correction

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Mathématiques 1 STAV

CORRECTION

Partie I

1. 25+34=820+1520=2320 2. 2−17=147−17=137 3. 125×209=3×4×4×55×3×3=163 4. 25×…=3

Cela signifie que la valeur cherchée est égale à 325=3×52=152.

5. 8x×7x2=56x3

6. 30% de 70 revient à effectuer le calcul 30100×70=21. 30% de 70 est donc égal à 21.

7. Si T=2πω alors T×ω=2π et ω=2πT.

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9. On a :

(x+2)(x−3)−2(x+2)=(x+2)[(x−3)−2]=(x+2)(x−3−2)=(x+2)(x−5)

10. Si f(x)=x2−4x alors :

f(−2)=(−2)2−4×(−2)=4+8=12.

11. On appelle P le prix de l’article avant réduction. On a donc 20100×P=7⇔P=7×10020=35. L’article coûtaient donc initialement 35 €.

12. 2,7×1010=2,7×10×109=27×109 soit 27 milliards.

13. L’image de 0 par la fonction f est 4.

14. Un antécédent de 0 par la fonction f est −2. Remarque : on autre antécédent est 2.

15. Les solutions de l’équation f(x)=3 sont −1 et 1.

L’ensemble des solutions de l’équation f(x)=3 est {−1;1}.

16. L’ensemble des solutions de f(x)>0 est ]−2;2[.

17. La droite D passe par les points de coordonnées (0;2) et (3;0). Ces points n’ont pas la même abscisse.

Le coefficient directeur de la droite est donc a=0−23−0=−23.

Le point de coordonnées (0;2) appartient à la droite. L’ordonnées à l’origine est donc 2. L’équation réduite de D est y=−23x+2.

18. D’après le graphique, le tableau de signes de f est :

19. Si x=6 alors y=2,5×6−13=2. Donc A(6;2)∈Δ.

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Partie II

Exercice 1

Partie A : Étude d’une fonction

1. Pour tout réel x on a f(x)=0,005x2+0,28x.

f est donc une fonction du second degré. Elle est par conséquent représentée par une parabole.

2. On a f(x)=0,005x(x+56).

Par conséquent f(x)=0⇔0,005x(x+56)=0.

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul. Ainsi 0,005x=0 ou x+56=0

D’où x=0 ou x=−56.

La courbe Cf coupe donc l’axe des abscisses aux points d’abscisse 0 et −56.

Une équation de l’axe de symétrie d’une parabole est x=−b2a. Ici a=0,005 et b=0,28.

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Partie B : Sur route humide

1. En roulant à 80 km/h la distance d’arrêt du véhicule est d’environ 88 m. En roulant à 90 km/h la distance d’arrêt du véhicule est d’environ 105 m.

2. Si la distance d’arrêt est de 60 mètres alors la vitesse du véhicule est environ égale à 65 km/h.

Partie C : Sur route sèche

1. f(80)=0,005×80×(80+56)=54,4.

Cela signifie donc qu’en roulant à 80 km/h sur route sèche la vitesse d’arrêt est de 54,4 mètres.

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3. On obtient le graphique suivant :

Partie D :

1. Sur route humide l’écart entre les distances de freinage est environ égal à 105−88=17>13 mètres. L’affirmation est vérifiée sur route humide.

2. f(80)=54,4 et f(90)=65,7

Sur route sèche l’écart entre les distances de freinage est environ égal à 65,7−54,4=11,3<13. L’affirmation n’est donc pas vérifiée sur route sèche.

Exercice 2

Partie A

1. 30100×1 350=405 2 000−1 040=960 2 000−1 350=650

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2. La fréquence des sondés ayant souscrit un forfait S est fS=9602 000=0,48.

3. a. 635 sondés ont acheté un téléphone de modèle A et ont souscrit un forfait M. La fréquence cherchée est donc fa=6352 000=0,317 5

b. 0,317 5<13.

L’affirmation « Moins d’un tiers des sondés choisit la formule la plus économique » est donc vraie.

4. 945960≈0,98.

Si on choisit au hasard un client parmi les sondés qui ont répondu avoir souscrit un forfait S il est donc vrai qu’il y a une très forte probabilité qu’il ait acheté un téléphone de modèle B.

Partie B

1. 100−67−15=18

18% des clients interrogés n’ont donc pas répondu à la première question. 2. 0,15×0,24=0,036.

Par conséquent 3,6% des clients interrogés ne sont pas satisfaits des conditions d’achat en raison d’un mauvais accueil.

Exercice 3

1. 189×(1+8100)=189×1,08=204,12≈204 Par conséquent u(4)≈204.

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3. Pour tout entier naturel n on a u(n+1)=1,08u(n). La suite u est donc géométrique de raison 1,08.

4. On obtient le script :

5. a. Les points sur le graphique semblent alignés. On peut donc conjecturer que la suite v est arithmétique.

b. On v(1)−v(0)=198−190=8.

La raison de cette suite arithmétique est donc r=8. Pour tout entier naturel n on a donc v(n+1)=v(n)+8. Par conséquent :

v(2)=v(1)+8=206 v(3)=v(2)+8=214 v(4)=v(3)+8=222

6. On a u(7)≈257 et v(7)=246.

À un moment donné il y aura donc davantage de personnes intéressées par les photos de Lise que par celles d’Ali.