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Contribution à la modélisation et à la gestion dynamique du risque des marchés de l'énergie

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Academic year: 2021

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(1)

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dynamique du risque des marchés de l’énergie

Noufel Frikha

To cite this version:

Noufel Frikha. Contribution à la modélisation et à la gestion dynamique du risque des marchés de

l’énergie. Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2010. Français.

�tel-00539962�

(2)

L'UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Spé ialité : Mathématiques Appliquées présentée par Noufel Frikha

pour obtenir legrade de

DOCTEUR EN SCIENCES DE L'UNIVERSITÉ

PIERRE ET MARIE CURIE

Sujet de thèse:

Contribution à la modélisation et à la gestion

dynamique

du risque des mar hés de l'énergie

Dire teur de thèse: GillesPagès

Date de soutenan e: 1er Dé embre 2010

Rapporteurs

M. Bernard Lapeyre, E ole des Ponts ParisTe h

M. Fred Espen Benth, Université d'Oslo

Composition du Jury

M. Bernard Lapeyre, Rapporteur

Mme. Ni oleEl Karoui, Examinateur

M. Jean ClaudeFort, Examinateur

M. Damien Lamberton, Examinateur

M. Olivier Bardou, Examinateur

M. Fred Espen Benth, Examinateur

M. GillesPagès, Dire teur de Thèse

(3)
(4)

Bien loind'être un pensum, es remer iements sontavant tout pour moil'o asion

d'exprimer toute ma joie ainsi que toute ma sympathie aux personnes qui m'ont

entouré.

Le soutien, l'humour, l'enthousiasme ainsi que l'en adrement s ientique très

rigoureuxdeM. GillesPagès au oursde es troisannéesde thèseee tuées sous sa

dire tion m'ontpermis d'aboutir à e travail.

Par la réda tion de es quelques lignes, le moment est don venu pour moi de

le remer ier haleureusement et de lui témoigner toute mon estime et ma sin ère

re onnaissan e.

Je tiens à exprimer toute ma re onnaissan e à Vin ent Lemaire et Olivier

Bar-dou ave qui j'ai beau oup appré ié de ollaborer et qui ont beau oup ontribué à

l'a omplissementde ettethèse. Ce fut un véritable plaisirde travaillerave vous.

Je remer ie Bernard Lapeyre et Fred Espen Benth qui ont a epté d'être les

rapporteurs de ette thèse.

Mesremer iementsvontaussiauxautresmembresdu Jury: DamienLamberton,

Ni oleEl Karoui,Jean-Claude Fort.

Je suis très honoré qu'ils aient a epté d'y faire partie. Plus parti ulièrement,

je remer ie vivement Mme Ni ole El Karoui pour la qualité de son enseignement

aumaster Probabilités et Finan e, Damien Lamberton et Bernard Lapeyre dont la

larté et la rigueur de leur livre Introdu tion au al ul sto hastique appliqué à la

nan e m'ont beau oup servi durant es trois années ainsi que Jean-Claude Fort

pour ses remarques qui m'ontpermis d'améliorer la qualité de e manus rit.

J'exprime égalementtoute ma onsidérationà tous lesmembres du Laboratoire

de Probabilités etde Modèles Aléatoiresau sein duquel j'ai ee tué e travail,plus

parti ulièrementlespersonnes ave quij'aieu l'o asionde dis uter augré des

déje-unersou plussimplementlorsde mes ren ontres dansles ouloirs. Je pense

notam-mentàM.Portesdontladisponibilitéen asdeproblèmes on ernantl'informatique

etla bonne humeur m'ont beau oup tou hé. Mes pensées vont aussi aux personnes

ave qui j'aipartagélemême bureau: MathieurRi hard, Raoul Normand,Eri

Lu- on, Sophie Dede, Stavros Vakeroudis, Nikos, Joa him Lebovits, Sylvain Corlay et

CamilleIllande, sans oublier Sophie Laruelleet eux du bureau 16-26.225. Jevous

remer ie pour tous es bons moments.

Jevoudraismaintenantremer ier haleureusementlesmembresdu Projet

Sirius-Haltea et du Projet Prix de la Dire tion de la Re her he et de l'Innovation de

GDFSuez pour toutes les dis ussions au sujet des mar hés de l'énergie, votre

ol-laboration et votre sympathie. Notamment, Olivier Bardou qui m'y a a ueilli,

Sandrine Bouthemy et Céline Jerusalem qui par leurs remarques m'ont beau oup

(5)

vous iter de peur d'en oublier un. J'ai beau oup appris grâ eà vous etje vous en

remer ie.

A toute ma famille dont l'amour indéfe tible m'a porté et soutenu jour après

jour et sans laquelle je ne serai probablementpas arrivé jusqu'içiaujourd'hui, 'est

àmon tour devous exprimermaprofondere onnaissan e. Tout d'abord àmamère

etàmondéfuntpère, jevous remer ie pourtout. Puisàmasoeuretson mari,ainsi

qu'à mon frère, vous avez beau oup fait pour moi.

Jetermineenremer iantmesquelquesamis,plusparti ulièrement euxdu ours

de théâtre Jean-Laurent Co het. Lorsque jem'évoquetous es bons moments,tous

es bonssouvenirs,frangésdenostalgie,jemedisque etravailvous doitégalement.

Enn à madou e ettendre Elise, je tiens à teremer ier très haleureusementpour

(6)

Remer iements . . . 3

Contents . . . 5

1 Introdu tion 9 1.1 Estimation de laVaR etde laCVaR par algorithme sto hastique. . . 13

1.1.1 Cas de la dimension nie . . . 16

1.1.2 Cas de la dimension innie . . . 20

1.1.3 Version QMC de l'approximation sto hastique . . . 23

1.2 Couverture en CVaRpar algorithmesto hastique . . . 26

1.2.1 Introdu tion . . . 26

1.2.2 Aspe ts théoriques de la ouverture en CVaR . . . 29

1.2.3 Aspe ts numériques de la ouverture en CVaR . . . 34

1.3 ModélisationConjointedes prix spotdu gaz etde l'éle tri ité . . . . 38

I Computation of VaRand CVaR using sto hasti approx-imations 45 2 Computation of VaR and CVaR using sto hasti approximations and un onstrained importan e sampling 47 2.1 Introdu tion . . . 48

2.2 VaR,CVaRusing sto hasti approximationand someba kgroundon re ursive IS . . . 51

2.2.1 Representation of VaR and

Ψ

-CVaRas expe tations. . . 52

2.2.2 Sto hasti gradient and its adaptive ompanion pro edure: a rst naive approa h . . . 53

2.2.3 Some ba kgroundon IS using sto hasti approximation algo-rithm. . . 61

2.3 Design of a faster pro edure: importan e samplingand moving on-den e level . . . 63

2.3.1 Un onstrainedadaptive importan esamplingdevi e . . . 63

2.3.2 How to ontrol the move towards the riti al risk area: the nal pro edure . . . 68

2.3.3 A nal pro edure for pra ti alimplementation . . . 69

2.4 Towards some extensions . . . 70

2.4.1 Extensiontoexponential hangeofmeasure: theEss her trans-form . . . 70

2.4.2 Extension toinnitedimensional setting . . . 71

(7)

2.5.1 Gaussian framework . . . 73

2.5.2 Ess her transform: the NIG distribution . . . 74

3 VaR-CVaR algorithm with un onstrained importan e sampling: the innite dimensional setting 79 3.1 Introdu tion . . . 80

3.2 Some ba kground: the nite-dimensionalsetting . . . 82

3.3 VaR-CVaRalgorithmfor diusions . . . 83

3.3.1 Framework and pra ti alresults . . . 83

3.3.2 The resultingalgorithm . . . 86

3.4 Numeri alexamples. . . 89

3.4.1 Asianoption. . . 89

3.4.2 Power plant . . . 92

3.4.3 Adaptive ase: Up & InPut option . . . 93

4 VaR-CVaR algorithm using quasi-sto hasti approximation 99 4.1 Introdu tion . . . 100

4.2 Some ba kground: sequen es with low dis repan y and VaR-CVaR algorithm . . . 101

4.2.1 Sequen es with low dis repan y: Denitions and hara teri-zations . . . 101

4.2.2 VaR-CVaRsto hasti approximation algorithm . . . 103

4.3 VaR-CVaRalgorithmusing quasi-sto hasti approximation . . . 105

4.3.1 VaR-CVaRquasi-sto hasti approximation algorithm . . . 105

4.3.2 Design of afaster pro edure: I.S. quasi-sto hasti algorithm . 109 4.4 Numeri alresults . . . 111

II CVaR Hedging using sto hasti approximation 115 5 CVaR hedging using quantization based sto hasti approximation algorithm 117 5.1 Introdu tion . . . 118

5.2 Theoreti al aspe ts of CVaR hedging . . . 122

5.2.1 Denitions and preliminaries . . . 122

5.2.2 General properties . . . 123

5.2.3 CVaR hedgingusing a one step self nan ed strategy . . . 126

5.2.4 CVaR hedgingusing a dynami selfnan ed strategy . . . 130

5.3 Computationaland numeri al aspe ts of CVaR hedging . . . 134

5.3.1 Markovianframework and OptimalVe tor Quantization . . . 135

5.3.2 Computing CVaR hedging by sto hasti approximation: a rst approa h . . . 136

5.3.3 Dynami CVaRhedging . . . 144

5.4 Design of faster pro edures: varian e redu tion te hniques . . . 148

5.4.1 Un onstrained Re ursive Importan e Sampling. . . 149

5.4.2 Linear ControlVariable . . . 154

5.5 Numeri alExamples . . . 156

(8)

5.5.2 Dynami setting. . . 159

5.6 Appendix: Proof of Proposition5.2.5 . . . 161

III Joint Modelling of Gas and Ele tri ity spot pri es 167 6 Joint Modelling of Gas and Ele tri ity spot pri es 169 6.1 Introdu tion . . . 170

6.2 Stylised features of gas and ele tri ity spot pri es . . . 171

6.2.1 Seasonality . . . 171

6.2.2 Spikesand heavy tails . . . 173

6.2.3 Mean reversion and long term dependen y . . . 173

6.2.4 Auto- orrelationand ross- orrelation . . . 174

6.3 Theoreti al ba kground. . . 176

6.3.1 The general ase . . . 176

6.3.2 Quasi-Saddlepointapproximation . . . 178

6.4 Cross- ommodity multi-fa tormodel . . . 179

6.4.1 Proposed modelization . . . 179

6.4.2 Calibration . . . 181

6.5 Simulation and appli ation . . . 184

6.5.1 Empiri alresults onPowernext and NBP spotpri es . . . 184

6.5.2 Appli ation: measuring riskof a ross- ommodity portfolio . . 185

(9)
(10)

Introdu tion

Cette thèse porte sur l'appli ationdes algorithmes sto hastiques à la gestion et au

ontrledes risquessurlesmar hésnan iersetdel'énergie. Raressontlesa tivités

é onomiques (ou dansd'autres domaines ommela physique,labiologie,...) quine

omportent au un risque. Dans le adre des a tivités des mar hés nan iers et de

l'énergieonen distingue prin ipalementquatre:

Lerisquede rédit(ou de ontrepartie) résultedel'in ertitudequ'un tiers(un

parti ulier ouune entreprise) ne rembourse pas sa dette àl'é hean e xée.

Le risque de mar hé résulte de l'exposition de la valeur d'un portefeuille aux

u tuationsdes fa teursderisqueliésaumar hé ( oursdes a tions,taux, prix

des matièrespremières, ...)

Le risque limatique provient de la dépendan e de la valeur d'un portefeuille

auxaléas limatiques (température, intensité du vent, ...)

Le risque opérationnel est le risque qu'une erreur humaine, une panne

(tur-bineàgaz, sto kage gazier,...),un dysfon tionnement(informatique)perturbe

l'a tivitéé onomique du détenteur du portefeuille.

Ce travail se ompose de trois hapitresindépendants.

Lepremier hapitredéveloppeuneméthoded'estimationparalgorithme

sto has-tiquede deux mesures de risque ouramment utiliséesdans lapratique du ontrle

des risques: la Value-at-Risk (VaR)etla Conditional Value-at-Risk (CVaR). Étant

xéun niveau de onan e

α

∈ (0, 1)

etun horizon de temps

T

(lavaleur

α = 95%

estsouventutilisée),laVaRauseuil

α

(VaR

α

)delaperteduportefeuilleestlavaleur

qui ne sera pas dépassée par elle- i ave une probabilité

α

. Ave une telle

déni-tion, la VaR est un indi ateur synthétique du risque utile dans beau oup d'autres

domaines que lanan e: physique, biologie,assuran e,...

Pour autant, la VaR ne donne au une information sur la perte maximale

pos-sible du portefeuille. Les mouvements des mar hés sont parfois tels que les pertes

peuvent dépasser le seuil de la VaR ets'avérer très lourdes si la queue de

distribu-tion des pertes du portefeuille est épaisse. La CVaR au seuil

α

tente de palier e

manque. Elle représente lamoyenne des pertes du portefeuille lorsque elles- i sont

(11)

d'autant plus qu'elles apparaissent ommelasolutionet lavaleur d'un même

prob-lème d'optimisation onvexe ( .f.[78℄ et[77℄). Lafon tionobje tive de e problème

et son gradient s'é rivent sous forme d'espéran e. Par onséquent, l'estimation de

es deux quantités peut être réaliséeà l'aide d'un algorithme sto hastique.

Unalgorithmesto hastiqueest une suite deve teurs aléatoires

(Xn)

n≥1

prenant

sesvaleursdansunespa eeu lidiendedimensionnie(engénéraldans

R

d

)etdénie

ré ursivement par

∀n ∈ N, Xn+1

= Xn

+ γn+1Vn+1,

(1.1)

oùla suite positive

(γn)

n≥1

, appelépas de l'algorithmevérie

P

n≥1

γn

= +

et où

V

n+1

est une variable aléatoire appelée l'observation de l'algorithme dépendant de

la variable

Xn

, quipeut par exemple ara tériser l'étatd'un système aupas

n

dont

son évolutionaupas

n + 1

dépenddeson propreétatetd'unevariablealéatoire

ǫn+1

de loi

µ

(indépendante de

X

0

), i.e.

V

n+1

= H(X

n

, ǫ

n+1

)

, ave

H : R

d

× R

q

→ R

d

vériant:

∀x ∈ R

d

, H(x, )

∈ L

1

R

d

(µ)

et

h : x

7→

Z

R

q

H(x, u)µ(

d

u)

est borélienne.

A partir d'une observation ou d'une simulation, l'utilisateur disposant de

Xn

on-struit

H(X

n

, ǫ

n+1

)

, i.e. la variable aléatoire

ǫ

n+1

de loi

µ

est simulable à un oût

raisonnable et la fon tion

H

est al ulable numériquement à un oût raisonnable

également. La fon tion moyenne de l'algorithme

h

n'est pas al ulable

numérique-ment à un oût raisonnable. Si elle l'est, on rempla era l'algorithme sto hastique

i-dessus par son homologue déterministe

xn+1

= xn

− γn+1h(xn), n

≥ 0.

Par onséquent, ilest ourantd'utiliserun algorithmesto hastique lorsquele al ul

numériquede

h

est outeux omparé au al ul numériquede

H

et de la simulation

de laloi

µ

. Remarquons que l'algorithmesto hastique(1.1) peut s'é rire

∀n ∈ N, X

n+1

= Xn

+ γn+1

(h(Xn) + ∆Mn+1) ,

(1.2)

où lestermes

∆Mn+1

:= H(Xn, ǫn+1)

− h(Xn)

,

n

≥ 0

sont des a roissements de la

martingale

(Mn)

n≥1

par rapport àla ltration

F

n

:= σ(X0, ǫ1,

· · · , ǫ

n)

.

L'étude des algorithmes sto hastiques débuta dans les années 1950 ave les

travauxde Robbins-Monro [76℄et Kiefer etWolfowitz [53℄. Elle fûtl'objet de

nom-breux travaux liés par exemple au ontrle adaptatif ( .f. [57℄) ou aux estimations

ré ursives( .f. par exemple[69℄), ... Dans le adre de e travail, nous nous

intéres-sons aux questions de ontrle et de gestion du risque sur les mar hés nan iers et

de l'énergie.

Ce premier hapitrede la thèse est dé oupé en trois parties.

Dansla premièrepartie, nous étudions l'estimationde laVaRetde laCVaRen

utilisantla théoriedes algorithmes sto hastiques. Cette première étude est réalisée

dansle asoùlapertedu portefeuille

L

s'é rit

ϕ(X)

ϕ

estunefon tionmesurable

àvaleursdans

R

et

X

est unve teuraléatoirestru turelàvaleursdans

R

d

. Partant

dela ara térisationdelaVaRetdelaCVaRintroduitedans[78℄,nousproposonsun

(12)

quantités. Des résultats lassiques de la théorie des algorithmes sto hastiques ( .f.

[23℄, [22℄, [57℄ et [13℄) nous permettent d'établir fa ilement la onvergen e presque

sûre de l'algorithmeproposée vers le ouple VaR-CVaR.De lamêmemanière,nous

obtenonslavitessede onvergen efaibledel'algorithmeverssa ible: elleestdonnée

parunthéorème entrallimite(TCL)gaussien. Néanmoinslavitessede onvergen e

de l'algorithme est lente en pratique surtout lorsque le niveau de onan e

α

est

pro hede1(oude0). Eneet, laVaRetlaCVaRsontdesquantitésliéesàlaqueue

de distributiondes pertes, leur estimationfait don intervenir des évènements rares

etdoit don être ombinéeave une méthode de rédu tion de varian e en pratique.

La plus adaptée à ette problématiqueest l'é hantillonnagepréférentiel (ou

Im-portan eSampling). Pour ette raison,nous proposonsde ombiner notrepremière

pro édure ave un algorithme d'é hantillonnage préférentiel ré ursif. L'algorithme

sto hastique ainsi obtenu vérie un TCL ave une vitesse de onvergen e optimale.

Cependant, lorsque la dimension

d

du ve teur

X

est grande, par exemple dans le

as où

X

est un ve teur d'a roissements browniens liés au s héma d'Euler d'une

diusion, des problèmes de onvergen e des paramètres de rédu tion de varian e

apparaissent.

An de remédier à e problème, nous propons dans la deuxième partie de e

hapitre une extension de l'étude pré édente. Nous nous intéressons au as où

la perte du portefeuille s'é rit

ϕ(X)

ϕ

est à présent une fon tionnelle dénie

sur l'espa e

C [0, T ], R

d



des fon tions ontinues de

[0, T ]

à valeurs dans

R

d

et

X = (Xt)

t∈[0,T ]

est un pro essus d'It à valeurs dans

R

d

solution d'une équation

diérentielle sto hastique. An de suppléer aux défauts de l'algorithme

sto has-tiqued'é hantillonnagepréférentielendimension nie,nous proposons unenouvelle

pro édure ré ursive etadaptativebasée sur l'identité de Girsanov. Celle- i se

om-bine fa ilement ave la pro édure d'estimation de la VaR et de la CVaR qui reste

en tout pointidentiqueàsapremière version en dimensionnie. L'algorithmeainsi

obtenu vérie un TCL dont la vitesse de onvergen e est optimale. L'e a ité de

laméthode est étudiée sur un ensemble de portefeuilleset une omparaisonave la

pro édure en dimension nie est proposée qui prouve l'utilité de notre appro he.

Dans la première étude que nous avons menée, à haque pas de l'algorithme

VaR-CVaR, la génération pseudo-aléatoire du ve teur

X

à valeurs dans

R

d

est

généralementobtenue ommeune fon tiond'unautre ve teur pseudo-aléatoire

U

U ([0, 1]

s

)

(

s

≥ d

):

X = Ψ(U)

en loi. Uneidée naturelle est de rempla er à haque

pas de l'algorithme la simulation pseudo-aléatoire d'une opie de

U

, qui est

déter-ministe mais dont le but est de reproduire les propriétés idéales des sour es

om-plètementaléatoires,i.e. lesloisduhasard,parlavaleurdéterministe

xn

d'unesuite

équirépartie

x = (xn)

n≥1

sur

[0, 1]

s

dont le but est de remplir l'espa e

[0, 1]

s

de le

plus uniformément possible. C'est pour ette raison que dans la troisième partie,

nous nous intéressons à l'algorithme VaR-CVaR étudié dans la première partie de

e hapitredans le as oùles innovations de l'algorithme ne sont plus obtenues via

desnombrespseudo-aléatoiresmaispar unesuiteéquirépartiedéterministeà

dis ré-pan efaible. Etantdonnéel'e a itédesméthodesdeQuasi-MonteCarloappliquée

au al ul d'espéran e, l'idée d'utiliser des suites à dis répan e faible dans le adre

desalgorithmessto hastiquessemble naturelle. Unepremièreétudemenéedans[58℄

montre que sous ertaines hypothèses (d'une ertaine manière plus restri tives que

(13)

onvergent et que leur vitesse de onvergen e est meilleure que elle de leur

ho-mologue sto hastique. De nombreux résultats numériques appuient les on lusions

de ette première étude. Cependant, es résultats théoriques ne s'appliquent pas à

notre algorithme. Enutilisantun résultatré ent obtenu dans [60℄ basé sur une

hy-pothèsedemoyennisationdupro essusd'innovationsetdeshypothèsesdeLyapunov

lassiques, ainsi que des résultats sur la dis répan e d'ensemble Jordan mesurable

( .f. [70℄ et[71℄), nous démontrons la onvergen e de l'algorithmeVaR-CVaR.Bien

que dans e adre non sto hastique, les te hniques de rédu tion de varian e en

tant que telles n'ont théoriquement pas lieu d'être, nous montrons que d'un point

de vue numérique l'algorithme préférentiel a élère la onvergen e de l'algorithme

VaR-CVaR.

Dansle deuxième hapitrede ette thèse, nous nous intéressons àla ouverture

du risque dans un mar hé in omplet opérant à temps dis ret. Plus pré isément,

nous proposons une méthode de ouverture d'une perte (ou d'un a tif) dépendant

d'une sour e de risque observable mais non négo iable sur les mar hés nan iers

ou de l'énergie (par exemple, la température). La stratégie autonan ée optimale

est obtenue en minimisantdynamiquement laCVaR. Pour ela nous utilisons trois

outils: les algorithmes sto hastiques, la quanti ation ve torielle optimale et deux

te hniques de rédu tion de varian e (l'é hantillonnage préférentiel et les variables

de ontrle). Dans un premier temps, nous introduisons la notion de CVaR

dy-namique quiest une version aléatoireet dynamiquede la CVaR lassique. Ensuite,

nous étudions le as simplemais intéressantdes stratégies àun pas, i.e. àun

rebal-an ement. Une telle stratégie dé idée à la date

tℓ

0

∈ [0, T ]

est une stratégie où le

nombre d'a tifs négo iables est xé à la date

t

0

∈ [0, T ]

et reste in hangé jusqu'à

la date

T

. Nous établissons un résultat d'existen e de stratégie optimale sous des

hypothèses simples. En utilisant des idées similaires au prin ipe de la

programma-tiondynamique,nousétablissonsl'existen e d'unestratégieoptimaledansle as des

stratégies auto-nan éesdynamiquessous deshypothèsesde nondégénéres en edu

pro essus de prix.

D'unpointdevuenumérique,nous nousplaçonssous l'hypothèseprin ipaleque

lepro essus onstituéparle ouplerisqueobservablemaisnonnégo iableetprixest

markovien. Nous supposons également que le pro essus de prix est une martingale

sous laltrationpropredesdeux pro essus. Nousproposonsunalgorithme

sto has-tique an d'estimer la stratégieoptimale ainsi que la VaRet la CVaR asso iées au

portefeuilleave ouverture. Nousnousappuyons sur e premieralgorithmelorsque

nous nous intéressons au as des stratégies dynamiques. Nous proposons et

om-parons quatre stratégies dynamiques sous-optimales diérentes an d'appro her la

stratégie optimale.

Ces résultats sont appliqués à la ouverture de plusieurs portefeuilles sur les

mar hés de l'énergie, typiquement eux de l'éle tri ité et du gaz. Ces mar hés sont

in omplets pour plusieurs raisons: les sous-ja ents omme l'éle tri ité et le gaz ne

sont pas sto kables (ou di ilement et surtout pas à moindre oût), les prix de

l'ele tri ité et du gaz dépendent lairementde latempérature, ...

La troisième partie traite de la modélisation onjointe des prix spot du gaz et

de l'éle tri ité. Nous proposons un modèle fondé sur des pro essus de retour à

la moyenne (pro essus d'Ornstein) markovien dont le oe ient de diusion est

(14)

stru -turede orrélationdes deux énergies ainsiquel'ensemble des propriétésstatistiques

des prix spot: stationnarité,pi s de prix,distributions à queues épaisses. La

méth-ode de alibration que nous utilisons est basée sur des outils statistiquesstandards

etrobustes: méthodesdesmoindres arrés,méthodedu maximumdevraisemblan e

(tronquée). Nous appliquons e modèle au mar hé anglais du gaz et au mar hé

français de l'éle tri ité. Nous illustrons l'importan e de la prise en ompte de la

stru ture de orrélation des prixspot du gaz etde l'éle tri ité etde laprésen e des

pi s de prix en mesurant le risque sur un portefeuillelié aumar hé de l'énergie.

Dans la suite de ette introdu tion, nous allons exposer la problèmatique de

haque hapitreainsi que lesrésultats importantsobtenus.

1.1 Estimation de la VaR et de la CVaR par

algo-rithme sto hastique

Le ontrle et la gestion des risques est une omposante de plus en plus

impor-tante de toutes a tivités de mar hé. Contrler le risque 'est avant toute hose

le mesurer à l'aide d'indi ateurs pertinents et de pro édures ables. Le risque de

mar hé estprésent dèslorsqu'une positionsurlesmar hés nan iersoudel'énergie

peut entraîner des pertes importantes. Les autorités de réglementation (Bâle II)

prnent etexigent l'utilisationde laValue-at-Risk (VaR) ommemesure de risque.

De la mêmemanière, fa e àla roissan e des mar hés des matièrespremières et de

l'énergie, les énergéti iens utilisent ouramment la VaR pour mesurer le risque lié

auxpertes de leurs divers portefeuillesd'a tifs physiques ounan iers. Cependant,

laVaRasus itébeau oupde ritiquesémananttantdespra ti iensquedes milieux

a adémiques. LaVaRn'est pasune mesure ohérentedu risque(selon la

terminolo-gie introduite dans [3℄): la VaR de deux portefeuilles intégrés peut être supérieure

àlasomme des VaRs de ha un des portefeuilles, e quivaàl'en ontre du prin ipe

de diversi ation. De plus, la VaR ne dit rien sur les pertes ee tives en as de

dépassement. Ces pertes peuvent être très élevées si les queues de distribution des

pertes sont épaisses. An de palier les problèmes de la VaR, d'autres mesures de

risque ont don été proposées omme la Conditional Value-at-Risk (CVaR). Cette

dernière est une mesure de risque ohérente. Elle représente la moyenne des pertes

lorsque elles- i dépassent le seuil de la VaR. Dès lors, la CVaR permet de mieux

erner e qui peut se passer lorsque des évènements anormaux surviennent sur les

mar hés et de donner une estimation de la perte moyenne du portefeuille dans les

mauvais jours. Mesurer e a ement le risque des pertes de portefeuilles lourds et

omplexes en a tifs détenus est un dé de taille. Cela est la prin ipale motivation

qui nous a onduit à nous intéresser au problème d'estimation de la VaR et de la

CVaR.

Ce problème est très largement étudié dans la littérature. D'un point de vue

mathématique,surun intervallede tempsdonné

[t, T ]

,lapertedu portefeuille

L

est

dénie omme l'opposé de la diéren e de valeur de portefeuille entre la date

t

et

la date

T

:

L :=

−∆V = V (St

, t)

− V (St

+ ∆S, T )

, où

S

t

représente les diérentes

sour esderisque du portefeuilleauseindu mar hé onsidéré(prixde mar hé, taux,

(15)

S

sur l'intervallede temps

[t, T ]

et

V (S

t

, t)

représente la valeur du portefeuille àla

date

t

. Contrairement à la valorisationet à la ouverture des produits dérivés, où

les prix de mar hé sont modélisés sous la probabilité risque neutre, la distribution

des variations

∆S

qui est pertinente est ladistribution observée sous laprobabilité

historique. LaVaR auseuil

α

est le plus petit quantile de

L

au seuil

α

, i.e.:

VaR

α(L) := inf

{ξ | P (L ≤ ξ) ≥ α} .

Nous travaillerons sous l'hypothèse que la distribution

L

est ontinue (i.e. sans

atomes), ainsi laVaR

α

est laplus petite solutionde l'équation

P

(L

≤ ξ) = α.

Silafon tionderépartitiondelaperte

L

est(stri tement) roissantealorslasolution

à ette équationest unique, sinonil peut y en avoirplusieurs. Si

L

vérie

E

[L+] <

+

, laCVaR

α

est dénie par

CVaR

α(L) := E [L

|L ≥

VaR

α(L)] .

De nombreuses méthodes ont été proposées pour estimer la VaR:

Laplus simplesuppose queladistribution

∆S

est une loinormalemultivariée

entrée

N (0, ΣS

)

(lamatri ede varian e ovarian e

ΣS

est onnueouestimée)

et quela perte est linéaireen

∆S

:

L

≈ −δ

T

∆S,

(1.3)

δ

est le ve teur de sensibilité dont la ième omposante est égale à

δi

=

∂V

∂S

i

(St, t)

, où

V

représente la valeur du portefeuille à la date

t

. Ce ve teur

de sensibilité est la plupart du temps estimé par les entités de ontrle des

risques. Alors la perte est de loi normale

L

∼ N (0; σ

2

)

ave

σ

2

= δ

T

ΣSδ

.

LaVaR est alorsfa ilement al ulable. Néanmoins, beau oup de portefeuilles

ne dépendent pas linéairement des sour es de risques. Une telle

approxima-tion reste assez grossière. L'approximation Delta-Gamma tente de palier e

problème en ajoutant des termes d'ordre2 à (1.3):

L

∂V

∂t

∆t + δ

T

∆S +

1

2

∆S

T

Γ∆S,

où haque terme de la matri e

Γ

,

Γi,j

=

2

V

∂S

i

∂S

j

(St, t)

est supposé onnu ou

fa ile à estimer. Ensuite, il est possible d'en déduire une approximation de

la fon tion de répartition de la perte

L

et de trouver par inversion la VaR

α

.

Pour plus de détails, nous renvoyons à [17℄, [40℄, [39℄, [80℄ parmi d'autres.

Cependant es deux méthodes ne fon tionnent plus lorsque la maturité

T

− t

du portefeuille est grande (

T

− t

est de l'ordre de la semaine dans le se teur

ban aire alors que

T

− t ≥ 1, 2

mois pour lesmar hés de l'énergie) oulorsque

(16)

LaméthodeparsimulationhistoriqueouMonteCarlo onsistedansunpremier

temps à générer

n

ve teurs de loi

∆S

en utilisant des historiques de prix

ou un modèle de prix et des variables pseudo-aléatoires. Puis, pour haque

ve teur

∆S

simulé, on évalue la perte asso iée. Enn, on inverse la fon tion

de répartition empiriquede laperte

L

ˆ

Fn(ξ) =

1

n

n

X

i=1

1

{L

i

≤ξ}

,

eton obtient lequantiled'ordre

α

:

ξn,α

= ˆ

F

n

−1

(α).

Dansle adredessimulationsMonteCarlo, e quantile onvergepresque

sûre-ment vers laVaR

α

lorsque elle- iestunique. De plus,si

L

admetune densité

fL

stri tement positive auvoisinagede

ξ

α

:=

VaR

α

, alors

n (ξn,α

− ξ

α

)

L

−→ N 0; σ

2

α



, n

→ +∞,

(1.4) où

σ

2

α

=

α(1−α)

f

2

L

α

)

. Pour une preuve de e résultat,nous nous réferons à [84℄.

Dansle adredela ouvertureoupluttde l'optimisationde portefeuillepour

réduire la CVaR, R.T. Ro kafellar et S. Uryasev dans [77℄ ont montré que la

VaRetlaCVaRsontrespe tivementla solutionetlavaleurd'un problèmede

minimisation onvexe. Plus pré isément,

Proposition 1.1.1. Soit

V

la fon tion dénie par

V (ξ) = E [v(ξ, L)] ,

v(ξ, L) := ξ +

1

1

− α

(L

− ξ)+

.

On suppose que la fon tion de répartition de

L

est ontinue, roissanteet que

E

[L+] < +

. Alors la fon tion

V

est onvexe, Lips hitz ontinue, dérivable,

satisfait

lim

|ξ|→+∞

V (ξ) = +

et la VaR

α

est dénie par

arg min V =

{ξ ∈ R | V

(ξ) = 0

} = {ξ | P(L ≤ ξ) = α},

V

est la dérivée de

V

dénie pour tout

ξ

∈ R

par

V

(ξ) = E



∂v

∂ξ

(ξ, L)



.

De plus, CVaR

α(L) = min

ξ∈R

V (ξ)

(17)

Dans la pratique, la plupart des institutions de ontrle des risques sont

in-téressées par le as où

α

est pro he de 1. Trois valeurs de

α

sont ouramment

utilisées:

95%

,

99%

,

99.5%

. Par onséquent, laVaR

α

sesitue dans laqueue de

dis-tribution extrême de droite. Dans ette situation, lesévenements intéressants sont

observés ave une probabilité très faible(moins de

5%

). Par onséquent, es

méth-odes doivent être ombinées ave des pro édures de rédu tion de varian e. La plus

adaptée au adredes évenementsraresest laméthode d'é hantillonnagepréférentiel

(importan esampling). Appliquée àl'estimationde laVaR,[39℄propose une

méth-ode d'é hantillonnage préférentiel basée sur une analyse par grande déviation qui

fournit de bons résultats en terme de rédu tion de varian e. Cependant, dans [41℄

es résultats sont ontrastés. En eet, les auteurs remarquent qu'une telle analyse

peut onduire à une varian e qui augmenteave

α

, voire une varian e innie dans

ertains as. Dans[25℄,laVaRest estiméepar laméthoded'inversiondelafon tion

de répartition pondérée. An d'estimer les paramètres optimauxd'é hantillonnage

préférentiel, elle- i est ombinée ave un algorithme sto hastique ontraint (i.e.

projeté). Cet algorithmefut étudié dansle adregaussiendans [1℄. La onvergen e

s'ee tue après une période de stabilisation si la suite de ompa ts sur lesquels la

proje tion s'ee tue a été spé iée orre tement.

Danslestrois partiesde e premier hapitre,nousproposonsune nouvelle

méth-ode d'estimation de la VaR et la CVaR par simulation basée sur les algorithmes

sto hastiquesetuneméthoded'é hantillonnagepréférentielré ursivenon ontrainte.

1.1.1 Cas de la dimension nie

Dans la première partie, nous étudions le as où la perte

L

s'é rit:

L = ϕ(X)

ϕ : R

d

→ R

est une fon tion borélienneet

X

est un ve teuraléatoireàvaleurs dans

R

d

modélisant

∆S

sur l'horizonde temps onsidéré. Si onpose

H1(ξ, x) =

∂v

∂ξ

(ξ, x) = 1

1

1

− α

1

{ϕ(x)≥ξ}

,

laproposition1.1montrequelaVaR

α

:= ξ

α

estunesolutiondel'équation

E

[H1(ξ, X)] =

0

. Par onséquent,uneméthodepossiblepourestimer

ξ

α

estd'implémenterl'algorithme

de gradient sto hastique:

ξn

= ξ

n−1

− γ

nH1(ξ

n−1

, Xn), n

≥ 1,

(Xn)

n≥1

est une suite i.i.d. de variables aléatoiresde même loique

X

,

indépen-dante de

ξ0

, ave

E

[

|ξ0|

2

] < +

et

(γn)

n≥1

est une suite de pas déterministe et

positivevériant

X

n≥1

γ

n

= +

et

X

n≥1

γ

n

2

< +

∞.

(1.5)

Sous des hypothèses appropriées, nous montrons à l'aide du théorème lassique de

Robbins-Monro que

ξn

p.s.

−→ ξ

α

,

n

→ +∞

. Pour estimer la CVaR

α

:= C

α

nous

proposons lapro édure ompagnon,

(18)

H

2

(ξ, c, x) := c

− v(ξ, x)

. Dès que la distribution des pertes satisfait

ϕ(X)

L

2

(P)

et que (1.5)est vériée, nous obtenons

(ξn, Cn)

p.s.

−→ (ξ

α

, C

α

)

.

Lavitessede onvergen efaiblede lapro édure

(ξn, Cn)

n≥1

estrégieparunTCL

lassique ( .f. les livres [23℄, [13℄ ou [57℄ par exemple). La vitesse de onvergen e

optimaleest obtenue en hoisissant un pas

γn

=

a

b+n

,

a, b > 0

. Cependant, le hoix

dela onstante

a

estsujetàune onditionfaisantintervenir

fL(ξ

α

)

. Enpratique, ela

nous onduit à hoisir

a

de manière arbitraire. An de résoudre e problème, une

méthode ourammentutiliséeestleprin ipedemoyennisationdeRuppert&Polyak

( .f. les deux arti les fondateurs [81℄ et [45℄). On é rit tout d'abord l'algorithme

VaR-CVaRde manière plus synthétique pour

n

≥ 1

φn

= (ξn, Cn), φ0

= (ξ0, C0),

et,

φn

= φ

n−1

− γnH(φ

n−1

, Xn),

H(φ, x) = (H1(ξ, x), H2(ξ, c, x))

. Ensuite, nous al ulons de façon adaptative la

moyennede Cesàro de lapro édure,

φ

n

=

φ0

+

· · · + φn−1

n

, n

≥ 1.

La nouvelle suite

φ

n



n≥1

onverge presque sûrement vers

φ

= (ξ

α

, C

α

)

. Un hoix

approprié de la suite de pas

(γn)

n≥1

(pas lentement dé roissant)garantitla

onver-gen ede

φ

n



n≥1

àlavitesseoptimale

n

ave unevarian easymptotiqueminimale.

Theorem 1.1.2. On suppose que la distribution des pertes vérie

ϕ(X)

∈ L

2a

(P)

pour un

a > 1

et que la densité de

L

au point

ξ

α

est stri tement positive. Si la

séquen e de pas est dénie par

γ

n

=

γ

1

n

β

ave

1

2

< β < 1

et

γ

1

> 0

alors

n φ

n

− φ



−→ N (0, Σ)

L

où la matri e de varian e ovarian e asymptotique

Σ

est dénie par

α(1−α)

f

2

L

)

α

(1−α)f

L

)

E



(ϕ(X)

− ξ

)

+



α

(1−α)f

L

)

E



(ϕ(X)

− ξ

)

+



1

(1−α)

2

Var

(ϕ(X)

− ξ

)

+



 .

(1.6)

D'un pointde vue numérique, l'algorithme VaR-CVaR onverge lentement. En

eet,ledésavantagede ettepremièreversionrésidedanslamiseàjourdel'estimateur

de la VaR qui n'est ee tuée que lorsqu'un évènement rare du type

ϕ(X) > ξ

α

in-tervient. Celui- iarrive ave une probabilité très faible:

P(ϕ(X) > ξ

α

) = 1

− α ≈ 0

lorsque

α

est pro he de 1, autrement la pro édure onverge rapidement. De plus,

danslapratique, noussommessouventlimités ennombre de s énarios à ausede la

omplexitédes portfeuillesutilisés. Pour es deux raisons, ilest né essaire de

om-biner notre premier algorithme ave une méthode de rédu tion de varian e. Une

méthode adaptée à notre problématique est l'é hantillonnage préférentiel. Celle- i

onsiste à modier la distribution de la perte

L

an de donner plus de poids aux

(19)

Appliqué au al ul de l'espéran e

E

[F (X)]

, l'é hantillonnage préférentiel par

translation onsiste à utiliserl'invarian epar translation de la mesure de Lebesgue

sur

R

d

pour introduire un paramètre

θ

∈ R

d

E[F (X)] = E



F (X + θ)

p(X + θ)

p(X)



.

Dès que

F (X)

∈ L

2

(P)

satisfait

P

(F (X)

6= 0) > 0

, on désire hoisir parmi toutes

es nouvelles variablesaléatoires de même espéran e elle qui minimiselavarian e,

i.e. le moment d'ordre2

Q(θ) := E



F

2

(X + θ)

p

2

(X + θ)

p

2

(X)



= E



F

2

(X)

p(X)

p(X

− θ)



≤ +∞, θ ∈ R

d

.

Plusieurspro éduresontétéproposéesdanslalittératureand'estimerleparamètre

optimal

θ

:= Arg min Q

. Lorsque

X

est un ve teur gaussien, B. Arouna ( .f. [1℄)

propose un algorithme sto hastique projeté (Proje tion à la Chen) basé sur la

représentation de

∇Q

sous forme d'espéran e. V. Lemaire & G. Pagès dans [62℄

ontproposé ré emmentun nouvelalgorithmesto hastiquenon-projetébasé sur une

nouvelle représentation de

∇Q

sous formed'espéran e

∇Q(θ) = E [K(θ, X)]

et sur

un ontrle de

F

àl'inni,

θn

= θ

n−1

− γ

nΨ(θn)K(θ

n−1

, Xn), θ0

∈ R

d

,

Ψ(θ) > 0

, pour tout

θ

∈ R

d

est une fon tion permettant de  ontrler le

om-portementde

F

àl'inni. Sous ertaineshypothèsesde ontrlede

F

àl'innietsur

la densité

p

, ils obtiennent

θn

p.s.

−→ θ

. C'est ette dernière version que nous allons

utiliser pour réduirela varian e de notre algorithme VaR-CVaR. Dans notre as, il

s'agit de minimiserlesdeux varian esasymptotiques

α(1

− α)

f

2

L

α

)

=

Var

(

1

ϕ(X)≥ξ

)

f

2

L

α

)

pour la VaR

α,

(1.7) et, Var

((ϕ(X)

− ξ

)+)

(1

− α)

2

pour laCVaR

α,

(1.8)

don de minimiserlesdeux momentsd'ordre 2,

Q1(θ, ξ

) := E



1

{ϕ(X)≥ξ

}

p(X)

p(X

− θ)



,

Q2

(µ, ξ

) := E



(ϕ(X)

− ξ

)

2

+

p(X)

p(X

− µ)



.

Ainsi, nous obtenons deux pro édures ré ursives

θn

:= θ

n−1

− γ

nK1

n−1

, θ

n−1

, Xn),

µn

:= µ

n−1

− γ

nK2(ξ

n−1

, µ

n−1

, Xn),

que nous ombinons adaptativement (i.e. en utilisant les mêmes innovations) ave

notre premier algorithmeVaR-CVaR:

ξn

:= ξ

n−1

− γ

nL1

n−1

, θ

n−1

, Xn),

(20)

L1

(ξ, θ, x) := e

−ρ|θ|

b



1

1

1

− α

1

{ϕ(x+θ)≥ξ}

p(x + θ)

p(x)



,

L

2

(ξ, C, µ, x) := C

− ξ −

1

1

− α

(ϕ(x + µ)

− ξ)+

p(x + µ)

p(x)

,

ave

ρ > 0

et

b

∈ [1, 2]

. Nousmontronssous ertaineshypothèses

n

, C

n

, θ

n

, µ

n

)

p.s.

−→

α

, C

α

, θ

α

, µ

α

)

,

n

→ +∞

. Quant à la vitesse de onvergen e faible, la pro édure

obtenue vérie, sous ertaines hypothèses que nous énon erons plus tard, un TCL

gaussien.

Theorem1.1.3. On suppose quela séquen edes pas

n

)

n≥1

estdénie pour

n

≥ 1

par

γn

=

γ

1

n

β

,ave

1

2

< β < 1

etqueleshypothèsesduthéorème1.1.2. sontsatisfaites.

La séquen e

n

, C

n)

n≥1

dénie par

ξ

n

:=

ξ

0

+ ... + ξ

n−1

n

,

Cn

:=

C

0

+ ... + C

n−1

n

, n

≥ 1,

satisfait

n



ξ

n

− ξ

Cn

− C



L

−→ N (0, Σ

)

,

n

→ +∞,

(1.9) ave

Σ

1,1

=

1

f

2

L

)

Var



1

{ϕ(X+θ

α

)≥ξ

}

p(X + θ

α

)

p(X)



,

Σ

1,2

= Σ

2,1

=

1

(1

− α)fL(ξ

)

Cov



(ϕ(X + µ

α

)

− ξ

)

+

p(X + µ

α

)

p(X)

,

1

{ϕ(X+θ

α

)≥ξ

}

p(X + θ

α

)

p(X)



,

Σ

2,2

=

1

(1

− α)

2

Var



(ϕ(X + µ

α

)

− ξ

)

+

p(X + µ

α

)

p(X)



.

Un paragraphe de ette partie est onsa ré à l'appli ation de et algorithme

d'estimationde laVaRetde laCVaR àde nombreuxportefeuillestypiques

ren on-trés sur le mar hé de l'énergie. Lesrésultats numériquesmontrentque larédu tion

de varian eest très signi ative. Elle l'est d'autantplus que

α

est pro he de 1,i.e.

pluson her heàsimulerdesévènementsextrêmespluslaméthoded'é hantillonnage

préférentielest e a e.

Parlamêmeo asion,nousproposonsd'autresalgorithmesde rédu tionde

vari-an elorsquelaméthoded'é hantillonnagepréférentiels'appuiesurlatransformation

d'Ess her ( hangement de mesure exponentiel). Cette dernière transformation est

très e a e lorsque le ve teur

X

est à queue lourde omme 'est le as pour les

distributionshyperboliques généralisées.

Les estimateurs des paramètres d'é hantillonnage préférentiel

n

, µ

n

)

n≥1

sont

ha un de dimension

d

. Lorsque elle- i devient grande (

d

≥ 50

en pratique)

omme 'estsouventle asdesportefeuillesdesprati iens,oùparexempleleve teur

X

représente les a roissements browniens liés au s héma d'Euler d'une diusion,

l'algorithmeré ursifd'é hantillonnagepréférentielprésentedesdi ultésde

(21)

1.1.2 Cas de la dimension innie

Dans la deuxième partie, nous étudions le as où la perte

L

s'é rit:

L = ϕ(X)

ϕ

est une fon tionnelle dénie sur l'espa e

C [0, T ], R

d



des fon tions ontinues de

[0, T ]

dans

R

d

et lasour e de risque

X

est un pro essus d'It solutiond'une EDS:

d

Xt

= b(t, X

t

)

d

t + σ(t, X

t

)

d

Wt, X0

= x

∈ R

d

,

(

Eb,σ

) où

W = (Wt)

t∈[0,T ]

est un mouvement brownien de dimension

q

,

X

t

:= (X

t∧s

)

s∈[0,T ]

est le pro essus arrêté au temps

t

et

b : [0, T ]

× C [0, T ], R

d



→ R

d

,

σ[0, T ]

×

C [0, T ], R

d



→ M (d, q)

sontdes fon tionsmesurables vériantlesdeux onditions

suivantes:

(i) b(., 0)

et

σ(., 0)

sont ontinues,

(ii)

∀t ∈ [0, T ], ∀x, y ∈ C [0, T ], R

d



,

|b(t, y) − b(t, x)|

+

kσ(t, y) − σ(t, x)k ≤ Cb,σ

kx − yk

.

L'algorithmeVaR-CVaR sans méthode de rédu tion de varian e reste identique

à elui développé dans la première partie de e hapitre. Cependant, l'algorithme

d'é hantillonnage préférentiel est maintenant fondé sur la transformation de

Gir-sanov. Si

f

est une fon tion borélienne bornée de

C [0, T ], R

d



à valeurs dans

M(d, q)

etsi

θ

∈ L

2

T,p

:= L

2

([0, T ], R

p

)

, latransformation de Girsanov appliquée au

al ul de

E

[F (X)]

s'é rit

E

[F (X)] = E

"

F (X

(θ)

)e

R

T

0

h

f (X

(θ),s

s

,

d

W

s

i

1

2

k

f (X

(θ),.

.

k

2

L2

T,q

#

,

X

(θ)

estlasolutionde

(Eb+σf θ,σ

)

. Dèsque

F (X)

∈ L

2

(P)

satisfait

P

(F (X)

6= 0) >

0

,ondésire hoisirparmitoutes esnouvellesvariablesaléatoiresdemêmeespéran e,

elle qui minimisela varian e,i.e. lemoment d'ordre2

Q(θ) = E

"

F (X

(θ)

)

2

e

−2

R

T

0

h

f (X

(θ),s

s

,

d

W

s

i

k

f (X

(θ),.

.

k

2

L2

T,q

#

= E

"

F (X)

2

e

R

T

0

h

f (X

(θ),s

s

,

d

W

s

i

+

1

2

k

f (X

(θ),.

.

k

2

L2

T,q

#

.

En pratique, nous minimisons

Q

sur un sous-espa e ni

E =

Ve t

(e1,

· · · , em)

L

2

T,p

. Dès que

E

[F (X)

2+η

] < +

pour un

η > 0

etque les deux onditions (i), (ii)

sont vériées alors on peut montrer que

Q

est nie sur

L

2

T,p

, log- onvexe,

diéren-tiable et

lim

kθk

L2

T,p

→+∞

Q(θ) = +

ainsi

Arg min

θ

Q =



θ

∈ L

2

T,p

| DQ(θ) = 0

est

(22)

non vide,la diérentielle

DQ(θ)

∈ L

2

T,p

est donnée par

hDQ(θ), ζiL

2

T,p

= E

"

F (X)

2

e

R

T

0

h

f (X

(θ),s

s

,

d

W

s

i

+

1

2

k

f (X

(θ),.

.

k

2

L2

T,q

×



hf(X

.

)θ., f (X

.

)ζ.

iL

2

T,p

Z

T

0

hf(X

s

)ζs,

d

Ws

i



,

= E

"

F (X

(−θ)

)

2

e

k

f (X

(θ),.

.

k

2

L2

T,q

×



2

hf(X

.

)θ., f (X

.

)ζ.i

L

2

T,p

Z

T

0

f (X

(−θ),s

)ζs,

d

Ws



,

ζ

∈ L

2

T,p

. Pour une preuve de e résultat, nous renvoyons à [62℄. En e qui

on erne l'implémentation numérique, nous onsidérons un sous-espa e

E

de

L

2

T,p

non trivial de dimension nie. La restri tion de

Q

sur

E

atteint un minimum

θ

E

.

On onsidère alors

(e

1

,

· · · , em

)

une base orthornormalede

E

. Sous des hypothèses

de ontrle de la dis répan e entre

X

et

X

(−θ)

et de ontrle de

F

à l'inni, on

dénitl'algorithme d'é hantillonnagepréférentielpar le s héma ré ursif

θn

= θ

n−1

− γ

nK θ

n−1

, X

(−θ

n

−1

)

, W

(n)



,

n≥1

)

n≥1

est une suite de pas vériant (1.5),

W

(n)



n≥1

est une suite

indépen-dantede mouvementsbrownienspourlesquelslepro essus

X

(−θ

n

−1

)

est unesolution

forte de

E

b−σf(X

(−θn−1)

n

−1

,W

(n)

. La fon tion

K

est dénie sur la base

(e1,

· · · , em)

pour

θ

∈ L

2

T,p

,

W

mouvement brownien,

Y = (Yt)

t∈[0,T ]

pro essus

F

W

t

-adapté à valeurs dans

R

d

par

hK(θ, Y, W ), eiiL

2

T,p

= C(θ, f )F (Y )

2

e

kf(Y

.

.

k

L2

T,q



2

hf(Y

.

)θ., f (Y

.

)eiiL

2

T,p

Z

T

0

hf(Y

s

)ζs,

d

Wsi



,

C(θ, f )

estune onstantepositivedépendantde

θ

et

f

. Laséquen e

(θn)

n≥1

ainsi

dénie vérie:

θn

p.s.

−→ θ

E

,

n

→ +∞

. Pour une preuve et plus de détails à propos

de et algorithme, nous nous référons à [62℄. Dans notre as, il s'agit toujours de

minimiserlesvarian esasymptotiques(1.7)et(1.8). Andedénirnotrealgorithme

d'é hantillonnagepréférentiel, nous supposons que

ϕ

vérie l'hypothèse suivante:

∃λ > 0, ∀x ∈ C [0, T ] , R

d



,

|ϕ(x)| ≤ C



1 +

kxk

λ



.

(1.10)

Nousobtenons ainsi deux pro édures ré ursives

θn

= θ

n−1

− γnK1

ξ

n−1

, θ

n−1

, X

(−θ

n−1

)

, W

(n)



,

µ

n

= µ

n−1

− γn

K

2

ξ

n−1

, µ

n−1

, X

(−µ

n−1

)

, W

(n)



,

quenous ombinons adaptativementave notre premieralgorithme VaR-CVaR:

ξ

n

:= ξ

n−1

− γn

L

1

n−1

, θ

n−1

, W

(n)

),

Cn

:= C

n−1

− γ

nL2

n−1

, µ

n−1

, W

(n)

),

(23)

L1(ξ, θ, W ) := e

1

2

kf

1

k

.

k

L2

T,p



1

1

1

− α

1

{

ϕ(X

(θ)

)≥ξ

}

×e

R

T

0

h

f

1

(X

(θ),s

s

,

d

W

s

i

1

2

k

f

1

(X

(θ),.

.

k

2

L2

T,q

!

,

L2(ξ, C, µ, W ) := C

− ξ −

1

1

− α

(ϕ(X

(µ)

)

− ξ)

+e

R

T

0

h

f

2

(X

(µ),s

s

,

d

W

s

i

1

2

k

f

2

(X

(µ),.

.

k

2

L2

T,q

.

Nous montrons que si les onditions (i) et (ii) sont vériées,

ϕ(X)

∈ L

2

(P)

et

que l'hypothèse (1.10) est satisfaite alors

(ξn, Cn, θn, µn)

p.s.

−→ ξ

α

, C

α

, θ

α,E

, µ

α,E



,

n

→ +∞

.

Quant à la vitesse de onvergen e faible, la pro édure moyennisée (toujours en

utilisant le prin ipe de moyennisation de Ruppert & Polyak) vérie sous ertaines

hypothèses un TCL gaussien.

Theorem 1.1.4. On suppose que la suite de pas

n

)

n≥1

est dénie pour

n

≥ 1

par

γn

=

γ

1

n

β

ave

1

2

< β < 1

. Si

ϕ(X)

∈ L

2a

(P)

pour un

a > 1

, (i) et (ii) sont vériées

et si (1.10) est satisfaite alors la séquen e moyennisée dénie par

ξ

n

:=

ξ0

+ ... + ξ

n−1

n

,

C

n

:=

C0

+ ... + C

n−1

n

, n

≥ 1,

satisfait

n



ξ

n

− ξ

α

Cn

− C

α



L

−→ N (0, Σ

)

,

n

→ +∞,

(1.11) ave

Σ

1,1

=

1

f

2

L

α

)

Var 1



ϕ



X

(θ∗

α,E

)



≥ξ



×

e

R

T

0

h

f

1

(X

(θ∗α,E),s

α,E,s

,

d

W

s

i

1

2

f

1

(X

(θ∗

α,E ),.

α,E,.

2

L2

T,q

 ,

Σ

2,2

=

1

(1

− α)

2

Var



ϕ



X

α,E

)



− ξ

α



+

×

e

R

T

0

h

f

2

(X

(µ∗ α,E),s

α,E,s

,

d

W

s

i

1

2

f

2

(X

(µ∗

α,E ),.

α,E,.

2

L2

T,q

 .

Un paragraphe de ette partie est onsa ré aux appli ations numériques sur de

nombreuxportefeuillesliésauxmar hésdel'énergie. Lesrésultatsnumériques

mon-trentquelarédu tiondevarian eesttrèssigni ative. Notamment,nous omparons

sur un même portefeuille l'e a ité de ette nouvelle version de l'algorithme ave

sa version en dimension nie développée dans la partie pré édente: l'algorithme

VaR-CVaR en dimension innie résout le problème de la dimension ren ontré par

(24)

1.1.3 Version QMC de l'approximation sto hastique

Dans ette partie,nous étudions le as oùleve teur aléatoire

X

n'est plus généréà

l'aided'uneséquen e(déterministe)pseudo-aléatoiremaisàl'aided'unesuite

(déter-ministe) uniformément distribuée à dis répan e faible. Généralement, une variable

aléatoire

X

de dimension

d

est simulée à partir d'une loi uniforme

U ([0, 1]

q

)

, ave

q

≥ d

, par des méthodes standards tels que l'inverse de la fon tion de distribution,

laméthode de Box-Müller, ... Etant donné lesperforman es des méthodes dites de

quasi-Monte Carlo on ernant l'intégration numérique, il paraît naturel d'essayer

d'introduire des suites à dis répan e faible dans les algorithmes sto hastiques. La

première étude fût menée par [58℄ où il est lairement montré (dans un adre

uni-dimensionel)quedans ertains as la onvergen e des algorithmes ainsiobtenusest

bienmeilleureque elle oùune séquen e pseudo-aléatoireest utilisée. D'unpointde

vue théorique, les deux prin ipaux résultats sont basés sur une hypothèse de

on-tra tion et sur une hypothèse de bornitude de la fon tion

H

. Dans le premier as,

une vitesse de onvergen e de l'algorithme vers sa ible est obtenue justiant ainsi

legain par rapport à l'approximationsto hastique lassique basée sur des nombres

pseudo-aléatoires.

Ré emment,denouveauxrésultats on ernantlesalgorithmesquasi-sto hastiques

ont été obtenus dans [60℄ (in luant d'autres adres d'études) généralisant les

ré-sultats de [58℄. Le résultat prin ipal est basé sur une hypothèse de

moyennisa-tion de la séquen e aléatoire utilisée dans l'algorithme sto hastique et sur des

hy-pothèsesdeLyapunov lassiques(retouràlamoyenneet roissan elinéaire).

Cepen-dant, es résultats ne s'appliquent pas dire tement à l'algorithme VaR-CVaR ar

dans la majorité des as, l'hypothèse de moyennisation n'est pas vériée. Dans

ette partie,nous présentons un adre danslequel nous obtenons la onvergen e de

l'algorithme VaR-CVaR. L'idée prin ipale est d'utiliser des résultats on ernant la

dis répan e pour des suites uniformément distribuées à valeurs dans des ensembles

Jordan mesurable ( .f. [70℄ et [71℄). Cela nous permet de satisfaire une hypothèse

de moyennisation.

Denition 1.1.1. Une séquen e

(un)

n≥1

à valeur sur

[0, 1]

q

est uniformément

dis-tribuéedans

[0, 1]

q

si

1

n

n

X

k=1

δ

u

k

(R

q

)

=

⇒ U ([0, 1]

q

) , n

→ +∞,

δ

u

est lamasse de Dira en

u

,

(R

q

)

=

représente la onvergen e faible des mesures

de probabilités sur

(R

q

,

Bor(R

q

))

et

U ([0, 1]

q

)

représente laloiuniforme sur

[0, 1]

q

.

La notion de dis répan e permet de quantier l'erreur de répartition des suites

uniformémentdistribuées.

Proposition 1.1.5. Une suite

(un)

n≥1

à valeur dans

[0, 1]

q

est uniformément

dis-tribuée si et seulement si

D

n

(u) := sup

x∈[0,1]

q

1

n

n

X

k=1

1

[0,x](uk)

q

Y

i=1

xi

→ 0, n → +∞.

D

Figure

Figure 1.1: Prix des 
ontrats spot éle
tri
ité sur le mar
hé de Powernext (sur la
Table 4 
ompares the varian
e redu
tion ratios of the V aR α and CVaR α algorithms
Table 3.2: VaR, CVaR and varian
e ratios obtained using the Karhunen-Loève basis
Figure 3.1: Optimal θ for dierent basis obtained with our algorithm using 100 000
+7

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