sujets 16 mars 2016 creteil

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Olympiades académiques

de mathématiques

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Académie de Créteil

Mercredi 16 mars de 8 h à 12 h 10

- Pause de 10 h à 10 h 10

L’épreuve se déroule en deux parties indépendantes de deux heures chacune, les énoncés

des deux parties sont donc séparés et distribués séparément à des moments

différents. Les copies rédigées sont ramassées à l’issue de la première partie (« exercices

nationaux »). Une pause de dix minutes est prévue, avant la seconde partie (« exercices

académiques »). Les candidats ne sont pas autorisés à quitter les locaux avant 10 heures.

Les calculatrices sont autorisées selon la législation en vigueur.

Il est conseillé aux candidats qui ne pourraient formuler une réponse complète à une

question d’exposer le bilan des initiatives qu’ils ont pu prendre.

Les énoncés doivent être rendus au moment de quitter définitivement la salle de

composition.

Exercices nationaux

Les candidats traitent deux exercices. Ceux de la série S traitent les exercices

numéros 1 (Échanges thermiques) et 2 (Liber abaci), les autres traitent les

exercices numéros 1 (Échanges thermiques) et 3 (Demi-tour !)

Ce sujet comporte 10 pages numérotées de 1 à 10. Les quatre premières pages concernent

les exercices nationaux et les six pages suivantes concernent les exercices académiques.

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Exercice national numéro 1 (à traiter par tous les candidats)

Échanges thermiques

En architecture, on appelle facteur de compacité d’un bâtiment le rapport de la surface extérieure – y compris la base en contact avec le sol – de ce bâtiment, mesurée en m², à son volume, mesuré en m3_{. Le facteur de}

compacité 𝑐𝑐 =_𝑉𝑉𝑆𝑆 , exprimé en m−1_{, donne une première évaluation grossière des performances thermiques}

d’une construction d’habitation.

1. Calculs de compacité pour quelques volumes usuels, dessinés ci-dessous.

a.

Déterminer le facteur de compacité d’un cube de côté a.

b.

Déterminer celui d’une demi-sphère de rayon 𝑟𝑟. On rappelle que le volume d’une sphère de rayon 𝑟𝑟 est 4₃π𝑟𝑟3

et que sa surface a pour aire 4π𝑟𝑟2_.

c.

Déterminer celui d’une pyramide régulière à base carrée de côté a, et de hauteur verticale a.

d.

En quoi, d’après vous, le facteur de compacité est lié aux performances thermiques d’un bâtiment ?

2. On se propose d’étudier le facteur de compacité d’un pavé droit de volume 1 dont les dimensions en mètres

sont 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 et 𝑧𝑧 .

a.

Vérifier que pour tous nombres 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 et 𝑐𝑐 : 𝑎𝑎3_{+ 𝑏𝑏}3_{+ 𝑐𝑐}3_{− 3𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐 =}1

2(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐)[(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)2+ (𝑏𝑏 − 𝑐𝑐)2+ (𝑐𝑐 − 𝑎𝑎)2]

b.

En déduire que pour tous nombres réels positifs 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 et 𝑐𝑐, 𝑎𝑎3_{+ 𝑏𝑏}3_{+ 𝑐𝑐}3_{≥ 3𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐 .}

c.

En déduire que pour tous nombres réels positifs 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 et 𝐶𝐶 dont le produit est égal à 1 : 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 ≥ 3.

d.

Montrer que le facteur de compacité de ce pavé est : 𝑐𝑐 = 2 �_𝑥𝑥1+_𝑦𝑦1+1_𝑧𝑧�.

e.

Quel est lepavé droit de volume 1 qui rend minimal le facteur de compacité ?

3. Dans cette question, on désire déterminer tous les pavés droits dont le facteur de compacité est égal à 1 et

dont les dimensions 𝑝𝑝, 𝑞𝑞 et 𝑟𝑟, exprimées en mètres, sont des nombres entiers. On prendra 𝑝𝑝 ≤ 𝑞𝑞 ≤ 𝑟𝑟.

a.

Établir que résoudre ce problème consiste à déterminer les triplets ordonnés d’entiers 𝑝𝑝, 𝑞𝑞 et 𝑟𝑟 tels que

1 𝑝𝑝+ 1 𝑞𝑞+ 1 𝑟𝑟= 1 2.

b.

Démontrer que 3 ≤ 𝑝𝑝 ≤ 6.

c.

Montrer que si 𝑝𝑝 = 3 alors 7 ≤ 𝑞𝑞 ≤ 12.

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Exercice national numéro 2 (à traiter par les candidats de la série S)

Liber abaci

Il y a 4000 ans, les anciens égyptiens utilisaient en calcul une propriété arithmétique bien étonnante : tout nombre rationnel 𝑝𝑝_𝑞𝑞 strictement positif s’écrit comme une somme de fractions unitaires, c'est-à-dire d’inverses d’entiers positifs, tous différents les uns des autres. Depuis lors, une telle décomposition s’appelle une « écriture égyptienne ». Ainsi, la somme 1₆+₁₇1 +₁₀₂1 est-elle une « écriture égyptienne » du quotient ₁₇4, tandis que les sommes ₁₇1 +₁₇1 +₁₇1 +₁₇1 et ₁₇1 +₁₇3 n’en sont pas. Plusieurs questions sur ces écritures demeurent, aujourd’hui,

encore ouvertes.

1.

Pourquoi les deux dernières décompositions données en préambule ne sont-elles pas des « écritures égyptiennes » ? Proposer une écriture égyptienne de 2₃ comportant deux fractions unitaires, puis une autre de 2₃ en comportant trois.

2. Un algorithme.

Soient 𝑝𝑝 et 𝑞𝑞 des entiers tels que 0 < 𝑝𝑝 < 𝑞𝑞. Le quotient 𝑝𝑝_𝑞𝑞 est donc un élément de ]0; 1[ Poser 𝑘𝑘 = 1, 𝑝𝑝1= 𝑝𝑝, 𝑞𝑞1= 𝑞𝑞.

Tant que 𝑝𝑝𝑘𝑘 ≠ 0

Déterminer le plus petit entier positif 𝑛𝑛𝑘𝑘 tel que _𝑛𝑛1

𝑘𝑘

≤

𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑞𝑞𝑘𝑘. Ainsi : 1 𝑛𝑛𝑘𝑘

≤

𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑞𝑞𝑘𝑘

<

1 𝑛𝑛𝑘𝑘 − 1. Poser 𝑝𝑝𝑘𝑘+1 = 𝑝𝑝𝑘𝑘𝑛𝑛𝑘𝑘− 𝑞𝑞𝑘𝑘 et 𝑞𝑞𝑘𝑘+1= 𝑞𝑞𝑘𝑘𝑛𝑛𝑘𝑘. Ainsi : 𝑝𝑝_𝑞𝑞𝑘𝑘+1 𝑘𝑘+1

=

𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑞𝑞𝑘𝑘

−

1 𝑛𝑛𝑘𝑘.

Incrémenter 𝑘𝑘, c'est-à-dire augmenter la valeur du compteur 𝑘𝑘 d’une unité. Fin du Tant que.

a. On fait ici tourner l’algorithme sur le quotient 𝑝𝑝

𝑞𝑞

=

4

17. Au début du premier tour de boucle, 𝑘𝑘 = 1, 𝑝𝑝1 = 4,

𝑞𝑞1= 17. On détermine alors 𝑛𝑛1= 5. Puis 𝑝𝑝2= 3, 𝑞𝑞2= 85 et 𝑘𝑘 vaut 2 avant d’entrer dans le deuxième tour de

boucle. Poursuivre jusqu’à l’arrêt complet. Que vaut _𝑛𝑛1

1

+

1 𝑛𝑛2

+

1 𝑛𝑛3

+

1

𝑛𝑛4

?

Les quatre fractions unitaires

sont-elles distinctes ?

b. On suppose que l’algorithme prend fin à l’issue du N-ième tour de boucle. Justifier qu’il permet de donner une

« écriture égyptienne » du quotient 𝑝𝑝_𝑞𝑞.

c. Justifier clairement que l’algorithme ne peut être illimité.

Cet algorithme permet donc de donner une « écriture égyptienne » de n’importe quel nombre rationnel élément de ]0; 1[. Il appartient à une classe d’algorithmes dits « gloutons » et est attribué à Léonard de Pise, auteur du Liber abaci (1202).

L’adjectif « glouton » s’applique à des algorithmes faisant, à chaque étape, un choix optimal. L’optimalité globale n’est pas nécessairement atteinte comme en témoignent les deux décompositions de ₁₇4 rencontrées dans ce problème.

3. Et pour

𝑝𝑝_𝑞𝑞

≥ 1

?

a. L’algorithme précédent fonctionne-t-il pour 𝑝𝑝_𝑞𝑞

> 1

?

b. Soit 𝑎𝑎 un entier supérieur ou égal à 3.

Justifier que : _𝑎𝑎+11

+

_𝑎𝑎+21

+

_𝑎𝑎+31

… +

_{2𝑎𝑎−1}1

+

_2𝑎𝑎1

>

₂1 et _𝑎𝑎+11

+

_𝑎𝑎+21

+

_𝑎𝑎+31

… +

_{4𝑎𝑎−1}1

+

_4𝑎𝑎1

> 1

c. En déduire qu’il existe un entier naturel 𝑏𝑏 > 𝑎𝑎 tel que :

1 𝑎𝑎+1

+

1 𝑎𝑎+2

+ ⋯ +

1 𝑏𝑏−1

+

1 𝑏𝑏

≤ 1 <

1 𝑎𝑎+1

+

1 𝑎𝑎+2

… +

1 𝑏𝑏−1

+

1 𝑏𝑏

+

1 𝑏𝑏+1.

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Exercice national numéro 3 (à traiter par les candidats des séries

autres

que

la série S)

Demi-tour !

On dispose 𝑛𝑛 pions verticalement. Ils sont noirs sur une face, blancs sur l’autre, et sont numérotés de 1 à 𝑛𝑛,. Au début du jeu, chaque pion présente aléatoirement sa face noire ou sa face blanche. À chaque coup – qu’on appelle une opération dans toute la suite– on retourne un des pions et tous ses voisins du dessus. Le dessin ci-contre donne l'exemple du changement qu’apporte à une configuration initiale une opération avec le troisième jeton. L’objectif du jeu est de trouver une séquence d’opérations telle que tous les pions montrent leur face blanche.

1.

L’ordre dans lequel se succèdent deux opérations a-t-il de l’importance ?

2. Quel est l’effet combiné de deux opérations identiques ?

3. Indiquer les numéros des pions à retourner pour ne voir que des

faces blanches, dans les situations représentées ci-contre.

4. On donne l’algorithme suivant, pour une configuration de 𝑛𝑛 cases :

Pour 𝒌𝒌 allant de 𝒏𝒏 à 1 par pas de −𝟏𝟏

Si le jeton 𝒌𝒌 est noir, effectuer une opération avec ce jeton Fin Pour

a.

Expliquer pourquoi cet algorithme blanchit la colonne en un

minimum d’opérations

.

Combien d’opérations met-il au maximum en œuvre ?

b.

Donner un exemple de configuration de 𝑛𝑛 cases nécessitant 𝑛𝑛 opérations.

5.

Dans cette question et les suivantes, on change légèrement les règles du jeu en en proposant des variantes :

a.

À chaque coup – qu’on appelle toujours une opération – on retourne un des pions et son voisin du dessus uniquement (quand il en a un). Prouver qu’il est toujours possible de blanchir la colonne.

b.

À chaque coup – qu’on appelle toujours une opération – on retourne un des pions et son voisin du dessus quand il en a un, le dernier sinon. Ainsi, agir sur le pion n°1 retourne et le n°1 et le n° 𝑛𝑛. Donner, en le justifiant, un exemple de configuration à 4 jetons qui soit impossible à blanchir.

6. Jeu à deux dimensions.

On considère maintenant un plateau carré de 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 cases. Les jetons ont une face noire et une blanche. Le but du jeu est de rendre visible les seules faces blanches. Les cases sont numérotées de haut en bas et de gauche à droite, et le jeton situé à l’intersection de la ligne 𝑖𝑖 et de la colonne 𝑗𝑗 est appelé jeton (𝑖𝑖, 𝑗𝑗). Une opération est définie ainsi : lorsque l'on retourne le jeton (𝒊𝒊, 𝒋𝒋), on forme un rectangle dont le coin supérieur gauche est le jeton (𝟏𝟏, 𝟏𝟏) et le coin inférieur droit est le jeton (𝒊𝒊, 𝒋𝒋) : tous les jetons situés dans ce rectangle sont retournés. L’exemple ci-dessus montre ce qu’il se passe quand on retourne le jeton (2, 3) d’un plateau 4 x 4.

Proposer un algorithme qui fasse apparaître toutes les faces blanches d’un plateau 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 en moins de 𝑛𝑛2 _opérations.

7. Proposer un jeu analogue à trois dimensions.

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 Avant Après A B C D 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4 Avant Après

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Olympiades académiques

de mathématiques

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Académie de Créteil

Mercredi 16 mars de 10 h 10 à 12 h 10

Exercices académiques

Les candidats ne sont pas autorisés à quitter les locaux avant la fin de la première heure.

Les calculatrices sont autorisées selon la législation en vigueur.

Les énoncés doivent être rendus au moment de quitter définitivement la salle de

composition.

Les candidats traitent les deux exercices académiques.

Il est conseillé aux candidats qui ne pourraient formuler une réponse complète à une

question d’exposer le bilan des initiatives qu’ils ont pu prendre.

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Exercice académique numéro 1 (à traiter par tous les candidats)

Cousu de fil d’or

I] Aire d’un pentagone régulier :

Considérons un pentagone régulier et notons 𝑐𝑐 et 𝑑𝑑 les longueurs respectives d’un côté et d’une diagonale. (figure ci-contre) Dans un pentagone régulier, on a :

- Toutes les diagonales sont de même longueur.

- Chaque diagonale est parallèle à un côté du pentagone. - Deux diagonales issues d’un même sommet forment un

losange avec les prolongements des deux côtés qui leurs sont respectivement parallèles.

1. Justifier que d c 1

c = +d .

2. On pose d

c

φ= le rapport entre la longueur d’une diagonale et celle d’un côté du pentagone régulier. a) Justifier que φest solution de l’équation 2

1 0

x − − =x .

b) En déduire que 1 5 2

φ= + .

3. Afin de calculer l’aire d’un pentagone régulier on peut décomposer celui-ci en 3 triangles EAD, DAB et CBD. (figure ci-contre)

Démontrer que l’aire du pentagone ABCDE, en fonction de c et φ, est égale à 2

(

4 3 2 3

)

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II] Aire d’un hexagone :

Considérons un hexagone régulier de centre O et notons 𝑐𝑐 la longueur d’un côté.

Justifier que l’aire de cet hexagone est égale, en fonction de 𝑐𝑐, à

2

3 3

2

c

.

III] Le ballon de foot :

L’icosaèdre est le polyèdre régulier qui possède le plus de faces (20 faces en formes de triangles équilatéraux qui se rejoignent par cinq à chaque sommet). Les angles de ses sommets sont trop pointus pour utiliser ce polyèdre comme ballon de foot, on décide alors d’amputer chaque arête du tiers de sa longueur de chaque côté. Les faces triangulaires initiales sont alors changées en hexagones, tandis que les morceaux enlevés autour de chaque sommet donnent naissance à des pentagones réguliers. Le polygone obtenu est un icosaèdre tronqué formé par 20 hexagones réguliers et 12 pentagones réguliers de même côté.

Icosaèdre Icosaèdre tronqué ballon de foot (Icosaèdre tronqué gonflé) Les contraintes imposées par la réglementation internationale de football indiquent que la circonférence d’un ballon doit mesurer entre 68 cm et 70 cm.

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Exercice académique numéro 2 (à traiter par tous les candidats)

Les élastiques

Un élastique circulaire souple et suffisamment grand posé à plat sur une feuille de papier peut être déformé successivement pour obtenir des nœuds et dont la trace sur la feuille est une courbe fermée plane comportant des nœuds, des arcs et des régions.

D’une étape à l’autre, on crée de nouveaux nœuds sans faire passer les arcs créés par les nœuds présents obtenus à l’étape précédente. La configuration ci-contre ne peut donc pas être réalisée.

Voici quelques exemples de déformation possibles.

a) b) c)

On appelle :

− Nœud tout croisement de l’élastique.

− Boucle toute portion de l’élastique dont les extrémités sont un même nœud et qui n’en contient pas d’autre. − Arc toute portion de l’élastique dont les extrémités joignent exactement deux nœuds et ne contenant

aucune boucle ou autre nœud.

− Région toute surface fermée délimitée par : o Soit une boucle

o Soit des arcs et ne contenant aucun arc en son intérieur Par exemple :

− La figure a) est composée d’un nœud, 2 boucles, 2 régions. − La figure b) est composée de 3 nœuds, 6 arcs, 4 régions.

Partie A

1. Déterminer le nombre de nœuds, boucles, arcs et régions de la figure c). On ne s’autorise désormais que deux mouvements notés 𝑇𝑇 et 𝑅𝑅.

𝑇𝑇 agit sur un arc ou une boucle par torsion en créant une boucle extérieure. Exemple :

𝑇𝑇

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𝑅𝑅 agit sur une boucle par rabattement de celle-ci sur un arc périphérique ou sur une boucle de façon à l’intercepter en deux nouveaux points distincts.

Exemple :

𝑅𝑅

→

2. Recopier puis compléter les deux arbres ci-dessous en représentant les déformations obtenues par application des mouvements 𝑇𝑇 ou 𝑅𝑅 sur l’arc ou la boucle de droite.

3. On note 𝒞𝒞 l’ensemble des courbes obtenues à partir de la courbe a) par une succession de torsions 𝑇𝑇 ou rabattements 𝑅𝑅 effectuées dans un ordre quelconque mais compatible.

À chaque courbe 𝑋𝑋 de 𝒞𝒞 on associe un triplet (𝑐𝑐, 𝑟𝑟, 𝑎𝑎) où : − 𝑐𝑐 désigne le nombre de nœuds ;

− 𝑟𝑟 le nombre de régions ;

− 𝑎𝑎 le nombre total d’arcs et boucles. a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous.

Nombre de rabattements 𝑅𝑅 Nombre de torsions 𝑇𝑇 𝑐𝑐 𝑟𝑟 𝑎𝑎 1 0 0 1 2 3 𝑝𝑝 𝑞𝑞

b) Proposer une preuve des résultats énoncés dans la dernière ligne du tableau. 4. Déterminer une relation simple entre 𝑐𝑐, 𝑟𝑟 et 𝑎𝑎 valable pour tout 𝑋𝑋 ∈ 𝒞𝒞.

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Partie B

Deux courbes 𝑋𝑋 et 𝑋𝑋′ de 𝒞𝒞 étant données, on peut obtenir plusieurs nouvelles courbes, toutes notées 𝑋𝑋 ∗ 𝑋𝑋′ en procédant comme suit :

− _{On coupe au choix un arc ou une boucle périphérique de 𝑋𝑋 de façon à obtenir deux extrémités libres, et} on procède de même avec 𝑋𝑋′.

− _{On joint ensuite, sans les croiser, chacune des extrémités libres de 𝑋𝑋 à celles de 𝑋𝑋′.} Exemple :

Soit 𝑋𝑋 et 𝑋𝑋′ deux courbes de 𝒞𝒞 de triplets respectifs (𝑐𝑐, 𝑟𝑟, 𝑎𝑎) et (𝑐𝑐′_{, 𝑟𝑟}′_{, 𝑎𝑎}′_).

On note (𝑐𝑐′′_{, 𝑟𝑟}′′_{, 𝑎𝑎}′′_{) le triplet associé à 𝑋𝑋 ∗ 𝑋𝑋′.}

1. Exprimer :

− 𝑐𝑐′′ en fonction de 𝑐𝑐 et 𝑐𝑐′ ; − 𝑟𝑟′′ en fonction de 𝑟𝑟 et 𝑟𝑟′ ; − 𝑎𝑎′′ en fonction de 𝑎𝑎 et 𝑎𝑎′. 2. Soit 𝑋𝑋 ∈ 𝒞𝒞 de triplet (𝑐𝑐, 𝑟𝑟, 𝑎𝑎).

Pour tout entier 𝑝𝑝 ≥ 2, on note 𝑋𝑋𝑝𝑝 _{une courbe représentant 𝑋𝑋 ∗ 𝑋𝑋}𝑝𝑝−1_.

Déterminer le triplet associé à 𝑋𝑋𝑝𝑝 _{en fonction de 𝑐𝑐, 𝑟𝑟, 𝑎𝑎 et 𝑝𝑝.}

3. Représenter une courbe de 𝒞𝒞 telle que le nombre de nœuds de ((𝑋𝑋16₎9₎7 _{soit 2016.}

4. Soit 𝑝𝑝 un entier naturel tel que 2 ≤ 𝑝𝑝 ≤ 2016.

Démontrer qu’il n’existe aucun 𝑋𝑋 ∈ 𝒞𝒞 tel que le nombre de nœuds de 𝑋𝑋𝑝𝑝 _{soit 2017.}

5. Démontrer que, pour tout 𝑋𝑋 ∈ 𝒞𝒞, il y a au moins deux régions comportant sur leurs contours le nombre de nœuds.