Rappels : ensembles de nombres, calculs, logique et raisonnement, statistiques à une variable

Mme LE DUFF 1 technologique STAV

I – Rappels sur les proportions et les évolutions. 1°) Pourcentages.

Soit A une partie d’un ensemble E.

La proportion des éléments de A par rapport à E est le quotient :

' ' E de éléments d nombre A de éléments d nombre q .

Le nombre d’éléments de A représente p% du nombre d’éléments de E siq p% . Calculer p% d’une quantité Q signifie multiplier Q par

100 p . Remarque : 15% 100 15

et 0,15 sont trois écritures différentes du même nombre.

2°) Proportion d’une proportion.

Soit A une partie d’un ensemble E et B une partie de A.

Sip est la proportion de B dans A et₁ p est la proportion de A dans E alors la proportion p de B dans E ₂

est p p₁p₂ .

3°) Taux d’évolution et coefficient multiplicateur.

Une quantité évolue d’une valeur initialeQ à une valeur finale₁ Q . ₂

Le taux d’évolution t de Q à₁ Q est₂

Q -1 1 2 Q Q t .

Lorsque t s’exprime en pourcentages

100

p

t . On dit que p% est le pourcentage d’évolution deQ à₁ Q . ₂

Le coefficient multiplicateur de cette évolution est

Q1 2

Q c .

Rappels

Ensembles de nombres, calculs,

statistiques, logique et raisonnement.

Mme LE DUFF 1 technologique STAV Augmenter une quantité Q de p% signifie multiplier Q par 

      100 1 p .

Diminuer une quantité Q de p% signifie multiplier Q par        100 1 p .

Remarque : Une augmentation se traduit par un taux t positif, une diminution par un taux t négatif. On ac1t.

4°) Evolution successives et coefficient multiplicateur global. Une quantité Q subit plusieurs évolutions successives.

Le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.

5°) Taux d’évolution réciproque.

Une quantitéQ subit une évolution de taux t pur obtenir une quantité₁ Q . ₂

Alors l’évolution réciproque deQ à₂ Q a pour taux t’ tel que₁ (1t)(1t')1. Le coefficient multiplicateur de cette évolution réciproque est

c c'1.

II – Rappels sur le calcul numérique. 1°) Fractions et écriture fractionnaire. L’écriture fractionnaire

b a

est définie sib0. Pour tous réelsb,c,d 0 :

Somme d’écritures fractionnaires :

d c a d c d a _{ }  et d c a d c d a _{ }  .

Produit et quotient d’écritures fractionnaires :

d b c a d c b a     et c d b a d c b a d c b a     . Une fraction b a

(a et b entiers) est dite irréductibles (non simplifiable) si son numérateur et son dénominateur n’ont aucun autre diviseur commun que 1.

2°) Puissances entières.

   

Mme LE DUFF 1 technologique STAV Propriétés : anap anp _n a n a   1 n p p n a a a _ 

 





Définition : L’écriture scientifique d’un nombre décimal esta 10 poù p est un entier relatif et a un nombre décimal tel que1a10.

III – Statistiques à une variable. 1°) Représentations graphiques.

2°) Diagramme en boite.

Les valeurs extrêmes (min et max), la médiane et les quartiles permettent de partager une série en quatre parties contenant chacune environ un quart (25%) de l’effectif total. Cela permet d’avoir une idée de la répartition des valeurs de la série.

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La boite est un rectangle de hauteur arbitraire, et délimitée par les quartiles. Sa longueur représente l’écart-interquartile.

Les moustaches sont les segments qui relient les quartiles aux valeurs extrêmes.

IV – Ensembles.

1°) Rappels sur les ensembles.

Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments. Lorsque a est un élément d’un ensemble E on dit que a appartient à E et on noteaE.

On peut définir un ensemble soit en énumérant tous les éléments de cet ensemble, soit en donnant une propriété caractérisant les éléments de cet ensemble.

On dit que A est un sous-ensemble de E si tous les éléments de A sont dans E. On dit aussi que A est inclus dans E et on noteAE.

2°) Intervalles.

 L’intervalle

 





Soient deux ensembles A et B.

 L’intersection de A et B est l’ensemble des éléments communs à A et B, on noteAB.

 La réunion de A et B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à au moins l’un des deux ensembles A ou B, on noteAB.

 Lorsque A est un sous-ensemble de B, le complémentaire de A dans B est l’ensemble des éléments de B qui ne sont pas dans A, on note A .

V – Logique.

Mme LE DUFF 1 technologique STAV 2°) Quantificateurs.

Les expressions « quelque soit » et « il existe » permettent de préciser quels sont les objets que l’on considère dans l’énoncé.

« Quelque soit » signifie « pout tout ». « Il existe » signifie « il existe au moins ».

VI – Raisonnement.

1°) Proposition et négation.

Une proposition est une phrase qui est soit vraie, soit fausse.

La négation d’une proposition est une proposition qui est fausse lorsque P est vraie et vraie lorsque P est fausse.

2°) Implication, réciproque, équivalence et contraposée.

Définition : Une implication est une proposition de la forme « Si P alors Q ». Elle est vraie lorsque « P est

vraie » implique « Q est vraie ».

Définition : La réciproque de « Si P alors Q » est « Si Q alors P ».

Définition : On dit que P et Q sont équivalentes lorsque les implications « Si P alors Q » et « Si Q alors P »

sont toutes les deux vraies.

Définition : La contraposée de « Si P alors Q » est « Si non Q alors non P ». Une implication et sa contraposée

sont soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses.

3°) Types de raisonnements.

 Un contre-exemple est un exemple qui permet de montrer qu’une proposition universelle n’est pas toujours vraie.

 Prouver que la contraposée est vraie permet de prouver que l’implication est vraie.

 Montrer qu’une proposition P est vraie en raisonnant pas l’absurde consiste à supposer que P est fausse et à montrer que cela aboutit à une contradiction.

 Montrer qu’une proposition est vraie par disjonction des cas consiste à montrer que cette proposition est vraie dans un nombre fini de cas recouvrant tous les cas possibles.