HAL Id: tel-00539962
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dynamique du risque des marchés de l’énergie
Noufel Frikha
To cite this version:
Noufel Frikha. Contribution à la modélisation et à la gestion dynamique du risque des marchés de
l’énergie. Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2010. Français.
�tel-00539962�
L'UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Spé ialité : Mathématiques Appliquées présentée par Noufel Frikha
pour obtenir legrade de
DOCTEUR EN SCIENCES DE L'UNIVERSITÉ
PIERRE ET MARIE CURIE
Sujet de thèse:
Contribution à la modélisation et à la gestion
dynamique
du risque des mar hés de l'énergie
Dire teur de thèse: GillesPagès
Date de soutenan e: 1er Dé embre 2010
Rapporteurs
M. Bernard Lapeyre, E ole des Ponts ParisTe h
M. Fred Espen Benth, Université d'Oslo
Composition du Jury
M. Bernard Lapeyre, Rapporteur
Mme. Ni oleEl Karoui, Examinateur
M. Jean ClaudeFort, Examinateur
M. Damien Lamberton, Examinateur
M. Olivier Bardou, Examinateur
M. Fred Espen Benth, Examinateur
M. GillesPagès, Dire teur de Thèse
Bien loind'être un pensum, es remer iements sontavant tout pour moil'o asion
d'exprimer toute ma joie ainsi que toute ma sympathie aux personnes qui m'ont
entouré.
Le soutien, l'humour, l'enthousiasme ainsi que l'en adrement s ientique très
rigoureuxdeM. GillesPagès au oursde es troisannéesde thèseee tuées sous sa
dire tion m'ontpermis d'aboutir à e travail.
Par la réda tion de es quelques lignes, le moment est don venu pour moi de
le remer ier haleureusement et de lui témoigner toute mon estime et ma sin ère
re onnaissan e.
Je tiens à exprimer toute ma re onnaissan e à Vin ent Lemaire et Olivier
Bar-dou ave qui j'ai beau oup appré ié de ollaborer et qui ont beau oup ontribué à
l'a omplissementde ettethèse. Ce fut un véritable plaisirde travaillerave vous.
Je remer ie Bernard Lapeyre et Fred Espen Benth qui ont a epté d'être les
rapporteurs de ette thèse.
Mesremer iementsvontaussiauxautresmembresdu Jury: DamienLamberton,
Ni oleEl Karoui,Jean-Claude Fort.
Je suis très honoré qu'ils aient a epté d'y faire partie. Plus parti ulièrement,
je remer ie vivement Mme Ni ole El Karoui pour la qualité de son enseignement
aumaster Probabilités et Finan e, Damien Lamberton et Bernard Lapeyre dont la
larté et la rigueur de leur livre Introdu tion au al ul sto hastique appliqué à la
nan e m'ont beau oup servi durant es trois années ainsi que Jean-Claude Fort
pour ses remarques qui m'ontpermis d'améliorer la qualité de e manus rit.
J'exprime égalementtoute ma onsidérationà tous lesmembres du Laboratoire
de Probabilités etde Modèles Aléatoiresau sein duquel j'ai ee tué e travail,plus
parti ulièrementlespersonnes ave quij'aieu l'o asionde dis uter augré des
déje-unersou plussimplementlorsde mes ren ontres dansles ouloirs. Je pense
notam-mentàM.Portesdontladisponibilitéen asdeproblèmes on ernantl'informatique
etla bonne humeur m'ont beau oup tou hé. Mes pensées vont aussi aux personnes
ave qui j'aipartagélemême bureau: MathieurRi hard, Raoul Normand,Eri
Lu- on, Sophie Dede, Stavros Vakeroudis, Nikos, Joa him Lebovits, Sylvain Corlay et
CamilleIllande, sans oublier Sophie Laruelleet eux du bureau 16-26.225. Jevous
remer ie pour tous es bons moments.
Jevoudraismaintenantremer ier haleureusementlesmembresdu Projet
Sirius-Haltea et du Projet Prix de la Dire tion de la Re her he et de l'Innovation de
GDFSuez pour toutes les dis ussions au sujet des mar hés de l'énergie, votre
ol-laboration et votre sympathie. Notamment, Olivier Bardou qui m'y a a ueilli,
Sandrine Bouthemy et Céline Jerusalem qui par leurs remarques m'ont beau oup
vous iter de peur d'en oublier un. J'ai beau oup appris grâ eà vous etje vous en
remer ie.
A toute ma famille dont l'amour indéfe tible m'a porté et soutenu jour après
jour et sans laquelle je ne serai probablementpas arrivé jusqu'içiaujourd'hui, 'est
àmon tour devous exprimermaprofondere onnaissan e. Tout d'abord àmamère
etàmondéfuntpère, jevous remer ie pourtout. Puisàmasoeuretson mari,ainsi
qu'à mon frère, vous avez beau oup fait pour moi.
Jetermineenremer iantmesquelquesamis,plusparti ulièrement euxdu ours
de théâtre Jean-Laurent Co het. Lorsque jem'évoquetous es bons moments,tous
es bonssouvenirs,frangésdenostalgie,jemedisque etravailvous doitégalement.
Enn à madou e ettendre Elise, je tiens à teremer ier très haleureusementpour
Remer iements . . . 3
Contents . . . 5
1 Introdu tion 9 1.1 Estimation de laVaR etde laCVaR par algorithme sto hastique. . . 13
1.1.1 Cas de la dimension nie . . . 16
1.1.2 Cas de la dimension innie . . . 20
1.1.3 Version QMC de l'approximation sto hastique . . . 23
1.2 Couverture en CVaRpar algorithmesto hastique . . . 26
1.2.1 Introdu tion . . . 26
1.2.2 Aspe ts théoriques de la ouverture en CVaR . . . 29
1.2.3 Aspe ts numériques de la ouverture en CVaR . . . 34
1.3 ModélisationConjointedes prix spotdu gaz etde l'éle tri ité . . . . 38
I Computation of VaRand CVaR using sto hasti approx-imations 45 2 Computation of VaR and CVaR using sto hasti approximations and un onstrained importan e sampling 47 2.1 Introdu tion . . . 48
2.2 VaR,CVaRusing sto hasti approximationand someba kgroundon re ursive IS . . . 51
2.2.1 Representation of VaR and
Ψ
-CVaRas expe tations. . . 522.2.2 Sto hasti gradient and its adaptive ompanion pro edure: a rst naive approa h . . . 53
2.2.3 Some ba kgroundon IS using sto hasti approximation algo-rithm. . . 61
2.3 Design of a faster pro edure: importan e samplingand moving on-den e level . . . 63
2.3.1 Un onstrainedadaptive importan esamplingdevi e . . . 63
2.3.2 How to ontrol the move towards the riti al risk area: the nal pro edure . . . 68
2.3.3 A nal pro edure for pra ti alimplementation . . . 69
2.4 Towards some extensions . . . 70
2.4.1 Extensiontoexponential hangeofmeasure: theEss her trans-form . . . 70
2.4.2 Extension toinnitedimensional setting . . . 71
2.5.1 Gaussian framework . . . 73
2.5.2 Ess her transform: the NIG distribution . . . 74
3 VaR-CVaR algorithm with un onstrained importan e sampling: the innite dimensional setting 79 3.1 Introdu tion . . . 80
3.2 Some ba kground: the nite-dimensionalsetting . . . 82
3.3 VaR-CVaRalgorithmfor diusions . . . 83
3.3.1 Framework and pra ti alresults . . . 83
3.3.2 The resultingalgorithm . . . 86
3.4 Numeri alexamples. . . 89
3.4.1 Asianoption. . . 89
3.4.2 Power plant . . . 92
3.4.3 Adaptive ase: Up & InPut option . . . 93
4 VaR-CVaR algorithm using quasi-sto hasti approximation 99 4.1 Introdu tion . . . 100
4.2 Some ba kground: sequen es with low dis repan y and VaR-CVaR algorithm . . . 101
4.2.1 Sequen es with low dis repan y: Denitions and hara teri-zations . . . 101
4.2.2 VaR-CVaRsto hasti approximation algorithm . . . 103
4.3 VaR-CVaRalgorithmusing quasi-sto hasti approximation . . . 105
4.3.1 VaR-CVaRquasi-sto hasti approximation algorithm . . . 105
4.3.2 Design of afaster pro edure: I.S. quasi-sto hasti algorithm . 109 4.4 Numeri alresults . . . 111
II CVaR Hedging using sto hasti approximation 115 5 CVaR hedging using quantization based sto hasti approximation algorithm 117 5.1 Introdu tion . . . 118
5.2 Theoreti al aspe ts of CVaR hedging . . . 122
5.2.1 Denitions and preliminaries . . . 122
5.2.2 General properties . . . 123
5.2.3 CVaR hedgingusing a one step self nan ed strategy . . . 126
5.2.4 CVaR hedgingusing a dynami selfnan ed strategy . . . 130
5.3 Computationaland numeri al aspe ts of CVaR hedging . . . 134
5.3.1 Markovianframework and OptimalVe tor Quantization . . . 135
5.3.2 Computing CVaR hedging by sto hasti approximation: a rst approa h . . . 136
5.3.3 Dynami CVaRhedging . . . 144
5.4 Design of faster pro edures: varian e redu tion te hniques . . . 148
5.4.1 Un onstrained Re ursive Importan e Sampling. . . 149
5.4.2 Linear ControlVariable . . . 154
5.5 Numeri alExamples . . . 156
5.5.2 Dynami setting. . . 159
5.6 Appendix: Proof of Proposition5.2.5 . . . 161
III Joint Modelling of Gas and Ele tri ity spot pri es 167 6 Joint Modelling of Gas and Ele tri ity spot pri es 169 6.1 Introdu tion . . . 170
6.2 Stylised features of gas and ele tri ity spot pri es . . . 171
6.2.1 Seasonality . . . 171
6.2.2 Spikesand heavy tails . . . 173
6.2.3 Mean reversion and long term dependen y . . . 173
6.2.4 Auto- orrelationand ross- orrelation . . . 174
6.3 Theoreti al ba kground. . . 176
6.3.1 The general ase . . . 176
6.3.2 Quasi-Saddlepointapproximation . . . 178
6.4 Cross- ommodity multi-fa tormodel . . . 179
6.4.1 Proposed modelization . . . 179
6.4.2 Calibration . . . 181
6.5 Simulation and appli ation . . . 184
6.5.1 Empiri alresults onPowernext and NBP spotpri es . . . 184
6.5.2 Appli ation: measuring riskof a ross- ommodity portfolio . . 185
Introdu tion
Cette thèse porte sur l'appli ationdes algorithmes sto hastiques à la gestion et au
ontrledes risquessurlesmar hésnan iersetdel'énergie. Raressontlesa tivités
é onomiques (ou dansd'autres domaines ommela physique,labiologie,...) quine
omportent au un risque. Dans le adre des a tivités des mar hés nan iers et de
l'énergieonen distingue prin ipalementquatre:
•
Lerisquede rédit(ou de ontrepartie) résultedel'in ertitudequ'un tiers(unparti ulier ouune entreprise) ne rembourse pas sa dette àl'é hean e xée.
•
Le risque de mar hé résulte de l'exposition de la valeur d'un portefeuille auxu tuationsdes fa teursderisqueliésaumar hé ( oursdes a tions,taux, prix
des matièrespremières, ...)
•
Le risque limatique provient de la dépendan e de la valeur d'un portefeuilleauxaléas limatiques (température, intensité du vent, ...)
•
Le risque opérationnel est le risque qu'une erreur humaine, une panne(tur-bineàgaz, sto kage gazier,...),un dysfon tionnement(informatique)perturbe
l'a tivitéé onomique du détenteur du portefeuille.
Ce travail se ompose de trois hapitresindépendants.
Lepremier hapitredéveloppeuneméthoded'estimationparalgorithme
sto has-tiquede deux mesures de risque ouramment utiliséesdans lapratique du ontrle
des risques: la Value-at-Risk (VaR)etla Conditional Value-at-Risk (CVaR). Étant
xéun niveau de onan e
α
∈ (0, 1)
etun horizon de tempsT
(lavaleurα = 95%
estsouventutilisée),laVaRauseuil
α
(VaRα
)delaperteduportefeuilleestlavaleurqui ne sera pas dépassée par elle- i ave une probabilité
α
. Ave une telledéni-tion, la VaR est un indi ateur synthétique du risque utile dans beau oup d'autres
domaines que lanan e: physique, biologie,assuran e,...
Pour autant, la VaR ne donne au une information sur la perte maximale
pos-sible du portefeuille. Les mouvements des mar hés sont parfois tels que les pertes
peuvent dépasser le seuil de la VaR ets'avérer très lourdes si la queue de
distribu-tion des pertes du portefeuille est épaisse. La CVaR au seuil
α
tente de palier emanque. Elle représente lamoyenne des pertes du portefeuille lorsque elles- i sont
d'autant plus qu'elles apparaissent ommelasolutionet lavaleur d'un même
prob-lème d'optimisation onvexe ( .f.[78℄ et[77℄). Lafon tionobje tive de e problème
et son gradient s'é rivent sous forme d'espéran e. Par onséquent, l'estimation de
es deux quantités peut être réaliséeà l'aide d'un algorithme sto hastique.
Unalgorithmesto hastiqueest une suite deve teurs aléatoires
(Xn)
n≥1
prenantsesvaleursdansunespa eeu lidiendedimensionnie(engénéraldans
R
d
)etdénie
ré ursivement par
∀n ∈ N, Xn+1
= Xn
+ γn+1Vn+1,
(1.1)oùla suite positive
(γn)
n≥1
, appelépas de l'algorithmevérieP
n≥1
γn
= +
∞
et oùV
n+1
est une variable aléatoire appelée l'observation de l'algorithme dépendant dela variable
Xn
, quipeut par exemple ara tériser l'étatd'un système aupasn
dontson évolutionaupas
n + 1
dépenddeson propreétatetd'unevariablealéatoireǫn+1
de loi
µ
(indépendante deX
0
), i.e.V
n+1
= H(X
n
, ǫ
n+1
)
, aveH : R
d
× R
q
→ R
d
vériant:∀x ∈ R
d
, H(x, )
∈ L
1
R
d
(µ)
eth : x
7→
Z
R
q
H(x, u)µ(
du)
est borélienne.A partir d'une observation ou d'une simulation, l'utilisateur disposant de
Xn
on-struit
H(X
n
, ǫ
n+1
)
, i.e. la variable aléatoireǫ
n+1
de loiµ
est simulable à un oûtraisonnable et la fon tion
H
est al ulable numériquement à un oût raisonnableégalement. La fon tion moyenne de l'algorithme
h
n'est pas al ulablenumérique-ment à un oût raisonnable. Si elle l'est, on rempla era l'algorithme sto hastique
i-dessus par son homologue déterministe
xn+1
= xn
− γn+1h(xn), n
≥ 0.
Par onséquent, ilest ourantd'utiliserun algorithmesto hastique lorsquele al ul
numériquede
h
est outeux omparé au al ul numériquedeH
et de la simulationde laloi
µ
. Remarquons que l'algorithmesto hastique(1.1) peut s'é rire∀n ∈ N, X
n+1
= Xn
+ γn+1
(h(Xn) + ∆Mn+1) ,
(1.2)où lestermes
∆Mn+1
:= H(Xn, ǫn+1)
− h(Xn)
,n
≥ 0
sont des a roissements de lamartingale
(Mn)
n≥1
par rapport àla ltrationF
n
:= σ(X0, ǫ1,
· · · , ǫ
n)
.L'étude des algorithmes sto hastiques débuta dans les années 1950 ave les
travauxde Robbins-Monro [76℄et Kiefer etWolfowitz [53℄. Elle fûtl'objet de
nom-breux travaux liés par exemple au ontrle adaptatif ( .f. [57℄) ou aux estimations
ré ursives( .f. par exemple[69℄), ... Dans le adre de e travail, nous nous
intéres-sons aux questions de ontrle et de gestion du risque sur les mar hés nan iers et
de l'énergie.
Ce premier hapitrede la thèse est dé oupé en trois parties.
Dansla premièrepartie, nous étudions l'estimationde laVaRetde laCVaRen
utilisantla théoriedes algorithmes sto hastiques. Cette première étude est réalisée
dansle asoùlapertedu portefeuille
L
s'é ritϕ(X)
oùϕ
estunefon tionmesurableàvaleursdans
R
etX
est unve teuraléatoirestru turelàvaleursdansR
d
. Partant
dela ara térisationdelaVaRetdelaCVaRintroduitedans[78℄,nousproposonsun
quantités. Des résultats lassiques de la théorie des algorithmes sto hastiques ( .f.
[23℄, [22℄, [57℄ et [13℄) nous permettent d'établir fa ilement la onvergen e presque
sûre de l'algorithmeproposée vers le ouple VaR-CVaR.De lamêmemanière,nous
obtenonslavitessede onvergen efaibledel'algorithmeverssa ible: elleestdonnée
parunthéorème entrallimite(TCL)gaussien. Néanmoinslavitessede onvergen e
de l'algorithme est lente en pratique surtout lorsque le niveau de onan e
α
estpro hede1(oude0). Eneet, laVaRetlaCVaRsontdesquantitésliéesàlaqueue
de distributiondes pertes, leur estimationfait don intervenir des évènements rares
etdoit don être ombinéeave une méthode de rédu tion de varian e en pratique.
La plus adaptée à ette problématiqueest l'é hantillonnagepréférentiel (ou
Im-portan eSampling). Pour ette raison,nous proposonsde ombiner notrepremière
pro édure ave un algorithme d'é hantillonnage préférentiel ré ursif. L'algorithme
sto hastique ainsi obtenu vérie un TCL ave une vitesse de onvergen e optimale.
Cependant, lorsque la dimension
d
du ve teurX
est grande, par exemple dans leas où
X
est un ve teur d'a roissements browniens liés au s héma d'Euler d'unediusion, des problèmes de onvergen e des paramètres de rédu tion de varian e
apparaissent.
An de remédier à e problème, nous propons dans la deuxième partie de e
hapitre une extension de l'étude pré édente. Nous nous intéressons au as où
la perte du portefeuille s'é rit
ϕ(X)
oùϕ
est à présent une fon tionnelle déniesur l'espa e
C [0, T ], R
d
des fon tions ontinues de
[0, T ]
à valeurs dansR
d
etX = (Xt)
t∈[0,T ]
est un pro essus d'It à valeurs dansR
d
solution d'une équation
diérentielle sto hastique. An de suppléer aux défauts de l'algorithme
sto has-tiqued'é hantillonnagepréférentielendimension nie,nous proposons unenouvelle
pro édure ré ursive etadaptativebasée sur l'identité de Girsanov. Celle- i se
om-bine fa ilement ave la pro édure d'estimation de la VaR et de la CVaR qui reste
en tout pointidentiqueàsapremière version en dimensionnie. L'algorithmeainsi
obtenu vérie un TCL dont la vitesse de onvergen e est optimale. L'e a ité de
laméthode est étudiée sur un ensemble de portefeuilleset une omparaisonave la
pro édure en dimension nie est proposée qui prouve l'utilité de notre appro he.
Dans la première étude que nous avons menée, à haque pas de l'algorithme
VaR-CVaR, la génération pseudo-aléatoire du ve teur
X
à valeurs dansR
d
estgénéralementobtenue ommeune fon tiond'unautre ve teur pseudo-aléatoire
U
∼
U ([0, 1]
s
)
(
s
≥ d
):X = Ψ(U)
en loi. Uneidée naturelle est de rempla er à haquepas de l'algorithme la simulation pseudo-aléatoire d'une opie de
U
, qui estdéter-ministe mais dont le but est de reproduire les propriétés idéales des sour es
om-plètementaléatoires,i.e. lesloisduhasard,parlavaleurdéterministe
xn
d'unesuiteéquirépartie
x = (xn)
n≥1
sur[0, 1]
s
dont le but est de remplir l'espa e
[0, 1]
s
de le
plus uniformément possible. C'est pour ette raison que dans la troisième partie,
nous nous intéressons à l'algorithme VaR-CVaR étudié dans la première partie de
e hapitredans le as oùles innovations de l'algorithme ne sont plus obtenues via
desnombrespseudo-aléatoiresmaispar unesuiteéquirépartiedéterministeà
dis ré-pan efaible. Etantdonnéel'e a itédesméthodesdeQuasi-MonteCarloappliquée
au al ul d'espéran e, l'idée d'utiliser des suites à dis répan e faible dans le adre
desalgorithmessto hastiquessemble naturelle. Unepremièreétudemenéedans[58℄
montre que sous ertaines hypothèses (d'une ertaine manière plus restri tives que
onvergent et que leur vitesse de onvergen e est meilleure que elle de leur
ho-mologue sto hastique. De nombreux résultats numériques appuient les on lusions
de ette première étude. Cependant, es résultats théoriques ne s'appliquent pas à
notre algorithme. Enutilisantun résultatré ent obtenu dans [60℄ basé sur une
hy-pothèsedemoyennisationdupro essusd'innovationsetdeshypothèsesdeLyapunov
lassiques, ainsi que des résultats sur la dis répan e d'ensemble Jordan mesurable
( .f. [70℄ et[71℄), nous démontrons la onvergen e de l'algorithmeVaR-CVaR.Bien
que dans e adre non sto hastique, les te hniques de rédu tion de varian e en
tant que telles n'ont théoriquement pas lieu d'être, nous montrons que d'un point
de vue numérique l'algorithme préférentiel a élère la onvergen e de l'algorithme
VaR-CVaR.
Dansle deuxième hapitrede ette thèse, nous nous intéressons àla ouverture
du risque dans un mar hé in omplet opérant à temps dis ret. Plus pré isément,
nous proposons une méthode de ouverture d'une perte (ou d'un a tif) dépendant
d'une sour e de risque observable mais non négo iable sur les mar hés nan iers
ou de l'énergie (par exemple, la température). La stratégie autonan ée optimale
est obtenue en minimisantdynamiquement laCVaR. Pour ela nous utilisons trois
outils: les algorithmes sto hastiques, la quanti ation ve torielle optimale et deux
te hniques de rédu tion de varian e (l'é hantillonnage préférentiel et les variables
de ontrle). Dans un premier temps, nous introduisons la notion de CVaR
dy-namique quiest une version aléatoireet dynamiquede la CVaR lassique. Ensuite,
nous étudions le as simplemais intéressantdes stratégies àun pas, i.e. àun
rebal-an ement. Une telle stratégie dé idée à la date
tℓ
0
∈ [0, T ]
est une stratégie où lenombre d'a tifs négo iables est xé à la date
t
ℓ
0
∈ [0, T ]
et reste in hangé jusqu'àla date
T
. Nous établissons un résultat d'existen e de stratégie optimale sous deshypothèses simples. En utilisant des idées similaires au prin ipe de la
programma-tiondynamique,nousétablissonsl'existen e d'unestratégieoptimaledansle as des
stratégies auto-nan éesdynamiquessous deshypothèsesde nondégénéres en edu
pro essus de prix.
D'unpointdevuenumérique,nous nousplaçonssous l'hypothèseprin ipaleque
lepro essus onstituéparle ouplerisqueobservablemaisnonnégo iableetprixest
markovien. Nous supposons également que le pro essus de prix est une martingale
sous laltrationpropredesdeux pro essus. Nousproposonsunalgorithme
sto has-tique an d'estimer la stratégieoptimale ainsi que la VaRet la CVaR asso iées au
portefeuilleave ouverture. Nousnousappuyons sur e premieralgorithmelorsque
nous nous intéressons au as des stratégies dynamiques. Nous proposons et
om-parons quatre stratégies dynamiques sous-optimales diérentes an d'appro her la
stratégie optimale.
Ces résultats sont appliqués à la ouverture de plusieurs portefeuilles sur les
mar hés de l'énergie, typiquement eux de l'éle tri ité et du gaz. Ces mar hés sont
in omplets pour plusieurs raisons: les sous-ja ents omme l'éle tri ité et le gaz ne
sont pas sto kables (ou di ilement et surtout pas à moindre oût), les prix de
l'ele tri ité et du gaz dépendent lairementde latempérature, ...
La troisième partie traite de la modélisation onjointe des prix spot du gaz et
de l'éle tri ité. Nous proposons un modèle fondé sur des pro essus de retour à
la moyenne (pro essus d'Ornstein) markovien dont le oe ient de diusion est
stru -turede orrélationdes deux énergies ainsiquel'ensemble des propriétésstatistiques
des prix spot: stationnarité,pi s de prix,distributions à queues épaisses. La
méth-ode de alibration que nous utilisons est basée sur des outils statistiquesstandards
etrobustes: méthodesdesmoindres arrés,méthodedu maximumdevraisemblan e
(tronquée). Nous appliquons e modèle au mar hé anglais du gaz et au mar hé
français de l'éle tri ité. Nous illustrons l'importan e de la prise en ompte de la
stru ture de orrélation des prixspot du gaz etde l'éle tri ité etde laprésen e des
pi s de prix en mesurant le risque sur un portefeuillelié aumar hé de l'énergie.
Dans la suite de ette introdu tion, nous allons exposer la problèmatique de
haque hapitreainsi que lesrésultats importantsobtenus.
1.1 Estimation de la VaR et de la CVaR par
algo-rithme sto hastique
Le ontrle et la gestion des risques est une omposante de plus en plus
impor-tante de toutes a tivités de mar hé. Contrler le risque 'est avant toute hose
le mesurer à l'aide d'indi ateurs pertinents et de pro édures ables. Le risque de
mar hé estprésent dèslorsqu'une positionsurlesmar hés nan iersoudel'énergie
peut entraîner des pertes importantes. Les autorités de réglementation (Bâle II)
prnent etexigent l'utilisationde laValue-at-Risk (VaR) ommemesure de risque.
De la mêmemanière, fa e àla roissan e des mar hés des matièrespremières et de
l'énergie, les énergéti iens utilisent ouramment la VaR pour mesurer le risque lié
auxpertes de leurs divers portefeuillesd'a tifs physiques ounan iers. Cependant,
laVaRasus itébeau oupde ritiquesémananttantdespra ti iensquedes milieux
a adémiques. LaVaRn'est pasune mesure ohérentedu risque(selon la
terminolo-gie introduite dans [3℄): la VaR de deux portefeuilles intégrés peut être supérieure
àlasomme des VaRs de ha un des portefeuilles, e quivaàl'en ontre du prin ipe
de diversi ation. De plus, la VaR ne dit rien sur les pertes ee tives en as de
dépassement. Ces pertes peuvent être très élevées si les queues de distribution des
pertes sont épaisses. An de palier les problèmes de la VaR, d'autres mesures de
risque ont don été proposées omme la Conditional Value-at-Risk (CVaR). Cette
dernière est une mesure de risque ohérente. Elle représente la moyenne des pertes
lorsque elles- i dépassent le seuil de la VaR. Dès lors, la CVaR permet de mieux
erner e qui peut se passer lorsque des évènements anormaux surviennent sur les
mar hés et de donner une estimation de la perte moyenne du portefeuille dans les
mauvais jours. Mesurer e a ement le risque des pertes de portefeuilles lourds et
omplexes en a tifs détenus est un dé de taille. Cela est la prin ipale motivation
qui nous a onduit à nous intéresser au problème d'estimation de la VaR et de la
CVaR.
Ce problème est très largement étudié dans la littérature. D'un point de vue
mathématique,surun intervallede tempsdonné
[t, T ]
,lapertedu portefeuilleL
estdénie omme l'opposé de la diéren e de valeur de portefeuille entre la date
t
etla date
T
:L :=
−∆V = V (St
, t)
− V (St
+ ∆S, T )
, oùS
t
représente les diérentessour esderisque du portefeuilleauseindu mar hé onsidéré(prixde mar hé, taux,
S
sur l'intervallede temps[t, T ]
etV (S
t
, t)
représente la valeur du portefeuille àladate
t
. Contrairement à la valorisationet à la ouverture des produits dérivés, oùles prix de mar hé sont modélisés sous la probabilité risque neutre, la distribution
des variations
∆S
qui est pertinente est ladistribution observée sous laprobabilitéhistorique. LaVaR auseuil
α
est le plus petit quantile deL
au seuilα
, i.e.:VaR
α(L) := inf
{ξ | P (L ≤ ξ) ≥ α} .
Nous travaillerons sous l'hypothèse que la distribution
L
est ontinue (i.e. sansatomes), ainsi laVaR
α
est laplus petite solutionde l'équationP
(L
≤ ξ) = α.
Silafon tionderépartitiondelaperte
L
est(stri tement) roissantealorslasolutionà ette équationest unique, sinonil peut y en avoirplusieurs. Si
L
vérieE
[L+] <
+
∞
, laCVaRα
est dénie parCVaR
α(L) := E [L
|L ≥
VaRα(L)] .
De nombreuses méthodes ont été proposées pour estimer la VaR:
•
Laplus simplesuppose queladistribution∆S
est une loinormalemultivariéeentrée
N (0, ΣS
)
(lamatri ede varian e ovarian eΣS
est onnueouestimée)et quela perte est linéaireen
∆S
:L
≈ −δ
T
∆S,
(1.3)
où
δ
est le ve teur de sensibilité dont la ième omposante est égale àδi
=
∂V
∂S
i
(St, t)
, où
V
représente la valeur du portefeuille à la datet
. Ce ve teurde sensibilité est la plupart du temps estimé par les entités de ontrle des
risques. Alors la perte est de loi normale
L
∼ N (0; σ
2
)
ave
σ
2
= δ
T
ΣSδ
.
LaVaR est alorsfa ilement al ulable. Néanmoins, beau oup de portefeuilles
ne dépendent pas linéairement des sour es de risques. Une telle
approxima-tion reste assez grossière. L'approximation Delta-Gamma tente de palier e
problème en ajoutant des termes d'ordre2 à (1.3):
L
≈
∂V
∂t
∆t + δ
T
∆S +
1
2
∆S
T
Γ∆S,
où haque terme de la matri e
Γ
,Γi,j
=
∂
2
V
∂S
i
∂S
j
(St, t)
est supposé onnu ou
fa ile à estimer. Ensuite, il est possible d'en déduire une approximation de
la fon tion de répartition de la perte
L
et de trouver par inversion la VaRα
.Pour plus de détails, nous renvoyons à [17℄, [40℄, [39℄, [80℄ parmi d'autres.
Cependant es deux méthodes ne fon tionnent plus lorsque la maturité
T
− t
du portefeuille est grande (
T
− t
est de l'ordre de la semaine dans le se teurban aire alors que
T
− t ≥ 1, 2
mois pour lesmar hés de l'énergie) oulorsque•
LaméthodeparsimulationhistoriqueouMonteCarlo onsistedansunpremiertemps à générer
n
ve teurs de loi∆S
en utilisant des historiques de prixou un modèle de prix et des variables pseudo-aléatoires. Puis, pour haque
ve teur
∆S
simulé, on évalue la perte asso iée. Enn, on inverse la fon tionde répartition empiriquede laperte
L
ˆ
Fn(ξ) =
1
n
n
X
i=1
1{L
i
≤ξ}
,
eton obtient lequantiled'ordre
α
:ξn,α
= ˆ
F
n
−1
(α).
Dansle adredessimulationsMonteCarlo, e quantile onvergepresque
sûre-ment vers laVaR
α
lorsque elle- iestunique. De plus,siL
admetune densitéfL
stri tement positive auvoisinagedeξ
∗
α
:=
VaRα
, alors√
n (ξn,α
− ξ
∗
α
)
L
−→ N 0; σ
2
α
, n
→ +∞,
(1.4) oùσ
2
α
=
α(1−α)
f
2
L
(ξ
∗
α
)
. Pour une preuve de e résultat,nous nous réferons à [84℄.
•
Dansle adredela ouvertureoupluttde l'optimisationde portefeuillepourréduire la CVaR, R.T. Ro kafellar et S. Uryasev dans [77℄ ont montré que la
VaRetlaCVaRsontrespe tivementla solutionetlavaleurd'un problèmede
minimisation onvexe. Plus pré isément,
Proposition 1.1.1. Soit
V
la fon tion dénie parV (ξ) = E [v(ξ, L)] ,
où
v(ξ, L) := ξ +
1
1
− α
(L
− ξ)+
.
On suppose que la fon tion de répartition de
L
est ontinue, roissanteet queE
[L+] < +
∞
. Alors la fon tionV
est onvexe, Lips hitz ontinue, dérivable,satisfait
lim
|ξ|→+∞
V (ξ) = +
∞
et la VaRα
est dénie pararg min V =
{ξ ∈ R | V
′
(ξ) = 0
} = {ξ | P(L ≤ ξ) = α},
où
V
′
est la dérivée de
V
dénie pour toutξ
∈ R
parV
′
(ξ) = E
∂v
∂ξ
(ξ, L)
.
De plus, CVaRα(L) = min
ξ∈R
V (ξ)
Dans la pratique, la plupart des institutions de ontrle des risques sont
in-téressées par le as où
α
est pro he de 1. Trois valeurs deα
sont ourammentutilisées:
95%
,99%
,99.5%
. Par onséquent, laVaRα
sesitue dans laqueue dedis-tribution extrême de droite. Dans ette situation, lesévenements intéressants sont
observés ave une probabilité très faible(moins de
5%
). Par onséquent, esméth-odes doivent être ombinées ave des pro édures de rédu tion de varian e. La plus
adaptée au adredes évenementsraresest laméthode d'é hantillonnagepréférentiel
(importan esampling). Appliquée àl'estimationde laVaR,[39℄propose une
méth-ode d'é hantillonnage préférentiel basée sur une analyse par grande déviation qui
fournit de bons résultats en terme de rédu tion de varian e. Cependant, dans [41℄
es résultats sont ontrastés. En eet, les auteurs remarquent qu'une telle analyse
peut onduire à une varian e qui augmenteave
α
, voire une varian e innie dansertains as. Dans[25℄,laVaRest estiméepar laméthoded'inversiondelafon tion
de répartition pondérée. An d'estimer les paramètres optimauxd'é hantillonnage
préférentiel, elle- i est ombinée ave un algorithme sto hastique ontraint (i.e.
projeté). Cet algorithmefut étudié dansle adregaussiendans [1℄. La onvergen e
s'ee tue après une période de stabilisation si la suite de ompa ts sur lesquels la
proje tion s'ee tue a été spé iée orre tement.
Danslestrois partiesde e premier hapitre,nousproposonsune nouvelle
méth-ode d'estimation de la VaR et la CVaR par simulation basée sur les algorithmes
sto hastiquesetuneméthoded'é hantillonnagepréférentielré ursivenon ontrainte.
1.1.1 Cas de la dimension nie
Dans la première partie, nous étudions le as où la perte
L
s'é rit:L = ϕ(X)
oùϕ : R
d
→ R
est une fon tion borélienneet
X
est un ve teuraléatoireàvaleurs dansR
d
modélisant∆S
sur l'horizonde temps onsidéré. Si onposeH1(ξ, x) =
∂v
∂ξ
(ξ, x) = 1
−
1
1
− α
1{ϕ(x)≥ξ}
,
laproposition1.1montrequelaVaR
α
:= ξ
∗
α
estunesolutiondel'équationE
[H1(ξ, X)] =
0
. Par onséquent,uneméthodepossiblepourestimerξ
∗
α
estd'implémenterl'algorithmede gradient sto hastique:
ξn
= ξ
n−1
− γ
nH1(ξ
n−1
, Xn), n
≥ 1,
où
(Xn)
n≥1
est une suite i.i.d. de variables aléatoiresde même loiqueX
,indépen-dante de
ξ0
, aveE
[
|ξ0|
2
] < +
∞
et
(γn)
n≥1
est une suite de pas déterministe etpositivevériant
X
n≥1
γ
n
= +
∞
etX
n≥1
γ
n
2
< +
∞.
(1.5)Sous des hypothèses appropriées, nous montrons à l'aide du théorème lassique de
Robbins-Monro que
ξn
p.s.
−→ ξ
∗
α
,n
→ +∞
. Pour estimer la CVaRα
:= C
∗
α
nousproposons lapro édure ompagnon,
où
H
2
(ξ, c, x) := c
− v(ξ, x)
. Dès que la distribution des pertes satisfaitϕ(X)
∈
L
2
(P)
et que (1.5)est vériée, nous obtenons
(ξn, Cn)
p.s.
−→ (ξ
∗
α
, C
α
∗
)
.Lavitessede onvergen efaiblede lapro édure
(ξn, Cn)
n≥1
estrégieparunTCLlassique ( .f. les livres [23℄, [13℄ ou [57℄ par exemple). La vitesse de onvergen e
optimaleest obtenue en hoisissant un pas
γn
=
a
b+n
,a, b > 0
. Cependant, le hoixdela onstante
a
estsujetàune onditionfaisantintervenirfL(ξ
∗
α
)
. Enpratique, elanous onduit à hoisir
a
de manière arbitraire. An de résoudre e problème, uneméthode ourammentutiliséeestleprin ipedemoyennisationdeRuppert&Polyak
( .f. les deux arti les fondateurs [81℄ et [45℄). On é rit tout d'abord l'algorithme
VaR-CVaRde manière plus synthétique pour
n
≥ 1
φn
= (ξn, Cn), φ0
= (ξ0, C0),
et,φn
= φ
n−1
− γnH(φ
n−1
, Xn),
où
H(φ, x) = (H1(ξ, x), H2(ξ, c, x))
. Ensuite, nous al ulons de façon adaptative lamoyennede Cesàro de lapro édure,
φ
n
=
φ0
+
· · · + φn−1
n
, n
≥ 1.
La nouvelle suite
φ
n
n≥1
onverge presque sûrement versφ
∗
= (ξ
∗
α
, C
α
∗
)
. Un hoixapproprié de la suite de pas
(γn)
n≥1
(pas lentement dé roissant)garantitlaonver-gen ede
φ
n
n≥1
àlavitesseoptimale√
n
ave unevarian easymptotiqueminimale.Theorem 1.1.2. On suppose que la distribution des pertes vérie
ϕ(X)
∈ L
2a
(P)
pour un
a > 1
et que la densité deL
au pointξ
∗
α
est stri tement positive. Si laséquen e de pas est dénie par
γ
n
=
γ
1
n
β
ave1
2
< β < 1
etγ
1
> 0
alors√
n φ
n
− φ
∗
−→ N (0, Σ)
L
où la matri e de varian e ovarian e asymptotique
Σ
est dénie par
α(1−α)
f
2
L
(ξ
∗
)
α
(1−α)f
L
(ξ
∗
)
E
(ϕ(X)
− ξ
∗
)
+
α
(1−α)f
L
(ξ
∗
)
E
(ϕ(X)
− ξ
∗
)
+
1
(1−α)
2
Var(ϕ(X)
− ξ
∗
)
+
.
(1.6)D'un pointde vue numérique, l'algorithme VaR-CVaR onverge lentement. En
eet,ledésavantagede ettepremièreversionrésidedanslamiseàjourdel'estimateur
de la VaR qui n'est ee tuée que lorsqu'un évènement rare du type
ϕ(X) > ξ
∗
α
in-tervient. Celui- iarrive ave une probabilité très faible:
P(ϕ(X) > ξ
∗
α
) = 1
− α ≈ 0
lorsque
α
est pro he de 1, autrement la pro édure onverge rapidement. De plus,danslapratique, noussommessouventlimités ennombre de s énarios à ausede la
omplexitédes portfeuillesutilisés. Pour es deux raisons, ilest né essaire de
om-biner notre premier algorithme ave une méthode de rédu tion de varian e. Une
méthode adaptée à notre problématique est l'é hantillonnage préférentiel. Celle- i
onsiste à modier la distribution de la perte
L
an de donner plus de poids auxAppliqué au al ul de l'espéran e
E
[F (X)]
, l'é hantillonnage préférentiel partranslation onsiste à utiliserl'invarian epar translation de la mesure de Lebesgue
sur
R
d
pour introduire un paramètre
θ
∈ R
d
E[F (X)] = E
F (X + θ)
p(X + θ)
p(X)
.
Dès queF (X)
∈ L
2
(P)
satisfait
P
(F (X)
6= 0) > 0
, on désire hoisir parmi touteses nouvelles variablesaléatoires de même espéran e elle qui minimiselavarian e,
i.e. le moment d'ordre2
Q(θ) := E
F
2
(X + θ)
p
2
(X + θ)
p
2
(X)
= E
F
2
(X)
p(X)
p(X
− θ)
≤ +∞, θ ∈ R
d
.
Plusieurspro éduresontétéproposéesdanslalittératureand'estimerleparamètre
optimal
θ
∗
:= Arg min Q
. Lorsque
X
est un ve teur gaussien, B. Arouna ( .f. [1℄)propose un algorithme sto hastique projeté (Proje tion à la Chen) basé sur la
représentation de
∇Q
sous forme d'espéran e. V. Lemaire & G. Pagès dans [62℄ontproposé ré emmentun nouvelalgorithmesto hastiquenon-projetébasé sur une
nouvelle représentation de
∇Q
sous formed'espéran e∇Q(θ) = E [K(θ, X)]
et surun ontrle de
F
àl'inni,θn
= θ
n−1
− γ
nΨ(θn)K(θ
n−1
, Xn), θ0
∈ R
d
,
où
Ψ(θ) > 0
, pour toutθ
∈ R
d
est une fon tion permettant de ontrler le
om-portementde
F
àl'inni. Sous ertaineshypothèsesde ontrledeF
àl'innietsurla densité
p
, ils obtiennentθn
p.s.
−→ θ
∗
. C'est ette dernière version que nous allons
utiliser pour réduirela varian e de notre algorithme VaR-CVaR. Dans notre as, il
s'agit de minimiserlesdeux varian esasymptotiques
α(1
− α)
f
2
L
(ξ
α
∗
)
=
Var(
1ϕ(X)≥ξ
∗
)
f
2
L
(ξ
α
∗
)
pour la VaRα,
(1.7) et, Var((ϕ(X)
− ξ
∗
)+)
(1
− α)
2
pour laCVaRα,
(1.8)don de minimiserlesdeux momentsd'ordre 2,
Q1(θ, ξ
∗
) := E
1{ϕ(X)≥ξ
∗
}
p(X)
p(X
− θ)
,
Q2
(µ, ξ
∗
) := E
(ϕ(X)
− ξ
∗
)
2
+
p(X)
p(X
− µ)
.
Ainsi, nous obtenons deux pro édures ré ursives
θn
:= θ
n−1
− γ
nK1
(ξ
n−1
, θ
n−1
, Xn),
µn
:= µ
n−1
− γ
nK2(ξ
n−1
, µ
n−1
, Xn),
que nous ombinons adaptativement (i.e. en utilisant les mêmes innovations) ave
notre premier algorithmeVaR-CVaR:
ξn
:= ξ
n−1
− γ
nL1
(ξ
n−1
, θ
n−1
, Xn),
où
L1
(ξ, θ, x) := e
−ρ|θ|
b
1
−
1
1
− α
1{ϕ(x+θ)≥ξ}
p(x + θ)
p(x)
,
L
2
(ξ, C, µ, x) := C
− ξ −
1
1
− α
(ϕ(x + µ)
− ξ)+
p(x + µ)
p(x)
,
ave
ρ > 0
etb
∈ [1, 2]
. Nousmontronssous ertaineshypothèses(ξ
n
, C
n
, θ
n
, µ
n
)
p.s.
−→
(ξ
∗
α
, C
α
∗
, θ
∗
α
, µ
∗
α
)
,n
→ +∞
. Quant à la vitesse de onvergen e faible, la pro édureobtenue vérie, sous ertaines hypothèses que nous énon erons plus tard, un TCL
gaussien.
Theorem1.1.3. On suppose quela séquen edes pas
(γ
n
)
n≥1
estdénie pourn
≥ 1
par
γn
=
γ
1
n
β
,ave1
2
< β < 1
etqueleshypothèsesduthéorème1.1.2. sontsatisfaites.La séquen e
(ξ
n
, C
n)
n≥1
dénie parξ
n
:=
ξ
0
+ ... + ξ
n−1
n
,
Cn
:=
C
0
+ ... + C
n−1
n
, n
≥ 1,
satisfait√
n
ξ
n
− ξ
∗
Cn
− C
∗
L
−→ N (0, Σ
∗
)
,n
→ +∞,
(1.9) aveΣ
∗
1,1
=
1
f
2
L
(ξ
∗
)
Var 1{ϕ(X+θ
∗
α
)≥ξ
∗
}
p(X + θ
∗
α
)
p(X)
,
Σ
∗
1,2
= Σ
∗
2,1
=
1
(1
− α)fL(ξ
∗
)
Cov(ϕ(X + µ
∗
α
)
− ξ
∗
)
+
p(X + µ
∗
α
)
p(X)
,
1{ϕ(X+θ
∗
α
)≥ξ
∗
}
p(X + θ
∗
α
)
p(X)
,
Σ
∗
2,2
=
1
(1
− α)
2
Var(ϕ(X + µ
∗
α
)
− ξ
∗
)
+
p(X + µ
∗
α
)
p(X)
.
Un paragraphe de ette partie est onsa ré à l'appli ation de et algorithme
d'estimationde laVaRetde laCVaR àde nombreuxportefeuillestypiques
ren on-trés sur le mar hé de l'énergie. Lesrésultats numériquesmontrentque larédu tion
de varian eest très signi ative. Elle l'est d'autantplus que
α
est pro he de 1,i.e.pluson her heàsimulerdesévènementsextrêmespluslaméthoded'é hantillonnage
préférentielest e a e.
Parlamêmeo asion,nousproposonsd'autresalgorithmesde rédu tionde
vari-an elorsquelaméthoded'é hantillonnagepréférentiels'appuiesurlatransformation
d'Ess her ( hangement de mesure exponentiel). Cette dernière transformation est
très e a e lorsque le ve teur
X
est à queue lourde omme 'est le as pour lesdistributionshyperboliques généralisées.
Les estimateurs des paramètres d'é hantillonnage préférentiel
(θ
n
, µ
n
)
n≥1
sontha un de dimension
d
. Lorsque elle- i devient grande (d
≥ 50
en pratique)omme 'estsouventle asdesportefeuillesdesprati iens,oùparexempleleve teur
X
représente les a roissements browniens liés au s héma d'Euler d'une diusion,l'algorithmeré ursifd'é hantillonnagepréférentielprésentedesdi ultésde
1.1.2 Cas de la dimension innie
Dans la deuxième partie, nous étudions le as où la perte
L
s'é rit:L = ϕ(X)
oùϕ
est une fon tionnelle dénie sur l'espa eC [0, T ], R
d
des fon tions ontinues de
[0, T ]
dansR
d
et lasour e de risque
X
est un pro essus d'It solutiond'une EDS:d
Xt
= b(t, X
t
)
dt + σ(t, X
t
)
dWt, X0
= x
∈ R
d
,
(Eb,σ
) oùW = (Wt)
t∈[0,T ]
est un mouvement brownien de dimensionq
,X
t
:= (X
t∧s
)
s∈[0,T ]
est le pro essus arrêté au temps
t
etb : [0, T ]
× C [0, T ], R
d
→ R
d
,
σ[0, T ]
×
C [0, T ], R
d
→ M (d, q)
sontdes fon tionsmesurables vériantlesdeux onditions
suivantes:
(i) b(., 0)
etσ(., 0)
sont ontinues,(ii)
∀t ∈ [0, T ], ∀x, y ∈ C [0, T ], R
d
,
|b(t, y) − b(t, x)|
+
kσ(t, y) − σ(t, x)k ≤ Cb,σ
kx − yk
∞
.
L'algorithmeVaR-CVaR sans méthode de rédu tion de varian e reste identique
à elui développé dans la première partie de e hapitre. Cependant, l'algorithme
d'é hantillonnage préférentiel est maintenant fondé sur la transformation de
Gir-sanov. Si
f
est une fon tion borélienne bornée deC [0, T ], R
d
à valeurs dans
M(d, q)
etsiθ
∈ L
2
T,p
:= L
2
([0, T ], R
p
)
, latransformation de Girsanov appliquée aual ul de
E
[F (X)]
s'é ritE
[F (X)] = E
"
F (X
(θ)
)e
−
R
T
0
h
f (X
(θ),s
)θ
s
,
dW
s
i
−
1
2
k
f (X
(θ),.
)θ
.
k
2
L2
T,q
#
,
oùX
(θ)
estlasolutionde
(Eb+σf θ,σ
)
. DèsqueF (X)
∈ L
2
(P)
satisfait
P
(F (X)
6= 0) >
0
,ondésire hoisirparmitoutes esnouvellesvariablesaléatoiresdemêmeespéran e,elle qui minimisela varian e,i.e. lemoment d'ordre2
Q(θ) = E
"
F (X
(θ)
)
2
e
−2
R
T
0
h
f (X
(θ),s
)θ
s
,
dW
s
i
−
k
f (X
(θ),.
)θ
.
k
2
L2
T,q
#
= E
"
F (X)
2
e
−
R
T
0
h
f (X
(θ),s
)θ
s
,
dW
s
i
+
1
2
k
f (X
(θ),.
)θ
.
k
2
L2
T,q
#
.
En pratique, nous minimisons
Q
sur un sous-espa e niE =
Ve t(e1,
· · · , em)
⊂
L
2
T,p
. Dès queE
[F (X)
2+η
] < +
∞
pour un
η > 0
etque les deux onditions (i), (ii)sont vériées alors on peut montrer que
Q
est nie surL
2
T,p
, log- onvexe,diéren-tiable et
lim
kθk
L2
T,p
→+∞
Q(θ) = +
∞
ainsiArg min
θ
Q =
θ
∈ L
2
T,p
| DQ(θ) = 0
est
non vide,la diérentielle
DQ(θ)
∈ L
2
T,p
est donnée parhDQ(θ), ζiL
2
T,p
= E
"
F (X)
2
e
−
R
T
0
h
f (X
(θ),s
)θ
s
,
dW
s
i
+
1
2
k
f (X
(θ),.
)θ
.
k
2
L2
T,q
×
hf(X
.
)θ., f (X
.
)ζ.
iL
2
T,p
−
Z
T
0
hf(X
s
)ζs,
dWs
i
,
= E
"
F (X
(−θ)
)
2
e
k
f (X
(θ),.
)θ
.
k
2
L2
T,q
×
2
hf(X
.
)θ., f (X
.
)ζ.i
L
2
T,p
−
Z
T
0
f (X
(−θ),s
)ζs,
dWs
,
oùζ
∈ L
2
T,p
. Pour une preuve de e résultat, nous renvoyons à [62℄. En e quion erne l'implémentation numérique, nous onsidérons un sous-espa e
E
deL
2
T,p
non trivial de dimension nie. La restri tion de
Q
surE
atteint un minimumθ
∗
E
.On onsidère alors
(e
1
,
· · · , em
)
une base orthornormaledeE
. Sous des hypothèsesde ontrle de la dis répan e entre
X
etX
(−θ)
et de ontrle de
F
à l'inni, ondénitl'algorithme d'é hantillonnagepréférentielpar le s héma ré ursif
θn
= θ
n−1
− γ
nK θ
n−1
, X
(−θ
n
−1
)
, W
(n)
,
où
(γ
n≥1
)
n≥1
est une suite de pas vériant (1.5),W
(n)
n≥1
est une suiteindépen-dantede mouvementsbrownienspourlesquelslepro essus
X
(−θ
n
−1
)
est unesolution
forte de
E
b−σf(X
(−θn−1)
)θ
n
−1
,W
(n)
. La fon tion
K
est dénie sur la base(e1,
· · · , em)
pour
θ
∈ L
2
T,p
,W
mouvement brownien,Y = (Yt)
t∈[0,T ]
pro essusF
W
t
-adapté à valeurs dansR
d
parhK(θ, Y, W ), eiiL
2
T,p
= C(θ, f )F (Y )
2
e
kf(Y
.
)θ
.
k
L2
T,q
2
hf(Y
.
)θ., f (Y
.
)eiiL
2
T,p
−
Z
T
0
hf(Y
s
)ζs,
dWsi
,
où
C(θ, f )
estune onstantepositivedépendantdeθ
etf
. Laséquen e(θn)
n≥1
ainsidénie vérie:
θn
p.s.
−→ θ
∗
E
,n
→ +∞
. Pour une preuve et plus de détails à proposde et algorithme, nous nous référons à [62℄. Dans notre as, il s'agit toujours de
minimiserlesvarian esasymptotiques(1.7)et(1.8). Andedénirnotrealgorithme
d'é hantillonnagepréférentiel, nous supposons que
ϕ
vérie l'hypothèse suivante:∃λ > 0, ∀x ∈ C [0, T ] , R
d
,
|ϕ(x)| ≤ C
1 +
kxk
λ
∞
.
(1.10)Nousobtenons ainsi deux pro édures ré ursives
θn
= θ
n−1
− γnK1
ξ
n−1
, θ
n−1
, X
(−θ
n−1
)
, W
(n)
,
µ
n
= µ
n−1
− γn
K
2
ξ
n−1
, µ
n−1
, X
(−µ
n−1
)
, W
(n)
,
quenous ombinons adaptativementave notre premieralgorithme VaR-CVaR:
ξ
n
:= ξ
n−1
− γn
L
1
(ξ
n−1
, θ
n−1
, W
(n)
),
Cn
:= C
n−1
− γ
nL2
(ξ
n−1
, µ
n−1
, W
(n)
),
où
L1(ξ, θ, W ) := e
−
1
2
kf
1
k
∞
kθ
.
k
L2
T,p
1
−
1
1
− α
1{
ϕ(X
(θ)
)≥ξ
}
×e
−
R
T
0
h
f
1
(X
(θ),s
)θ
s
,
dW
s
i
−
1
2
k
f
1
(X
(θ),.
)θ
.
k
2
L2
T,q
!
,
L2(ξ, C, µ, W ) := C
− ξ −
1
1
− α
(ϕ(X
(µ)
)
− ξ)
+e
−
R
T
0
h
f
2
(X
(µ),s
)µ
s
,
dW
s
i
−
1
2
k
f
2
(X
(µ),.
)µ
.
k
2
L2
T,q
.
Nous montrons que si les onditions (i) et (ii) sont vériées,
ϕ(X)
∈ L
2
(P)
et
que l'hypothèse (1.10) est satisfaite alors
(ξn, Cn, θn, µn)
p.s.
−→ ξ
∗
α
, C
α
∗
, θ
∗
α,E
, µ
∗
α,E
,n
→ +∞
.Quant à la vitesse de onvergen e faible, la pro édure moyennisée (toujours en
utilisant le prin ipe de moyennisation de Ruppert & Polyak) vérie sous ertaines
hypothèses un TCL gaussien.
Theorem 1.1.4. On suppose que la suite de pas
(γ
n
)
n≥1
est dénie pourn
≥ 1
parγn
=
γ
1
n
β
ave1
2
< β < 1
. Siϕ(X)
∈ L
2a
(P)
pour un
a > 1
, (i) et (ii) sont vériéeset si (1.10) est satisfaite alors la séquen e moyennisée dénie par
ξ
n
:=
ξ0
+ ... + ξ
n−1
n
,
C
n
:=
C0
+ ... + C
n−1
n
, n
≥ 1,
satisfait√
n
ξ
n
− ξ
α
∗
Cn
− C
∗
α
L
−→ N (0, Σ
∗
)
,n
→ +∞,
(1.11) aveΣ
∗
1,1
=
1
f
2
L
(ξ
α
∗
)
Var 1ϕ
X
(θ∗
α,E
)
≥ξ
∗
×
e
−
R
T
0
h
f
1
(X
(θ∗α,E),s
)θ
α,E,s
∗
,
dW
s
i
−
1
2
f
1
(X
(θ∗
α,E ),.
)θ
∗
α,E,.
2
L2
T,q
,
Σ
∗
2,2
=
1
(1
− α)
2
Varϕ
X
(µ
∗
α,E
)
− ξ
α
∗
+
×
e
−
R
T
0
h
f
2
(X
(µ∗ α,E),s
)µ
∗
α,E,s
,
dW
s
i
−
1
2
f
2
(X
(µ∗
α,E ),.
)µ
∗
α,E,.
2
L2
T,q
.
Un paragraphe de ette partie est onsa ré aux appli ations numériques sur de
nombreuxportefeuillesliésauxmar hésdel'énergie. Lesrésultatsnumériques
mon-trentquelarédu tiondevarian eesttrèssigni ative. Notamment,nous omparons
sur un même portefeuille l'e a ité de ette nouvelle version de l'algorithme ave
sa version en dimension nie développée dans la partie pré édente: l'algorithme
VaR-CVaR en dimension innie résout le problème de la dimension ren ontré par
1.1.3 Version QMC de l'approximation sto hastique
Dans ette partie,nous étudions le as oùleve teur aléatoire
X
n'est plus généréàl'aided'uneséquen e(déterministe)pseudo-aléatoiremaisàl'aided'unesuite
(déter-ministe) uniformément distribuée à dis répan e faible. Généralement, une variable
aléatoire
X
de dimensiond
est simulée à partir d'une loi uniformeU ([0, 1]
q
)
, aveq
≥ d
, par des méthodes standards tels que l'inverse de la fon tion de distribution,laméthode de Box-Müller, ... Etant donné lesperforman es des méthodes dites de
quasi-Monte Carlo on ernant l'intégration numérique, il paraît naturel d'essayer
d'introduire des suites à dis répan e faible dans les algorithmes sto hastiques. La
première étude fût menée par [58℄ où il est lairement montré (dans un adre
uni-dimensionel)quedans ertains as la onvergen e des algorithmes ainsiobtenusest
bienmeilleureque elle oùune séquen e pseudo-aléatoireest utilisée. D'unpointde
vue théorique, les deux prin ipaux résultats sont basés sur une hypothèse de
on-tra tion et sur une hypothèse de bornitude de la fon tion
H
. Dans le premier as,une vitesse de onvergen e de l'algorithme vers sa ible est obtenue justiant ainsi
legain par rapport à l'approximationsto hastique lassique basée sur des nombres
pseudo-aléatoires.
Ré emment,denouveauxrésultats on ernantlesalgorithmesquasi-sto hastiques
ont été obtenus dans [60℄ (in luant d'autres adres d'études) généralisant les
ré-sultats de [58℄. Le résultat prin ipal est basé sur une hypothèse de
moyennisa-tion de la séquen e aléatoire utilisée dans l'algorithme sto hastique et sur des
hy-pothèsesdeLyapunov lassiques(retouràlamoyenneet roissan elinéaire).
Cepen-dant, es résultats ne s'appliquent pas dire tement à l'algorithme VaR-CVaR ar
dans la majorité des as, l'hypothèse de moyennisation n'est pas vériée. Dans
ette partie,nous présentons un adre danslequel nous obtenons la onvergen e de
l'algorithme VaR-CVaR. L'idée prin ipale est d'utiliser des résultats on ernant la
dis répan e pour des suites uniformément distribuées à valeurs dans des ensembles
Jordan mesurable ( .f. [70℄ et [71℄). Cela nous permet de satisfaire une hypothèse
de moyennisation.
Denition 1.1.1. Une séquen e
(un)
n≥1
à valeur sur[0, 1]
q
est uniformément
dis-tribuéedans
[0, 1]
q
si1
n
n
X
k=1
δ
u
k
(R
q
)
=
⇒ U ([0, 1]
q
) , n
→ +∞,
où
δ
u
est lamasse de Dira enu
,(R
q
)
=
⇒
représente la onvergen e faible des mesuresde probabilités sur
(R
q
,
Bor(R
q
))
et
U ([0, 1]
q
)
représente laloiuniforme sur
[0, 1]
q
.La notion de dis répan e permet de quantier l'erreur de répartition des suites
uniformémentdistribuées.
Proposition 1.1.5. Une suite
(un)
n≥1
à valeur dans[0, 1]
q
est uniformément
dis-tribuée si et seulement si