Écoulement de polymères en milieux poreux

(1)

Écoulement de polymères en milieux poreux.

F. Pierre

1,3

, Y. Davit

1,2

, M. Quintard

1,2

, R. de Loubens

3

1

_{Université de Toulouse; INPT, UPS; IMFT, Allée Camille Soula, F-31400 Toulouse, France}

2

_{CNRS; IMFT; F-31400 Toulouse, France}

3

_{Total, CSTJF, Avenue Larribau, 64018 Pau, France}

Introduction

• Contexte : L’injection d’un mélange de polymère et d’eau est un procédé

couramment utilisé dans le génie pétrolier. L’objectif est de réduire les instabilités hydrodynamiques et d’améliorer le balayage de l’huile.

• Physique : comportement non-Newtonien.

• Modèle : viscosité modélisée en loi de puissance,

µ = µ₀ ( ˙γ)n−1 . (1)

Étant non-Newtonien et à bas Reynolds, les équations de Stokes généralisées sont,

0 = −∇p + ∇ · [µ( ˙γ)(∇U +t ∇U)], (2)

∇ · U = 0. (3)

• Résolution : La résolution numérique est faite en volume finis avec OpenFoam

(solver simpleFoam).

Géométries 3D

On dispose de deux milieux poreux dont les images sont obtenues par micro to-mographie, un empilement de billes, Figure 1 et une roche réelle, Figure 2.

Figure 1: Billes Figure 2: Roche

Billes Roche porosité 0.36 0.21 désordre faible fort tortuosité faible forte ∆S_passage faible forte

Table 1: Topologie

Figure 3: Champ de pression

• La topologie des milieux est différente, Table 1. • Les maillages 3D ont été réalisés avec l’outil

snappyhexmesh d’OpenFoam, Figure 3.

• Même type d’approche classique que [3],

mailles égales au voxel de résolution de l’image.

• Avantages : mailles orthogonales, hexaédrique, et

d’aspect ratio 1.

• Inconvénients : maillage uniforme, taille

caractéristique insuffisante.

Résultats

Analyse topologique

Selon [1], un variogramme caractérise la répétabilité d’un milieu avec lui-même pour un indicateur X, γ   ~h, X    = 1 2N   ~h    N(~h) X i=1 (X (~x_i) − X   x~i + ~h   ) 2 . (4)

On peut aussi écrire le variogramme commme, γ   ~h, X    = σ 2 x − COV (X(x), X(x + h)) . (5)

On prend comme indicateur l’indicatrice de phase χ, on a alors σ2_x = (1 − ).

0 50 100 150 200 0 0.05 0.1 0.15 0.2 ~_h γ ~ h, χ Figure 4: γ   ~h, χ  

 selon ~z dans billes

0 50 100 150 200 0 0.05 0.1 0.15 ~_h γ ~ h, χ Figure 5: γ   ~h, χ  

 selon ~z dans roche

• Variogrammes identiques dans les 3 directions : milieux homogènes.

• Dans les deux cas, un palier est atteint pour une valeur autre que (1 − ).

Signe que la covariance n’est pas nulle, le VER n’est pas atteint.

• La période des oscillations dans les billes est de l’ordre du rayon des billes,

résultat similaire à [1] et [2].

• L’absence d’oscillations dans la roche indique un milieu fortement désordonné.

Recherche de zones stagnantes

La zone stagnante est un concept important en milieux poreux (récupéra-tion difficile du pétrole). On essaie de manipuler plusieurs paramètres (θ = tan(U∗_x/U∗_z), U∗_z) pour les approcher.

Figure 6: θ > 45◦ Figure 7: U∗_x < 0.1

Comportement des milieux

−4 −2 0 2 4 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 U∗_x n_p = 1 n_p = 0.75 Figure 8: PDF U∗_x - roche

De manière similaire à [2], les composantes de la vitesse sont étudiées dans les deux milieux.

• L’écoulement est imposé selon ~z.

• Les PDF des composantes tangentielles (~x et

~_{y) sont symétriques dans les deux milieux.}

• les milieux sont homogènes et isotropes.

On regarde ensuite les PDF de vitesses dans la direction préférentielle. −2 0 2 4 6 8 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 U∗_z n_p = 1 n_p = 0.75 Figure 9: PDF U∗_z - billes −20−10 0 10 20 30 40 50 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 U∗_z n_p = 1 n_p = 0.75 Figure 10: PDF U∗_z - roche

• Les vitesses maximales U∗_z ont une valeur allant jusqu’à 8 fois hUi pour

l’empilement de billes (accord avec [2]). Dans la roche réelle, elles atteignent 40.

• Le contre-courant est plus important dans la roche que dans les billes.

• Explication par différence topologique entre les deux milieux, taille de seuil de

pores, variation de section de passage.

Conclusions

• Des outils statistiques permettent d’évaluer le désordre dans un milieu poreux. • On cherche à caractériser des zones stagnantes dans le milieu.

• La topologie (ordre, tortuosité, isotropie) explique les différences (vitesses

maximales, contre courant) et les points communs (vitesses tangentielles) entre les milieux.

Bibliographie

[1] R. Clavier.

Utilisation de variogrammes pour quantifier le désordre dans un milieu poreux. Technical report, IRSN, 2013.

[2] Sujit S. Datta and al.

Spatial fluctuations of fluid velocities in flow through a three-dimensional porous media. Physical Review Letters, 111, 2013.

[3] M. Piller and al.

Pore-scale simulation of laminar flow through porous media. Journal of Physics, 503, 2013.