L E S
C O L L O Q U E S
DE L'INSTITUT SUPÉRIEUR DES MATÉRIAUX
ET DE LA CONSTRUCTION MÉCANIQUE
COLLOQUE DU LUNDI 24 NOVEMBRE 1952
Géométrie des systèmes articulés
et thème général
sur les liaisons rotatives dans l'espace
(Suite)
Principe d'équivalence
dans la conception cinématique des machines
IV. — A P P L I C A T I O N S D E S C H A I N E S D É F O R M A B L E S (11011 p a r a d o x a l e s ) A LA C O N C E P T I O N C I N É M A T I Q U E R A T I O N N E L L E D E S M A C H I N E S P r i n c i p e d ' é q u i v a l e n c e U n e c h a î n e f e r m é e , d é f o r m a b l e (ou n o n ) se r é s u m e , en s o m m e , à u n e n s e m b l e d ' é l é m e n t s (ou c o r p s ) en file i n d i e n n e close, et liés e n t r e e u x , d e u x à d e u x , p a r d e s c o u p l e s d ' e m b o î t e m e n t q u i sont : r o t o ï d e s , p r i s m a t i q u e s , ou a u t r e s — c e s c o u p l e s , d ' u n e m a n i è r e g é n é r a l e , a y a n t des é q u i -v a l e n c e s e n t r e e u x en f o n c t i o n d u ou d e s d e g r é s d e l i b e r t é q u e c h a c u n r e p r é s e n t e . Or, je f a i s r e m a r q u e r ceci : t o u t e m a c h i n e , e n p r i n c i p e , est p a r f a i t e m e n t a s s i m i l a b l e à u n tel e n s e m b l e . E n effet, il est t o u j o u r s p o s s i b l e d ' e n v i s a g e r , à p r o p o s d ' u n e m a c h i n e , l ' a r b r e d ' e n t r é e c o m m e é t a n t , si l ' on v e u t , u n p r e m i e r c o r p s q u i a ses m o u v e m e n t s liés à u n c o r p s final d e r é c e p t i o n ( l ' a r b r e d e s o r t i e , p a r e x e m p l e : m a i s , p a s obli-g a t o i r e m e n t d e s o r t i e) p a r u n e s é r i e a p p r o p r i é e d e c o r p s s u c c e s s i f s i n t e r m é d i a i r e s à m o u v e m e n t s r e l a t i f s d e t r a n s m i s s i o n — c h a c u n é t a n t en liai-s o n c i n é m a t i q u e a v e c liai-s o n voiliai-sin d ' a m o n t et liai-son v o i s i n d ' a v a l . D a n s ces c o n d i t i o n s , on a d o n c le d r o i t d e c o n s i d é r e r le b â t i de la m a c h i n e c o m m e c o n s t i -t u a n -t le d e r n i e r c o r p s ( é l é m e n -t n° n) d e j o n c -t i o n i n t e r m é d i a i r e e n t r e le c o r p s d ' e n t r é e ( é l é m e n t n° 1) et le c o r p s d e s o r t i e , ou r é c e p t i o n f i n a l e ( é l é m e n t n° Ji-l). J ' e n a r r i v e a u s s i t ô t a u x c o n c l u s i o n s s u i v a n t e s : P o u r q u ' u n e m a c h i n e soit c i n é m a t i q u e m e n t p o s s i b l e , il f a u t qu'ell e se s c h é m a t i s e à l'état d ' u n e c h a î n e f e r m é e d é f o r m a b l e a u p r e m i e r de-g r é de l i b e r t é . On c o n ç o i t , en effet, q u e si la l i b e r t é est nulle, il n ' e x i s t e c e r t e s p l u s d e m o u -v e m e n t s r e l a t i f s p o s s i b l e s e n t r e les é l é m e n t s c o m p o s a n t s de la m a c h i n e — q u i r e p r é s e n t e , d è s lors, u n e c h a î n e f e r m é e indéformable. E t si, a u c o n t r a i r e , la l i b e r t é est s u p é r i e u r e au p r e m i e r d e g r é , il y a, d a n s cette m a c h i n e , i n d é t e r m i n a t i o n d e s m o u v e m e n t s , c ' e s t à d i r e d i s p o s i t i o n p a r e i l -l e m e n t i n a c c e p t a b -l e . U en r é s u l t e ceci, q u e je p r o p o s e sous la f o r m e d ' u n principe d'équivalence e x t r ê m e m e n t u t i l e clans la c o n c e p t i o n des m a c h i n e s : t o u t e m a c h i n e doit, n o r m a l e m e n t , t o t a l i s e r, en série, soit effectiv e m e n t , soit p a r é q u i effectiv a l e n c e s , s e p t c o u p l e s r o -t o ï d e s .
Mais, de m ê m e qu'il existe des c h a î n e s b a n a l e s
déformables a y a n t m o i n s de s e p t c o u p l e s r o t o ï d e s (axes, ou g r o u p e s c o n v e n a b l e m e n t a p p r o p r i é s d ' a x e s c o n c o u r a n t s ou p a r a l l è l e s ) , de m ê m e , on t r o u v e r a d e s m a c h i n e s p a r f a i t e m e n t c o r r e c t e s , s u s c e p t i b l e s d e t o t a l i s e r , en série, des c o u p l e s XV
d ' e m b o î t e m e n t d o n t le n o m b r e , p a r é q u i v a l e n c e s , est i n f é r i e u r à c e l u i d e s e p t c o u p l e s r o t o ï d e s . Si l ' o n a n a l y s e , p a r e x e m p l e , le d i s p o s i t if u n i -v e r s e l l e m e n t r é p a n d u d ' u n p i s t o n c o m m a n d é p a r bielle et m a n i v e l l e , o n c o n s t a t e q u ' u n e telle m a -c h i n e -c o m p o r t e u n p r e m i e r a x e r o t o ï d e : -c e l u i d e l ' a r b r e v i l e b r e q u i n ; u n s e c o n d : c e l u i de la soie d e m a n i v e l l e ; u n t r o i s i è m e : celui d e l ' a x e d u p i s t o n . Et q u ' e n f i n le g l i s s e m e n t d u p i s t o n d a n s son alésage c o r r e s p o n d à u n c o u p l e p r i s m a -tique, c ' e s t - à - d i r e à u n q u a t r i è m e c o u p l e r o t o ï d e d ' a x e r e j e t é à l ' i n f i n i p a r a l l è l e m e n t a u x t r o i s p r é -c é d e n t s . Au total, la -c h a î n e -c i n é m a t i q u e ( f e r m é e p a r le bâti) est, p a r é q u i v a l e n c e , à q u a t r e c o u p l e s r o t o ï d e s d ' a x e s p a r a l l è l e s — d o n c , d é f o r m a b l e an p r e m i e r d e g r é de l i b e r t é . E t , certes , o n p o u r r a t r o u v e r aussi, p o u r d e s r a i s o n s p u r e m e n t c o n s t r u c t i v e s , c e r t a i n e s m a -c h i n e s p o s s é d a n t , au t o t a l et p a r é q u i v a l e n -c e , lin n o m b r e d e c o u p l e s s u p é r i e u r à sept , p a r c e q u e c e r t a i n s de ces c o u p l e s d ' e m b o î t e m e n t s e r o n t s i t u é s en parallèle a v e c c e u x ( s t r i c t e m e n t n é c e s s a i r e s ) d e la c h a î n e c i n é m a t i q u e f e r m é e d é f o r m a b l e à q u o i se r a m è n e s c h é m a t i q u e m e n t la m a -c h i n e (et -cela se p r o d u i r a , s y s t é m a t i q u e m e n t , d a n s t o u t e s les m a c h i n e s à b a r i l l e t s , p a r e x e m p l e ) . Mais, d e tels c o u p l e s en parallèle n e sont, d e ce fait, q u e des l i a i s o n s r é p é t é e s , o u surabon-dantes au sens mathématique d u m o t , et n ' i n f i r -m e n t en r i e n la t h é o r i e p r é s e n t e -m e n t d é v e l o p p é e . P a r c o n t r e , si l ' o n c o n ç o i t u n e m a c h i n e t o t a -lisant, en série, d e s c o u p l e s d ' e m b o î t e m e n t d o n t le n o m b r e d é p a s s e , p a r é q u i v a l e n c e , le m a x i m u m l o g i q u e des s e p t c o u p l e s r o t o ï d e s , on p e u t , a priori, ê t r e t o u t à f a i t i n q u i e t ! — l ' i n d é t e r m i -n a t i o -n (sauf d é r o g a t i o -n d i f f i c i l e m e n t v r a i s e m -blable) r é s u l t a n t ipso facto.
Ces d i v e r s e s a s s e r t i o n s o n t p o u r j u s t i f i c a t i o n le n o m b r e i l l i m i t é des m a c h i n e s e x i s t a n t e s à c o u p l e s d ' e m b o î t e m e n t . N é a n m o i n s , je v a i s sug-g é r e r q u e l q u e s e x e m p l e s i l l u s t r a n t c l a i r e m e n t la q u e s t i o n , et t i r é s d ' i n v e n t i o n s m é c a n i q u e s q u e j ' a i c o n ç u e s — j a d i s ou r é c e m m e n t . E t j ' o p é r e r a i en t e n d a n t à m o n t r e r c o m m e n t les p r é c é d e n t e s c o n s i d é r a t i o n s c i n é m a t i q u e s p e u v e n t a p p o r t e r l e u r a c t i o n d e g u i d e et s o u t i e n i n t e l l e c t u e l d a n s la d é c o u v e r t e et l ' é l a b o r a t i o n d ' u n e m a c h i n e n o u -velle.
A) Voici (fig. 14) u n e r é a l i s a t i o n d é j à f o r t loin-t a i n e d a n s le loin-t e m p s . Il s ' a g i s s a i loin-t d e c r é e r u n c o m p r e s s e u r d e s t i n é a u gonflage, à h a u t e p r e s sion (8 à 11) kilos, e n c e t t e é p o q u e ) , des p n e u m a -t i q u e s p o u r « v é h i c u l e s p o i d s l o u r d s » , e-t c e l a , s a n s e n v o y e r d ' a i r huilé ( c ' e s t - à - d i re c o r r o s i f p o u r les c h a m b r e s à a i r , s u r t o u t à u n e telle p r e s -s i o n ) . J e p e n s a i s d o n c q u e p o u r é v i t e r a u m a x i m u m l ' h u i l a g e d e l ' a i r (et a i n s i s u p p r i m e r le f i l t r a g e ) , il fallait f a i r e l o u v o y e r le p i s t o n — le grais -sage p o u v a n t se r a m e n e r , dès lors, à l ' e m p l o i d ' u n s i m p l e « s t a ù l f e r » ; et s a n s , n é a n m o i n s , c r a i n d r e les g r i p p e m e n t s (ce q u e , e f f e c t i v e m e n t , c o n f i r m a l ' e x p é r i e n c e ) . L a c h a î n e c i n é m a t i q u e u t i l i s é e f u t d o n c la sui-v a n t e (fig. 14 et 15) : s u r le p l a t e a u r o t a t i f m o t e u r d ( d o n t l ' a r b r e i d ' e n t r a î n e m e n t a p p e l l e p a r r a p p o r t a u b â t i g, u n p r e m i e r c o u p l e r o t o ï d e d ' a x e X) s ' a r t i c u l e la tète d e la bielle c, a u m o y e n d ' u n e d o u b l e a r t i c u l a t i o n ( g e n r e C a r d a n ) d ' a x e s Y et Z (ces a x e s p o u r r a i e n t n e p a s être c o n c o u
-Le p i e d d e la bielle c est lié, p a r e i l l e m e n t , a u p i s t o n b p a r u n e d o u b l e a r t i c u l a t i o n d ' a x e s U et V (lesquels, é g a l e m e n t , n ' o n t p a s b e s o i n , en p r i n c i p e , d ' ê t r e c o n c o u r a n t s ) . J u s q u ' à p r é s e n t , la p o r t i o n d e c h a î n e c i n é m a t i q u e p r o p o s é e c o m p o r t e d o n c d é j à c i n q c o u p l e s r o t o ï d e s . Or, la r o t a t i o n d u p l a t e a u d e n t r a î n e celle du p i s t o n b a u t o u r d e l ' a x e T d ' a l é s a g e a (qui, a i n s i , f o r m e l ' a x e d ' u n s i x i è m e c o u p l e r o t o ï d e ) . P u i s la d i s s y m é t r i e d e l ' a x e T p a r r a p p o r t à l ' a x e X ( e x c e n t r i c i t é , et, é v e n t u e l l e m e n t , i n c l i -n a i s o -n (1) — et l ' o -n p e u t j o u e r sur ces d e u x p a r a m è t r e s ) f a i t q u e , d a n s le m o u v e m e n t r o t a t i f d u p l a t e a u d, la t ê t e d e b i e l le p a s s e de la p o s i t i o n A à la p o s i t i o n A', t a n d i s q u e le p i e d d e bielle p a s s e d e B à B'. L a t r a n s l a t i o n BB' r e p r é s e n t e d o n c la c o u r s e d u p i s t o n b. Mais le g l i s s e m e n t r e c t i l i g n e
alter-(1) Dans les compresseurs réalisés, l'axe T était paral-lèle à l'axe X. Mais, si l'on veut augmenter la course, il est certes avantageux de disposer obliquement cet axe T par rapport à l'axe X — comme, indiqué en T', sur la figure 14.
natif i m p o s é a i n s i à ce d e r n i e r t r a d u i t ( e n t r e l u i - m ê m e et son alésage) u n e l i a i s o n p a r c o u p l e p r i s m a t i q u e — ce q u i , a u total et p a r é q u i v a l e n c e , n o u s c o n d u i t a u x s e p t c o u p l e s r o t o ï d e s r a t i o n n e l s de la c h a î n e f e r m é e s c h é m a t i s a n t cette m a c h i n e . I n c i d e m m e n t , j ' a j o u t e q u e le l o u v o i e m e n t d u p i s t o n p e r m e t d ' a s s u r e r (le c y c l e é t a n t à d e u x t e m p s ) la d i s t r i b u t i o n p a r l ' e m p l o i m ê m e de c e p i s t o n — celuici p o r t a n t d e u x r a i n u r e s a p p r o -p r i é e s e', f -p o u r cela, t a n d i s q u e l ' a l é s a g e a -p o r t e d e u x f e n ê t r e s c o r r e s p o n d a n t e s e, f . A n o t e r a u s s i que, g r â c e au l o u v o i e m e n t , le jeu d i a m é t r a l de f o n c t i o n n e m e n t a y a n t la p o s s i b i l i t é d ' ê t r e p l u s r é d u i t (à d i a m è t r e égal) q u e c e l u i n é c e s s i t é l o r s q u ' i l n ' y a p a s l o u v o i e m e n t ; et c e f a i b l e jeu de d é p a r t p o u v a n t n e p a s s ' a m p l i f i e r a v a n t l o n g t e m p s ( p u i s q u e le l o u v o i e m e n t res-t r e i n res-t é n o r m é m e n res-t les efferes-ts p a s s i f s de f r o res-t res-t e m e n res-t , d o n c d ' u s u r e ) , ce t y p e d e c o m p r e s s e u r d o n n a i t c o n s t a m m e n t u n e p r e s s i o n d e 10 kilos, b i e n q u e le p i s t o n n ' e û t a u c u n s e g m e n t d ' é t a n c h é i t é (sa f o n c t i o n d i s t r i b u t r i c e s'y o p p o s a n t ) . E t je s i g n a l e e n c o r e q u e l ' h e u r e u s e a c t i o n du l o u v o i e m e n t ( d i m i n u t i o n des f r o t t e m e n t s ) se m a n i f e s t a i t p a r la p a r f a i t e r é v e r s i b i l i t é d u m é c a -n i s m e . B) V o y o n s , m a i n t e n a n t , u n e a u t r e j n a c h i n e : On sait q u e la s u p p r e s s i o n d u film d ' h u i l e a u x d e u x p o s i t i o n s t e r m i n a l e s : « p o i n t - m o r t h a u t » , et « p o i n t - m o r t b a s » d u p i s t o n clans u n m o t e u r à m é l a n g e p r é a l a b l e , ou à c o m b u s t i o n , est t r è s p r é j u d i c i a b l e , et se t r a d u i t f r é q u e m m e n t p a r u n e o v a l i s a t i o n p a r t i c u l i è r e m e n t s e n s i b l e de l ' a l é s a ge à la h a u t e u r des d e u x p o s i t i o n s . « P.M.H. », « P.M.B. », d u p r e m i e r s e g m e n t d e p i s t o n (P.M.H. s u r t o u t , à c a u s e d e la t e m p é r a t u r e d e s gaz, et l e u r a c u i t é d e c o r r o s i o n ) .
Or, cette d i s p a r i t i o n d u film d ' h u i l e é t a n t d u e a u f a i t de l ' a n n u l a t i o n de vitesse q u i existe, pour
tout piston sans louvoiement, a u x d e u x e x t r é m i t é s de sa c o u r s e r e c t i l i g n e , j'ai t o u t n a t u r e l l e m e n t p e n s é q u e la m e i l l e u r e f a ç o n d ' é v i t e r c e t t e d i s p a -r i t i o n l o c a l e d u g -r a i s s a g e h y d -r o d y n a m i q u e consis-tait à m a i n t e n i r , c o n s t a m m e n t , u n effet d e v i t e s se r e l a t i v e entre, le p i s t o n et s o n a l é s a g e ; et, p o u r cela, i m p o s e r a u p i s t o n (en l i a i s o n a v e c s o n m o u -v e m e n t r e c t i l i g n e d e t r a n s l a t i o n ) u n p i -v o t e m e n t a l t e r n a t i f d o n t le m a x i m u m d e vitesse a n g u l a i r e se p r o d u i r a i t a u x cleux fins d e c o u r s e — c e t t e d i s p o s i t i o n a y a n t , en o u t r e , l ' a v a n t a g e d e f a i r e q u e le p i s t o n p u i s s e ê t r e son p r o p r e d i s t r i b u t e u r clans le cas d ' u n c y c l e à cleux t e m p s .
Mon r a i s o n n e m e n t f u t d o n c celui-ci (fig. 1G) : P u i s q u e la t r a n s l a t i o n r e c t i l i g n e d u p i s t o n c o r -r e s p o n d à la p -r é s e n c e d ' u n c o u p l e p -r i s m a t i q u e d e d i r e c t i o n VV ( é q u i v a l e n t à u n c o u p l e r o t o ï d e ) , si l ' o n c o n s i d è r e u n m é c a n i s m e c o m p o s é d ' u n v i l e b r e q u i n d ' a x e Z ( d ' o ù u n s e c o n d c o u p l e r o -t o ï d e ) c o m m a n d a n -t u n e bielle m u n i e d ' u n e d o u b l e a r t i c u l a t i o n (à a x e s Y et T, c o n c o u r a n t s ou n o n , et d ' o r i e n t a t i o n s q u e l c o n q u e s ) d u côté de sa tète ( d ' o ù d e u x n o u v e a u x c o u p l e s r o t o ï d e s ) , et d ' u n e d o u b l e a r t i c u l a t i o n (à axes X et U, c o n c o u r a n t s o u n o n , et d ' o r i e n t a t i o n s q u e l c o n q u e s ) d u côté
de son p i e d lié a u p i s t o n (ce q u i c u m u l e d e u x n o u v e a u x c o u p l e s r o t o ï d e s ) , 011 voit qu e l'en-s e m b l e t o t a l i l'en-s a n t d é j à la v a l e u r d e l'en-s i x c o u p l e l'en-s r o t o ï d e s , le p i s t o n d e v r a , n o r m a l e m e n t , p i v o t e r s u r l u i - m ê m e ( c o u p l e r o t o ï d e d ' a x e V) p o u r ré-p o n d r e à l ' e x i s t e n c e , d a n s cette c h a î n e , d u seré-p- sep-t i è m e c o u p l e r o sep-t o ï d e l o g i q u e m e n sep-t n é c e s s a i r e . E f f e c t i v e m e n t , u n e é t u d e p l u s a p p r o f o n d i e m o n t r e q u e les p r é v i s i o n s se c o n c r é t i s e n t c o m m e e s c o m p t é e s ; et q u e t o u t p o i n t d u p i s t o n (clans u n tel m o u v e m e n t ) laisse, s u r l'alésage, u n e t r a c e en f o r m e d e c o u r b e ovale f e r m é e d o n t le g r a n d a x e est p a r a l l è l e à la d i r e c t i o n g é n é r a l e du g l i s s e m e n t axial. E t l ' on c o n ç o i t , i n s t a n t a n é m e n t , q u e les l o n g u e u r s r e l a t i v e s des b r a s d e l e v i e r s et les i n c l i n a i s o n s d e s a x e s r o t o ï d e s s o n t les p a r a m è t r e s a g i s s a n t s u r la f o r m e de cette c o u r b e o b l o n g u e et f e r m é e . Les p a s s a g e s d u p i s t o n a u x p o s i t i o n s m é d i a n e s se f o n t s a n s p i v o t e m e n t — les vitesses d e t r a n s -l a t i o n é t a n t , a-lors, m a x i m a ; t a n d i s q u ' a u x fins d e c o u r s e , ce s o n t les v i t e s s e s d e r o t a t i o n qui d e v i e n n e n t m a x i m a — celles de t r a n s l a t i o n é t a n t a l o r s é v i d e m m e n t nulles. Mais je s i g n a l e a u s s i t ô t c e c i : il est f a c i l e d e s i m p l i f i e r l a d i t e c h a î n e c i n é m a t i q u e . E n effet, si l ' o n d i s p o s e l ' a x e Y p a r a l l è l e m e n t à l ' a x e Z, on p e u t , d e ce fait , s u p p r i m e r l ' a r t i c u l a t i o n T. E n effet, on a r r i v e , de cette f a ç o n , à u n e c h a î n e f e r m é e c o m p r e n a n t d e u x g r o u p e s de t r o i s c o u p l e s r o t o ï d e s (ou é q u i v a l e n t s ) : le g r o u p e c o n s t i t u é p a r les a x e s p a r a l l è l e s Y et Z et p a r l'axe, égale-m e n t p a r a l l è l e à c e u x - c i ( égale-m a i s r e j e t é à l ' i n f i n i ) , d u c o u p l e r o t o ï d e d é g é n é r é en c o u p l e p r i s m a -t i q u e ; e-t le g r o u p e des -t r o i s a x e s concouran-ts X, U et V — c h a î n e b a n a l e à six c o u p l e s r o t o ï d e s q u e l ' o n sait d é f o r m a b l e a u p r e m i e r d e g r é d e li-b e r t é ( p u i s q u e se r a m e n a n t à u n e c h a î n e comp o s é e comp a r cleux g r o u comp e s de t r o i s axes r e s comp e c t i v e -m e n t c o n c o u r a n t s , telle la c h a î n e i d e n t i f i a n t le j o i n t d e H o o k e . La f i g u r e 17 est u n s c h é m a m o n t r a n t u n e cons-t r u c cons-t i o n p o s s i b l e d u s y s cons-t è m e en q u e s cons-t i o n . XVII
C'est d o n c s e l on cette t e c h n i q u e q u e j ' é t u d i a i la s o l u t i o n d ' u n m o t e u r à d e u x t e m p s — le louv o i e m e n t d u p i s t o n p e r m e t t a n t , en p l u s , la d i s t r i -b u t i o n p a r cet o r g a n e . A i n s i , d ' u n e m a n i è r e a u s s i s i m p l e q u ' à p r o p o s d u « d e u x t e m p s c l a s s i q u e t r o i s l u m i è r e s » , q u a n t à la d i s t r i b u t i o n , m a i s a v e c le g r o s a v a n t a g e d ' o b t e n i r celle-ci d ' u n e f a ç o n r a t i o n n e l l e ( c ' e s t - à - d i r e la f e r m e t u r e de l ' é c h a p p e m e n t s ' o p é r a n t j u s t e a v a n t le t r a n s f e r t d e s gaz f r a i s , d o n c s a n s g â c h i s de ces d e r n i e r s — a l o r s q u ' a v e c le « d e u x t e m p s c l a s s i q u e » , cette f e r m e t u r e a l i e u o b l i g a t o i r e m e n t après.. . et l'o n sait quelle a m p u t a t i o n d u r e n d e m e n t t h e r m i q u e en r é s u l t e ! ) , on a r r i v e r a i t à u n e d i s p o s i t i o n d ' e n -s e m b l e v r a i -s e m b l a b l e m e n t b i e n i n t é r e -s -s a n t e . F I G . 17. C e p e n d a n t , m o n b r e v e t f r a n ç a i s n ' a y a n t t r o u v é a u c u n é c h o (c'était en 1935) t o m b a d a n s le do-m a i n e p u b l i c . Or, d u r a n t la g u e r r e (en 1943), j ' a p p r i s , t o u t à f a i t i n c i d e m m e n t , q u ' u n n o u v e a u t y p e de m o t e u r , d'une conception identique à la mienne,' se t r o u v a i t a b o n d a m m e n t et t r è s a v a n t a -g e u s e m e n t c o n s t r u i t p a r les A l l e m a n d s et d o n n a i t d e s r é s u l t a t s r e m a r q u a b l e s — - du m o i n s , selon la r e v u e Aulomobiltechnische Zeitschrift d u 25 m a r s 1942, où f i g u r a i t la r e p r o d u c t i o n d ' u n e c o n f é -r e n c e faite , s u c c e s s i v e m e n t , à D -r e s d e , B e -r l i n , C h e m n i t z , F r a n c f o r t - s u r - l e - M e i n et S t u t t g a r t , p a r le d o c t e u r i n g é n i e u r R u d o l p h Mertz, d i r e c t e u r à « l ' I n s t i t u t fin- K r a f t l ' a r t w e s e n » et au l a b o r a t o i r e d ' e s s a i s t e c h n i q u e s d e l ' a u t o m o b i l i s m e à la « T e c h n i s c h e H o c h s c l u r l e », de D r e s d e . D a n s cet e x p o s é , l ' a u t e u r i n d i q u a i t les c a r a c t é r i s t i q u e s d e h a u t r e n d e m e n t , les p e r f o r m a n c e s et la p a r f a i t e t e n u e d e s t r è s n o m b r e u x m o t e u r s à d e u x t e m p s r é a l i s é s , s u i v a n t ce p r i n c i p e , o u t r e - R h i n . E n t o u t cas, l ' i d é e était à r e t e n i r . E t j ' a u r a i s , c e r t e s , p r é f é r é la v o i r p r i s e en c o n s i d é r a t i o n p a r q u e l q u e c o n s t r u c t e u r f r a n ç a i s p l u t ô t q u e d ' a p -p r e n d r e , f o r t u i t e m e n t , sa « r e d é c o u v e r t e » en A l l e m a g n e , u n c e r t a i n n o m b r e d ' a n n é e s p l u s t a r d . X C) Voici u n e x e m p l e de p o m p e à d o u b l e b a r i l l e t (et d é b i t v a r i a b l e ) (1) d o n t le s c h é m a est t r è s par-t i e l l e m e n par-t r e p r é s e n par-t é figure 18 (les d e u x b a r i l l e par-t s é t a n t o p p o s é s s y m é t r i q u e m e n t e n v u e de l'équili b r a g e axial, u n seul se t r o u v e d e s s i n é , et je r a i -s o n n e r a i e x c l u -s i v e m e n t -s u r lui — l ' a r b r e com-m u n n ' é t a n t com-m ê com-m e p a s figuré). L ' a r b r e m o t e u r a, d ' a x e g é o m é t r i q u e XX, en-t r a î n e , r o en-t a en-t i v e m e n en-t , le b a r i l l e en-t b c e n en-t r é s u r XX. Ce m ê m e a r b r e a e n t r a î n e , r o t a t i v e m e n t , p a r l'int e r m é d i a i r e d u j o i n l'int d e O l d h a m c, la p i è c e p y r a -m i d a l e cl, et cela a u t o u r de l ' a x e g é o -m é t r i q u e YY e x c e n t r é de la d i s t a n c e v a r i a b l e et r é g l a b l e m p a r r a p p o r t à l ' a x e XX. On c o n ç o i t q u e si c h a q u e p i s t o n e, e n t r a î n é p a r le b a r i l l e t r o t a t i f , est m u n i d ' u n e f a c e p l a n e o b l i q u e a p p u y é e c o n t r e la f a c e p l a n e o b l i q u e cor-r e s p o n d a n t e du t cor-r o n c - p y cor-r a m i d a l cor-rotatif d, ces d e u x f a c e s p l a n e s r e s t e r o n t d a n s u n tel m o u v e m e n t c o n s t a m m e n t p a r a l l è l e s e n t r e elles, et p o u r -r o n t d è s l o -r s si o n les y oblige (ce q u i s e -r a f a i t ) ,
(1! Brevet Myard du 5-6-1952. XVIII
d e m e u r e r , sans cesse, au contact l'une de l'autre, p u i s q u e la liaison p a r joint O l d h a m e n t r e le ba-rillet b et le t r o n c - p y r a m i d a l d se t r a d u i t , p o u r ces deux pièces, p a r des vitesses a n g u l a i r e s cons-t a m m e n cons-t égales, r e s p e c cons-t i v e m e n cons-t a u cons-t o u r d e XX econs-t de YY.
La c o u r s e axiale n de c h a q u e p i s t o n e sera d o n c p r o p o r t i o n n e l l e à l ' e x c e n t r i c i t é v a r i a b l e m (d'où le débit v a r i a b l e résultant), et la distribu-tion s ' e x é c u t e r a (selon le p r o c é d é classique ren-contré, c o m m u n é m e n t , d a n s les m a c h i n e s à ba-rillets) p a r d e u x f e n ê t r e s en « h a r i c o t » débou-c h a n t des f o n d s de débou-c y l i n d r e s devant l ' e x t r é m i t é p l a n e de c h a q u e barillet.
Mais v o y o n s l'analys e c i n é m a t i q u e de cette i n v e n t i o n . La r o t a t i o n du barillet a p a r r a p p o r t au bâti m a r q u e la p r é s e n c e d ' u n p r e m i e r c o u p le r o t o ï d e d ' a x e XX, et la r o t a t i o n du t r o n c - p v r a m i d a l d au-tour de YY en a j o u t e un d e u x i è m e. Le joint de O l d h a m a s s u r a n t la s u p e r p o s i t i o n de d e u x cou-ples p r i s m a t i q u e s (dont les t r a n s l a t i o n s sont or-thogonales clans l'espace — mais, cette orthogo-nalité, c o m m o d e et logique, n'est p a s obligatoire du p o i n t de vue t h é o r i q u e ) , son action équivaut d o n c à d e u x couples r o t o ï d es (d'axes rejetés à l'infini).
Ainsi, nous t r o u v o n s déjà, et au total, q u a t r e couples r o t o ï d e s , p a r équivalence.
X
Quant à la liaison de contact e n t r e la f a c e p l a n e oblique du p i s t o n e et la f a c e c o r r e s p o n -d a n t e -du t r o n c - p y r a m i -d a l -d, elle n'est pas, en d é p i t d ' u n e a p p a r e n c e l é g è r e m e n t t r o m p e u s e , l ' e x p r e s s i o n d ' u n couple p l a n (lequel serait sura-b o n d a n t , car équivalen t à trois couples r o t o ï d e s d'axes parallèles — et n o r m a u x au p l a n d u d i t couple). Si cette liaison est réalisée de pareille m a n i è r e , c'est p a r u n i q u e r a i s o n de simplicité p r a t i q u e . Mais, en f a i t et t h é o r i q u e m e n t , elle s c h é m a t i s e et matérialise, e x a c t e m e n t , la super-p o s i t i o n de d e u x t r a n s l a t i o n s rectilignes (ortho-gonales ou n o n ) , c'est-à-dire r é c l a m e deux de-grés de l i b e r t é seulement.
E n effet, on conçoi t aisémen t q u ' on p o u r r a i t (tout en les m a i n t e n a n t parallèles) é c a r t e r l'un e de l ' a u t re les d e u x face s p l a n e s obliques : celle
du p i s t o n e et celle (lu t r o n c - p y r a m i d a l d, et lo-ger e n t r e elles un p l a t e au d o n t les deux faces p l a n e s s e r a i e n t , . r e s p e c t i v e m e n t , en c o n t a c t avec les d e u x faces p l a n e s obliques p r é c é d e m m e n t écartées. Et, dès lors, si l'on prévoyait, p a r te-n o te-n s coulissate-nts et mortaises , deux glissemete-nts rectilignes possibles et r e s p e c t i f s (orthogonaux e n t r e eux ou n o n ) , d ' u n e p a r t , e n t r e la face p l a n e oblique du piston e et la face c o r r e s p o n -d a n t e -du p l a t e a u ; -d ' a u t r e part , e n t r e la face p l a n e oblique du t r o n c - p y r a m i d a l d et la face c o r r e s p o n d a n t e du plateau, on o b t i e n d r a i t , ri-g o u r e u s e m e n t (par identit é de m o u v e m e n t ) , la liaison m a t h é m a t i q u e que r e p r é s e n t e le contact p l a n direct du p i s t o n e et du t r o n c - p y r a m i d a l d — liaison équivalente à d e u x couples p r i s m a -tiques, c'est-à-dire à d e u x couples rotoïdes d'axes rejetés à l'infini. (En p r o j e c t i o n de bout, les d e u x glissements p r é c i t é s seraient é v i d e m m e n t p e r p e n -diculaire s à la d i r e c t i o n axiale c o m m u n e XX et YY.)
Si donc, à ces d e u x d e r n i e r s couples (rejoi-gnant les q u a t r e p r é c é d e n t s ) , on ajoute la liaison de glissement axial du p i s t o n dans son alésage, 011 a c c è d e b i e n à l'équivalence totalisée des sept couples r o t o ï d e s n o r m a l e m e n t contenus, et atten-dus, clans la c h a î n e de cette nouvelle m a c h i n e .
D) J'avais établi, jadis, es p r o j et de p o m p e (fig. 19) p o u r les E t a b l i s s e m e n ts Guinard, en vue
d ' o b t e n i r un système sensiblement équilibré, et à m o u v e m e n t s louvoyants, destinés à l'éviction des g r i p p e m e n t s et au m a i n t i e n de l'étanchéité.
S c h é m a t i q u e m e n t , la p o m p e se r a m è n e , tout s i m p l e m e n t , à d e u x barillets d'axes géométrique s obliques et c o n c o u r a n t s , liés entre eux p a r n p a i r e s de p i s t o ns obliques m o n o b l o c s dont les axes géométriques, d e u x à deux c o n c o u r a n t s , sont r e s p e c t i v e m e nt parallèles aux axes des barillets.
Il y a, ainsi, liaison rotative h o m o c i n é t i q u e e n t r e les d e u x barillets, avec courses axiales cycliques p o u r c h a c u n des pistons (lesquels lou-voient d a n s leurs alésages).
Là d i s t r i b u t i o n s'opère, é v i d e m m e n t, p a r les f o n d s de c y l i n d r e s . Et l'on imagine facilemen t q u ' o n p o u r r a i t modifier un tel dispositif p o u r en XIX
l'aire une p o m p e à débit v a r i a b l e en r é a l i s a n t l'ensemble de f a ç o n que l'angle c o m m u n de tous les axes obliques ait u n e v a l e u r , v a r i a b l e et ré-glable (articulations p r é v u e s en c o n s é q u e n c e ) .
Mais j'en r e v i e ns à l'analys e qui nous intéresse a u j o u r d ' h u i : celle de la c h a î n e c i n é m a t i q u e d ' u n e telle m a c h i n e .
On voit t|ue, de l ' a r b r e rotatif d ' e n t r é e a à l ' a r b r e rotatif de sortie a' (tous d e u x t o u r i l l o nliant d a n s le bâti qui f e r m e la c h a î n e ) se r e n -c o n t r e n t , s u -c -c e s s i v e m e n t : u n coupl e r o t o ï d e d'axe X (rotation de l ' a r b r e d ' e n t r é e a s o l i d a i re du p r e m i e r barillet b); puis, un couple r o t o ï d e d'axe X,, et u n coupl e p r i s m a t i q u e (rotation et glissement axial s i m u l t a n é s du p i s t o n d ' e n t r é e d d a n s son alésage); puis, p a r e i l l e m e n t , u n couple r o l o ï d e d'axe X,, et u n coupl e p r i s m a t i q u e (rota-tion et glissement axial s i m u l t a n é s du p i s t o n de sortie d', lequel est i n c l i n é p a r r a p p o r t au pisto n p r é c é d e n t d, en f a i s a n t c o r p s avec lui); puis, un couple rotoïd e d'ax e X' (rotation de l ' a r b r e sor-tant a' solidaire du second barillet b').
Au total, la c h a î n e c o m p o r t e , p a r équivalence, six couples rotoïdes. Ce qui est, ici, p a r f a i t e m e n t n o r m a l et t r a d u i t bien u n e n s e m b l e d é f o r m a b l e au p r e m i e r degré de liberté p u i s q u e d a n s le cas actuel, on est en p r é s e n c e d ' u n e c h a î n e symé-t r i q u e esymé-t à p l a n de symé-t r a n s l a symé-t i o n c o m p r e n a n symé-t deux g r o u p e s de d e u x couples r o t o ï d e s et u n couple p r i s m a t i q u e c h a c u n , d o n t les six axes (deux étant rejetés à l'infini) sont, e x a c t e m e n t , c e u x du joint de Kœnigs. Or, ce m é c a n i s m e est l ' e x p r e s s i o n d ' u n e c h a î n e f e r m é e , d é f o r m a b l e , é q u i v a l e n t e à six couples r o t o ï d e s , et b a n a l e au sens m a t h é m a -tique a n t é r i e u r e m e n t défini.
J ' a u r a i s e n c o r e des e x e m p l e s suggestifs à citer. Mais, la n o n - p r o t e c t i o n m o m e n t a n é e p a r brevets, p o u r c e r t a i n s t r è s r é c e n t s, et le m a n q u e de p l a c e p o u r d'autres, m'obligent à ne p a s insister .
N é a n m o i n s , j ' a t t i r e r a i l ' a t t e n t i o n sur u n dispositif à barillet dont la c o n c e p t i o n (venant i m m é -d i a t e m e n t à l'esprit) a -dû -déjà ê t r e p r o p o s é e bien des fois!...
11 s'agit du système à barille t et p l a t e a u oblique (logiquement, le m é c a n i s m e doit être doublé — la s y m é t r i e ainsi r é s u l t a n t e p e r m e t t a n t l'équilibrage axial), avec m o u v e m e n t de r o t a t i o n relatif e n t r e ces d e u x éléments a u t o u r de l'axe g é o m é t r i q u e du barillet.
Ce d e r n i e r reçoit n pistons , et c h a c u n de ceux-ci possède, à son e x t r é m i t é s o r t a n t e , u n e p o r t é e s p h é r i q u e sur laquelle s ' a r t i c u l e u n p a t i n d o n t la face o p p o s é e est p l a n e et a p p u i e c o n t r e la f a c e p l a n e du p l a t e a u oblique. Afin de r é d u i r e énor-m é énor-m e n t les c o u r s e s de glisseénor-ments e n t r e les p a t i n s et ce plateau, la f a c e p l a n e du p l a t e a u oblique a p p a r t i e n t , g é n é r a l e m e n t , à u n e p i è c e t o u r n a n t e , folle, m o n t é e sur billes, et d o n t l'axe de r o t a t i on est é v i d e m m e n t p e r p e n d i c u l a i r e à la f a c e p l a n e en question. P a r sa f a c e p l a n e opposée à sa p o r t é e s p h é r i q u e , c h a q u e p a t i n a r t i c u l é est d o n c en c o n t a c t p l a n d i r e c t avec cette p i è c e folle.
Or, si l'on analyse, c o m m e p r é c é d e m m e n t , le
s c h é m a c i n é m a t i q u e d ' u n e semblable m a c h i n e , on constate que l ' a r t i c u l a t i o n s p h é r i q u e e n t r e c h a q u e p i s t o n et p a t i n p o u r r a i t être r e m p l a c é e p a r une double a r t i c u l a t i o n r o t o ï d e (genre Car-dan) — la c h a î n e f e r m é e d é f o r m a b l e ainsi obte-n u e a y a obte-n t b i e obte-n , p a r équivaleobte-nce, le obte-n o m b r e voulu des sept couples rotoïdes.
Y. — T H E O R E M E GÉNÉRAL SUR LES LIAISONS ROTATIVES
DANS L'ESPACE
APPLICATIONS AUX MÉCANISMES Je vais i n d i q u e r , à p r é s e n t , 111011 t h é o r è m e g é n é r a l sur les liaisons rotatives — p r o p o s i t i o n que M a u r i ce d'Ocagn e p r é s e n t a , de ma p a r t , à l ' A c a d é m i e des sciences (C.R. d u 23 juin 1930), et q u e M. J o s e p h P é r è s a n o m m é : « T h é o r è m e des aiguilles ».
T H É O R È M E .
Soient, d a n s l'espace (fig. 20), un p r e m i e r c o r p s t o u r n a n t d ' a x e g é o m é t r i q u e de r o t a t i o n X et un s e c o n d c o r p s t o u r n a n t d'ax e g é o m é t r i q u e de rota-tion Y. Et soient u n axe g é o m é t r i q u e de r o t a t i o n X' q u e l c o n q u e lié, i n v a r i a b l e m e n t , au p r e m i e r c o r p s d ' a xe X, et u n axe g é o m é t r i q u e de r o t a t i o n q u e l c o n q u e Y' lié, i n v a r i a b l e m e n t , au second
Puis, lors de tous les m o u v e m e n t s possibles d o n n é s a u x éléments d ' u n tel système, assujet-tissons les d e u x axes g é o m é t r i q u e s X' et Y' à d e m e u r e r , c o n s t a m m e n t , au c o n t a c t l'un de l'autre, p a r glissement d a n s l'espace.
Du f a i t de cet assujettissement , on voit que toutes les r o t a t i o n s susceptibles d ' ê t re prises, s i m u l t a n é m e n t , p a r les d e u x c o r p s a u t o u r de leur axe respectif X ou Y, sont conjuguées, et en p r i n c i p e u n i v o q u e s .
Or, l ' a s s u j e t t i s s e m e nt des d e u x axes géométriques X' et Y' à d e m e u r e r , c o n s t a m m e n t , c o n c o u -r a n t s p a -r l i b -r e glissement d a n s l'espace, consti-tue, e n t r e ces d e u x axes, u n e liaison p a r couple p l a n .
D ' a u t r e p a r t , le l i b r e p i v o t e m e n t possible du p r e m i e r c o r p s a u t o u r de l'axe g é o m é t r i q u e X' p a r r a p p o r t à l ' e n s e m b l e q ue f o r m e le coupl e p l a n X'Y' constitue, e n t r e celui-ci et le p r e m i e r
c o r p s , u n e l i a i s o n p a r couple r o t o ï d e d ' a x e X'. P a r e i l l e m e n t , le l i b r e p i v o t e m e n t p o s s i b l e d u s e c o n d c o r p s a u t o u r d e l ' a x e Y' p a r r a p p o r t à l ' e n s e m b l e q u e f o r m e le c o u p l e p l a n X'Y' c o n s t i -tue, e n t r e celui-c i et le s e c o n d c o r p s , u n e l i a i s o n p a r c o u p l e r o t o ï d e d ' a x e Y'. E t p a r c o n s é q u e n t , et en c o n c l u s i o n , o n a r r i v e à l ' é n o n c é d u t h é o r è m e s u i v a n t : La c o m b i n a i s o n a p p r o p r i é e de d e u x c o u p l e s r o t o ï d e s liés p a r u n c o u p l e p l a n p e u t t o u j o u r s a s s u r e r u n e l i a i s o n r é c i p r o q u e , r é e l l e ou i m a g i -n a i r e , d e p i v o t e m e -n t e -n t r e d e u x a x e s p r i -n c i p a u x de r o t a t i o n à p o s i t i o n s a r b i t r a i r e s d a n s l ' e s p a c e . Remarques. — Il est c e r t a i n q u e la l i a i s o n de p i v o t e m e n t p e u t , é v e n t u e l l e m e n t , ê t r e i m a g i n a i r e . E n effet, si l ' o n c o n s i d è r e (en f a i s a n t la s u p p o -s i t i o n m o m e n t a n é e q u e le-s d e u x a x e -s p r i n c i p a u x X et Y t o u r i l l o n n e n t d a n s u n espace-support i n d é f o r m a b l e ) la r o t a t i o n d e X' a u t o u r d e X, et la r o t a -t i o n d e Y' a u -t o u r de Y, on v o i -t q u e X' e-t Y' b a l a i e n t , c h a c u n , u n e q u a d r i q u e r é g l é e ; et, selon le c h o i x o r i g i n e l q u a n t à la p o s i t i o n r e l a t i v e des a x e s q u e l c o n q u e s X' et Y' p a r r a p p o r t à l e u r a x e r e s p e c t i f X et Y, c h a c u n e d e s d e u x q u a d r i q u e s e n g e n d r é e s p o u r r a ê t r e u n h y p e r b o l o ï d e d e r é v o -l u t i o n , u n c ô n e , u n c y -l i n d r e ( c e u x - c i é g a -l e m e n t d e r é v o l u t i o n ) ou u n p l a n . Si l ' i n t e r s e c t i o n d e ces d e u x q u a d r i q u e s est r é e l l e et f o r m e u n e c o u r b e e n t o u r a n t , c o m p l è t e -m e n t , les d e u x a x e s X et Y, la l i a i s o n r o t a t i v e s e r a d e s e n s c o n t i n u . Si c e t t e i n t e r s e c t i o n est réelle, m a i s n ' e n t o u r e c o m p l è t e m e n t q u e l ' u n ou l ' a u t r e d e d e u x a x e s X et Y, la l i a i s o n r o t a t i v e c o r r e s p o n d r a à u n e r o t a t i o n c o n t i n u e a u t o u r de l ' a x e e n t i è r e m e n t e n t o u r é , et à u n p i v o t e m e n t a l t e r n a t i f a u t o u r de l ' a u t r e . Et si cette i n t e r s e c -tion, é t a n t réelle, n ' e n t o u r e n i l ' un n i l ' a u t r e d e s d e u x a x e s X et Y, la l i a i s o n r o t a t i v e se t r a d u i r a p a r des p i v o t e m e n t s a l t e r n a t i f s a u t o u r d e c h a c u n d e ces axes. E n f i n , si l ' i n t e r s e c t i o n est i m a g i n a i r e , la l i a i s o n c i n é m a t i q u e de p i v o t e m e n t le s e r a sem-b l a sem-b l e m e n t . 11 f a u t , é g a l e m e n t , n o t e r c e c i : si l ' o n consi -d è r e la c h a î n e c i n é m a t i q u e f e r m é e q u ' e x p r i m e et m a t é r i a l i s e le p r é s e n t t h é o r è m e , o n voit q u ' e n a j o u t a n t a u x t r o i s d e g r é s de l i b e r t é d u c o u p l e p l a n des d e u x d e g r é s d o n n é s p a r les c o u p l e s r o t o ï d e s X' et Y' et les d e u x a u t r e s d e g r é s d u s a u x a x e s r o t a t i f s X et Y p a r r a p p o r t à l e u r espace-support, o n r e t r o u v e , p a r é q u i v a l e n c e , et a u m o y e n d e ce t h é o r è m e q u i en f o r m e u n e e x p r e s s i o n t o u t e p a r t i c u l i è r e , la p r o p r i é t é p r é c é -d e m m e n t a n a l y s é e t o u t e c h a î n e f e r m é e à sept c o u p l e s r o t o ï d e s est, n o r m a l e m e n t , d é f o r m a b l e a u p r e m i e r d e g r é d e l i b e r t é . E v i d e m m e n t , le t h é o r è m e est a b s o l u m e n t géné-r a l , et s o n é n o n c é s u b s i s t e si l'espace-suppogéné-rt où t o u r i l l o n n e n t les a x e s X et Y est d é f o r m a b l e (c'est-à-dire, si les a x e s X et Y se d é p l a c e n t a r b i t r a i r e m e n t clans l ' e s p a c e ) . (A suivre.) . F.-E. MYARD, Ingénieur E.C.P., Ex-Membre du Conseil de la Société mathématique de France,
