~n(y) ∂ 2 Φ (y,t − )ϕi (x)χm (t) dxdydt 2 4π|x − y| ∂t c Γ×Γ Z Z 1 ~ Γ Φ(y,t − |x − y| )rot ~ Γ ϕi (x)χm (t) dxdydt −c rot. c Γ×Γ 4π|x − y| t∈. Z. 2 9. ¨ k%mXvbof$zdrmmVzqiowSVXvzÕw

(415) X*fufhXWY_epuXX*k¦bdgfh_jilk s X w*X*cacjXª¤@defqXTdnXw{cadWY

(416) fqSi s XW%bVc¼fh_jmC£ncaX zhdnmV_ s X ¤¥zhv¦bVXvkfq_aX*cacjX¦bV_VmCX*zhWYX

(417) f s Xzhvdrca_epuXvz s X WdnkV_jUvzqXTw

(418) inkinWY_a¦bVX s Xp mVzhi s bV_¼fp Wdgfqzh_ew

(419) X

(420) nXw3fhX*bVz§ ¨ k pqX s inkVkVX\drcainzpbVk5nXw3fqXvbVz (t ) zhX*mVzhvpqX*kfdrkfced¤¥inkw3fq_aink ~t(x) = P t .~ϕ (x) X