Les commerçants dans Au bonheur des dames.

(1)

(2)

LES COMMERCANTS DANS "AU BONHEUR DES DAMES"

Abstract

Au Bonheur des Dames ne constitue pas l'oeuvre la plus remarquable de Zola sur le plan littéraire. Toutefois elle .'3. le mérite d'être l'une des meilleures illustrations de sa méthode. Nous y retrouve-rons les éléments du processus propre à la recherche scientifique codifiés par Claude Bernard : observation et expérimentation. Le Bonheur des Dames décrit par Zola est le résultat de l'observa-tion attentive du foncl'observa-tionnement du Bon Marché et du Printemps à

la fin du XIXe siècle.

De plus, l'influence de Balzac s'y fait sentir sur le plan de la création des personnages et de l'organisation de l'intrigue.

Par ailleurs, Zola a réalisé que les commerçants, grands et petits, constituent un groupe social homogène à l'intérieur duquel on

découvre les mêmes mécanismes d'analyse du réel, les mêmes préoccu-patiolls et les mêmes aspirations.

(3)

by

André MARCOUX

A thesis submitted ta

the Faculty of Graduate Studies and Research McGill University

in partial fulfilment of the requirements for the degree of

Master of Arts.

Department of French Language and Literature

CS)

André Harcoux

1973

(4)

CHAPITRE PREMIER

1. LA METHODE DE ZOLA... p. 5

II. BALZAC ET ZOLA •. CI • • • • • • • • • • • • • • • • • •• ' • • • • • • • • • • • • • • p. 14

CHAPITRE II

1. CATALOGUE DES COMMERCANTS ••••••••••••••••••••••••• p. 27 II. LE BONHEUR DES DAMES ET LA REALITE

DES GRANDS MAGAS INS. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• p. 31 III. LES PERSONNAGES DE ZOLA ET LEURS MODELES •••••••••• p. 46

CHAPITRE III

1. PSYCHOLOGIE DU COMMERCANT ••••••••••••••••••••••••• p. 53 II. UN GROUPE SOCIAL, CELUI DES COMMERCANTS ••••••••••• p. 63

CON CL US ION. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• p. 74 BIBLIOGRAPHIE. • . . . • . . . • . . • • . . . • • . • . • • • . • . . • . . . . • . . . . • • • . • . • . . • •. p. 84

(5)

Emile Zola a toujours été un auteur controversé ; dénué de talent selon les uns, créateur d'une nouvelle forme d'épopée selon les autres, victime de myopie intellectuelle ou précurseur de génie, il n'en reste pas moins, ne serait-ce que par les discussions qu'il suscite~ que Zola a laissé sa marque dans notre littérature.

Athée, scientiste, ayant vécu dans la pauvreté durant des années, ne répugnant pas à montrer les aspects misérables de la vie, Zola devait être le premier romancier à ressentir la fata-lité moderne sous la forme du déterminisme éco-nomique. Dans son livre, la société anonyme est toute proche, le grand magasin de. nouveautés se dresse dans la féerie de ses lumières, cependant qu'autour de lui, dans les petites boutiques noires et désertes, des commerçants se désespè-rent. Le principal personnage du livre, c'est le magasin, que dirige le Méridional Mouret. (1)

Voilà ce qu'écrivait Marc Bernard du onzième roman des Rougon-Macquart, Au Bonheur des Dames. A l'époque où il entreprend la rédaction de cette oeuvre, Emile Zola a déjà lu Fourier, Guesde, Proudhon, Marx. Il en a été profondément marqué et c'est avec franchise mais aussi avec une très grande na~veté qu'il imaginera une société idéale. On retrouve dans la plupart de ses romans des éléments constitutifs du système socio-économique dont il rêve. A ce titre, Au Bonheur des Dames est très révéla-teur, ne serait-ce que par les idées que l'on y retrouve sur les phalans-tères si chers à Fourier.

Par ailleurs, acclamé par les uns et décrié par les autres, Zola a voulu avant tout faire une oeuvre de vérité. Dans une lettre qu'il

(1) - Marc Bernard, Zola par lui-même, Coll. Ecrivains de toujours. Le Seuil, Paris, 1952, p. 92.

(6)

au Figaro, l'auteur de L'Assommoir disait: "Mon oeuvre n'est pas une oeuvre de parti et de propagande; elle est une oeuvre de vérité" (1).

Il existe nombre d'ouvrages traitant de l'histoire et de l'orga-nisation des grands magasins, et il s'avère relativement facile de vérifier si Zola a respecté, au moment où il écrivait Au Bonheur des Dames, cette vérité dont il se réclamait en 1876.

Au moment d'entreprendre son roman sur le grand magasin, Zola écrit: "En somme, je voudrais bien me contenter d'une intrigue très

simple: d'un côté le côté financier et commercial, la création du monstre, donné par la rivalité des deux magasins et par le triomphe du grand écra-sant le quartier; et de l'autre le côté passion" (2).

L'essentiel de notre travail portera sur la première facette de cette oeuvre: le "monstre".

En effet. compte tenu de la volonté de Zola de faire une oeuvre de vérité, l'étude comparative de l'univers commerçant tel qU'il nous le montre et tel que nous le découvrons dans les ouvrages qui traitent du même sujet, nous est apparue comme une voie intéressante qui, d'une part, nous permettrait de vérifier le degré de fidélité de Zola aux théories naturalistes et d'autre part, d'apporter un éclairage additionnel à la description qu'il nous livre de cet univers. Enfin, un autre aspect d'intérêt de ce problème consiste à réunir en un ensem-ble cohérent les données, éparses dans le roman, sur le grand et le petit commerce.

(1) Cit. in Henri Guillemin, Présentation des Rougon-Macquart, NRF, Gallimard, Paris, 1964, p. 135.

(2) Emile Zola, La Fortune des Rougon, T. III, Bibliothèque de la Pléiade, NRF, Gallimard, Paris, 1964, p. 1682.

(7)

On sait quel rôle joue le milieu, dans notre roman naturaliste, c'est le milieu qui détermine le person-nage, la nature qui complète et explique l'homme; aussi nos descriptions n'ont plus un rôle purement pittoresque, elles sont là pour donner le drame entier, les personnages avec l'entourage qui agit sur eux. (1)

L'importance même que lui accordait Zola, justifie à elle seule l'étude du milieu commercial sur les plans social, économique et psycho-logique.

Un rapide survol de la méthode romanesque de Zola nous amènera à examiner les sources d'après lesquelles il a édifié Au Bonheur des Dames, en particulier deux romans de Balzac : César Birotteau et La Maison du Chat-qui-pelote. Ces deux oeuvres, de même que quelques ouvrages traitant de l'avènement des grands magasins, constitueront les deux éléments

majeurs nous permettant de dresser un parallèle avec le roman de Zola. Quelle était la méthode de Zola ? Voilà la première question à laquelle il faut répondre si l'on veut être en mesure d'étudier l'appli-cation qu'il en a faite dans l'élaboration de Au Bonheur des Dames. Autre élément capital : où Zola a-t-il puisé les informations dont il avait besoin et comment les a-t-il employées ?

La réponse à ces deux questions nous permettra d'aborder alors l'étude comparative du grand magasin de Zola et de ses modèles. Quels sont les commerçants que Zola met en scène dans son roman, jusqu'à quel point le Bonheur des Dames col1e-t-il à la réalité, comment les personnages de Zola sont-ils le reflet du commerce réel ?

Puis nous aborderons la psychologie du commerçant. Comment

perçoit-il son univers, ses employés, la clientèle? Enfin, la connaissance

(1) - Cit. in J.H. Matthews, Les deux Zola, Librairie E. Droz, Genève Librairie Minard, Paris; 1957. p. 43.

(8)

liorations apportées peu à peu à son sort, nous amènera à le considérer comme faisant partie d'un véritable groupe social: celui du grand commerce.

Enfin nous verrons comment, à travers ses personnages, Zola a porté un jugement de valeur sur cet univers, Octave Mouret et Denise les deux principaux personnages étant des illustrations de ce jugement.

(9)

CHAPITRE PREMIER

l. LA METHODE DE ZOLA

L'oeuvre de Zola a été fortement marquée par les grands courants philosophiques et sociologiques de son temps et en particulier par le posi-tivisme dont le père, Auguste Comte. sera la vivante illustration des espoirs et des chimères d'une époque. Zola puisera la presque totalité des règles de sa théorie romanesque dans l'oeuvre de l'un des disciples de Comte : Claude Bernard. Voilà pourquoi il est nécessaire de rappeler briè-vement les grandes lignes du Discours sur l'esprit positif d'une part, et de l'Introduction à l'étude de la médecine expérimentale d'autre part.

Réalisme 9 naturalisme, positivisme, ces mots n'ont pas seulement

leur terminaison en commun. Un homme a su dans un traité philosophique, exprimer les grandes lignes de cet esprit nouveau. Le Discours sur l'esprit positif d'Auguste Comte présente un intérêt immense dans l'étude de l'oeuvre de Zola, parce qu'au delà de la méthodologie que propose Claude Bernard, ce traité. invoque des motivations plus élevées que la stricte technique. Le terme positif chez Comte a une signification bien précise : :U

désigne le réel, par opposition au chimérique ••• le contraste de l'utile à l'oiseux ••• l'opposition entre la certitude et l'indécision ••• la tendance constante du véritable esprit philosophique à obtenir partout le degré de précision compatible avec la nature des phéno-mènes et conforme à l'exigence de nos vrais besoins ••• le contraire du négatif. (1)

Plus loin, Comte ajoutera: "Le seul car:actère essentiel du nouvel esprit

(1) - Auguste Comte, Discours sur l'esprit positif, Le Monde en 10-18,

(10)

tif, consiste dans sa tendance à substituer partout le relatif à l'abso-lu" (1). Nous pouvons rapprocher cette signification nouvelle du terme positif et l'importance que Zola accorde au milieu social dans sa concep-tion de l'hérédité. En effet il avait compris, tout comme Comte, la rela-tivité des sciences. En dépit de l'influence négative de l'hérédité, un personnage comme Silvère, placé dans un milieu favorable, pourra surmonter ce déterminisme et s'épanouir dans ce qu'il possède de meilleur. Ainsi chez Zola, nous constatons la relativité de l'influence de l'hérédité par rapport au milieu ambiant.

Mais le premier but de ce nouvel esprit que constitue le posi-tivisme "consiste surtout à voir pour prévoir, à étudier ce cgti est afin d'en conclure ce qui sera" (2). N'est-ce pas la même fin que poursuit Zola lorsqu'il écrit Les Rougon-Macquart, n'était-ce pas son but ultime lorsque, déjà, il rédigeait Le Roman expérimental. Après avoir insisté dans cette dernière oeuvre sur les qualités d'observateur et d'expéri-mentateur que doit posséder le romancier, il affirme: Au bout, il y a la connaissance de 1 ihomme , la connaissance scientifique, dans son action individuelle et sociale" (3). Lorsque l'on sait l'enthousiasme et la violence que pouvait manifester Zola lorsqu'il s'engageait, on ne peut

conclure que Zola cherchait la connaissance de l'homme pour elle-même. Il cherche à connaître l'homme dans ses rapports avec la société pour que celui-ci puisse agir de la façon la plus conforme à son accomplisse-ment personnel et collectif.

Cl) - Ibid., p. 75. (2) Ibid •• p. 47.

(3) Emile Zola, Pages choisies, Classiques illustrés Vau?ourdolle, Librairie Hachette, Paris, 1961, p. 12.

(11)

'.

'-Par ailleurs Comte affirmait : "La pure imagination perd alors irrévocablement son antique suprématie mentale. et se subordonne néces-sairement à l'observation" (1). De la même façon, l'oeuvre de Zola n'est pas d'abord une oeuvre d'imagination. mais le résultat d'une longue et abondante documentation : "en fonctionnaire de la littérature, il rassem-blera ses matériaux ; en artiste, il fera passer en eux le souffle de la vie" (2). Zola sera très explicite sur la place de l'observation et de la stricte vérité dans Le Roman expérimental

Eh bien ! en revenant au roman, nous voyons également que le romancier est fait d'un observateur et d'un expérimen-tateur. L'observateur. chez lui. donne des faits tels qU'il les a observés, pose le point de départ, établit le terrain solide sur lequel vont marcher les personnages et se développer les phénomènes. Puis l'expérimentateur parait et institue l'expérience, je veux dire fait mouvoir les personnages dans une histoire particulière, pour y montrer que la succession des faits y sera telle que l'exige le déterminisme des phénomènes mis à l'étude. (3)

Comme nous le verrons plus loin, cette théorie du roman expéri-mental n'est qu'une transposition fidèle de l'Introduction à la médecine expérimentale de Claude Bernard. Toutefois Zola n'est pas qu'un observa-teur, il est aussi un créateur qui a su rassembler en une fresque épique le bleu du ciel et la boue du ruisseau.

Enfin, Zola doit à Auguste Comte cette constatation que l'homme se développe en société: "l'homme ne se développe point isolément, mais collectivement" (4). En effet, Zola lui-même décla.rera dans la préface de La Fortune des Rougon: "Cette oeuvre, qui formera plusieurs épisodes, est donc, dans ma pensée, l'histoire naturelle et sociale d'une famille sous

(1) Auguste Comte, Discours sur l'esprit positif, p. 43. (2) Narc Bernard, Zola par lui-même. p. 100.

(3) Emile Zola, Pages choisies, p. Il.

(12)

vue qu'adopta Zola, la famille est une institution: "famille individuelle et groupes doivent être admis comme la forme universelle et vraiment primi-tive d'organisation sociale" (2). Mais dès le moment où l'on admet que la famille est une organisation sociale et donc qu'elle obéit à des lois so-ciologiques, on la pose en tant qu'institution, c'est-à-dire connne "un ensemble d'actes ou d'idées tout institué que les individus trouvent devant eux et qui s'impose plus ou moins à eux" (3). Nous voyons donc que Zola s'est donné pour sujet de recherche une entité sociale qui obéit à des lois, et qu'il devra respecter ces lois s'il veut vraiment créer une oeuvre naturaliste. Nous disons "créer!' parce qu'entre la description scientifique d'une famille sous le Second Empire telle qu'aurait pu la faire un sociologue, et l'oeuvre de Zola. il y a la vie.

Marc Bernard indique dans son livre que l' "Introduction à la médecine expérimentale sera la révélation qu'il attendait" (4). D'ailleurs Zola lui-même affirmait à propos du livre de Claude Bernard:

Je n'aurai à faire ici qu'un travail d'adaptation, car la méthode expérimentale a été établie avec une force et une clarté merveilleuse par Claude Bernard, dans son Introduction

à l'étude de la médecine expérimentale. Ce livre, d'un savant dont l'autorité est décisive, va me servir de base solide. Je trouverailà toute la question traitée, et je me bornerai, comme arguments irréfutables, à donner les citations qui me seront nécessaires. Ce ne sera donc qu'une compilation de textes; car je compte sur tous les points, me retrancher derrière Claude Bernard. Le plus souvent, il me suffira de remplacer le mot médecine par le mot romancier, pour rendre ma pensée claire et lui apporter la rigueur d'une vérité scientifique. (5)

(1) Emile Zola, La Fortune des Rougon, T. l, Bibliothèque de la Pléiade, NRF, Gallimard, Paris, 1960. p. 4.

(2) A. Cuvillier, Manuel de Sociologie, T. II, PUF, 1962. p. 571.

(3) P. Fauconnet et Mauss M., Article Sociologie in Grande Encyclopédie,

T. XXX, pp. 165-176.

(4) Marc Bernard, Zola par lui-même, p. 35. (5) Ibid., p. 177.

(13)

Même si Claude Bernard s'est ouvertement montré en désaccord avec l'emploi que Zola fit de son oeuvre, il est indispensable de s'arrêter quelques instants sur celle-ci. ne serait-ce que pour retracer l'itinéraire de Zola.

Tout d'abord, Claude Bernard établit que "La médecine expérimen-tale doit comprendre trois parties fondamenexpérimen-tales : la physiologie, la patho-logie et la thérapeutique" (1). Si l'oeuvre de Claude Bernard a eu sur Zola une influence aussi grande que celui-ci l'affirme, il n'est pas possible que cette classification de la médecine expérimentale en trois parties ne corresponde pas à sa conception du rôle du romancier. La physiologie serait alors le pendant de la représentation que se fait Zola d'une vie basée sur de solides principes moraux. A ce su;et, Marc Bernard écrit : "Ce qui contribue à lui donner tant d'assurance, c'est la certitude qu'il a d'être lui-même un homme vertueux; et c'est vrai: il est sobre, chaste, véri-dique, fidèle à ses amis" (2).

La seconde partie, la pathologie, constituerait elle-même

l'oeuvre romanesque de l'auteur de Germinal: la connaissance des maladies qui rongent la société et des causes qui les déterminent. Ces maladies sont la cupidité, l'orgueil, la luxure, la fourberie. Elles seront étalées, exposées à la lumière des réflecteurs sous le bistouri adroit de Zola. Mais il ne décrit pas seulement les états pathologiques ; son cycle des Rougon-Macquart constitue une expérience grâce à laquelle il espère pou-voir découvrir les causes des maladies diagnostiquées.

Quant à la troisième partie de la médecine expérimentale, la prophylactie et la thérapeutique, Anatole France déclare

Dans ses romans, qui sont des études sociales, il pour-suivit d'une haine vigoureuse une société oisive, frivole,

(1) Claude Bernard, Introduction à l'étude de la médecine expérimentale, T. l, classiques Larousse, Librairie Larousse. Paris, 1963, p. 14. (2) Marc Bernard, Zola par lui-même, p. 82.

(14)

now, sincc ~k+1 = 0 or 1, the inequa1ity sign in (1.5) remains

unchanged when we mu1tip1y each side by (1-~k+1)'

k+1 k+1 i.e. , JI (1-~.) i=l 1. s 1-

l

~.+

l

~.tjJ.+ . •• +(-l)Y

l

i=l 1. lsi<jsk+1 1. J lSŒ 1<Œ2 ..• <ŒySk+1 since y is even: k+1 k+l JI (l-tjJ.) i=1 1. S 1-

l

tjJ.+

l

tjJ.~.+ •• • +(-I)Y

l

tjJ ~ ••• ~

i=1 1. ISi<jsk+1 1. J ISŒ

1<Œ2 ... <ŒySk+l al Œ2 ay

Thus by the principle of induction, (1.3) ho1ds for aIl n.

y odd: y+l Again: JI (l-~.) = i=l 1. y+1 1-

l

~. + i=1 1. tjJ. tjJ. + ••• + 1. J

since y is odd and tjJ. = 0 or l, we have:

1. y+l JI (l-tjJ.) i=1 1. y+1 ~ 1-

l

i=1 + (-I)y

l

~. + 1. 1~al<a2<···<ay~y+l ~.~. + .•• + 1. J

thus (1.4) holds for (y+l) sets. Let us suppose that it ho1ds for

(15)

(k+ 1) sets.

k k

(1. 6) Le., II (1-1jJ.)~1- 11jJ·+

l

1jJ.1jJ.+ ••. +(-l)Y

l

1jJ 1jJ ... 1jJ

. 1 1 . 1 1 1 . . k 1 J 1< _{<k al a 2} _ay

1= 1= ~1<J~ _{_al< •..}

<ay-again, since 1jJk+l = 0 or 1, the inequality sign in (1.6) remains

unchanged when we multiply each side by (l-1jJk+l)'

i.e., k+l n i=l since y is odd: k+l k+l k+l ~ 1-

l

i=l 1jJ.+

l

1jJ.1jJ. 1 1<' '<k 1 1 J _-1<J- ₊ + ••• + II (1-1jJ.) ~

i=l 1 1- 11jJ·+ i=l 1 l~i<j~k+l

l

1jJ.1jJ.+ ••• +(-l)Y 1 J 1~al<a2< ..•

l

<ay~k+l 1jJ al a 2 1jJ ••. 1jJ ay

and by the principle of induction, (1,4) holds for aIl n. From (1.3)

and (1.4), we get: n (1.7) 1- II (1-1jJ.) ~ i=l 1 and n (1. 8) I- II (1-1jJ.) ~ i=l 1 ~ _L _{1jJ.+ ... +(-1)}y-l '\ _L _1jJ _1jJ _... t}J . 1 1 1 _{< al a 2} _{a y} 1= ~al<a2" • <ay-n for y odd. Taking expectations in (1.7) and (1.8), we gct:

p(

~

A.)

~

i=l 1 n '\ y-l '\ L P.+ ... +(-1) L P . 1 1 1 al" .a 1= ~al < ••• <ay~n y for y even.

(16)

and

p(

~

A.)

~

i=l 1 n

l

P.+ ... +(_l)y-l

l

P i=l 1 l:5Ct

l< ••• <Ct _Y::;n al" . _{for y odd.}Ct Y

Noting that when y is even (odd), (y-l) is odd (even) yields (1.1)

and (1.2). Q.E.D.

In the particular case y

=

2, the Bonferroni bounds are:

n

l

P.-

l

P .. ::; i=l 1 l::;i<j::;n 1J

p(

~

A.) ::;

i=l 1 n

l

P . • i=l 1

(17)

1. 1 .2 CHUNG, ERDOS and WHITTLE LOl~ER BOUND

LEMMA 1.2: (Chung and Erdos [1] and Whittle [12]).

If

p(

~

A.) > 0,

p[~

A.)

~

BB

2

2C • where B =

Î

P, and C =

l

p'J"

i=l 1 i=l 1 + i=l 1 l:$;i<j:$;n 1

PROOF: Consider the inequality:

n 2 n

(a

L

~.(w)) - 2a

L

~.(w) + max ~.(w) ~ O.

i=l 1 i=l 1 l:$;i:$;n 1

Le. ,

2 n 2 2 n

(1.9) a

L

~.(w) + 2a

L

~.(w)~.(w) - 2a

r

~.(w) + max~, (w) ~ O.

i=l 1 l~i<j:$;n 1 J i=l 1 l:$;i~n 1

which holds for aIl W E Q.

Taking expectation in (1.9) yields:

a 2

I

P. + 2a 2

L

P .. - 2a

Î

P. + P (

~

A.)

~

O.

i=l 1 l~i<j:$;n 1J i=l 1 i=l 1

(1.10) Le. ,

p(

~

A.)

~

i=l 1

2

2aB - a (B + 2C)

As the RHS is a lower bound. we wish to maximize it with respect to u. We find: _{a = B+2C .}B

Rep1acing this value of a in (1.10). wc get:

p(

~

A.)

i=l l B2 > - - . - B+2C Q.E.IJ.

l'le note that for n = 2, this bound is exact only if Pl = P2 = Pl2' since we would require:

(18)

i

.c.,

2e

=

B for C =1= 0

(19)

1.1.3 JCOUNIAS 1 BOUNDS

Ler.I.!\ 1.3: (Kounias [6]).

max{

r

P--

l

P- -}

s;

r{

~ A.)

s; min{

Î

P.- max

Î

Pk' 1}

J iEJ 1 i<j IJ i=1 1 i=l 1 1s;ks;n i=l l ,

i,jEJ i*k

where J is any subset of the set {1.2 •.•• ,n}.

PROCF: Let J be defined as above.

Lower bound: The Bonferonni 10wer bound of degree 2 for the sets

contained in J is: now,since bound is:

p[

UA.);::

l

P. -

l

P ..

- J 1 . J 1 . < . IJ lE lE 1 J i,j EJ

p[

~

A.) ;::

p[

UA.)

i=l 1 i€J 1

for aU .J ~ {l, 2, •.. ,n}, the 10wer

P [

~

A.) ;::

max{

l

P.

-i=l 1 J i€J 1

l

P •• } . . 1J l<J i,j€J

Upper bound: (1.4) with y

= 2,

app1ied to the sets in J gives:

(1-lP.)

1

(20)

Le., TI C1-l/J.) - l/J k TI (l-l/J.) iEJ 1 iEJ 1 and <: 1-

r

l/J. iEJ 1 :<: TI (l-l/J.) ie:J 1 1-

r

l/J. ie:J 1 +

r

l/Jkl/J· ie:J 1 i*k 1- TI (l-l/J.) :::;

r

_{l/J. -}

r

_{l/Jkl/J· •}

ie:J 1 iEJ 1 ie:J 1 (1.11) thus

i*k Taking expectations in (1.11), we get:

r

P. -ie:J 1

for any k e: J.

Among these bounds, the best one will be given by:

(1.12)

p(

UA.) :::; min{l,

l

P. - max

r

Pk·}

ie:J 1. ie:J 1. ke:J ie:J 1. i*k

m

Now, let J

1, ••• ,Jm be disjoint sets such that _i=lUJ. ₁ = {l,2, ... ,n} and let B = U A., then

r ie:J 1. r Using (1.12), we get: m U B = r=l r n UA .• i=l 1 P. max P(Br) :::; min{l,

r

ie:J 1 ke:J ie:J

r

Pk·} 1. i=fokr and r r

p{

~

A.)

=

p{

~

Br) m

:::; l

T i=l l. _r=l r=l r

For the particular case m = 1, we get:

=

P (

~

A.) :::; min{l,

~

P. - max

~

Pk.} . i=l l. i=l 1. l:::;k~n i=l 1.

i*k

T

r

Q.E.D. We note that in the case n = 2, the Kounias 1 bounds are attained

(21)

1.1.4 KOUNIAS II LOWER BOUND

LEMMA 1.4: (Kounias [6]).

where Q- is a generalized inverse of Q. (i.e., QQ-Q = Q.) First, we need the following lemma:

LEMMA 1.5: The vector P 15 in the range of Q. Ci. e., there exists x such that Qx

=

P)

a) If Q is non-singular:

we want x such that Qx = P

--then x = Q-lp b) If Q is singular:

For every a in the null space of Q. (i.e.,Qa = 0) we have:

--ECa'wCw))2 = E(a'wCw)w'Cw)a)

=

a'ECwCw)w'Cw))a

= a'Qa

= 0

thus a'wCw)

=

0 with P[a'w(w)

=

0] = 1

and E(a'w(w)) = a'E(w(w))

= a'P

= 0

50 P is orthogonal to the null space of Q and thus lies in the range of Q. Let us now derive the Kounias II bound:

(22)

'7

( a ' q. (hl) )

-Le.,

~ ,1 ' q. (Ill) + ma.x q.. (Ill)

l ~:.i:,n j . max ~. (w) ~ 2a'~(w) l:;;i:;;n ~

o

for nU (tl l ~L 2 (a'Hw)) .

Taking expectations we get:

p(

~

A.)

~ 2a'E(~(w))

-

E(a'~(w))2

i=l ~

(1.13) i.e.,p(

~

A.)

~

2a'P - a'Qa = P'Q-P - (Qa-P)'Q-(Qa-P)

i=l ~

The best lower bound is P'Q-P whenever Qa = P, since Q- is

positive semi definite. Q.E.D.

Gallot [5] showed that p(

~

A.)

~

PQ-lp but this is a

i=l ~

particular case of the Kounias II lower bound when Q is non-singular.

We note that the Kounias II lower bound is better than the Chung, Erd6s and Whittle lower bound as the latter is a special

case of the Kounias II bound when a

=

a(l,l, ..• ,l).

We also note that for n = 2, the Kounias II lower bound is

exact only when Q is singular, P₂> Pl

=

P

12 or Pl > P2

=

P12, since:

when Q is singular, Pl = P

2 = Pl2 and (1.13) yields the lower

bound Pl which is exact.

(23)

which yields: PI (P2-PI2) = PI2(P2-PI2)'

AIso, Q- always exists ([9], page 24) but is not necessarily unique. But then P'Q-P is, since:

now x may not be unique but x'P is:

be such that Qx

= P and Qx

= P

... ) ...,2

is in the nul1 space of Q and P Q, we have:

then Q(:I-:2) = ~

being in the range of 17.

(24)

1.1.5 KOUNIAS III BOUNDS LEMMA 1. 6: (Kounias [7]). { 2 (B (J) +C (J)) m~x 2+ [6 (J)] where B(J) =

L

P., C(J) = ) . P iJ", 6(J) =

2i~~~

, iEJ 1 1<J i,jEJ

[6(J)] = largest integer ~ 6(J), Band C are defined as in 1.1.2, 6 = 2CfB and J denotes any subset of the set {1,2, .•. ,n}. PROOF:

Lower bound:

Without loss of generality, let J = {1,2, ..• ,k}. Let us consider the following inequality:

(1.14) max $. (w) ~ SI

L

$. (w) + S2

L

$. (w)$.(w)

iEJ 1 iEJ 1 i<j 1 J

i,jEJ

Considering aIl possible cases, necessary and sufficient conditions for (1.14) to hold are:

k (k-l) 1 ~ kSI + 2 S2' which can be written in the form:

(25)

Taking expectations in (1.14) we get:

p(

~

A.)

~

13 1B(J) + 132C(J) i=l 1. = ij(J) (131 + 13

e

(J)) 2 2

Thus the prob1em of finding a bound for

P (

~

A.)

i=l 1.

is in fact the following proh1em:

subject to:

r = 1, ... ,k.

This is a linear progra~:~'1ing prob1em consisting of k inequali ties,

2 variables and a 1inear function in 13

1,132 to be maximized. It is

solved in the fo11owing manner [13]: a peak is found at the intersection

of 2 equations chosen among the k inequa1ities such that the (k-2)

remaining inequa1ities are satisfied. A 1inear programming theorem states that the maximizing value of the function is th en found at one of these peaks.

GRAPH OF (1.15)

(26)

It is eviùent from the graph of (1.15), that there are only (k-1) peaks in the convcx polygon defined by (1.15) and that these are to be found at the intersection of an equation and the one fo1lowing it.

Thus the coordinat es of a peak can be found by solving: 1 = Q + r(r-l) Q r_{fJ l} 2 fJ2 1 = (r+l)

a

+ (r+l)r (32' 1 2 Which yields: ((31

Our problem th en becomes:

2 = - -r (~r--::-l~) ) .

max {B(J)

(f -

r~;~l)

J},

w.r.t. r

=

2, ••• ,k. Let us find this maximal value:

let Z = B(J) (~_ 6 (J) ) = 8(J) ( 2+6 (J) _ 8 (J) ),

r r r(r-l) r r-l

now the maximizing r is such that

i .

e.,

and i. e., Z _r ~ Z l ' r-8(J) ( 2+: (J) _ 8 (J)

J

~ B(J) (2+8 (J) _ 8 (J) ) ~l ~l ~2 which yields: r ~ 6(J) + 2 Z ~ Z r r+l'

(27)

which yie1ds: r ~ 6(J) + 2.

Thus the maximizing r is: [6(J)] + 2 if 6 (J) < k-1 k if 6 (J) k-1 and the maximal value of Z _r is:

( 2+6 (J)

e

(J) ) B(J) 2+[6(J)] - 1+[6(J)] •

Now, since

p(

~

A) >

p(

U A.) for aIl J C {1,2, •.•

,n}~

then the i=l i - i&J ~

lower bound is:

p(

~

A.) > max {2(B(J)+C(J)) _ 2C(J) } i=l ~ - J 2+[6(J)] 1+[6(J)]

Upper bound:

Again, let J {1,2, ••. ,k} and let us consider the inequa1ity:

(1.16) max $. (w) ~ al

L

$.(w) + a

Z

L

$. (w)$.(w)

ie:J 1 ie:J 1 i<j 1 J

i,j e:J

The necessary and sufficient conditions for (1.16) to ho1d are:

which can be written:

1 ~ al 1 ~ 2a₁+ a₂ k(k-l) l ~ ka_l + 2 a₂ (1.17) l ~ raI + r(~-1) a 2 r = 1,2, ... ,k.

(28)

Again,our problem is a linear programming problem: subject to: GRAPH OF (1.17) min {alB(J) + a 2C(J)}. a_l,a₂ r = 1.2, ... ,k.

As can be seen from the graph, there is on1y 1 peak in the convex polygon defined by (1.17) of coordinates:

2

(al

=

_{1, a 2}

= -

k)

Thus: P(.UJAi)

~

B(J) -

t

C(J) = B(J) (1 _

e~J))

1.1::

which can be greater than one.

Taking J = {1,2, ••• ,n}, we obtain:

P(i~lAi) ~

min{l,B(l-

%)}

Q.E.D.

(29)

1.1.6 DAWSON AND SANKOFF LOWER BOUND

LEMMA 1.7: (Dawson and Sankoff [3]).

(1.18)

p[

~

A.)

~

i=l 1

2(B+C) 2C

2+[8] - 1+[8]

This is a particu1ar case of the Kounias III lower bound,i.e.,J={1,2, ... ,n}. Q.E.D.

As will be seen in exarnp1es given in chapter II, the Kounias III lower bound, which is evidently always as good as, can sometirnes be better than the Dawson and Sankoff lower bound.

LE~~ 1.8: (1.18) is superior to the Chung, ErdBs and Whittle lower bound when 8 is not an integer and equivalent when 8 is an integer.

PROOF:

The Chung, ErdBs and Whittle lower bound can be written in the forrn:

(1.19)

p(

~

A.)

i=l 1

B >

-- 1+8

As (1.18) and (1.19) are lower bounds, for (1.18) to be superior or equiva1ent to (1.19), we wou1d need:

~ <

BC

2+8 8 )

(30)

Le. , _1_ < 2-8+2

[el

1+6 - _2+3Ia]+[6]2

which yie1ds:

(8_[6])2 ~ 8-[6].

Now this is true,as 0 ~ a-[6] < l, whith equa1ity when [8] = 8.

(31)

1.2 CASE OF EXCHANGEABLE EVENTS

SOBEL AND UPPULURI BOUNDS

In [11], Sobe1 and Uppu1uri deduce bounds of degree y(y ~ n)

for the probabi1ity of the union of n exchangeab1e events:

(1. 20)

Where y (y) is the largest even (odd) integer ~ y and

L . y-J P. ~ e 0 . . y-] . . . l-(l-P)J

l

(_l)~(n:J)p~ for 0 ~ j ~ y ~ n. i=O. ~ ~ is meant by P). Out1ine of Proof: (In L ., y-J

First, they define a Bonferroni indicator random variable

B •

r,J and an operation denoted by *: B r ,J ., (j ~ n

is the Bonferroni function of degree given by: B . = r ,J where 1 ~ Œ. ~ j and i = 1,2, ••• ,r. ~

s .

=

0 by definition, O,J r on the and j sets

and operation

*

is defined by: a

*

b = a + b - ab.

1 ~ r ~ j)

Operation

*

has certain properties, sorne of which are used

to ob tain (1.20):

(32)

a * Cb * c) = a * b + a * c - a

and in particular, when * is applied to two Bonferroni functions

we have:

B * B . .

i,i J,J B. • . . , 1+J ,1+J but in general: B r,k

*

B s,j =1= B r+s,k+j

They then prove the fol1owing strings of inequalities:

for any n ~ 2 with 1 ~ Y ~ n and for any partition of the set

{1,2, •.. ,n} into 2 parts of sizes j and n-j:

B ~ B. _* B

y-j ,n J, j y-j ,n-j ~ B n,n ~ B y,n for y-j even

B ~ _B. _* B .

y-j ,n J,j y-J,n-j ~ B n,n ~ B y,n for y-j odd

where j

=

O,l, ... ,y.

They prove the following 1emma which with the inequalities above yields (1.20):

For any j ~ y ~ n

The upper and lower bounds in (1.20) can sometimes be improved in the fo11owing way: for the lower bound, let the maximum lower bound

in (1.20) be denoted by An. Since

p(

~

A.)

i=l 1

~

p[

~

A.)

~

i=l 1

p[

0 A.)

i=l 1 y ~ k for any ~ n

a better lower bound is:

p[

~

A.J

~

i=l 1

(33)

which can sometimes be improved by using:

p[

~

A.)

~

i=l 1.

where

For the upper bound, let the minimum upper bound in (1.20) be denoted

by

v .

n Since p (

~

A.)

i=l 1.

~

p(

~

A.)

i=l 1.

a better upper bound is given by:

p [

~

A.)

i=l 1.

k ~ n

Example: n = 4, Y = 3, (1.20) yields:

now if P2 < 2P

3 and Pl+P3 < 2P2 a better bound is given by:

We note that in the exchangeable case, the Kounias II bound is equivalent to the Chung,Erdijs and Whittle lower bound.

(34)

(35)

2.1 Bounds of degree 2 for the probability of a union.

In this section, we suppose that only the P. 's and P .. 'S are known.

1 1J

Lower bound:

Since our purpose is to find the best linear lower bound, let us first consider the following inequality:

(2.1)

n

max ~i(w) ~ So +

l

S.~. (w)

-1 -1

l

(3 .. 1J 1 ~. (w)lJI. J (w)

(2.2)

lsisn i=l lsi <j s:n

By considering aIl possible cases, we see that the necessary and

sufficient conditions for (2.1) to hold for aIl w € n are:

o

2:.. S 0 1 .2!.. S + 0 (3i 1 .2!.. 13₀ + _Si + _(3j (3 .. . 1J n 1 -> (3 0 +

l

S.

-

l

i=l 1 lsi<jsn

Taking expectations in (2.l),we get:

P(~A.).2!..(3

+ i=l 1 0 n

l

i=l (3.P. -1 -1 for al! for al! (3ij

l

l:si<j:sn i i,j S .. P .. 1J 1J i < j

Thus the problem of finding the best linear lower bound of degree two for the probability of the union of n events is in affect the following linear programming problem:

max {(3 (3.,13 .. 0 1 1J n +

l

i=l S. P. -1 1

l

lsi<jsn S .. P •. } 1J 1J subject to (2.2).

(36)

Also, as we wish to find the best linear upper bound ror the proba-bility of the union, let us consider the following inequality:

(2.3) max l~isn tjJ. (00) 1 -< CY. 0 + n

l

i=l CY.. $. (00)

-1 -1 _lsi<jsn

l

IŒ • • _{1J 1}"iJi. (w)W. _J(00)

Necessary and sufficient conditions for (2.3) to hold ror aIl

(2.4)

00 e: f2 are:

O~CY. 0

1 < CY. + CI.. for all

- 0 1

1 ~ CY.

o + CI.. 1 + CY.. _J

-

CI. •• 1J for aIl

n

1 ~Cl.o +

l

CI..

-

l

CL • •

i=l 1 l$i<j$n 1J

Taking expectations in (2.3),we get:

p(

~

A.)

~

CY. +

1

i=l 1 0 i=l CY..P. -1 -1

l

l$i<j$n i i,j Ill •• P •• 1J 1J i < j

The problem of finding the best linear upper bound is again a 1inear programming prob1em:

min CY.. ,CI. •• 1 1J subject to (2.4). {CY. o + n

l

i=1 CY..P. 1. 1

Each system above i5 composed of

l

l$i<j$n (Y., • • P .. } 1J 1J n (n+1+(2)) variables,

(37)

a system can be solved in a manner similar to the one used to get the Kounias III bounds in chapter 1.

We note that the Kounias I I I bounds are a special case of the above with:

for aIl i, for aIl i and

œ

ij = œ2 for aIl i,j.

Next we will prove that the presence of 8 in (2.1) has no effect o

whatsoever on the system and that œ in (2.3) only adds the peak

o

(1,0,0, ... ,0).

Let us compare (2.2) with the fol1owing system:

(2.5) 1 ~ Y 1' + y, - y, , _J _1J n 1 ~

l

i=l y, -1

l

lsi<jsn y, , 1J for aIl i for aIl i,j

Now, (2.2) can be obtained from (2.5) by adding the inequa1ity

and by multiplying each inequality by 1 - 8

o (which is > 0 as

to yield:

°

~ 8 0

1 > 13 + (1-13 )y, for

- 0 o 1

1 > 8 + (1-13 )y, + _(l-f3o_h_j - (1-13 h, , for

- 0 o 1 o 1J n 1 ~ 8 + (1-13 )

l

y, - (1-13)

l

YiJ' o 0 i=l 1 0 lsi<jsn i < j 0.2:..8 o 8 _{o -}< 0) aIl i aIl i, j ; i <j

(38)

fact (2.2).

o

Say a peak of (2.5) has been found to be: Y1'Y2""'Yn'Y12""'Yn-1,n' then the corresponding peak of (2.2) is So,Sl = (1-So)Y1,

S2 = (1- f3o)Y 2' ... , Sn = (l-f3o)Yn ' f312 = (1-f3o)Y12 ' ••. , f3n- 1,n = = (1-f3ohn_1 n

,

If we want the peak of (2.2) to yie1d a better 10wer bound than the cor-responding peak of (2.5),we need:

n n

13 +

l

f3.P. -

l

S· .P .. >

l

y.P. -

l

y .. P .. o i=l 1 1 l~i<j~n lJ 1J i=l 1 1 lsi<j~n lJ lJ

n n

Le. , f3 + (1-f3 )

l

y.P. - (1-f3)

l

y .. P .. >

l

y.P.

o 0 i=l l 1 0 l~i<jsn lJ lJ i=l 1 1

l

y .. P .. l:::i<jsn 1J 1J n f30

-

f30

l

y.P. + i=l 1 l n f3 0 (1

-

l

y.P. + i=l 1 1 as 13 0 < 0, we wou1d need: 1 -n Le. ,

_l

i=l 130

l

y .. P .. > 0 l~i<jsn 1J 1J

l

y .. P .. ) > 0 lsi<jsn 1J 1J n

l

i=l y.P. + 1 1 _lSi<jsn

l

y •. _{1J 1J}P •• < 0 y.P. -1 -1 _l~i<jsn

l

y .. _{1J lJ}P •. > 1

but we come to a contradiction as the LHS is a 10wer bound and thus can-not be greater than 1. Thus the addition of f3 to (2.5) to form (2.2)

o

(39)

In the same fashion, let us compare (2.4) with the following system: (2.6) 1 .s.. Ô. + Ô. 1 J n 1 oS..

l

i=l ô. -1 Ô . . 1J

l

1ü<jsn for aIl i for aIl i,j

ô ..

1J

i < j

(2.4) can be obtained from (2.6) by adding the inequa1ity

°

_oS.._Ct

o and

by multiplying each inequa1ity by 1 - a

o

for the moment) to yield:

o.s..Ct o 1 oS.. Ct o + (l-a )ô. o 1 (let us consider

°

_<_Ct_{0 -}_< ₁ for aIl i 1 oS..a

o + (l-a )ô. o 1 + (l-Ct 0 )ô. -J (l-Ct 0 )ô .. 1J for aIl i,j; i<j (2.7)

n

1 oS.. a_o+ (l-a )

l

ô. - (l-a)

l

Ô •.

o i=l 1 0 l~i<jsn 1J

by letting Ct. = (l-Ct )ô. and Ct •. = (l-Ct )ô .. , (2.7) becomes (2.4).

1 0 1 1J 0 1J

If a peak of (2.6) has been found to be ôl ' ô_{2, ... , ôn ' ô12 ' ... , ôn_l,n ' then}

the corresponding peak of (2.4) is ao,Ct

l = (l-Cto)ôl , a2 = (1-ao)ô2, .•. , an = _{(l-ao)ôn ,} _{Ct 12}= _(1-Cto)ô_{12 ,···,}an_l,n = (l-ao)ôn_l,n'

When Ct _o= l, it is evident from (2.7) (with Ct.

=

(l-a )ô. and

1 0 1

a .. = (l-Ct )ô .. ), that (1,0,0, ... ,0) is the only possible peak.

1J 0 1J

Consider now the case when

°

< a < 1. If we want the peak of (2.4) to

(40)

need:

a + o

n n

l

a.P. -

l

a .. P .. <

l

o.P. -

l

o .. P .. i=l 1 1 lsi<jsn 1J 1J i=l 1 1 lsi<jsn 1J 1J

n n

i. e. , a +

o (l-a ) _{o i=l 1 1}

l

o.P. (l-a) _{o lsi<jsn 1J 1J}

l

o ..

P .. < _{i=l 1 1}

l

ô.P. _{lsi<jsn 1J 1J}

l

o ..

P ..

n a - a

l

ô.P. + a

l

o ..

P.. < 0 o 0 i=l 1 1 0 lsi<jsn 1J 1J n a (1 -

l

o.P. +

l

o .. P .. ) < 0 o i=l 1 1 l~i<jsn 1J 1J

Since 0 < a < l , we would need:

o n 1

-

l

o.P. +

l

o .. P .. i=l 1 1 1 . . 1J 1J S1<Jsn n (2.8) i.e.,

l

o.P.

-

l

o .. P .. i=l 1 1 lsi<jsn 1J 1J < > 0 1

Now the LHS is an upper bound and it is possible to get an upper bound which is greater than 1. But then, let us see if the corresponding bound yielded by the peak of (2.4) is itself 1ess than or equal to 1.

i.e.,we would want:

a_o + (l-a ) (

Ï

o.P. -

l

o .. P .. ) o i=l 1 1 lsi<jsn 1J 1J

(l-a)(Ïo.p.-

l

o

.. P.,'

o i=l 1 1 lsi<jsn 1J

1J;I

~ 1

~ 1 - a

(41)

n (2.9) i.e. ,

L

Ô.P. i=l 1 1

L

ô •• P .. ~11 lsi<jsn 1J 1J since 1 - a >

o.

o

(2.9) contradicts (2.8), thus addition of a to (2.6) to get (2.4) wou1d

o

give us a better 1inear upper bound on1y if the one yie1ded by (2.6) is greater than 1 but then it wou1d itse1f be greater than 1 and not pro-vide us with any additiona1 information as we a1ready know that

n

P ( u A.) .s.. l , (bQund yie1ded when a_o= 1). i=l 1

When a > 1, (2.4) can be obtained from (2.5) by adding the

in-o equality 0 1 1

o

< a - 0 .s.. a._o .s..a 0 .s.. a o l.s..a o

and by mu1tip1ying each inequa1ity by

+ (1-a.

h.

for

o 1

+ (l-a _o

h.

+ (l-a. )y.

-

(l-a

h ..

for

1 o J o 1J n + (1-a. )

L

y. - (l-a)

L

y .. , o i=l 1 0 l~i<j$n 1J (l-a. ) < 0: o aH i aH i ,j; i<j

1etting a.. = (l-a )y. and a. .. = (l-a )y .. , we see that this is (2.4).

1 0 1 1J 0 1J a. _n Now, as n

l

y.P. -

l

y .. P .. i=l 1 1 lsi<jsn 1J 1J

~

p(

~

A. ) i=l

ï

(l-a)y 1 . o n- ,n .s.. a + o n

l

a.P. -i=l 1 1

(42)

lsi<j sn 1J 1J

n n a.P. a ..

a +

L

a.P. -

l

a .. P .. 2.

L

11 1 -

L

- 11J P .. o i=l 1 1 l$i<j$n 1J 1J i=l -ao lsi<jsn -ao 1J

Le. , a 2. 1

ao

(Î

a.P. -

L

a .. P .. ) , o _{-ao i=l}1 1 l$i<jsn 1J 1J

which yie1ds:

n

1 :f.. a

o + _i=l

l

a.P. -_{1 1} _lsi<jsn

L

a .. P .. _{1J 1J}

which means that this peak is no better than (1,0,0, ... ,0).

Let us look at a few cases: n = 2, n = 3, n = 4.

Case 1: n = 2

Lower bound system:

subject to:

1 2. SI 1 2. S2

1 2. SI + S2 - S12

The on1y peak of this system is: SI 1, S2 1 and S12 = 1

(43)

Upper bound system:

subject to:

The on1y peak is:

i.e. ,

o

_-< CI. ₀ 1 ~ Cl. o + Cl.1 1 < CI. + Cl. 2 - 0 CI. = 0, o = 1

Thus in the case n = 2, the upper and lower bounds are exact and reached. Case II: n = 3 3

I

e.p. -

I

e ..

P •. i=l 1 1 1<·<·<3 1J 1J _1 J-Lower bound system:

~

p(

~

A.)

i=1 1 3 +

I

CI..P. -

I

CI. •• P •• i=l 1 1 1si<js3 1J 1J max

e. ,e ..

1 1J

{ Î

e.p. -

I

13 •. P •. } "=1 1 1 1<'<·<3 1J 1J 1 _1 J-subject to: 1 ~ el 1 ~ 13₂ 1 ~

e

3 1 ~ 13₁+ 13 2 -

e

12

(44)

133 - 1313 1 ~ 13

2 + (33 - 1323

1 ~ SI + (32 + 13_{3 - S12 - S13 - S23}

The peaks (4) of the system are:

SI S2 S3 S12 S}3 S23

l l 1 l 1 l

1 1 0 1 0 0

1 0 1 0 1 0

0 l 1 0 0 l

Thus the best linear lower bound is:

3

l

P. -

l

P .. i=l 1 _Isi<js31J Pl + P 2 - Pl2 max Pl + P 3 - Pl3 P 2 + P3 - P23

If we let J be a subset of . {1,2,3}, the best linear lower bound can then

be written in the form:

Upper bound system: max J min a. , a .. 1 1J

{

ie:J

l

P. -1 . i~j

l

P .. } 1J 1, J e:J 3

l

a.P. i=l 1 1

-

Isi<js3

L

a .. P .. 1J 1J )

(45)

subject to: O~Cl 0 l < Cl - 0 + ClI l ~ Cl O + Cl2 l < Cl - 0 + Cl3 l < Cl - 0 + Cli + Cl2 - Cll2 l ~ Cl O + Cli + Cl3 - Cll3 l ~ Cl O + Cl2 + Cl3 - Cl23 l < Cl - 0 + Cli + Cl2 + Cl3 - Cll2 - Cll3 - Cl23

The peaks (4) of the system are:

Cl Cl i Cl2 Cl3 Cll2 Cll3 Cl23 0 0 l l l l l 0 0 l l l l 0 l 0 l l l 0 l l l 0 0 0 0 0 0

Thus the best linear upper bound.is: l 3 min

_l

P. - P_l2- P₂₃ i=l 1 3

l

P. - P_l3- P₂₃ i=l 1

(46)

max{

L

P.

J ie:J 1.

-

L

P •• }

~

p(

~

A.)

s... minU,

Î

p.

-i<j 1.J i=l

V

i=l 1.

i,je:J

3

max

L

P.}

k=1,2,3 i=l,i#k k1

which are the Kounias 1 bounds.

In the exchangeab1e case, the best 1inear bounds are:

which are the Sobe1 and Uppu1uri bounds.

Case III: n

=

4

Î

13.P. -

L

13··P •.

~P(0A.)

s...a +

Î

a.P. -

L

a •• P ••

i=l 1 1 1~i<js4 1.J 1J i=l 1 0 i=l 1. 1. lsi<js4 1.J 1.J

Lower bound system:

subject to: max 13. ,13 •• 1. 1.J 1 .?- 13₁ 1 .?- 13₂ 1 .?- 13₃ 1 .?- 13₄ 1 .?- 13₁+ 1 .?- 13₁+ 1 .?- 13₁+ 4

{ l

13.P. -

l

13 •• P •. } i=l 1. 1. lsi<js4 1.J 1.J 13_{2 -} 13₁₂ 133 - 1313 13 ₄- /3 14

(47)

1 > (3 + - 2 (33 - (323 1 ~ (32 + _{(34 - (324} 1 ~ (33 + _{(34 - (334} 1 ~ (31 + (32 + _{(33 - (312 - (313 - (323} 1 ~ (31 + (32 + _{(34 - (312 - (314 - (324} 1 ~ (31 + (33 + _{(34 - (313 - (314 - (334} 1 ~ (32 + (33 + _{(34 - (323 - (324 - (334} 1 ~ (31 + (32 + (33 + _{(34 - (312 - (313 - (314 - (323 - (324 - (334·}

16 peaks for this system were found by computer to be:

(31 (32 (33 (34 (312 (313 (314 (323 (324 (334 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 l 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (i) 2/3 2/3 2/3 2/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 (H) -2 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 (iii) 1 -2 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 (iv) 1 1 -2 1 1 -1 1 -1 1 -1 (v) 1 1 1 -2 1 1 -1 1 -1 -1

(48)

max 13. ,13 .. 1 1J { 4

l

S.P. i=l 1 1

-

l

13 .. P .. } 1<'<'<4 _{_1} _J- 1J 1J

where the 13. 's and 13 .. 's are given in the table above.

1 1J

Upper bound system:

min a. ,a .. 1 1J

l

a.P. -

l

a .. P .. 4 } i=l 1 1 lsi<js4 1J 1J subject to:

o

< a - 0 1 ~a ₀ + al 1 ~a + a 2 0 1 ~ a o + a3 1 5_ a o + a4 1 ~a ₊ _al+ a 2 - a 12 0 1 s.. a o + al + a3 - a13 1 s.. a o + al + a4 - a14 1 s.. a o + a2 + a3 - a 2S 1 s.. a o + a2 + a4 - a24 1 s.. a o + a3 + a4 - aS4 1 ~ a o + al + a2 + a3 - a 12 - a 13 - a 23 1 ~ _ao+ al + a 2 + a4 - a 12 - a14 - a 24 1 s.. a_o+ _al+ aS + a 4 - a 13 - a14 - a34 1 s.. a o + a2 + aS + a4 - a 23 - a24 - a34 1 ~a ₊ _al+ a 2 + a3 + a4 - a12 - a I3 - a I4 - a 23 - a 24 - 0.34 . 0

(49)

23 peaks for this system were found by computer to be: (vi) (vii) Cl o o

o

o o

o

o o

o

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 l.

o

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 l 1 1

o

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o 1 1 1 1 1 1 1 1

o

o 1 1 1

o

1 1 1 1 1

o

1

o

1 1

o

1 1 o

o

1 1 1

o

1

o

1 1

o

1

o

1 1

o

1 1 o -1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 0 1 1 0 -1

o

1

o

o o 1

o

1

o

1 1

o

1 1 o 1 1

o

1 1

o

1

o

1

o

1 1

o

1 1

o

1 1

o

1 1 1 1

o

1 o 1 1 o 1 -1 1 1 1 -1 0 0 0

(50)

min

a. ,a ..

1 1J

r

a.P. -

l

a .. P .. } i=l 1 1 lsi<js4 1J 1J

where the a. 's and a .. 's are given above.

1 1J

:1

Examp1es were given by E.G. Kounias in [6], showing that his bounds (1) are as good as or better than the previous1y known bounds. Since our bounds are the same as his, for case II, we will il1ustrate case III on1y. The first three examples are of the exchangeab1e case.

Example 1: _Pl₌_0.320 _P

2

=

0.160

Lower Bound Upper Sound

Bonferroni _0.320 _1.000

Chung, Erdos and Whittle _0.512

Kounias 1 _0.480 _0.800

Kounias II 0.512

Kounias III _0.533 _0.800

Dawson and Sankoff _0.533

Best Linear _0.533 _0.800

Sobel and Uppuluri _0.480 _0.800

Example 2: _Pl= 0.560 P₂

=

0.320

Lower Sound Upper Bound

Sonferroni 0.320 1.000

(51)

Lower Bound Upper Bound

Kounias 1 0.800 1.000

Kounias II 0.825

Kounias III 0.853 1.000

Dawson and Sankoff 0.853

Best Linear 0.853 1.000

Sobe1 and Uppu1uri 0.800 1.000

Examp1e 3: _Pl= 0.485 P

2 = 0.240

Bonferroni 0.500 1.000

Chung, Erdos and Whittle 0.780

Kounias 1 0.735 1.000

Kounias II 0.780

Sobe1 and Uppu1uri 0.735 1.000

The best 1inear lower boundwas obtained in aIl three examples from peak (i).

We note that in these examp1es, the Dawson and Sankoff and Kounias III bounds are equa1 to the best 1inear lower bounds which is to be expected as in the exchangeab1e case, our prob1em:

(52)

becomes: Letting max /3. ,/3 .. 1. 1.J max /3. , /3 .. 1. 1.J n

r

(3. i=l 1

{ Î

/3.P. -

r

/3 .. P .. } i=l 1. 1. lsi<jsn 1.J 1J and

r

/3 .. 1 s1.<Jsn . . 1J

this can be written as:

which was also the Dawson and Sankoff and Kounias III problem in the exchangeab1e case.

The next four exarnp1es illustrate the non-exchangeable case. The peaks that gave rise to the best 1inear lower bound were respective1y:

Cii), Ciii), Civ), and Cv).

Exarnp1e 4: P

=

0.424 P = 0.408 P 3

=

0.416 P4 = 0.544 1 2 P₁₂

=

0.360 P 14= 0.360 P24= 0.296 P₁₃

=

0.272 P 23= 0.208 P34

=

0.272

Kounias l 0.688 0.800

Kounias II 0.662

(53)

Lower Bound Upper Bound Best Linear 0.736 0.800 Examp1e 5: p

=

1 0.520 P 2

=

0.530 P 3

=

0.680 P4 0.500 P I2

=

0.340 PI4

=

0.260 P24

=

0.450 PI3

=

0.340 P 23= 0.450 P34

=

0.370

Kounias I 0.860 0.990

Kounias II 0.819

Best Linear 0.910 0.990 Examp1e 6: Pl

=

0.408 P2

=

0.322 P₃

=

0.318 P₄

=

0.300 Pl2= 0.204 _P14

=

0.222 _P24

=

0.156 P 13= 0.270 P23= 0.204 P34

=

0.270

(54)

Kounias II 0.499

Best Linear 0.556 0.604 Exarnple 7: p = 0.300 _{P2 = 0.230} P = 0.220 P 4 =- 0.235 1 3 P₁₂= 0.150 P 14= 0.200 P24= 0.150 P₁₃= 0.165 P₂₃= 0.115 P 34= 0.200

Kounias 1 0.380 0.435

Kounias II 0.360

In the above examples, there is a noticeable improvement in the best linear lower bound over the known lower bounds, but the best linear upper

bound was as good as the known upper bounds. The next two examples will

illustrate that the best linear upper bound can be better than the known

upper bounds. The peaks that gave lieu to these bounds were respectively

(55)

Example 8: Pl

=

0.270 P ₂

=

0.270 P ₃

=

0.340 P₄

=

0.300 P₁₂

=

0.220 P 14

=

0.110 P24

=

0.140 P_B

=

0.120 P 23

=

0.090 P34

=

0.170

Kounias 1 0.520 0.730

Kounias I I 0.497

Kounias I I I 0.520 0.755

Sest Linear 0.520 0.620 Exarnp1e 9: Pl

=

0.390 P 2

=

0.350 P3

=

0.320 P4

=

0.420 P 12

=

0.110 P14

=

0.250 P24

=

0.230 P 13

=

0.170 P23

=

0.160 P34

=

0.140

Lower Bound Upper Sound

Kounias 1 0.630 0.860

Kounias I I 0.610

(56)

The prob1em presented at the beginning of this chapter can be gen-era1ized to find the best 1inear bounds for the probabi1ity of the

union of n events of degree y ~ n (i.e.,the probabi1ity of the

intersection of every possible 1,2,3, ... ,y ~ n sets is supposed

known) .

For the lower bound, the prob1em wou1d be:

y-1 + ••• + (-1)

L

lsr 1<r2<···<rysn subject to: 1 _z..._Si for aIl i

1 _~_Si+ S.

-

(3 .. for aIl i, j ; i<j

J 1J

1 ~ (3. + S. + _(3k

-

_(3ij

-

_(3ik

-

_(3jk ₊ (3 .. k for aIl i,j,k;

1 _J 1J _i<j<k

And for the upper bound:

(57)

subject to:

o

< Ct - 0 1 .$...Ct 0 1 ~Ct 0 1 .s.. Ct o 1 ~ Ct o + Ct. 1. + Ct. + Ct. 1. _J + Ct. + Ct. 1. _J n +

l

Ct r =1 rI 1

Let us consider three cases:

Case 1: y

=

1

-

Ct .. 1.J + Ct k

Î

B.P.

~

p(

~

A.)

i=1 1. 1. i=1 1.

Lower bound system:

-

Ct .. _1.)

-~ Ct + o max

[Î

S.P.} Si i=1 1. 1. subject to: 1 2!.. Si 1 .?. S. + 1. 1 .?. S. + 1. n 1 2!..

L

S. i=1 1. S. J Sj + Bk Ct ik

-

Ctjk n

L

Ct.P. i=1 1. 1. for all for aIl for all + Ct ijk i for aH i for all i,j;

i<j for aH i,j ,k;

i<j<k

i ,j ; i<j i,j ,k; i<j<k

(58)

bound than the known bound: max P. Isj sn J n

L

s.

P. > max P. i=l 1 1 Isjsn J n We would need: n but, max P. lsjsn J L.

L

S. max P. i=l 1 lsjsn J as

L

_s.

_~l! i=l 1

thus, we would need:

n

L

S.P.

i=l 1 1

i. e .•

but this is impossible as

n >

L

(3. max P. i=l 1 l~j~n J P. ~ 1 max l~j~n P. and J for aH i.

Thus the best linear lower bound of degree 1 (i.e.,only the P.'S are

1

supposed known) is:

Upper baund system:

subject ta:

p(

~

A.)

i=l 1 min a. 1 0$.0. o 1 < a + a. - 0 1 L. max lsün P. 1 n }

L

a.P. i=l 1 1 for aH i

(59)

l

.s.

a_o + ai + a_j for aIl i,j; i<j

1

.s.

a

o + ai + aj + ak for aIl i,j,k; i<j<k

1 _~< a ₀ + n

l

a.

i=l 1

Let us see if this system could give us a better 1inear upper bound than the known upper bound:

n

l

P. . We wou1d need: i=l 1 n

l

a.P. i=l 1 1 n <

l

P. i=l 1

(We can drop a

o as we proved that the addition of ao to the system only contributes the peak (1,0,0, ••• ,0».

But this is impossible as

n

l

(a.-1)P. <

°

i=l 1 1

(wh en a

=

0) and

o

Thus the best linear upper bound of degree 1 is:

min {

Î

P., 1} . i=l 1

so that the best 1inear bounds of degree 1 are:

P • ₁ .?.

°

max P.

l~i~n 1

~

p(

i=l

~

A.)

1

.5.. min

{l,

Î

P. }

i=l 1

(60)

Î

13. P. -

l

13 .. P .• + _{f3123P 123}

~

P

(1'

_u=31Ai)

i=l 1 1 lSi<js3 1J 1J -< ct a +

l

ct .. P .. + ct123P123 lsi<js3 1J 1J

Lower bound system:

max Si' 13ij , 13123

{ I

13. P. -i=l 1. 1

l

13 •. P .. lsi<js3 1J 1J subject to: 1 .?!.. 13. 1 1 .:::. 8 1, + 13. - 13 •• J 1J 3 1 ~

l

13. -i=l 1

l

13·. + S123 lsi<js3 1J

The on1y peak of this system is:

3

l

ct.P. i=l 1 1 for i = 1,2,3 for i,j = 1,2,3; i<j 81 /3 2 133 1312 1313 1323 13123 1 Le. ,

P(~A)

i=l 1

Upper bound system:

min cti,ctij,ct123 1 .?!.. 1 1 1 3

l

P. i=l 1 lsi<j$3

l

P .. 1J 3

l

ct.P. i=l 1 1 1 1 + P 123

(61)

subject to: O.s..a o l ~ a + a. o 1 l ~a + a. + a. - a .. o 1 J 1J 3 1 ~ a +

l

a. -

l

a .. + a₁₂₃ o i=l 1 l~i<js3 1J

The only peak of this system is:

a _al a 2 a3 a12 a13 a23 0 0 1 1 1 1 1 1

{~A3)

3 i. e., ~

l

P. -

l

P .. + P 123 1=1 i=l 1 Isi<j s3 1J for i 1,2,:) for i,j

=

1,2,3; i<j a 123 1

Thus, in the case n - 3, Y = 3, the upper and lower bounds are exact and reached.

Case III: n 4 . Y 3

Î

S.P. -

l

S .. P .. +

l

S. ·kP·.k 5.. p(

~

A.)

i=1 1 1 1~i<j~4 1J 1J lsi<j<ks4 1J 1J i=1 1

5.. ct +

o 4

l

a.P. -

l

a .. P .. +

i=l 1 1 lsi<j~4 1J 1J

Lower bound system:

max

{Î

S.P. -

L

S·.P .. +

l

S .. kP .. k}

13.,13 .. ,S .. k i=l 1 1 Isi<js4 1J 1J Isi<j<ks41J 1J

l 1J 1J

(62)

1 _~_Si i = 1,2,3,4

1 ~ Si + S.

J - Sij i,j = 1,2,3,4; i<j

1 ~ 13. + 13. + I3_k _{- S .. - (3ik - I3j k}+ (3"k i,j,k = 1,2,3,4;

1 J 1J 1J _i<j<k

4

1 ~

l

s.

-

l

13 •• +

l

S"k

i=l 1 1:d<js4 1J 1$i<j$4 1J

The peaks (8) of the system were found by computer to be:

13₁ (32 13₃ 13₄ 13₁₂ 13₁₃ 13_{14 (323} ₍₃₂₄ 13₃₄ 13_{123 (3124 (3134} 13₂₃₄ 1 1 1 1 1 1. 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 l 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0

Thus, P

(~A.) ~

r

I3.P. -

l

s ..

P .. +

l

S. 'kP"k ' where

i=l 1 i=l 1 1. lsi<js4 1J 1J lsi<j<ks4 1J 1J

(,

the 13

1, 's, (3 .• 1J '5 and 13. 'k's are given in the table above. 1J

Upper bound system:

4 )

l

CL.P. -

l

CL .. P .. +

l

_{CL"kP" k}

>

min CLi,CLij,CLijk

subject to: