Le carquois de l'algèbre de descentes du groupe de Coxeter de type D

LE CARQUOIS DE L'ALGÈBRE DE DESCENTES DU GROUPE DE COXETER DE TYPE D

THÈSE PRÉSENTÉE

COMME EXIGENCE PARTIELLE DU DOCTORAT EN MATHÉMATIQUES

PAR

FILS GEASINO FOTSO

UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL Service des bibliothèques

Avertissement

La diffusion de cette thèse se fait dans le respect des droits de son auteur, qui a signé le formulaire Autorisation de reproduire et de diffuser un travail de recherche de cycles supérieurs (SDU-522 – Rév.07-2011). Cette autorisation stipule que «conformément à l’article 11 du Règlement no 8 des études de cycles supérieurs, [l’auteur] concède à l’Université du Québec à Montréal une licence non exclusive d’utilisation et de publication de la totalité ou d’une partie importante de [son] travail de recherche pour des fins pédagogiques et non commerciales. Plus précisément, [l’auteur] autorise l’Université du Québec à Montréal à reproduire, diffuser, prêter, distribuer ou vendre des copies de [son] travail de recherche à des fins non commerciales sur quelque support que ce soit, y compris l’Internet. Cette licence et cette autorisation n’entraînent pas une renonciation de [la] part [de l’auteur] à [ses] droits moraux ni à [ses] droits de propriété intellectuelle. Sauf entente contraire, [l’auteur] conserve la liberté de diffuser et de commercialiser ou non ce travail dont [il] possède un exemplaire.»

Ce travail n'aurait jamais vu le jour sans mes efforts personnels considérables et celui de mon directeur de thèse, le professeur Franco Saliola qui m'a encadré et encouragé sans relâche, me permettant ainsi de développer ce que j'ai reçu du 'frès Haut. Ma dette est immense envers le professeur Franco Saliola, directeur de cette thèse dont les aides académique, financière et morale ont eu raison des difficultés que j'aurais pu endurer pendant la réalisation de ce travail. Sa rigueur à la tâche, son goût de précision, son ouverture d'esprit, ses précieux conseils et ses encouragements m'ont sans cesse soutenu dans cette naissance à la recherche ma-thématique. Je le remercie infiniment pour m'avoir fait comprendre l'importance de la patience dans la réalisation d'un travail de recherche.

Je remercie tout le personnel du département de mathématiques de l'U QÀM, en l'occurrence, les professeurs Franco Saliola, François Bergeron, Christophe Reute-nauer ... pour leurs enseignements et leurs encouragements, les étudiants pour les échanges fructueux que nous avons partagés, sans oublié le personnel administratif pour sa sympathie et sa disponibilité.

Je remercie également le professeur Yvan Saint-Aubin du département de mathé-matiques et statistiques de l'U <lem pour son enseignement sur la théorie de la représentation.

Je remercie l'institut des Sciences Mathématiques (ISM) pour la bourse qu'il m'a octroyé pendant cette thèse.

Je remercie la fondation UQÀM pour la bourse d'excellence.

Mes remerciements vont aussi à Providence Saint-Joseph Fotso et Kamdem Mathis Noé Fotso qui sont aussi les résultats de cette thèse.

Merci à ma douce moitié Hermine Carole Noubissi Kamdem, pour la lecture et la correction littérale de cette thèse.

Je remercie le couple Ndoune et Benice pour leur réconfort moral.

Je remercie également le personnel de la bibliothèque Guy sanche de Gatineau , en particulier M. Mohammed de la Sécurité.

Merci enfin à tous ceux que j'ai oublié, j'espère qu'ils ne se formaliseront pas et qu'ils me pardonneront de ce remerciement collectif.

LISTE DES FIGURES LISTE DES NOTATIONS RÉSUMÉ ...

ix X xii INTRODUCTION . . . 1 CHAPITRE I GROUPES DE RÉFLEXIONS ET GROUPES DE

COXE-TER . . . . .. . . 8 1.1 Groupes de réflexions . . . 9 1.2 Exemples . . . • . . . 10

1.2.1 Les groupes symétriques (type A)

1.2.2 Les groupes hyperoctaédriques (type B) ... 1.2.3 Les groupes hyperoctaédriques pairs (type D)

10 12 14 1.3 Système de racines et réflexion simple d'un groupe de réflexions fini W 15 1.4 Groupes de Coxeter

1. 5 Arrangement de réflexions 1.5.1 Produit des faces . 1.5.2 Ordre partiel sur les faces

1.6 Treillis d'intersections d'arrangement de réflexions 1.6.1 Ordre partiel sur .Cw . . . ·. . . .

18 20 21 22 23 24 1. 7 Sous-groupes paraboliques et classes de représentants minimaux 24 1. 7 .1 Ordre partiel sur Pw . . . . 24 CHAPITRE II ALGÈBRE INVARIANTE D'UN MONOÏDE, ALGÈBRE

DE DESCENTES, ALGÈBRE DE CHEMINS 30

2.1 Algèbre invariante d'un monoïde 31

2.3 Algèbre de chemins . . . . 2.3.1 · Radical de Jacobson

2.3.2 Le carquois des algèbres basiques scindées 2.3.3 Le carquois de

KF . . . .

2.3.4 Sur le carquois de

(JKF)

w 33 34 35 37 39 CHAPITRE III LE CARQUOIS DE L'ALGÈBRE DE DESCENTES DE TYPE A ET B. . . . 43 3.1 . Description combinatoire du monoïde de faces de l'arrangement de type A 44

3.1.1 Monoïde de compositions de [n] . . . . . 44

3.1.2 Action de Sn sur Comp([n]) . . . . . . 45 3.1.3 Description combinatoire des faces de l'arrangement de réflexions

de type A en composition de [n] . 46

3.1.4 Ordre partiel sur Comp([n]) 48

3.1.5 Ordre p~rtiel sur 0011_{;~[n]) . 48}

3.1.6 Caractérisation des 6n-orbites des compositions de

[ri]

48 3.1.7 Compositions de type An-1

3.1.8 Ordre partiel sur les composi_tions de type An-I 3.1.9 Isomorphisme entre Comp([n])/Sn et Comp(n)

49 49 50 3.1.10 Isomorphisme entre ~Sn et (IKComp([n]))6n • • • • • • • • • • 51

3.2 Description combinatoire du treillis d'intersection de l'arrangement de·

type A ... ·. . . . 52

3.2.1 Le treillis des partitions de [n] ... 3.2.2 Isomorphisme entre P([n]) et .C(A6

J .

3.2.3 Action de Sn sur P([n])

3.2.4 Caractérisation des Sn-orbites des partitions de [n] .. 3.2.5 Partition de type An-1 ..

3.3 · Carquois de (KF)6_{n • • • • • •}

3.4 Le carquois de l'algèbre de descentes de type B

52 53 54 54 54 55 56

3.4.1 Description combinatoire du monoïde de faces type B 3.4.2 Monoïde de compositions de [±n]

57 57 3.4.3 Monoïde des pseudo-compositions de type B de [

±n]

58 3.4.4 Action de Bn sur ScompB([n]) . . . . 59 3.4.5 Description combinatoire des faces de l'arrangement de réflexions

de type H en pseudo-compositions de type B de

[±n] . . . .

59 3.4.6 Description des faces autres que celles de la chambre fondamen- .

tale en pseudo-compositions de type B de [±n] 64 3.4.7 Isomorphisme entre ScompB([n]) et FBn . -. . . . 64 3.4.8 Ordre partiel sur les pseudo-compositions de type B de

[±n] .

66 3 4 9 0 d _{. . r re par 1e sur ensem e quo 1en} t. 1 l' bl t· t ScompB([nJ) _{Bn . . . .} 67

3.5 Caractérisation _des Bn-orbites des pseudo-compositions de type B de [±n] . . . 67 3.5.1 Type d'une pseudo-composition de type B de

[±n]

3.5.2 Pseudo-compositions de type Bn ... . 3.5.3 Ordre partiel sur les pseudo-compositions de type Bn 3.5.4 Isomorphisme entre ScompB([n])/Bn et ScompB(n) .

68 69 70 72 3.6 Description combinatoire du produit dans l'algèbre (IKScompB([n]))8n 73 3. 7 Description combinatoire du treillis d'intersections de l'arrangement

de type B . . . . 76 3.7.1 Le treillis des pseudo-partitions de type B de

[±n]

76 3.7.2 Isomorphisme entre SPB([n]) et .C(ABn) . . . . 77 3.7.3 Action de Bn sur PB([n]) . . . . . . . . 78 3.7.4 Caractérisation des En-orbites des pseudo-partitions de type B

de

[±n] . . . . . . . . . . . . . . .

78 3.7.5 Pseudo-partitions de type Bn

3.7.6 Ordre partiel sur les pseudo-partitions de type Bn 3.7.7 Carquois de (IKFBn )8_n

79 79

80

CHAPITRE IV THÉORIE COMBINATOIRE DE L'ALGÈBRE DE DES-CENTES DU GROUPE DE COXETER DE TYPE D . . . 82 4.1 Description combinatoire du monoïde de faces de l'arrangement de type

D . . . . 84 4.1.1 Monoïde des pseudo-compositions de type D de [±n]

4.1.2 Action de Vn sur Scompn([n]) ... .

4.1.3 Description des faces de l'arrangement de réflexions de type D 85

86

en pseudo-compositions de type D de [±n] . . . 87 4.1.4 Description des faces autres que celles de la chambre

fondamen-tale en pseudo-compositions de type D de [±n] 93 4.1.5 Isomorphisme entre Scompn([n]) et Fvn . . . . 94 4.1.6 Ordre partiel sur les pseudo-compositions de type D de [±n] 96 4 1 7 0 d _{. . r re par 1e sur ensem e quo 1en} - t· 1 l' bl t' t Scompn([n]) _{Vn . . . .}

4.2 Caractérisation des Vn-orbites des pseudo-compositions de type· D de [±n] ... .

4.2.1 Type d'une pseudo-composition de type D de [±n] 4.2.2 Pseudo-compositions de type Dn . . . .

97

97 99 102 4.2.3 Ordre partiel sur les pseudo-compositions de type Dn . 103 4.2.4 Isomorphisme entre Scompn([n])/Vn et Scompn(n) . . 105 4.3 Description combinatoire du produit dans l'algèbre (IKScompn([n]))Vn 107 4.4 Description combinatoire du treillis d'intersections de l'arrangement

de type D . . . . 114 4.4.1 Le treillis des pseudo-partitions de type D de [ ±n]

4.4.2 Isomorphisme entre SPn([n]) et .C(AvJ

115 115 4.4.3 Action de Vn sur 'Pn([n]) . . . . 116 4.4.4 Caractérisation des Vn-orbites des pseudo-partitions de type D

de [±n] . . . 117 4.4.5 Pseudo-partitions de type Dn

CHAPITRE V LE CARQUOIS DE (IKF)vN

120 124

5.1 Étude des chemins 125 5.1.1 Motivation de la définition de

'l/J . . . .

125 5.1.2 Vn-Propriétés des pseudo-partitions de type D de

[±n]

126 5.1.3 Certains résultats importants sur

N ... ·. . . .

128 5.1.4 Étude des chemins de longueur impaire pour n pair . 133 5.1.5 Étude des chemins de longueur 1 (uniquement n impair) 134 5.1.6 Étude de chemins de longueur 2 .

5.1. 7 Étude de chemins de longueur au moins 3. 5.2 Caractérisation du radical de

(JKF)Vn . .

137 148 162 164 165 167 168 5.2.1

N

<p~factorisation des chemins .

5.3 Caractérisation du radical carré de

(JKF)Vn

5 .4 Nombre de flèches entre deux sommets . . . .

5.4.1 Nombre de flèches entre deux sommets d'amplitude 1

5.4.2 Nombre de flèches entre deux sommets d'amplitude 2 . . 169 5.4.3 Nombre de flèches entre deux sommets d'amplitude 3 . 178 5.4.4 Carquois de

(JKFvn?n .

CONCLUSION . RÉFÉRENCES 203 209 215

Figure 3.1 Graphe de Coxeter 6n ... 3.2 Le carquois de (OCF)65 . . . Page 44 55 3.3 Graphe de Coxeter

Bn,

56 3.4 Les 48 chambres de 83 • 61

3.5 Les chambres de type B2 • 62

3.6 Le carquois de (JKF)B6 de rang pair . . 80

3.7 Le carquois de (KF)R6 de rang impair . . . . 81

4.1 Graphe de Coxeter Vn, . . . . 83 4.2 Les chambres de type D2 superposées sur les chambres de type B2 89

4.3 Les 24 chambres de

Av

3 • • • • • • • • • • • 90 4.4 Table-chambres-pseudo-compositions de

Av

3 • • • • 91 5.1 Le carquois de (JKF)D6 de rang pair . . . 205 5.2 Le carquois de (JKF)D6 de rang impair

5.3 Les carquois de (JKF)B5 et (Kr)D1<Po=Fo). 5.4 Les carquois de (KF)R6 et (IKF)D8<Po=F0>.

205 208 208

Dans tout ce travail, sauf mention expresse du contraire. • 1K := un corps. • A := algèbre. • M := module. • A := anneau. • l\ll := monoïde. • V := espace vectoriel. • G := groupe.

• W := groupe de Coxeter ou groupe ·de reflexions.

• _AG:= algèbre invariante.

• va

:= espace vectoriel invariant. • Autoc(A) := l'ensemble des

automorphismes de l'algèbre A. • Endoc(V) :=

{f :

V

VI

f

IK-linéaire }. • (,) := produit scalaire.

• (,) := engendré en tant que idéal. • (,)oc:= engendré en tant que

IK-espace vectoriel.

• 1111 := norme.

• idv := application identité. • H := hyperplan.

• H ..L := orthogonal de H.

• IKa

=

{x E Vix= --\a,,,\ E IK}. • Ha := IK*, hyperplan de vecteur

normal a.

• Fix(s) :=

{x

EV

I

s(x) =

x}.

• Sa := réflexion d'hyperplan Ha.

• Tij

--

:= (i,

j)

transposition adjacente.

• ( a,

/3)

:= l'angle entre les vecteurs a et

/3.

• Ôij := symbole de Kronecker.

• ei := (81i, ... , Ôni).

• Hij := { X = ( X1, ... , Xn) E IKn

I

Xi =

Xj},

• Sij : , Sei-.ei' réflexion d'hyperplan Hii·

• dim V := dimoc V := dimension du 1K espace vectoriel V.

• O(V) :=

{f

E Endoc(V) 1 rlx, y E

V, (f(x),

f(y))

=

(x,

y)},

groupe orthogonal de V.

• GL(V) := groupe linéaire de V. • IKS := algèbre de S, où S est une

structure algébrique.

• :Ew := algèbre de descente de W.

• A

:= arrangement d'hyperplans. • Aw := arrangement de réflexions. • Li := système de racines simples.

• F

:= monoïde de faces.

• Fe:= ensemble des faces de la

chambre fondamentale c.

• L.:w := treillis d'intersections de Aw . • C := ensemble de chambres.

• W1 := sous-groupe parabolique standard.

• Pw := ensemble de sous-groupes paraboliques.

• stab(x) := stabilisateur de la face x. • Stab(X) := stabilisateur du support

de x, où x est une face.

• Q

:= carquois de

Kr.

• Qw := carquois de

(Kr)w.

• [Xo,Xk] := {P E

QI

d(P)

=

X0 , a(P)

=

Xk}-• Sn:= groupe symétrique ou groupe de Coxeter de type A.

• a

=

2 b si et seulement si a

=

b

( mod 2) ( congruence modulo

2)

• Odd(p) := #{Pi

I

i E

[r]

etpi - 1

(mod 2)}.

• Comp(X) := ensemble des compositions de X E

{[n], [±n]}.

• · Scompx(n) := ensemble des

pseudo-compositions de type Xn,

XE {B,D}.

• Scompx([n]) := ensemble des pseudo-compositions de type Xn de

[±n], XE {B,D}.

• Bn

:= groupe de permutations • P([n]) := ensemble des partitions de signées ou groupe de Coxeter de type

[n].

B.

• 'Dn := groupe de permutations signées paires ou groupe de Coxeter de type D. • Coset(W) :=

U

i.

IÇll 1 • := relation de couverture.

• [n]

:= {1, ... ,

n }.

• [±n]

:=

{-n, ...

,-1, 1, ...

,n}.

• [n+] :=

{2}

U [n - l]. • ( c1, ... , Cr) := composition de type An-1•

• (qo;

q1, ... ,

qr)

:= pseudo-composition de type Bn ou Dn. • P = (po;P1P2 ···Pr):= pseudo-partition de type Bn ou Dn. • rang(p) = rg(p) := nombre de parts

non zéros de p.·

• q

=

(Pi;

P1P2 · · ·

Pi · ·

·Pr) :

=

suppression de Pi des parts non zéros à la part zéro.

• rg(p) - rg(q) =: amplitude.

• SPx(n) := ensemble des

pseudo-partitions de type Xn,

XE {B,D}.

• p~:])

:= .ensemble des 6n-orbites de P([n]).

• Des: Bcompv(n) [n+]. Scompx([n])

• Xn := ensemble des

Xn-orbites de Scompx([n]), avec X

E{B,D}.

• FDn := l'idéal de OCQDn.

• Qvn(po:;éO) := sous-carquois de Qvn

engendré par {p E SPD(n) 1 Po f. 0}.

• FDn(po:;éO) := l'idéal de OCQDn(po:;éO).

• rad((Kr)w)

:= radical de l'algèbre

(OCF)w.

• rad2

_((Kr)w)

_{:= radical carré de} l'algèbre

(OCF)w.

• M

(p, q)

:= ensemble des modèles matriciels dans le produit (Kr)

w.

Cette thèse se situe dans le domaine de la combinatoire algébrique, qui s'intéresse à des structures algébriques abstraites finies ou engendrées par un ensemble fini d'éléments.

Notre étude porte sur la description du carquois, noté Qvn de l'algèbre de des-centes du groupe de Coxeter de type D, notée

(OCF)Vn.

Un carquois étant un graphe orienté, il s'agit de déterminer les sommets et les nombres de flèches. En d'autres termes, il s'agit de la présentation en terme de carquois de l'algèbre de descentes

(IKF)Vn

qui n'est qu'une autre forme de la représentation de cette al-gèbre.

Du point de vue algébrique, on a un système complet d'idempotents primitifs orthogonaux de

(OCF)Vn

dû à F. Saliola. Son analogue _combinatoire est l'ensemble des sommets du carquois Qvn dont le nom de baptême est pseudo-partitions de type Dn, un ensemble d'objets combinatoires qui étiquettent les idempotents primitifs orthogonaux.· Il y a donc autant de classes de (OCF)Vn_modules projectifs indécomposables ou (KF)v11-modules simples que de sommets.

Quant au nombre de flèches, si p, q sont deux sommets, alors

. . ₁ . .

rad((KF)vn)

npq := dimoc Ext (Sp, Sq) = d1moc{eq

rad

₂

((0CF)Vn)

ep)

est le nombre de flèches de p à q; où ep, eq sont deux idempotents primitifs ortho-gonaux et Sp, Sq sont deux (JKF)Vn_modules simples relatifs à p, q.

Du point de vue ·combinatoire, ce nombre npq est la multiplicité du (IKF)Vn_module simple Sq dans le (KF)v"-module

;:!\1;}),

où PP

=

(KF)v"ev·

Notre approche est basée sur les arrangements d'hyperplans qui fragmentent l'es-pace en faces. Ces faces sont étiquetées combinatoirement par une sorte de par-titions ordonnées que nous avons nommées pseudo-compositions de type D de

[±n].

Le passage de cette dernière au treillis d'intersections s'obtient par oubli de l'ordre dans les pseudo-compositions pour obtenir encore un ensemble d'objets combinatoires que nous avons nommées pseudo-partitions de type Dn,

On obtient ainsi les sommets -du carquois qui sont les orbites de l'action de Vn sur le treillis d'intersections. Ensuite, nous caractérisons le rad(

(IKF)Vn)

et le

rad2 ( (Kr)

Vn).

.

Puis, nous étudions les chemins et calculons les nombres de flèches, également définissons l'amplitude comme étant la différence entre- le nombre de parts non zéros du sommet d'arrivée et celui du sommet de départ.

Au final, nous avons calculé le nombre de flèches pour les amplitudes 1, 2, 3 et de façon générale, pour cemc dont les sommets d'arrivées s'obtiennent des sommets de départs par suppression d'au plus trois parts non zéros impairs. En outre, on a remarqué que le sous-carquois de (K.F)Vn+2 constitué des sommets dont la part

zéro est non nulle, est identifié au carquois de (K.F)8_n.

En marge de notre travail, avec cette nouvelle écriture des pseudo-compositions, . nous avons proposé une définition de descente pour les pseudo-compositions et donné une description combinatoire du produit de l'algèbre de descentes

(IKF)Vn,

en termes matriciels.

Mots clés : Groupes de Coxeter, faces d'un arrangement d'hyperplans, treillis

d'intersections d'un arrangement d'hyperplans, pseudo-partition, pseudo-composition, amplitude, idempotents primitifs orthogonamc, module projectif indécomposable, module simple, carquois, algèbre de descentes, présentation d'une algèbre.

Soient 1K un corps_, A une OC-algèbre de dimension finie et Mun A-module à gauche. On dira que M est de génération finie (ou type fini), s'il existe une partie finie { m1 , ... , mn} de M telle que pour tout m E M, il existe a1, ... , an E A tels

que m

=

a1 m1

+ · · · +

anmn- Pour étudier les modules de génération finie sur

des algèbres de dimension finie, il a été développé ces dernières années une mé-thode diagrammatique, essentiellement due à Pierre Gabriel, basée sur les carquois (graphes orientés). Il a été démontr_é que pour toute OC-algèbre basique scindée A, il existe un unique carquois Q et au moins un idéal admissible I de l'algèbre de chemins IKQ tels que A soit isomorphe à

\Q

·(voir par exemple [4], théorème II-1-8). Le couple (IKQ,

I)

définit ainsi une présentation de A par carquois et par relations. L'un des atouts des présentations admissibles est qu'étant donnée une OC-algèbre de dimension finie, le carquois intervenant est toujours le même, mais l'idéal admissible peut être différent. La méthode diagrammatique est une source importante qui facilite l'intuition. Il s'agit aussi d'un outil, mais il en existe bien d'autres. Cette méthode est un bon départ pour celui qui désire s'initier dans la théorie de représentation des algèbres de dimension finie. À chaque carquois Q et un corps IK, on associe une OC-algèbre IKQ appelée algèbre de chemins dont une base est l'ensemble des chemins. Étant donné (W, S) un système de Coxeter fini et 1K un corps de caractéristique O ou ne divisant pas

IWI.

Soit

Aw

l'arrangement de réflexions de

W, F

et .Cw respectivement l'ensemble des faces et treillis d'in-tersections associés. F. S~liola a démontré_ (voir [27], proposition 4.1, 2008) que l'algèbre des invariants (IKF)w est une OC-algèbre basique scindée. T.P. Bidigare a établi (voir [9]) que (IKF)w est anti-isomorphe à l'algèbre des descentes :EK(W) de

Solomon (voir (30]). Décrire lè carquois de l'algèbre des descentes :EK(W) revient à décrire le carquois de l'algèbre des invariants (IKF)w. En général, le carquois de

(IKF)w

n'est ·pas connu. Jusqu'à présent, on ne connait que les carquois de type A [Garsia-Reutenauer [17], 1989;

M.

Schocker(28], 2004; F. Saliola (27], 2008; G. Pfeiffer (23], 2009], de type B [F. Saliola(27], 2008; G. Pfeiffer (23], 2009; M. Bishop(lO], 2014], detype

I2(n),

Hn, Fn, En [G. Pfeifer(22], 2008].

Comme on peut s'en douter, plusieurs chercheurs se sont engagés dans la des-cription du carquois de l'algèbre de descentes du groupe de Coxeter fini, avec des approches différentes. Bien que le carquois de type Best connu depuis 2008, mais jusqu'à l'heure, pas celui de type D, et pourtant le groupe de Coxeter Vn est un sous-groupe de Bn. En parcourant ceux déjà décrits, avec l'approche de F. Saliola qui consiste à considérer les arrangements de réflexions centrales finis qui fragmentent un espace en faces pouvant être étiquetées par des objets combina-toires munis à la fois d'une structure de monoïde (monoïde de faces), et d'un ordre partiellement ordonné (treillis d'intersections). On peut remarquer qu'en type A, nous avons le monoïde de compositions de

[n]

et le treillis de partitions de

[n].

En type B, nous avons le monoïde de pseudo-compositions de type B de

[±n]

et le treillis de pseudo-partitions de type B de

[±n].

Tout a bien fonctionné natu-rellement grâce au bon arrangement de réflexions de type A et B, au sens de M. Aguiar et S. Mahajan (voir [3], P.132). En type D, nous pourrons avoir le monoïde de pseudo-compositions de type D de

[±n],

mais que le produit subira une légère modificatio:r;i (parce qu'on n'a pas un bon arrangement de réflexions) et le treillis de pseudo-partitions de type D de

[±n].

Cet handicap-sur l'arrangement de ré-flexions de type Da freiné la description du carquois de

(IKF)Vn.

Étant donné que le groupe Vn est un sous-groupe de Bn, il est donc naturel de se demander s'il est possible d'obtenir ce carquois à partir des techniques utilisées par F. Saliola dans la description du carquois de (IKF)8_{n. La principale motivation de cette thèse est}

de décrire le carquois (Kr) Vn, à savoir déterminer les sommets et le nombre de

flèches entre deux sommets quelconques.

Pour résoudre ce problème, nous déroulerons notre travail en cinq chapitres, que nous détaillerons chapitre par chapitre.

Dans le premier chapitre, nous ferons un bref rappel ·sur la théorie des groupes de réflexions et de Coxeter. Nous remontrerons que ces groupes peuvent être réalisés comme des sous-groupes du groupe linéaire sur un espace euclidien, où chaque transposition correspond à une réflexion. Ensuite, nous étÙdierons la structure de ces groupes et développerons une combinatoire permettant de les étudier de façon aisée. Après avoir présenté les outils combinatoires (faces et arrangement de ré-flexions ) et opérations combinatoires (produit de faces et ordre partiel sur les faces et treillis d'intersections), nous démontrerons.certains résultats fondamentaux à la description combinatoire du monoïde de faces et du treillis d'intersections. À la proposition 1.2.1, nous remontrerons qu~ les groupes symétriques et les groupes de permutations signées ne sont pas seulement un ensemble muni d'une loi, mais apparaissent naturellement comme un ensemble de transformations orthogonales, qui en plus sont des groupes de réflexions. Le théorème 1.3.1 montre que du point de vue des groupes de réflexions, on ne perd pas l'information lorsqu'on utilise un système fondamental associé. Nous présenterons dans le lemme 1. 7.2, une bijec-tion entre les faces de la chambre fondamentale et le système fondamental. Ce qui facilitera une description combinatoire des faces dans le type A en compositions de

[n],

puis dans le type B et Den pseudo-compositions de

[±n].

Au lemme 1.7.3, nous prouverons quel'ensemble des faces de la chambre fondamentale constitue un système complet de représentant des faces. Nous montrerons également dans la proposition 1.7.1 que les faces sont en bijection avec le Coset(W), et à la proposi-tion 1.7.2 que ces faces peuvent être étiquetées par des sous-groupes paraboliques

treillis d'intersections et les sous-groupes paraboliques standards.

Au chapitre deux, nous ressortirons quelques définitions et résultats utiles au dé-veloppement ~e notre travail, notamment l'algèbre invariante d'un monoïde sous l'action d'un groupe, notée

(JK.1\tf)°,

et présenterons u~e base linéaire en orbites de M sous l'action de G. Au théorème 2.1.1, nous rappellerons cette application fondamentale qui servira au chapitre cinq, à la construction d'un homomorphisme surjectif entre l'algèbre de chemins du carquois et l'algèbre invariante. Au théorème 2.2.1, nous présenterons la sous-algèbre remarquable dite algèbre de descentes qui a été introduite par Solomon. Plusieurs auteurs se sont intéressés aux décompo-sitions de ces algèbres, et en particulier aux règles de multiplications dans ces algèbres y compris nous-même. La dernière section sera consacrée aux algèbres de chemins et contient certains résultats de F. Saliola qui ont été publiés (voir [27] ). Après avoir défini le carquois, le radical de Jacobson, l'idéal admissible, relation, produit de chemins, le nombre d'incident et l'algèbre basique scindée pour ne ci-ter que ceux-là, nous présenci-terons au théorème 2.3.1 un-résultat fondamental sur la présentation d'une algèbre en termes de carquois. Ensuite1 nous présenterons

un système d'idempotents primitifs orthogonaux de KF au théorème 2.3.3 et de

(JKF)

w au théorème 2.3.6. Le théorème 2.3.5, sera réservé à l'homomorphisme de

« présentation

» sur JKF. Au paragraphe 2.3.4.1, nous définirons l'action· sur l'algèbre de chemins et la notion W-équivariante, puis réserverons le lemme 2.3.7 pour le caractère W-équivariante de l'homomorphisme de

« présentation

» sur

JKF. Enfin, terminerons ce chapitre avec le théorème 2.3. 7 qui proposera un can-didat comme homomorphisme de

«

présentation

»

sur

(JKF)

w.

Dans le troisième chapitre, nous rappellerons l'étude des carquois de type A et

B,

mais apporterons une petite contribution dans le type

B.

Cependant, nous donnerons une description combinatoire du monoïde de faces et du treillis d'inter-sections de type B. Nous introduirons quatre familles d'objets combinatoires que

nous nommerons pseudo-compositions de type B de

[±n],

pseudo-compositions de type Bn, pseudo-partitions de type B de

[±n],

pseudo-partitions de type Bn. Nous prouverons qu'il y a une correspondance bijective entre monoïde de faces de type B et monoïde de pseudo-compositions de type_ B de

[±n],

entre treillis d'intersections de type B et treillis de pseudo-partitions de type B de

[±n],

entre les sommets du carquois de type B et les pseudo-partitions de type Bn, entre les pseudo-compositions de type Bn et une base linéaire de l'algèbre de descentes du groupe de Coxeter de type Bn. Mais encore, nous définirons la notion de descente d'une pseudo-composition de type Bn. Avec ces nouveaux objets combinatoires, nous donnerons une description combinatoire du produit de l'algèbre de descentes du groupe de Coxeter de type B, en terme matriciel, légèrement différente de celle de F. Bergeron et N. Bergeron dans [7]. Puis, nous présenterons une nouvelle bi-jection, facilement digeste entre l'algèbre invariante du monoïde de faces de type Bn et l'algèbre de descentes du groupe de Coxeter Bn,

Au quatrième chapitre, nous développerons la théorie combinatoire de l'algèbre de descentes du groupe de Coxeter de type D. ·cependant, nous donnerons une description combinatoire du monoïde de faces et du treillis d'intersections de type D. Nous introduirons quatre familles d'objets combinatoires que nous nommerons ·pseudo-compositions de type D de

[±n],

compositions de type Dn,

pseudo-partitions de type D de

[±n],

pseudo-partitions de type Dn. Nous prouverons qu'il y a une correspondance bijective entre monoïde de faces de type D et monoïde de pseudo-compositions de type D de [±n], entre treillis d'intersections de type D et t~eillis de pseudo-partitions de type D de

[±n],

entre les sommets du carquois de type D et les pseudo-partitions_ de type Dn, entre les pseudo-compositions de type Dn et une base linéaire de l'algèbre de descentes du groupe de Coxeter_ de type Dn. Mais encore, nous définirons la notion de descente d'une pseudo-composition de type Dn. Avec ces nouveaux objets combinatoires, nous donnerons une description

combinatoire du produit de l'algèbre de descentes du groupe de Coxeter de type D, en terme matriciel décoré, légèrement différente de celle de N. Bergeron et· S. van Willigenburg dans [8]. Puis, nous présenterons une nouvelle bijection, aussi facilement digeste entre l'algèbre invariante du monoïde de faces de type Dn et l'algèbre de descentes du groupe de Coxeter Vn,

Dans le cinquième chapitre, nous étudierons en profondeur le carquois de (Kr)

'Dn,

noté

Qvn.

La lecture linéaire est recommandée, car la plupart de nos résultats seront constructifs et les démonstrations seront données. À cette étape, on aurait déjà décrit au chapitre quatre les sommets de

Qvn :

l'ensemble des sommets est en bijection avec un ensemble d'idempotents primitifs orthogonaux dans (IKF)'Dn. En particulier, ils sont étiquetés par les pseudo-partitions de type Dn. Ainsi, nous nous intéresserons aux calculs des nombres de flèches entre deux sommets quelconques.

Si ep, eq désignent deux sommets de

Qvn,

alors

,

. ( rad((Kr)'Dn) )

nombre de fleches de ep vers eq dans

Qvn

= d1moc.

eq

rad

2

((Kr)'Dn)

ep • Or, on a un morphisme d'algèbres surjectif cp : IKQ

IKF

qui est Vn-équivariante, où Q est le carquois de Kr(voir F. Saliola [27]). Ceci induira un morphisme d'algèbres surjectif de (IKQ)'Dn dans

(IKF)'Dn.

Nous utiliserons ce morphisme pour déduire le nombre de flèches dans

Q'Dn·

Plus précisément, nous étudierons les Vn-orbites des chemins de Q. Les sommets étant des orbites, les calculs seront basés sur des représentants des deux sommets. Nous démontrerons que ce calcul n'est autre que le nombre de vecteurs linéairement indépendants dans

(Kr)'Pn,

issus de ces deux représentants. Ensuite, nous décrirons les chemins et nous montrerons qu'il n'existe pas de flèche entre deux sommets d'amplitudes impaires dans

Qvn,

sin est pair. Puis, nous montrerons comment construire des permutations signées de type D à partir des pseudo-compositions de type de D de

[±n].

Également, nous établirons quelques résultats utiles pour notre analyse. Par la suite, nous

étudierons graduellement les chemins et caractériserons le radical et le radical carré

(KF)Vn.

Enfin, nous définirons le concept d'amplitude entre deux sommets et débuterons nos calculs pour des amplitudes 1, 2, 3. Le_ lemme 5.1.3 nous aidera à caractériser si des flèches existent ou non. Ensuite, une analyse de cas débute et on aura une compréhension de certaines flèches(mais pas toutes ..

GROUPES DE RÉFLEXIONS ET GROUPES DE COXETER

Ce chapitre est un bref rappel sur la théorie des groupes de réflexions et de Coxeter. Il introduit les notions et certains résultats fondamentaux de bases à la descrip-tion combinatoire du monoïde de faces et du treillis d'intersecdescrip-tions. On verra que ces groupes peuvent être réalisés comme des sous-groupes du groupe linéaire sur un espace euclidien, où chaque transposition correspond à une réflexion. Ensuite, nous étudierons la. structure de ces groupes et développerons mie combinatoire permettant de les étudier de façon aisée. Après avoir présenté les outils combina-toires (faces et arrangement de réflexions ) et opérations combinacombina-toires (produit de faces et ordre partiel sur les faces et treillis d'intersections), nous démontrerons certains résultats fondamentaux À la proposition 1.2.1, Il ressort que les groupes symétriques et les groupes de permutations signées ne sont pas seulement un en-semble muni d'une loi, mais apparaissent naturellement comme un enen-semble de transformations orthogonales, qui en plus sont des groupes de réflexions. Le théo-rème 1.3.1 montre que du point de vue des groupes de réflexions, on ne perd pas l'information lorsqu'on utilise un système fondamental associé. Nous présenterons dans le lemme 1.7.2, qu'il y a une bijection entre les faces de la chambre fonda-mentale et le système fondamental. Ce qui facilitera une description combinatoire des faces dans le type A en compositions de

[n],

puis dans le type B et D en pseudo-compositions de

[±n].

Au lemme 1.7.3, nous prouverons que l'ensemble

9

des faces de la chambre fondamentale constitue un système complet de repré-sentant des faces. Nous montrerons également dans la proposition 1. 7.1 que les faces sont en bijections avec le Coset(W), et à la proposition 1.7.2 que ces faces peuvent être étiquetées par des sous-groupes paraboliques (voir l'exemple 1.7.1). Au théorème 1.7.1, nous présenterons une bijection entre le treillis d'intersections et les sous-groupes paraboliques standards.

1.1 Groupes de réflexions

Soit V un espace euclidien réel, c'est-à-dire un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire, une forme bilinéaire (,) : V x V

--+

IR symétrique et définie positive. Notons parO(V)

=

{s

E EndR(V)l'v'x,y E V,(s(x),s(y))

=

(x, y)} le groupe orthogonal de V. Une réflexion (orthogonale) de V est un s E O(V) tel que ker(s - idv) est un hyperplan.

Propriétés 1.1.1. Soit s E O(V) une réflexion de V d'hyperplan H et

a

un

vecteur normal.

l) Notons H : . Ha:, s := sa:, Ra := H;. Alors, on a que : i) sa(H;)

=

H; et

sa:(a)

=

-a.

ii) s E O(V) est une réflexion si et seulement si :3a E V tel que 'v'x E

(x,a) V, s(x).= x - 2

₁₁₀₁₁₂

a. iii) s2

=

idv.

2)

Pour tout g E O(V), gsa:g-1

=

_Bg(a:).

3) { Cartan-Dieudonné} Tout

f

E O(V) est la composée d'au plus dim V ré-flexions.

Définition 1.1.1. Un groupe de réflexions (fini} de V-est un sous-groupe (fini} de O(V) engendré par des réflexions.

1.2 Exemples

1.2.1 Les groupes symétriques (type A)

Le .groupe symétrique de [n] := {1, ... , n}, noté

6n :

= (

Tij 1 1 i

<

j n) , (1.1)

où Tïj := ( i, j) est la permutation qui échange i et j et fixe le reste,

Hij :=

{x

= (x1, ... ,xn) E :!Rn

I

Xi= Xj} et Sij = Sei-ei' avec ei

=

(81i, · · · , Ôni) E

:!Rn, et Ôij désigne le symbole de Kronecker. On a que (ei - ei)-1-

=

{x E :!Rn

I

Xi= X

j}

=

Hij +----+ 'Tïj +----+ Sïj.

Proposition 1.2.1. _

6n X }Rn

(o-,

X= (xi, ... , Xn)) t-+ a.X= (xu-1(1), ... , Xu-l(n))

est une action linéaire et fidèle par des transformations orthogonales.

Démonstration. •

0-2(0-1.X)

=

0"2(xu1l(1), ... ,xuï"l(n))

=

0"2(Y1, • • •, Yn), OÙ Yi

=

Xu₁1(i)

=

(Yu₂1_{(1)' · · ·, Yu2}1_(n))

=

(xuï1(u;-1(l))' ... , X~ï1(u;-i(n)))

=

(X(o-20-1)-1(1), · · ·, X(u2u1)-1(n))

•

•

Donc

a.(X

+Y)=

a(x1

+

Y1, ... ,Xn

+

Yn) =a(z1,••·,zn), où Zi =xi+Yi

=

(za-1_{(1), · · ·,} Za-1_(n))

=

(Xa-1(1)

+

Ya-1(1), • • •, Xa-l(n)

+

Ya-l(n))

=

(xa-1(1), • • ·, Xa-1(n))

+

(Ya-1(1}-, • • ·, Ya-1_(n))

=a.X +a.Y .

a.(À.X)

=

a(Àx1, ... , Àxn)

=

a(z1, ... , Zn), OÙ Zi

=

ÀXi

=

(za-1(1), • • •, Za-l(n))

=

(ÀXa-1(1), ... , ÀXa-l(n))

=

À(Xa-1(1), ... , Xa-l(n)) =Àa.X. P: 6n 7"""t GL(~n) a H- Pa : X H- a.X

est un homomorphisme de groupes.

• p est injectif. En effet, soit a E 6n tel que Pa

=

I dRn, on a que V X E ~n, a.X

=

X, d'où Vi, Xa-l(i)

=

Xi, par suite, a

=

E. Donc l'action est fidèle.

• Montrons que 6n préserve la norme, et donc préserve le produit scalaire. lia.XII = ll(xa-1(1), ... , Xa-l(n))II = IIXII, car a-1 permute les coordonnées. D'où

(a.X, a.Y)=

(X, Y). En effet,

(a.X - a.Y, a.X - a.Y)

=

(a.X, a.X) -

2(a.X,

a.Y)+ (a.Y, a.Y)

=

lla.Xll

2

-

2(a.X,

a.Y)+

lla.Yll

2

=

11x11

2 -

2(a.X,a.Y)

+

IIYll

2

=

lla.(X - Y)ll

2

=

IIX-Yll

2

=

11a.x11

2 -

2(X, Y)

+

lla.Yll

2:

Ainsi, les groupes symétriques sont des groupes composés des transformations orthogonales.

1.2.2

Les groupes hyperoctaédriques (type B)

L'ensemble des permutations w de [±n] telle que Vi E [n], w(-i)

=

-w(i), noté

Bn

:= ( Tij, 17,j, Tk, j 1 :::; i

<

j n, 1

k

n)

(1.2)

[±n] :=

{-n, ...

,-l,1, ...

,n},rii

= (i,j)(-i,-j), 17,j = (i,-j)(-i,j),rk =

(k,-k),

-i =

I.

Hij = {x E Rnlxi =

Xj},

Hij = {x E

lînjxi

=

-Xj},

Hk

=

{x E lîn

I

Xk

=

O}.

On a que :

(ei -

ei).L

=

Hii +-+ Tij +-+ Sij,

(ei

+

ei).L-=-- {x E lîn

I

Xi= -xi}= Hii

+-+

17,j +-+ sij, et=

{x

E lîn

I

Xk =

O}

= Hk +-+ Tk.

Le groupe

Bn

est appelé groupe hyperoctaédrique ou groupe des permutations signées de [ n] .

Proposition 1.2.2.

Bn X ]în ]în

où x_i

=

-xi, Vi E [n] est une action linéaire et fidèle par des trq,nsformations orthogonales.

Démonstration. •

•

w2(w1.x)

=

_{w2(xw1 1(l)' ... , xw11(n))}

=

W2(Y1, • • •, Yn), où, Yi

=

Xw₁1_(i)

=

(Yw₂1_{(1), · · · , Yw}

21_(n))

=

(xw11Cw;-1(l)), ... , Xw11(w;-1(n)))

=

(x(w2w1)-1(1), · · ·, X(w2w1)-1(n))

=

(w2w1).x .

w.(x +y)= w(x1

+

Y1, ... ,Xn

+

Yn)

•

=

w(z1, ... , Zn), où, Zi =Xi+ Yi

=

(zw-1(1), ... , Zw-I(n))

=

(xw-1(1)

+

Yw-1(1), • • •, Xw-1_(n)

+

Yw-1_(n))

=

(xw-1(1), • • •, Xw-I(n))

+

(Yw-1(1), • • •, Yw-1(n))

=w.x+w.y . w.(À.x)

=

w(Àx1, ... , Àxn)

=

w(z1, ... , Zn), OÙ, Zi

=

ÀXi

=

(zw-1(1), •.. , Zw-I(n))

=

(Àxw-1(1), ... , ÀXw-I(n))

=

À(Xw-1(1), ... , Xw-I(n)) =Àw.x.

Donc

p: Bn GL(Rn)

W t--+ Pw : X t--+ W.X, est un homomorphisme de groupes.

• p est injectif. En effet, soit w E Bn tel que Pw

=

IdRn, on a que Vx E Rn, w.x

=

x, d'où Vi, Xw-l(i)

=

Xi, par suite, w

=

E. L'action est fidèle

• Montrons que

Bn

préserve la norme, et donc préserve le produit scalaire.

llw.xll

=

ll(xw-1(1), ... ,xw-l(n))II

=

llxll,

car

w-

1 permute à quelques signes près

les coordonnées. D'où (w.x, w.y)

=

(x, y). En effet,

(w.x - w.y, w.x - w.y)

=

(w.x, w.x) - 2(w.x, w.y)

+

(w.y, w.y)

=

llw.xll

2 _{- 2(w.x, w.y)}

+

llw.yll

2

=

llxll

2 - 2(w.x, w.y)

+

IIYll

2

=

llw.(x - y)ll

2

=

llx -yll

2

=

llw·.xll

2 _-

2(x,

_Y)+

llw.yll

2

-Ainsi, les groupes de permutations signées sont des groupes composés des trans-formations orthogonales.

1.2.3 Les groupes hyperoctaédriques pairs (type D)

L'ensemble des permutations w E

Bn

telle

Neg(w)

=

0 (mod 2), noté Vn := \ Tij, 71j

l

1 i

<

j

n)

Neg(w)

:=

#{i

E

[n] lw(i)

< O},

Tij =

(i,j)(-i,-j), 11i

=

(i,-j)(-i,j).

Hij

=

{x E JRii

l

Xi= xi} , H:t,j

=

{x E JRn

I

Xi= -xi}.

On a que : (ei - ei)_1_

=

Hij

+-+

Tij

+-+

Bij,

(ei+

ej)_1_

=

.{x E Rn

I

Xi

=

-xi}

=

Hii

+-+

Ïii

+-+

sii ·

Le groupe Vn est appelé groupe hyperoctaédrique pair ou groupe des permutations signées paires de [n].

Proposition 1.2.3.

Vn X Rn

(w, X - (xi, ... , Xn)) i---+ w.x

=

(xw-1(1), .. ~, Xw-I(n)),

où X-i

=

-xi, Vi

[n]

est une action linéaire et fidèle par des transformations orthogonales.

Démonstration. Preuve analogue à la précédente.

Ainsi, les groupes de permutations signées paires sont des groupes composés des transformations orthogonales.

1.3 Système de racines et réflexion simple d'un groupe de réflexions fini W

Soit T l'ensemble de toutes les réflexions de W. L'ensemble cp := { a E

VI llall

= 1, Ba ET} est appelé système de racines de W et T

=

{sa

I

a E

ef>}.

Lemme 1.3.1 ([12], corollaire, P. 74). Soit Sun ensemble de réflexions engendrant

W. Toute réflexion appartenant à W est conjuguée à un élément de S. Autrement dit, T

=

{wsw-1

I

_{w E W ets ES}.}

Exemple 1.3.1. Tij

=

(i,j)

=

Baii où Œij

=

f

(ej -

• W

=

Dm

=

(sa, s13), où a, (3 E V\

{O}

et l'angle entre les vecteurs a et (3

-noté (a,(3)

=

;ï·

En particulier, s13sa

=

r2,,.. _,n cf>=

{±a,

±(3,

±,}

T

=

{sa, s13,

s,}

+,

+(3

-a@+a

-(3 -,

-Remarque 1.3.1. Si a, (3 E

V\

{O}, alors sas/3 est la rotation d'angle -2(a, (3).

Proposition 1.3.1. Si W est un groupe de réflexions fini de système de racines cj), alors

i)

0 =f

cf>

ç

V\

{0}. ii) Va E cf>, sa(cf>)

=

cf>. iii) Ran cp

=

{±a}.

iv)

lc/>I =2ITI.

En particulier, W agit sur cf>.

Démonstration. i) Puisque W est un groupe de réflexions, alors il existe un a E V\ {O} tel que Sa soit une réflexions, alors ll~II E cf>, et donc non vide. ii) Soit (3 E cf>, sa(f3)

=

(3 - 2(a, (3)a, qui est unitaire. De plus,

Ssa(/3)

=

SaSf3Sa E

w,

donc Sa(f3) E cf>.

iii) Si x E Ra

n

cf>, alors x

=

Àa, par suite

I

lxl 1

=

1 entraîne À

=

±1.

iv) · Car, si sa ET, alors ±a E cf>. W agit sur cf>, car W(cp) Ç cf>.

• Un sous ensemble de

1

sera appelé système de racines simples de

1

ou système fondamental de

1,

s'il est une base de V, et pour tout x E

1,

x

=

E

ay•Y· yEÂ

Les ay sont tous positifs ou tous négatifs.

• L'ensemble S := { sa

I

a E ~} est appelé ensemble de réflexions simples ou réflexions fondamentales.

k

Définition 1.3.2. Si a E

1

est une racine, alors a=

E

,,\ai,

où

= {

a1, ... ,

ak}

i=l k

et h(a)

=

E

Ài est appelée hauteur de a respectivement

à~-i=l

On peut remarquer que h( a) est bien définie puisque· les ai sont linéairement indépendants. De la définition de système fondamental, les hauteurs des racines sont soit positives, soit négatives. On dira qu'une racine a est positive si h(a) est positive ou négative si h( a) est négative.

En particulier, les racines d'un système fondamental sont toujours positives. On utilisera la notation a

>

0, pour dire que a est une racine positive, et a

<

0 sinon. On note également par :

1+

=

{a

E

1 :

h(a)

>

O}

et

1-

=

{a

E

1

h(a)

<

0}. On a que

1

=

1+

t±J

1-,

où l±J désigne l'union-disjointe.

Lemme 1.3.2. Si a E

1+ \ ~,

alors il existe ai E tel que :

i)

Bai(a)

>

O.

ii) h(s0/a))

<

h(a).

Démonstration.

i)

Soit a E

1+ \ ~,

alors a

=

E ,,\ai,

où À.ï 0; de plus, il

existe i, j tels que Ài, Àj

>

O. Choisissons

àk

E tel qµe ( a, ak) 0, car sinon (a,a)

=

EAi(a,ai)

<

O. Ce qui serait impossible. Or Bak(a)

=

a - 2(a,ak)ak

=

E ,,\ai+(Àk-2(a, ak))ak E

1 = 1+t±J1-.

Comme dans E Àiai, au moins un Ài

>

i#k i#k

0, donc Bak(a) E

1+.

ii) h(sa/a)) =

E

Ài

+

(Àk - 2(a, ak))

<

E

Àï = h(a). i#k

Corollaire 1.3.1. Va E

cp+,

h(a) 1. De plus, h(

a)

=

1 si et seulement si a E

~-Démonstration. Soit a E

cp+.

Si a E ~, alors h(a)

=

1, sinon h(a) -/= 1. Si h(a)

<

1, par le lemme ci-dessus, il existerait une infinité de racines positives de hauteur strictement plus petite que 1. Ce qui serait impossible.

Donc Va E

cp+,

h(a) 1.

Théorème 1.3.1

([19],

théorème 1.5, P.11). Soit W un groupe de réflexions fini de système de racines

cp

et de système simple

~-1) W

=

(sa

I

a E ~).

2)

cp

=

W(~).

Re_marque 1.3.2

([19),

théorème 1.4, P.10). Si ~ 1, ~ 2 sont deux systèmes de racines simples dans

cp,

alors il existe w E W. tel que

w(~

1 )

= ~

2 . Ainsi,

S2

=

{s,a

l

f3 E

~2}

=

{sw(a)

1

a E

~1}

=

{wsaw-1

I

a E

~1}

=

wS1w-1.

1.4 Groupes de Coxeter

Un groupe W d'élément neutre e est dit de Coxeter, s'il existe un sous-ensemble non vide S de W qui engendre W et dont les éléments vérifient les relations suivantes :

1. Vs E S, s2

=

_e.

2. Vs, t E S, s-/= t, :3mst E N~2 U { +oo} tel que (st)mst

=

e.

(W, S) est appelé système de Coxeter de rang

ISI.

De la relation 1.), on a que ts est l'inverse de st et donc mst

=

mts• Pour tout mst -/= +oo, on a la relation

suivante dite de tresse :

(st)mst

=

e ststs ...

=

tstst.:.

~.._,,--,,

Pour mst

=

+oo, il n'existe pas de relation entres et

t.

C'est-à-dire que : mst

=

+oo _{'--v--" .._.,--,} ststs ... =/= tstsL.

Vk;::.1 Vk;::.1

L'ensemble de générateurs 8 et les relations décrites ci-dessus forment une pré-sentation du groupe W qui est souvent écrite sous la forme

W

=

(81

(st)m

st

=

e)

(1.4)

Notez que la terminologie de groupe de Coxeter est imprécise, car un groupe de Coxeter peut avoir deux générateurs 81 et S2 avec #81 =/=

#8

2 • Par exemple,

D3 rv Z2 X 63, mais

D3

= (

s, t

I

s

2

=

t2

=

(st)3

=

e)

Z2

x

63

=

(s,t,ul

s

2

=

t

2

=

u

2

=

(tu)3

=

(su)2

=

(st)2

=

e).

À tout système de Coxeter (W, S) correspond :

i) Une matrice symétrique (appelée matrice de Coxeter _de (W, 8) ) notée Mc

=

(mst)s,tES, indexée par 8 à coefficients dans N2:₁ U { +oo} dont les coefficients diagonaux valent 1 et les autres coefficients dans N 2:2 U { +oo}.

ii) Un graphe (appelé graphe de Coxeter de (W, 8)) de sommets 8 et dont les arêtes sont les paires { s, t} telles que mst E N 2:3 U { +oo}.

Les arêtes { s, t} telles que mst 4 sont étiquetées par ces nombres.

On dit qu'un système de Coxeter (W, 8) est irréductible, s'il n'existe pas deux parties disjointes _{81 et 8}2 de 8 telles que 8

=

81 U

B2

et que tout s1 E 81

commute avec tout s2 E 82 .

Un système de Coxeter est irréductible si et seulement si son graphe est connexe.

Théorème 1.4.1 ([12], proposition 2,3,4, §4, Chap.5). Tout système de Coxeter

L'idée de la preuve est la suivante : on munit Rl8_{1 d'une forme bilinéaire suivante,}

dite forme de Tits, définie par :

7r

B(es, et)= -

cos(-).

ffist

À chaque élément s E S, on associe la réflexion B-orthogonale

.Ps : x i---+ x - 2B(x, es)es.

(1.5)

(1.6)

On a que p;

=

Idv et (Ps o Pt)mst

=

Idv pour s

#-

t.

Par la propriété universelle des groupes définis par générateurs et relateurs,

p : W ---+ G L(R181), s r-t Ps . est un homomorphisme de groupes.

Par ailleurs, pour tout w E W, x, y EV; B(pw(x), Pw(Y))

=

B(x, y). D'où imp

=

(Ps

I

s ES) gui est un groupe de réflexion, est un sous-groupe de O(V). De plus, p est injectif. Donc tout système de Coxeter fini est un groupe de réflexions fini.

1.5 Arrangement de réflexions

Lemme 1.5.1 ([20], lemme A, P.38). Si V est un espace vectoriel sur un corps

infini, alors V n'est pas l'union fini de ses sous-espaces propres.

Soit (W, S) un système de Coxeter fini. L'ensemble noté

Aw

=

{Hhyperplan de

VI

BH E W},

où s H est la réflexion relative à H est appelé arrangement de réflexions de W. Soit

(W,

S)

un système de Coxeter fini, d'arrangement de réflexions

Aw.

On appelle chambre une composante connexe c de RISI \ (

U

H).

Désignons par H+, H-, les demi-espaces séparés par H

=

H0 , respectivement positif et négatif.

Proposition 1.5.1. Si

Aw

=

{Ha}aE<P est un arrangement de réflexions de

(W, S), où cf> est un système de racines, alors pour toute chambre c, il existe

(ëHJaE<f> E {

+,

-}1</>I telle que c

=

n

H~Ha.

· aE</>

Démonstration. Soit c EV\ (UH0 ) une chambre, alors c

=

c

n

Hi

U c

n

H;

et

O'.

comme C connexe, alors C

ç

JfêHa' où €Ha E {

+, -},

et donc C

ç

n,l,H~Ha. Or

ae.,,

n

H~Ha est convexe, par suite connexe. D'où C

=

n

H~Ha.

aE</> aE</>

Soit A= {Hih$i$n un arrangement d'hyperplans de V. F Ç V est appeléface de

A

si F =

/:J

₁H:Hi -/-

0

où €Hi E {

+, -,

O}. ëi(F) = €Hi est le signe de F par rapport à Hi et ë(F)

=

(ëHJi:s;i=s;n est le vecteur signe de F. Un hyperplan Hi sépare les faces F et G s~ ëi ( F) et ëi ( G.) sont de signes opposés. Deux chambres sont adjacentes si elles sont distinctes et séparées pas· un seul hyperplan. Une galerie est une suite consécutive de chambres adjacentes.

Désignons par

F

l'ensemble des faces d'un arrangement d'hyperplans

A

= {

Hi}1:s;i$n·

1.5.1 Produit des faces

Soient F et G deux faces. Le produit de F et G est la faée notée FG dont le vecteur signe est ë(FG)

=

(ëi(FG)h:s;i=s;n, où

Ei(FG)

=

f

E;(F)

si

E;(F)

cl

O

l

E; ( G) sinon

1.5.2 Ordre partiel sur les faces

F<G~FG=G (1.8)

Observe que F G si et seulement si éi(F)

=

0 ou éi(F)

=

éi(G).

Un mur de la chambre c est un hyperplan HE Aw tel que H

n

ë engendre H, où ë est la fermeture de c. Notons par Sc:= {SHI H mur de

c}.

Théorème 1.5.1 ([12], Lemme 2 et théorème 1, P.73 - 74). Soit c une chambre.

i) Pour tout x EV, 3w E W tel que w(x) E ë. ii) Pour toute chambre d, 31w E W tel que w(c')

=

c.

iii) Sc engendre W et le système (W, Sc) est appelé système de Coxeter de chambre fondamentale c.

Soit w E W et H un mur de c. La relation f. ( s HW)

>

f.( w) signifie que les chambres cet w(c) sont du même côté de H.

Une partie D de V est appelée un domaine fondamental pour le groupe W si: a) Pour tout x EV, 3w E W tel que w(x) ED.

. b) Pour tous x, y ED et w E W tels que y= w(x), on a y= x (mais on peut avoir

w-/=

1).

Théorème 1.5.2 ([12], théorème 2, P.75). Pour toute chambre c, l'adhérence ë de c est un domaine fondamental pour l'action de W sur V, c'est-à-dire Vx E

V, IWxnël

=

1.

Lemme 1.5.2. Si Aw

= {

H0 }0:E</J est un arrangement de réflexions de (W, S), de

système de racines cp et de système de racines fondamentales~, alors c

=

n

H~Ha

aE.6.

Démonstration. H-;t

=

{x EV : (x, a)

>

0} etc~ {x EV : (x, a)

>

0, Va E ~}. Pour tout ai E ~, désignons par a; le dual de ai, alors (ai, aj)

=

Ôij et

E

a* E c, d'où c =/= r/J. Soit

t

E c, soit a E

<p.

Si a

>

û, alors

(t,

a)

>

0, sinon

aE~

a< 0, et alors

(t,

a)

<

O. Donc c est une chambre.

Soit (W, S) un système de Coxeter de système fondamental ~- On sait que (W, S)

=

(W,

s~),

où

s~

=

{sa

I

a E ~}. Soit c =

n

H~Ha. la chambre fondarµentale. F une

o:E~

face de c si et seulement si

F ::;

c si et seulement si é Ha. (

F)

=

0 ou é Ha (

F)

=

ê Ha ( c).

Posons I = {a E ~lcHJF) = 0}, alors F1 := F = {v E Vl(v,a) = 0, Va E I et (v, a)

>

0, Va E \

J}

=/= r/J(voir (9], lemme 3.2.2, P.61).

Lemme 1.5.3. Soit Aw

=

{Ho.}ae<t> un arrangement de réflexions de (W, S), C l'ensemble des chambres et c la chambre fondamentale.

On a une bijection entre W et C donnée par: W C, w w(c).

Démonstration. La preuve découle du fait que l'action de W sur C est simplement transitive (voir théorème 1.5.1-ii)).

1.6 Treillis d'intersections d'arrangement de réflexions

Soient (W, S) ·un système de Coxeter et Aw son arrangement de réflexions . .Cw := {H1nH2n .... nHm: m EN et Hi E Aw} est appelé treillis d'intersections deAw.

Remarque 1.6.1. (1) Pour tout HE Aw, HE .Cw (m

=

1). (2) VE .Cw (m

=

0).

1.6.1 Ordre partiel sur .Cw

X~Y{=::=>XÇY

(.Cw, ~) est un treillis de borne supérieure: X V Y=

n

H , XUYCH

HEAw

(1.9)

et de borne inférieure : X A Y

=

X

n

Y . .Cw possède un plus grand élément : V et un plus petit élément : O.

Le rang d'un XE .Cw, noté rang(X) := rg(X) = dimX.

1. 7 Sous-groupes paraboliques et classes de représentants minimaux

Soit (W, S) un système de Coxeter fini. Pour tout I Ç · S, on désigne par W1 .

=

(J), le sous-groupe de W engendré par I, et on l'appelle sous-groupe parabolique standard de W relatif à J. Les conjugués wW1w-1 de ces sous-groupes paraboliques

standards sont appelés sous-groupes paraboliques de W. Nous notons par Pw l'ensemble des sous-groupes paraboliques.

1. 7 .1 Ordre partiel sur Pw

U~V{=::=>VÇU

(Pw, ~) est un treillis. Si U

=

wW1w-1 _{E Pw, alors rang(U)}

=

III.

Théorème 1.7.1 ([6], théorème 3.1) . .Cw est anti-isomorphe à Pw.

(1.10)

Lemme 1.7.1 ([19], théorème 1.12 et proposition 1.15). Si Aw

=

{Ha}aE</J

est un arrangement de réflexions de (W, S) de système de racines fondamentales et c la chambre fondamentale, alors pour tout x c, il existe I Ç · tel que Stab(x) = {w E TV

I

w(x) =

x}

= W1.

Lemme 1.7.2. Soit Aw

=

{Ha}aEc/> un arrangement de réflexions de (W, S), c la chambre fondamentale et

Fe

l'ensemble des faces de c.

i) On a une bijection entre

Fe

et

{W

1 1 J Ç ~} donnée par :

{W11 J Ç ~}, F1 W1.

ii) Si x1, X2 E

Fe,

alors X1 X2 Stab(x2) Ç Stab(x1).

Démonstration. i) Cette application est bien définie et injective grâce au lemme 1.7.1. Si J Ç ~, alors

x

=

{v

EV 1

(v, a)=

0, Va E Jet

(v,

a)> 0, Va E

\J}-:/-0

(voir [9], lemme 3.2.2, P.61), et Stab(x)

=

W1 , d'où la surjection.

ii) ( ~) Supposons que x1 x2, alors x 1x2

=

x 2. Soit g E Stab(x2), alors g(x1)x2

=

g(x1)g(x2)-

=

g(x1x2)

=

g(x2)

=

x2. D'où g(xr) X2 c. Comme

c

est

un domaine fondamental, on a que g(x1)

=

x1 . Donc g E Stab(x1).

({==)Supposons que Stab(x2) Ç Stab(xi). On sait qu'il existe I, J Ç tels que Stab(x2)

=

W1 et Stab(x1)

=

WJ. Comme W1 Ç WJ,-alors I Ç Jet~\ J Ç

\ I. Cependant, X2

=

n

Ha

n

n

Ht et X1

=

n

Han

n

Ht. Ainsi,

aE/ aEÂ \I aEJ aEÂ \J

X1X2

=

n

Ha

n

n

H;

=

X2. D'où X1 X2.

aE/ aEt::..\I

Lemme 1.7.3. Si Aw

=

{Ha}aEct, un arrangement de réflexions de (W,S) de chambre fondamentale c et Fe l'ensemble des faces de c, alors pour tout y E F, il existe u E

Fe

et w E

W

tels que y= w(u).

Démonstration. Soit y E

F,

on sait que yc

=

é est une chambre. Par le théorème 1.5.1, il existe un unique w E W-tel que w(c)

=

d. D'où w(c)

=

yc et alors c

=

w-1(yc)

=

w-

1

_(y)w-

1_{(c). D'où w-1(y) est une face de c. Posons u}

₌

_w-1(y),

alors y= w(u).

Proposition 1.7.1. Si Aw

=

{Ha}aEc/> un arrangement de réflexions de (W, S)