Methode de tarification des risques en assurance Non-Vie

(1)

BADJI MOKHTAR - ANNABA UNIVERSITY

UNIVERSITÉ BADJI MOKHTAR - ANNABA

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FACULTY OF SCIENCES FACULTE DES SCIENCES

METHODE DE TARIFICATION DES RISQUES EN ASSURANCE

NON-VIE

Département de Mathématiques

Laboratoire de Probabilités et Statistiques (LaPS)

THÈSE

Présentée en vue de l’obtention du diplôme de

Doctorat en Mathématiques

Option : Modélisation Mathématiques – Actuariat

Par : M. SADOUN Ahmed

Sous la direction de

REMITA Mohamed Riad Prof.U.B.M.Annaba

Co-directeur

ZEGHDOUDI Halim M.C.A U.B.M.Annaba

Devant le jury

Année 2018

PRESIDENT :

Seddik-Ameur Nacera

Prof.

U.B.M. Annaba

EXAMINATEUR :

Necir Abdelhakim

Prof.

U.M.K.Biskra

EXAMINATEUR :

Chadli Assia

Prof.

U.B.M. Annaba

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Premièrement, je suis extrêmement reconnaissant à Allah qui m'a donné la

chance et le courage de terminer ce travail.

Je voudrais exprimer ma sincère gratitude à mon conseiller Prof. Remita

Mohamed Riad pour le soutien continu de mon étude de doctorat et de

recherches connexes, pour sa patience, sa motivation. Ses conseils m'ont aidé

tout au long de la recherche et de l'écriture de cette thèse.

Remerciements spéciaux à mon co-directeur Dr. Zeghdoudi Halim pour son

immense connaissance, ses conseils malgré toutes les obligations qu'il avait et

son amour de tous les mathématiciens.

Je voudrais également remercier les membres de mon comité de doctorat: Prof.

Necir Abdelhakim, Prof. Seddik-Ameur Nacera, Prof. Chadli Assia, et Dr .

Arrar Nawel qui ont accepté de siéger à mon comité dans un bref délai et dont

les précieux commentaires aideront à améliorer cette thèse.

Je reconnais humblement et avec gratitude l'amour continu et durable et le

soutien émotionnel donné par mes parents et mon frère et mes sœurs. Je ne

pourrais jamais aussi reconnaître ou remercier ma belle femme et mon joujou

seifou.

Je voudrais remercier tous mes amis et collègues et le personnel du département

de mathématiques et de l'université, en particulier Metiri Farouk

Une mention spéciale doit être faite ici pour mes amis intimes qui m'ont soutenu

et motivé pour continuer à travers les hauts et les bas vers mon but.

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Sadoun. Zeghdoudi, H. Remita, M.R, On Bayesian Premium Estimators for Gamma Lindley Model under Squared Error and Linex Loss Function. Science Publications, Jour-nal of Mathematics and Statistics 2017, 13 (3) : 284.291.

Zeghdoudi, H. Sadoun, A. Attoui, F.Z. Bayesian Premium Estimators for mixture of tow gamma distributions. Journal of Statistical theory and applications, JSTA vol. 17, 2018.

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R´esum´e

Dans cette thèse, nous expliquons d’abord les différentes méthodes classiques de tarifi-cation des risques en assurance non-vie. Deux approches de calcul des primes concernant la théorie de crédibilité sont proposées. Dans un premier temps, nous considérons la dis-tribution Gamma Lindley (GaL) comme une disdis-tribution conditionnelle, nous nous basons sur l’estimateur de la prime bayésienne sous les fonctions de perte de l’erreur quadratique moyenne et linex avec des distributions à priori informatives. En utilisant l’approximation de Lindley, des simulations numériques et une étude comparative sont obtenues. Dans un deuxième temps, nous présentons le modèle de la crédibilité (quantiles), plus précisément, nous montrons le rôle de la décomposition des quantiles dans la simplification du modèle de Pitselis (2013). Nous introduisons une nouvelle approche pour le calcul de la prime de crédibilité et une application avec des données réelles est donnée.

Mots-clés : Bonus-malus, modèle linéaire généralisé, crédibilité, fonction de perte, l’erreur quadratique moyenne, Linex, prime bayésienne, distribution Gamma Lind-ley, distribution Gamma, quantile, décomposition de p-quantile, facteur de développement.

(5)

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.

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Abstract

In this thesis, we explain first the different classical methods of risk pricing in non-life insurance. Two approaches to calculate premiums concerning for credibility theory are pro-posed. In the first time, we consider the gamma distribution Lindley (GaL) as a conditional distribution, we focus on the Bayesian estimation of the premium under squared error loss function (symmetric) and Linex loss function (asymmetric), using informative priors (the Gamma prior). Because of its difficulty and non-linearity, we use a numerical approxi-mation for computing the Bayesian premium. Finally, a simulation and comparative study with varying sample sizes are given. In the second time, we present quantile credibility mo-del. More precisely, we show how the quantile decomposition simplifies the Pitselis model (2013). New premium credibility and an application with real data are given.

Key words : Bonus-malus, generalized linear model, credibility, Bayesian pre-mium, Gamma Lindley distribution, Gamma distribution, loss function, squared er-ror, Linex, Quantile, credibility, decomposition of p-quantile, Development factor

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Table des mati`eres

1 Tarification `a priori 10

1.1 Les modèles linéaires généralisés . . . 11

1.1.1 Petit historique des applications actuarielles des mod`eles de r´eg-ression . . . 11

1.1.2 Moyenne et variance . . . 14

1.1.3 Mod`ele de r´egression . . . 16

1.1.4 Fonction de lien canonique . . . 18

1.1.5 Equations de vraisemblance . . . 19

1.1.6 R´esolution des ´equations de vraisemblance . . . 22

1.1.7 Intervalle de confiance pour les param`etres . . . 25

1.1.8 Tests d’hypoth`ese sur les param`etres . . . 26

1.1.9 La pratique des modèles linéaires généralisés et l’importance du choix de la sous-famille exponentielle . . . 26

2 Tarification `a posteriori 30 2.1 Syst`emes bonus-malus . . . 31

2.1.1 Vue d’ensemble des syst`emes bonus-malus . . . 31

2.1.2 Description d’un syst`eme bonus-malus . . . 32

2.1.3 Analyse d’un syst`eme bonus-malus . . . 35

2.2 La Théorie de la crédibilité . . . 45

2.2.1 Petit historique sur la théorie de crédibilité . . . 45

2.2.2 L’approche bayésienne en crédibilité . . . 48

2.2.3 Mod`ele de B¨uhlmann . . . 52

3 Estimation Bayésienne de la prime pour le modèle Gamma Lindley sous différentes fonctions de perte 65 3.1 Inférences bayésiennes pour les paramètres . . . 66

3.1.1 Estimation des param`etres par maximum de vraisemblance . . . 66

3.1.2 Estimateurs Bay´esiens des param`etres . . . 67

(8)

3.2.1 Estimateurs bay´esiens de la prime sous la fonction de perte

quadra-tique . . . 71

3.2.2 Estimateurs bay´esiens de la prime sous la fonction de perte LINEX 73 3.3 Etude par simulations . . . 75´

3.4 R´esultats et Discussion . . . 81

4 Méthode des Quantiles sous la théorie de la crédibilité (Décomposition de Quan-tile) 83 4.1 Interprétation du modèle . . . 83

4.2 Pr´eliminaires sur les quantiles . . . 84

4.3 Modèles de crédibilité (quantile) . . . 86

4.3.1 Le modèle de crédibilité de Pitselis (2013) . . . 86

4.4 Discussion du nouveau mod`ele . . . 88

4.4.1 D´ecomposition des p−quantiles . . . 88

4.4.2 Discussion sur les hypoth`eses . . . 89

4.4.3 Calcul de la prime . . . 91

4.5 La nouvelle prime de cr´edibilit´e . . . 97

4.5.1 Estimation des param`etres du mod`ele . . . 98

4.5.2 La variance des quantiles . . . 99

4.6 Application num´erique . . . 100

4.6.1 Exemple d’organisation de la sécurité sociale (Algérie) . . . 103

4.6.2 Comparaison des modèles de crédibilités ( Bühlmann (1969), Pit-selis (2013) et la nouvelle méthode). . . 110

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du niveau de la vie. Par contre, si le danger est partagé parmi tous les individus du collectif, le sinistre devient supportable pour chacun. Ce principe d’assurance nécessite que chaque membre du collectif soit concerné par le risque de la même façon. Sinon, les membres du collectif qui ne sont pas du tout ou seulement très partiellement concernés par le risque, ne sont, à priori, pas prêts de porter la même part du dégât que les autres (en tout cas, s’ils ne sont pas forcés par la loi, comme dans l’assurance de responsabilité civile des voi-tures), le principe d’une assurance (facultative) exige donc que le risque soit distribué dans le collectif d’une façon homogène.

En réalité, le risque est rarement distribué d’une façon homogène dans le collectif. Les assureurs ont par conséquent la tendance à sélectionner dans le groupe les individus avec un ”bon” risque. Si la sélection est efficace, l’assurance aura moins de sinistres à payer et peut donc offrir un meilleur tarif à ses assurés. Les autres assurances, par contre, restées avec les ”moins bons” risques sont obligées d’augmenter leurs tarifs. Pour éviter ce clivage du marché d’assurance, les autres assureurs doivent suivre le premier assureur ou pour ne pas perdre leur clientèle antérieure, ils sont obligés d’offrir des tarifs différents entre les bons risques et les mauvais risques. Le marché d’assurance a donc une tendance à la différenciation des tarifs selon le degré des risques. La tendance inhérente de l’assurance a comme effet que les actuaires sont tenus d’inventer et de développer des méthodes de différenciation assez fines pour le calcul des tarifs.

Il y a au moins trois m´ethodes importantes de tarification en actuariat :

La méthode des modèles linéaires généralisés (Generalized Linear Models (GLM)). Les modèles linéaires généralisés (GLM) ont été introduits dans les années 70 pour traiter des variables de réponse non-continues ou bornées, pour éliminer la limitation des modèles linéaires qui doivent avoir une réponse continue sans bornes. Cette méthode consiste

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dans l’intégration de plus en plus des données dans la tarification. Par exemple : dans l’as-surance de voiture, où un très grand nombre de contrats permettent de faire des statistiques avancées, on utilise les informations suivantes : informations sur la voiture, informations du propriétaire, kilométrage annuel, informations sur le domicile et informations sur d’autres assurances dans la même compagnie. Toutes ces informations peuvent être utilisées pour la tarification. Les GLM sont des outils bien connus et bien compris dans les statistiques et surtout dans les sciences actuarielles.

La m´ethode de Bonus-Malus.

Il y a plusieurs systèmes de Bonus-Malus. Ils utilisent les informations sur les nombres des accidents causés en utilisant la sinistralité d’un assuré des dernières années. Dans un système de classes, après chaque année sans accident, le contrat est mis dans une meilleure classe, après une année avec un ou plusieurs accidents, le contrat est puni en le posant dans une classe pire dépendante du nombre des accidents.

La théorie de crédibilité.

Cette méthode utilise aussi les informations des années précédentes, en utilisant les montants cumulés de sinistres des années précédentes. La nouvelle tarification s’effectue comme une combinaison convexe de la moyenne individuelle des années antérieures et de la moyenne du collectif des assurés. L’introduction à la théorie de la crédibilité peut être trouvée, par exemple dans Goovaerts et W. J.(1987), Herzog (1996), Kaas, Dannenburg et Goovaerts (1996), Klugman et Panjer (2004), et pour les introductions détaillées récentes, on peut se référer, par exemple, à R. Norberg (2004). Cette méthode est surtout appliquée dans les contrats d’assurance détaillés, comme les assurances de transport (camions, che-mins de fer, bateaux, avions), assurance des objets d’art, assurance.

Pour un assuré, son risque X est caractérisé par une réalisation de θ. Chaque sinistre est vu donc comme une variable aléatoire selon une distribution conditionnelle qui dépend de θ. En plus, l’espérance des sinistres appelée aussi la prime de risque peut être calculée sur la base de cette distribution conditionnelle.

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l’expérience de risque du même paramètre appelée f (x | θ).

En combinant la distribution à priori avec la vraisemblance de f (x | θ) , on peut ob-tenir la distribution à posteriori f (θ | x) qui établit la dépendance de θ sachant l’histo-rique de l’expérience. La prime bayésienne PB- meilleure prime d’expérience représentant l’espérance des sinistres futurs peut être calculée à partir de f (θ | x).

Cependant, la prime bayésienne qui sera chargée à l’assuré est une prime de crédibilité ayant une forme linéaire seulement sous une famille de distributions et lois à priori conjuguées spécifiées et doit être sous la fonction de perte de l’erreur quadratique.

PB = z × Pexp´erience+ (1 − z) × Pcollective

La forme de cet estimateur dans le cas ou π (θ) n’est pas conjuguée est toujours difficile à obtenir à cause des intégrales compliquées. L’approximation de Lindley est une méthode numérique d’approximation très utilisée pour résoudre ces formes d’intégrales et qui donne des résultats numériques.

Notre étude se focalise sur l’estimation de la prime bayésienne, le problème majeur réside dans le choix de la distribution de probabilité conditionnelle et la distribution à priori. Le modèle de Bühlmann (1967) a développé des modèles dont la prime d’un contrat est déterminée, en minimisant l’erreur quadratique moyenne entre la prime bayésienne et son approximation. Bühlmann (1969) a forcé cette approximation à être linéaire et la prime obtenue s’avère être une combinaison linéaire entre l’expérience individuelle X et celle de l’ensemble du portefeuille, soit équivalente à la prime de crédibilité. On peut choisir une autre variable exprimant l’expérience individuelle comme le quantile ζp, Pitselis(2013) a

intégré le quantile au modèle de la crédibilité classique de Bühlmann (1967) il a trouvé des résultats intéressants par rapport au modèle de Bühlmann (1967).

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Notre étude repose sur l’utilisation de la décomposition de quantile pour simplifier le modèle de Bühlmann (1969), on établit une prime de crédibilité plus réaliste que le modèle de Pitselis (2013).

La thèse s’articule autour de quatre chapitres, le premier chapitre aborde d’un point de vue plus précis la notion de tarification (dite à priori) pour des risques de masse. Nous présentons ainsi en détails l’utilisation des modèles linéaires généralisés (GLM pour Ge-neralize Linear Models). Le deuxième chapitre est consacré à la tarification par expérience (ou à posteriori) très utile (bonus-malus et la théorie de la crédibilité). Le troisième et le quatrième chapitre sont concentrés sur le calcul de prime dans la théorie de crédibilité. En premier lieu, on estime la prime dans le cas où il est impossible d’établir une prime de crédibilité, on utilise une combinaison entre la distribution de Gamma-Lindley et des lois à priori informatives (l’extension de Jeffrey et gamma) sous deux fonctions de perte (erreur quadratique, linex). On termine par une simulation numérique et une étude com-parative de cette prime obtenue sous différentes fonctions de perte. De plus, on expose une interprétation concernant la décomposition de quantile basée sur les modèles statis-tiques ”Variance Components Models” dans le quatrième chapitre, une nouvelle prime de crédibilité est proposée. On termine par une application numérique et une étude compara-tive de la nouvelle prime et la prime du modèle de Bühlmann (1969) et Pitselis (2013). Les conclusions et les perspectives sont présentées.

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Chapitre 1

Tarification `a priori

La tarification à priori est une méthode de tarification utilisée par les actuaires afin de mieux segmenter les portefeuilles d’assurance. Cette méthode consiste à prédire le nombre espéré de réclamations en fonction des caractéristiques observables des assurés tels que l’âge, le sexe, le kilométrage, l’utilisation du véhicule, l’occupation, etc. Le but de la tari-fication à priori est de construire des classes de risque homogènes où les assurés apparte-nants à une même classe de risque paient la même prime. Une classe de risque peut être vue comme un ensemble de caractéristiques, où les assurés appartenants à une même classe de risque ont des caractéristiques observables identiques. Les caractéristiques observables des assurés sont appelées variables de classification ou variables à priori. En général, la classi-fication à priori est faite à l’aide des modèles de régression ou modèles linéaires généralisés (GLM) développés par Nelder et Wedderburn (1972). Le but de la régression est d’analyser la relation qui existe entre la variable réponse et les variables explicatives. En assurance au-tomobile, la variable réponse représente généralement le nombre de réclamations ou le coût des réclamations tandis que les variables explicatives représentent les variables de classifi-cation. Cette relation peut être exprimée comme une équation qui prédit la variable réponse à l’aide d’une fonction (combinaison linéaire) impliquant les variables explicatives et les paramètres servant à la prédiction. Lors de la tarification à priori, on modélise généralement le nombre de réclamations par les distributions de Poisson, binomiale négative, etc.,

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tan-dis que le coût des réclamations est généralement modélisé par les tan-distributions gamma, inverse-gaussienne, etc. Les techniques de classification des risques ont été le sujet de plu-sieurs articles issus de la littérature actuarielle. On peut citer entre autres, Dionne et Vanasse (1989) qui ont utilisé un modèle de régression binomiale négative et Dean, Lawless et Will-mot (1989) qui ont utilisé la distribution de Poisson-inverse gaussienne pour modéliser le nombre de réclamations.

1.1 Les modèles linéaires généralisés

1.1.1 Petit historique des applications actuarielles des mod`eles de

r´eg-ression

Longtemps, les actuaires se sont limités à utiliser le modèle linéaire gaussien lors-qu’il s’agissait de quantifier l’impact de variables explicatives sur un phénomène d’intérêt (fréquence ou coût des sinistres, probabilité d’occurrence d’événements assurés, ...). A présent que la complexité des problèmes statistiques qui se posent à l’actuaire s’est considér-ablement accrue, il est crucial de se tourner vers des modèles tenant mieux compte de la réalité de l’assurance que ne le fait le modèle linéaire. Ce dernier impose en effet une série de limitations peu conciliables avec la réalité des nombres ou des coûts des sinistres : den-sité de probabilité (approximativement) gaussienne, linéarité du score et homoscédasticité. Même s’il est possible de s’affranchir de certaines de ces contraintes en transformant préalablement la variable réponse à l’aide de fonctions bien choisies, l’approche linéaire s’accompagne de nombreux désavantages (travail sur une échelle artificielle, difficultés de revenir aux quantités initiales, ...).

Une première étape dans l’utilisation de modèles plus appropriés à la réalité de l’assu-rance a été franchie lors de l’application en sciences actuarielles à la fin du 20ème siècle par les actuaires londoniens de la City University des modèles linéaires généralisés (GLM, pour Generalized Linear Models). Ces modèles, introduits en statistique par Nelder &

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Wedder-La régression de Poisson (et les modèles apparentés, tels que la régression binomiale négative) est à présent un outil de choix pour l’élaboration d’une tarification automobile, supplantant largement le modèle linéaire général et la régression logistique pour l’ana-lyse des nombres de sinistres. La percée de cette méthode au sein des compagnies date de l’inclusion dans les logiciels statistiques les plus usités (SAS en tête) de procédures permettant d’appliquer cette technique (Genmod, en l’occurrence). Outre l’approche du maximum de vraisemblance, les techniques GLM permettent l’analyse d’un grand nombre de phénomènes dans une optique de quasi- vraisemblance, en ne spécifiant que la structure moyenne-variance. Les économètres français ont à cet égard prouvé des résultats fonda-mentaux de convergence des estimateurs obtenus de cette façon. Voyez notamment Gou-rieroux, Monfort & Trognon (1984).

Plus récemment, les techniques GLM ont été appliquées avec succès aux problématiques de l’assurance vie (établissement de tables de mortalité, estimation des indicateurs démogra-phiques, projection de la mortalité, etc.). Voyez Del Warde & Denuit (2005) pour de nom-breux exemples.

Ce chapitre est basé sur Mccullagh & Nelder (1989), Antoniadis, Berruyer & Carmona (1992), Dobson (2002) et Fahrmeir & Tutz (2002). Nous insisterons sur le fait que les estimateurs du maximum de vraisemblance peuvent être obtenus à l’aide d’ajustements des moindres carrés pondérés répétés, en définissant des pseudo-réponses appropriées. Ceci nous permettra de lever l’hypothèse de linéarité du score en passant aux modèles généralisés additifs.

Afin de bien comprendre les généralisations du modèle linéaire gaussien dont il est question dans cette section, rappelons que dans le cadre de ce modèle, on suppose que l’on cherche à modéliser une variable Y à l’aide d’un certain nombre de variables explicatives

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X = X1, ..., Xp

t

. De façon naturelle, la régression linéaire revient à supposer que Y _{v N(µ, σ}2) où µ = Xtβ.

Ce modèle proposé par Legendre et Gauss au début du 19ème siècle, et étudié en détails par Fisher dans les années 20, s’est imposé en économétrie, mais s’avère difficilement utilisable en assurance.

Les variables que l’on cherche à modéliser en assurance sont des coûts (à valeur dans R+), des nombres de sinistres (à valeur dans N) ou des indicatrices du fait d’être sinistré dans l’année (à valeur dans {0, 1}). Dans ce dernier cas, nous avions vu que les variables latentes pouvaient être une solution intéressante. Plus particulièrement, on considérait des modèles de la forme

Y v Bin(1, µ) o`u µ = E[Y] = F(Xtβ),

où F désigne la fonction de répartition associée à la loi logistique (pour les modèles LO-GIT) ou à la loi gaussienne centrée et réduite (pour les modèles PROBIT).

De façon générale, on souhaite garder la structure linéaire du score en β, et considérer que l’espérance de Y est une transformation de cette combinaison linéaire. Plus précisément, on voudrait passer à des modèles de régression du type

Y _{v Loi (µ) o`u µ = E[Y] = g}−1(Xtβ),

où g−1 _{est une fonction ”bien choisie”, et où Loi désigne une loi paramétrique permettant}

de modéliser correctement notre variable d’intérêt.

Ce type d’approche est à la base des modèles dits “linéaires généralises”, qui étendent le modèle gaussien à une famille de lois particulière, appelée famille exponentielle (naturelle). Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser à la famille des modèles linéaires général-isés. Font partie de cette classe, en plus de la loi normale, les lois de probabilité à deux paramètres θ et φ dont la densité (discrète ou continue) peut se mettre sous la forme

f(y | θ, φ)= exp(yθ − b (θ)

(17)

Examinons quelques exemples de lois usuelles dont la densit´e peut se mettre sous la forme (1.1).

Example 1.1 (Loi de Poisson). Si on consid`ere la loi de Poisson Poi(λ) , on a f(y | λ)= exp (−λ)λ

y

y! = exp (y ln λ − λ − ln y!) , y ∈ N, d’o`u S = N, θ = ln λ, φ = 1, b(θ) = exp θ = λ et c(y, φ) = − ln y!.

Example 1.2 (Loi Gamma). La densité associée à la loi Gamma peut se réécrire 1 Γ (ν) ν µ !ν yν−1exp −ν µy !

qui peut se mettre sous la forme (1.1) avec S = R+, θ = −1_µ, b (θ) = − ln (−θ) et φ = ν−1. Toutes les lois de probabilité dont la densité peut se mettre sous la forme (1.1) ne possèdent pas de paramètres de dispersion φ. Ainsi, les exemples ci-dessus nous apprennent par exemple que pour la loi de Poisson, φ = 1. Pour les lois possédant un paramètre de dispersion φ, celui-ci contrôle la variance, comme nous le verrons plus loin. La prime pure ne dépend quant à elle que du paramètre naturel θ. Ainsi, lorsque l’actuaire ne s’intéresse qu’à la prime pure, le paramètre θ est le paramètre d’intérêt tandis que φ est considéré comme un paramètre de nuisance. Toutefois, le paramètre φ est également fort important dans la mesure où il contrôle la dispersion (et donc le risque).

1.1.2 Moyenne et variance

Pour une variable aléatoire Y dont la densité peut se mettre sous la forme (1.1), on peut exprimer les deux premiers moments de Y à l’aide des fonctions b et c. Pour ce faire, notons

U = ∂

(18)

et

U0 = ∂

2

∂θ2ln f (Y | θ, φ) ,

de sorte que l’information de Fisher vaut V[U]= −E[U0].

Proposition 1.3 Pour une variable al´eatoire Y dont la densit´e est de la forme (1.1), on a E[Y]= b0(θ) et V[Y] = b00(θ) φ/ω,

où b0et b00 désignent respectivement les dérivées premières et secondes par rapport àθ. Preuve. Nous savons que E[U]= 0. Il suffit alors de remarquer que

d dθln f (y | θ, φ)= ∂ ∂θ yθ − b (θ) φ + c(y, φ) ! = y − b 0 (θ) φ/ω ce qui donne E[U] = E[Y] − b 0 (θ) φ/ω = 0,

d’o`u l’expression annonc´ee pour la moyenne de Y. D’autre part, puisque E[U]= 0, V[U]= E[U2]= E        Y − b0(θ) φ/ω !2      = V[Y] {φ/ω}2 et E[U2] = Z y∈s ∂ ∂θln f (y | θ, φ) !2 f(y |θ, φ) dy = Z y∈s ∂ ∂θln f (y | θ, φ) ∂ ∂θf (y |θ, φ) dy = E " − ∂ 2 ∂θ2ln f (Y | θ, φ) # = b 00 (θ) φ/ω . Ainsi, V[U]= E[−U0]= b 00 (θ) φ/ω .

En combinant les deux dernières égalités, on obtient le résultat annoncé. Dès lors, la variance de Y apparaˆıt comme le produit de deux fonctions :

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variance peut donc être définie en fonction de µ nous la noterons dorénavant V (µ).

La fonction variance est très importante dans les différents modèles, comme on peut le constater au Tableau 1.1. Il est important de noter que, le cas de la loi normale mis à part, la variance de Y est toujours fonction de la moyenne et croˆıt en fonction de cette dernière pour les lois de Poisson, Gamma et Inverse Gaussienne (à paramètre φ fixé).

Loi de probabilit´e V(µ) Normale 1 Poisson µ Gamma µ2 Binomiale µ (1 − µ)

Table. 1. 1- Fonctions variance associées aux lois de probabilité usuelles dont la densité est de la forme (1.1).

1.1.3 Mod`ele de r´egression

Considérons des variables aléatoires indépendantes mais non identiquement distribuées Y1,Y2, ..., Yndont la densité est de la forme (1.1). Plus précisément, supposons que la densité

de probabilit´e de Yi est f (yi |θi, φ) = exp yiθi− b(θi) φ/ωi + c(yi, φ) ! , yi ∈ S. (1.2)

(20)

D`es lors, la densit´e jointe de Y1,Y2, ..., Ynest f (y |θ, φ) = n Y i=1 f (yi |θi, φ) = exp               n P i=1 yiθi− n P i=1 b(θi) φ/ωi + n X i=1 c(yi, φ)               .

Bien entendu, la vraisemblance vaut L (θ, φ | y)= f (y | θ, φ). On suppose que les θisont

fonction d’un ensemble de p+ 1 paramètres β0,β1,... ,βp, disons. Plus précisément, notant

µila moyenne de Yi, on suppose que

g(µi)= β0+ p

X

j=1

βjxi j = xtiβ = ηi

où la fonction monotone et dérivable g est appelée fonction de lien, le vecteur xi contient

des variables explicatives relatives à l’individu i et le vecteur β contient les p+1 paramètres. Ainsi, un modèle linéaire généralisé est composé de trois éléments, à savoir

(i)de variables `a expliquer Y1,Y2, ..., Yndont les densit´es sont de la forme (1.2).

(ii)d’un ensemble de param`etres β = β0, β1, ..., βp

t

appartenant `a un ouvert non vide de Rp+1_{et des variables explicatives X} = (x

1, x2, ..., xn)tla matrice X de dimension n×(p+1)

est supposée être de rang p+ 1, i.e. la matrice carrée XtX de dimension (p+ 1) × (p + 1) est inversible ;

(iii) d’une fonction de lien g telle que g (µi) = xt_iβ o`u µi = E [Yi] qui lie le pr´edicteur

lin´eaire ηi = xt_iβ `a la moyenne µide Yi.

La plupart du temps, les variables explicatives sont toutes catégorielles dans un tarif commercial. Une compagnie segmentant selon le sexe, le caractère sportif du véhicule et l’âge de 1’assuré (3 classes d’âges, à savoir moins de 30 ans, 30-65 ans et plus de 65 ans). Un assuré sera représenté par un vecteur binaire donnant les valeurs des variables ayant servi à coder les caractéristiques de l’individu.

On choisit comme niveau de r´ef´erence (i.e. celui pour lequel tous les Xi valent 0) les

(21)

ou intercept, β0 représente donc le score associé à la classe de référence (i.e. celle pour

laquelle Xi = 0 pour tout i, `a savoir les hommes entre 30 et 65 ans dont le v´ehicule n’a pas

de caractère sportif) ; si βj > 0, cela indique que le fait de présenter la modalité traduite

par Xj est un facteur agravant la sinistralité par rapport à celle de l’individu de référence,

au contraire βj < 0 indiquera les classes d’assur´es moins risqu´es que les individus de

r´ef´erence.

Example 1.4 (Régression de poisson). La régression log-linéaire de poisson est obtenue en considérant Yi ∼ Poi(λi), la fonction de lien étant celle induite par le paramètre naturel,

i.e.

ln λi = xtiβ ⇐⇒ λi = exp xtiβ .

Le plus souvent, on dispose d’une mesure de l’exposition au risque et on consid`ere Yi ∼

Poi(diλi), où di est la durée de la couverture octroyée à l’assuré i (cette durée multiplie la

fr´equence annuelle λisous l’hypoth`ese d’un processus de Poisson gouvernant la survenance

des sinistres).

1.1.4 Fonction de lien canonique

Chacune des lois de probabilité de la famille exponentielle linéaire possède une fonction de lien spécifique, dite fonction de lien canonique, définie par θ = η, où θ est le paramètre naturel. Le lien canonique est tel que g(µi)= θi, or, µi = b

0

(θi) d’o`u g−1= b

0

. Les fonctions de lien canoniques sont reprises au Tableau 1.2.

(22)

Loi de probabilit´e Fonction de lien canonique Normale η = µ

Poisson η = ln µ Gamma η = 1_µ

Binomiale η = ln µ − ln (1 − µ) Table.1.2- Liens canoniques associ´es aux lois de

probabilit´e usuelles dont la densit´e est de la forme (1.1).

1.1.5 Equations de vraisemblance

En pratique, les coefficients de r´egression β0, β1, ..., βp et le param`etre de dispersion φ

sont inconnus et doivent donc être estimés sur la base des données. Dans cette subsection, nous nous concentrons sur l’estimation des coefficients de régression β par la méthode du maximum de vraisemblance. Il s’agit donc de maximiser la log- vraisemblance

L(θ (β) | y, φ) = n X i=1 ln f (yi |θi, φ) = n X i=1 yiθi− b(θi) φ/ωi + n X i=1 c(yi, φ) , o`u E [Yi] = b 0

(θi) = µi et g (µi) = xt_iβ = ηi avec g monotone et d´erivable. Rechercher

les estimateurs du maximum de vraisemblance revient `a rechercher les β0, β1, ..., βp qui

v´erifient les ´equations

Uj = 0 pour j = 0, 1, ..., p, (1.3) o`u Uj = ∂L (θ (β) | y, φ) ∂βj = n X i=1 ∂ ln f (yi |θi, φ) ∂βj = n X i=1 ∂ ∂βj yiθi− b(θi) φ/ωi + c (yi, φ) ! .

(23)

∂ ln f (yi |θi, φ) ∂θi = yi− b 0 (θi) φ/ωi = yi−µi φ/ωi ∂µi ∂θi = b00 (θi), et ∂µi ∂βj = ∂µi ∂ηi ∂ηi ∂βj = xi j ∂µi ∂ηi . On obtient ∂ ln f (yi |θi, φ) ∂βj = ∂ ln f (yi|θi,φ) ∂θi ∂µi ∂βj ∂µi ∂θi = (yi −µi) xi j ∂µi ∂ηi φ/ωib 00 (θi) = (yi −µi) xi j V[Yi] ∂µi ∂ηi , et finalement Uj = n X i=1 (yi−µi) xi j V[Yi] ∂µi ∂ηi = n X i=1 (yi−µi) xi j V[Yi]g 0(µ i) . Comme V[Yi]= b 00 (θi)φ/ωi, Uj = 0 ⇐⇒ n X i=1 ωi(yi−µi) xi j b00(θi) g 0 (µi) = 0,

où le paramètre φ n’apparaˆıt plus. Les équations de vraisemblance relatives à β peuvent donc être résolues sans se préoccuper de φ. Notez que si on choisit la fonction de lien canonique, les équations de vraisemblance deviennent

n

X

i=1

(24)

Example 1.5 (R´egression de Poisson). Supposons les r´ealisations n1, n2, ..., nude variables

al´eatoires de loi Poi(diλi), la log-vraisemblanee est donn´ee par

L(β | n) = ln £ (β | n) =

n

X

i=1

(− ln ni!+ ni(ηi+ ln di) −λi).

Les ´equations de vraisemblance s’´ecrivent donc

n X i=1 ni = n X i=1 λi (1.4) et pour j= 0, 1, ..., p, n X i=1 xi j(ni−λi)= 0. (1.5)

Comme les facteurs de risque en pratique ont le plus souvent un nombre fini de niveaux et que les variables explicatives sont les indicatrices de ces niveaux, les équations de vrai-semblance(1.5) ont une signification tarifaire très importante. Elles garantissent que pour chaque sous-portefeuille correspondant à un niveau d’un des facteurs de risque, le nombre total, des sinistres observés est égal à son homologue théorique. En effet, supposons par exemple que xi1= 1 si l’individu i est un homme, et 0 sinon; (1.5) pour j = 1 garantit alors

que X hommes ni = X hommes ˆ λi

En pratique, si le portefeuille est suffisamment stable, on espère avoir des égalités approxi-matives lorsque le modèle sera appliqué dans le futur.

Example 1.6 (Régression Gamma). Notons ni le nombre de sinistres causés par l’assuré

i, et, lorsque ni > 0, désignons par ci1, ci2, ..., cini les coûts de ceux-ci. Si nous considérons

ci1, ci2, ..., cini comme des réalisations de variables aléatoires indépendantes et de même loi

Gamma de moyenneµi et de varianceµ2i/ν, la vraisemblance s’´ecrit

£ (β | c) = Y i|ni>0 ni Y k=1 f(cik | xi, ν) = Y i|ni>0 ni Y k=1 1 Γ (ν) ν µi !ν cν−1_ik exp −ν µi ! cik ! .

(25)

i|ni>0k=1 xi j 1 − _µ i = 0. Si on d´efinitˆci = ˆµi = exp ˆβtxi

le coût moyen d’un sinistre pour l’assuré i, l’estimateur du maximum de vraisemblance ˆβ de β est solution des équations

X i|ni>0 ni− ci• ˆci ! xi = 0.

1.1.6 R´esolution des ´equations de vraisemblance

Les estimateurs du maximum de vraisemblance ˆβj des param`etres βj sont solutions du

système (1.3). Les équations composant ce système ne possèdent en général pas de solution explicite et doivent dès lors être résolues numériquement. On peut par exemple utiliser la méthode de Newton-Raphson, que nous rappelons brièvement ci-dessous.

Notons U(β) le vecteur gradient de la log-vraisemblance, dont la composante j est Uj(β)=

∂ ∂βj

L(β | y)

et notons H(β) la matrice hessienne de L (β | y), i.e. celle dont l’´el´ement ( j, k) est ∂2

∂βj∂βk

L(β | y) .

Pour β∗proche de ˆβ, un développement limité de Taylor donne 0= U(ˆβ) ≈ U(β∗)+ H(β∗)( ˆβ − β∗), qui permet d’écrire

U(β∗)+ H(β∗)( ˆβ − β∗) ≈ 0, ou encore

ˆ β ≈ β∗

(26)

Ceci suggère une procédure itérative pour obtenir l’estimateur du maximum de vrai-semblance ˆβ de β, partant d’une valeur initiale ˆβ(0) que l’on espère proche de ˆβ, on définit la (r+ 1)-ème valeur approchée ˆβ(r+1)de ˆβ à partir de la r-ème ˆβ(r)_par

ˆ

β(r+1)_{≈ ˆ}_β(r)_{− H}−1_{( ˆ}_β(r)_{)U( ˆ}_β(r)_). _(1.7)

Cette procédure itérative pour obtenir l’estimateur du maximum de vraisemblance cor-respond à la méthode de Newton-Raphson.

Remarque 1.7 Signalons une méthode astucieuse de résolution itérative des équations de vraisemblance. A l’étape r, il suffit de minimiser un critère des moindres carrés pondérés du type n X k=1 ωk zk− xtkβ 2

où les pseudo-réponses zk sont données par

zk = xtkβ (r)_{+ (y} k −µk) ∂ηk ∂µk les poids ω−1 k = ∂ηk ∂µk ! V(µk).

Dans ces formules,µk etηk sont calcul´ees pour les valeurs courantesβ(r)du param`etreβ.

On stoppera la proc´edure lorsque la diff´erence entre β(r)_etβ(r−1)_{est su}ffisamment petite.

Example 1.8 (R´egression de Poisson). Si les observations nisont, de loi Poi(λi), le vecteur

gradient, de L(β | n), de dimension p + 1, est donn´e par U(β) =

n

X

i=1

xi(ni−λi) avecλi = diexp βtxi,

o`u l’on a ajout´e au vecteur xiune composante xi0= 1. La matrice hessienne, de dimension

(p+ 1) × (p + 1) est donn´ee par H(β)= −

n

X

i=1

(27)

(r+ 1)-ème valeur approchée ˆβ(r+1)de ˆβ à partir de la r-éme ˆβ(r)_par

ˆ

β(r+1)_{= ˆβ}(r)_{+ (X}t

diag ˆλ(r))X−1Xtn − ˆλ(r) . (1.8) Une bonne valeur initiale ˆβ(0)_{est obtenue en prenant ˆ}β(0)

0 = ln n, o`u n est le nombre moyen

de sinistres par police, et ˆβ(0)_j = 0 pour j = 1, ..., p. Notez que ˆβ(0) correspond en fait au mod`ele de Poisson homog`ene.

L’algorithme itératif fournissant l’estimateur du. maximum de vraisemblanceβ dans le modèle de Poisson peut encore s’écrire

ˆ β(r+1) _{= ˆβ}(r)₊        n X i=1 λ(r) i xix t i        −1 n X i=1 xi ni−λ(r)_i =        n X i=1 q λ(r) i xi ! q λ(r) i xi !t       −1 n X i=1 q λ(r) i xi !        q λ(r) i ni−λ (r) i λ(r) i + qλ(r) i x t iβˆ (r)       .

On constate que ˆβ(r+1)n’est autre que l’estimateur des moindres carrés associé au modèle de régression linéaire q λ(r) i        ni−λ (r) i λ(r) i + xt iβˆ (r)        = q λ(r) i xi !t ˆ β(r+1)₊ i,

o`uiest un terme d’erreur gaussien centr´e. L’estimateur du maximum de vraisemblance du

paramètreβ peut donc être obtenu à l’aide d’une méthode des moindres carrés itérative. De manière équivalente, ˆβ peut être obtenu grâce à un ajustement des moindres carrés pondérés des pseudo-variables

z(r)_i = ni−λ (r) i λ(r) i + xt iβˆ (r)

sur xi, o`u les poids

q λ(r)

(28)

1.1.7 Intervalle de confiance pour les param`etres

M´ethode du rapport de vraisemblance

La méthode du rapport de vraisemblance est basée sur le profil de vraisemblance, défini pour le paramètre βjcomme la fonction

£jβj | y = max

β0,...,βj−1,βj+1,...,βp

£ (β | y) .

Si ˆβMV est l’estimateur du maximum de vraisemblance de β, 2{L(βMV | y) − Lj(βj | y)}

est approximativement de loi du khi-deux à un degré de liberté, pour autant que βj soit la

vraie valeur du paramètre, où Lj(βj | y)= ln £j(βj | y). Dès lors, un intervalle de confiance

au niveau 1 − α pour βj est fourni par l’ensemble des valeurs ζ telles que la diff´erence

L( ˆβMV | y) − Lj(ζ | y) est suffisamment petite, ou encore telles que 2{L(ˆβMV | y) − Lj(ζ |

y)} ≤ χ2 1−α,1, i.e. IC = {ζ ∈ R | Lj(ζ | y) ≥ L( ˆβMV | y) − 1 2χ 2 1−α,1}.

Les extrémités de cet intervalle sont obtenues numériquement en approximant la fonc-tion de vraisemblance par une surface de degré 2. Spécifiquement, nous recourons à l’ap-proximation L(β | y) ≈ L(β0 | y)+ (β − β0)tU(β)+ 1 2(β − β0) t H(β)(β − β0),

qui devrait ˆetre de bonne qualit´e pour β0suffisamment proche de β. En approximant H(β)

par son espérance mathématique −τ on obtient encore L(β | y) ≈ L(β0 | y)+ (β − β0)tU(β) − 1 2(β − β0) t_{τ(β − β} 0). Méthode de Wald

Grâce à l’approximation normale pour ˆβ, un intervalle de confiance au niveau de confiance 1 − α pour βjest donné par

h ˆβj± zα₂

√ vj j

i

où vj j est l’élément diagonal ( j j) de τ−1. Cet intervalle de confiance est souvent appelé

(29)

On d´esire tester l’hypoth`ese Ho : β = β0 = (β0, β1, ..., βq)t contre H1 : β = β1 =

(β0, β1, ..., βq)t où q < p < n. Ceci revient donc à tester la nullité simultanée de βq+1, ..., βp.

On utilise alors la statistique∆ qui vaut la différence entre les déviances des deux modèles, à savoir

∆ = D0− D1 = 2(ln Lβˆ1(y) − ln Lβˆ0(y)) ≥ 0.

On peut montrer que∆ est approximativement de loi χ2

p−q. On rejette H0au profit de H1

lorsque

∆obs > χ2_p−q;1−α,

o`u χ2

p−q;1−αest le quantile d’ordre 1 − α de la loi χ

2

p−q.

L’intérêt de ce type de test apparaˆıt lorsque l’actuaire se demande s’il convient de grou-per certains niveaux des variables catégorielles. En effet, le test de nullité des coefficients de régression indique seulement si le niveau en question doit être fusionné avec le niveau de référence. Il se pourrait cependant que deux niveaux d’une variable catégorielle soient sta-tistiquement équivalents, mais diffèrent tous deux du niveau de référence. On s’intéressera alors à un test de type H0 : β1 = β2. On pourrait tester H0 : β3 = 0 et H0 : β4 = 0, qui nous

indiqueraient si les moins de 30 ans ou les plus de 60 ans diff`erent des 30 − 65 ans, mais aussi H0 : β3= β4qui nous indiquera s’il convient de grouper les moins de 30 ans avec les

plus de 65 ans.

1.1.9 La pratique des modèles linéaires généralisés et l’importance du

choix de la sous-famille exponentielle

Les quelques exemples mentionnés en introduction suffisent souvent en pratique : modé-lisation des coûts des sinistres par un modèle de régression Gamma, et modémodé-lisation des

(30)

nombres par un mod`ele de r´egression de Poisson. Pourtant, le choix de la sous-famille n’est pas neutre sur une tarification.

Consid´erons ainsi l’exemple (simpliste) suivant, bas´e sur trois observations,

observation i 1 2 3

variable `a expliquer Yi(coˆut des sinistres) 1 2 8

variable explicative Xi (puissance du v´ehicule) 1 2 3

On cherche à ajuster un modèle linéaire généralisé, i.e. g(E[Y]) = a + βX où g est une fonction de lien. La Figure 1.1 présente l’influence du choix de la loi de probabilité (pour la fonction de lien canonique), en considérant successivement Yi de loi Normale, de loi de

Poisson et de loi Gamma.

Si les trois lois donnent des résultats proches au bord (pour des valeurs de X proches de 1 ou de 3), ailleurs, le comportement est sensiblement différent. En particulier, par rapport aux deux autres lois, la loi Gamma propose un coût des sinistres plus important (à puissance égale) pour les petites et les grandes puissances, et en contrepartie propose un coût moins important pour les puissances moyennes. Ce coût reflétant la prime, et si le vrai modèle est celui de Poisson, on peut interpréter ce graphique de la façon suivante :

- avec une mod´elisation normale, les v´ehicules de puissance moyenne payent pour le risque des autres, en ayant une prime plus importante que leur vrai risque,

- avec une modélisation Gamma, les véhicules de puissance importante, ou très faible, payent pour le risque des véhicules de puissance moyenne, sous-tarifés.

Aussi, et bien que cette analyse doit être mitigée par la prise en compte de l’impact de la fonction de lien, on notera que le choix de la loi de la variable à expliquer n’est en aucun cas neutre quant aux primes pures qui en découlent.

L’importance de la fonction de lien

Nous avons noté ci-dessus que le choix de la sous-famille exponentielle considérée n’était pas neutre quant à la tarification. Le même résultat reste vrai pour le choix de la fonction de lien. Toujours sur les trois observations, la Figure 2.1 représente l’influence de

(31)

Figure 1.1: Ajustement d’un modèle linéaire géniralisé à partir de trois points, pour des lois normales, Poisson et Gamma.

la fonction de lien (pour une loi de Poisson et une loi Gamma pour Y). On peut noter qu’à famille de lois fixée, le choix de la fonction de lien n’est, là encore, pas neutre.

Toutefois, on notera qu’il est souvent d’usage d’utiliser la fonction de lien logarith-mique puisqu’elle présente l’avantage de donner un modèle multiplicatif, et les coefficients βjont alors une interprétation simple, en terme de multiplicateurs.

Si le choix de la fonction de lien n’est pas innocent en matière de tarification, il est toutefois possible de prendre cette fonction comme inconnue, et de chercher à l’estimer à partir des données. Pour cela, la transformation de Box-Cox permet d’avoir la forme paramétrique simple g(x)=          xλ− 1 /λ, si λ , 0, log (x) , si λ= 0.

On notera que λ = 1 correspond à une fonction lien identité (modèle additif), et λ → 0 à une fonction de lien logarithmique (modèle multiplicatif). Si λ= −1, on retrouve également

(32)

la fonction lien inverse. Aussi, un grand nombre de fonctions de lien usuelles appartiennent `a cette famille. Il est alors possible de chercher λ qui maximise la vraisemblance du mod`ele.

Figure 1.2: Ajustement d’un modèle linéaire généralisé àpartir de trois points, pour des lois de Poisson-Gamma, avec différentes fonctionliens.

(33)

Chapitre 2

Tarification `a posteriori

Si toutes les caractéristiques influençant le nombre de réclamations pouvaient être me-surables et incorporées dans la tarification, les classes de risque seraient probablement ho-mogènes. Les différences individuelles par rapport à la moyenne ne causeraient pas un réajustement de la prime. Malheureusement, plusieurs des caractéristiques des assurés ne peuvent être prises en compte dans la tarification à priori soit parce qu’elles ne sont pas observables, soit parce qu’elles sont difficilement mesurables. On peut citer entre autres l’agressivité au volant, les réflexes, la conduite sous l’effet de l’alcool, etc. Il est bien connu que ces variables cachées peuvent avoir un impact significatif sur le nombre de réclamations des assurés Denuit et al. (2007). Par conséquent, le portefeuille est encore hétérogène malgré l’utilisation de plusieurs variables de classification dans la tarification à priori. Pour cette raison, les actuaires utilisent une méthode de tarification basée sur l’expérience si-nistre des assurés. Connu sous le nom de tarification à posteriori, c’est une méthode utilisée par les actuaires afin de tenir compte des différences individuelles de chaque assuré dans le portefeuille. Cette méthode consiste à modéliser l’hétérogénéité du portefeuille à l’aide d’un effet aléatoire. L’analyse à posteriori de cet effet aléatoire en fonction du nombre de réclamations de l’assuré permet de réévaluer la prime à priori afin de refléter le risque réel que représente l’assuré. L’utilisation de l’historique des réclamations pour ajuster la prime de l’assuré vient du fait qu’il est bien connu que le meilleur prédicteur du nombre

(34)

d’acci-dents futurs que l’assuré déclarera n’est pas l’âge ou le type de véhicule mais le nombre d’accidents passés qu’il a déclarés Denuit et al. (2007).

2.1 Syst`emes bonus-malus

2.1.1 Vue d’ensemble des syst`emes bonus-malus

Les actuaires utilisent plusieurs systèmes ou conceptes mathématiques afin de déterminer la prime des assurés en fonction de leur expérience sinistre. Ces systèmes de tarifica-tion à posteriori pénalisent les assurés responsables d’un ou plusieurs accidents déclarés par des surcharges (majorations ou malus) et récompensent les assurés n’ayant pas eu de réclamations par des escomptes (rabais ou bonus). D’un point de vue des assurés, il n’est pas toujours clair de la façon dont l’assureur détermine les rabais et majorations en fonc-tion de leur historique de sinistre. Pour cette raison, les actuaires ont développé de nouvelles méthodes de tarification à posteriori connu sous le nom de système bonus-malus. Le but de ce système est de déterminer de manière adéquate mais aussi de manière à être com-pris d’un large public (comme les assurés ainsi que des gens dans la compagnie tels que les agents, les courtiers, les administrateurs, les dirigeants, etc.), le montant de prime à al-louer à chaque assuré en fonction de son historique de réclamations. Les premiers systèmes bonus-malus furent utilisés en assurance automobile et remontent à aussi loin qu’en 1910 en Angleterre, suivi de près par le Canada en 1930 Lemaire (1995). Ces systèmes accor-daient une réduction de 10% par exemple, en cas d’une année passée sans réclamation. En cas de réclamation, aucune pénalité n’était appliquée. Depuis ce temps, les systèmes bonus-malus ont beaucoup évolué et une théorie fondée sur les chaˆınes de Markov a permis de mieux les analyser. Leur principal avantage est d’offrir un moyen simple de tenir compte de variables de tarification à posteriori, tout en récompensant les assurés qui conduisent pru-demment. Les systèmes bonus-malus sont surtout utilisés en assurance automobile car il est généralement reconnu qu’un conducteur a un certain contrôle sur son nombre d’accidents.

(35)

soit le marché est complètement libre. Lorsqu’ils sont imposés par le gouvernement, tous les assureurs doivent adopter le même système. Tandis que lorsque le marché est complète-ment libre chaque assureur construit son propre système. En Europe, une loi sur le libre marché est en cours d’application, tandis que dans les pays asiatiques les bonus-malus sont général-ement réglementés par le gouvernement Lemaire (2004). En Amérique, les deux types se retrouvent. Dans le cas particulier du Québec, la SAAQI utilise un système semblable au bonus-malus pour pénaliser les infractions au code de la route. La configura-tion des systèmes varie aussi à travers le monde. Certains sont très simples et ne tiennent compte que du nombre de réclamations, tandis que d’autres tiennent aussi compte de la sévérité des accidents, de la possibilité de non augmentation de la prime et de la possibilité de couverture gratuite Lemaire (1995, 2004).

Dans cette section, nous analyserons les systèmes bonus-malus à partir du concept de système de tarification. Cette présentation offre un cadre mathématique rigoureux qui per-met de synthétiser les notions essentielles de la théorie.

2.1.2 Description d’un syst`eme bonus-malus

En assurance automobile, un assureur doit établir un système de tarification de sorte à être compétitif tout en contrôlant le risque qu’il assume. Soit (Xt)_t∈N le risque à tarifer

et (Ct)_t∈N la classe de tarif d’un risque. Muni de cette notation, nous allons pr´eciser la

terminologie.

Definition 2.1 (Classe de tarif) Une classe de tarif(Ct) détermine la prime à être chargée

au temps t pour assumer le risque encouru dans la p´eriode[t, t+ 1]. Le processus (Ct)t∈N

(36)

Il est généralement supposé que (Xt)_t∈N est indépendant de (Ct)_t∈N, i.e. que le risque

ne dépend pas de la classe de tarif. Nous adopterons aussi cette hypothèse. Cependant, la classe de tarif dépend du risque comme le requiert tout système de tarification.

Definition 2.2 (Variable de tarification à posteriori) Variable de tarification dont la valeur est connue après que le risque soit observé, i. e. si(Yt)t∈Nest une variable de tarification à

posteriori pour le risque(Xt)_t∈N, alors

Yt+1est connue une fois Xt+1observ´e,∀t ∈ N.

Pour les variables à posteriori, le nombre de réclamations, le nombre d’accidents res-ponsables, ou le nombre d’infractions au code de la route, sont des exemples. Des études comme celle de Lemaire (1977), montrent que les variables à posteriori sont de bien meilleurs prédicteurs pour l’estimation du risque comparativement aux variables à priori. C’est pour-quoi il est crucial que la règle de décision u d’un système de tarification incorpore des va-riables à posteriori dans son design. Un système bonus-malus définit Yt comme le nombre

d’accidents responsables et At comme la classe de tarif de la période précédente.

Definition 2.3 (Syst`eme bonus-malus)

(i) Un système bonus-malus est un système de tarification où en début de période un risque est classé dans la classe de tarif Ct. En fin de période, le risque est classé dans la

classe Ct+1, d’après la règle de décision u . La règle de décision u détermine la classe de

tarif Ct+1en fonction de la classe de tarif Ctet du nombre d’accidents responsables observ´e

Yt+1de la période précédente

Ct+1= u (Ct, Yt+1) (2.1)

`

A t = 0, la valeur de C0est fix´e `a i0,

(ii) les classe de tarif (Ct)_t∈Npeuvent prendre leur valeur parmi l classes possibles. La

classe1 accorde le plus grand bonus, tandis que la classe l accorde le plus grand malus. (iii) `A la i-i`eme classe de tarif correspond un pourcentage d’une prime de base bi tel

(37)

Le système bonus-malus classique, présenté dans la définition précédente, peut être généralisé en modifiant la règle de décision u. Par exemple, en plus du nombre d’accidents responsables observé Yt+1, nous pourrions aussi faire dépendre les classes de tarifs du type

d’accident Y_t0₊₁tel que

Ct+1 = u

Ct, Yt+1, Y

0

t+1 .

Example 2.4 (Système bonus-malus de la SAAQ) Au Québec, la SAAQ utilise un système de points d’inaptitude basé sur la gravité relative des infractions au code de la route. Par exemple, brûler un feu rouge entraˆıne 3 points d’inaptitude, tandis qu’un excès de vitesse, de 100km sur la limite prescrite, entraˆıne 12 points d ’inaptitude. Ces points sont inscrits au dossier du conducteur pour une période de deux ans. Le système bonus-malus tel que présenté par la société de l’Assurance Automobile du Québec, possède 5 classes (voir le tableau 2.1).

Ce système n’est pas un bonus-malus traditionel du fait que les classes sont définies d’après la gravité relative des infractions au code de la route, plutôt que du nombre d’in-fractions au code de la route. Cependant, le système n’en demeure pas moins un système bonus-malus en tant que tel et constitue un exemple d’un système où les infractions mi-neures n’entraˆınent pas les mêmes sanctions que les infractions majeures. En ce sens, le système de la SAAQ corrige un des défauts des systèmes bonus-malus que plusieurs auteurs

(38)

ont relev´es Lemaire (2004).

Classe Points d’inaptitude Niveau de prime

5 > 15 796%

4 [12, 14] 572%

3 [8, 11] 348%

2 [4, 7] 200%

1 [0, 3] 100%

Table. 2.1 - Classe attribu´ee selon le nombre de points d’inaptitude

Example 2.5 (Système bonus-malus classique) Le système bonus-malus de la Tha¨ılande, tel que présenté dans Lemaire(1995), constitue un exemple représentatif d’un système bonus-malus classique. Il possède 7 classes avec un niveau de prime (b1, ..., b7) =(60%,

70%, 80%, 100%, 120%, 130%, 140%) et la classe de d´epart C0 = 4. La r`egle de

transi-tion est u(i.k)=                          max(1, i − 1), k= 0 et 1 ≤ i ≤ 7 4, k = 1 et i < 4 5, k > 1 et i < 4 min(7, i+ 1), k , 0 et i ≥ 4 Ceci est repr´esent´e de fa¸con compacte dans le tableau (2 .2).

2.1.3 Analyse d’un syst`eme bonus-malus

Structure markovienne

Il est généralement supposé que (Yt)_t∈Nforme une suite de variables aléatoires

indépend-antes et identiquement distribuées. Ceci revient à assumer que les habiletés de conduite d’un assuré ne changent pas dans le temps, i.e. que les conducteurs n’apprennent pas de leurs expériences. Nous poserons aussi cette hypothèse. Comme nous le verrons à la re-marque (2.26) les systèmes bonus-malus possèdent un mécanisme pour compenser les la-cunes de cette hypothèse.

(39)

5 120 4 6 6

4 100 3 5 5

3 80 2 4 5

2 70 1 4 5

1 60 1 4 5

Table. 2.2 - Classe attribuée après k réclamations Proposition 2.6 (Chaˆıne de Markov de la classe de tarif)

Le processus de classe de tarif(Ct)_t∈Nforme une chaˆıne de Markov homog`ene.

Preuve. Soit it la valeur prise par la classe de tarif au temps t. Avec (2.1) nous obtenons

P(Ct+1= it+1 | Ct = it, ..., C0 = i0)

= P(u(it, Yt+1)= it+1| u(it−1, Yt)= it, ..., C0 = i0)

= P(u(it, Yt+1)= it+1) (2.2)

= P(u(it, Yt+1) | Ct = it)= P(Ct+1 = it+1| Ct = it).

En (2.2) nous utilisons le fait que les variables C0, ..., Ct d´efinies par Y1, ... , Yt sont

indépendantes de u(it, Yt+1). La probabilité conditionnelle P(Ct+1 = it+1 | Ct = it) donnée

par P(u(it, Yt+1) = it+1) ne d´epend pas de la classe de tarif Ct puisque les Yt sont

identique-ment distribu´ees. Donc le processus de classe de tarif (Ct)_t∈Nforme une chaˆıne de Markov

homog`ene.

Remarque 2.7 ( Équation stochastique récursive) L’équation (2.1) peut être vue comme une équation stochastique récursive et, comme il est souligné dans Rolski et autres (1998), le processus(Ct)_t∈Nforme alors automatiquement une chaˆıne de Markov. La preuve utilisée

(40)

Soit {pk}_k∈N la distribution de probabilit´e commune `a la suite (Yt)_t∈N, nous pouvons

obtenir la matrice de transition Q associée à (Ct)_t∈Nen considérant chacun des éléments qi j

tel que Q= (qi j)i, j=1,,,.,l.

Proposition 2.8 (Probabilités de transition de la classe de tarif) La probabilité de transi-tion qi j de passer de la classe i à la classe j est donnée par

qi j = E 1j(u (i, Yt+1)) = ∞ X k=0 pk1j(u (i, Yt+1)).

Preuve. Comme (Ct)_t∈N forme une chaˆıne de Markov, avec (2.1), nous obtenons le

r´esultat qi j = P(Ct+1= j | Ct = i) = P(u(i, Yt)= j | Ct = i) = E 1j(u (i, Yt+1))

Remarque 2.9 La quantité 1ju(i, k) est parfois notée comme une règle de transition ti j(k),

ti j(k)=                 

1, si la police passe de la classe i `a la classe j lorsque k r´eclamations surviennent.

0, autrement

Ceci permet de former une matrice de transition T (k) = (ti j(k))i, j=1,...,l.T (k) est une

ma-trice 0 − 1 ayant exactement un 1 dans chaque ligne. La notation 1j(u (i, k)) facilite

l’ana-lyse comme nous l’avons vu `a la proposition (2.6). Tandis que la notation ti j(k) facilite

la présentation de la règle de décision comme nous l’avons vu dans les exemples (2.4) et (2.5). Les tableaux récapitulatifs de ces exemples correspondent en effet à la matrice T(k) représentée de façon compacte. Le choix de l’une où l’autre des notations dépend du contexte.

En pratique, il est généralement supposé que le nombre d’accidents responsables Yt

(41)

g(λ) = P (Λ = λ) = x

α−1

βα_{Γ (α)}e

−x

β,

alors Yt ˜ Binomiale N´egative(α, β

1+β).

Preuve. En conditionnant surΛ, nous pouvons utiliser la fonction génératrice des pro-babilités d’une loi de Poisson

E(Ys) = E(E(Ys|Λ)) = E(exp(Λ(s − 1))).

En reconnaissant la dernière égalité comme la fonction génératrice des moments deΛ, nous obtenons la fonction génératrice des moments d’une loi Binomiale Négative

E(Ys) = (1 − β (s − 1))−α = 1 1+ β !α 1 − 1 1+ βs !−α

Avec la proposition (2.8) et le lemme (2.11) nous pouvons calculer q(n)_{i j} , la probabilité de passer de la classe i à la classe j en n périodes, en multipliant la matrice Q par elle-même nfois. Pour analyser le comportement asymptotique de la classe de tarif, nous utilisons la notion de communication entre les classes i.e. que la classe i communique avec la classe j si ∃ n ∈ N tel que q(n)i j > 0 Ross (2003).

Proposition 2.11 (Ct)_t∈Nest une chaˆıne de Markov ergodique si et seulement si toutes les

(42)

Preuve. Si toutes les classes de tarif communiquent entre elles, la matrice de transition Qest irréductible et apériodique, d’où l’ergodicité de la chaˆıne de Markov (Ct)_t∈N.

Proposition 2.12 Si(Ct)_t∈Nest une chaˆıne de Markov ergodique alors il existe une

distri-bution stationnaire a= (aj)j=1,..,lo`u aj = lim

n→∞q

(n)

i j est la solution unique de l’´equation

a= aQ,

l

X

j=1

aj = 1.

Preuve. Suit directement de la th´eorie sur les chaˆınes de Markov.

Remarque 2.13 (i) Pour vérifier que toutes les classes d’une chaˆıne de Markov commu-niquent entre elles, une fa¸con simple consiste à faire le graphe de la chaˆıne de Markov. Si le graphe est fermé, i. e. que tous les états peuvent être rejoint à partir de n’importe quel état de départ, alors tous les états communiquent entre eux. Si ce n’est pas le cas, tous les états ne communiquent pas entre eux, et la chaˆıne de Markov n’est pas ergodique.

(ii) Plus de détails sur les notions d’ergodicité, d’irréductibilité et d’ apériodicité peuvent être trouvés dans Rolski et autres (1998). Ces notions y sont introduites en utilisant le concept de matrice régulière. Comme ces concepts ne sont pas directement reliés à notre sujet, nous ne les élaborons pas davantage.

Mesures d’efficacit´e (syst`eme bonus-malus)

Dans cette partie nous précisons la définition des éléments sur lesquels reposent l’ef-ficacité d’un système de tarification proposé par Lemaire pour analyser l’efficacité d’un système bonus-malus Lemaire (1995, 2004), et donnent les mesures applicables dans le contexte d’un système bonus-malus. Pour ce faire, nous utiliserons le processus de surplus (Ut)_t∈Ndont voici la définition rigoureuse.

Definition 2.14 (Surplus dans un syst`eme bonus-malus) Soit Xt+1le montant des

(43)

Sans perte de généralité, nous supposerons que la prime de base est de 1 et que le montant des réclamations est mis à une échelle unitaire. Ceci permet de focaliser l’analyse sur l’impact des niveaux de primes {bj} propre aux systèmes bonus-malus.

π(Ct) = l X j=1 q(t)_i 0jbj. E(Xt) = 1, ∀t ∈ N.

Remarque 2.15 Voici un bref aper¸cu de la procédure qui mêne à la calibration d’un système bonus-malus. Dans une première étape les (bj)j=1,...,l sont déterminés à l’aide

de donn´ees et d’outils statistiques. Ensuite, u et (bj)j=1,...,l sont choisis afin d’atteindre

un équilibre entre les critères d’efficacité. L’atteinte de l’équilibre entre les critères peut éventuellement demander un réajustement des(bj)j=1,...,l. En 1995, Lemaire dresse un bon

exposé de cette démarche. L’exemple détaillé de Denuit (2003), éclaire aussi par son aspect très concret et orienté vers la pratique.

Stabilit´e financi`ere

Un bon système de tarification doit induire une structure de primes qui apporte une sta-bilité financière à l’assureur. Les bonus attribués par le système ne doivent pas ultimement causer une insuffisance des tarifs.

Definition 2.16 Pour les systèmes bonus-malus, la stabilité financière est analysée à partir du pourcentage stationnaire espéré de la prime de base que nous noterons par

b0 =

l

X

j=1

(44)

Nous définissons aussi la classe stationnaire espérée c0 c0 = l X j=1 ajj,

et le niveau de stationnarit´e relatif NS RE NS RE = b

0

− b1

bl− b1

.

Un pourcentage stationnaire espéré b0supérieur à 1 suggère que le système n’accorde ultimement que des malus. Parallèlement, si ce pourcentage est inférieure 1, le système n’accorde ultimement que des bonus. L’interprétation du NS RE est semblable. Un niveau faible du NS RE suggère une forte proportion des assurés dans les classes à fort bonus.

Tandis qu’un niveau élevé du NS RE suggère une meilleure répartition des assurés à travers les classes.

Des mesures comme la probabilité de ruine, ou le niveau du surplus à la ruine, peuvent aussi être utilisées. Mais, dans la littérature sur les bonus-malus, b0 est mis de l’avant à cause de la nature markovienne des systèmes bonus-malus.

Proposition 2.17 (Stabilité financière d’un système bonus-malus) Un système bonus malus est stable financièrement si

(i) il est transparent

b0 = 1.

(ii) lorsque la stationnarité est atteinte, l’assuré ne se retrouve pas dans une classe extrême

0 < NS RE < 1.

Remarque 2.18 1. Le terme transparent découle du fait que, lorsque b0 _{, 1, les tarifs} changent progressivement dans le temps et les assurés ne peuvent alors anticiper convena-blement les bonus. Le cas de figure où un assureur charge une prime très élevée aux nou-veaux conducteurs pour compenser son déséquilibre financier est aussi dit non équitable.

(45)

respecterait pas le principe d’assurance de transfert ad´equat du risque.

3. Le NS RE est une mesure particulièrement utile pour comparer des systèmes entre eux, car, généralement, des systèmes différents ont des niveaux de prime minimum b1 et

maximum bl diff´erents.

Pour les systèmes imposés à tous les assureurs par le gouvernement, les mesures de stabilité financière permettent d’anticiper le comportement des tarifs. Pour les assureurs agissant dans un libre marché, les mesures de stabilité permettent, dans la phase de concep-tion d’un système, de corriger les défaillances.

Example 2.19 (Suite de l’exemple 2.5) Supposons que la fréquence des réclamations suit une loi de Poisson de paramètreλ. Le tableau (2.3) présente la classe stationnaire espérée c0, le pourcentage stationnaire espéré b0 et le niveau de stationnarité relatif NS RE pour différentes valeurs de λ.

Le système bonus-malus de la Tha¨ılande est transparent et maintient les assurés dans la classe médiane, si la fréquence des réclamations est de 0.5. La classe initiale de ce système, la classe 4, est aussi la classe stationnaire espérée pourλ = 0.5. Le système est donc stable financièrement dans un environnement où il y a une réclamation tous les deux ans. Pour un environnement où le risque est plus élevé, le système réagit en chargeant une surprime.