La Mécanique Spatiale est l’art de
guider les engins spatiaux vers leur
destination
Cette technique est mise en œuvre par les agences spatiales et les opérateurs de satellites
Les acteurs français
Centre National d’Etudes Spatiales
Siège
PARIS
192Daumesnil
Lanceurs 234TOULOUSE
Satellites 1752KOUROU
265 Base de lancementTrajectographie
Mécanique Orbitale
Les acteurs français
Opérateurs, Industriels, Laboratoires
TOULOUSE
CANNES PARIS
Opérateur de satellites: EUTELSAT (Paris)
Industriels: ASTRIUM (Toulouse, Les Mureaux, Kourou) THALES-ALENIA SPACE (Cannes, Toulouse) Sociétés de service
Astronomes IMCCE (Paris, Lille), OCA (Grasse) Communauté de Géodésie Spatiale
Les bases
Le mouvement orbital
perturbé
Transferts interplanétaires
Changements d’orbite
Bilan et perspectives
Lois de Kepler
L’orbite d’une planète est une ellipse dont le Soleil
occupe un foyer.
Le carré de la période orbitale
de la planète est proportionnel
au cube du demi-grand axe de
l’ellipse.
µ a 2 T 3 Π =Le segment joignant la planète
au Soleil balaye une aire égale
durant des intervalles de temps
égaux.
Lois de Newton
Principe fondamental de la dynamique
..
→
=
→
=
→
r
m
m
γ
F
Loi Universelle de la Gravitation
Problème à deux corps (Soleil
+ planète) obéit au trois lois
de Képler
→
−
=
→
r
r
GM
m
F
3Le mouvement d’un point dans l’espace est défini par
six composantes (position et vitesse)
dans un repère cartésien
x, y, z, x ,y ,z
Cette représentation est souvent mal adaptée car peu
“physique”. On lui préfère souvent une représentation
équivalente en éléments orbitaux ou “képlerien”
Représentation des orbites
(
a,e,i,ω,Ω,V)
Cette représentation n’est pas unique, il en existe
beaucoup de variantes
La forme de l’orbite: a et e
V
e
e
a
r
cos
1
)
1
(
2+
−
=
τ Perigee Apogee 2a (a = demi-grand axe) ra rp a.e b p τ AP
S e = excentricité Vi
:
inclinaison
sur l’équateur
varie entre 0 et 180 degrés (i > 90
°°°°
= orbite rétrograde)
Ω
Ω
Ω
Ω
:
ascension droite du noeud ascendant
=
angle entre l’axe X et l’intersection du plan de l’orbite avec
l’équateur
Ligne des noeuds
Nœud ascendant z y Equateur Ω Ω Ω Ω i
L’orientation du plan : i et
Ω
Ω
Ω
Ω
Pole Nordω
ω
ω
ω
:argument du perigee
= angle entre la direction du noeud ascendant et la direction
du périgée
V :
anomalie vraie
= angle entre la direction du périgée et la direction de l’objet
Ligne des apsides
DN Nœud ascendant x z y Equateur Ω i
ω
ω
ω
ω
PerigeeLa position sur orbite:
et V
Le mouvement est périodique de période
mais le mouvement n’est pas uniforme le long de l’orbite (loi des aires)
On introduit un point fictif qui tourne à vitesse constante (moyen mouvement) qui sert à définir
l’anomalie moyenne GM a T 3 2Π =
)
(
et
2
périgéet
t
n
M
T
n
=
π
=
−
Le mouvement sur l’orbite
Un autre angle:
l’anomalie excentrique
L’anomalie moyenne M est liée à l’anomalie excentrique E par l’équation de Kepler
L’anomalie vraie se calcule à partir de l’anomalie excentrique par
En pratique on calcule M en fonction du temps, puis E en résolvant l’équation de Kepler par itérations, puis V avec la formule ci-dessus
E
e
E
M
=
−
sin
−
+
=
2
1
1
2
tg
E
e
e
arctg
V
De même que le mouvement n’est pas
uniforme, la vitesse n’est pas constante le long
de l’orbite
−
=
a
r
µ
V
2
1
Va=1,6km/s Vp=10,25km/s τExemple d’orbite de transfert vers l’altitude géostationnaire
La vitesse sur l’orbite
La vitesse est maximale au périgée
et minimale à l’apogée
a GM V a GM r GM v Energie e e e p r = ⇒ = − + − = + = inf 2 2 2 2 cos 1 1 cos 1
θ
θ
P a rp p Foyer A a ββββ θθθθinf Ligne des apsides |ra|Moins fréquentes mais définies de la même façon
Asymptotiquement
V
∞Les bases
Le mouvement orbital
perturbé
Transferts interplanétaires
Changements d’orbite
Bilan et perspectives
Dans la réalité la trajectoire n’est jamais simplement Képlérienne car l’objet (satellite, planète) est soumis à des forces
perturbatrices
Equations du mouvement perturbé
Différentes approches existent pour intégrer ces équations: l’intégration numérique directe
les développements analytiques par approximation successive en développant suivant différents “petits paramètres”
l’intégration analytique des équations moyennées etc.
→
+
→
−
=
r
γ
p
r
GM
2
dt
r
2
d
3Le mouvement perturbé
Equations de Lagrange
∂ ∂ ∂ ∂Ω ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂ − − − − − − − − − − − − = − Ω M R R R i R e Ra R e na e na e na e na e i e na e na i e na e na e e na e na n dt dM dt ddt d dt di dt dedt da ω ω . 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 i cotg 1 0 0 0 0 sin 1 1 0 0 0 1 i cotg sin 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2→
−
→
=
grad
R
p
γ
Lorsque la force perturbatrice dérive d’un potentiel
Applicable aux perturbations dues aux inhomogénéités du potentiel terrestre, aux autres corps, etc.
Equations de Gauss
mouvement
moyen
vitesse
=
=
+
+
=
n
V
w
W
n
N
t
T
pγ
VT a n dt da 2 2 =(
)
− + = N a r v T v e V dt de sin cos 2 1(
)
(
)
W e na v r dt di 2 1 2 2 1 cos − + = ω(
)
(
)
W i e na v r dt d sin 1 sin 2 1 2 2 − + = Ω ω(
)
(
)
W i e na v i r v e v e v e N v T Ve dt d sin 1 sin cos cos 1 cos cos 2 sin 2 1 2 1 2 2 2 − + − + + + + = ω ω + − + + + − − = v e e v N v e e v T eV e n dt dM cos 1 1 cos cos 1 1 sin 2 1 2 2 2En écrivant la force perturbatrice dans le repère orbital local
t : le long du vecteur vitesse w : le long du moment cinétique
n : perpendiculaire aux précédents, de façon à former un trière
direct t, n, w y n O S w t z x
Equations de Gauss
mouvement
moyen
vitesse
=
=
+
+
=
n
V
w
W
n
N
t
T
pγ
VT a n dt da 2 2 =(
)
+ − = N a r v T v e V dt de sin cos 2 1(
)
(
)
W e na v r dt di 2 1 2 2 1 cos − + = ω(
)
(
)
W i e na v r dt d sin 1 sin 2 1 2 2 − + = Ω ω(
)
(
)
W i e na v i r v e v e v e N v T Ve dt d sin 1 sin cos cos 1 cos cos 2 sin 2 1 2 1 2 2 2 − + − + + + + = ω ω + − + + + − − = v e e v N v e e v T eV e n dt dM cos 1 1 cos cos 1 1 sin 2 1 2 2 2Paramètres osculateurs
Orbite moyenne (“abstraite”)
Orbite “réelle”
Orbite osculatrice (“théorique”)
Orbite osculatrice = ellipse théorique tangente en position et vitesse
= le mouvement qu’aurait l’objet si la perturbation disparaissait
Orbite moyenne = orbite dont on a supprimé les courtes périodes
= ne conserve que les évolutions à long terme des paramètres
Conséquence des perturbations: tous les paramètres orbitaux évoluent avec le temps
Certains paramètres évoluent plus vite que d’autres (typiquement à la période orbitale)
Le champ de gravité terrestre
Aplatissement C2,0=-J2
Forme de poire C3,0= -J3
Harmonique zonal (9,0) Harmonique sectoriel (9,9) Harmonique tesseral (9,6)
Décomposition du potentiel sur une base d’harmoniques sphériques
( )
(
( )
( )
)
+
+
+
=
∑
∑
= ∞ + =ϕ
λ
λ
ϕ
cos
sin
sin
sin
1
, 1 , , 1 m n n m m n m n n n n n eqP
m
S
m
C
P
J
r
r
r
GM
U
) sin 3 2 )( ) 1 ( 4 3 ( ) sin 5 4 ( ) 1 ( 4 3 cos ) 1 ( 2 3 2 2 / 3 2 2 7 2 3 2 2 2 2 7 2 2 2 2 7 2 2 2 2 i e a .J .R a dt dM i e a .J .R dt d i e a .J .R dt d / T / T / T − − + = − − = − − = Ω
ω
La plus grosse perturbation est celle due à l’aplatissement terrestre. Ses effets se calculent à partir des équations de Lagrange. La principale conséquence est la
dérive séculaire de la longitude du nœud ascendant (précession du plan de l’orbite) et de la position du périgée sur l’orbite
Effet de l’aplatissement terrestre
Conséquence utile: si a, e et i sont tels que
dΩΩΩΩ/dt = 0,98°°°°/jour alors le plan de l’orbite suit
le mouvement du Soleil au long de l’année: ce sont les orbites héliosynchrones
Les équations de Lagrange permettent aussi de calculer les perturbations « rapides » dues à l’aplatissement de la Terre (courtes périodes)
~ 2 7 k m
Variation de l’altitude
Le champ de gravité de la Terre n’est pas constant: il varie sous
l’influence des marées, océaniques et solides (terre élastique)
Marées
Les marées se décomposent en ondes qui correspondent aux différentes fréquences excitatrices du mouvement relatif de la Lune et du Soleil Le potentiel du à la masse d’eau déplacée par chaque onde est décomposé sur la base d’harmoniques
sphériques
Composante principale de la marée (onde semi-diurne M2)
La fonte des glaces ou les variations hygrométriques dans les
grands bassins causent des déplacements d’importantes masses
à grande échelle qui sont visibles depuis l’espace
Dérives du champ de gravité
Effet sur l’altitude du satellite Envisat en millimètre par an Variation du champ de gravité
en mètres d’eau par an
Les effets du champ de gravité sont amplifiés par les résonances
Résonances
( )
( )
[
]
2
2
2
avec
sin
cos
a
U
0 0 2π
ε
θ
ω
ψ
ψ
ψ
µ
lm lmpq lmpq nm lmpq lm l m l p q lpq lmp l l e)
-
m(
q)M
p
(l -
p)
(l -
S
C
e
G
I
F
a
R
+
Ω
+
+
+
=
+
=
∑
∑∑
∑
= = ∞ −∞ = ∞ =Le cas où la dérivée de est nulle correspond aux effets séculaires. Lorsque cette dérivée est proche de zéro il y a résonance. Cela
correspond à une relation entière approchée entre la période orbitale et la durée du jour
Exprimé au niveau du satellite en orbite le potentiel terrestre dépend des paramètres orbitaux et de l’orientation de la Terre (temps sidéral)
θ
m
M
q)
p
(l -
2
+
≈
Pour un satellite en orbite basse on a environ 13 à 14 orbites par jour. Le mouvement orbital est donc très sensible aux termes du potentiel de m multiple de 13 et 14.
Influence des « troisièmes » corps
Pour un satellite en orbite terrestre les troisièmes corps sont la Lune, le Soleil, et les planètes.
De même que pour le potentiel central, des résonances entre les différentes fréquences en jeu peuvent conduire à des évolutions complexes de l’orbite
L’influence de la Lune et du Soleil est importante lorsque le satellite est éloigné de la Terre. Elle devient déterminante pour les orbites très excentriques
(
) (
)
(
)
(
2)
*(
*)
* 2 2 2 Ω − Ω + + − − − − + − + − = Ψ m M j h l h l M q p l p l lmphqj ω ωLa composante principale est la pression directe due au Soleil La pression due à la lumière rediffusée par la Terre (albedo)
-représente 10 % du terme principal en orbite basse
L’émission infra-rouge thermique du satellite (faible mais permanente)
L’émission radio du satellite uniquement pour de fortes puissances)
Pression de radiation
La pression de radiation résulte du transfert de quantité de
mouvement entre photons et satellite
Le frottement atmosphérique est le résultat de l’interaction du satellite avec les atomes de l’atmosphère encore présents à haute altitude (jusqu’à plus de 1000 km). Le frottement engendre principalement une force de trainée de
direction opposée à la vitesse (la composante de portance est très faible). Il
a pour effet une décroissance du demi grand-axe (perte d’énergie).
Frottement atmosphérique
La densité de chacun des constituants
diminue de façon exponentielle avec l’altitude La densité résiduelle à haute altitude est très sensible au chauffage de l’atmosphère par le Soleil: pic de densité vers 15h locale, cycle solaire à 11 ans, éruptions solaires
Les vraies équations du mouvement qui décrivent le mouvement des satellites sont celles de la Relativité Générale et non celles de la
théorie Newtonienne
En pratique la Relativité Générale est traitée comme une perturbation à
la théorie Newtonienne qui se traduit par des forces supplémentaires
(approximation post-Newtonienne)
Relativité Générale
Les corrections relativistes sont indispensables pour calculer les trajectoires dans le système solaire (précession du périgée des
planètes notamment)
Pour un satellite en orbite basse, le plus gros impact de la relativité
générale est un décalage de l’altitude d’environ 4 millimètres
(
)
( )
[
]
( )( ) ( )
[
]
( )
R
r
J
r
J
r
r
r
r
r
r
r
r
r
R R R c GM r r c GM r GM r c GM S E E E×
×
−
⋅
+
⋅
×
+
⋅
+
−
=
∆
3 3 2 2 3 2 3 23
2
4
4
3 2La propulsion embarquée
Le principe de base des propulseurs spatiaux consiste en l’éjection de matière à haute vitesse (propulsion par réaction).
La relation entre la masse d’ergol consommée et l’incrément de vitesse est donnée par l’équation de la fusée
− = ∆ ∆ − sp 0I g V 0 1 e m m
L’impulsion spécifique Isp caractérise la performance du propulseur.
Les satellites utilisent 3 types de propulseurs pour les changements d’orbite
Gaz froid: gaz stocké à haute pression avec détendeur-régulateur; poussée 0,01 à 10 N / Isp 50 à 170 s
Liquide: réaction de décomposition ou de
combustion des ergols; poussée 5 à 500 N / Isp 280
à 340 s
Electrique: ionisation et accélération électrique du fluide propulsif; poussée 0,02 à 0,3 N / Isp 1200 à 2500 s
Les bases
Le mouvement orbital
perturbé
Transferts interplanétaires
Changements d’orbite
Bilan et perspectives
Changements d’orbite
■Les satellites changent d’orbite en modifiant leur vitesse à l’aide de propulseurs (une poussée)
La durée d’une poussée peut varier de la seconde à l’heure
L’incrément de vitesse résultant d’une poussée peut varier du mm/s au km/s
■ La trajectoire du satellite est continue, donc l’orbite avant et l’orbite après la manœuvre ont nécessairement un point en commun
Pour passer d’une orbite donnée à une orbite
quelconque sans intersection, il faut nécessairement au moins une orbite intermédiaire et donc plusieurs manœuvres
Le choix de l’orbite intermédiaire se fait en minimisant le coût global (somme des valeurs absolues des incréments de vitesse)
Changements d’orbite
Seconde poussée Première poussée
Effet des manœuvres courtes
(
)
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
W W N T W N T T V i e na v r V i e na v i r V v e v e v e V v Ve V e na r i V a r V V V e V e V V a n a ∆ − + = ∆Ω ∆ − + − ∆ + + + + ∆ = ∆ ∆ − + = ∆ ∆ − ∆ + = ∆ ∆ = ∆ sin 1 sin sin 1 sin cos cos 1 cos cos 2 sin 2 1 1 cos sin cos 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 ω ω ω ν ω anomalie vraie mouvement moyen satellite du vitesse = = = ∆ + ∆ + ∆ = ∆ ν n V w V n V t V V T N WLorsque la poussée est très courte on peut facilement en calculer l’impact à l’aide des équations de Gauss
On en déduit quelques règles simples:
pour changer a ou eil faut pousser dans le plan, pour changer i ou ΩΩΩΩ il faut pousser hors plan il est plus efficace de corriger alà où la vitesse est maximale (périgée), de corriger i au nœud ( +νννν=0), de corriger ΩΩΩΩ à latitude élevée ( +νννν=90°°°°)
Changement d’excentricité
Une poussé tangentielle permet de changer l’excentricité. Exemple: mise en orbite des satellites géostationnaires
i = 7 deg T = 10,5 h 570 km Earth i = 3,4 degT = 13 h 7360 km DV1 i = 0,4 deg T = 20,5 h 27650 km DV2 i = 0 deg T = 23,9 h 35620 km DV3 Orbite initiale Orbite finale Orbites intermédiaires
−
≈
∆
2
sin
2
V
1i
2i
1V
1 2V
V
≈
i
2 → 2 V → ∆VLigne des noeuds
Equateur
i
1→
1
V
Le changement d’inclinaison se fait de façon optimale en poussant
perpendiculairement au plan de l’orbite au nœud (ascendant ou descendant)
Cette manœuvre est très couteuse car les vitesses orbitales sont très élevées. En orbite basse la vitesse est environ 7 km/s et il faut donc environ 130 m/s pour corriger d’un degré !
C’est pour cette raison que les sites de lancement proches de l’équateur sont très favorables: on ne peut injecter naturellement un satellite que sur une orbite
d’inclinaison supérieure à la latitude du site de lancement, donc les fusées lancées depuis des sites à latitude élevée doivent consommer beaucoup d’ergols pour réduire l’inclinaison lorsqu’elles visent l’orbite géostationnaire.
(
1 2)
1 1 2 1 r r r r r 2 V − µ + µ = ∆(
1 2)
2 2 1 2 r r r r r 2 V + µ + µ − = ∆Transfert à coût minimum entre deux orbites circulaires coplanaires Comme il n’y a pas d’intersection entre les orbites il y a utilisation d’une orbite intermédiaire et deux poussées
Terre
∆V1
∆V2
Les bases
Le mouvement orbital
perturbé
Transferts interplanétaires
Changements d’orbite
Bilan et perspectives
Application au transfert
entre planètes
Le transfert de Hohman donne une idée des conditions d’un transfert interplanétaire
Il faut que la planète de départ et la planète d’arrivée se trouvent au bon endroit au bon moment !
La géométrie planétaire fixe les créneaux de lancement
l’écart entre deux créneaux est la période synodique 2 1 2 1
.
T
T
T
T
P
−
=
378 399 781 584 116 Période (j) Saturne Jupiter Mars Vénus Mercure PlanèteTransferts interplanétaires réels
Dans la réalité les orbites des planètes ne sont ni circulaires ni coplanaires
du fait de la différence de plans, le transfert de Hohman est le plus couteux, et il existe deux transferts optimaux, l’un plus court, l’autre plus long que celui de Hohman Du fait de l’excentricité de la planète de départ et de la planète d’arrivée certaines opportunités sont plus favorables que d’autres
Type II
Type I Durée du transfert Terre-Mars
Type I : 6 à 7 mois Type II: 10 à 12 mois
Le transfert complet
Le transfert complet comprend trois phases: L’échappée de la Terre
Le transfert
La capture autour de la planète cible
La sphère d’influence est le lieu où l’accélération centrale est comparable à l’accélération due au Soleil
L’énergie de la trajectoire de transfert est par
construction supérieure à la vitesse de libération:
à l’intérieur des sphères d’influence, dans les repères planétocentriques, la trajectoire est hyperbolique
200 k m
Sphère d’influence
Orbite autour du Soleil Trajectoire hyperbolique
( )
r
V
V
>
lib 2 2 2 libV
V
V
∞=
−
La sphère d’influence est loin (« à l’infini ») par rapport à la Terre
Toute trajectoire avec une vitesse initiale supérieure à la vitesse de libération est une hyperbole qui
quitte la sphère d’influence
( )
r GM r
Vlib =
La vitesse finale autour du Soleil est la combinaison de la vitesse relative à la Terre et de la vitesse orbitale de la Terre
Assistance gravitationnelle
Le principe de composition des vitesses conduit à des effets intéressants lors des survols planétaires
V∝a
V∝d
V∝a
V∝d
La vitesse relative à la planète change de
direction lors du survol, ce qui génère suivant les cas une augmentation ou une diminution de la vitesse absolue par rapport au Soleil
VP/*
ΔV
θ
L’angle de déflection se contrôle en jouant sur l’altitude du périapse
1 2
1
2
sin
− ∞
+
=
GM
V
r
pθ
Applications de l’assistance
gravitationnelle
Aller au-delà de Venus et de Mars avec un transfert direct requiert un incrément de vitesse au départ trop élevé pour les lanceurs actuels (et un freinage à l’arrivée trop difficile à réaliser)
Deux solutions existent
L’utilisation de la propulsion électrique sur le satellite, qui permet de pousser très longtemps et donc d’augmenter petit à petit la vitesse L’assistance gravitationnelle qui permet d’augmenter la vitesse
Exemple: Voyager
Lancées en 1977 les sondes Voyager-1 et 2 tirent profit d’un
alignement optimal des planètes et de l’assistance gravitationnelle pour visiter Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune
Exemple: ROSETTA
Mission européenne d’étude de la comète 67P
/Churyumov-Gerasimenko lancée le 2 mars
2004 par Ariane 5 (v∞∞∞∞ = 3,5 km/s)
Croisière de 10 ans avec 4
assistances gravitationnelles à la Terre (2005, 2007, 2009) et à Mars (2007) 4 manœuvres en croisière (∆∆∆∆V = 204m/s) plus 2 manœuvres de rendez-vous (∆∆∆∆V = 1583m/s)
A titre d’exemple le 2ème survol
de la Terre (altitude 3350 km) a augmenté la vitesse de la sonde de 3,6 km/s soit l’équivalent de 2 tonnes d’ergols !
Exemple: BEPI-COLOMBO
Mission européenne d’étude deMercure qui doit être lancée par
Ariane 5 en 2015 (v∞∞∞∞ = 3,5 km/s)
Utilise la propulsion électrique et les assistances gravitationnelles pour réduire la vitesse
Les deux survols de Venus suffisent pour abaisser le périgée au niveau de Mercure !
La première phase de la capture en orbite autour de Mercure est passive (sur une orbite 490 x 178 000 km) !
Capture passive
Certaines trajectoires venant des pointsde Lagrange et approchant la Terre (ou une autre planète) peuvent passer
suffisamment prés pour que l’objet soit « capturé » et reste en orbite au moins pendant quelques orbites
Ce mécanisme est utilisé pour aider à la mise en orbite d’un satellite autour d’une planète sans avoir à fournir une grosse décélération: au lieu d’aller directement à la planète on vise un passage au
voisinage d’un point de Lagrange Particulièrement adapté au cas des poussées faibles (ex. SMART-1, BEPI-COLOMBO)
Points de Lagrange
Cinq zones de l’espace où force de gravitation et force centrifuge s’équilibrentForce Centrifuge
Problème circulaire restreint
à 3 corps
Modèle simplifié où:- Il n’y a que trois corps, les deux corps principaux (Soleil+Terre ou
Terre+Lune) et le satellite
- Le satellite a une masse négligeable
- Les deux corps principaux ont un mouvement circulaire
Utilisé pour étudier la dynamique du satellite
i j m1 m2 msat k r G 1 ρ 2 ρ x y 2 3 2 2 1 3 1 1
ρ
ρ
ρ
ρ
m
Gm
m
Gm
r
m
=
−
−
Etudié en détail à la fin du 19ème siècle
Points de Lagrange
Les équations de Lagrange dans le repère tournant s’écrivent
(
)
(
)
2 2 1 1 2 2 2 2 1 , , ρ ρ m m y x n z y x U = + + + z U y U x Uz
x
n
y
y
n
x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂=
=
+
=
−
2
2
avecL1
L2
L3
L5
Cinq extrema locaux 3 points selle 2 minima
Mouvement autour des extrema
Développement au premier ordre autour d’un extremum local E
z z z y y y x x x E E E ~ ~ ~ + = + = + =
( )
( )
( )
( )
( )
E z U z z E y U y E y x U x x n y E x y U y E x U x y n x 2 2 2 2 2 2 2 2 ~ ~ ~ ~ ~ 2 ~ ~ ~ ~ 2 ~ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = − car ∂2 ∂ ∂( )
=∂2 ∂ ∂( )
E =0 z y U E z x U■Il y a découplage du mouvement dans le plan et du mouvement hors plan.
■Le mouvement hors plan est périodique
■Le mouvement dans le plan dépend de la nature des valeurs propres (1 réelle + 1 imaginaire pour L1, L2 et L3, 2 réelles pour L4 et L5)
Mouvement autour de L1 et L2
Combinaison de deux
mouvements périodiques, un hors plan et un dans le plan, et d’un mouvement divergeant => orbites quasi-périodiques, instables sur le long terme La divergence est lente, il est donc possible de la
compenser grâce à de très petites manœuvres
Intérêt des points de Lagrange
■Perturbations faibles, maintien de l’orbite peu couteux en ergols■Pas (ou peu) d’éclipses, très grande stabilité thermique
■Visibilité permanente avec la Terre pour transmettre les données (mais loin ~50 fois la distance géostationnaire)
Source: ESA ■Lieu idéal pour les missions d’astronomie:
toutes les futures grandes missions
Comment y aller ?
Les orbites autour de L1 ou L2 étant naturellement instables, si on propage la trajectoire depuis tout point de ces orbites on peut se retrouver n’importe où !
Comment y aller ? (suite)
Si on choisit des conditions
initiales sur l’orbite de Lissajous qui mènent prés de la Terre,
inversement on dispose d’une trajectoire qui mène de la Terre à cette orbite !
Il suffit de s’injecter sur cette orbite de transfert et de la suivre jusqu’à l’orbite cible !
Encore plus fort !
Les régions autour de L1 et L2 correspondant à des niveaux d’énergie semblables on peut transiter de l’une vers l’autre … en étant très
patients ! Sun Earth L3 L4 L5 L1 L2
Exemple: GENESIS
Mission de collecte
d’échantillons des particules constituant le vent solaire A rejoint le point L1 avant de repartir vers L2 puis de revenir sur Terre
Calendrier:
Lancement: 8 août 2001
Insertion en orbite à L1: novembre 2001 Quitte orbite en L1: avril 2004
Passage par la Terre vers L2: mai 2004 Retour sur Terre: 8 septembre 2004
Interplanetary Highways
Source: Universitat
Politècnica de Catalunya
Optimum local vs global
Les approches précédentes permettent de trouver des trajectoires optimales, mais il est souvent difficile de savoir s’il s’agit d’un
optimum global.
Exemple: le transfert depuis une orbite circulaire autour de la Terre vers une orbite circulaire autour de la Lune
Plusieurs solutions sont possibles: Hohman, transferts directs, avec survol, via les points de Lagrange, etc. Elles conduisent toutes à des optimums différents. Terre ∆V1 ∆V2 Lune Coût V= V1+ V2
Synthèse des transferts
Terre-Lune
Source: F. Topputo IAC-11-C1.1.12
F. Topputo (Polit. Di Milano) a récemment (2011) exploré tous ces transferts dans le cadre du problème à 4 corps (Terre, Lune, Soleil,
satellite) planaire bi-circulaire et les a classés en fonction de la durée et du coût.
Synthèse des transferts
Terre-Lune
Les bases
Le mouvement orbital
perturbé
Transferts interplanétaires
Changements d’orbite
Bilan et perspectives
Bilan et perspectives
Le développement des missions spatiales a suscité des progrès rapides dans la maîtrise des techniques nouvelles1957: 1ersatellite en orbite (Spoutnik-1)
1959: 1ersatellite atteignant la vitesse de libération (Luna-1)
1ersatellite impactant la Lune (Luna-2)
1962: 1ersurvol de Venus (Mariner-2)
1965: 1errendez-vous orbital (Gemini-6)
1ersurvol de Mars (Mariner-4)
1966: 1eratterrissage sur la Lune (Luna-9)
1967: 1ère capsule sur le sol de Venus (Venera-4)
1971: 1erorbiteur martien (Mariner-9)
1eratterrisseur martien (Mars-2)
1974: 1ère assistance gravitationnelle (Mariner-10 survol de Venus pour rejoindre
Mercure)
1977: 1ergrand voyage interplanétaire (Voyager-1 & 2)
1978: 1ersatellite sur une orbite de halo en L1 (International Sun/Earth Explorer 3)
1995: début du grand tour de Galileo
1998: 1ère mission utilisant la propulsion électrique (Deep Space 1)
sauvetage de Asia-Sat-3 en utilisant un transfert par la Lune 2001: 1ersatellite sur une orbite de Lissajous en L2 (WMAP)
Bilan et perspectives
L’Europe a progressivement rattrapé son retard et dispose maintenant decompétences de pointe dans le domaine de l’astrodynamique
GIOTTO (avec NASA) 1985 Comète de Halley
ULYSSES (avec NASA) 1990 Soleil
SOHO (avec NASA) 1995 Halo en L1
MARS EXPRESS 2003 Mars
SMART1 2003 Lune (poussée électrique)
ROSETTA 2004 Comète 67P/CG
VENUS EXPRESS 2005 Venus
PLANCK 2009 Lissajous en L2
HERSCHEL 2009 Halo en L2
GAIA 2013 Lissajous en L2
BEPI-COLOMBO 2015 Mercure (poussée électrique)
SOLAR-ORBITER 2017 Soleil
EUCLID 2019 Lissajous en L2
Bilan et perspectives
Le coût très élevé des grandes missions spatiales, combiné avec la stagnation, voire la réduction, des budgets en Europe, entraine une baisse notable du nombre de projets complexes.
Dans le même temps, les missions d’observation de la Terre et de navigation par satellite, assez simples sur le plan de la Mécanique Spatiale, se multiplient.
Les efforts en Mécanique Spatiale s’orientent souvent aujourd’hui vers de nouveaux sujets « à la mode » qui sont perçus (probablement à tort) comme pouvant déboucher sur des missions à court terme:
Le service en orbite
La récupération de satellites morts, et leur désorbitation
Le vol en formation, qui combine plusieurs satellites volant a proximité l’un de l’autre pour remplir une mission
Quelques problèmes actuels
L’optimisation des transferts interplanétaires avec recherche
automatique des séquences d’assistances gravitationnelles, avec ou sans propulsion électrique.
L’évolution à long terme des orbites des satellites morts qui
gravitent autour de la Terre, et plus généralement, la modélisation de l’évolution statistique de la population des objets en orbite avec prise en compte des collisions.
La dynamique des objets à grand rapport surface sur masse, soit en relation avec le problème précédent, soit en relation avec les voiles solaires.
Pour en savoir plus
De nombreux ouvrages dont le livre de Mécanique Spatiale du CNES chez Cepadues (un peu ancien sur certains sujets)
Beaucoup d’informations sur les sites Web des agences spatiales (CNES, ESA, NASA), dont le très bon www.jpl.nasa.gov/basics
Expérimenter par vous-même avec les fonctions de Mécanique Spatiale disponibles en SCILAB dans la bibliothèque CELESTLAB (contribution CNES) - voir www.scilab.org
le mode demo permet d’obtenir des résultats sans efforts !
Résoudre les problèmes passés des Global Trajectory Optimization Competition (GTOC) www.esa.int/gsp/ACT/mad/index.html
