Méthode de résolution éfficace pour le système de Maxwell instationnaire

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Frédéric Bonnet

To cite this version:

Frédéric Bonnet. Méthode de résolution éfficace pour le système de Maxwell instationnaire.

Mathé-matiques [math]. Ecole des Ponts ParisTech, 1997. Français. �tel-00005602�

TH  ESE pr  esent  ee  a L'UNIVERSIT  E DE NICE SOPHIA-ANTIPOLIS

pour obtenir le titre de

DOCTEUR EN MATH  EMATIQUES Sp  ecialit  e:

Mathematiques Appliquees

par

Frederic BONNET

Sujet de la th  ese: M  ETHODES DE R 

ESOLUTION EFFICACE POUR LE

SYST 

EME DE MAXWELL INSTATIONNAIRE

Soutenue le 14Novembre 1997 devant le jury composede:

M. Frederic POUPAUD President

Mlle. Loula FEZOUI Directrice

Mme. Laurence HALPERN Rapporteurs

M. Bernard HANOUZET

MM. Armel de La BOURDONNAYE Examinateurs

Denis POGARIELOFF

Remerciements

Letravailqui aaboutia cettethese aete eectueal'Universite de Nice eta

l'INRIA-CERMICS Sophia-Antipolis.Jetiensd'ailleursaexprimertoutemagratitudeaMonsieur

ArmeldeLaBourdonnayequim'aaccueilli auseinde sonprojetde recherche. J'apprecie,

de plus, l'honneur qu'il me fait en participant a ce jury.

J'exprime ma reconnaissance a Frederic Poupaud quia suivi etguide de facon

atten-tive mes travauxet quia toujourssu me prodiguerde judicieux conseils, tant sur le plan

de larigueurmathematique quede la redaction. Jeleremercie de l'honneurqu'il me fait

en acceptantde presider ce jury.

J'adressetousmesremerciementsaMadameLaurenceHalpernetaMonsieurBernard

Hanouzet pour leur presence dans ce jury et pour avoir accepte de porter un jugement

sur mon travail.

Jen'oublierai jamais lesoutienconstant,les encouragements repetes etlatresgrande

disponibilite de Madame Loula Fezoui qui sont une part essentielle dans l'aboutissement

dece travail. J'aipuegalement apprecieraucours deces nombreusesanneespasseesases

c^otes qu'a ses qualites scientiques s'ajoutaient des qualites humaines hors du commun.

Pour tout cela, je la remercie treschaleureusement.

Messieurs Denis Pogarielo et Herve Steve me font l'honneur de participer a ce jury,

je leur adressetous mes remerciements.

Si cette these a pu aboutir, c'est aussi sans doute d^u a l'excellente ambiance qui a

regneet qui regne au CERMICS. Jetiens a remercier Nathalie Olivier etRobert Riviere

qui se sont toujours montres disponible et m'ont apporte leur soutien et leur experience

pendant ces annees de these. Ma route a egalement croise les \anciens" (Sophie,

Chris-tel, Jean-Pierre, Serge, Francois, Didieret Marco) etles \nouveaux" (Stephanie, Malika,

Cedric et Mihai). A tous je leur exprime ma sympathie et mon amitie.

Mes plus profonds et sinceres remerciements vont a mes parents qui ont toujours su

me guidersur lechemin de lavie.

Table des matieres

Introduction 7

Chapitre1. 

Equationsdel'electromagnetisme 11

1.1 

Equations de Maxwell . . . 11

1.2 Adimensionnement . . . 13

1.3 Formulation conservative et hyperbolicite . . . 14

1.4 Conditions auxlimites et probleme de diraction . . . 15

1.5 Polarisation TE-TM . . . 17

Chapitre2. Schemasenvolumesnis 19 2.1 Introduction . . . 19

2.2 Formulation volumesnis . . . 20

2.3 Calculdes uxnumeriques internes . . . 22

2.3.1 Schema decentre d'ordreun . . . 22

2.3.2 Approximationd'ordre superieur . . . 23

2.4 Traitement des conditions auxlimites . . . 24

2.5 Discretisation temporelle . . . 26

Chapitre3. Materiauctifabsorbant. 29 Introduction . . . 30

3.1 Systeme de Maxwell modie . . . 30

3.1.1 Materiauctif parfaitementabsorbant . . . 30

3.1.2 Choix des conductivites . . . 33

3.1.3 Conditions auxlimites sur 1 . . . 35

3.1.4 Nouvelle formulation . . . 35

3.2.1 Calcul des ux numeriques internes . . . 40

3.2.2 Calcul des ux numeriques dans lemateriau ctif . . . 40

3.2.3 Traitement des conditions aux limites . . . 47

3.3 Experiences numeriques 2-D avec milieu PML . . . 49

3.3.1 Un calcul de surface equivalente radar . . . 49

3.3.2 Resultats . . . 50

3.3.3 Propagation d'une impulsion . . . 56

3.3.4 Prol d'aile . . . 59

3.4 Application a un probleme de diraction sur un cylindre . . . 60

3.4.1 Presentation du probleme . . . 61

3.4.2  Etude comparative des schemas . . . 62

3.4.3 Utilisation du materiau PML . . . 67

Conclusion. . . 71

Chapitre4.  Etudedes- schemas 73 Introduction . . . 74

4.1  Etude d'un cas modele . . . 75

4.1.1 Discretisation . . . 75 4.1.2  Equations  Equivalentes . . . 77 4.1.3 Analyse de stabilite . . . 82

4.1.4 Experiences numeriques . . . 88

4.2 Application auxequations de Maxwell . . . 91

4.2.1 Presentation des equations etdu schema . . . 91

4.2.2 Illustration numerique . . . 92

4.2.3 Propagation d'un mode dans une cavitespherique . . . 97

4.2.4 Spectre en frequences pour la boule metallique . . . 103

Conclusion. . . 105

Chapitre5. Approximationenmaillagesmulti-elements 107 Introduction . . . 108

5.1 Approximation Numerique . . . 108

5.1.1 Formulation variationnelle . . . 108

5.1.2 Calcul des ux numeriques . . . 110

5.2.2 Probleme harmonique: calculs de SER . . . 118

5.2.3 Co^uts compares des methodes . . . 121

Conclusion. . . 124

Chapitre6.  Etudebibliographiquesurlesconditionsabsorbantes 125 Introduction . . . 126

6.1 Presentation du probleme . . . 126

6.2 Leprobleme modele: l'equation des ondes scalaire . . . 128

6.2.1 Obtention de laCLT . . . 129

6.2.2 Obtention des CLA . . . 130

6.2.3 Analyse mathematique des CLA . . . 132

6.3 CLApour lesysteme de Maxwell instationnaire . . . 135

6.3.1 Application du probleme modele ausysteme de Maxwell . . . 135

6.3.2  Etude apartir du systeme . . . 137

6.3.3 Proprietes des CLAobtenues . . . 141

6.4 Uneapproche dierente: les couches absorbantes . . . 142

Conclusion. . . 146 Conclusion 147 Annexe A 149 Annexe B 151 Annexe C 153 Annexe D 155 Annexe E 157 References 159

Introduction

Les travaux que nous presentons ici portent sur la resolution numerique du systeme

de Maxwell en domaine temporel. Les aspects mathematiques generaux, telle l'existence

etl'unicitedes solutions,sontmaintenantparfaitement connusetma^trises[1,2].En

par-ticulier, pour le regime transitoire etudie ici, la resolution du probleme de Cauchy pour

le systeme de Maxwell dans le vide rentre dans le cadre des systemes de Friedrichs et

on a l'unicite de la solution dans les classes des fonctions d'energie nie. L'existence de

solutions faibles etd'estimations apriori ontegalement etedemontrees [1,2].

Neanmoins, l'obtention de solutions exactes n'est obtenue que pour des congurations

tres simples (diraction sur un cylindre a section circulaire par exemple). Le recent

developpementdessuper-ordinateurspermet,al'aidedemodelisationsnumeriquesadequates,

d'obtenir des solutions approchees pour des congurations complexes ou les solutions

exactes sontinconnues ouinaccessibles (forme implicite). Ces methodes permettent ainsi

d'elargir considerablement le champ d'application des phenomenes electromagnetiques

qui touche alors des domaines aussi varies que la medecine, l'electronique, les antennes,

les transports de particules, la compatibilite electromagnetique... Ainsi, la modelisation

numerique devient un outil essentiel, et A. Ta ove n'hesite pas a parler alors de

re-decouverte de l'electromagnetisme [3].

On comprenddoncaisementl'inter^etcroissantde lacommunautescientique aameliorer

sans cesseles performances des methodes deresolution numerique. Lebut ainsirecherche

estd'obtenir uneexcellenteprecisionsurles resultatstoutenetantcapablede simuler des

problemes de plus en plus realistespour des co^uts en temps de calcul raisonnables. C'est

dans ce but qu'a ete developpe un grand nombre de methodes numeriques. Cependant,

il semble qu'aucune methode particuliere ne soit predominante sur une autre, le choix



etant alors determine essentiellement par le type d'application considere. Ainsi, dans le

cas ou le domaine de calcul est correctement approche par des grilles orthogonales, les

dant l'utilisation de telles methodes presente des inconvenients techniques,en particulier

l'implementation des conditions aux limites absorbantes et le traitement des geometries

complexes(problemedel'approximationenmarchesd'escalier).L'utilisationdesmethodes

detypeelementsnis permet,vialaformulationvariationnelle, d'eluderlaplupartdeces

problemes. Cependant, cette methode demande souvent une trop grande regularite de la

solution pour les problemes consideres. De plus, l'utilisation des elements nis H(rot),

bienque parfaitementadapte ala resolution des equationsde Maxwell, necessite la prise

en compte de la matrice de masse, et la condensation de cette matrice souleve des

diÆ-cultes[6, 7, 8].

Nous avons donc choisi, an de modeliser le systeme de Maxwell instationnaire, une

methode totalement explicite qui repose sur les caracteres conservatif et hyperbolique

du systeme de Maxwell. Il s'agit de schemas temporels de type volume ni, appeles par

la suite FVTD pour \Finite Volume Time Domain", largement etudies et utilises pour

des problemesnon lineairesen mecaniquedes uides. Cependant,lecaractere lineairedu

systemedeMaxwellpermetdesimplierconsiderablementceschema.Deplus,lestravaux

de Shankar [9], et Cioni [10] montrent que l'utilisation d'une telle methode semble bien

adaptee alaresolutionnumerique dedierentsphenomeneselectromagnetiquesenregime

transitoire.

L'objet de cette these est d'augmenter l'eÆcacite de la methode numerique des volumes

nis centres auxnoeuds developpee par J.P. Cionidans sathese [11].

Enparticulier, l'utilisation de la methode FVTD, de la m^eme facon que pour la FDTD,

pour la simulation numerique de phenomenes electromagnetiques poses en domaine non

bornesouleveleprobleme des conditionsauxlimitesabsorbantes (noteCLApar lasuite)



aimposersur la frontiere articiellequi borne ledomaine de calcul.Lechoixde ces CLA

doit repondreessentiellement a deux criteres:

{ minimiser les re exions parasites sur la frontiere articielle,

{ diminuer leplus possiblela taille de la\boite" de calcul an de pouvoirobtenirun

co^utraisonnable en tempsde calcul.

De nombreuses etudes tant theoriques que numeriques ont ete menees depuis de

nom-breuses annees sur le sujetet on pourra trouvera la n de ce memoire une revue

biblio-graphique non exhaustive sur le probleme des CLA pour la propagationd'ondes.

L'utilisation de conditions absorbantes d'ordre un (decentrage a l'inni[11]) nous oblige



FVTD,notre etudebibliographique nous a conduit a etudier latechnique des materiaux

ctifs parfaitementabsorbants,appelePML(\Perfectly MatchedLayer"),developpee par

Berenger [12, 13]. L'adaptation de cette technique PML construite initialement pour des

schemas FDTD ades schemas FVTDest lepoint principal de lathese presentee ici.

Toujours dans le double objectif co^ut-precision, nous avons egalement etudie un schema

hautement precisen tempsetenespace. Eneet, lesschemasutilisesdans cettethese, les

- schemas, onteteetudiesdans lecadre de ladynamique des gaz [14, 15]. On propose

cependant de contribuer a cetteetude en presentant un nouveau schema precis a l'ordre

3 en temps eten espace, a dispersion nulle a l'ordre3.

Deplus,toujoursdanslaperspectiveco^ut-precision, unpremierpas aetefaitendirection

desmaillageshybrides(triangles-rectanglesen2-D,tetraedres-cubesen3-D).La

construc-tionde telsmaillages ainsiquel'extensiondu schema FVTDendeux dimensionsd'espace

ne posent aucunprobleme particulier,ce quin'est plus lecas pour des applications

tridi-mensionnelles.

La these est divisee en six chapitres .

Lechapitre1estunepresentationdesequationsquiregissentlesphenomeneselectromagnetiques.

En particulier, nous y rappelons les proprietees mathematiques du systeme de Maxwell

qui seront utilisees par lasuite.

Le chapitre 2 est consacre a la description de l'approximation numerique utilisee. La

methode de volumes nis centres aux noeuds pour la discretisation spatiale est

accom-pagned'unschemalineaireexplicitemulti-pasdetypeRunge-Kuttapourladiscretisation

temporelle.

Le chapitre 3 contient une presentation de la methode des materiaux ctifs

parfaite-ment absorbant propose par Berenger [12, 13]. Une nouvelle ecriture de ces equations y

est presentee ainsi que l'adaptation de cette technique, initialement introduite pour des

schemas de type Yee [4, 13], a des schemas de type volumes nis en maillage non

struc-ture.Desexperiencesnumeriquesen deuxetentroisdimensiond'espace ysontegalement

donnees.

Dans lechapitre4, nousetudions un schema numerique, le - schema, an d'en obtenir

les valeurs optimales des parametres  et pour l'obtention d'un schema d'ordreeleve.

Le chapitre 5 est consacre au developpement du schema de type volumes nis sur des

maillages hybrides (triangles et rectangles) conformes en deux dimensions d'espace. Des

solutions obtenues avec ces maillages hybrides sont presentees et comparees en terme de

Finalement, le chapitre six est une etude bibliographique realisee en 1995 portant sur

les conditions aux limites pour lapropagation d'ondes. Cette etude n'est pas exhaustive

Chapitre 1



Equations de l'electromagnetisme

1.1 

Equations de Maxwell

Une etude des phenomenes electromagnetiques consiste a determiner, a l'instant t

(t2IR +

) etau point~x2IR 3

, les quatre champsde vecteurs ~ E (en V/m), ~ D (en C/m 2 ), ~ H (en A/m) et ~ B (en T) veriant:

➀

laloi de Faraday qui lie laforceelectromotrice a lavariation de ux d'induction,

➁

letheoremed'Amperequipermetdecalculer lechampmagnetiqueengendrepar un courant,

➂

laloi denissant la chargeelectrique,

➃

laloi de Gauss postulantl'absence de charge magnetique. Leschamps ~ E, ~ D, ~ Het ~

Brepresententrespectivementlechampetl'inductionelectrique,

lechamp etl'induction magnetique.

En appliquant le theoreme de la divergence de Gauss et le theoreme de Stokes, on

obtient les expressions locales de ces lois physiques appelees equations de Maxwell: 8 > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > : @ ~ B @t + rot( ~ E) =0

➀

; @ ~ D @t rot( ~ H) = ~|

➁

; div( ~ D) =

➂

; div( ~ B) =0

➃

:

Lesdensites de charge  et de courant~|sont reliees par la loide conservation:

@ @t

+div(~|)=0: (1.1)

Remarque 1.1.1 : Les champs ~ E, ~ B, ~ D et ~

H constituant le champ electromagnetique

ainsiqueladensitedecourant~|sontdes fonctionsvectoriellesdeIR 3 deniessurIR 3 IR et a valeurs dans IR 3 .

Le systeme des equations de Maxwell ne tient pas compte du milieu materiel ou

il y a propagation, et par consequent il ne suÆt pas a la determination du champ

electromagnetique. Il convient alors d'ajouter des relations qui preciseront les proprietes

speciques du milieuetudie.Ces relations liantles champsetles inductions sontdonnees

pardesloisditesdecomportement,caracteristiquesdumilieuconsidere.Nousconsidererons

dans cette etude des materiaux lineaires isotropes dont les lois constitutives les plus

simples sont donnees par les relations:

( ~ D="(~x) ~ E; ~ B =(~x) ~ H; (1.2)

ou"(x)et(x)represententrespectivementlapermittivitedielectriqueetlapermeabilite

magnetique du milieu.

Al'aidede laloide comportement(1.2),onpeut alorsecrirelesequationsde Maxwell

en variables ( ~ E;

~

H) de lafacon suivante:

8 > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > : (~x) @ ~ H @t + rot( ~ E) =0; "(~x) @ ~ E @t rot( ~ H) = ~|; div("(~x) ~ E) =; div((~x) ~ H) =0: (1.3)

Notons queles equations: 8 > > < > > : div("(~x) ~ E) =div( ~ D) =; ~ ~

sont redondantes dans le modele continu (pour tout temps t positif) pour une condition

initiale veriant ces contraintes (voir par exemple [1]).

On peut ainsi ne considerer que les deux premieresequationsde (1.3).

1.2 Adimensionnement

La permittivite dielectrique "(~x) et la permeabilite magnetique (~x) peuvent s'ecrire

en fonction des caracteristiques du vide" 0

et  0

de lafacon suivante: ( "(~x)=" 0 " r (~x) (~x )= 0  r (~x) ou" r et r

sontdes valeursadimensionnelles relativesaumilieu depropagation del'onde

et" 0

et 0

ontpour valeurs en unitesS.I.: 8 > > < > > : " 0 = 1 36 :10 9 F=m  0 =4:10 7 H=m

La vitesse de la lumiere dans le videest donnee par:c 0 = 1 p " 0  0 =3:10 8 m=s:

Le systeme (1.3) peut alors s'ecrire sous la forme:

8 > > > > > > < > > > > > > : @ ~ H @t + 1  0 rot ~ E  r ! =0 @ ~ E @t 1 " 0 rot ~ H " r ! = 1 " 0 ~| " r (1.4)

Enn, onnote par Z 0 = r  0 " 0

=120 l'impedance caracteristique du vide.

On a les relations suivantes: 8 > < > : Z 0 " 0 = p " 0  0 = 1 c 0 Z 0  0 = 1 p " 0  0 =c 0 (1.5)

On fait lechangement de variablessuivant:

~

En tenant compte des relations (1.5), en divisant par c 0

et en eectuant le changement

de variable  =c 0

t, lesysteme (1.4) s'ecrit:

8 > > > > > > < > > > > > > : @ ~ H @ + rot ~ E  r ! =0 @ ~ E @ rot ~ H " r ! = Z 0 ~| " r

Dans cette formulation, les quantites physiques s'expriment alors dans les unites

sui-vantes:

✗

le nouveau temps  est en metre (m),

✗

~ E, ~ H sont en V/m,

✗

Z 0 ~|s'exprime en V/m 2 ,

✗

" r et  r

sont sans dimension.

On pose ~ H = ~ H,~| =Z 0 ~ | et t =.

On s'interessera essentiellement par la suite a des propagations d'ondes dans le vide.

On pose ainsi " r

= r

=1. On obtient nalement le systeme:

8 > > > > < > > > > : @ ~ H @t + rot( ~ E) =0 @ ~ E @t rot( ~ H) = ~| (1.6)

1.3 Formulation conservative et hyperbolicite

En vue d'appliquer les methodes basees sur des techniques de volumes nis pour la

resolution du systeme de Maxwell, on considere en premier lieu la forme conservative du

systeme (1.6): Q t +F 1 (Q) x +F 2 (Q) y +F 3 (Q) z = J(Q) (1.7) avec: Q= t (H ;H ;H ;E ;E ;E )

F 1 (Q)= 8 > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > : 0 E z E y 0 H z H y 9 > > > > > > > > > > = > > > > > > > > > > ; ; F 2 (Q)= 8 > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > : E z 0 E x H z 0 H x 9 > > > > > > > > > > = > > > > > > > > > > ; et F 3 (Q)= 8 > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > : E y E x 0 H y H x 0 9 > > > > > > > > > > = > > > > > > > > > > ; : Enn: J(Q)= t (0;0;0;j x ;j y ;j z ):

On ecrit alors (1.7) sous la forme condensee suivante:

Q t + ~ r:IF(Q)= J(Q) (1.8) avec IF(Q)=(F 1 (Q);F 2 (Q);F 3 (Q)).

Lesysteme (1.8) est hyperbolique. En eet, considerons unecombinaison lineaire de ux:

F(Q;)=~:IF(Q) ou ~=( 1 ; 2 ; 3

) est un vecteur non nul quelconque de IR 3

. La matrice jacobienne A du

systeme est denie par:

A(Q;)=~:IF 0 (Q)= 3 X i=1  i @ @Q F i (Q):

Du fait de lalinearite du systeme, A ne depend pas de lavariableQ. La jacobienne A a

trois valeurs propres reellesde multiplicite double quisont donnees par:

 1 =jj~jj;  2 = jj~jj et  3 =0 (1.9)

De plus, une base de IR 6

constituee de vecteurs propresde A peut ^etre construite; A est

donc diagonalisable et le systeme de Maxwell est hyperbolique pour tout vecteur ~ non

nul de IR 3

.

1.4 Conditions aux limites et probleme de diraction

Nous assimilerons tout au long de cette etude les parois metalliques au modele ideal

et ctif du conducteur parfait. Ainsi, la conductivite est supposee innie et les charges

seportentinstantanement alasurface du conducteur b

.Nousconsiderons quele champ

electromagnetique est nul a l'interieur du metal. La condition aux limites sur b

est

obtenue a partir des relations de passage a travers cette surface [16]. On en deduit en

particulierla condition aux limitessuivante:

~ n^

~ E =0:

Dans le cas ou les ondes se propagent dans un domaine inni (cas de la diraction par

exemple),nousdevons,numeriquement,nousrestreindreaundomainedecalculborne.De

nombreuxauteursontchercheadenirdesproblemesdeconditionsauxlimitesbienposes.

On trouvera dans la partie 4 de plus amples informations sur le sujet. On se contentera

de rappeler ici unecondition aux limitespossiblea imposer sur la frontiere ctive 1

du

domaine de calcul: lacondition absorbante d'ordreun de Silver-Muller:

~ n^ ~ E = r  0 " 0 ~n^(~n^ ~ H) ; (1.10)

Probleme de diraction:

On considere un obstacle borne de IR p

(p=2;3) de frontiere , parfaitement

conduc-teur. Une onde electromagnetique incidente se propage dans un milieu exterieur

ho-mogenenon conducteuretarrivesur l'obstacle(g.1.1). Cetteondeincidente(referencee

par inc) est une donnee du probleme. La presence de l'obstacle induit une perturbation

de l'onde incidente qui se traduitpar la formationd'une onde diractee (referencee d).

On cherche alorsadeterminer lechampdiracte t ( ~ E d ; ~ H d

),sachant queles equations

de Maxwell (1.7) sontveriees par le champ total deni par:

( ~ E = ~ E d + ~ E inc ; ~ H = ~ H d + ~ H inc :

Parhypothese, lechampincident t ( ~ E inc ; ~ H inc

)est solution desequationsde Maxwell.

Deplus, lesysteme de Maxwell est lineaire.Ainsi lesysteme(1.7) peut aussibien s'ecrire

en champ diracte qu'en champ total.

Lacondition aux limitessur un metal parfaitementconducteur s'ecrit alors:

~ d

~ inc

onde

onde

incidente (Ei,Hi)

diffractee (Ed,Hd)

’

Fig. 1.1{ Diraction par un obstacle.

1.5 Polarisation TE-TM

Dans le cas oule champ electromagnetique et le corps diractant sont invariants par

rapport a une direction donnee, par exemple ~e z

, le systeme (1.7) de six equations a six

inconnuessedecoupleen deuxsystemesindependantsdetroisequationsatroisinconnues.

Ces deux sous systemes disjoints, associes aux deux polarisations Transverse Electrique

(TE)etTransverseMagnetique(TM),decriventalorsles phenomeneselectromagnetiques

dans un contexte bidimensionnel (2D).

Ces deux systemes independants peuvent s'ecrire sous la formulation bidimensionnelle

conservative suivante: Q t +F(Q) x +G(Q) y =J (1.11) avec: Q= 8 > > < > > : Q 1 Q 2 Q 3 9 > > = > > ; = 8 > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > : 8 > > < > > : H x H y E z 9 > > = > > ; (T:M:) 8 > > < > > : E x E y H 9 > > = > > ; (T:E:)

F(Q)= 8 > > < > > : 0 Q 3 Q 2 9 > > = > > ; et G(Q) = 8 > > < > > : Q 3 0 Q 1 9 > > = > > ; Enn: J = 8 > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > : 8 > > < > > : 0 0 j z 9 > > = > > ; (T:M:) 8 > > < > > : 0 j y 0 9 > > = > > ; (T:E:)

Lecaractere hyperbolique de ces deux sytemes de Maxwell en deux dimensions d'espace

se montre de la m^eme facon que pour le systeme ecrit en trois dimensions. Les valeurs

propresdu jacobien A, au nombre de trois et maintenant distinctes restent identiques a

Chapitre 2

Schemas en volumes nis

2.1 Introduction

Nousdecrivons dans ce chapitre lamethode numerique de volumesnis basee sur des

maillages de type elements nis et appliquee a la resolution du systeme de Maxwell en

milieu homogene. Du fait de l'hyperbolicite et du caractere conservatif des equations de

Maxwell, l'utilisationde schemasnumeriques decentres estbien adaptealadiscretisation

de ceprobleme. Eneet,une consequencedu caracterehyperboliquedu systeme de

Max-well est que l'energie se propage a vitesse nie suivant des directions particulieres (les

caracteristiques). Lesschemasdecentres quenousproposons ontlafaculte dereconnaitre

automatiquement le sens de propagation des ondes, d'ou leur interet. De plus, de

nom-breux schemas decentresbasessurdes solveursde Riemann approchesontetedeveloppes

et valides en mecanique des uides pour la resolution de problemes modelises par des

systemes possedant les m^emes proprietes. Nous rappelons donc ici les caracteristiques

principales de l'approximation utilisee et l'on pourra se referer par exemple a [17, 18]

pour une descriptionplus detaillee.

Nous presentons rapidement le probleme type d'electromagnetisme quel'on aa resoudre

adimen-x1.4). On a: 8 > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > : Q t + ~ r:IF(Q)= J(Q) dans IR + Q(~x;0) =Q 0 (~x) 8~x2 ~n^ ~ E =0 sur b IR + ~n^ ~ E = r  0 " 0 ~n^(~n^ ~ H) sur 1 IR + (2.1)

On supposera que la condition initiale Q 0

verie les relations de divergence (voir x1.1).

De plus, suivantla nature des phenomenes physiques modelises, onpourra ne considerer

qu'une seule condition auxlimites.

2.2 Formulation volumes nis

Soit T h

une discretisation classique par tetraedres en trois dimensions d'espace (ou

par triangles en 2-D) du domaine h

, approximation du domaine de calcul . A chaque

noeudS i

est associee unecellule C i

(gures2.1et2.2). Lareuniondes cellules forme une

nouvelle partition de h .

1

M

G

M

2

3

M

3

G

2

G

1

G

i

j

k

l

Fig. 2.1 { Cellule d'integration C i

en 3D

On considere l'equationde conservation (1.7) sous forme condensee:

Q t + ! r:IF(Q)=0 (~x ;t)2IR + ; (2.2) avec IF(Q)= t (F 1 (Q);F 2 (Q);F 3 (Q)).

i

j

G1

G2

I

i

j

Γ∞

FIG2.2.a: pour un noeud courant S i

FIG2.2.b: pour un noeud S i

du bord

Fig. 2.2{ Cellules d'integration C i

en 2D

b

le bord de l'objet diractantet de 1

la frontiere articielle qui borne ledomaine de

calcul ( = b

S 1

). L'implementation de ces conditions aux limites sera precisee au

paragraphe 2.4.

Lesmethodes de volumesnis sont basees sur l'integration de(2.2) sur chaque celluleC i . On note (Q t ) i la valeur moyenne de Q t sur la celluleC i . On obtient: Volume(C i )(Q t ) i + Z Ci ! r:IF(Q)dx= 0: (2.3)

En utilisantla formule de Green,l'equation (2.3) nous conduit a:

Volume(C i )(Q  ) i = X j2K(i) Z @Cij IF(Q):~ ij d Z @Ci\ b IF(Q):~n b d Z @Ci\ 1 IF(Q):~n 1 d (2.4) ou ~ ij

est la normale exterieure a l'interface @C ij

entre deux cellules C i

et C j

2.3 Calcul des ux numeriques internes

2.3.1 Schema decentre d'ordre un

Le terme integral Z

@C ij

IF(Q):~ ij

d est evalue par une fonction de ux numerique  ij donnee par:  ij = IF ij :~ ij ; ou ~ ij = t ( 1 ; 2 ; 3 ) = Z @C ij ~  ij d et IF ij

est une approximation de IF(Q) sur l'interface

@C ij

.

La fonction de ux numerique  ij

est choisie decentree du premier ordre, et depend

des deux etats Q i

et Q j

. Le systeme etant lineaire a coeÆcients constants, tous les ux

decentres d'ordre un sont identiques. Ce ux numerique  ij

peut s'ecrire sous la forme

suivante:  ij =(Q i ;Q j ;~ ij )= F(Q i ;~ ij )+F(Q j ;~ ij ) 2 2 jA(~ ij )j(Q j Q i ); (2.5) ouF(Q;~ ij )= 1 F 1 (Q)+ 2 F 2 (Q)+ 3 F 3

(Q)estunecombinaisonlineairede uxetA(~ ij

)

lamatrice jacobienne dusysteme (voirx1.3).Leparametre de laformule(2.5)est xea

undanslecasdesschemasdecentresclassiques. Neanmoins,onverraparlasuitequecette

valeurdu parametre n'estpas optimale pourl'obtention de solutions numeriques d'une

grandeprecision. En particulier, le parametre nous permettra de contr^oler la diusion

numerique. Ce sera l'objet du chapitre4.

Enremarquant quel'on a: F(Q;~ ij

)=A(~ ij

)Q,on obtient le ux numerique:

 ij =(Q i ;Q j ;~ ij ) = 1 2 fA + (~ ij )[(1+ )Q i +(1 )Q j ]+A (~ ij )[(1 )Q i +(1+ )Q j ]g; (2.6) A + (~ ij ) (resp. A (~ ij

))etant lapartie positive (resp. negative)de lamatrice symetrique

A(~ ij

).

Remarque 2.3.1 : Pour =1, on retrouve la decomposition de ux de Steger-Warming

[19]:  ij =A + Q i +A Q j

Il est interessant de noter que l'invariance par rotation du systeme de Maxwell (1.6)

nous permet, al'aide d'une seule composante de IF, de denir la totalitedu uxen trois 3

R= 0

B B @

coscos sincos sin

sin cos 0

cossin sinsin cos 1 C C A Elle transforme Q= t ( ~ H; ~ E)en ^ Q= t (R ~ H;R ~

E).On montre alorsfacilement quel'on

a: F(Q;~ ij )=jj~ ij jj(R 1 oF 1 )( ^ Q)

Dans ce cas la, le uxnumerique (2.6) peut s'ecrire:

 ij =jj~ ij jjR 1 (A + 1 ( ) ^ Q i +A 1 ( ) ^ Q j ) ou A + 1 et A 1

sont respectivement les parties positive et negative de A 1 = @ @Q F 1 (Q). On

remarquera queles matrices A + 1

et A 1

dependent du parametre . On renvoie le lecteur



a l'annexeA pour l'ecriture detaillee de ces deux matrices.

2.3.2 Approximation d'ordre superieur

La methode MUSCL (Monotonic Upwind Schemes for Conservation Laws) permet

d'augmenter la precision des schemas en denissant de nouvelles valeurs Q ij

et Q ji

aux

interfaces des cellules sans modier la fonction de ux numerique  ij

, toujours denie

par (2.5). Dans lamethode MUSCL [20], ces valeurssont obtenues par une interpolation

lineairesurchaquecellule.Nousutilisonsiciuneformulationdite-schemapourdenirles

valeurs aux interfaces calculees a l'aide d'une combinaison lineaire convexe des gradients

hermitiens etcentres: 8 > > > > > < > > > > > :  ij =  ij (Q ij ;Q ji ); Q ij =Q i + 1 2 f(1 2)(Q j Q i )+2 ! rQ H i : ~ S i S j g; Q ji =Q j 1 2 f(1 2)(Q j Q i )+2 ! rQ H j : ~ S i S j g; (2.7)

ou est un parametre de decentrage quijoue aussi un r^ole determinant dans laprecision

des schemas. Enprenant = 1 3

, onobtient un schemadu troisieme ordreen espace pour

des maillages structures [21].

On denit les gradients discrets !

rQ H i

comme une moyenne des gradients de Galerkin

autour d'un noeud S i

.Pour tout tetraedre T 2T h ,on pose: ( ! rQ) T = 3 X Q i k ! r' i k(T);

ou les S i

k

(k = 1;:::;4) sont les quatre sommets du tetraedre T et !

r' i

k

(T) le gradient

constant sur T de lafonction de base ' i k P1associee aunoeud S i k.On pose alors: ! rQ H i = 1 Volume(C i ) X T2T h ;S i 2T Volume(T) 3 ( ! rQ) T : (2.8)

Il est egalement interessant de remarquer qu'il existe un autre moyen pour mettre au

pointdes schemas numeriques d'ordreeleve.On peut eectivement remplacer lafonction

de ux numerique decentree (2.5) par une fonction de uxnumerique centree:

~  ij = F(Q i ;~ ij )+F(Q j ;~ ij ) 2 :

Onremarque aisementquepourobtenirce uxcentreilsuÆtdeprendre =0dans(2.5).

On decide,deplus,de conserverle-schema( = 1 3

).Ceschemaaeteetudienotamment

dans[22, 14] pour l'equationd'advection lineaire bidimensionnelle en maillage homogene

regulier. Cette etude a montre que l'on obtient des schemas volumes nis d'ordre 4 en

espaceet en temps avec une integration de type Runge Kuttaa quatre pas.

Cependant, ce schema etant lineaire et d'ordre superieur a un, il n'est pas TVD (a

variationtotaledecroissante)[23],d'oul'apparitiond'oscillationsparasitesquenousavons

pu observer numeriquement. Plut^otque de faire appel auxtechniques dites des limiteurs

qui rendent le schema non lineaire, nous preferons introduire un petit taux de diusion

en aectant a lavaleur 0:1 qui nous permet de surcroit d'utiliser un schema de Runge

Kutta a trois pas (au lieu de 4 pas pour = 0). Le schema ainsi obtenu sera etudie en

detail (precisionet stabilite)au chapitre4.

2.4 Traitement des conditions aux limites

Surface metallique parfaitement conductrice:

Surlasurface b

,laconditionauxlimitesestdetypere exiontotale.Elles'ecritenchamp

diracte: ~n^ ~ E = ~n^ ~ E inc ; (2.9)

ou~n est levecteur normala lasurface et ~

E lechampelectrique diracte.

Le termede bord s'ecrit ainsi sous la forme: Z @Ci\ b IF(Q):~n b d= 8 > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > : Z @Ci\ b 0 B B @ n 2 Q inc 3 n 1 Q inc 3 n 2 Q 1 n 1 Q 2 1 C C A d (TM) Z @C i \ b 0 B B @ n 2 Q 3 n 1 Q 3 n 2 Q inc 1 +n 1 Q inc 2 1 C C A d (TE) ouQ k;k=1;2;3

sontles composantes du champdiracteQsur b

,Q inc

estlechampincident

suppose connu et~n= t (n 1 ;n 2

) est la normale exterieure a b

.

Le uxnumerique correspondants'ecrit:

 ib =IF ib ~ ib ; avec ~ ib = Z @C i \ b ~ n ib d,~n ib

etant la normale exterieure en @C i \ b etIF ib donnepar: 8 > > > > < > > > > : IF ib =IF(Q ib ) avec Q ib = t (Q i;1 ;Q i;2 ; Q inc;3 ) (TM); = t ( Q inc;1 ; Q inc;2 ;Q i;3 ) (TE):

Remarque 2.4.1 : En trois dimensionsd'espace, en remarquant que l'on a:

F(Q):~= t ( ~ E^~; ~

H^~), le ux prenant en compte la condition de conducteur parfait

s'ecrit en champdiracte sur b :  ib = t ( ~ E inc ^~ b ; ~ H i ^~ b ) o u ~ E inc et ~ H i

sont respectivement le champ electrique incident et le champ magnetique

total au noeud i. Avec les m^emes notations, en champ total, le ux numerique sur b s'ecrit:  ib = t (0; ~ H i ^~ b ) Condition absorbante:

An de pouvoir calculer le ux numerique sur la frontiere articielle 1

qui borne le

domaine de calculon utilise un decentrage a l'innia l'aide de la decomposition des ux

de Steger-Warming:

 =(Q;Q ;~ )=A +

ouQ i

est lavaleurduchampdiractecalculee sur 1

etQ 1

lechampdiracteen dehors

du domaine de calcul . Comme aucune onde ne doit entrer dans , onobtient:

A (~ i1 )Q 1 =0; soit:  i1 =A + (~ i1 )Q i :

On propose ici de donnera titre d'exemple l'ecriture du ux numerique que l'on obtient

ainsi en deux dimensions d'espace. Il s'ecrit:

 i1 = 1 2   i1 2 j i1 j Q i;1  i1 1 j i1 j Q i;2 +Q i;3  0 B B @  i1 2  i1 1 j i1 j 1 C C A (2.10) ou~ i1 = Z @C i \ 1 ~n i1 d,~n i1

est la normale exterieure a@C i

\ 1

.

Remarque 2.4.2 : Il est interessant de noter que le decentrage a l'inni que l'on vient

d'introduire est equivalent a la condition absorbante de Silver-M uller d'ordre un prise en

compte faiblement [11].

Remarque 2.4.3 : En pratique, si l'onutilise cettecondition absorbantesur lafrontiere

articielle 1

, nous sommes tenus de la placer approximativement a deux longueurs

d'ondede l'objetdiractant.Cette distance constitue unelimitesevereaux simulationsen

3D. C'est pourquoi nous nous sommes attaches a appliquer de nouvelles conditions aux

limites, le butetant de pouvoir reduire sensiblement le domaine de calcul. Ce sera l'objet

du chapitre 3.

2.5 Discretisation temporelle

La physique des equations de Maxwell que nous cherchons a resoudre est celle des

phenomenesdepropagationd'ondesinstationnaires.Pourcetteraison,laresolutionnumerique

dece probleme d'evolutionpar desschemas explicites nousparait necessaire pour assurer

une grandeprecisiontemporelle.Pour cela, nous utilisons la methode explicite multi-pas

de Runge-Kutta.

La discretisation utilisee precedemment correspond au systeme semi-discret associe a

chaque noeud S i (l'indice S i est omis): Q + (Q) =0;

ou (Q) represente, sous une forme condensee, la discretisation spatiale precedemment



etablie etponderee par l'inverse du volume de contr^ole.

Du fait de la linearite du systeme de Maxwell, on obtient un schema d'ordre trois en

temps a l'aidede l'integration atrois pas de Runge Kutta donnee ci-dessous: 8 > > > < > > > : Q 0 =Q n Q l =Q 0
 (4 l) (Q l 1 ) l =1;2;3 Q n+1 =Q 3

ou
 represente le pas de temps tel que: t n

Chapitre 3

Materiau ctif absorbant.

Ce chapitre est une version plus etendue du rapport Cermics (N o

96-53) realise avec

FredericPoupaud 

etintitule\ConditionauxlimitesdeBerengeravecunschematemporel

de type volumesnis en maillage triangulaire\.

Unepartiedecechapitreaeteaccepteepourpublicationdanslarevue\AppliedNumerical

Mathematics".



Val-Introduction

L'etude de la diraction electromagnetique par un objet donne lieu a un probleme

exterieur. An de pouvoir resoudre numeriquement ce probleme, on le remplace par un

probleme auxlimitesposedans undomaine borne.Deuxmethodes sontcouramment

uti-lisees an d'absorber les ondes sortantes. La premiere consiste a etablir sur la frontiere

ctive une condition aux limites absorbantes (CLA), approximation des conditions aux

limitestransparentes (re exion parasites nulles)non locales. On pourrasereferer

notam-menta[24,25,26,27,28].Laseconde,quiseradeveloppeeici,consistealimiterledomaine

d'etude par une couche absorbante, les eets de lare exion du champelectromagnetique

danscette couche etant attenuesaumoyen d'equations de couches limitesarticielles [4].

CetteapprocheaeterecemmentproposeparBerengerdanslecadredel'electromagnetisme

[12, 13]. De nombreux travaux [29, 30,31] sont venus valider cettemethode.

Nousproposons ici d'etendre cette methode, utilisee jusqu'alors essentiellement pour des

schemas temporels en dierences nies, a un schema temporel de type volumes nis en

maillage non structure.

Ce chapitre est divise en quatre parties. Dans la premiere partie nous presentons la

methode de Berenger ainsi que les modications apportees auxequationset a leurs

pro-prietes dans la couche limite articielle. Dans la seconde partie nous developpons

l'ap-proximationnumeriqueutilisee. Enndans lesdeux dernierespartiesnous presentonsdes

resultatsnumeriques obtenusavec ces conditionsauxlimitesde typeBerenger endeux et

trois dimensions d'espace.

3.1 Systeme de Maxwell modie

3.1.1 Materiau ctif parfaitement absorbant

Lamethodequel'onvautilisericiand'absorberles ondessortantesconsiste alimiter

ledomaine de calcul par une couche limite articielle, les eets de lare exion du champ

electromagnetique etant attenues, dans cette couche, au moyen d'un materiau absorbant

ctif(voir lagure 3.1 pour le cas bidimensionnel).

Ledomainedecalculestdoncdiviseendeuxzonesdistinctes.Dansl'une,quel'onsuppose

incident

vacuum

PML

material

object

wave

Γ∞

Fig. 3.1 {Couche absorbante pour lecas 2-D



ecritesdansunmilieuabsorbant.L'approcheclassiqueconsistearesoudredanslemateriau

absorbant lesysteme suivant quis'ecrit en l'absence de chargeset de courant: 8 > > > > > > > < > > > > > > > : @ ~ H @t + rot( ~ E) +   ~ H = 0; @ ~ E @t rot( ~ H) +  ~ E =0; (3.1)

avec une conductiviteelectrique  etmagnetique  

.

Remarque 3.1.1 : Le systeme (3.1) est ecrit sous sa forme adimensionne (voir

para-graphe 1.2). Ainsi les quantites  et   de (3.1) verient:  =Z 0 ~  et   = ~   Z 0 o u ~ et ~  

sont respectivement les conductivites electrique et magnetique du systeme de Maxwell

nonadimensionne. et  s'exprimenten m 1 tandis que~ et ~   sontrespectivementen S=m et en =m.

Ces materiaux absorbantsctifs utilises jusqu'alors and'absorberles ondessortantes et

appliquesadesschemasauxdierences nies(voir[4])verientlaconditiond'adaptation

d'impedance liantlesconductiviteselectrique etmagnetiquedumateriauetecriteal'aide

des variablesadimensionnees:

= 

: (3.2)

Remarque 3.1.2 : Avec les notations precedentes,l'adaptation d'impedances'ecrit:

~  " 0 = ~    0 :

apparaitrepour des incidences non normales.

Berenger a propose une technique dans le cas bidimensionnel (cf. [12]) permettant

d'ob-tenirun coeÆcient theorique de re exionnul pour une ondeplane arrivant sur l'interface

vide-milieu quelque soit lafrequence ou l'angled'incidence. L'extension aucas

tridimen-sionnelne posant aucunprobleme (voir [13, 30]), onrappelle ici cette technique dans un

cadretridimensionnel.

Le milieu propose par Berenger, appele couche parfaitement absorbante et note milieu

PML (\Perfectly Matched Layer", en anglais), est obtenu en introduisant de nouveaux

degres de liberte. On decompose ainsi chaque composante du champ electromagnetique

Q= t ( ~ H; ~

E) en deux sous-composantes (par exemple H x = H xy +H xz ). Le milieu PML

ainsidetermine estun milieudans lequel lechampelectromagnetique anonplus six mais

douzecomposantes qui sont t (H xy ;H xz ;H yx ;H yz ;H zx ;H zy ;E xy ;E xz ;E yx ;E yz ;E zx ;E zy ).De la

m^eme facon, les conductivites se decomposent en  x ; y ; z ;  x ;  y ;  z . En supposant que

l'adaptation d'impedance est realisee:  i

=   i

pour i = x;y ou z, le systeme de

Max-well dans le materiau ctif s'ecrit alors sous la forme d'un systeme de 12equations a 12

inconnues: 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > : @ t H xy + y H xy = @ y (E zx +E zy ) @ t H xz + z H xz =@ z (E yx +E yz ) @ t H yz + z H yz = @ z (E xy +E xz ) @ t H yx + x H xy =@ x (E zx +E zy ) @ t H zx + x H xy = @ x (E yx +E yz ) @ t H zy + y H zy =@ y (E xy +E xz ) @ t E xy + y E xy =@ y (H zx +H zy ) @ t E xz + z E xz = @ z (H yx +H yz ) @ t E yz + z E yz =@ z (H xy +H xz ) @ t E yx + x E xy = @ x (H zx +H zy ) @ t E zx + x E xy =@ x (H yx +H yz ) @ t E zy + y E zy = @ y (H xy +H xz ) (3.3)

On peut noter quedans lecas ou x

= y

= z

, onretrouveles equations de Maxwell

dansunmilieuabsorbantclassique. Paruneanalysede typeondeplane,Berenger montre

inter-facevide-milieu parfaitement transparenteauxondes sortantes. Laconductivite x (resp.  y ,  z

) s'interprete comme le coeÆcient d'absorption dans la direction x (resp. y, z). Si

l'interface entre le vide et le milieu PML a pour normale la direction e x

, le coeÆcient

de re exion d'une onde plane d'incidence et de frequence quelconque est nul quand  y et

z

sontnuls.Onobtientlem^emeresultatpourlesautresdirectionsparsimplerotation.

Cas Bidimensionnel:

En deux dimensions d'espace, le systeme dans le materiau PML est obtenu en

intro-duisant un seul degre de liberte. On decompose uniquement une composante du champ



electromagnetique en deux sous-composantes (par exemple dans le cas TM, E z =E zx + E zy

).LesystemedanslemateriauPMLestalorsunsystemede quatreequationsaquatre

inconnues quis'ecrit dans le cas TM de la facon suivante:

8 > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > : @H x @t + @(E zx +E zy ) @y + y H x =0; @H y @t @(E zx +E zy ) @x + x H y =0; @E zx @t @H y @x + x E zx =0; @E zy @t + @H x @y + y E zy =0: (3.4)

Remarque 3.1.3 : Le cas TE est obtenu de facon similaire en decomposant la

compo-sante H z en H zx et H zy .

3.1.2 Choix des conductivites

On montre dans [12, 13] par une analyse par onde plane que le choix des

conducti-vitesest primordialpourobteniruneinterface,entredeuxmilieuxPML,transparenteaux

ondes. Ledomaine d'etude est suppose^etre levidequi est lui m^eme considerecomme un

materiau PML.On entoure alorsnotre de domaine de calcul d'unmateriau PML ctifet

arbitraire. Les conditions a imposer sur la conductivite pour l'obtention de la propriete

x

y

z

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Fig. 3.2 {Denition partielle de la couche limite articielle

On propose alors de decrireici brievement les conductivites choisiesdans chacune des

zones de la gure 3.2. On obtient aisement les conductivites des zones restantes par de

simples symetries.

De facon generale, on pose:

~= x ~e x + y ~e y + z ~ e z : On denit x (resp.  y et  z

) de la facon suivante:

 x = 0  x a A a  n (3.5)

ouA eta designent respectivementl'abscisse d'un pointde l'interface vide-PML et

Plus precisemment, nous avons pris: 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > : ~  =~ x ~e x + z ~e z dans 1 ; ~  =~ x ~e x + y ~ e y + z ~e z dans 2 ; ~  = z ~ e z dans 3 ; ~  = y ~e y + z ~e z dans 4 ; ~  =~ x ~e x + y ~ e y dans 5 ; ~  = x ~e x + z ~e z dans 6 ; ~  = x ~e x + y ~ e y + z ~e z dans 7 ; ~  = y ~e y dans 8 ; ~  = x ~e x + y ~ e y dans 9 ; ~  = x ~e x dans 10 :

Dierentschoix des parametres  0

et n seront testesdans la partie3.3.2.

3.1.3 Conditions aux limites sur 1

Dans l'article originel de Berenger [12], celui ci a considere 1

comme le bord d'un

conducteur parfait. Lesondes re echies sur 1

sontalors absorbees al'aller etau retour

de leur propagation dansle milieuPML. Lacondition s'exprime en champ total comme:

~

E^~n =0 sur 1

;

soit en deux dimensions d'espace: ( E z =0 en mode TM; E x n y +E y n x =0 en mode TE: (3.6)

Cependant d'autres choix sont possibles. On peut en particulier prendre des conditions

absorbantes sur 1

qui ne soit pas plus co^uteuse en temps calcul qu'une condition de

conducteurparfait.Nousavonsdonctesteunecondition aulimiteabsorbantequiconsiste



a annuler les ux numeriques entrant en 1

. C'est une discretisation numerique directe

de lacondition aulimite transparente(voirsection 2.4).

3.1.4 Nouvelle formulation

danslevide(Q= t ( ~ H; ~

E))etaintroduireuniquementsixnouvellesvariables(H xz ;H yz ;H zy ;E xz ;E yz ;E zy ).

On considere ainsi le nouveau systeme a resoudre dans lemateriau PML: 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > : @ t H x +@ y E z @ z E y + y H x +( z  y )H xz =0 @ t H y +@ z E x @ x E z + x H y +( z  x )H yz =0 @ t H z +@ x E y @ y E x + x H z +( y  x )H zy =0 @ t E x +@ z H y @ y H z + y E x +( z  y )E xz =0 @ t E y +@ x H z @ z H x + x E y +( z  x )E yz =0 @ t E z +@ x H z @ z H x + x E z +( y  x )E zy =0 @ t H xz @ z E y + z H xz =0 @ t H yz +@ z E x + z H yz =0 @ t H zy @ y E x + y H zy =0 @ t E xz +@ z H y + z E xz =0 @ t E yz @ z H x + z E yz =0 @ t E zy +@ y H x + y E zy =0 (3.7)

Proposition 3.1.1 : Les formulations (3.3) et (3.7) sontequivalentes.

Preuve:

Demaniereevidente, onpassede(3.3)a(3.7)etreciproquementenutilisantles relations:

H ij =H i H ik

(de m^eme pour E)eti;j;k alternativement egaux ax;y etz,eten

recom-binant par deux les equationsdu systeme considere .

On notera que les six premieres equations ne sont rien d'autres que les equations de

in-s'applique aux six premieres equations. Il ne reste plus qu'a trouver une discretisation

adequate des six dernieres equations.

Cas Bidimensionnel:

On presente le nouveau systeme dans le cas 2D (polarisation TM). Les composantes

du champelectromagnetiquessontconservees, comme danslecas 3D,etonintroduitune

seule nouvelle variable(E zy

par exemple). On obtient:

8 > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > : @H x @t + @E z @y + y H x =0; @H y @t @E z @x + x H y =0; @E z @t + @H x @y @H y @x + x E z +( y  x )E zy =0; @E zy @t + @H x @y + y E zy =0: (3.8)

De la m^eme facon qu'en dimension trois, les systemes (3.4) et (3.8) sont equivalents

en considerant E zx =E z E zy

et en recombinant les deux dernieres equations.

Remarque 3.1.4 : Le cas TE est obtenu de facon similaire en introduisant par exemple

la variableH zy

.

3.1.5 Conservativite et perte de l'hyperbolicite

Delam^emefaconquepourlesequationsdeMaxwelldanslevide(voirx1.3),lesysteme

dans le materiau ctifpeut s'ecrire sous forme conservative:

~ Q t + ~ F 1 ( ~ Q) x + ~ F 2 ( ~ Q) y + ~ F 3 ( ~ Q) z +( ~ Q )=0 (3.9) avec: ~ Q= t (Q;P)= t (Q;H xz ;H yz ;H zy ;E xz ;E yz ;E zy )

ouQ est lechamp electromagnetique,

~ F i ( ~ Q)= ~ A i : ~ Q avec i=1;2;3

~ A 1 = A 1 0 0 0 ! ~ A 2 = A 2 0 M 2 0 ! ~ A 3 = A 3 0 M 3 0 ! Lesmatrices A i

ontete precedemment introduitesau paragraphe1.3.

Finalement,on a: ( ~ Q)=B: ~ Q avec: B = B 1 B 2 0 B 4 !

On renvoie lelecteur a l'Annexe pour l'ecriture des matrices M 2 , M 3 , B 1 , B 2 et B 4 .

Proposition 3.1.2 : Le nouveau systeme (3.9), ecrit sous forme conservative avec ces

variables, n'est pas hyperbolique.

Preuve:

De facon analogue aux equations de Maxwell classique, pour tout vecteur non nul ~ = t ( 1 ; 2 ; 3 )de IR 3 ,le jacobien ~ A deni par: ~ A(~) =~: ~ IF 0 ( ~ Q) = 1 @ ~ F 1 @ ~ Q ( ~ Q)+ 2 @ ~ F 2 @ ~ Q ( ~ Q)+ 3 @ ~ F 3 @ ~ Q ( ~ Q );

adouze valeurs propresreelles. Lavaleur propre nulle est de multiplicitehuit; lesous

es-pacepropreassocieacettevaleurpropreestdedimensionsix.Lesystemedanslemateriau

PML,ecrit avec ces variables, n'est donc pas hyperbolique .

Cependant,A.de laBourdonnaye[32]amontrequelesysteme de Berenger receledes

equations de compatibilite cachees du m^eme genre que les equations de divergence dans

lecas du systeme de Maxwell.

Proposition 3.1.3 [32]: Si on impose au systeme de Berengerles relations d'ordre un,

pour ~ E: @ x E xy +@ y E yx =0; @ x E xz +@ z E zx =0; @ y E yz +@ z E zy =0 et pour ~ H: @ H +@ H =0; @ H +@ H =0; @ H +@ H =0

ainsi que les relations de compatibilite d'ordre deux, pour ~ E: @ z 2 E xy @ y 2 E xz +@ xy E yz =0: et pour ~ H: @ z 2H xy @ y 2H xz +@ xy H yz =0:

alors l'operateur qui en resulte est strictement hyperbolique.

On renvoie a [32] pour la preuve de cette proposition.

Cependant, il est interessant de remarquer qu'il suÆt que ces relations de

compati-bilite soient satisfaites a l'instant initial, ce qui sera le cas lors de nos approximations

numeriques (section 3.3) puisque pour t = 0 on impose la nullite a toutes les

compo-santes. Il en resulte queleprobleme de Cauchy est bienpose. On peut donc envisager de

resoudre un probleme de Riemann associe au systeme de Berenger puisque les equations

de compatibilitepermettentde leverles indeterminations liees auxvaleurspropresnulles.

Cas Bidimensionnel:

Defaconsimilaire aucas3D,lesystemedanslemateriauctifpeuts'ecriresousforme

conservative: ~ Q t + ~ F( ~ Q ) x + ~ G( ~ Q ) y +( ~ Q )=0; (3.10) avec: ~ Q= t (Q 1 ;Q 2 ;Q 3 ;Q 4 )= 8 > > < > > : t (H x ;H y ;E z ;E zy ) pour le mode TM; t ( E x ; E y ;H z ;H zy

) pour le mode TE;

~ F( ~ Q )= t (0; Q 3 ; Q 2 ;0) et ~ G( ~ Q)= t (Q 3 ;0;Q 1 ;Q 1 ); ( ~ Q)= t ( y Q 1 ; x Q 2 ; x Q 3 +( y  x )Q 4 ; y Q 4 );

ousous forme condensee:

~ Q t + ~ r: ~ IF( ~ Q )+( ~ Q)=0; (3.11) avec ~ IF( ~ Q)= t ( ~ F( ~ Q); ~ G( ~ Q)).

Lesystemen'estpashyperbolique,lavaleurproprenulleestdemultiplicitedeuxtandis

que le sous espace propre qui lui est associe est de dimension un. De facon similaire au

castridimensionnel, l'ajoutd'unerelationde compatibilite etde larelation de divergence

aux quatre equations dans le milieu PML, rend l'operateur qui en resulte hyperbolique

[32].

3.2 Approximation Numerique

Nous venons de voir que le systeme obtenu en ajoutant des relations de

compati-bilite aux equations dans le milieu PML est un systeme strictement hyperbolique. Il

convient alors de remarquer que par un choix judicieux de conditions initiales ces

rela-tions supplementaires introduites sont alors veriees pour tout temps t. On peut donc

envisager de resoudre un probleme de Riemann associe au systeme de Berenger puisque

lesequationsde compatibilitepermettentde leverles indeterminations. Deplus,resoudre

le systeme avec les equations de compatibilite (i.e. le systeme hyperbolique) consisterait



a eectuer un changement de variables voire a introduire de nouvelles equations ce qui

entraineraitobligatoirementunsurco^utentempsdecalcul.Onpresentedonciciune

adap-tation du calcul des ux numeriques dans le materiau ctif PML basee sur la resolution

d'unproblemede Riemann.Finalement,danslevideonproposederesoudre lesequations

de Maxwell, comme precedemment, al'aide de schemas decentres.

3.2.1 Calcul des ux numeriques internes

Danslevide lesconductivites  x

,  y

et z

sontnulles. Lecalculdescomposantes de Q

seramene aun calcul d'electromagnetismeclassique, les composantes de P n'intervenant

pas. D'autrepart, le calculdes composantes supplementaires P a l'interface entre levide

etle materiau PML faitintervenir des ux qui ne dependent que de Q.Il n'est donc pas

utiled'eectuerlecalculdeP danslevideetles uxnumeriquessontalorsevaluescomme

dans lechapitre 1.5.

3.2.2 Calcul des ux numeriques dans le materiau ctif

On rappelle que dans cette partie du domaine, le systeme avec les douze variables

Enrevanche, auvudes remarques du x3.1.4 sur lesysteme(3.8), les uxnumeriques  ij

des six premieres equations sont les m^emes que ceux des equations de Maxwell dans le

vide etpar consequent seront calcules de facon similaire (voir x1.5).

Il nous reste a determiner les ux  7

;:::; 12

des six dernieres equationsdu systeme (3.9).

Proposition 3.2.1 : Les ux numeriques  7

;:::; 12

du systeme(3.9) s'ecrivent: 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > :  7 =  3 2  (Q j 5 +Q k 5 ) coscos(Q k 3 Q j 3 )+sin(Q k 1 Q j 1 )  8 =  3 2  (Q j 4 +Q k 4 )+sincos(Q k 3 Q j 3 ) sin(Q k 2 Q j 2 )  9 =  2 2  (Q j 4 +Q k 4 )+sincos(Q k 3 Q j 3 ) sin(Q k 2 Q j 2 )  10 =  3 2  (Q j 2 +Q k 2 )+coscos(Q k 6 Q j 6 ) sin(Q k 4 Q j 4 )  11 =  3 2  (Q j 1 +Q k 1 ) sincos(Q k 6 Q j 6 )+sin(Q k 5 Q j 5 )  12 =  2 2  (Q j 1 +Q k 1 ) sincos(Q k 6 Q j 6 )+sin(Q k 5 Q j 5 ) o u Q j;k

est la valeur du champ electromagnetique dans la cellule C j

(resp. C k

) et ~ la

normale exterieure a l'interface entre C j

et C k

.

Preuve:

On ecrit l'approximationnumerique des uxmanquant du systeme sous laforme: 8 > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > :  7 =  3 Q II 5  8 = 3 Q II 4  9 =  2 Q II 4  10 = 3 Q II 2  11 =  3 Q II 1  12 = 2 Q II 1

Ces uxnumeriquessontdoncentierementdeterminesparlaseuleconnaissancedes

quan-tites scalaires Q II i

pour i =1;2;4;5. Du fait de l'independance des ux des six premieres



equations, nous proposons de calculer ces valeurs Q II i

(3.9)et donc les seules composantes du champelectromagnetique sont considerees.

Resolution du problemede Riemann:

Pour calculer Q II i

onresout pour le systeme de Maxwell dans le vide un probleme de

Riemann monodimensionnel entre deux cellules voisines dans ladirection de lanormale.

On a: Q t +F 1 (Q) x +F 2 (Q) y +F 3 (Q) z =0 pour (x;y;z)2IR 3 ; tt n

avec la donnee initiale:

Q(x;y;z;t n )= ( Q j;n si  1 x+ 2 y+ 3 z < 1 ~ x+ 2 ~ y+ 3 ~ z; Q k;n si  1 x+ 2 y+ 3 z> 1 ~ x+ 2 ~ y+ 3 ~ z;

ou x;~~y;~z designent les coordonnees d'un point de l'interface entre deux cellules (voir la

gure3.3pour lecasbidimensionnel), ~=( 1

; 2

; 3

)lanormale exterieure al'interface et

oules quantites Q,F l

(Q), pour l =1;3, ont etedenies auparagraphe 1.3.

η

Cj

C

k

X

Y

x

y

~

~

Fig. 3.3{ Notation a l'interface de deux cellules(2-D).

Ense placant dans les coordonnees (; 1

; 2

) liees respectivement auxdirections

nor-males et tangentielles a l'interface des cellules, on obtient, du fait de l'invariance par

rotationdes equations de Maxwell, etde l'independance de lacondition initialepar

rap-port aux variables 1

et 2

, le probleme de Riemann unidimensionnel dans la direction

normale:

^

Q +F ( ^

avec ladonnee initiale: ^ Q(;t n )= ( ^ Q I si <0; ^ Q IV si >0; (3.13) ou ^ Q= t (H  ;H 1 ;H 2 ;E  ;E 1 ;E 2

)estlechampelectromagnetiquedanslenouveaurepere

etF 1 ( ^ Q)= t (0; E 2 ;E 1 ;0; H 2 ;H 1 ).

On considere deux cellules d'integration voisines C j

etC k

.Soit le systeme (3.12) avec la

donnee initiale(3.13).On considere alors leprobleme de Cauchy de part etd'autrede la

frontiere =1 2

,etpour commencer agauche. Dansce domaine, lasolution du probleme

de Riemannest constantede partetd'autrede lacourbecaracteristique( j )d'equation:  1 2 t t n = 1:

Ceci denit donc deux zones du demi-espace temps ( < 1 2

; t > 0), notees I et II,

respectivement en dessous et au dessus de ( j

). De facon similaire, l'autre demi-espace

temps ( > 1

2

; t > 0) est subdivise en deux zones, notees III et IV, respectivement

situees audessus et en dessous de ( k )d'equation:  1 2 t t n =1:

Leprobleme de Riemann associe ace probleme est schematise sur la gure3.4.

ξ

ξ

ξ

1/2

k

ξ

_j

I

II

III

IV

Γ

_j

Γ

_k

(

)

(

)

t = t n +

t

∆

t

t = t n

Fig. 3.4{ Problemede Riemann local

Sa solution ne depend quedes etats initiaux ^ Q I = ^ Q i;n et ^ Q IV = ^ Q j;n de part et d'autre

de l'interfaceetestconstituee dequatreetatsconstants ^ Q I ; ^ Q II ; ^ Q III et ^ Q IV .Laresolution

de ce problemea l'aidedes relations de saut de Rankine Hugoniot(termehabituellement

employeen mecaniquedes uidespour designer les relations entre deuxetatssepares par

une surface de discontinuite), nous donne:

8 > > < > > : ~ A 1 ( ^ Q II ^ Q I )= ( ^ Q II ^ Q I ) ~ A 1 ( ^ Q IV ^ Q III )=( ^ Q IV ^ Q III ) ~ A 1 ( ^ Q III ^ Q II )=0 (3.14) Les etats ^ Q II et ^ Q III

On obtient les expressions suivantes, solutions du probleme de Riemann: ^ Q II = ^ Q I + 1 2 0 B B B B B B B B B B @ 0 ( ^ Q IV 6 ^ Q I 6 )+( ^ Q IV 2 ^ Q I 2 ) ( ^ Q I 5 ^ Q IV 5 )+( ^ Q IV 3 ^ Q I 3 ) 0 ( ^ Q IV 5 ^ Q I 5 ) ( ^ Q IV 3 ^ Q I 3 ) ( ^ Q IV 6 ^ Q I 6 )+( ^ Q IV 2 ^ Q I 2 ) 1 C C C C C C C C C C A ^ Q III = ^ Q IV + 1 2 0 B B B B B B B B B B @ 0 ( ^ Q IV 6 ^ Q I 6 ) ( ^ Q IV 2 ^ Q I 2 ) ( ^ Q I 5 ^ Q IV 5 ) ( ^ Q IV 3 ^ Q I 3 ) 0 ( ^ Q I 5 ^ Q IV 5 ) ( ^ Q IV 3 ^ Q I 3 ) ( ^ Q I 6 ^ Q IV 6 )+( ^ Q IV 2 ^ Q I 2 ) 1 C C C C C C C C C C A

La resolution nous donne:

( ^ Q II 1 = ^ Q I 1 ^ Q III 1 = ^ Q IV 1 et ( ^ Q II 4 = ^ Q I 4 ^ Q III 4 = ^ Q IV 4

Pour des raisons de symetrie, onchoisit alors de poser:

^ Q II 1 = 1 2 ( ^ Q I 1 + ^ Q IV 1 ) et ^ Q II 4 = 1 2 ( ^ Q I 4 + ^ Q IV 4 )

Ceci acheve la resolution du probleme de Riemann aux interfaces des cellules.

Calcul explicite des ux :

On obtient les expressions recherchees (Q II i

pour i=1;4;5) en appliquant la rotation

R 1

,explicitee ci-dessous,auxquantites ^ Q

II i

etablieslors de laresolution duprobleme de

Riemann. On pose: R 1 = 0 B B @

coscos sin cossin

sincos cos sinsin 1

C C A

Ainsi, onobtient: 8 > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > : Q II 1 =coscos ^ Q II 1 sin ^ Q II 2 cossin ^ Q II 3 Q II 2 =sincos ^ Q II 1 +cos ^ Q II 2 sinsin ^ Q II 3 Q II 4 =coscos ^ Q II 4 sin ^ Q II 5 cossin ^ Q II 6 Q II 5 =sincos ^ Q II 4 +cos ^ Q II 5 sinsin ^ Q II 6

Soit, al'aide des solutions du probleme de Riemann:

8 > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > : Q II 1 = 1 2 (Q I 1 +Q IV 1 ) 1 2 sincos(Q IV 6 Q I 6 )+ 1 2 sin(Q IV 5 Q I 5 ) Q II 2 = 1 2 (Q I 2 +Q IV 2 )+ 1 2 coscos(Q IV 6 Q I 6 ) 1 2 sin(Q IV 4 Q I 4 ) Q II 4 = 1 2 (Q I 4 +Q IV 4 )+ 1 2 sincos(Q IV 3 Q I 3 ) 1 2 sin(Q IV 2 Q I 2 ) Q II 5 = 1 2 (Q I 5 +Q IV 5 ) 1 2 coscos(Q IV 3 Q I 3 )+ 1 2 sin(Q IV 1 Q I 1 ) Avec: 8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : coscos =  1 jj~jj ; sincos =  2 jj~jj ; sin=  3 jj~jj ;

onobtient les expressions des ux de la proposition 3.2.1 .

Cas Bidimensionnel:

Endeux dimensions d'espace, nousavons vu quelesysteme dans lemilieuPML n'est

plus qu'un systeme de 4equations a 4inconnues dont les 3 premieres ne sont autres que

les equations de Maxwell. Il reste donc a determiner le ux numerique de la derniere



equation. On secontenteici de donner l'expression du uxnumerique auquel onaboutit,

Soit , l'approximation numerique du ux de la quatrieme equation du systeme (3.10): =Q II 1  2 :

Par resolution d'un probleme de Riemann, a l'interface entre deux cellules C j et C k , on obtient l'expression de : =Q II 1  2 = 1 2 (Q I 1 +Q IV 1 ) 2 1 2 (Q IV 3 Q I 3 ) 2 2 ; (3.15) avec Q I =Q j;n ,Q IV =Q k;n et~= t ( 1 ; 2

) lanormale exterieure al'interface @C j

\@C k

.

Parexemple, pour lemode TM, onobtientpour le uxnumerique, l'expression suivante:

 = 1 2 (H j x +H k; x ) 2 1 2 (E k z E j z ) 2 2 :

3.2.3 Traitement des conditions aux limites

Condition metallique sur l'objet diractant :

Pourune surfacemetallique, lacondition auxlimitesest de typere exiontotale(1.4).

Elle s'ecrit en champ diracte:

~ n^ ~ E = ~n^ ~ E inc ; (3.16)

ou~n est le vecteur normal ala surface et ~

E le champ diracte.

On supposera que l'objet est entoure de vide, le milieu PML n'etant utilise que dans le

but de simuler l'inni. Par consequent, l'implementation de la condition metallique sur

l'objet est semblable a celle developpee dans lasection 2.4.

Condition pour borner le domaine de calcul:

Dans l'article originelde Berenger [12], il proposait pour borner le domaine de calcul

d'imposer sur la frontiere articielle 1

une condition de type metallique (1.4) pour les

ondes sortantes. On obtient alors lacondition suivante:

~ n^ ~ E d j 1 =0;

laforme: Z @C i \ 1 IF(Q):~nd = 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > : Z @C i \ 1 0 B B B B @ 0 0 n 2 Q 1 n 1 Q 2 n 2 Q 1 1 C C C C A d (TM) Z @C i \ 1 0 B B B B @ n 2 Q 3 n 1 Q 3 0 n 2 Q 1 1 C C C C A d (TE) ou~n= t (n 1 ;n 2

) est la normale exterieure a 1

.

Le ux approche correspondant est:

 i1 =IF i1 ~  i1 ; avec ~ i1 = t ( i1 1 ; i1 2 ) = Z @C i \ b ~ n i1 d, ~n i1

etant la normale exterieure en @C i \ 1 et IF i1 donnepar: 8 > > > > < > > > > : IF i1 =IF(Q i1 ) avec Q i1 = t (Q i;1 ;Q i;2 ;0) (TM); = t (Q i;1 ;Q i;1 ;Q i;3 ) (TE):

Decentrage a l'inni avec un materiau PML:

Au lieu de considerer le bord 1

comme un conducteur parfait, il nous a semble

interessant d'appliquer sur 1

une conditon auxlimites absorbante.

Dansle cas ou 1

borne le milieu PML,de la m^eme facon que dans le paragraphe 3.2.2

pourlecasbidimensionnel,ilsuÆtd'etablirle uxcorrespondantalaquatriemeequation,

les troispremiers etant parfaitement semblables aceux des equations de Maxwell dans le

vide(2.10).On rappelle le uxnumerique 2-D obtenupour les troispremieres equations.

Le ux approche s'ecrit alors:

  i1 = 1 2   i1 2 jj~ i1 jj Q i;1  i1 1 jj~ i1 jj Q i;2 +Q i;3  0 B B @  i1 2  i1 1 jj~ jj 1 C C A (3.17)