Solveur GCR pour les méthodes de type mortier

Solveur GCR pour les méthodes de type mortier

Solveur GCR pour les méthodes de type mortier

Thèse

Benoît Pouliot

Sous la direction de:

André Fortin, directeur de recherche José M. Urquiza, codirecteur de recherche

R´

esum´

e

Les m´ethodes de type mortier, introduites en 1987 par Bernardi, Maday et Patera, font partie de la grande famille des m´ethodes par d´ecomposition de domaine. Combin´ees `a la m´ethode des ´el´ements finis, elles consistent `a construire une discr´etisation non conforme des espaces fonctionnels du ou des probl`emes ´etudi´es. Les trente derni`eres ann´ees de recherche portant sur ces m´ethodes ont permis d’acqu´erir des connaissances solides tant au point de vue th´eorique que pratique. Aujourd’hui, elles sont naturellement utilis´ees pour r´esoudre des probl`emes d’une grande complexit´e. Comme applications, nous pouvons simplement penser `a des probl`emes de contact entre divers solides, `a des probl`emes d’interaction fluide-structure ou `a des probl`emes impliquant des m´ecanismes en mouvement tel des engrenages ou des alternateurs.

Cette th`ese de doctorat a pour objectif d’expliquer en d´etail la construction des m´ethodes de type mortier et de d´evelopper des algorithmes adapt´es `a la r´esolution des syst`emes ainsi cr´e´es. Nous avons d´ecid´e d’employer l’algorithme du GCR (Generalized Conjugate Residual method) comme solveur de base pour nos calculs. Nous appliquons d’abord une factorisation du syst`eme lin´eaire global grˆace `a son ´ecriture naturelle en sous-blocs. Cette factorisation g´en`ere un syst`eme utilisant un compl´ement de Schur qu’il faut r´esoudre. C’est sur ce sous-syst`eme que nous employons l’algorithme du GCR. Le compl´ement de Schur est pr´econditionn´e par une matrice masse redimensionn´ee, mais il est n´ecessaire de modifier l’algorithme du GCR pour obtenir des r´esultats th´eoriques int´eressants.

Nous montrons que la convergence de ce solveur modifi´e est ind´ependante du nombre de sous-domaines impliqu´es ainsi que de ses diverses composantes physiques. Nous montrons de plus que le solveur ne d´epend que l´eg`erement de la taille des ´el´ements d’interface. Nous proposons une solution ´el´egante dans le cas de sous-domaines dits flottants. Cette solution ne requiert pas la modification du solveur d´ecrit plus haut. Des tests num´eriques ont ´et´e effectu´es pour montrer l’efficacit´e de la m´ethode du GCR modifi´ee dans divers cas. Par exemple, nous ´

etudions des probl`emes poss´edant plusieurs ´echelles au niveau de la discr´etisation et des param`etres physiques. Nous montrons aussi que ce solveur a une acc´el´eration importante lorsqu’il est employ´e en parall`ele.

Abstract

The mortar methods, introduced in 1987 by Bernadi, Maday and Patera, are part of the large family of domain decomposition methods. Combined to the finite element method, they consist in constructing a nonconforming discretization of the functional space of the problem under consideration. The last thirty years of research about these methods has provided a solid knowledge from a theoretical and practical point of view. Today, they are naturally used to solve problems of great complexity such as contact problems between deformable solids, fluid-structure interaction problems or moving mechanisms problems like gears and alternators.

The aim of this thesis is to explain in details the principles of mortar methods and to develop adapted algorithms to solve the generated linear systems. We use the GCR algorithm (Gen-eralized Conjugate Residual method) as our basic solver in our computations. We first apply a factorization of the global linear system using the natural sub-block structure of the matrix. This factorization generates a system using a Schur complement. It is on this sub-system that we use the GCR algorithm. The Schur complement is preconditioned by a rescaled mass matrix, but it is necessary to slightly modify the GCR algorithm to obtain theorical results. We show that the convergence of this modified solver is independent of the number of subdo-mains involved and of the diverse physical parameters. We also show that the solver slightly depends on the size of the interface mesh. We present a strategy to take care of the so called floating subdomains. The proposed solution does not require any modification to the solver. Numerical tests have been performed to show the efficiency of the modified GCR method in various cases. We consider problems with several discretization and physical parameter scales. We finally show that the solver presents an important speedup in parallel implementation.

Table des mati`

eres

R´esum´e iii

Abstract iv

Table des mati`eres v

Liste des tableaux viii

Liste des figures ix

Liste des algorithmes xi

Remerciements xiv

Introduction 1

I.1 Probl´ematique . . . 2

I.2 D´ecomposition de domaine . . . 4

I.3 Solveurs . . . 6

I.4 Objectifs de la pr´esente th`ese . . . 8

1 D´ecomposition de domaine par m´ethode de type mortier 10 1.1 Revue de litt´erature . . . 10

1.2 Construction d’un probl`eme avec domaine d´ecompos´e . . . 12

1.3 Th´eor`emes d’existence . . . 22

1.3.1 Cadre abstrait . . . 22

1.3.2 Quelques probl`emes classiques - Cas continu. . . 26

1.3.2.1 Equation de Poisson´ . . . 26

1.3.2.2 Probl`eme d’´elasticit´e lin´eaire . . . 29

1.3.2.3 Probl`eme de Stokes . . . 32

1.3.2.4 Probl`eme d’´elasticit´e lin´eaire en formulation mixte . . . 36

1.4 Discr´etisation . . . 39

1.4.1 Le maillage . . . 39

1.4.2 Le probl`eme et les espaces discr´etis´es. . . 41

1.5 Probl`emes bien pos´es. . . 46

1.5.1 Coercivit´e du probl`eme de diffusion . . . 46

1.5.2 Coercivit´e du probl`eme d’´elasticit´e . . . 47

1.5.3 Condition inf − sup discr`ete . . . 48

1.5.5 Estimation d’erreur . . . 55

2 M´ethodes de r´esolution num´erique des probl`emes de type mortier 58 2.1 Le syst`eme mixte discret . . . 58

2.1.1 Syst`eme `a un niveau . . . 61

2.1.2 Syst`eme `a deux niveaux . . . 62

2.1.3 Cas g´en´eral . . . 65

2.2 Rappels sur les m´ethodes it´eratives et les pr´econditionneurs . . . 68

2.3 Les m´ethodes de r´esolution classiques . . . 73

2.3.1 Un exemple : la m´ethode de Dirichlet-Neumann. . . 74

2.4 M´ethode du GCR. . . 78

2.4.1 M´ethode du GCR appliqu´e au syst`eme mortier . . . 80

2.4.2 Pr´econditionnement de A . . . 82

2.4.3 Pr´econditionnement de S - Premi`ere partie . . . 82

2.4.4 Exemple de solveur avec GCR . . . 83

2.4.5 Th´eor`emes de convergence. . . 84

2.4.6 Pr´econditionnement de S - Seconde partie . . . 92

2.5 Cas o`u A n’est pas SDef+ . . . 106

2.6 Cas o`u A n’est pas inversible . . . 108

2.6.1 Conditions aux interfaces de type Robin . . . 108

2.6.2 Ajout d’un terme de formulation . . . 109

2.6.3 Existence et unicit´e de la solution discr`ete . . . 111

2.6.4 Exemples avec des sous-domaines rectangulaires . . . 112

2.7 Int´egration `a l’interface mortier . . . 116

3 Tests num´eriques 119 3.1 Fonctions ´etalons . . . 120

3.2 Comportement du GCR_M¯ . . . 125

3.2.1 Nombre variable de sous-domaines . . . 126

3.2.2 Composantes physiques variables . . . 126

3.2.3 Taille variable du maillage . . . 129

3.3 Comparaison entre le GCR et le GCR_M¯ . . . 130

3.4 Conditions de Robin aux interfaces . . . 136

3.5 Probl`eme multi-´echelle physique . . . 142

3.6 Probl`eme multi-´echelle en discr´etisation . . . 147

3.7 Parall´elisme . . . 150

3.8 Int´egration inexacte . . . 156

Conclusion 160 A R´esolution du syst`eme `a trois niveaux 164 B Notes sur le GCR et le GCRV 171 B.1 Algorithmes du GCRV . . . 173

C M´ethode de s´eparation des variables dans des cas simples 180

Liste des tableaux

3.1 Nombre d’it´erations du GCR_M¯ pour diff´erents KΩ. . . 127

3.2 Convergence du GCR_M¯ pour diff´erentes valeurs physiques avec le probl`eme de diffusion. . . 128

3.3 Convergence du GCR_M¯ pour diff´erentes valeurs physiques avec le probl`eme d’´elasticit´e. . . 129

3.4 Nombres d’it´erations n´ecessaires pour converger selon le solveur. . . 132

3.5 Nombre d’it´erations des deux GCR pour le cas `a 4 sous-domaines. . . 135

3.6 Normes relatives obtenues de diff´erents r´esidus apr`es convergence. . . 136

3.7 Tableau des convergences pour les conditions de robins aux interfaces. . . 138

3.8 Tableau des convergences pour une grille 4 × 4. . . 140

3.9 Tableau des convergences pour une grille 2 × 2 × 2. . . 141

3.10 Tableau des convergences pour trois probl`emes multi-´echelles physiques. . . 144

3.11 Tableau des erreurs sur uh pour le probl`eme multi-´echelle en discr´etisation. . . 150

3.12 Temps de calcul (en secondes) pour diff´erents nombres de processus utilis´es pour le probl`eme de la section 3.6. . . 153

3.13 Temps de calcul (en secondes) pour diff´erents nombres de processus utilis´es pour le probl`eme de la section 3.2.1. . . 153

3.14 Temps de calcul (en secondes) pour diff´erents nombres de processus utilis´es pour le probl`eme 3D `a 125 sous-domaines. . . 155

Liste des figures

I.1 D´ecoupage simple d’un domaine. . . 4

1.1 Domaine Ω et sous-domaines Ωk. . . 13

1.2 Bords γk et leur normale. . . 14

1.3 Maillage sur un domaine d´ecompos´e. . . 40

1.4 Maillages Ωk,h, γk,hM et γk,hE . . . 40

1.5 Fonctions de base eP1. . . 52

1.6 Fonctions de base eP2. . . 53

1.7 Fonctions de base bP1. . . 54

1.8 Fonctions de base bP2. . . 54

2.1 Deux sous-domaines adjacents. . . 63

2.2 Trois sous-domaines cˆotes `a cˆotes. . . 66

2.3 Format d’un solveur. . . 69

2.4 Solveur direct, format complet. . . 70

2.5 Solveur direct, format simplifi´e. . . 70

2.6 R´epartition des composantes du vecteur ~u sur deux sous-domaines. . . 75

2.7 Solveur mortier avec GCR. . . 83

2.8 Sous-domaine Ω4,h de la figure 1.4. . . 98

2.9 Solveur mortier avec GCR_M¯. . . 106

2.10 Solveur `a ´etage pour un probl`eme mixte.. . . 107

2.11 D´ecomposition `a deux sous-domaines. . . 113

2.12 D´ecomposition `a trois sous-domaines. . . 115

2.13 R´egion d’admissibilit´e pour le couple (α1, α2) dans le cas de trois sous-domaines. 116 3.1 Maillage r´egulier. . . 119

3.2 Maillage perturb´e. . . 119

3.3 Solution test u1 sur le carr´e unit´e. . . 120

3.4 Solution test u2 sur le carr´e unit´e avec K1 = 1 et K2 = ₁₀9. . . 121

3.5 Solution test u3 vue du dessus. . . 122

3.6 Solution test u3 vue en biais. . . 122

3.7 Section de la solution test u4. . . 123

3.8 Solution test u5. . . 124

3.9 Zoom de la fonction u5. . . 124

3.10 Valeurs de u0 sur une grille 3 × 3.. . . 125

3.11 Domaine comportant des carr´es de cˆot´e 1 comme sous-domaines. . . 126

3.12 Conditions aux limites consid´er´ees pour le probl`eme d’´elasticit´e. . . 128

3.14 Norme relative des r´esidus en fonction du nombre d’it´erations pour diff´erents

solveurs. . . 131

3.15 D´ecomposition `a quatre sous-domaines. . . 133

3.16 Solution d’un probl`eme de diffusion lorsque K4 = 10−2. . . 134

3.17 Domaine pour le test des conditions de robin aux interfaces. . . 137

3.18 R´epartition de param`etres sur la grille 4 × 4. . . 139

3.19 Domaine cubique d´ecompos´e en grille 2 × 2 × 2.. . . 140

3.20 Domaine carr´e avec une sous-r´egion circulaire. . . 143

3.21 D´eformations du carr´e selon diff´erents param`etres d’´elasticit´e. . . 143

3.22 Boucle de r´esolution-adaptation. . . 144

3.23 Maillage adapt´e pour le probl`eme d’´elasticit´e avec un maillage connexe. . . 145

3.24 Maillage adapt´e pour le probl`eme d’´elasticit´e avec la m´ethode de type mortier dont le cˆot´e esclave est ext´erieur au disque. . . 146

3.25 Maillage adapt´e pour le probl`eme d’´elasticit´e avec la m´ethode de type mortier dont le cˆot´e esclave est le disque. . . 146

3.26 Maillage connexe pour capter la fonction u5. . . 147

3.27 Domaine carr´e avec des sous-domaines tr`es aplatis. . . 148

3.28 Maillage d´ecompos´e par sous-domaines pour capter la fonction u5. . . 148

3.29 Maillage connexe adapt´e pour capter la fonction u5. . . 149

3.30 Maillage d´ecompos´e par sous-domaines adapt´e pour capter la fonction u5. . . . 150

3.31 R´epartition des processus pour le domaine de la section 3.6. . . 152

3.32 Maillage 3D contenant 125 sous-domaines et 300 interfaces esclaves. . . 154

3.33 Partition du domaine 3D avec 16 processus. . . 155

3.34 Erreur en norme H1(Ω) pour un maillage de ratio 1 : 1. . . 157

3.35 Erreur en norme Mδ pour un maillage de ratio 1 : 1. . . 157

3.36 Erreur en norme H1_{(Ω) pour un maillage de ratio 1 : 4. . . . . 158}

3.37 Erreur en norme Mδ pour un maillage de ratio 1 : 4. . . 158

3.38 Erreur en norme H1(Ω) pour un maillage de ratio 4 : 1. . . 159

3.39 Erreur en norme Mδ pour un maillage de ratio 4 : 1. . . 159

A.1 D´ecompositions de eS−1 et de S−1. . . 168

A.2 D´ecompositions de MG−1.. . . 169

C.1 Rectangle de r´ef´erence pour le cas [C.1]. . . 181

C.2 Rectangle de r´ef´erence pour le cas [C.2]. . . 182

C.3 Rectangle de r´ef´erence pour le cas [C.3]. . . 183

Liste des algorithmes

2.1.1 Algorithme de r´esolution du syst`eme `a un niveau (2.1.1). . . 62

2.1.2 Algorithme de r´esolution du syst`eme `a deux niveaux (2.1.4). . . 65

2.2.1 Pr´econditionnement seul . . . 70

2.3.1 M´ethode du Dirichlet-Neumann lorsque BΓ2 est inversible . . . 77

2.4.1 M´ethode du GCR . . . 78

2.4.2 M´ethode du GCR pr´econditionn´ee `a droite . . . 80

2.4.3 M´ethode du GCR pr´econditionn´ee `a gauche. . . 81

2.4.4 Pr´econditionneur PM_G par d´ecomposition de champs . . . 82

A.1 Algorithme de r´esolution du syst`eme `a trois niveaux (A.1) . . . 170

B.1 M´ethode du GCRV . . . 174

B.2 M´ethode du GCRV pr´econditionn´ee `a droite . . . 175

`

If you want new ideas, read old books ; if you want old ideas, read new books.

Pavlov

Ne pas s’informer sur le pass´e de nos ancˆetres, c’est ne pas

s’int´eresser s´erieusement au futur de l’humanit´e.

Remerciements

´

Ecrire et travailler sur un sujet avanc´e en math´ematique n’a pas ´et´e une mince affaire pour moi. J’ai travers´e quelques moments difficiles de d´ecouragement et de questionnements. Le temps n´ecessaire `a la recherche et `a l’´ecriture a d´epass´e ce que j’avais pr´evu. Apr`es chaque session, durant la r´edaction, je me disais que la prochaine ´etait la derni`ere. La recherche et l’´ecriture semblent produire cet effet. J’y suis arriv´e tout de mˆeme et je dois une bonne partie de ma pers´ev´erance aux gens qui m’entourent et qui m’encouragent. Je veux donc remercier quelques personnes et organismes qui ont, d’une mani`ere ou d’une autre, ´et´e pr´esents pour moi lors de ces derni`eres ann´ees. Il est fort probable que j’oublie des gens. Si c’est le cas, je m’en excuse d’avance.

Premi`erement, je remercie les organismes subventionnaires qui m’ont aid´e `a financer mes ´

etudes. Je parle du Conseil de la Recherche en Sciences Naturelles et G´enie (CRSNG) et du Fonds de Recherche du Qu´ebec - Nature et Technologies (FRQNT). Je dois ajouter `a cela la contribution tr`es importante de mon groupe de recherche (Groupe Interdisciplinaire de Recherche en ´El´ement Finis (GIREF)) et de mon directeur Andr´e Fortin. Le financement du groupe vient principalement d’une chaire de recherche industrielle (Chaire de recherche du CRSNG en calcul scientifique de haute performance) en collaboration avec la soci´et´e en pneumatique Michelin.

Durant l’´elaboration de ma th`ese, certains calculs ont ´et´e effectu´es sur le supercalculateur Colosse de l’Universit´e Laval, sous la gouverne de Calcul Qu´ebec et Calcul Canada. L’ex-ploitation de Colosse est financ´ee par la Fondation Canadienne pour l’Innovation (FCI), le Conseil de la Recherche en Sciences Naturelles et G´enie (CRSNG), NanoQu´ebec et le Fonds de Recherche du Qu´ebec - Nature et Technologies (FRQNT). Merci `a Calcul Qu´ebec et son ´

equipe.

Je remercie mon jury de th`ese de prendre le temps de lire et de critiquer ce document : Andr´e Fortin, Jos´e M. Urquiza, Robert Gu´enette, Jean Deteix et Patrice Hauret. Vos commentaires d´etaill´es ont am´elior´e substantiellement le d´epˆot final de ce document.

Je remercie tous les professeurs du D´epartement de math´ematiques et de statistique de l’Uni-versit´e Laval qui m’ont fourni une ´education en math´ematique de haut niveau durant toutes

ces ann´ees. En particulier, je remercie les professeurs li´es au GIREF : Andr´e Fortin, Michel Fortin, Jos´e M. Urquiza, Jean Deteix et Robert Gu´enette. C’est grˆace `a eux si le groupe de recherche existe et est vivant.

Au GIREF, nous travaillons avec une grosse structure logicielle qui peut parfois ˆetre assez d´eroutante. Le support de professionnels de recherche est n´ecessaire pour d´emˆeler toutes les fonctionnalit´es et tous les outils en place. Pour en d´evelopper de nouveaux aussi. Je remercie donc ´Eric Chamberland, Critian Tibirna et Jean Deteix (durant ma th`ese Jean a ´et´e profes-sionnel de recherche et a obtenu un poste de professeur par la suite). Leur contribution et leur aide ont ´et´e extrˆemement appr´eci´ees. Mes longues heures de d´ebogage de code sont l`a pour le prouver. Merci `a vous.

Le personnel du d´epartement est une ressource fondamentale dans le processus d’un ´etudiant. Je remercie donc Michel Lapointe, Esther Payeur, Emmanuelle Reny-Nolin, J´erˆome Soucy, Sylvie Lambert, Sylvie Drolet, Annie Lacroix et Isabelle Bouchard. J’en profite pour remercier les diff´erents acteurs de la Facult´e des sciences et de g´enie.

Je remercie certains ´etudiants du GIREF qui m’ont aid´e `a ´ecrire cette th`ese : Thomas Briffard, Patrick Lacasse, Sophie L´eger, Bastien Chaudet, Driss Yakoubi, Ludovick Gagnon. Leur aide et surtout leur amiti´e ont ´et´e pr´ecieuse pour moi.

Je dois remercier l’AELI ´ES (l’Association des ´etudiantes et des ´etudiants de Laval inscrits aux ´

etudes sup´erieures). Je fus membre du CA de l’AELI ´ES durant 5 ann´ees et cela m’a permis de voir d’autres choses et de rencontrer des gens tr`es int´eressants `a l’ext´erieur du groupe bien ferm´e que repr´esente le D´epartement de math´ematiques et de statistique. D’ailleurs, l’une des id´ees importantes qui se retrouve dans cette th`ese m’est venue lors de l’une des tr`es « courtes » r´eunions (de 5 heures) du CA de l’AELI ´ES.

Je remercie les personnes qui ont fait une pr´electure de ma th`ese. Tˆache ingrate mais im-portante pour obtenir un minimum de qualit´e. Donc, un gros merci `a Andr´e Fortin, Jos´e M. Urquiza, H´el`ene Voyer, Donald Pouliot et Sophie L´eger.

Je d´edie cette th`ese `a ma famille et `a mes amis. Je la d´edie surtout `a ma famille imm´ediate. `

A mes fr`eres et ma sœur. `A mes parents. Nous avons tous poursuivit un chemin diff´erent. Au niveau des ´etudes d’une part, mais surtout au niveau de nos choix de vie. Pourtant nous sommes unis via notre philosophie de vie, dans nos fa¸cons d’aborder le monde et dans notre position face `a la justice humaine. Ce partage intense entre tˆetes bien diff´erentes, mais qui aspirent `a un avenir de bonheurs et d’´emerveillements me semble appropri´e. Me semble bien. Ces liens, comme du mortier (faut bien que je plogue mon sujet de th`ese !), nous gardent unis et nous permettent de construire quelque chose de plus grand que nous-mˆemes. Quelque chose de beau. Malgr´e les quelques chagrins de parcours qui ont ´et´e et qui seront, ma famille repr´esente un tout coh´erent et important pour moi. Dans peu de temps, elle s’´elargira un peu.

Je crois que j’aurai de la mis`ere `a m’adapter `a ce changement. Cependant le titre d’oncle grincheux m’ira comme un gant. Nous verrons pour le reste.

Introduction

Il existe une multitude de fa¸cons permettant de trouver et de d´ecrire le comportement de ph´enom`enes naturels. Cela est dˆu `a plusieurs g´en´erations d’observateurs et de chercheurs qui ont su d´ecortiquer la nature et ses secrets. Ce qui est fort int´eressant pour la science et les math´ematiques c’est que nous savons d´esormais comment interpr´eter en ´equations la plupart des divers ph´enom`enes physiques observ´es.

Dans le monde contemporain d’aujourd’hui, pouvoir justement d´ecrire le comportement des objets et des forces qui nous entourent est indispensable dans presque toutes les sph`eres de l’activit´e humaine. Nous pouvons facilement nommer la m´et´eorologie, les t´el´ ecommunica-tions, le domaine de l’´energie, la fabrication d’outils techniques et l’exploitation de ressources naturelles. Nous pouvons aussi penser `a des sph`eres plus secondaires comme l’´economie, l’´ edu-cation, l’histoire, le transport ainsi qu’aux arts et la culture (pensons aux jeux vid´eos et `a Internet). Il va de soi de plus que les simulations num´eriques sont devenues essentielles au d´eveloppement de nouvelles technologies. Maintenant, plus qu’avant, pour ˆetre comp´etitifs, nous ne pouvons plus nous reposer totalement sur des essais en maquettes r´eelles. L’analyse num´erique est ainsi devenue une ´etape incontournable lorsque nous parlons de simulation et de cr´eation d’objets techniques.

En particulier, nous connaissons une vaste famille de ph´enom`enes physiques tr`es ´etudi´es `a notre ´epoque (par exemple les comportements m´ecaniques des fluides, des solides et des gaz) qui ont des interpr´etations math´ematiques bien sp´ecifiques. Ces ph´enom`enes peuvent ˆetre repr´esent´es par des ´equations aux d´eriv´ees ordinaires (EDOs) ou des ´equations aux d´eriv´ees partielles (EDPs). Ces ´equations, bien que bien d´efinies, ne donnent pas explicitement le com-portement des objets de la nature qu’elles d´ecrivent. Elles sont en elles-mˆemes des probl`emes qu’il faut r´esoudre. R´esoudre ces dits probl`emes est un passage oblig´e pour arriver `a l’un des principaux objectifs d’un num´ericien : simuler les ph´enom`enes physiques `a l’aide d’´equations math´ematiques.

I.1

Probl´

ematique

Il existe plusieurs types de m´ethodes num´eriques et analytiques pour r´esoudre les diverses EDOs et EDPs selon leur type et leur complexit´e. Face `a un probl`eme, une question fonda-mentale est toujours pos´ee : « Quelle m´ethode devons-nous utiliser pour r´esoudre efficacement l’´equation ? ». Dans certaines situations simples, la r´eponse est bien connue. Cependant, d`es que l’´equation n’est plus dans des cas bien pr´ecis, il est alors plus d´elicat de r´epondre `a la question pr´ec´edente. Plus souvent qu’autrement, les m´ethodes analytiques ne parviennent pas `

a trouver de r´eponses acceptables aux probl`emes complexes. En fait, il arrive r´eguli`erement qu’elles ne puissent pas donner de r´eponse du tout. Il faut alors se tourner vers les m´ethodes num´eriques. Pour r´esoudre les EDPs les plus communes, plusieurs m´ethodes ont ´et´e d´ evelop-p´ees et largement ´etudi´ees. Nous pouvons par exemple penser aux m´ethodes de diff´erences finies, d’´el´ements finis et de volumes finis.

Plusieurs facteurs doivent ˆetre consid´er´es pour choisir une ou des bonnes m´ethodes `a employer. Pour nous y aider, nous pouvons nous poser les questions suivantes :

• Quels sont la forme et les param`etres physiques du domaine de d´efinition du probl`eme ? Pouvons-nous simplifier les ´equations pour revenir `a un cas plus simple ?

• Quel est le degr´e de pr´ecision n´ecessaire pour obtenir une r´eponse acceptable ? Avons-nous les outils n´ecessaires pour atteindre cette pr´ecision ?

• Quel sont les ressources disponibles pour faire les calculs (ordinateurs, m´emoire, temps) ? Ces ressources sont-elles suffisantes ?

En calcul num´erique, c’est souvent l’espace m´emoire et le temps qui sont des ressources limi-t´ees. Il faut les ´economiser et ce parfois au d´etriment de la pr´ecision des solutions recherch´ees. L’espace m´emoire n’est pas explicitement consid´er´e comme une ressource restreinte (sauf dans le cas de probl`emes de taille consid´erable). Il est aujourd’hui possible de stocker beaucoup d’informations en m´emoire et ce rapidement. Cependant, la quantit´e de m´emoire utilis´ee pour un probl`eme repr´esente un bon indicateur sur le temps de calculs n´ecessaire pour que les sol-veurs convergent. En effet, les algorithmes de r´esolution sont de plus en plus coˆuteux lorsque la taille du probl`eme (et donc la m´emoire n´ecessaire) augmente. De plus, la d´ependance entre le coˆut de calcul et la m´emoire est rarement lin´eaire. Nous pouvons penser par exemple aux m´ethodes de d´ecomposition LU . Il existe des algorithmes permettant d’appliquer cette m´ e-thode qui ont des complexit´es de calcul en O(n2) (cas 3D) o`u n repr´esente la dimension de la matrice creuse impliqu´ee (voir Bebendorf [4]). Le param`etre de temps est souvent lui aussi pris en compte. C’est g´en´eralement ce param`etre qui est important d’optimiser en industrie, car le temps accord´e pour obtenir une solution est souvent limit´e.

Il arrive quelquefois que le probl`eme soit si complexe qu’il faut n´ecessairement utiliser une grande quantit´e de ressources, et ce, mˆeme pour atteindre un minimum de pr´ecision. Sans

quoi, la « solution » obtenue n’est pas significative. Ainsi, nous tombons sur une des limites des m´ethodes num´eriques dites « traditionnelles ». Le fait est que nous d´esirons faire plus et mieux que ces m´ethodes ne le permettent en r´ealit´e. Nous sommes arriv´es `a un niveau tr`es ´

elev´e de complexit´e des probl`emes. Il est donc n´ecessaire dans cette situation de changer de strat´egie de r´esolution. Nous donnons les exemples suivants de probl`emes complexes :

• Probl`emes `_{a haut niveau technique : industrie automobile (essai de choc, « crash test »),} pneumatique (aquaplanage), a´eronautique (turbulence), industrie des turbomachines et des compresseurs (turbines hydrauliques), etc.

• Pr´esence de ph´enom`enes multi-´echelles : d´eformations macroscopiques et microscopiques simultan´ees qu’un pneu engendre en roulant.

• Mat´eriaux composites dont les composantes poss`edent des propri´et´es variant sur plu-sieurs ´echelles de grandeur : module de Young, coefficient de diffusion, etc.

Plusieurs strat´egies permettant de surmonter la complexit´e de ces probl`emes peuvent ˆetre consid´er´ees. Le parall´elisme, l’adaptation de maillage et la d´ecomposition de domaine sont, entre autre, des m´ethodes avanc´ees permettant une utilisation plus sp´ecialis´ee des ressources disponibles. Un amalgame des techniques cit´ees plus haut est, de plus, int´eressant pour maxi-miser l’efficacit´e de r´esolution.

La probl´ematique r´eside toutefois dans l’´elaboration adapt´ee de ces m´ethodes. Nous nous pencherons plus pr´ecis´ement sur les m´ethodes de d´ecomposition de domaine dans le cas de la m´ethode des ´el´ements finis. Il est tout `a fait naturel ici de suivre le fameux proverbe latin « divide et impera » (divise et tu r´egneras). En effet, le principe mˆeme des ´el´ements finis consiste `a subdiviser un domaine global en petits polygones sur lesquels nous faisons des calculs. La m´ethode par d´ecomposition de domaine reprend simplement cette id´ee mais `a plus grande ´echelle.

Une vaste litt´erature couvre ces dites m´ethodes tant sur le plan th´eorique qu’exp´erimental. La d´ecomposition de domaine est utilis´ee r´eguli`erement depuis plusieurs dizaines d’ann´ees pour r´esoudre des probl`emes de haut niveau. Cette popularit´e est li´ee au d´eveloppement toujours plus sophistiqu´ee des ordinateurs. Nous pouvons citer pour cela la construction des superor-dinateurs, la fabrication des processeurs `a cœurs multiples ainsi que l’´ecriture d’algorithmes optimis´es et parall´elis´es pour le calcul de haute performance. Si autant d’efforts ont ´et´e d´ e-ploy´es sur la voie des m´ethodes par d´ecomposition de domaine ce n’est pas pour rien. Nous d´esirons repousser les limites des algorithmes conventionnels en en d´eveloppant de nouveaux. Nous tentons avec ces derniers d’optimiser l’utilisation des pr´ecieuses ressources n´ecessaires comme l’espace m´emoire et le temps de calcul. Cela nous permettra demain de r´esoudre des probl`emes complexes qui sont hors d’atteinte aujourd’hui.

I.2

D´

ecomposition de domaine

G´en´eralement, l’approche classique pour r´esoudre une EDP `a l’aide de m´ethodes num´eriques est de type « globale ». Nous construisons d’abord un syst`eme lin´eaire reposant sur tout le domaine de d´efinition. Ce syst`eme est alors r´esolu grˆace `a un solveur it´eratif ou direct, mais qui travaille sur toutes les ´equations `a la fois. Le point important `a observer, c’est la construction « monolithique » du syst`eme d’´equations. Nous ne tentons pas a priori de s´eparer les ´el´ements distincts de ce syst`eme.

Par opposition, la d´ecomposition de domaine veut r´esoudre de plus petits syst`emes lin´eaires. Pour ce faire, cette m´ethode cr´ee un d´ecoupage du domaine de d´efinition. Cette s´eparation naturelle facilite alors la scission du syst`eme global en plusieurs petits syst`emes qui peuvent ˆ

etre trait´es ind´ependamment. Le ou les solveurs employ´es travaillent ensuite parall`element pour r´esoudre tous les petits syst`emes simultan´ement. Un gain de temps est alors possible. Un m´ecanisme de « recollement » doit cependant ˆetre mis en place pour que les calculs et les informations sur chaque sous-domaine puisse ˆetre transf´er´es aux autres. La figure I.1

repr´esente un exemple de d´ecoupage de domaine.

Domaine global Domaine d´ecompos´e D´ecoupage

Ω

Ω1 Ω2

Ω3 Ω4

Figure I.1 – D´ecoupage simple d’un domaine.

La d´ecomposition de domaine peut ˆetre vue de diff´erentes mani`eres comme l’indique en in-troduction le livre de Smith et al. [62].

• En analyse num´erique, la d´ecomposition de domaine est une proc´edure pour s´eparer analytiquement les ´equations et trouver ainsi de nouvelles ´equations ´equivalentes plus adapt´ees aux ressources disponibles. Les m´ethodes de type mortier en sont des exemples. Dans ce contexte, la d´ecomposition de domaine peut ˆetre interpr´et´ee comme une m´ e-thode de discr´etisation non conforme de l’EDP.

• Dans le domaine des solveurs, la d´ecomposition de domaine est un moyen de d´ ecompo-ser en sous-blocs les syst`emes matriciels. Le r´esultat peut, ou non, ˆetre ´equivalent au probl`eme original. Dans les deux cas, cela permet de d´evelopper des algorithmes pour trouver la solution. Dans le premier cas, lorsque le nouveau syst`eme est ´equivalent `a l’original, nous appelons ces algorithmes des solveurs. Dans le second cas, lorsque le probl`eme original est modifi´e, nous nommons g´en´eralement ces algorithmes des pr´ econ-ditionneurs. Les pr´econditionneurs permettent de trouver des approximations et peuvent

donc s’ins´erer dans un algorithme plus global afin de permettre de trouver la vraie so-lution recherch´ee.

• En calcul parall`ele, la d´ecomposition de domaine est une mani`ere de s´eparer les donn´ees et les ´equations lin´eaires afin de r´epartir les calculs sur plusieurs processus. G´en´ era-lement, ces proc´edures sont purement alg´ebriques et ne d´ependent pas des ´equations initiales. Le terme « d´ecomposition de donn´ees » est plus appropri´e dans ce contexte. Les m´ethodes utilisant la d´ecomposition de domaine peuvent ˆetre utilis´ees pour divers types de probl´ematiques.

• Probl`emes impliquant des couches limites. Il est ici naturel de s´eparer le domaine entre ces dites couches lorsque possible.

• Probl`emes de contact. La s´eparation peut se faire o`u le domaine entre en contact avec un autre ou avec lui-mˆeme (situation d’auto-contact).

• Probl`emes de g´eom´etrie ´evolutive. Par exemple un engrenage qui tourne dans un moteur ou un rotor dans un alternateur, il est pratique de distinguer les diff´erentes pi`eces qui n’´evoluent pas `a la mˆeme vitesse ou dans la mˆeme direction.

• Probl`emes exhibant de fortes h´et´erog´en´eit´es. La s´eparation peut se faire le long du changement des param`etres physiques des mat´eriaux.

• Probl`emes n´ecessitant une discr´etisation du domaine de calcul `a plusieurs ´echelles selon le milieu. Il peut arriver qu’une petite partie du domaine ait besoin d’une discr´etisation tr`es fine pour le maillage tandis qu’elle n’est pas n´ecessaire pour le reste du domaine. Pour limiter le nombre d’´el´ements total, il est alors possible de s´eparer ces sections en diff´erents sous-domaines.

Dans tous les cas d’emploi de la d´ecomposition de domaine, il faut parvenir `a recoller les morceaux (les sous-domaines) d’une fa¸con ou d’une autre. Chaque m´ethode proc`ede de ma-ni`ere relativement distincte. C’est ainsi que nous pouvons cat´egoriser les diff´erentes m´ethodes. Comme d´ecrit plus haut et dans le livre de Smith et al. [62], certaines m´ethodes sont purement alg´ebriques tandis que d’autres n´ecessitent une manipulation des ´equations initiales.

Il y a des m´ethodes avec recouvrement de maillages comme la m´ethode de Schwarz. Ces m´ethodes ont fait leurs preuves et il existe une vaste litt´erature sur le sujet. Par exemple, nous proposons au lecteur le livre de Quarteroni et Valli [55] pour une introduction `a ces m´ethodes. Nous savons quels param`etres optimaux utiliser dans certaines situations.

Il y a des m´ethodes sans recouvrement comme les m´ethodes de type Dirichlet-Neumann. Ces m´ethodes n´ecessitent l’utilisation d’un moins grand nombre d’inconnues par rapport `a la m´ethode de Schwarz puisque nous ne dupliquons presque pas de donn´ees (sauf aux interfaces). Ces m´ethodes sont souvent employ´ees comme des solveurs ou des pr´econditionneurs li´es `a

d’autres m´ethodes de discr´etisation par d´ecomposition de domaine. Le livre de Quarteroni et Valli [55] fait une bonne couverture des diff´erentes variations de ces m´ethodes que nous retrouvons dans la litt´erature.

Il y a aussi des m´ethodes sans recouvrement qui cr´eent des champs de multiplicateurs aux interfaces. Ces derni`eres m´ethodes, souvent not´ees m´ethodes de type mortier, sont particuli` e-rement adapt´ees lors de calculs avec des probl`emes de contact. En effet, les multiplicateurs g´en´er´es repr´esentent physiquement la pression de contact. Cette information peut ˆetre utile lors de la r´esolution. C’est cette approche qui est favoris´ee dans cette th`ese et nous en faisons une revue de litt´erature dans la section1.3.1.

Apr`es la discr´etisation du probl`eme, il faut passer `a la r´esolution. Cela n´ecessite l’utilisation d’un ou de plusieurs solveurs sp´ecialis´es.

I.3

Solveurs

Une fa¸con simple et « monolithique » pour r´esoudre les syst`emes d’´equations est d’utiliser un solveur global qui ne prend pas en compte la sp´ecificit´e de la d´ecomposition de domaine employ´ee. Cependant, le travail fait lors de la discr´etisation ne serait alors pas utilis´e `a son plein potentiel. L’id´ee est donc de cr´eer des solveurs adapt´es `a la r´esolution de probl`emes sur lesquels nous avons utilis´e la d´ecomposition de domaine.

Puisqu’il y a plusieurs sous-domaines, il est naturel d’utiliser un solveur sp´ecifique pour chacun d’entre eux. Ces solveurs peuvent ˆetre de mˆeme sorte ou ˆetre diff´erents selon les besoins. De plus, il est n´ecessaire de choisir une m´ethode pour le recollement des sous-domaines. Parfois cette m´ethode est elle aussi coupl´ee `a un solveur particulier. Ainsi, plusieurs solveurs doivent ˆ

etre mis `a contribution pour r´esoudre le syst`eme. Pour tout coordonner, nous pouvons cr´eer un solveur global. L’action de tous les solveurs locaux ´etablissent ainsi une structure avec l’aide du solveur global.

La hi´erarchie de solveurs que nous devrons construire contiendra des solveurs plus ´el´ementaires qui seront employ´es lors des ´etapes de base. C’est-`a-dire lors de la r´esolution sur chaque sous-domaine. Plusieurs types de solveurs peuvent ˆetre consid´er´es pour cette ´etape de base. Il y a les solveurs directs comme la m´ethode LU ou la m´ethode de Cholesky. Ces m´ethodes sont envisageables, car employ´es ici sur une partie seulement du maillage. Nous ´evitons donc les probl`emes de coˆut de calcul trop grand. Un d´etail important est cependant `a consid´erer. Certains syst`emes lin´eaires associ´es `a des sous-domaines peuvent ne pas ˆetre inversibles. Ce sont en g´en´eral des sous-domaines « flottants » qui n’ont pas de condition fixe sur leurs bords. Heureusement, pour palier `a cette difficult´e, des solutions de contrˆole existent, et ce, selon la m´ethode de d´ecomposition de domaine employ´ee. Il faut cependant faire attention `a cette situation.

Les m´ethodes directes ne sont pas adapt´ees pour les solveurs de recollement ou le solveur global. Ces ´etapes plus sp´ecialis´ees pr´esentent des difficult´es techniques que nous exposerons dans cette th`ese. Nous pouvons cependant nous rabattre sur les solveurs it´eratifs tels que les m´ethodes de Jacobi, du gradient conjugu´e, du GMRES (Generalized Minimum RESidual) ou du GCR(Generalized Conjugate Residual method). La convergence des solveurs it´eratifs est souvent capricieuse. Il faut fixer convenablement leurs param`etres pour esp´erer obtenir des convergences efficaces. Certaines de ces m´ethodes utilisent des espaces de Krylov auquel cas la gestion de l’historique des it´erations est possible. Un choix minutieux des param`etres et une bonne gestion de l’espace de Krylov ne garantit pas toujours un bon comportement des solveurs it´eratifs. Il est ainsi n´ecessaire de leur ajouter des pr´econditionneurs. Cependant, le choix de ces pr´econditionneurs est tout aussi d´elicat.

Dans le contexte de la d´ecomposition de domaine, les m´ethodes de r´esolution doivent satisfaire certaines conditions (voir la th`ese de Hauret [39, chapitre 4]) pour ˆetre consid´er´ees efficaces : • Le nombre de sous-domaines choisi ne doit pas avoir un grand effet sur la convergence du solveur. C’est-`a-dire que, pour un probl`eme donn´e, le nombre d’it´erations du sol-veur pour converger ne doit pas d´epasser une certaine borne en fonction du nombre de subdivisions du domaine de d´epart.

• Les probl`emes peuvent avoir des sous-domaines avec des propri´et´es physiques tr`es di-verses. Prenons par exemple une plaque chauffante poss´edant diff´erents alliages de m´ e-taux ou un pneu d’automobile qui est compos´e de plusieurs sections de caoutchouc diverses. Ces variations peuvent facilement s’´etendre sur plusieurs ordres de grandeur. Nous savons que cette situation a une incidence non n´egligeable sur les matrices du probl`eme discret. Nous voulons que la convergence de la m´ethode it´erative d´epende le moins possible des diff´erences entre les propri´et´es physiques.

• La taille des ´el´ements peut varier de mani`ere importante entre les sous-domaines. Par exemple, il est logique de raffiner le maillage d’un mat´eriau tr`es d´eformable. Si ce mat´ e-riau repose sur un autre tr`es dur (qui ne se d´eforme pas), alors cela ne vaut pas la peine de raffiner le maillage de ce dernier. Ainsi, nous pouvons avoir une diff´erence d’´echelle au niveau du raffinement du maillage. Nous voulons r´eduire l’impact de ces variations sur le solveur au minimum. Ce point est cependant plus d´elicat. En effet, lorsque la discr´ e-tisation est tr`es diff´erente entre deux sous-domaines adjacents, alors plusieurs difficult´es peuvent survenir. Entre autres, si nous ne faisons pas attention, les solveurs peuvent converger plus lentement que pr´evu.

I.4

Objectifs de la pr´

esente th`

ese

Les m´ethodes de type mortier semblent prometteuses pour la r´esolution des probl`emes consid´ e-r´es difficiles comme l’aquaplanage et les probl`emes de friction. Il est `a noter que ces m´ethodes sont en elles-mˆemes un d´efi math´ematique. Plusieurs d´etails seront `a consid´erer lors de leur ´

elaboration. Par exemple, il faut faire attention aux espaces et aux ´el´ements choisis pour la discr´etisation. Il faut aussi d´ecider comment discr´etiser le champ du multiplicateur sur le mor-tier. Ces choix peuvent influencer la convergence du solveur et la stabilit´e du syst`eme. Nous devrons valider le bon comportement de la m´ethode par des r´esultats th´eoriques appropri´es. Les estimateurs d’erreurs doivent aussi donner des taux int´eressants.

L’algorithme du GCRsera notre solveur de pr´edilection lors de la r´esolution. Il est simple et permet facilement d’y ajouter des pr´econditionneurs. Ce dernier d´etail est important puisque l’utilisation de bons pr´econditionneurs est essentiel lorsque nous abordons des probl`emes com-plexes. Nous verrons que nous pouvons adapter l’algorithme duGCRpour obtenir des propri´ e-t´es int´eressantes li´ees `a sa vitesse de convergence. Nous aurons, entre autres, une ind´ependance du nombre d’it´erations en fonction de certaines caract´eristiques du probl`eme. Par exemple, comme indiqu´e plus haut, un algorithme qui se comporte de la mˆeme mani`ere peu importe le nombre de sous-domaines impliqu´es est souhaitable.

L’objectif principal de cette th`ese est donc de d´evelopper un algorithme adapt´e `a la r´esolution de syst`emes lin´eaires cr´e´es `a partir des m´ethodes de type mortier. Plus pr´ecis´ement, nous voulons :

• utiliser l’algorithme duGCR avec les m´ethodes de type mortier, • r´esoudre des probl`emes qui sont multi-´echelles ou multi-physiques, • g´_{erer les cas de sous-domaines « flottants ».}

`

A notre connaissance, une telle combinaison n’a pas ´et´e tent´ee dans la litt´erature. Bien sˆur, il est simple d’appliquer la m´ethode duGCRdans un contexte de discr´etisation par m´ethode de type mortier. Cependant, il en est tout autre que de d´emontrer que cette proc´edure est efficace.

Cette th`ese est compos´ee de trois chapitres :

• Dans le chapitre 1, nous avons les d´efinitions et les propri´et´es de base reli´ees aux m´ e-thodes de type mortier. Nous ´enon¸cons les crit`eres essentiels pour que les syst`emes continus et discrets aient une solution unique.

• Dans le chapitre 2, nous discutons des solveurs permettant de r´esoudre les m´ethodes de type mortier. Nous d´eveloppons un nouvel algorithme de GCRet nous d´emontrons certaines de ses propri´et´es. De plus, nous d´eveloppons un pr´econditionneur adapt´e `a ce solveur. Une solution pour les syst`emes lin´eaires li´es aux sous-domaines « flottants » (qui ne sont pas a priori inversibles) est aussi apport´ee.

• Dans le chapitre 3, nous montrons le comportement du nouveau GCR avec diff´erents tests num´eriques. De plus, nous faisons une comparaison entre le nouveau GCR et le

GCR de base. Une ´etude de la nouvelle condition de contrˆole pour les sous-domaines « flottants » est aussi effectu´ee.

Chapitre 1

D´

ecomposition de domaine par

m´

ethode de type mortier

La m´ethode de type mortier (aussi nomm´ee m´ethode par joints) est un cas particulier de la famille des m´ethodes par d´ecomposition de domaine (MDD). Plus pr´ecis´ement, c’est une m´ethode de discr´etisation non conforme o`u la continuit´e des solutions n’est assur´ee que dans un sens faible. La non-conformit´e de cette m´ethode repose sur ses espaces fonctionnels. L’es-pace discret dans lequel nous calculerons nos approximations ne sera pas un sous-esL’es-pace de l’espace du probl`eme continu. Nous devrons garder en tˆete cette situation pour limiter les effets possibles de ce crime variationnel tel que discut´e par Strang [64].

Comme pour toutes les MDD, l’id´ee de base de la m´ethode de type mortier est de d´ecouper le domaine de d´efinition du probl`eme en un certain nombre de sous-domaines. Ici, nous d´ ecou-pons pour obtenir une partition du domaine original de sorte qu’il n’y ait pas de recouvrement entre ses sous-domaines, contrairement aux m´ethodes de r´esolution de Schwarz (voir Smith et al. [62]). Nous distribuons ensuite le probl`eme de base sur chacun des sous-domaines pour les r´esoudre. Bien sˆur, une ou des m´ethodes de r´esolution sont `a utiliser ici. Nous verrons cer-tains choix possibles de solveurs dans le chapitre 2. Ces r´esolutions sont souvent plus simples et rapides qu’avec un seul syst`eme global, car chaque sous-probl`eme ainsi cr´e´e est plus petit. Par contre, il faut r´eunifier les morceaux de solutions obtenues avec des op´erations entre les sous-domaines. Dans notre cas, c’est `a l’aide d’un multiplicateur que nous faisons les ´echanges d’information. Ce multiplicateur est une des inconnues du probl`eme, et donc, tout comme la solution du probl`eme original, il faut aussi r´esoudre un probl`eme associ´e pour le calculer.

1.1

Revue de litt´

erature

Dans cette section, nous tentons de situer dans le temps l’apparition des principaux travaux portant sur les m´ethodes de type mortier. Si nous nous r´ef´erons `a l’article de Bernardi et al.

[10], ces m´ethodes sont n´ees en 1987. Le premier article sur le sujet semble ˆetre celui de Ber-nardi et al. [9]. Dans ces articles, en plus d’utiliser l’id´ee de d´ecomposer le domaine en une partition grossi`ere, les auteurs construisent des fonctions de base pour le multiplicateur qui sont adapt´ees selon leur position sur le maillage mortier. Cette id´ee sera reprise fr´equemment dans les travaux ult´erieurs. La notion de m´ethode de type mortier proprement dite se propage vers la fin des ann´ees 1980. Depuis, beaucoup de travaux ont ´et´e r´ealis´es sur ce sujet dans les d´ecennies 1990 et 2000.

Si l’on cherche plus loin en arri`ere, l’un des premiers travaux touchant `a la notion de multi-plicateur vivant dans un espace dual est celui de Raviart et Thomas [57] de 1977. Cet article est un travail phare pour les m´ethodes dites mixtes ou hybrides. Il n’y a pas vraiment de diff´erence entre ces deux notions, mais le terme « m´ethode mixte » est plus souvent utilis´e de nos jours. Mˆeme si on n’y parle pas explicitement d’application `a un domaine d´ecompos´e, un lecteur averti peut d´eduire que le multiplicateur d´efini ici peut servir de mortier. Cependant, il faut souligner que l’id´ee g´en´erale de cet article est la construction d’un cadre fonctionnel valide pour la r´esolution du probl`eme de Stokes (vitesse/pression) et des probl`emes d’´ elasti-cit´e lin´eaire en formulation mixte (d´eplacement/pression). Ainsi, les sous-domaines employ´es sont chacun des ´el´ements du maillage. Nous sommes donc encore loin des id´ees employ´ees dans Bernardi et al. [10].

Dans le livre de Brezzi et Fortin [17] de 1991 (voir aussi la version r´evis´ee de Boffi et al. [12]), on discute explicitement de m´ethodes de d´ecomposition de domaine. Nous invitons le lecteur `a lire l’exemple 1.3, « Domain decomposition for the Dirichlet problem » (page 43). Par contre, l’id´ee g´en´erale dans cette section est de choisir comme sous-domaines chacun des ´el´ements du maillage, donc de reprendre l’id´ee de Raviart et Thomas.

Dans l’article de Agouzal et Thomas [2] de 1995, on utilise des sous-domaines grossiers et les notions d’´el´ements finis mixtes. Un multiplicateur double est toutefois employ´e contrairement `

a ce que faisait Bernardi et al. [10]. En effet, au lieu de choisir un cˆot´e esclave et un cˆot´e maˆıtre entre deux sous-domaines, on se dote d’un multiplicateur sur chacun de ces cˆot´es. L’article de Brezzi et Marini [18], de 1994, pousse encore plus loin l’id´ee de rajouter des multiplicateurs avec une m´ethode dite `a trois champs (three-field method). On y construit, entre deux sous-domaines, trois multiplicateurs. Deux sur les cˆot´es (un pour chaque cˆot´e) et un troisi`eme interm´ediaire qui fait le pont entre les sous-domaines. Un d´etail int´eressant de cet article est la libert´e donn´ee au maillage du champ interm´ediaire. En effet, il peut ˆetre choisi ind´ependamment des maillages des sous-domaines.

Les travaux de Ben Belgacem [6] de 1999 ont, d’une certaine fa¸con, unifi´e ceux de Raviart et Thomas [57] et de Bernardi et al. [10]. En effet, Ben Belgacem r´eutilise les outils fonction-nels d´evelopp´es par Raviart et Thomas tout en conservant les id´ees de s´eparer le domaine en partition grossi`ere et d’utiliser un multiplicateur mortier adapt´e. L’article a ´et´e cit´e en

pr´epublication (« preprint ») de nombreuses fois par d’autres auteurs dans l’intervalle 1996 `a 1999 (par exemple, voir Engelmann et al. [28] et Wohlmuth [66]). L’´echange des connaissances et le d´eveloppement th´eorique des m´ethodes de type mortier ´etaient importants durant cette p´eriode. Nous tenons aussi `a souligner l’article de Pousin et Sassi [53] de 1997 qui, ind´ epen-damment des travaux de Ben Belgacem, a aussi utilis´e la th´eorie des formulations mixtes de Raviart et Thomas pour l’appliquer aux m´ethodes de type mortier.

1.2

Construction d’un probl`

eme avec domaine d´

ecompos´

e

Nous d´efinissons dans la pr´esente section les notations que nous emploierons tout au long de ce travail. La litt´erature des m´ethodes de type mortier pr´esentent beaucoup de notations math´ematiques diff´erentes. Cela s’explique en partie par la n´ecessit´e de bien d´efinir toutes les composantes des sous-domaines ainsi que les diff´erents espaces fonctionnels impliqu´es. Pour ce travail, nous allons tenter d’utiliser des notations `a la fois simples et claires lorsque cela sera possible. Un indexest aussi disponible `a la fin de ce document.

Tel que mentionn´e dans l’introduction, les probl`emes que nous voulons r´esoudre sont g´en´ e-ralement des EDPs elliptiques du second ordre vivant sur un domaine lipschitzien (domaine ayant une fronti`ere lipschitzienne) not´e Ω de R2 ou R3. Avant mˆeme de parler du probl`eme fonctionnel, nous pouvons d`es `a pr´esent d´ecomposer Ω en KΩ sous-ensembles PΩ:= { Ωk

}_1≤k≤KΩ d´efinis comme suit : 

   

Ωk ⊆ Ω, des domaines lipschitziens non vides,

S

kΩk = Ω,

Ωk∩Ωl = ∅, ∀k 6= l.

Il est `a noter queP_Ωn’est pas une partition deΩdans le sens strict du terme, carS

kΩk6=Ω.

Nous d´efinissons le squelette de PΩ par SΩ:= S_k∂Ωk. Ainsi, PΩ ∪ {SΩ} repr´esente une

partition de Ω d´ecompos´e en ses sous-domaines et son squelette. Nous d´efinissons γ_(k,l) le « bord ouvert » reliant deux sous-domaines Ωk etΩl,

γ(k,l) := (∂Ωk∩ ∂Ωl) \  ∂Ω∪   [ i6=k,l ∂Ωi    .

La figure 1.1 repr´esente un tel maillage en 2D. Nous obtenons bien sˆur que γ(k,l) = γ(l,k)

et nous acceptons que γ_(k,k) puisse ˆetre non vide. Dans le second cas, cela indique que Ωk

poss`ede une fronti`ere avec lui-mˆeme (par exemple γ(2.2) dans la figure 1.1). Cette situation

peut survenir naturellement en pratique. En effet, nous pouvons penser, par exemple, `a un probl`eme d’auto-contact. Il est `a noter que les bouts des courbes (en 2D) et les bordures des surfaces (en 3D) de γ(k,l) sont exclus.

Pour fin de simplification, nous notons par { γk}1≤k≤Kγ l’ensemble des Kγensembles distincts

Ω2 Ω4 Ω3 Ω1 _γ (2,3) γ(3,2) γ(2,4) γ(4,2) γ_(4,3) γ(3,4) γ(2,2) γ(1,2) γ(2,1)

Figure 1.1 – Domaine Ωet sous-domainesΩk. `

a ces bords. Nous avons pour chaque γk un choix d’orientation de la normale `a faire. Ce choix est techniquement sans cons´equence dans le cas de probl`emes continus, mais aura une importance lorsque nous serons en pr´esence de probl`emes discrets (lorsque nous discr´etiserons les Ωk par des maillages).

Dans notre situation, nous proc´edons de telle sorte que la normale pointe vers le cˆot´e dit maˆıtre (mortier) de γk. Donc −~nγk pointe vers le cˆot´e nomm´e esclave (non-mortier) de γk.

Ces termes sont utilis´es plus loin pour d´esigner facilement la position du multiplicateur mortier sur nos maillages. Le choix des cˆot´es maˆıtres et esclaves est laiss´e libre en ce sens que nous ne fixons pas de pr´ef´erence sur les cˆot´es maˆıtres vis-`a-vis les cˆot´es esclaves selon la d´ecomposition

PΩ. Le choix du cˆot´e peut cependant avoir des cons´equences sur la r´esolution ainsi que sur

la pr´ecision de la solution (voir la remarque 1.5.15). Dans ce travail, nous ´ecrivons que c’est le cˆot´e esclave (cˆot´e non-mortier) qui supporte le multiplicateur. Nous pouvons voir `a la figure 1.2une disposition possible des normales sur notre domaine Ω.

Nous notons par γ la r´eunion de tous les bords entre les sous-domaines,

γ=

Kγ

[

k=1 γk.

L’intersection non vide entre deux bords ferm´esγk est appel´ee point d’intersection (« cross-point » en anglais). Par exemple, dans la figure 1.2nous avons deux points d’intersection. Il y en a un entre γ1 etγ2 ainsi qu’un autre entre les trois bords γ3, γ4 et γ5. Dans le cas 3D,

nous parlerons de courbes d’intersection.

Nous pouvons maintenant discuter des probl`emes `a r´esoudre. Le lecteur pourra se r´ef´erer `a un livre classique sur les ´el´ements finis au besoin (par exemple le livre de Ciarlet [23]). Nous voulons ˆetre le plus g´en´eral possible, c’est pour cela que nous passons imm´ediatement `a la formulation faible d’un probl`eme quelconque d’´equation aux d´eriv´ees partielles (EDPs).

Ω2 Ω4 Ω3 Ω1 γ3 γ4 γ5 γ1 γ2 ~nγ1 ~nγ2 ~ nγ3 ~nγ4 ~nγ5

Figure 1.2 – Bordsγk et leur normale.

Probl`eme 1.2.1. Soit U un espace de Hilbert. Soit a : U × U −→ R une fonctionnelle bilin´eaire continue et l : U −→ R une fonctionnelle lin´eaire continue. Trouver u ∈ U telle que

a(u, v) = l(v), ∀v ∈ U.

N Par le th´eor`eme de Lax-Milgram, nous savons que ce probl`eme admet une solution si a(·, ·) est U -elliptique. Nous poserons fr´equemment U = H1

ΓD(Ω) o`u ΓD repr´esente un sous-ensemble de ∂Ω. Nous d´efinissons

H_Γ1_D(Ω):=u ∈ H1_(Ω) 

 u|_ΓD = 0 .

Ici, ΓD correspond aux r´egions o`u nous avons une condition de Dirichlet dans l’EDP associ´ee

au probl`eme 1.2.1. Parall`element, nous notons ΓN et ΓR les sous-ensembles de ∂Ω o`u

nous avons respectivement les conditions de Neumann et de Robin (aussi appel´e condition de Fourier) pour notre EDP. D’autres conditions aux limites peuvent aussi ˆetre consid´er´ees selon les besoins. Il est `a noter qu’une condition de Robin est une g´en´eralisation de la condition de Neumann. Par contre, il nous semble plus `a propos de distinguer les deux concepts pour clarifier nos EDPs.

Si la formulation bilin´eaire est sym´etrique, nous pouvons aussi ´ecrire le probl`eme1.2.1`a l’aide d’une fonctionnelle d’´energie J (v) := 1₂a(v, v) − l(v). Le probl`eme est ´equivalent `a trouver la solution `a

min

Exemple 1.2.2. Nous consid´erons le probl`eme mod`ele de l’´equation de Poisson avec des conditions aux limites simples,

       −∆u = f, dans Ω, u = 0, sur ΓD, ∂u ∂~n+ αru = h, sur ΓR. (1.2.2)

Sous certaines hypoth`eses de r´egularit´e sur les fonctions f , αr et h, la formulation faible de

ce probl`eme se r´esume `a : Trouver u telle que Z Ω ∇u · ∇v + Z ΓR αruv | {z } a(u,v) = Z Ω f v + Z ΓR hv | {z } l(v) , ∀v ∈H_Γ1 D(Ω). (1.2.3)

Lorsque la forme bilin´eaire est coercive, alors le probl`eme (1.2.3) poss`ede une solution unique. Le cas o`u la condition de Dirichlet n’est pas nulle peut se traiter facilement avec un rel`evement. Le lecteur peut se r´ef´erer aux notes de Fortin et Garon [33] pour ce type de d´etails. N Nous pouvons maintenant d´evelopper notre probl`eme sous l’angle de la d´ecomposition de domaine. Dans un premier temps, nous avons besoin de d´efinir des espaces de Sobolev H1 sur les sous-domainesΩk. Cependant, nous voulons que les fonctions restent nulles surΓD. Ainsi,

nous d´efinissons H∗1(Ωk) de la fa¸con suivante, H∗1(Ωk):=v ∈ H1(Ωk)

 v|_ΓD∩∂Ωk = 0 .

Par la suite, nous avons aussi besoin de d´efinir un espace de fonctions sur tout le domaine Ω, mais qui soit tr`es souple aux intersections des sous-domainesΩk. Par exemple, nous n’avons plus n´ecessairement la continuit´e entre deux Ωk. Nous notons cet espace X ,

X:=v ∈ L2_(Ω)   v|_Ωk ∈H_∗1(Ω_k), ∀k , avec la norme, kvk_X := X k kvk2_H1_(Ω k) !1 2 .

Notre objectif est de travailler surXau lieu deH_Γ1

D(Ω)dans notre probl`eme variationnel1.2.1.

Cependant, cela engendre deux principales difficult´es.

Premi`erement, a(·, ·) peut ne pas ˆetreX-elliptique en fonction du choix deP_Ω. En effet, si a(·, ·) estH_Γ1

D(Ω)-elliptique, mais non H

1_{(Ω)-elliptique (comme c’est le cas dans l’exemple1.2.2avec}

αr= 0), alors a(·, ·) n’est pasX-elliptique si au moins un sous-domaineΩkn’a pas de fronti`ere

avec ΓD. Cela arrive n´ecessairement si cet Ωk se trouve enti`erement `a l’int´erieur de Ωcomme

Deuxi`emement, mˆeme si a(·, ·) est X-elliptique, la solution du probl`eme 1.2.2 avec U = X

ne sera pas n´ecessairement solution du mˆeme probl`eme, mais avec U = H_Γ1

D(Ω). En effet,

pour U = X et sans condition de recollement, ce sont des conditions de Neumann nulles qui sont naturellement impos´ees aux intersections γk. Cela a pour effet de modifier le probl`eme

original si la solution de ce dernier n’a pas la propri´et´e ∂u_/∂~nγ

k = 0 sur les intersectionsγk.

Pour rem´edier aux difficult´es ´enonc´ees plus haut, nous cr´eons un multiplicateur qui a pour tˆache de « recoller » ensemble toute fonction de X aux intersections des sous-domainesΩk. Pour cela, nous devons cr´eer un nouvel espace adapt´e `a la situation, d’o`u les d´efinitions qui suivent. Ces termes proviennent en grande partie des articles de Raviart et Thomas [57] et de Ben Belgacem [6].

Soit n la dimension du domaine Ω (nous prenons g´en´eralement n∈ {2, 3}), nous d´efinissons l’espace H0(div, Ω), H0(div, Ω):=~q ∈ L2(Ω)
n  ∇ · ~q ∈ L2(Ω) et ~q · ~n_Ω= 0 sur ∂Ω , muni de la norme, k~qk_H 0(div, Ω) :=  k~qk2_L2_(Ω)+ k∇ · ~qk2_L2_(Ω) 1₂ . Nous d´efinissons ensuite l’espace du multiplicateur M ,

M := ( µ = (µ1, . . . , µKΩ) ∈ Y k H−12 (∂Ω_k)  ∃~q ∈H₀(div, Ω) t.q. µ_k= ~q · ~n_Ωk sur ∂Ω_k ) . Le vecteur ~nΩk repr´esente la normale sortante du sous-domaine Ωk. Nous utilisons la norme

sur M suivante, kµk_M := inf ~ q ∈H0(div, Ω), ~ q · ~nΩk = µk sur ∂Ωk k~qk_H 0(div, Ω).

Nous motivons le choix sp´ecifique de M un peu plus loin dans cette section. L’espace M, contrairement `a Q

kH −1

2(∂Ω_k), poss`ede des propri´et´es suppl´ementaires qui nous seront n´ e-cessaires. Nous les retrouvons dans Boffi et al. [12, p.49].

Nous remarquons que si µ ∈ M, alors µk = 0 sur ∂Ω∩ ∂Ωk. En effet, il est inutile de faire

varier µ sur ∂Ω, car c’est seulement `a l’intersection entre deuxΩk que nous devons appliquer

de nouvelles contraintes pour « recoller » nos fonctions. Nous terminons nos d´efinitions par l’op´erateur bilin´eaire continu

b : X×M → R (v, µ) 7→ X k hµ_k, TΩk(v)i_H− 1 2(∂Ωk)×H 1 2(∂Ωk) . (1.2.4)

La fonction TΩk est l’op´erateur trace surH

1

∗(Ωk). Il arrive souvent de voir dans la litt´erature

produit des termes, b(v, µ) =X k Z ∂Ωk µkTΩk(v).

Il faut comprendre que si µkn’est pas assez r´eguli`ere, alors l’int´egrale n’a plus de sens et nous

devons plutˆot utiliser un crochet de dualit´e. Pour all´eger un peu les formules, nous utilisons la notation

h·, ·i1

2,∂Ωk := h·, ·i_H− 12_(∂Ωk)×H12_(∂Ωk). Nous pouvons d´evelopper notre op´erateur b(v, µ) :

b(v, µ) = X 1≤k≤KΩ h~q · ~nΩk, TΩk(v)i1 2,∂Ωk = X 1≤i<j≤KΩ ~q · ~nΩi, TΩi(v) − TΩj(v)  1 2,γ(i,j)+ h~q · ~nΩ, TΩ(v)i 1 2,∂Ω | {z } =0 = X 1≤k≤Kγ ~q · ~nγk, TΩkesc(v) − TΩkmaˆı(v)  1 2,γk = X 1≤k≤Kγ µkesc, T_Ω kesc(v) − TΩkmaˆı(v)  1 2,γk .

De nouvelles notations apparaissent dans ce d´eveloppement. Premi`erement, le terme kesc

d´esigne tout simplement l’indice du sous-domaine Ωkesc qui se trouve du cˆot´e esclave (non-mortier) deγk. Par opposition, nous notons kmaˆıl’indice du sous-domaine Ω_kmaˆıqui se trouve du cˆot´e maˆıtre (mortier) deγk.

Pour simplifier les notations, nous ´ecrirons b(v, µ) =X

k

D

µkesc, vesc− vmaˆı

E 1 2,γk =X k D µkesc, [v] γk E 1 2,γk . (1.2.5) L’expression [v]_γ

k repr´esente le saut (« jump ») de v `a travers l’interfaceγk.

Remarque 1.2.3. Soulignons le lien direct entre µkesc et µ

kmaˆı. En effet, selon la d´efinition

de M, nous avons, sur chaque γk,

µkesc = ~q · ~n_Ω

kesc = −~q · ~nΩ_kmaˆı = −µkmaˆı.

Nous voyons qu’il n’est donc pas n´ecessaire de construire explicitement µ_kmaˆı, puisqu’il d´epend

directement de µkesc. En d’autres mots, cela implique qu’il existe un isomorphisme entre M

et l’espace ( µ ∈Y k H−12 (γ_k)  ∃~q ∈H₀(div, Ω) t.q. µ_k= ~q · ~n_γ k sur γk ) .

C’est grˆace `a l’op´erateur b(·, ·) que nous pouvons « recoller » nos fonctions. En effet, par construction H_Γ1

D(Ω) ( X. L’id´ee est donc de rajouter une condition `a l’espace X pour

avoir l’´egalit´e des espaces. Or, la formulation (1.2.5) donne en quelque sorte l’intuition que vesc= vmaˆısi et seulement si b(v, µ) = 0 ∀µ. Nous avons ainsi le

Th´eor`eme 1.2.4.

H_Γ1_D(Ω)=v ∈X  b(v, µ) = 0, ∀µ ∈M .

F D´emonstration. Le lecteur retrouvera une version l´eg`erement diff´erente de ce th´eor`eme dans Boffi et al. [12, p. 57].

[⊆]

Soit v ∈H_Γ1

D(Ω), alors v ∈X. De plus, pour µ ∈M, il existe ~q ∈H0(div, Ω). Par le th´eor`eme

de la divergence, nous avons,

b(v, µ) = X k h~q · ~nΩk, TΩk(v)i1 2,∂Ωk = X k Z Ωk ∇v · ~q + v∇ · ~q = Z Ω ∇v · ~q + v∇ · ~q = h~q · ~nΩ, TΩ(v)i1 2,∂Ω = 0.

(Note : Le th´eor`eme de la divergence est applicable ici car ~q ∈ H0(div, Ω). Pour plus d’indi-cations sur les propri´et´es deH0(div, Ω), voir Boffi et al. [12, p. 49].)

[⊇]

Soit v ∈X tel que b(v, µ) = 0, ∀µ ∈M. Alors, pour chaque µ ∈M il existe ~q ∈H0(div, Ω)tel que X 1≤k≤Kγ ~q · ~nγk, TΩkesc(v) − TΩ_kmaˆı(v)  1 2,γk = 0. (1.2.6)

L’op´erateur de la trace normale ~q 7→ ~q · ~n est surjectif dans H−12(γ_k) lorsque ~q ∈H₀(div, Ω) (voir Boffi et al. [12] page 50). Ainsi, nous avons n´ecessairement de l’´equation (1.2.6) que

TΩkesc(v) − TΩ_kmaˆı(v) = 0, 1 ≤ k ≤Kγ. (1.2.7)

Nous voulons montrer que ∇v ∈ L2(Ω)
n

. Pour ce faire, il suffit de montrer que l’expression |h∇v, ~ϕi|

est born´ee ∀~ϕ ∈ (D(Ω))n. L’ensemble D(Ω) repr´esente l’espace des fonctions infiniment diff´erentiables et `a support compact sur Ω. En utilisant le th´eor`eme de la divergence sur

chaque sous-domaine, nous avons, |h∇v, ~ϕi| =     − Z Ω v∇ · ~ϕ     =      −X k Z Ωk v∇ · ~ϕ      =      X k Z Ωk ∇v · ~ϕ −X k Z ∂Ωk TΩk(v)~ϕ · ~nΩk      =       X k Z Ωk ∇v · ~ϕ − X 1≤k≤Kγ Z γk

TΩkesc(v) − TΩ_kmaˆı(v) ~ϕ · ~nΩkesc

− Z ∂Ω TΩ(v)~ϕ · ~nΩ     .

Le second terme de la derni`ere ´egalit´e ci-dessus est nul par (1.2.7). De plus, le dernier terme est lui aussi nul car ~ϕ est nul au bord deΩpar d´efinition deD(Ω). Ainsi,

|h∇v, ~ϕi| =      X k Z Ωk ∇v · ~ϕ      ≤ X k |v|2_H1_(Ω k) !1₂ ||~ϕ||L2_(Ω). Ainsi ||∇v||_L2_(Ω)≤ X k |v|2_H1_(Ω k) !1₂ . Nous pouvons en conclure que ∇v ∈ L2_(Ω)
n

et donc v ∈ H1_{(Ω). Finalement, puisque v ∈X,}

alors v = 0 sur ΓD et donc v ∈HΓ1D(Ω). 

Remarque 1.2.5. Si nous regardons en d´etail la d´emonstration du th´eor`eme 1.2.4, nous pouvons remarquer que la d´efinition de l’espace M peut ˆetre modifi´ee l´eg`erement. En effet, nous pourrions ˆetre moins restrictif sur ∂Ω. Au lieu de prendre ~q · ~nΩ = 0 sur ∂Ω, il est

suffisant de choisir ~q · ~nΩ = 0 sur ∂Ω\ΓD. Cependant, nous n’en ferons rien, car notre but est

de choisir un espace M le plus petit possible. Manipuler un multiplicateur sur ΓD ne nous

servirait pas en pratique. N

Remarque 1.2.6. Il faut faire attention `a un petit d´etail n´eglig´e jusqu’ici. Nous avons, dans les d´efinitions de H0(div, Ω) et de M, consid´er´e que le champ du probl`eme de base 1.2.1

´

etait scalaire. Or, nous voulons aussi r´esoudre des probl`emes en d´eplacement/pression. Il faut donc g´en´eraliser un peu les d´efinitions. Heureusement, cela ne change pas l’essence du th´eor`eme1.2.4. L’espace primal not´e X sera

X :=~v ∈ L2(Ω)
n ~v|_Ω k ∈ H 1 ∗(Ωk)
n , ∀k , avec la norme, k~vk_X := X k k~vk2_H1_(Ω k) !1₂ .

Nous notons l’espace H0( ~div, Ω) de la fa¸con suivante, H0( ~div, Ω):= n σ  σ_ij ∈ L2(Ω), 1 ≤ i, j ≤n, ~div σ ∈ L2(Ω)
n et σ · ~nΩ = ~0 sur ∂Ω o avec la norme kσk_H 0( ~div, Ω) :=  kσk2_L2_(Ω)+ ~ div σ 2 L2_(Ω) 1 2 . Nous avons aussi l’espace M ,

M := ( ~ µ ∈Y k  H−12 (∂Ωk) n   ∃ σ ∈H0( ~div, Ω) t.q. ~µ_k= σ · ~n_Ωk sur ∂Ωk ) avec la norme k~µk_M := inf σ ∈H0( ~div, Ω), σ · ~nΩk = ~µk sur ∂Ωk kσk_H 0( ~div, Ω).

L’op´erateur b(·, ·) est semblable `a celui de l’´equation (1.2.4) b : X×M → R (~v, ~µ) 7→ X k h~µk, TΩk(~v)i_H− 1 2(∂Ωk) n ×H12(∂Ωk) n.

Pour simplifier, nous notons, h·, ·i1

2,n,∂Ωk := h·, ·i_H− 12(∂Ωk)

n

×H12(∂Ωk)

n.

Ainsi, l’´equation (1.2.5) devient, b(~v, ~µ) =X

k

D ~

µkesc, ~vesc− ~vmaˆı

E 1 2,n,γk =X k D ~ µkesc, [~v]γk E 1 2,n,γk . Finalement, le th´eor`eme 1.2.4se r´e´ecrit dans ce contexte par le

Th´eor`eme 1.2.7.

H_Γ1_D(Ω)
n

=~v ∈X  b(~v, ~µ) = 0, ∀~µ ∈M .

F D´emonstration. La d´emonstration est similaire `a celle du th´eor`eme1.2.4.  Une fa¸con plus simple de d´efinirX etM est de prendre tout simplementXnetMn. Cepen-dant, les normes engendr´ees par ces espaces sont l´eg`erement diff´erentes de celles pr´esent´ees plus haut. Elles sont toutefois ´equivalentes `a ces derni`eres. N

Nous pouvons maintenant revenir `a notre objectif initial. Nous voulons reformuler le pro-bl`eme 1.2.1 avec l’espace X. Pour justifier et donner l’intuition de la construction de ce second probl`eme, nous utilisons le probl`eme de minimisation exprim´e dans l’´equation (1.2.1) avec l’espace H_Γ1

D(Ω). Pour ce faire, nous devons supposer que a(·, ·) est sym´etrique, car

si-non, il n’existe pas de fonctionnelle d’´energie J (v) reli´ee au probl`eme 1.2.1. Nous sommes donc, pour le moment, dans un cas particulier. Nous abandonnerons cette hypoth`ese dans la section 1.3. Ainsi, le probl`eme de minimisation, grˆace au th´eor`eme 1.2.4, peut s’´ecrire,

min v∈H1 ΓD(Ω) J (v) = min v ∈X, b(v, µ) = 0, ∀µ ∈M J (v) = min v∈X_µ∈sup_MJ (v) + b(v, µ). (1.2.8)

Le passage d’un probl`eme de minimum `a un probl`eme de point-selle est un proc´ed´e classique en optimisation. Nous r´ef´erons le lecteur au livre de Ekeland et T´emam [26, chapitre 3] pour plus de d´etails sur la construction et les d´emonstrations li´ees au Lagrangien. Nous montrons dans la section 1.3 que les ´el´ements v atteignant chaque minimum ci-haut sont uniques et concordent.

Remarque 1.2.8. Il est important de noter que nous devons absolument construire J (v) de fa¸con `a ce qu’elle soit bien d´efinie surX. Sinon, le terme de droite de (1.2.8) n’a pas de sens. Il faut donc faire attention lorsque que nous d´efinissons nos fonctions a(·, ·) et l(·). Comme cas de figure, nous pouvons reprendre l’exemple 1.2.2. Dans l’´equation (1.2.3), il faut remplacer l’expression a(u, v) par,

a(u, v) =X k Z Ωk ∇u · ∇v + Z ΓR∩∂Ωk αruv  . N Nous obtenons un probl`eme de point-selle avec L(v, µ) := J (v) + b(v, µ). Nous rappelons que J (v) = 1<sub>2</sub>a(v, v) − l(v). Si ce probl`eme poss`ede une solution (u, λ) ∈X×M, alors les d´eriv´ees de Gˆateaux de L(v, µ) dans les « directions » des espacesX etM doivent ˆetre nulles en cette solution. Les d´eriv´ees donnent

lim ε→0 L(u + εv, λ) − L(u, λ) ε = a(u, v) − l(v) + b(v, λ), lim ε→0 L(u, λ + εµ) − L(u, λ) ε = b(u, µ).

Nous d´efinissons ainsi un probl`eme diff´erent du probl`eme 1.2.1,

Probl`eme 1.2.9. Soit a :X×X−→ R une fonctionnelle bilin´eaire continue et l : X−→ R une fonctionnelle lin´eaire continue. Trouver (u, λ) ∈X×M tels que

(

a(u, v) + b(v, λ) = l(v), ∀v ∈X,